Compex wiskunde A1-2 vwo 2006-I

Transcriptie

1 Beschuit Gewone beschuiten worden verkocht in beschuitrollen van 13 stuks. Een gewone beschuit weegt gemiddeld 8, gram. Er zijn ook grotere, zogeheten Twentsche beschuiten die worden verkocht in zakken van 1 stuks. Een Twentsche beschuit weegt gemiddeld 1,7 gram. foto Enige tijd geleden kostte in de supermarkt een rol gewone beschuit,91 en een zak Twentsche beschuit,93. 3p 1 Bij welk van deze twee artikelen verwacht je het meeste beschuit voor je geld? Motiveer je antwoord. Vanzelfsprekend wegen beschuiten niet allemaal precies even veel. Het gewicht van een gewone beschuit is normaal verdeeld met een gemiddeld gewicht van 8, gram en een standaardafwijking van,6 gram. Het gewicht van een Twentsche beschuit is ook normaal verdeeld. Een Twentsche beschuit weegt gemiddeld 1,7 gram met een standaardafwijking van,9 gram. Zowel bij een rol gewone beschuit als bij een zak Twentsche beschuit kan het gebeuren dat de inhoud minder weegt dan de 1 gram die op de verpakking staat vermeld. 6p 2 Bereken bij welke soort beschuit de kans daarop het grootst is. Een fabrikant van gewone beschuit gaat ervan uit dat de machines voor productie van gewone beschuiten zo zijn ingesteld dat slechts 5% van de beschuiten te licht is. Een medewerker van deze fabriek heeft echter de indruk dat meer dan 5% van de beschuiten te licht is. Om zijn vermoeden te onderzoeken, pakt hij willekeurig 5 beschuiten. Van deze 5 beschuiten blijken er 6 te licht te zijn. 6p 3 Onderzoek of dit resultaat voldoende aanleiding is om de medewerker in het gelijk te stellen. Hanteer daarbij een significantieniveau van 1%. www

2 Krasactie Schoenwinkel Boermans bestaat 4 jaar. Om dat te vieren overweegt eigenaar Boermans om een actie met kraskaarten te houden. Iedere klant die voor ten minste 5 euro in de winkel besteedt, krijgt een kraskaart. Op elke kraskaart komen acht vakjes die opengekrast kunnen worden. In zes willekeurig gekozen vakjes staat het woord jammer! In de andere twee vakjes staat het gezicht van Boermans afgebeeld. De klant mag naar keuze twee vakjes openkrassen. Indien een klant ten minste één maal het gezicht van Boermans te voorschijn krast, dan levert dat de klant een cadeaubon op. Een klant die een kraslot mag gaan krassen, heeft een kans van 26 op een cadeaubon. 56 Het is mogelijk dat van de eerste tien klanten die op een dag hebben gekrast, er drie een cadeaubon hebben gewonnen en zeven geen cadeaubon hebben gewonnen. 3p 4 Bereken de kans dat dit gebeurt. Boermans verwacht dat hij per dag gemiddeld 13 cadeaubonnen zal moeten uitdelen. Deze verwachting baseert hij op het gemiddelde aantal klanten per dag die in het verleden 5 euro of meer besteedden. 3p 5 Bereken dit gemiddelde aantal klanten per dag waarvan Boermans is uitgegaan. De krasactie van Boermans gaat een jaar duren. Een klant kan met een in de krasactie gewonnen cadeaubon een keuze maken uit een beperkte, speciaal daarvoor aangewezen voorraad artikelen in Boermans winkel. Boermans heeft nog niet besloten hoe groot hij de waarde van de cadeaubonnen zal maken. Hij wil kiezen uit de volgende twee mogelijkheden. Mogelijkheid A: gedurende de hele actie is elke cadeaubon 17,5 euro waard. Mogelijkheid B: elke cadeaubon die op de eerste dag wordt uitgedeeld is 5 euro waard; elke cadeaubon die op de tweede dag wordt uitgedeeld is 5,1 euro waard; elke cadeaubon die op de derde dag wordt uitgedeeld 5,2 euro, enzovoort. Elke dag dat de winkel geopend is worden de bonnen,1 euro meer waard. Omdat Boermans in een jaar 3 dagen geopend is, zijn de bonnen op de laatste dag van de actie 34,9 euro waard. Boermans wil een indicatie hebben hoeveel geld hij bij beide mogelijkheden kwijt zal raken aan cadeaubonnen. Bij de berekeningen mag je ervan uit gaan dat Boermans elke dag precies 13 cadeaubonnen uitdeelt. Bij mogelijkheid B kan de totale dagwaarde d n van de cadeaubonnen die Boermans op de n-de dag uitdeelt, berekend worden met de formule d n = (4,9 +,1n) 13 = 63,7 + 1,3n. De totale dagwaarde van dag 1 is dus 63,7 + 1,3 1 = 65 euro en die van dag 2 is 66,3. De totale actiewaarde a n is de optelsom van alle cadeaubonnen die tot en met de n-de dag zijn uitgedeeld. Dus a n = d 1 + d d n. Dit betekent dat de totale actiewaarde a n kan worden berekend met de formule a n = 64,35n +,65n 2. 5p 6 Toon de juistheid van de formule a n = 64,35n +,65n 2 aan. www

