Reparatie methodebreuken 0e in tijdreeksen en met arbeidsen financiële gegevens

Transcriptie

1 08 Reparatie methodebreuken 0e in tijdreeksen en met arbeidsen financiële gegevens R.H.M. van der Stegen, M. Kardal en T.C.J. de Wit Publicatiedatum CBS-website: 16 december 2009 Den Haag/Heerlen

2 Verklaring van tekens. = gegevens ontbreken * = voorlopig cijfer x = geheim = nihil = (indien voorkomend tussen twee getallen) tot en met 0 (0,0) = het getal is kleiner dan de helft van de gekozen eenheid niets (blank) = een cijfer kan op logische gronden niet voorkomen = 2007 tot en met /2008 = het gemiddelde over de jaren 2007 tot en met / 08 = oogstjaar, boekjaar, schooljaar enz., beginnend in 2007 en eindigend in / / 08 = oogstjaar, boekjaar enz., 2005/ 06 tot en met 2007/ 08 In geval van afronding kan het voorkomen dat het weergegeven totaal niet overeenstemt met de som van de getallen. Colofon Uitgever Centraal Bureau voor de Statistiek Henri Faasdreef JP Den Haag Prepress Centraal Bureau voor de Statistiek - Grafi media Omslag TelDesign, Rotterdam Inlichtingen Tel. (088) Fax (070) Via contactformulier: Bestellingen verkoop@cbs.nl Fax (045) Internet Centraal Bureau voor de Statistiek, Den Haag/Heerlen, Verveelvoudiging is toegestaan, mits het CBS als bron wordt vermeld.

3 1. Inleiding Decennialang maakt het CBS al de zogenaamde productiestatistieken (PS), die arbeidsen financiële gegevens van bedrijven bevatten. Door de jaren heen zijn echter om verschillende redenen breuken ontstaan in de gepubliceerde cijfers. Ook waren de gegevens van sommige jaren beperkt. Doordat de gegevens dus niet meer op elkaar aansloten, werden de PS-cijfers in aparte tabellen gepubliceerd. Om dit op te lossen, zijn voor de belangrijkste variabelen uit de PS voor zover mogelijk doorlopende reeksen samengesteld vanaf De breuken die in de originele data zaten zijn gerepareerd met diverse methoden. Het project reparatie methodebreuken in tijdreeksen met arbeids- en financiële gegevens is een samenwerking tussen het Expertisecentrum Lange Tijdreeksen en de afdelingen BSH en BSV. Binnen het Speerpunt Handel en diensten (BSH) werd gewerkt aan een lange tijdreeks van de arbeids- en financiële variabelen voor bedrijfstakken in het transport, de handel en de dienstverlening. Het doel van dit project was om de verzamelde deelreeksen door reparatie aan elkaar te koppelen en ontbrekende gegevens aan te vullen. In hoofdstuk 2 wordt ingegaan op het theoretische verschil tussen methodebreuken en trendbreuken. Hoofdstuk 3 beschrijft de te repareren data en de verschillende oorzaken van de methodebreuken in de tijdreeksen. Vervolgens wordt in het vierde hoofdstuk aangegeven welke reparatie methoden gebruikt kunnen worden. Het vijfde hoofdstuk tenslotte beschrijft de hier toegepaste reparatiemethoden. 2. Verschil tussen methodebreuken en trendbreuken Onder een methodebreuk wordt verstaan een breuk in een tijdreeks van een bepaalde variabele die veroorzaakt wordt door verandering in de methode van waarnemen of verwerken van de variabele. De ontwikkeling is dus niet het gevolg van verandering in een (economische) grootheid in de werkelijkheid, maar de ontwikkeling wordt veroorzaakt door een verandering in de methode van verwerving en verwerking van de broninformatie. Voorbeelden van oorzaken van methodebreuken zijn de invoering van een nieuw bedrijvenregister of een nieuwe bedrijfstakindeling. Als er een methodebreuk is, wordt meestal met een nieuwe tabel op Statline begonnen. In dit project worden voor een aantal variabelen verschillende methodebreuken gerepareerd zodat een langere, in de tijd vergelijkbare, reeks voor die variabelen ontstaat. Ten onrechte wordt de term trendbreuk veel gebruikt als een methodebreuk bedoeld wordt. Een trendbreuk is een verandering van de trend (of lange termijn ontwikkeling) in een (economische) variabele. Een trendbreuk in de data geeft juist een reële verandering ten opzichte van de oude situatie weer. Trendbreuken kunnen bijvoorbeeld veroorzaakt worden door stimuleringsmaatregelen van de overheid, wetgeving of een economische crisis. Het mag duidelijk zijn dat het zonder achtergrond informatie onmogelijk is om een methodebreuk van een trendbreuk te onderscheiden, want beide typen breuken kunnen hetzelfde effect op de getallen in de tijdreeks hebben. Als het zo moeilijk is om methodebreuken te scheiden van trendbreuken waarom veroorzaakt het CBS dan methodebreuken? Er kunnen meerdere redenen zijn om de meetmethode te wijzigen, een paar voorbeelden zijn: Gewenste lastenverlichting van het bedrijfsleven waardoor minder geënquêteerd moet worden of anders geënquêteerd moet worden. Technische ontwikkelingen waardoor efficiënter gewerkt kan worden met een ander productiesysteem. Ontwikkelingen in de maatschappij waardoor een oude, bijvoorbeeld bedrijfstak-, indeling niet voldoen omdat bij het maken van de bedrijfstakindeling de mobiele telecommunicatie of internet nog niet bestond. 3

