UvA-DARE (Digital Academic Repository) Holographic renormalization for Lifshitz spacetimes Holsheimer, K. Link to publication

Transcriptie

1 UvA-DARE (Digital Academic Repository) Holographic renormalization for Lifshitz spacetimes Holsheimer, K. Link to publication Citation for published version (APA): Holsheimer, K. (2014). Holographic renormalization for Lifshitz spacetimes General rights It is not permitted to download or to forward/distribute the text or part of it without the consent of the author(s) and/or copyright holder(s), other than for strictly personal, individual use, unless the work is under an open content license (like Creative Commons). Disclaimer/Complaints regulations If you believe that digital publication of certain material infringes any of your rights or (privacy) interests, please let the Library know, stating your reasons. In case of a legitimate complaint, the Library will make the material inaccessible and/or remove it from the website. Please Ask the Library: or a letter to: Library of the University of Amsterdam, Secretariat, Singel 425, 1012 WP Amsterdam, The Netherlands. You will be contacted as soon as possible. UvA-DARE is a service provided by the library of the University of Amsterdam ( Download date: 09 Nov 2017

2 Samenvatting In de theoretische fysica houdt men zich bezig met de theoretische beschrijving van fysische systemen. Het concept van een fysisch systeem is vrij breed en de precieze betekenis hangt af van de vragen die men stelt. Je zou je bijvoorbeeld kunnen afvragen hoe een bepaald stukje metaal elektrische stroom geleidt. Het systeem waar we het dan over hebben is het stukje metaal in een bepaalde meetopstelling in een laboratorium. Een andere vraag die je zou kunnen stellen is: hoe snel dijt het heelal uit? In dat geval is het hele heelal het fysische systeem. Een theoretische beschrijving van een fysisch systeem noemt men een theorie. De term theorie heeft in de natuurkunde een iets preciezere betekenis dan in het dagelijks gebruik. Een natuurkundige theorie is een wiskundig model die men in staat stelt voorspellingen te doen over de uitkomst van experimentele metingen. Het meest bekende voorbeeld van een theorie zijn de wetten van Newton: 1) traagheid van massa, 2) kracht = massa versnelling (F = m a) en 3) actie = reactie. Deze theorie stelt ons in staat om bijvoorbeeld de beweging van een biljartbal te voorspellen. Naast dat een natuurkundige theorie het voorspellen van de uitkomst van een metingen mogelijk maakt, geeft het veelal ook inzicht in het mechanisme dat verantwoordelijk is voor zo n uitkomst. Dit laatste maakt de theoretische fysica zo interessant. Toch is het goed om wel op te passen voor de valkuil waarin een waardoor-vraag wordt verward met een waarom-vraag; natuurkundige theoriëen zijn enkel in staat waardoor-vragen te beantwoorden. In sommige gevallen bestaan er meerdere theoretische beschrijving van een enkel fysisch systeem. Omdat de natuurkundige inhoud van de theoriëen uiteindelijk hetzelfde moet zijn, zijn deze theoriëen equivalent. Men spreek dan van een dualiteit; de theoriëen zijn duaal aan elkaar. In dit proefschrift staat een bepaalde dualiteit centraal die afkomstig is uit de snarentheorie. Voordat we deze dualiteit bespreken is het handig om een klein beetje achtergrond van de snarentheorie te geven.

3 Samenvatting 130 Snarentheorie Snarentheorie is de uitkomst van een lange zoektocht naar een allesomvattende fundamentele theorie. Hoewel de snarentheorie nog lang niet compleet is, zijn er goede aanwijzingen dat men op het goede spoor zit. Bovendien is de snarentheorie op dit moment de enige serieuze kandidaat voor een allesomvattende theorie. De belangrijkste taak van een allesomvattende theorie is dat het alle bestaande fundamentele theoriëen samenvoegt in één overkoepelende theorie. De fundamentele natuurkrachten zijn de zwaartekracht, de elektro-magnetische kracht en de zwakke en sterke kernkrachten. De elektro-magnetische kracht en de zwakke en sterke kernkrachten zijn al samengevoegd in het zogenaamde standaard model van de deeltjesfysica. Het standaard model beschrijft de interactie tussen subatomaire deeltjes met ongekende precisie. Vanwege de minuscule afmeting van zulke deeltjes is het nodig om quantum-mechanica te gebruiken in de beschrijving van het standaard model. De enige kracht die niet door het standaard model wordt beschreven is de zwaartekracht. Voor de zwaartekracht hebben we een andere theorie, namelijk de algemene relativiteitstheorie. In tegenstelling tot het quantum-mechanische standaard model, waar men hele kleine objecten beschrijft, is de algemene relativiteitstheorie juist van toepassing op hele grote objecten. Het is gebleken dat het ontzettend moeilijk is om de algemene relativiteitstheorie en de quantummechanica samen te voegen in één theorie. Een quantum-mechanische theorie is van toepassing als we te maken hebben met zeer kleine objecten. Heisenberg s onzekerheidsrelatie staat toe dat energiebehoud voor een zeer korte tijd wordt geschonden. Dit geeft de mogelijkheid tot het ontstaan van een deeltje/anti-deeltje paar op voorwaarde dat deze binnen zeer korte tijd weer op elkaar botsen en daarmee annihileren. Dit heeft grote gevolgen voor de beweging van subatomaire deeltjes. Het onderscheid tussen de paden die een klassiek en een quantum deeltje volgen is schematisch afgebeeld in Afbeelding 1. Hier is te zien dat een quantum deeltje kan opsplitsen in twee virtuele deeltjes die na zeer korte tijd weer klassiek quantum Afbeelding 1: Het pad van een klassiek en een quantum-mechanisch punt-deeltje. De stippellijn geeft het pad van een virtueel deeltje aan. De tijd loopt van links naar rechts.