3 Voedsel zoeken De meeste roofdieren proberen iedere dag hun voedsel zo snel mogelijk te vangen. Naarmate meer voedsel is gevangen, wordt het vaak moeilijker om nog nieuw voedsel te vangen. Deze opgave gaat over het wiskundige model dat daarbij gemaakt kan worden. In dat model geeft de opbrengstfunctie het verband aan tussen de hoeveelheid voedsel (de voedselopbrengst) en de tijd die nodig is om die hoeveelheid voedsel te vangen. In figuur 1 is de grafiek getekend van de opbrengstfunctie voor roofdiersoort A. De voedselopbrengst is uitgedrukt in energie-eenheden (ee) en de benodigde tijd in uren. Figuur 1 staat vergroot op de uitwerkbijlage. figuur 1 voedselopbrengst 5 (ee) tijd (uren) We bekijken een roofdier van soort A. Na,5 uur heeft dit roofdier een bepaalde hoeveelheid energie aan voedsel gevangen. Om de dubbele hoeveelheid te vangen is meer dan het dubbele van,5 uur nodig. 4p 7 Bepaal met behulp van figuur 1 hoeveel maal zo groot de daarvoor benodigde tijd is. De opbrengst van roofdiersoort A bij 3 uur jagen is 3 ee. Uit figuur 1 is af te lezen dat direct na het begin van de jacht er al vangst is. Deze diersoort leeft dus in hetzelfde gebied als zijn prooidieren. Sommige roofdieren leven echter niet in hetzelfde gebied als hun prooidieren. Die moeten zich eerst verplaatsen naar hun voedselgebied voordat ze met de jacht kunnen beginnen. Na de jacht gaan ze weer terug naar het gebied waar ze de meeste tijd verblijven. In figuur 2 is de grafiek van de opbrengstfunctie van een roofdiersoort B getekend die 1 uur onderweg is naar zijn jachtgebied ( 1 2 uur heen en 1 uur terug). Voor deze roofdieren is de 2 opbrengstfunctie gegeven door de formule: r 4 t 1als t > 1 (als het roofdier in totaal minder dan één uur op jacht is, geldt: r = ) Hierin is t de tijd in uren en r de hoeveelheid gevonden voedsel in ee. figuur 2 voedselopbrengst 12 (ee) tijd (uren) Deze opbrengstfunctie r heeft voor t > 1 de volgende twee eigenschappen: een langere tijd levert altijd een hogere opbrengst op; de toename van de opbrengst wordt steeds geringer naarmate t groter wordt. Deze twee eigenschappen zijn zichtbaar in de grafiek van r, maar ze kunnen ook worden verklaard aan de hand van de grafiek van de afgeleide van r. 5p 8 Schets de grafiek van de afgeleide van r en verklaar de beide eigenschappen aan de hand van deze grafiek. www

