Exact periode 12. Electrische schakelingen Wisselspanning Radioactiviteit Specificiteit en gevoeligheid van testen Kansberekeningen

Transcriptie

1 Exact periode 12 Electrische schakelingen Wisselspanning Radioactiviteit Specificiteit en gevoeligheid van testen Kansberekeningen Binaire en hexadecimale getallen Digitale schakelingen

2 Schakelingen 2

3 3

4 4

5 5

6 De spanningsdeler. Een serieschakeling van weerstanden werkt als een spanningsdeler. De totale spanning wordt opgedeeld in deelspanningen per weerstand. Als je de deelspanningen optelt krijg je weer de totale spanning. Iedere deelspanning hangt af van de grootte van de weerstand waarover wordt gemeten. Hoe groter de weerstand, hoe groter de deelspanning. Formule: U uit = R uit R totaal U in 6,00 V 1. Bereken U uit in het voorbeeld hiernaast. 2. Welke waarde krijgt U uit als de twee weerstanden even groot zijn? U in 200 Ω 300 Ω U uit 6

7 3. Bereken U uit in de voorbeelden hieronder. 1,50 V U in 100 Ω 3,3 k Ω 9,00 V U in 100 Ω 200 Ω 300 Ω 4. Kijk naar de spanningsdeler hieronder. We willen een U uit van 0,100 V. Bereken R uit. 1,50 V R uit 1000 Ω U in 7

8 De Brug van Wheatstone. De brug van Wheatstone is een schakeling die bedoeld is om weerstandswaarden te meten. In de praktijk wordt de brug van Wheatstone ook vaak gebruikt om weerstandsveranderingen waar te nemen. Toepassing: bij een Gc wordt het gas dat uit de kolom komt over een temperatuurafhankelijke weerstand geleid. Deze weerstand is opgenomen in een brug van wheatstone-schakeling. 100 Ω 200 Ω V 300 Ω R x A. Brug in evenwicht Je ziet dat de schakeling bestaat uit twee spanningsdelers. De weerstand R x is de onbekende. De weerstand daarnaast is regelbaar. Hij wordt ingesteld op een waarde waarbij de voltmeter nul aanwijst. De voltmeter dient als brug tussen de twee spanningsdelers. Als de voltmeter op nul staat zijn de weerstandverhoudingen van beide spanningsdelers gelijk. De brug is in evenwicht. Hieruit volgt dat onbekende weerstand R x 600 Ω is. 100 : 200 = 300 : R x 8

9 oefensommen 1. In de schakeling hiernaast wijst de voltmeter nul aan. Bereken R x 1200 Ω 240 Ω V 3100 Ω R x 2. Staat de voltmeter op nul in de schakeling hiernaast? 470 Ω 705 Ω V 3300 Ω

10 B. Brug uit evenwicht. Als de brug aanvankelijk in evenwicht is en R x verandert dan wijst de voltmeter geen nul meer aan. De verandering van de weerstand wordt dus gedetecteerd door de voltmeter (zie toepassing hierboven). De spanning over de brug kan je als volgt berekenen. Bereken door (m.b.v. de spanningsdelerformule) de spanningen over de twee linker weerstanden. Bereken het verschil tussen die twee spanningen. Dat is het spanningsverschil over de brug. Formule van de spanningsdeler: U uit = R uit R totaal U in Voorbeeld, kijk naar de schakeling hiernaast: De spanning over de 470 Ω: 470 U uit = 1,50 = 0,600V En over de 3300 Ω U uit = ,50 = 0,599927V ,500V 470 Ω 705 Ω V 3300 Ω 4951 De voltmeter wijst 0,0727 mv aan! 10

11 Oefensommen 3 a. Is de brug hiernaast in evenwicht? b. Indien niet, bereken wat de voltmeter aanwijst 6,000V 220 Ω 100 Ω V 4700 Ω In de schakeling hieronder is de brug in evenwicht. Maar de 600Ω weerstand stijgt met 8 Ω. Bereken de spanning over de voltmeter.. 9,00V 100 Ω 200 Ω V 300 Ω 600 Ω 11

12 Effectieve spanning. Op het stopcontact staat 230 V wisselspanning. De frequentie is 50 Hz. In de grafiek hieronder zie je het spanningsverloop in de grafiek. a. Bepaal uit de grafiek de amplitude (max. spanningswaarde) en de trillingstijd. Eigenlijk kan je niet zeggen: de spanning is 230V omdat de spanning voortdurend verandert. Daarom is besloten het over de effectieve spanning te hebben. Deze bereken je als volgt maximale spanning effectieve spannig = 2 b. Bepaal de effectieve spanning van de grafiek rechts We spreken van effectieve spanning omdat het vermogen van een wisselspanning met amplitude U m gelijk is aan het vermogen van gelijkspanning van U m/ 2. c. Een fietsdynamo levert een effectieve spanning van 9,6V. Bereken de maximale spanning in V. 12

