UvA-DARE (Digital Academic Repository) Martingales and diffusions, limit theory and statistical inference van Zanten, J.H. Link to publication Citation for published version (APA): van Zanten, J. H. (2001). Martingales and diffusions, limit theory and statistical inference General rights It is not permitted to download or to forward/distribute the text or part of it without the consent of the author(s) and/or copyright holder(s), other than for strictly personal, individual use, unless the work is under an open content license (like Creative Commons). Disclaimer/Complaints regulations If you believe that digital publication of certain material infringes any of your rights or (privacy) interests, please let the Library know, stating your reasons. In case of a legitimate complaint, the Library will make the material inaccessible and/or remove it from the website. Please Ask the Library: http://uba.uva.nl/en/contact, or a letter to: Library of the University of Amsterdam, Secretariat, Singel 425, 1012 WP Amsterdam, The Netherlands. You will be contacted as soon as possible. UvA-DARE is a service provided by the library of the University of Amsterdam (http://dare.uva.nl) Download date: 07 Dec 2018
Samenvatting g Martingalenn en diffusies limiett theorie en statistiek Inn dit proefschrift bestuderen we diffusieprocessen en martingalen. Diffusies wordenn in vele takken van de toegepaste stochastiek gebruikt. Het fundamentelee voorbeeld is de Brownse beweging, die de onregelmatige bewegingen vann stuifmeel deeltjes in water modelleert. Andere klassieke voorbeelden vann diffusieprocessen in de natuurkunde en de genetica zijn het Ornstein- Uhlenbeckk proces en het Wright-Fisher proces. Sinds het werk van Black en Scholess (1973) en Merton (1973) op het gebied van het prijzen en 'hedgen' vann opties, spelen diffusieprocessen en stochastische differentiaalvergelijkingenn ook een belangrijke rol in de financiële wiskunde. Ze worden gebruikt omm allerlei financiële tijdreeksen te modelleren, zoals aandelenprijzen, wisselkoersenn en rentestanden. Err bestaat al een enorme hoeveelheid literatuur over statistiek voor diffusieprocessen.. Het is een onderzoeksgebied dat nog steeds snel groeit, in belangrijkee mate gemotiveerd door toepassingen in de financiële wiskunde. Vergelekenn met andere deelgebieden van de statistiek is de statistiek voor diffusieprocessenn nog steeds relatief jong. Er zijn dan ook veel vragen die nogg beantwoord moeten worden. In dit proefschrift richten we ons in het bijzonderr op problemen die verband houden met het asymptotisch gedrag van statistischee procedures voor diffusies. We ontwikkelen nieuwe limiet theorie voorr diffusieprocessen en passen die toe in de asymptotische analyse van verschillendee parametrische en niet-parametrische schatters. Martingalenn spelen een belangrijke rol in de theorie van diffusies en stochastischee differentiaalvergelijkingen. Limietstellingen voor martingalen zijnn onmisbaar voor het bewijzen van asymptotische statistische resultaten. Martingaaltheoriee is een onderdeel van de kansrekening dat al zeer ver ontwikkeldd is, maar soms zijn aanvullingen of uitbreidingen toch wenselijk. Een aanzienlijkk deel van het proefschrift is daarom gewijd aan martingalen. Dit
116 6 Samenvatting g werkk is steeds gemotiveerd door de statistische kwesties die hierboven zijn geschetst,, maar het toepassingsgebied van martingalen is natuurlijk veel groter.. Dee eerste vier hoofdstukken behandelen continue martingalen en diffusieprocessen.. In hoofdstuk 1 over continue martingalen wordt een aantal bekendee resultaten verbeterd of uitgebreid, waaronder de Bernstein ongelijkheidd voor continue martingalen en de centrale limietstelling voor multivariate,, genormaliseerde continue locale martingalen. Verder beschouwen we entropiee methoden voor continue martingalen. Dit materiaal wordt gebruiktt in hoofdstuk 2 om nieuwe uniforme limietstellingen voor reguliere diffusieprocessenn te bewijzen. In hoofdstuk 3 wordt de limiet theorie van dee eerste twee hoofdstukken gebruikt om kernschatters voor reguliere diffusiess te bestuderen. De asymptotische eigenschappen van schatters voor de invariantee dichtheid en zijn afgeleiden worden onderzocht. We beschouwen uniformee convergentie, convergentiesnelheden en asymptotische verdelingen. Hoofdstukk 4 behandelt diffusies die worden gegenereerd door stochastische differentiaalvergelijkingen.. Verschillende aspecten van het probleem van het schattenn van de drift functie worden onderzocht, zowel vanuit parametrisch alss vanuit niet-parametrisch gezichtspunt. Inn hoofdstukken 5 en 6 verplaatsen we ons naar de wereld van de martingalenn met sprongen. Een aantal resultaten uit hoofdstuk 1 wordt verder uitgebreid.. Het werk in hoofdstuk 5 is gericht op het samenbrengen van een aantall verschillende Bernstein-achtige ongelijkheden uit de literatuur. We latenn zien dat die opgevat kunnen worden als speciale gevallen van een meer algemeenn resultaat. In het afsluitende hoofdstuk 6 gebruiken we een algemene versiee van Skorohod's inbeddingsstelling om een kort bewijs te geven van een centralee limietstelling voor martingalen met sprongen.