4 Uitwerkbijlage bij vraag 7 Vraag 7 5 voedselopbrengst (ee) tijd (uren) www

5 Bouwproject De gemeente Vriesbergen wil woningen en winkels laten bouwen op een terrein van 1 m 2. foto nieuwbouw De gemeentelijke planologische dienst gaat dit project ontwerpen. Dit project zal aan enkele voorwaarden moeten voldoen: Verdeling Voor elke m 2 woonoppervlak moet 1 m 2 tuin extra gereserveerd worden voor de woningen. Dus voor elke m 2 woonoppervlak wordt 2 m 2 grond in gebruik genomen. Voor elke 5 m 2 winkeloppervlak moet 2 m 2 extra voor parkeerplaatsen worden bestemd. Om ruimte te hebben voor openbare groenvoorzieningen en wegen mag het totale grondoppervlak voor woningen (inclusief tuin) plus het totale grondoppervlak voor winkels (inclusief parkeerplaatsen) samen ten hoogste 6% van het totale oppervlak beslaan. Verontreiniging Voor 1 m 2 woonoppervlak rekent men 4 eenheden verontreiniging en voor 1 m 2 winkeloppervlak rekent men 4 eenheden verontreiniging. In totaal is maximaal 3 eenheden verontreiniging toelaatbaar. Regionale functie Omdat het gebied een regionale winkelfunctie moet krijgen, eist de gemeente dat het aantal m 2 winkeloppervlak ten minste gelijk is aan 5 m 2 plus vier maal het aantal m 2 woonoppervlak. Noem het aantal m 2 woonoppervlak x en het aantal m 2 winkeloppervlak y. Naast de beperkende voorwaarden x en y gelden nu ook de voorwaarden: (1) 2x + 1,4y 6 (2) y 4x 5 (3) 1x + y 75 5p 9 Laat zien hoe de voorwaarden (1), (2) en (3) uit bovenstaande gegevens volgen. www

6 Nog een aspect van het project waar een voorwaarde uit voortvloeit, wordt gevormd door de kosten. Kosten Het hele project mag niet meer dan 4 miljoen euro kosten. De bouw van 1 m 2 woonoppervlak kost 24 euro. De bouw van 1 m 2 winkeloppervlak kost 8 euro. Op grond van de gegevens over de kosten kun je de beperkende voorwaarde (4) opstellen. 2p 1 Stel deze beperkende voorwaarde op. In figuur 3 zijn de grenzen van de vier beperkende voorwaarden getekend. Figuur 3 staat vergroot op de uitwerkbijlage. figuur 3 y x Met behulp van figuur 3 is in te zien dat een van de vier beperkende voorwaarden eigenlijk overbodig is. 5p 11 Welke van de vier beperkende voorwaarden is overbodig? Licht je antwoord toe met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage. De gemeentelijke planologische dienst wil zo veel mogelijk m 2 woonoppervlak realiseren. 4p 12 Onderzoek hoeveel m 2 het totale grondoppervlak voor woningen (inclusief tuin) plus het totale grondoppervlak voor winkels (inclusief parkeerplaatsen) in dat geval zal beslaan. Dit was de laatste vraag van het deel waarbij de computer niet gebruikt wordt. www

