Modelleerprojecten Kansrekening Remco van der Hofstad Britt Mathijsen Jaron Sanders 3 november 2014 Inhoudsopgave 1 Knetterende krasactie 1 2 Krantenjongen 3 3 Kraken van oud-hollands kienen 4 4 Verrijking van onzekere informatie 5 5 Faillissement en risico 6 6 Optimale inventaris 6 7 Dynamiek van de politiek 6 8 Griepepidemie 7 9 Matig musiceren tot gemiddeld goed 7 10 Zonnecellenmachinefabrikant 8 11 Virologie en infectiviteit 8 12 Bloedanalyse 9 1 Knetterende krasactie Bij het Eindhovens Dagblad (ED) wil men een knetterende, stimulerende krasactie organiseren voor haar krantenbezorgers. Figuur 1 legt de krasaktie uit. Het gaat om krantenbezorgers die gedurende 14 weken, 6 dagen per week s ochtends de krant bezorgen. Zij krijgen op de door hen te bezorgen stapel kranten een masker. Dit is een uitdraaivel waarop aangegeven wordt op welke adressen ze de krant moeten bezorgen en of er in hun wijk de dag ervoor klachten waren of dat ze klachtenvrij bezorgd hebben. Gewoonlijk spaart de bezorger voor elke klachtenvrije bezorgdag 1
Figuur 1: De krasaktie. 2
stapelpunten (een soort airmiles/tankzegels) waarmee ze cadeaus kunnen bestellen uit een spaarcatalogus). Dit spaarsysteem loopt tijdens de actie gewoon door. Voor de speciale krasactie krijgt de bezorger half december voor 14 weken 14 krasloten met op elk weeklot 6 krasvakjes. Voor elke klachtenvrije dag mogen ze 1 willekeurig vakje openkrassen. Voor onder de kraslaag wil het ED uitgaan van 6 verschillende symbolen, nl. een ster, een krant, een brievenbus, een fiets, een krantentas en een hond. De bezorgers kiezen dus zelf welke hokjes ze openkrassen voor een klachtenvrije dag. Er mogen niet meer vakjes opengekrast zijn dan dat ze klachtenvrij gelopen hebben (ze moeten nl. met een kraskaartje waarop ze een prijs hebben, ook hun klachtenvrije masker bij de krant inleveren). Drie dezelfde symbolen geeft een prijs van 10 euro, vier dezelfde symbolen geeft een prijs van 25 euro, vijf dezelfde symbolen geeft een prijs van 50 euro. Het uitgangspunt van de krant is dat er 140 prijzen van 10 euro zijn, 100 prijzen van 25 euro en 48 prijzen van 50 euro. Bij zes dezelfde symbolen ga je in de bak waaruit op het einde van de actie 12 hoofdprijzen getrokken worden: 4 van 250 euro, 4 van 500 euro en 4 van 750 euro. Naast de zes krasvakjes is er een zevende troostprijsvakje. Iemand die 6 dagen klachtenvrij bezorgd heeft en dus 6 vakjes heeft opengekrast zonder prijs te hebben, mag als troostprijs het zevende vakje krassen waarmee stapelpunten te verdienen zijn. Deze stapelpunten kunnen weer gespaard worden voor de prijzen uit de spaarcatalogus. De troostprijsstapelpunten zijn onderverdeeld in 25 stapelpunten, ofwel 2,50 euro, 50 stapelpunten, ofwel 5 euro, en 75 stapelpunten, ofwel 7,50 euro. Het ED gaat uit van 3000 bezorgers. Het percentage van de bezorgers dat nu klachtenvrij loopt is 75% per dag. Men verwacht dat dit percentage gedurerende deze actie kan stijgen tot 90%. De krant wil een totaalbedrag aan prijzen weggeven van ca. 12.300 euro. Men realiseert zich dat je tevoren nooit precies kunt zeggen hoeveel deze actie gaat kosten en dat e.e.a. afhankelijk is van hoe klachtenvrij gelopen wordt. De krant wil nu weten hoe het verder moet worden aangepakt, d.w.z., welke symbolen moeten in welke hoeveelheden onder de hokjes worden gedrukt, opdat ongeveer het begrote totaalbedrag aan prijzen wordt weggegeven? 2 Krantenjongen Om geld te verdienen verkoopt een krantenjongen elke dag kranten op de hoek van een straat. Vroeg in de ochtend koopt hij hiervoor een aantal kranten tegen een bepaalde inkoopprijs in bij de drukkerij. Niemand wil echter het nieuws van gisteren lezen, en dus kunnen de ingekochte kranten alleen op de dag zelf verkocht worden. De kranten die aan het einde van de dag overblijven gaan naar het oud papier. Het probleem is dat de jongen niet van tevoren weet hoeveel kranten hij zal gaan verkopen die dag. Hij wil uiteraard niet te weinig kranten inkopen, maar ook zeker niet teveel. De krantenjongen vraagt jullie om advies betreffende een inkoopstrategie. Stel dat de leverancier aanbiedt de overgebleven kranten terug te kopen (tegen een prijs lager dan de inkoopprijs). De jongen wil graag weten hoe dit jullie analyse en advies verandert. 3