4 Als de grootte van de breuk bekend is, dan moet een deel van de tijdreeks gecorrigeerd worden, zodanig dat het ene deel van de reeks vergelijkbaar wordt met het andere deel van de tijdreeks. In de meeste gevallen (en ook in dit onderzoek) worden de oudere delen van de tijdreeks aangepast om aan te sluiten bij het meest recente gedeelte. Hierdoor hoeven correctiefactoren uit het verleden niet op de nieuwste data gezet te worden om een vergelijkbare reeks te krijgen, maar kan de nieuwste data zonder correctie gepubliceerd worden. Op deze manier wordt optimaal de huidige situatie beschreven. In andere, specifieke, gevallen kan echter ook anders besloten worden. 3. Data In dit hoofdstuk wordt de data beschreven waarmee het onderzoek is uitgevoerd. Als eerste worden de variabelen beschreven en ten tweede worden de oorzaken van methodebreuken gegeven. 3.1 Variabelen Het betreft tijdreeksen van de volgende variabelen: Aantal bedrijven, Werkzame personen, eenheid gemiddeld aantal en VTE s Bedrijfsopbrengsten, bestaande uit de volgende deelvariabelen die optellen tot de opbrengsten, eenheid miljoen euro: Bedrijfslasten Bedrijfsresultaat Resultaat voor belastingen, eenheid miljoen euro. Deze variabelen zijn beschikbaar voor de bedrijfstakken over een periode gegeven in de onderstaande tabel. Bedrijfstak SBI Periode Opmerkingen Handel en reparatie auto s en motorfietsen VTE s: handel in en reparatie auto s VTE s: import nieuwe personenauto s VTE s: handel en reparatie personenauto s VTE s: handel en reparatie van auto s VTE s: handel in auto-onderdelen en accessoires VTE s: handel in en reparatie motorfietsen VTE s: benzinestations VTE s: Groothandel Wp: Detailhandel (geen apotheken) 5210a Wp: Horeca VTE s: hotels, pensions, conferentie-oorden VTE s: campings, jeugdherb., bungalowparken VTE s: restaurants, cafetaria s e.d VTE s: café s e.d VTE s: kantines en catering VTE s: Vervoer over land Wp: Vervoer over water Wp: Vervoer door de lucht Wp: Dienstverlening voor vervoer Wp: Post en telecommunicatie Wp: Computerbranche, informatietechnologie VTE s: Accountants, boekhoudbur, belast. adv VTE s: Architecten-, ingenieursbureau s e.d VTE s: Reclamebureaus e.d VTE s:

5 Bij de bedrijfstakken zijn er twee bedrijfsgroepen die optellen tot een totaal, dit zijn: De autohandel (SBI 50): bestaat uit import van auto s (SBI 501), autoservicebedrijven (SBI 502), handel in auto-onderdelen (SBI 503), handel in motorfietsen (SBI 504) en benzinestations (SBI 505). De horeca (SBI 55): bestaat uit de logiesverstrekking (SBI 551), recreatie (SBI 552), maaltijd- en spijsverwerking (SBI 553), drankverstrekking (SBI 554) en catering (SBI 555). Voor de resultaten van de reparatie is het van belang dat de relaties tussen een aantal variabelen (bedrijfsopbrengst, -lasten, en resultaat blijven bestaan. Daarnaast moeten de reeksen van bovengenoemde bedrijfsgroepen dus ook blijven optellen tot de bedrijfstakken. Het is essentieel dat na reparatie deze relaties nog steeds gelden. 3.2 Methodebreuken In de periode 1987 t/m 2007 zitten de volgende methodebreuken in bovenstaande tijdreeksen: Tussen 1992 en 1993 is een nieuwe bedrijfsindeling ingevoerd: het CBS is overgaan van SBI 74 op SBI 93. Tussen 1999 en 2000 is nieuwe vragenlijst met verwerkingsmethodiek in gebruik genomen. Tussen 2005 en 2006 is het CBS overgegaan op een nieuw bedrijvenregister. 4. Methoden voor het repareren van methodebreuken De oorzaken en gevolgen van methodebreuken kunnen voor de verschillende jaren en bedrijfstakken verschillen. Daarom is het niet mogelijk slechts één recept te hebben voor het corrigeren van methodebreuken. Een eerste afweging die gemaakt moet worden is of het uitgangspunt van de methodebreukreparatie de microdata (lees ingevulde enquête formulieren) is of dat macro- (lees gepubliceerde) resultaten gebruikt worden voor het berekenen van de breuk. Vanuit de microdata opnieuw bewerken is alleen in specifieke gevallen toepasbaar. Ten eerste moet de microdata nog aanwezig zijn, ten tweede moet het terugleggen van bewerkingen die de methodebreuk veroorzaken mogelijk en nauwkeurig zijn over de gehele periode van de tijdreeks. Tot slot moet de capaciteit beschikbaar zijn want het is veel werk. Aan deze eisen is niet voldaan. Daarom is voor het huidige onderzoek gekozen om de reeds gepubliceerde resultaten te bewerken (macromethode). 4.1 Overzicht macro reparatiemethoden In het algemeen geldt de volgende voorkeursvolgorde voor methoden voor het repareren van methodebreuken in gepubliceerde tijdreeksen, echter afhankelijk van de kwaliteit van de data kan tot een andere indeling besloten worden: 1. In de meest gewenste situatie is er een waarneming volgens de oude methode en waarneming volgens de nieuwe methode voor hetzelfde tijdstip. Als er tussen deze waarnemingen een verschil zit, wordt dit verschil gebruikt om het ene deel van de tijdreeks te laten aansluiten op het andere. Als er geen verschil is, is er geen correctie nodig. 2. Als er geen dubbele waarneming is, kan er gebruik gemaakt worden van een hulpvariabele die niet dezelfde breuk heeft, maar toch een sterke correlatie heeft met de te repareren tijdreeks. Met behulp van een econometrisch model kan vervolgens de breuk geschat worden. Dit model kan een zeer eenvoudig model zijn waarbij de mutatie van de gerelateerde variabele genomen wordt als proxy voor de mutatie in de te repareren variabele. Er zijn ook complexer model mogelijk waarbij de tijdreeksen over een langere periode met elkaar worden vergeleken door middel van bijvoorbeeld een ARIMA- of een State Space model. 3. In veel gevallen zijn de eerste twee methoden echter niet bruikbaar omdat er en geen dubbele waarneming is (of gegevens volledig ontbreken), en er geen verklarende varia- 5