7 Uitwerkbijlage bij vraag 11 Vraag y x www

8 Efficiëntie Winkelketens verkopen hun artikelen in verschillende filialen. De directie van zo n winkelketen wil graag weten hoe goed elk filiaal het doet. Men let met name op de omzet. Daarbij wordt natuurlijk wel rekening gehouden met het aantal werknemers. Wanneer een filiaal een lagere omzet behaalt dan een ander filiaal met evenveel werknemers, dan zeggen we dat het eerste filiaal minder efficiënt is dan het tweede. Voor de beoordeling van de efficiëntie vergelijken we alleen de filialen onderling. We letten alleen op de omzet in relatie tot het aantal werknemers. Om te beginnen een eenvoudig voorbeeld. Een winkelketen heeft 6 filialen. Elk filiaal heeft 24 werknemers. Maar de omzet is niet in alle filialen hetzelfde. Zie tabel 1. tabel 1 filiaal A B C D E F aantal werknemers omzet in 1 euro/jaar Filiaal C heeft de grootste omzet, dit filiaal krijgt het predikaat best practice. Dit gegeven dient als maatstaf bij de beoordeling van de filialen. De directie zal de chef van filiaal A zeggen dat zijn omzet slechts 75% is van die van filiaal C en dus best een stuk hoger zou kunnen zijn. We zeggen dat de efficiëntie van filiaal A 75% is. Stel dat de omzet van filiaal C met 25% stijgt, terwijl die van de andere filialen gelijk blijft. 3p 13 Wat wordt nu de efficiëntie van filiaal A? Licht je antwoord toe. Doorgaans hebben de filialen niet allemaal evenveel werknemers. Dan is het lastiger ze met elkaar te vergelijken. In het Excelbestand EFFICIËNTIE.XLS blad 1 staat een voorbeeld van een winkelketen met 2 filialen van uiteenlopende grootte. Open het Excelbestand EFFICIËNTIE.XLS blad 1. Op dit Excelblad zie je een tabel. Daarin staat van elk filiaal het aantal werknemers en de omzet (in 1 euro/jaar). Deze gegevens staan ook in de grafiek op dit Excelblad, die met de Wizard van Excel bij deze tabel gemaakt is. De filialen zijn geordend naar het aantal werknemers. De jaarlijkse omzet per werknemer is niet bij alle filialen hetzelfde. 4p 14 Onderzoek met behulp van het Excelbestand EFFICIËNTIE.XLS blad 1 bij welk filiaal de jaarlijkse omzet per werknemer het hoogst is. Vermeld ook hoe hoog de jaarlijkse omzet per werknemer bij dit filiaal is. Schrijf duidelijk op hoe je te werk bent gegaan. Sluit Excel af zonder wijzigingen op te slaan. Je zou kunnen zeggen dat het filiaal dat je bij vraag 14 gevonden hebt, het meest efficiënt is. Maar dan wordt er geen rekening gehouden met schaaleffecten: heel kleine filialen kunnen minder efficiënt werken doordat het personeel niet lang genoeg met een zelfde taak bezig kan zijn, bij heel grote filialen is relatief meer tijd nodig voor organisatorische zaken. Om ook nu de efficiëntie van filialen te bepalen, gebruiken we daarom de best practice - grens. In figuur 4 zie je een schets met de filialen van een denkbeeldig bedrijf waarmee we de best practice-grens gaan uitleggen. De filialen X, Y en Z bepalen de best practice -grens. Hiervoor geldt dat geen enkel filiaal boven deze grens uit komt. Tussen X, Y en Z wordt de grens gevormd door de lijnstukken XY en YZ. Het aantal werknemers van filiaal W ligt tussen dat van filiaal Y en filiaal Z in. Het punt W' geeft aan welke omzet met dit aantal werknemers behaald zou kunnen worden volgens de best practice -grens. In feite behaalt filiaal W slechts een zeker percentage van de omzet die bij punt W' hoort. Dit percentage noemen we de efficiëntie van filiaal W. www

9 Geen enkel filiaal heeft een kleiner aantal werknemers dan filiaal X. Daarom kan links van X geen best practice -grens worden aangegeven. En van alle filialen heeft Z de hoogste omzet. Elk filiaal met een groter aantal werknemers dan Z zou in ieder geval die omzet moeten kunnen halen. Daarom loopt de best practice -grens rechts van Z horizontaal. figuur 4 omzet Z best practice W ' Y W X Om snel een beeld van de situatie te krijgen, gebruikt de directie een prikbord waarop elk filiaal met een punaise kan worden weergegeven. Een elastiekje geeft dan automatisch de best practice -grens weer. Open het bestand PRIKBORD.XLS. In dit bestand zie je een digitale versie van dit prikbord. Naast het prikbord staan tien punaises die je naar het bord kunt verslepen. Je kunt echter ook op de knop Random klikken. In dat geval worden de punaises willekeurig geplaatst. Na de willekeurige plaatsing kun je enkele punaises alsnog verslepen. Wanneer je op de knop Trek lijn klikt, wordt om de punaises een elastiek gespannen dat de best practice -grens laat zien. Je kunt eventueel enkele punaises verslepen en via de knop Trek lijn opnieuw de best practice -grens laten trekken. Wanneer je één keer op de knop Reset klikt, verdwijnt het elastiekje. Door twee keer achtereen op de knop Reset te klikken, krijg je het openingsscherm terug. Stel dat een bedrijf vier filialen heeft, met respectievelijk 1, 3, 5 en 7 werknemers. Het kan zijn dat deze filialen alle vier een efficiëntie van 1% hebben (dus dat de bijbehorende punten gezamenlijk de best practice -grens vastleggen). Het kan ook zijn dat slechts twee van deze filialen een efficiëntie van 1% hebben. Met behulp van het bestand PRIKBORD.XLS kun je hier voorbeelden van zoeken. 4p 15 Geef op de uitwerkbijlage van beide situaties een voorbeeld door middel van een schets waarin duidelijk de ligging van de vier punten en de best practice -grens te zien is. Sluit Excel af zonder wijzigingen op te slaan. In de situatie van Excelbestand EFFICIËNTIE.XLS blad 1 wordt de best practice -grens bepaald door de filialen A, E, I, M, Q en T. Open het Excelbestand EFFICIËNTIE.XLS blad 2. aantal werknemers Op dit blad staat dezelfde informatie als op blad 1. In de figuur is nu de best practice - grens getekend en ook lijnen waarop de efficiëntie 25%, 5% en 75% is. www

