Bepaling an de ISA uit de gegeen snelheden in drie, niet op één rechte gelegen, gegeen punten Citation for published ersion (APA): Meiden, an der, W. (1978). Bepaling an de ISA uit de gegeen snelheden in drie, niet op één rechte gelegen, gegeen punten. (Eindhoen Uniersity of Technology : Dept of Mathematics : memorandum; Vol. 7811). Eindhoen: Technische Hogeschool Eindhoen. Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1978 Document Version: Uitgeers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document ersion of this publication: A submitted manuscript is the ersion of the article upon submission and before peereiew. There can be important differences between the submitted ersion and the official published ersion of record. People interested in the research are adised to contact the author for the final ersion of the publication, or isit the DOI to the publisher's website. The final author ersion and the galley proof are ersions of the publication after peer reiew. The final published ersion features the final layout of the paper including the olume, issue and page numbers. Link to publication General rights Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of priate study or research. You may not further distribute the material or use it for any profit-making actiity or commercial gain You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal. If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the Taerne license aboe, please follow below link for the End User Agreement: www.tue.nl/taerne Take down policy If you beliee that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl proiding details and we will inestigate your claim. Download date: 28. Jun. 2019
TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Onderafdeling d e r Wiskunde Memorandum 19781 september 1978 8epaling an de ISA uit de gegeen snelheden in drie, nie t op een rechte gelegen, gegeen punten door W. an der Meiden Technische Hogeschool Onderafdeling der Wiskunde PO Box 513, Eindhoen Nederland
Bepa 1ing an de ISA uit de gegeen sne 1heden in drie, niet op een rechte ge- 1egen, gegeen punten. 1. Voor de sne1heidserde1ing an e en ruimte1ijke beweging ge1dt instantaan in ieder punt p (1.1 ) w x (0 -+ p) + u waarin 0 een wi11ekeurig punt an d e ISA is, ~ de instantane hoeksne1heid, u de instantane trans1atiesne1heid. De ISA is bijgeo1g 0 + <w> of 0 + <~, daar ~ = S~j sheet de instantane spoed. p,q,r ste11en drie niet op een rechte, in een 1ak W met normaa1ector n ge- 1egen, punten oor. Voorts schrijen we a := q -+ r, ~.= r -+ p, ~ := p -+ q, en merken op dat a + b + C = Q, (~,~) = (~,~) = (~,~) = 0 en dat a x b b x c c x a. We ste11en n.= ~ x ~I~ x ~I. 2. o dan en slechts dan als u o /\ W O. Uit (1.1) o1gt immers ( 2.1) - - W x c - w x a - V III X b zodat het gegeen leidt tot w x a = w x b = OJ aangezien a en b 1ineair onafhanke1ijk zijn, o1gt w = Q, en, met (1.1), ook ~ = Q. Het omgekeerde o1gt direct uit (1.1). De beweging is instantaa n in rust, dat wi1 zeggen stationair. = dan en slechts dan als w 0. Dit o1gt uit het oorgaande. De beweging is instantaan een translatie. 3. We onderzoeken det[,, J. det[~p'~q'~) = det[w x (0 -+ p) +.!::, w x (o-+q) +.!::' w x (0-+ r) + uj det[w x ~, -w x ~, ~ x (0 -+ r) + uj det[w x ~, w x ~, uj Derhale is det[,, J 0 a1s w = 0 u O. Het gea1 w 0 is in 2 besproken. Het gea1 u o correspondeert met een instantane rotatie, waarbij uit de gegeen ~p' ~q en ~r de draaiingsas en ~ op oor de hand 1iggende manier kunnen worden afgeleid.
