Over een balanceringsprobleem bij een 2-cilinder compressor in V-uitvoering Esmeijer, W.L. Gepubliceerd: 01/01/1965 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication: A submitted manuscript is the author's version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website. The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review. The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers. Link to publication Citation for published version (APA): Esmeijer, W. L. (1965). Over een balanceringsprobleem bij een 2-cilinder compressor in V-uitvoering. (DCT rapporten; Vol. 1965.021). Eindhoven: Technische Hogeschool Eindhoven. General rights Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal? Take down policy If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim. Download date: 24. Oct. 2017
~~~ -~ ~~ ~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~ T.H.E. ïie-65/21. Over een balanceringsprobleem bij een 2-cilinder compressor in V-uitvoering 1. Inleiding Door J.K. van der Steen, afstuderend in de Groep Verbrandingsmotoren en Automobieltechniek, werd aan de orde gesteld een technisch belang- rijke uitbreiding van het in het 6e semester college Technische Dynamica behandelde balanceringsprobleem van een 2-cilinder V-motor. w cons t~an-t \ \ / / De cilinderhartrdnen van de in fig.1 geschetste machine maken een hoek 7 met elkaar.* De massa's van de,,heen en weergaande delen" in '' de cilinders I en I1 zijn resp. eu a Gevraagd wordt ora -zo mogelijk- eenvoudige niidd~eleri aam t.e geven ter balancering van de primaire traagheids- ~~~ krachten van de heen en 2' weergaande delen. figuur 1. Xn genoemd college is het eenvoudige geval uitgewerkt dat O = 90 en? = Door van der Steen is het gestelde probleem algemeen behandeld. HU volgt een betrekkèlijk moeizame goniometrische weg en komt tot interessante resultaten die buv. van belang zijn voor soamige compressoren.
-2- In het volgende zal worden getoond hoe men het probleem op eenvoudige wuze kan oplossen door gebruik te maken van de theorie van vectoren in het complexe vlak. Het resultaat geeft aanleiding tot het vermoeden dat het probleem ook met zeer elementaire middelen eenvoudig kan worden opgelost. Dat dit inderdaad het geval is wordt aan het slot uiteengezet. 2. Het complexe vlak We leggen de in fig.1 getekende vertikale as van de machine langs de positieve reele as van het complexe vlak (fig.2) en geven de richting O~em aan door de eenheidsvector E = e t De richting O-m wordt aangegeven door de aan E toegevoegd complexe - vector - 2-.Y e = e I + De stand van de kruk wordt aangegeven door de eenheidsvector z = e die van U naaide krukpen wijst. figuur 2.
-3-3. Opfrissing van enkele wiskundige definities en eigenschappen 3.1. Elk complex getal 5 = 5 + i q (Eenq re") heeft een toegevoegd complexe 6 - i q (definitie); deze wordt aangegeven door r. - Eigenschappen: 1. + 5 = 2 (re") 5-5 = 2iq (imaginair). 3.2. Het inwendig product van 2 vectoren 5, en c, wordt aangegeven door (Cl, C2); definitie: (ct, Cz ) = le;, @e;, 1 cos a, waarin a de door de vectoren ingesloten hoek is..y 3.3. Voor de eenheidsvector E = e% = x + iy :x en y rezij gelden de eigenschappen: $ + 9 = 1 xp - y2 = cos y 2xy = sin y. 3.4. De volgende eigenschappen van de complexe getallen z en E zijn 4. De primaire trawheidsiulacht van de heen en weeraaande delen De primaire traagheidskracht van de heen en weergaande massa ml harmonisch wisselend lange Oe lijn U - mg; 2 a i m*w;r (a>o). de amplitude is Uit de theorie van de balancering van een één-cilinder is motor en met behulp van het onder 3. vermelde volgt dat deze traagheidskracht in fig.2 kan worden voorgesteld door de vector Bt = a(z, e) E a s Wanneer gesteld wordt: b = m2w r (b30) dan volgt dat de primaire -- traagheidskracht van de heen en weergaande raassa ma gesteld door R2 = b(z, E) e. -- kan worden voor- De resulterende primaire traagheidskracht wordt in het complexe vlak gegeven door de vector R =~-a(z,e)e + b(z$ e)~.
-4-3. Analyse van de resulterende primaire traagheidslrracht Gebruik nakende onder meer van 3.4 en 3.3. vinden we achtereenvolgens -- R = a(z, E )e + b(z, E)E = a(z, e ) ~ + b(z, ~ ) 6 R=- 2 a+bz + [?cosy + i-sm 2 yz a-b. 1-1 Uit deze uitdrukking is direct af te leiden hoe ii kan worden gebalanceerd.~ a+b Het deel - z kan worden gebalanceerd door een contragewicht Cp9 vast 2 aan de kruk te bevestigen en wel diametraal tegenover de krukpen. Het deel ~ o s + y i-sin y z moet op andere wijze worden gebalanceerd; Eb a-b 2 I- het draait immers met constante hoeksnelheid -0 rond. Ter balancering van dit deel moet een contragewicht Ca IIv~~loI,sI,,~_Lu I.--, ---- 7L-22 is met behulp van een kandwieloverbrenging. De plaats van C2 -a ~ o ï ~ de d oorsppong 9 roteren iï&g.een eveneens met kunnen we v.ast.leggen door de sitiv.a.tie op een gegeven tijdstip te beschouwen. Nemen we hiervoor het tijdstip t = o -0fjjv. te ije~~eiisen dan volgt uit de gegevens in het complexe vlak ogenblikkela de lijn waarop C2 zich moet bevinden (fig.3). I Irn tijdstip t = o De grootte van de centrifugaalkrachten van de contragewichten moet als volgt worden bepaald: a+b van C, : - a+ 2 b a-b 1 van ca : I y o s y + ifsiny= - {(---%os7 = 2 2 =% a2 + b2 + 2ab COS 2yL 4+ ) 2 + (a-b-in y P'
- 5-6. Gecombineerde grafisch - goniometrische beschouwing Balancering van de primaire traagheidskracht van de heen en weergaande massa mg (cilinder I) is te bereiken met behulp van twee contra- gewichten CII en C'II op de in fig.4 geschetste manier. c ' roteert ~ met de kruk mee, c''~ roteert precies tegengesteld aan de krukrotatie. I primaire traagheidskracht a cos ~p figuur 4. Balancering van de primaire traagheidskracnt van m, is Op,... soort- $ - gelme ioijze te bereiken door contragewichten C en C" I1 Uit de grootte en zin van de hoeksnelheden volgt dat CCI en C' als I1 star geheel roteren evenals dit het geval is met C"- en Cii-... i li De stand van de contragewichten ten opzichte van elkaar en ten op- zichte van de kruk kunnen we vastleggen door de situatie op een geschikt gekozen tjjdstip te onderzoeken (fige5ie figuur 5 e
- 6 - CeI en C' kunnen worden vervangen door één contragewicht I1 C'II en CttII kunnen wordea vervangen door één contragewicht C, Deze vervanging is aangegeven in de figuur 6.1 en 6.2. \ '/2 a figuur 6.2, De met behulp van elementaire goniometrie uit de figuur af te leiden resultaten stemmen overeen met de onder 7 vermelde uitkomst. 3 xnei 1965. prof.ir. W.L. Esmeijer.