6 belen aanwezig zijn. De enige oplossing die rest is het gebruik van complexe econometrische modellen zoals state-space modellen. Met dergelijke modellen is het mogelijk om, op een statistisch gefundeerde wijze, een optimale kwantitatieve schatting te maken van mutaties in de data die het gevolg zijn van op bekende momenten bestaande methodebreuken. De grootte van de mutatie komt daarbij als geschatte variabele uit de rekenprocedure beschikbaar. De hierboven beschreven methoden bepalen alleen de grootte van de breuk, voor het verwerken van de breuk in de tijdreeks is een apart model nodig. Het gekozen model is afhankelijk van achtergrond informatie. Mogelijkheden zijn additief of proportioneel terug te leggen, of met constante factor of afnemende factor naar mate de breuk verder weg is. Het model hiervoor wordt beschreven in paragraaf Keuze van methoden In paragraaf 2.2 zijn de breuken beschreven en in paragraaf 3.1 zijn de methoden beschreven voor het analyseren van de breuken. De volgende methodebreuken in tijdreeksen worden gerepareerd met de volgende methoden. Voor de methodebreuk ten gevolge van de overgang op het nieuwe bedrijvenregister ( , bij de Motor- en autobranche Groot- en Detailhandel, Horeca, en Zakelijke dienstverlening) is een hulpvariabele beschikbaar met een sterke correlatie, namelijk de omzet van de bedrijfstakken uit de kortetermijnstatistieken. Daarom wordt hiervoor de tweede methode gebruikt. Voor de betreffende bedrijfstakken wordt uit de overeenkomstige kortetermijn omzet de relatieve mutatie tussen 2005 en 2006 gebruikt om de methodebreuken in de jaarstatistieken voor alle financiële variabelen te schatten. Voor alle methodebreuken voor de variabele werkzame personen in de Motor- en autobranche, Horeca, en Zakelijke dienstverlening zijn voor alle breuken de oorspronkelijke verhouding tussen de werkzame personen en omzet gebruikt. Voor de methodebreuk ten gevolge van de nieuwe vragenlijst met verwerkingsmethodiek ( ) is bij de Detailhandel en de Groothandel voor de variabele werkzame personen gebruik gemaakt van de sterk correlerende variabele werkzame personen uit de Nationale Rekeningen. Hierdoor was er zowel voor 1999 en 2000 een dubbele waarneming voorhanden. De aanname achter deze methode is dat de ontwikkeling van de variabele van Nationale Rekeningen goed overeenkomt met de te repareren variabele. De overige breuken en ontbrekende data worden met de derde, econometrische, methode geanalyseerd, namelijk een State Space model. Dit wordt in paragraaf 5.1 beschreven. 5. Methodebreuk-analyse 5.1 State Space modellen De tijdreeksen van handel, transport en dienstverlening zijn met behulp van de state space modellen gemodelleerd om het effect van methodebreuken te elimineren. Binnen deze variant van structurele tijdreeksen modelering is gekozen voor het local lineair trend level. Daarin kunnen zowel de trend als regressievariabelen (in ons geval methodebreuken) opgenomen worden. Dit model is vergelijkbaar met een standaard lineair regressie model. Het model is beschreven met de volgende drie vergelijkingen. y t = + t (1) t t = t 1+ t 1 + t (2) t = t 1 + t (3) waarin y t = de reeks, = trendcomponent = hellingscomponent van de trenddata t, t, en t zijn storingstermen. 6