10 Uitwerkbijlage bij vraag 15 Vraag 15 omzet ( 1/jaar) aantal werknemers omzet ( 1/jaar) aantal werknemers www

11 De efficiëntie van filiaal J is iets meer dan 5%. De filiaalchef stelt zich ten doel, met nog steeds 22 werknemers, de efficiëntie te verhogen tot ongeveer 75%. Neem aan dat bij de andere filialen niets verandert. 3p 16 Bepaal met behulp van de gegevens uit het Excelbestand EFFICIËNTIE.XLS blad 2 hoeveel de omzet van filiaal J dan ongeveer moet toenemen. Licht je antwoord toe. Open het Excelbestand EFFICIËNTIE.XLS blad 3. Op dit blad staat opnieuw de informatie van blad 1 en 2. In kolom D is nu per filiaal (met uitzondering van de filialen J, O en P) uitgerekend bij welke omzet de efficiëntie 1% zou zijn. Wanneer je de formules in D2 tot en met D1 bekijkt, zie je dat de opbouw van de formules in kolom D niet altijd gelijk is. De formules in D3, D4 en D5 en die in D7, D8 en D9 vertonen qua opbouw veel overeenkomst. Eenzelfde overeenkomst in formuleopbouw is er bij de formules die in D15, D16 en D17 moeten staan. De waarden van de omzet per filiaal waarvoor de efficiëntie 1% zou zijn, zijn berekend met behulp van lineaire interpolatie. Zo is de waarde in cel D15 de uitkomst van de formule =C14+(B15-B14)*(C18-C14)/(B18-B14). 5p 17 Verklaar deze formule. De overeenkomst in de opbouw van de formules die in D15, D16 en D17 moeten staan, is niet zodanig dat men de huidige inhoud van cel D15 kan kopiëren naar D16 en D17. Dat kan wel als men de formule in D15 eerst aanpast door enkele $-tekens in te voegen, waardoor die waarden vastliggen. 3p 18 Schrijf op welke Excelformule in cel D15 kan worden gezet, zó dat bij het kopiëren van deze formule naar D16 en D17 in die cellen de juiste waarden voor de omzet berekend worden. Licht je antwoord toe. 4p 19 Onderzoek met behulp van het Excelbestand EFFICIËNTIE.XLS blad 3 bij welk filiaal de efficiëntie het laagst is. Schrijf duidelijk op hoe je te werk bent gegaan. In het bestand PRIKBORD.XLS werd de best practice -grens getekend en in bestand EFFICIËNTIE.XLS blad 2 en blad 3 was de best practice -grens gegeven. Om de best practice -grens zelf te maken kun je als volgt te werk gaan: Neem het filiaal met het kleinste aantal werknemers. Het bijbehorende punt (dus het meest linkse punt in de figuur) is het beginpunt van de best practice -grens. Als er meer dan één filiaal is met dit aantal werknemers, neem dan daarvan het filiaal met de grootste omzet. Zoek van alle filialen met een groter aantal werknemers het filiaal waarvan de lijn tussen het beginpunt en het bij dit filiaal behorende punt de grootste richtingscoëfficiënt heeft. Dit punt is het volgende hoekpunt van de best practice -grens. Herhaal de vorige stap met het laatstgevonden punt als beginpunt. Ga hier mee door tot het filiaal met de grootste omzet (dus het hoogste punt in de figuur) bereikt is. Verbind de gevonden punten met rechte lijnstukken. Trek vanuit het laatste punt (met de grootste omzet) een lijn naar rechts evenwijdig aan de horizontale as. Open het Excelbestand EFFICIËNTIE.XLS blad 4. Hierin zie je de gegevens van de filialen van weer een andere winkelketen. De filialen zijn geordend naar het aantal werknemers. Met Excel kun je een grafiek maken zoals die in blad 1 te zien is. In die grafiek is het beginpunt van de best practice -grens het punt bij filiaal A, het laatste hoekpunt van deze grens is het punt bij filiaal R. Daartussenin zijn er nog enkele filialen waarvan de bijbehorende punten op de best practice -grens liggen. 5p 2 Onderzoek met behulp van bestand EFFICIËNTIE.XLS blad 4 (bijvoorbeeld door een grafiek in Excel te maken) welke filialen dit zijn. Licht je antwoord toe. Sluit Excel af zonder wijzigingen op te slaan. www