- 2 - We oey'ondey'bteuen Ui het oey'oo lg w f- 0 /\ uf-o. 4. Het geal det[~,~,~ ] = O. Dit betekent dat w = aa + S~, anders gezegd, (~,~) = 0, nog an?ers gezegd: o + <~> I~. Zij!!!. : = ~ I~I. Dan is {!!!.,~,!!!. x n} een orthonormale basis. Voor een willekeurig punt x E W is o + x = ~!!!. + nn + sm x n. Merk op dat n oor aile x E W dezelfde is. Nu is, met -=, -x = w x (0 + x) + u = I~I!!!. x (s~ + nn + S!!!. x n) + sl~ l ~ zodat d e normale component -sl~l~ an x afhangt, maar de andere component, nl~l!!!. x ~ + sl~i!!!., niet; deze is oeral in W dezelfde. Met de normale componenten kan men dus de projectie an de ISA op W ai construeren, waarmee ook de richting an m, w of u (op het teken na) is astgeiegd. Anaiytisch kan men ~ als oigt berekenen: Uit - w x a w x b -Sa x b aa x b oigt ( -,n) - 3 det[a,b,n] -- - ( -,n) - w det[a,b,n ] {( ---,n) a -- (,n)b} - - I~ x ~1-2{(~p -,a x b)a - (,a x b)b} = - -2 1 ~ x ~ 1 {(~p'~ x b)a + (~q'~ x b)b + (~r'~ x b)c} Hierdoor is w oiledig bepaald. 5. Veronderstei nu dat det[,, ] f- O. Uit (1.1) oigt, door inwendig met w te ermeniguidigen (,w) - (,w) - (,w) -
- 3 - Schrijf V.= heeft T,dan is V T T (det V) [ x V, V X V, x J en men s (~,~) (det V) [ x :t x '*" x ] Hieruit oigt s(w,w) [ ( x ) x b + ( x ) x b + ( x ) x b] det V s(w,w) [ (,b) + (,b) - (,b) - (,b) } det V - - - - Nu is (,b) - (,b), en cyciisch (equiprojectiiteit), dus - - s(w,w) [ [(,b) det V - (,b)] + [(,b) - (,b)]} - - - e n s (w, w ) ( det V,b) ( - ) ( -,b) det V, - w ( -,b) [ x - + x + x ] Met behuip an de equiprojectiiteit en de identiteit a + b + C dat Q blijkt ( -,b) - ( -,c) - ( -,c) - ( - V,a) - ( -,a) - ( -,b) - zodat de asymmetrie in de factor y.- ( -,b) siechts schijnbaar is: w Y [ x + x + x ] s (~,~) y det V, u -2 (~,~) y det V[ x + x + x ] Beschouw het iak W door p, q en r; n is de normaaiector (met I!!I 1) i
- 4 - zij 0 het snijpunt met de isa. Noem d e projeeties an u,,, op W op - nie uw u,,v,. - (Uit V - (,n)n oigt dat de projeeties (,e) (e,e) e en (,e) (e,e) e -- - - - - - - - - an en op de iijn door p en q gelijk zijn (hetgeen ook meetkundig direet duidelijk is).) Verbind nu p met 0; de projeeties an u en op deze iijn zijn geiijk; dat wii zeggen dat 0 ~ p ~ -~. Zij nu 0 = AP + ~q + r met A + ~ + = 1. - -0 ~ p = ~p ~ q + p ~ r = ~~ - b..e., De ergeiijking wordt dus (~~ Voor 0 ~ q en 0 ~ r geidt hetzeifde. Dus ~) 0, of ook (~_e -.e., - u) = o. -A(e, - A(b, - u) u) ~(e, - ~(a, - u) (b, - + (a, - u) u) o u) o o Merk op dat (a, - u) - (~':::r [ - ~J x (b, - u) - - (e, u) - - (a, - o, ~), enzooort. Er staat dan zodat [A,~,V] p[ (a, - u), (b, -u),(e, -u)]metp z6data + ~+ =1: - - - - (a, ) + (b, ) + (c, ) = (a, - ) + (b, - ) y, - - - - - dus p Y en o = y \' (a, _~) p ld - zodat P + y (b,)e y (c, )b - - - - p + y (b, ) c y (c,)b - - - - o = P + Y ( x e) x ( - u) Y ( e) P + x x Dit geidt aitijd tenzij y o.
- 5 - Lemma. y o d. e. s. d. a l s (~,~) o. Bewijs. Als (~,~) o dan i s w eta + Sb, en y ( - b) '- e n omgekeerd. 0 0, Het geal y 0 correspondeert dus met 4.