7 De overeenkomsten tussen dit model en het lineaire regressiemodel liggen in de constructie van de trend- of regressielijn. De component is vergelijkbaar met de constante in een regressiemodel. De component bepaalt de richtingscoëfficiënt of de helling van de trendlijn op tijdstip t: y y t ( t 1) t t 1 t = Breuken zijn met dummyvariabelen D gemodelleerd. Deze dummy s geven de methodeverandering/overgang aan. Ze zijn als regressoren in bovenstaand model (1) opgenomen. Zo is vergelijking (1) te vervangen door: k i t t t Y = + D + i = 1 = parameterschatting t i t (4) Het voordeel van dit soort modellen is dat er geen verklarende variabele(n) nodig zijn bij het schatten van doelvariabelen. Het is een autoregressief model (1) en (2): men gebruikt steeds de schatting van de vorige waarneming en de huidige waarneming, om de schatting van die laatste te maken (zogenaamde Markov ketens ). De schattingen zijn gegenereerd met het recursieve Kalman-filter. Dit model kan ook goed omgaan met ontbrekende datapunten. Model (4) kan ook toegepast worden bij het simultaan schatten van een aantal reeksen, waartussen een onderling lineair verband aanwezig is (van den Brakel, Smith en Compton, 2008). 5.2 Significantie van de breuken Het onderzoeken van de significantie van een breuk in één onafhankelijke reeks is eenvoudig, hiervoor kan bijvoorbeeld de t-toets gebruikt worden. Als de absolute t-waarde van de breuk groter is 1,96, dan kan met een betrouwbaarheid van 95% gezegd worden dat er een significante breuk is (Lodder, 2007). In veel gevallen echter zullen de analyses een resultaat opleveren waarbij één of meerdere reeksen geen significante breuk vertonen, terwijl de andere reeksen wel een significante breuk vertonen. Als de ene reeks wel gerepareerd wordt en de andere niet, dan wordt niet meer voldaan aan de consistentie eis tussen de reeksen. Grofweg zijn er de volgende mogelijkheden met gebruikte oplossingen: 1. Alle breuken in alle reeksen zijn significant. In dit geval worden alle reeksen gerepareerd. 2. Geen enkele breuk is significant. In dit geval is het niet nodig de reeksen te repareren. 3. In een stelsel reeksen is minimaal één breuk significant. In dit geval worden alle reeksen gerepareerd. 5.3 Het behouden van relaties tussen tijdreeksen Als men consistentie pas na het afzonderlijk schatten en repareren van deelreeksen wil verkrijgen, dan bestaat de mogelijkheid de Lagrange multplier toe te passen. (zie bijvoorbeeld Krieg en van den Brakel, 2009). Hiervoor moet eerst een restrictiematrix t gemaakt worden, die de lineaire afhankelijkheden van de verschillende reeksen op tijdstip t beschrijft. Deze verschillende reeksen hebben op tijdstip t componenten in de vector y t. De volgende lineaire vergelijking moet dus opgelost worden: t y t = 0. Om de grootte van de aanpassing te laten afhangen van de nauwkeurigheid van de gerepareerde breuken in de reeks y t is de diagonaalmatrix V t van de bijbehorende breuken geïntroduceerd in het optimaliseringprobleem * van de Lagrange multiplier. Dit komt er op neer dat de aangepaste vector y t het dichtst moet liggen bij de vector yt en met behoud van onderliggende relaties. In formulevorm wordt het volgende stelsel opgelost: 7

8 * yt yt min v waarbij v * t t de variantie op tijdstip t van y t of de diagonale component op 2 yt * tyt =0 tijdstip t van de diagonaalmatrix V t. De verkregen oplossing is: y * y V 1 = '( V t ') y t t t t 5.4 Het terugleggen van methodebreuken in de tijd Het gebruikte model voor terugleggen van de breuken begint met het logaritmisch transformeren van de tijdreeks. In dit geval is hiervoor een methodologische reden. Met de logaritmische transformatie wordt er namelijk voor gezorgd dat er geen ongewenste negatieve waardes kunnen voorkomen na reparatie van de breuk. Dit kan bijvoorbeeld optreden als de grootte van de geschatte breuk groter is dan de minimale waarde van het te repareren deel van de reeks. Uitgangspunten van dit model zijn: De reeksen worden eerst logaritmisch getransformeerd, voordat de breuken worden geschat. Nadeel hiervan is dat wanneer enkele tijdreeksen optellen tot een totaal voor transformatie, deze consistentie niet behouden blijft in de getransformeerde reeksen. De breuken in de onderliggende deelreeksen worden afzonderlijk geschat. Met de geschatte breuken worden de reeksen gerepareerd en vervolgens teruggetransformeerd. Consistentie wordt aan het eind bereikt met behulp van de Lagrange multiplier Voordelen van de methode zijn: Rekentijd blijft beperkt bij grote aantallen reeksen waartussen consistentie behouden moet worden Positieve getallen blijven positief na reparatie Relatieve mutaties blijven zoveel mogelijk onveranderd. Nadelen van de methode zijn: Alleen mogelijk bij reeksen waarbij geen tekenwisseling optreedt, de reeks moet of overal positief of overal negatief zijn. Deze terugtransformatie na reparatie is echter niet kosteloos. Zoals eerder beschreven is het belangrijkste probleem dat de geldende relaties tussen de verschillende deelreeksen verloren gaan bij het terugtransformeren na reparatie. Om deze relatie weer terug te krijgen wordt de Lagrange methode gebruikt. Op basis van de variantie (lees nauwkeurigheid) van de geschatte breuken worden de breuken daarbij zodanig aangepast dat er aan de opgelegde relaties voldaan wordt, na terugtransformatie. 5.5 Implementatie In deze paragraaf wordt de methodebreukenreparatie van de tijdreeksen handel, transport en dienstverlening uitgewerkt en toegelicht met behulp van een drietal reeksen die lineair van elkaar afhangen. Voor de eenvoud wordt het voorbeeld van de variabelen bedrijfsopbrengsten (O), bedrijfslasten (L) en bedrijfsresultaat (R) in beschouwing genomen. Ter illustratie is voor de bedrijfstak Handel in- en reparatie van motorfietsen (sbi 504) de reparatie uitgevoerd. De te repareren breuk voor deze bedrijfstak ligt in Zoals in 5.4 beschreven zijn de data in de eerste stap van de reparatie logaritmisch getransformeerd. Met behulp van het model uit paragraaf 4.1 is de reparatie van deze getransformeerde data verkregen door de bijbehorend geschatte methodebreuken van de data af te trekken. Daarna kunnen deze gerepareerde (getransformeerde) data teruggetransformeerd worden. Zo is een schatting verkregen voor de breukvrije tijdreeksen O, L en R. Alleen gaat, bij deze laatste stap, de geldende relatie tussen deze drie variabelen verloren. Door toepassing van de Lagrange multiplier methode uit paragraaf 4.3 wordt deze relatie echter weer hersteld. Hieronder worden de matrices uit 5.3 expliciet weergegeven. Deze matrices zijn nodig voor de implementatie van de Lagrange optimalisatie. 8