13 Natuurlijke radioactiviteit Met natuurlijke radioactiviteit wordt bedoeld: radioactiviteit die niet kunstmatig is opgewekt. Kernen die labiel zijn vervallen zodat ze veranderen in een kern van een ander element. Opfrissen 42 Geef de protonen-, neutronen- en elektronen-verdeling van 19K (Algemene vorm ZElement Wat is het verschil tussen stabiele en instabiele isotopen? 42 Is Stabiel? K 19 A ) 1. Bètastraling Betastraling bestaat uit snel bewegende elektronen. Deze elektronen komen uit de atoomkern. Hoe kan dat? Er zitten toch geen elektronen in de kern? Een voorbeeld Thorium (Th) met atoommassa 231 kan veranderen in Protactinium (Pa) Dit proces wordt β-verval (beta decay) genoemd. In de kern gebeurt het volgende: een neutron zet zich om in een proton en een elektron n p + + e 1 0 Het proton blijft in de kern. Het elektron vliegt weg met hoge snelheid. Dit wordt bètastraling genoemd. 13

14 Voor het schema (rechts) betekent betaverval een lijntje naar rechts onder. Het aantal neutronen is met één gedaald, het aantal protonen met één gestegen. Kijk ook naar de presentatie Bèta-straling Atoomnummer Z 14

15 2. Alfastraling. Alfa straling bestaat uit snel bewegende heliumkernen. Een heliumkern bestaat uit twee protonen en twee neutronen. Als dit groepje deeltjes een atoomkern uitvliegt spreken we van α-straling. In het vervalschema (z.o.z.) komt dit overeen met een lange streep naar linksonder. Het aantal protonen en het aantal neutronen daalt met twee. Voorbeeld: 3. K-vangst. Een volgende kernreactie heet K-vangst. In het Engels wordt dit electron-capture genoemd. Een atoomkern kan labiel zijn omdat het aantal protonen relatief hoog is. Een elektron kan dan uit de K-schil in de kern vallen. Samen met een proton wordt dan een extra neutron gevormd: p + e n Zoals je ziet daalt hierbij het aantal protonen en stijgt het aantal neutronen met één. Ook verdwijnt er een elektron maar die zal het betreffende atoom wel weer ergens vandaan halen. Voorbeeld: 4. Gammastraling Gammastraling (γ) is elektromagnetische straling. Het bestaat dus niet uit deeltjes zoals α -en β-straling. De golflengte is zeer klein, de frequentie en dus ook de energie per foton zijn zeer hoog. Bij kernreacties zorgt de gammastraling ervoor dat wetten van massa- en energiebehoud kloppen. 15

16 5. Halveringstijd T1 2 Met halveringstijd van radioactief materiaal wordt bedoeld: De tijd die nodig is om het aantal kernen tot de helft te laten afnemen. Bijvoorbeeld: De halveringstijd van Au is 4,0 uur Dat betekent dat na 4,0 uur nog maar de helft over is. Na nog 4,0 uur een kwart. (de helft van de helft). Met onderstaande formule is het aantal kernen N t op tijdstip t te berekenen als het beginaantal N 0 is en de halveringstijd T1 2 N t = N 0 ( 1 t 2 ) T Vragen over kernreacties: 1. Wat wordt er bedoeld met Electron Capture? Geef een voorbeeld. 2. Wat wordt er bedoeld met Beta decay? Geef een voorbeeld. 3. Kernreacties kloppend maken 14 C 14 N Mg + 22 Na 210 Po..+ α 238 U 234 Th + 16

17 4. Wat heeft α-straling met Helium te maken? 99m. 5. Zoek de halveringstijd op van technetium 43Tc Van deze stof wordt 5,0 mg bij een patiënt ingespoten. Bereken hoeveel er over is na 4,5 uur Zoek de halveringstijd op van koolstof-14: 6 C Hoeveel neutronen bevinden zich in de kern? Bereken hoeveel % er over is na jaar Na hoeveel dagen is er nog 60% van de radioactieve isotoop 20Ca over? 8. Hiernaast zie je een grafiek Lees af: het beginaantal en de halfwaardetijd Geef de formule voor N t die bij deze grafiek hoort. 17