4 131 Samenvatting samenkomen als het originele deeltje. De twee virtuele deeltjes vormen een gesloten lus die bekend staat als een quantum-lus. We zien straks dat het pad van een quantum-mechanisch snaartje een soortgelijke lus bevat. Het belangrijkste inzicht van de snarentheorie is dat elementaire deeltjes kunnen worden geïnterpreteerd als verschillende trillingspatronen van hetzelfde snaartje. Zo worden alle deeltjes voortgebracht door een enkel elementair snaartje. Men maakt het onderscheid tussen open en gesloten snaren, zie Afbeelding 2. open gesloten Afbeelding 2: Open en gesloten snaren. Holografische Dualiteit Laten we gaan kijken naar de dualiteit waar dit proefschrift op gebaseerd is: holografische dualiteit of simpelweg holografie. Een holografische dualiteit is een bijzondere equivalentie tussen een zwaartekrachttheorie en een quantum-mechanische veldentheorie. Quantum-veldentheorie begrijpen we conceptueel veel beter dan quantum-zwaartekracht. Holografie geeft ons dus een handzame definitie voor quantum-zwaartekracht. Andersom kan holografie ook gebruikt worden om ingewikkelde problemen in quantumveldentheorie op te lossen in termen van een simpel zwaartekrachtmodel. Om een idee te krijgen wat de onderliggende reden is dat er zoiets kan bestaan als een equivalentie tussen een zwaartekrachttheorie en een quantummechanische veldentheorie hebben we twee ingrediënten nodig. Het eerste ingrediënt is dat men heeft bevonden dat de gesloten snaren verantwoordelijk zijn voor de zwaartekracht, terwijl de open snaren gerelateerd zijn aan deeltjes die enigszins lijken op de elementaire deeltjes uit het standaard model van

5 Samenvatting 132 de deeltjesfysica. 2 In het kort hebben we dus de volgende relaties: open snaren quantum-veldentheorie gesloten snaren zwaartekracht Voor het tweede ingrediënt bekijken wat voor pad een snaar bewandelt in de tijd, zie Afbeelding 3. Het pad van een klassieke open snaar vormt een plat oppervlak en het pad een klassieke gesloten snaar vormt een buis-vormig oppervlak. Zoals we eerder zagen hebben we in de quantum-mechanica te maken met virtuele deeltjes. Op dezelfde manier kunnen we ook kijken naar het pad van een quantum-mechanisch snaartje. Zo n snaartje kan opsplitsen (net als een quantum punt-deeltje) in twee virtuele snaartjes die na zeer korte tijd weer samenkomen. open, klassiek open, quantum gesloten, klassiek gesloten, quantum Afbeelding 3: Snaartjes die door de tijd bewegen volgen een twee-dimensionaal traject. De tijd loopt van links naar rechts. Laten we nu even onze aandacht richten op de quantum-lus in het pad van het quantum-mechanische open snaartje. We zien dat deze buisvormig is. We zagen eerder al dat het klassieke pad van een gesloten snaartje ook buisvormig is. In Afbeelding 4 zetten we de twee paden naast elkaar. We zagen zojuist dat een quantum-mechanische open snaar kan worden geïnterpreteerd als een klassieke gesloten snaar. Uiteindelijk (na enig rekenwerk) volgt hieruit dat bepaalde quantum-veldentheoriëen (open snaren) kunnen worden vertaald naar een klassieke zwaartekrachttheorie (gesloten snaren). 2 Het is helaas niet mogelijk om in een paar zinnen (of pagina s) te beredeneren waarom dit het geval is. (Mijn excuses voor het weglaten van deze logische stap!)