3 Kraken van oud-hollands kienen Een muziekvereniging uit Eindhoven organiseert elke zondag een kienavond. Elke kienavond bestaat altijd uit 41 ronden, en elke keer wordt er e1100 aan prijzengeld gegarandeerd, ongeacht de hoeveelheid aanwezige spelers. Om precies te zijn, in de eerste twintig ronden betaald de vereniging de winnaar e25, en in de laatste ronde krijgt de winnaar e100. Als twee spelers tegelijkertijd winnen, wordt het prijzengeld eerlijk verdeeld over beide spelers. Elke ronde werkt als volgt. Een presentator trekt een steentje uit een juten zak. De steentjes zijn genummerd van 1 tot en met 90, en het nummer van het getrokken steentje wordt omgeroepen. Elke speler bedekt op al zijn of haar kienkaarten het getrokken nummertje. Het steentje wordt daarna weggelegd. Een speler wint als hij of zij de eerste is die een van de zes kleinere kaarten op een kienkaart volledig heeft bedekt. Figuur 2: Een kienkaart. Spelers kunnen op twee momenten kienkaarten kopen. Ze kunnen aan het begin van de avond kienkaarten kopen voor e10 per stuk. Vanaf het moment van kopen, speelt een speler de hele avond met diezelfde kaart. Na de twintigste ronde is er een pauze, en tijdens de pauze kunnen nieuwe spelers inkopen, en huidige spelers kunnen een extra 4
kienkaart kopen, voor e3.75 per stuk. Elke kienkaart is genummerd ter voorkoming van fraude. Er zijn in totaal 150 kienkaarten. Spelers vragen regelmatig naar specifieke kienkaarten, omdat zij door hun eerdere ervaringen geloven dat bepaalde kaarten vaker winnen dan anderen. Het bestuur gedoogt dit, omdat zij weten dat de politie elke individuele kaart heeft gecontroleerd. Iedere week fluctueert het aantal verkochte kienkaarten rond de 110. Het bestuur van de muziekvereniging wil daarom meer inzicht krijgen in hun kienavond, en schakelt jullie in. Het merendeel van het bestuur is geïnteresseerd in de winstkansen van spelers, en de verwachte uitbetalingen. Een enkel bestuurslid vraagt zich af of spelers een voordeel kunnen creëren door bijvoorbeeld specifieke kaarten te kopen, of door inkoopstrategiën toe te passen. 4 Verrijking van onzekere informatie Onze maatschappij is nu, meer dan ooit, verbonden. Daardoor hebben in veel Westerse landen geheime diensten, maar ook bedrijven als Google, EBay en Marktplaats, toegang tot honderden pagina s informatie over ons. Ze weten waar wij wonen, wat ons telefoonnummer is, wat er in onze e-mails staat, en wat wij op onze online profielpagina s zetten. De hoeveelheid persoonlijke informatie dat mensen achterlaten is ongelooflijk. Als iemand op internet zoektermen invult over een tropisch eiland, schat het bedrijf achter de zoekmachine de kans groter in dat deze persoon op vakantie wilt gaan. Achter de schermen vormt het bedrijf een profiel van kenmerken (zoals geslacht, leeftijd, lengte, interesses, hobbies) van elke gebruiker, aan welke kansverdelingen worden toegekend. Uiteindelijk verkoopt het bedrijf deze profielen aan derden. Dit gebeurt niet alleen op het internet. Als je bijvoorbeeld een navigatiesysteem gebruikt, slaat de producent op waar jij rijdt en hoe hard jij rijdt. Ook zij vormen een profiel van jou, en verkopen deze informatie aan derden. Zo is recentelijk dit soort informatie verkocht aan de politie, zodat zij strategisch flitspalen konden plaatsen. Geheime diensten en bedrijven verzamelen zoveel mogelijk van dit soort profielen. Door informatie uit verschillende profielen te combineren, en ook verschillende kenmerken met elkaar te