18 Detectie van straling: Geigerteller De functie van een geigerteller is het tellen van straling. Zowel alfa-, bèta- als gammastraling kan worden gedetecteerd. Deze stralingssoorten noemen we ioniserend. Dat wil zeggen: in de stof waar de straling door gaat worden ionen gevormd. Hier zie je een schema van een geigerteller. De buis is gevuld met Argon (of een ander edelgas) met een lage druk. De mantel is van metaal. Binnen de buis is een metalen naald die geïsoleerd is van de mantel. Tussen de mantel en de draad is een spanningsverschil van ca 1 kv aangebracht. Er loopt normaal geen stroom omdat de argon niet geleidt. straling R V Dat verandert als er via het venster (links) ioniserende straling binnenkomt. De gevormde ionen en elektronen bewegen versneld naar de mantel en de draad. Hierbij krijgen ze zoveel energie dat ze nog meer ionen vormen. Zo ontstaat een lawine-effect. Het gevolg hiervan is dat de argon eventjes geleidt. Er loopt een stroompuls door het circuit, zodat er over de weerstand even een spanning is te meten. Er is zodoende één stralingsdeeltje gedetecteerd. Enkele beperkingen van de geigerteller: 1. De teller maakt geen onderscheid tussen de verschillende soorten straling 2. Ook kan de teller geen onderscheid maken tussen straling met weinig of met veel energie. 3. Na het detecteren van een deeltje heeft de teller een zogenaamde dode tijd. Het evenwicht moet zich weer herstellen en deeltjes die in die periode het venster binnenvallen worden niet geteld. De dode tijd kan enkele milliseconden duren. Dat betekent dat de buis ongeveer 100 deeltjes per seconde kan detecteren. 18

19 De Nevelkamer In een nevelkamer bevindt zich een oververzadigde damp. Dat is een damp die op het punt staat om te gaan condenseren. De aanleiding om te gaan condenseren is een ion dat is ontstaan door het passeren van straling. Zo wordt straling gedetecteerd. Door de kamer tussen magneten te houden kan onderscheid worden gemaakt tussen alfa, bèta of gamma straling. De stralingsdeeltjes bewegen dan in cirkelbanen. Vergelijk: condensstrepen van uitlaatgassen 19

20 aantal personen Hoe goed is een test? 1.0 het ideale plaatje Als we een test uitvoeren om te ontdekken of iemand ziek is hebben we het liefst een test waarbij de gezonde en de zieke groepen duidelijk gescheiden zijn. De zieke mensen hebben allemaal een verhoogde concentratie van een bepaalde stof in hun bloed. Gezonde mensen niet. De grenswaarde tussen testuitslag positief en testuitslag negatief leggen we tussen de curves. overlap Bij veel testen ligt de zaak minder simpel; de curves overlappen elkaar. Dit betekent dat gezonde en zieke mensen dezelfde concentratie kunnen hebben. Als we dan een grenswaarde kiezen zijn er altijd foute (False) uitslagen. Er zijn twee soorten foute uitslagen: FP de testuitslag is positief maar de persoon is niet ziek. FN de test uitslag is negatief maar de persoon is wel ziek. Ziek Gezond Test positief TP FP Test negatief FN TN T= true F= false N= negative P= positive enzymconcentratie 20

21 De voorspellende waarde of predictieve waarde is in de geneeskunde de kans dat bij een laboratoriumtest voor een bepaalde ziekte de testuitslag juist is en niet fout-positief of fout-negatief. De positieve voorspellende waarde (PVW, Engels: positive predictive value, PPV) is het deel van de onderzochte patiënten met een positieve testuitslag die de ziekte ook daadwerkelijk heeft. De negatieve voorspellende waarde (NVW, Engels: negative predictive value, NPV) daarentegen is het deel van de onderzochte patiënten met een negatieve testuitslag die de ziekte inderdaad niet heeft. De positieve en negatieve voorspellende waarde wordt uitgedrukt als een fractie of in procent of promille, zoals 0,95 of 95%. Een positieve voorspellende waarde van 95% wil zeggen dat 95% van de patiënten met een positieve testuitslag de ziekte daadwerkelijk heeft. De overige 5% heeft dus ook een positieve testuitslag, maar heeft de ziekte niet. In het ideale geval zouden de positieve en negatieve voorspellende waarden beide 100% moeten zijn. Wanneer de positief voorspellende waarde toeneemt, neemt de negatieve voorspellende waarde meestal af, en vice versa. Een test met een hoge positieve voorspellende waarde is gewenst als een medische behandeling schadelijk zou kunnen zijn. Er worden dan wel een aantal patiënten gemist die een fout-negatieve uitslag hebben. Deze mensen moeten dan met een andere test worden opgespoord. Als een ziekte beslist niet gemist mag worden, dan is een test met een hoge negatief voorspellende waarde gewenst. Hierdoor worden er ook een aantal patiënten behandeld die een fout-positieve testuitslag hebben, maar de behandeling is in een dergelijk geval niet schadelijk voor de patiënt. 21