6 133 Samenvatting = open, quantum gesloten, klassiek Afbeelding 4: Het traject van een quantum-mechanisch open snaartje is gelijk aan dat van een klassiek gesloten snaartje! Waarom holografie? Een hologram is een drie-dimensionaal beeld dat wordt gegenereerd door een twee-dimensionaal vlak, zie bijvoorbeeld Afbeelding 5. De reden dat de equivalentie tussen deze quantum-veldentheoriëen en zwaartekrachttheoriëen holografisch wordt genoemd heeft te maken met het feit dat de zwaartekrachttheorie is gedefiniëerd in één extra ruimtedimensie vergeleken met de quantum-veldentheorie. 3 Zwaartekracht kan dus worden gezien als een holografisch beeld van een lager-dimensionale quantumveldentheorie. Afbeelding 5: Een hologram. Als je lang genoeg naar dit plaatje staart kom er een drie-dimensionaal beeld tevoorschijn. In dit proefschrift. De enige systemen waar tot nu toe een holografische dualiteit voor bestond zijn relativistisch, wat betekent dat de deeltjes in zo n theorie heel snel bewegen. Er zijn echter veel systemen waarin de deeltjes niet heel snel bewegen. Zulke systemen worden dan niet-relativistisch genoemd. 3 Zo kan bijvoorbeeld een drie-dimensionale zwaartekrachttheorie worden vertaald naar een twee-dimensionale quantum-veldentheorie.

7 Samenvatting 134 In dit proefschrift is een versie van holografie ontwikkeld voor systemen die niet-relativistisch zijn. Niet-Relativistische Systemen Om een beetje een gevoel te krijgen wat het verschil is tussen relaticistische en niet-relativistische systemen. DekinetischeenergieE kin. vaneenrelativistisch deeltje is evenredig met de kinetische impuls p = mv: 4 E kin. = pc. (relativistisch / snel) De evenredigheidsconstante is de lichtsnelheid c. Aan de andere kant weten dat voor een niet-relativistisch deeltje de kinetische energie niet evenredig is met p, maar met het kwadraat van de impuls, p 2 : E kin. = 1 2 mv2 = p2 2m. (niet-relativistisch / langzaam) Hier is de evenredigheidsconstante 1/2m. Deze laatste formule geldt voor deeltjes die met een relatief lage snelheid bewegen. Zoals eerder vermeld, waren er tot nu toe alleen holografische dualiteiten bekend voor relativistische systemen, oftewel van het type E = pc. Het doel van dit promotieonderzoek is het opzetten van een versie van holografie voor niet-relativistische systemen, oftewel van het bekendere type E = 1 2 mv2. Een korte afleiding van de bovenstaande formules. Tot slot doen we voor de geïnteresseerde lezer een kleine berekening om de bovenstaande formules (E kin. = pc en E kin. = 1 2 mv2 ) af te leiden. De bekendste formule uit de relativiteitstheorie is E = mc 2, oftewel de energie E van een object is evenredig met zijn massa m (de evenredigheidsconstante is het kwadraat van de lichtsnelheid c). Om iets preciezer te zijn is het alleen de rust-energie die gelijk is aan mc 2. De totale energie E is de som van de rust-energie E rust en de kinetische energie E kin., dus E = E rust +E kin, en de volledige formule luidt: ( p ) 2. E = γmc 2, γ = 1+ mc De factor γ staat bekend als de Lorentz-factor en p = mv is de kinetische impuls. Voor een relativistisch object is de kinetische impuls p veel groter dan 4 m is de massa van het deeltje en v is zijn snelheid.

8 135 Samenvatting mc (de rustmassa keer de lichtsnelheid). Dit betekent (p/mc) 2 veel groter is dan 1, waardoor de Lorentz-factor reduceert tot: ( p ) 2 ( p ) 2 p γ = 1+ = mc mc mc. (relativistisch) Aan de andere kant, een niet-relativistisch object heeft een kinetische impuls p die juist veel kleiner is dan mc, dus (p/mc) 2 is dan veel kleiner dan 1. De Lorentz-factor reduceert in dat geval tot: ( p ) 2 1 p ) 2. γ = (niet-relativistisch) mc 2( mc Hier gebruikte we de standaard formule 1+x x, die geldt als x een klein getal is. 5 Hieruit volgt dan dat de totale energie wordt gegeven door: E = γmc 2 pc (relativistisch) mc 2 + p2 2m (niet-relativistisch) (A.173) In het niet-relativistische geval krijgen we het bekende resultaat, waar de rustenergie en kinetische energie worden gegeven door E rust = mc 2 en E kin. = 1 2 mv2 (omdat p = mv). Inhet relativistische geval zien wedat derust-energie helemaal geen bijdrage geeft aan de totale energie, zodat E E kin. = pc. 5 Deze standaard formule is een voorbeeld van een Taylor-benadering.