vergelijken, hopen zij een duidelijk profiel te krijgen van een persoon. Het is jullie onduidelijk welke instantie jullie heeft ingehuurd, maar een contactpersoon in pak heeft jullie grof geld aangeboden om een model te leveren en een analyse op te stellen over het nut (of de nutteloosheid) van het combineren van onzekere informatie. Als een concreet eerste probleem kan je denken aan het combineren van informatie over betrouwbaarheid bij verschillende internet verkoopsites. Hoe bepaal je hoe betrouwbaar een persoon is op basis van zijn/haar koop- en verkoopgegevens uit het verkeden? Als Marktplaats en EBay beiden een profiel van een persoon hebben opgemaakt en zijn/haar betrouwbaarheid hebben bepaald, hoe combineer je dan deze informatie? Maakt het verschil of je hoeveel transacties de persoon op beide plekken hebt uitgevoerd? 5
5 Faillissement en risico Een verzekeraar biedt een autoverzekering aan. Klanten moeten e50 inleggen, en vervolgens maandelijks e25 premie betalen. Bij afname van dit product hebben klanten recht op een vergoeding bij schade aan hun auto. De verzekeraar heeft 1193 klanten, en elke maand komen er behalve de premies van alle klanten ook claims binnen. Claims zijn gemiddeld zo n e937.85. Dit komt omdat bijvoorbeeld vervanging van een spiegel minder kost dan vervanging van een motorblok. Uit ervaring weet de verzekeraar ook dat er gemiddeld 30.9 valide claims per maand binnenkomen. De angst heerst dat als meerdere claims achter elkaar volgen, de verzekeraar failliet kan gaan. De verzekeraar wil daarom van jullie een risicoanalyse, en indien nodig, advies over hun product. 6 Optimale inventaris Op de achtergrond van elk ziekenhuis werkt een cateraar, die moet voldoen aan strenge kwaliteitseisen en diversiteit van het aanbod. Dit leidt tot pittige problemen voor de inventaris. In de praktijk fluctueert het aantal patiënten immers van dag tot dag, en de keuzes die patiënten maken uit het menu verschilt van dag tot dag. De benodigde ingrediënten om te voldoen aan de vraag is dan ook stochastisch van aard. Dit ondervangt de cateraar door ingrediënten op te slaan. Eten bederft echter na enige tijd, en dit is zeer gevaarlijk voor patiënten met een verzwakt immuunsysteem. Om sterftegevallen te voorkomen, is de cateraar verplicht al het eten dat ouder is dan vier dagen, te vernietigen, ongeacht de kwaliteit. Het vernietigen van voedsel leidt tot verlies aan de kant van de cateraar. Aan de andere kant moet de cateraar voldoende eten opslaan om te voldoen aan de vraag. De cateraar wil het proces van aardappel tot of ovenschotel, of vuilnisbak, beter begrijpen, en vraagt om jullie expert opinion. Jullie aanstelling werd mede mogelijk gemaakt door een recente discussie of er niet een optimale opslagcapaciteit bestaat. 7 Dynamiek van de politiek De Tweede Kamer bestaat uit 150 kamerleden die ieder een stem mogen uitbrengen. Kamerleden horen bij verschillende politieke partijen, en tot bepaalde politieke stromingen. De meningen zijn uiteenlopend, en coalities moeten vaak worden gevormd. Het behandelen van controversiële wetsvoorstellen kan dan ook leiden tot lange discussies. Aan het begin van een discussie heeft een kamerlid altijd al een mening over het wetsvoorstel, en een kamerlid verdedigt dat standpunt dan ook fervent. Kamerleden staan uiteraard wel open voor andere meningen, en kamerleden kunnen overtuigd worden van een ander standpunt. Of een kamerlid overtuigd wordt, hangt af van de hoeveelheid kamerleden die het concurrerende standpunt verdedigen, en de kwaliteit van de gegeven argumenten. 6