22 Sensitiviteit en specificiteit Naast de voorspellende waarde is ook de sensitiviteit en specificiteit van belang bij een laboratoriumtest. Een hoge sensitiviteit (percentage positieve testuitslagen bij aanwezigheid van de ziekte) van een test is nodig om met zekerheid te kunnen aantonen dat iemand de ziekte niet heeft. Een hoge specificiteit (percentage negatieve testuitslagen bij afwezigheid van de ziekte) van een test is nodig om met grote zekerheid te kunnen aantonen dat iemand de ziekte heeft. Berekening De berekening van voorspellende waarde is transparant, en de berekening is eenvoudig indien men enkel met één testuitslag rekening houdt. De samenhang van de aan- of afwezigheid van een ziekte in combinatie met een positieve of negatieve testuitslag wordt in onderstaande tabel weergegeven: ziekte aanwezig ziekte niet aanwezig test positief A (Echt positieven, terecht alarm) B (Fout positieven, vals alarm) test negatief C (Fout negatieven, gemiste patiënten) D (Echt negatieven, terecht verworpen) Vervolgens kunnen uit deze tabel de sensitiviteit, specificiteit, positieve voorspellende waarde en negatieve voorspellende waarden worden afgeleid. Afkortingen: TP, true positive; FN, false negative; FP, false positive; TN, true negative; Sens, sensitiviteit; Spec, specificiteit; PVW, positief voorspellende waarde; NVW, negatief voorspellende waarde ziekte aanwezig ziekte niet aanwezig totaal formule test positief A (Terecht-positieven, TP) B (Fout-positieven, FP) TP+FP PVW = TP/(TP+FP) test negatief C (Fout-negatieven, FN) D (Terecht-negatieven, TN) TN+FN NVW = TN/(TN+FN) totaal TP+FN FP+TN formule Sens = TP/(TP+FN) Spec = TN/(FP+TN) 22

23 1.1 Specificiteit, Sensitiviteit en voorspellende waarde. Bij overlapping kan men de grenswaarde laag nemen zodat er bijna geen FN uitslagen meer zijn. Het gevolg is dat alle personen die ziek zijn de uitslag verhoogd krijgen. De bepaling heeft dan een hoge gevoeligheid (of sensitiviteit), maar het aantal FP neemt enorm toe. De specificiteit daalt. Omgekeerd kunnen we de specificiteit verhogen door de grenswaarde te verhogen tot er geen FP meer zijn, maar dan komen er veel FN uitslagen. Gevoeligheid (of sensitiviteit) en specificiteit worden als volgt gedefinieerd: Gevoeligheid: TP TP + FN Specificiteit: = TN TN + FP 23

24 1.2 voorspellende waarde Verder kunnen we de voorspellende waarde (predictive value) berekenen van een positieve of van een negatieve uitkomst. De voorspellende waarde van een positieve uitkomst is de fractie zieken van alle positieve uitkomsten. Dit kan ook in een percentage uitgedrukt worden door te vermenigvuldigen met 100% (PVW). De voorspellende waarde van een negatieve uitkomst is het percentage gezonden bij alle negatieve uitkomsten (NVW). Het totale percentage juiste uitslagen (efficiëntie (efficiency)) kan gevonden worden door beide percentages op te tellen. PVW = NVW = TP TP+FP TN TN+FN Bij een hoge specificiteit zijn er weinig of geen FP uitslagen, PVW is dan relatief hoog. Efficiëntie: het percentage kloppende uitslagen: Efficiëntie = TN+TP alle uitslagen 100% 24

25 Oefensom: Hoe goed is een test? TP TN Gevoeligheid: Specificit eit := Efficiëntie = TP + FN TN + FP TN+TP alle uitslagen 100% PVW = TP TP+FP NVW = TN TN+FN Hieronder zie je een afbeelding over een bevolkingsonderzoek. Test positief Test negatief Totaal Ziek Niet Ziek Totaal a. Vul de tabel in b. Bereken de sensitiviteit (=gevoeligheid) van deze test c. Bereken de specificiteit van deze test d. Bereken de efficiëntie van deze test e. Bereken de PVW (Positief voorspellende waarde) en de NVW (Negatief voorspellende waarde) 25