9 O =(O t ) 1993 t 2007 de gerepareerde tijdreeks van bedrijfsopbrengsten over de periode L = (L t ) 1993 t 2007 de gerepareerde tijdreeks van bedrijfslasten over de periode R = (R t ) 1993 t 2007 de gerepareerde tijdreeks van bedrijfsresultaat over de periode Er moet op ieder tijdstip t gelden: O t = L t + R t of O t L t R t = 0. In notaties van paragraaf 4.3: O t [ 1 1 1] Lt = 0of ty t = 0 Rt waarbij O t t = [ 1 1 1] en y t = Lt. R De variantiematrix V t op tijdstip t zoals in 4.3 bestaat uit de variantie van de geldende breuk(en) voor respectievelijk Opbrengsten, Lasten en Resultaat op datzelfde tijdstip. Merk wel op dat een deel van te repareren reeks ongewijzigd moet blijven. Dit impliceert dat de diagonale componenten van V t op die tijdstippen nul zijn. Dit laatste leidt tot een ongedefinieerde oplossing in paragraaf 4.3: V t moet inverteerbaar zijn. Dit wordt opgelost door (diag(v t )) te vervangen door exp(diag(v t )). Implementatie van deze methode in een lineair-algebra-vriendelijk programma leidt tot de gerepareerde reeksen uit onderstaande Tabel en Figuur. De uiteindelijk gerepareerde reeksen voldoen hiermee aan de consistentie eis. Tabel 1 Opbrengsten, lasten en resultaat Handel in- en reparatie van motorfietsen (mln euro) Bedrijfsopbrengsten Bedrijfslasten Bedrijfsresultaat oorspronkelijke data gerepareerd oorspronkelijke data gerepareerd oorspronkelijke data gerepareerd * Bedrijfsopbrengsten Handel in- en reparatie van motorfietsen mln euro Bron: CBS. Gerepareerd Data 9

10 2. Bedrijfslasten Handel in- en reparatie van motorfietsen mln euro Bron: CBS. Gerepareerd Data 3. Bedrijfslasten Handel in- en reparatie van motorfietsen mln euro Bron: CBS. Gerepareerd Oorspronkelijke data 6. Literatuur Abraham, B. Ledolter, J., Statistical methods for forecasting, Wiley & Sons., New York. Brakel, J. van den, Smith, P., Compton, S., Quality procedures for survey transitions experiments and discontinuities, in: Journal for Survey Research Method, in press. Durbin, J. Koopman, S.J., Time Series Analysis by State Space Methods, Oxford University Press, Oxford. Krieg,S., Brakel, J. van den, Consistentie van modelschattingen, intern CBS rapport, Heerlen. Lodder, B.J.H., Het repareren van trendbreuken. CBS, interne nota, Den Haag. Lodder, B.J. H., Kardal, M Reparatie methodebreuken tijdreeksen gezondheid, intern rapport. Centraal Bureau voor de Statistiek, Den Haag. Meeker, W.O., Graphical Tools for Exploring and Analyzing Data from Arima Time Series Models. Department of Statistics. Iowa State University. Ames, IA 50011, Iowa. 10