De Algemene Rekenkamer besluit dan ook om kansrekening te gebruiken om het bereiken van consensus te modelleren en te analyseren, en vraagt van jullie een verhelderend rapport. 8 Griepepidemie Een griepepidemie kan worden gezien als een virus dat zich over een netwerk (van een bewegende mensenmassa) verspreid. Wanneer een besmet persoon met een gezond persoon in contact komt kan de ziekte worden overgedragen. Belangrijke karakteristieken zijn de duur en de omvang van de epidemie. Ontwikkel een model voor de verspreiding van het virus. Natuurlijk kan het vaccineren van zowel besmette als gezonde personen helpen. De Centers for Disease Control and Prevention (CDC), gesitueerd in Atlanta, vraagt jullie te onderzoeken hoe vaccinatie een verspreiding van een dodelijk virus kan tegengaan. 9 Matig musiceren tot gemiddeld goed Orkesten bestaan uit zo n 40 muzikanten, en iedere muzikant heeft zijn eigen expertises en kwaliteiten. Muzikanten bespelen houtblaasinstrumenten zoals klarinetten en saxofoons, koperblaasinstrumenten zoals trompetten en trombones, of slagwerkinstrumenten zoals pauken en xylofoons. Sommige muzikanten kunnen zelfs verschillende instrumenten bespelen, maar beheersen wellicht niet ieder instrument even sterk. Voor het orkest staat een dirigent, die aangeeft wanneer iedere muzikant een noot moet spelen. De dirigent doet dit door regelmatig te slaan met een baton. Muzikanten kunnen niet onmiddelijk reageren (ze hebben sowieso een korte reactietijd nodig), en daarom anticiperen ze (onbewust) de tijdsduur tot de elke volgende slag. Dit kan je wellicht gevoel voor ritme noemen. Beginnende muzikanten hebben meer moeite met het anticiperen van de volgende slag (tel), en spelen vaak per ongeluk net voor, of net na, de slag. Hoe beter de muzikant, hoe meer gevoel voor ritme ze hebben, en hoe dichter ze op de slag spelen. Behalve dat muzikanten ritmisch moeten spelen, moeten muzikanten zuiver spelen. Elke gespeelde toon kan vals zijn. Een maat voor hoe vals een toon is, is de cent. Professionele muzikanten kunnen een verschil van zo n 5 tot 6 cents horen en vervolgens de toon corrigeren. Beginnende muzikanten hebben daar meer moeite mee, en hun toon wijkt daardoor vaak verder af van de juiste. Publiek kan typisch valsheid pas identificeren vanaf 25 cents. Als je naar individuele muzikanten luistert, kan je duidelijk horen of iemand goed speelt of niet. Bij een gezamenlijk optreden hoort een publiek echter meerdere muzikanten tegelijkertijd, en is het moeilijker om individuele stemmen te identificeren. De dirigent van het prestigieuze Landelijk Orkest wil het effect van samenspel beter begrijpen, en vraagt zich bijvoorbeeld af of de kwaliteit van een uitvoering schaalt met de grootte van een orkest. Hij eist van jullie een studie. 7
10 Zonnecellenmachinefabrikant Een klein bedrijf in Brabant ontwikkelt en verkoopt machines die zonnecellen produceren. Deze machines maken zonnecellen op ronde schijven, zogenaamde wafers, door middel van chemische depositie. Dit proces gaat af en toe verkeerd, met als gevolg dat de wafer niet-werkende zonnecellen bevat. De Europese wetgeving eist dat zo n machine enkel verkocht mag worden, als de machine tenminste 95% van de tijd wafers produceert met werkende zonnecellen. Omdat dit een harde eis is, en elke machine een prijskaartje heeft van 119.000 euro (dat het bedrijf liever niet terug moet geven na verkoop), besluit het bedrijf elke machine uitvoerig te testen. Alleen als uit de test blijkt dat de machine voldoet aan deze uptime, zal het bedrijf overgaan op levering. De machines zijn zo ontworpen, dat deze volautomatisch kunnen draaien. Een depositie duurt gemiddeld 9 minuten. Het diagnosticeren van een wafer doet de machine in 2 minuten. Als de wafer incorrect is, vergt dit 1 extra minuut. Elke wafer kan zo n 35 keer hergebruikt worden, alvorens deze vervangen moet worden met een nieuwe. Iedere wafer kost zo n 87 euro per stuk, en elke depositie kost het bedrijf ongeveer 2 euro. Het bedrijf huurt jullie in om een testmethode te ontwerpen, waarmee het bedrijf met aan zekerheid grenzende waarschijnlijkheid kan zeggen of een machine voldoet aan de Europese richtlijnen, of niet. Het bedrijf vraagt jullie om rekening houden met de kosten en tijdsduur van de test, en eist als deliverable een rapport waarmee hun klanten overtuigd worden van de testprocedure. 11 Virologie en infectiviteit In de virologie wordt onder andere de infectiviteit van virussen bestudeerd. Virologen gebruiken hiervoor de maat plaque-forming units (PFUs). Eén P F U staat voor het aantal virusdeeltjes dat een zogenaamde plaque kan vormen per eenheid volume. Bijvoorbeeld geeft een oplossing van 1000 P F U/mL Frühsommer-Meningoenzephalitis aan dat 1 ml van deze oplossing genoeg virusdeeltjes bevat om in een monolaag cellen gemiddeld zo n 1000 infectieuze plaques te vormen. Een plaque is een cirkelvormig infectie in een monolaag cellen, die veroorzaakt wordt door één initiële infectie. Om de P F U te bepalen wordt een plaque assay gemaakt. Hierbij wordt een virusoplossing een aantal keer verdund, en iedere verdunning wordt over een twee-dimensionale celcultuur gegoten. Wanneer een of meerdere virusdeeltjes een cel infecteert, zich reproduceerd, en zich daarna enkel lateraal verspreidt, vormt een cirkelvormige plaque. Het aantal plaques (en dus het aantal initiële infecties) kan vervolgens geteld worden, en hieruit volgt het aantal P F U/mL. Het is belangrijk om op te merken dat niet elk virusdeeltje in een oplossing leidt tot een infectie. Een viroloog uit Wageningen vraagt jullie om een wiskundige analyse op te stellen van de P F U. De viroloog is namelijk weinig bekend over aspecten zoals de verdeling van de virusdeeltjes en plaques over de celculturen. Ook vraagt de viroloog zich af of er niet een optimaal aantal verdunning bestaat; als er namelijk te weinig wordt verdund vormen 8
Figuur 3: Een plaque assay. teveel plaques die daardoor niet onderscheiden kunnen worden, en als er te veel wordt verdund vormen geen plaques. Als laatste heeft de viroloog recent bloed afgenomen van een Saimiri oerstedii, en de viroloog vermoedt dat het aapje geïnfecteerd is met een speciaal virus dat enkel kan infecteren nadat drie verschillende componenten van het virus samen zijn gekomen in een cel. Rigoreuze inzichten over het effect van zulke botsingen op de P F U kunnen de viroloog helpen om tot doorbraken te komen. 12 Bloedanalyse Een zelfstandig laboratorium krijgt dagelijks vanuit diverse zorginstellingen buisjes bloed van patiënten aangeleverd om te testen op aanwezigheid van een specifiek soort virusdeeltjes. Het lab heeft de mogelijkheid elk buisje individueel te analyseren, maar dit is tijdrovend en daardoor erg kostbaar. Vandaar dat veel laboratoria in de regel testen van het bloed van verschillende patiënten combineren. Dit gebeurt als volgt: het bloed van een van tevoren vastgesteld aantal personen wordt met elkaar vermengd, waarna de test wordt uitgevoerd op het mengsel. Is de uitslag negatief, dan kan worden geconcludeerd dat geen van de patiënten van wie het bloed in het mengsel aanwezig is, het virus met zich meedraagt. Is deze echter positief, dan zal moeten worden vastgesteld van wie het geïnfecteerde bloed afkomstig is. De laborant kan ervoor kiezen wel elk van de bloedmonsters apart te testen, of nogmaals groep te mengen. Uiteraard is voor elke test een minimale hoeveelheid bloed vereist, waardoor het aantal tests dat met één buisje kan worden uitgevoerd gelimiteerd. Bovendien heeft het bloed een beperkte houdbaarheid. Het management van het laboratorium wil allereerst graag jullie advies over een strategie met betrekking tot het zogenaamde batching van bloedmonsters. 9
Vaak verstrekken de zorginstellinngen die het bloed aanleveren additionele informatie over de gezondheid van de patiënt. Dit heeft tot gevolg dat patiënten in een aantal risicogroepen kunnen worden ingedeeld, waarvan bekend is dat de kans op infectie verschilt. De opdrachtgever zou ook graag willen weten hoe dit bovenstaande strategie verandert. 10