26 1.3. verband aard ziekte en gevoeligheid van de test Bij een hoge gevoeligheid zijn er weinig of geen FN uitslagen, NVW is dan relatief hoog. Bij ziekten die ernstig zijn, maar goed te genezen zal de nadruk liggen op een hoge gevoeligheid. Zo kiest men bij de fenylanalinebepaling voor het opsporen van PKU (fenylketinurie, een erfelijke stofwisselingsziekte) voor een lage grenswaarde. Men neemt de vele fout-positieve uitslagen op de koop toe. De patiëntjes met PKU krijgen, wanneer ze niet opgespoord worden, ernstig hersenletsel en met een dieet groeien ze op tot gezonde personen. Bij ziekten die ernstig, maar ongeneeslijk zijn, bijvoorbeeld multiple sclerose, kiest men voor hoge specificiteit. De fout positieve uitslagen zouden de toch gezonde mensen ernstige ongerustheid en veel nader ziekenhuis onderzoek vergen. 26

27 1.4 controle productieproces Deze manier van werken wordt ook bij de controle van een productieproces toegepast. We moeten dan de volgende termen vervangen: gezond ---> goed product ziek ---> fout product goedgekeurd ---> positieve testuitslag afgekeurd ---> negatieve testuitslag Ook hier heeft men dus 4 mogelijkheden: - een goed product dat goedgekeurd wordt - een goed product dat afgekeurd wordt - een fout product dat goedgekeurd wordt - een fout product dat afgekeurd wordt Bij de test op ziekte waren er twee soorten fouten: - gezonde mensen, die als testuitslag hebben dat ze ziek zijn. - zieke mensen, die als test uitslag hebben dat ze gezond zijn. Ook hier kunnen twee soorten fouten gemaakt worden: - een goed product dat afgekeurd wordt. Dat kost de firma geld. - een fout product dat goedgekeurd wordt. Hiervoor kan de firma aansprakelijk gesteld worden. Men zal vaak aan de tweede fout meer gewicht geven. 27

28 Oefenopdrachten: 1 Een nieuwe zwangerschapstest wordt toegepast op vrouwen in de leeftijdsgroep van 20 tot 40 jaar. Hiervan zijn er 132 zwanger. Drie zwangere vrouwen hebben echter een negatieve testuitslag, terwijl 12 vrouwen die niet zwanger zijn een positieve testuitslag hebben. Bepaal uit deze gegevens: a. TP, TN, FP en FN. b. De gevoeligheid en de specificiteit c. De PVW en de NVW d. De efficiëntie. 2. Van een productieproces is bekend dat 95 % van de producten goed zijn. Om een testmethode te controleren gaat men van een aantal producten, waarvan de kwaliteit bekend is, na wat het testresultaat oplevert. Men vindt dat 90 % van de kapotte producten testresultaat "kapot" oplevert, en dat 88 % van de hele producten als testresultaat "heel" oplevert. (Tip; werk met getallen ipv percentages) a) Hoe groot is de kans dat een product dat als "heel" getest is, dit ook in feite is? b) Hoe groot is de kans dat een product dat als "kapot" wordt getest dit ook in feite is? c) Welke percentage van de producten wordt in totaal afgekeurd? d) Hoeveel bedraagt de efficiëntie? 28

29 aantal personen 3. Specificiteit: = TN TN + FP Gevoeligheid: TP TP + FN Hieronder zie je de concentratie van een enzym van twee groepen mensen. De linker groep is gezond, de rechter is ziek. a. Teken de grenswaarde bij 14 en geef in de grafiek aan TN, FN, TP en FP. b. Als we de meetwaarde naar rechts verschuiven. Wordt de gevoeligheid dan groter of kleiner. Leg je antwoord uit. c. Waar moet de grenswaarde komen om een sensitiviteit van 100% te krijgen? enzymconcentratie 29

30 Kansberekeningen P(Gebeurtenis) = Aantal gunstige mogelijkheden Totaal aantal mogelijkheden 0 P(Gebeurtenis) 1 Gebeurtenissen gebeuren; - Aselect. - Met Teruglegging - Zonder teruglegging. Systematisch Tellen - Mogelijkheden uitschrijven - Tabel (matrix) gebruiken - Wegendiagram gebruiken Formules; - Somregel - Ontkenningsregel - Combinaties - Permutaties 30

31 Kansberekening is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met toeval situaties: hoe groot is de kans dat iets gebeurt? Een paar voorbeelden: Dobbelstenen Hoe groot is de kans dat je 4 gooit met 1 gewone dobbelsteen? Een normale, eerlijke dobbelsteen heeft 6 gelijke kanten. De kans dat je 4 gooit is 1 op 6. Het is een kans van 1 : 6 (spreek uit als: '1 op 6'). Hoe groot is de kans dat je met 1 dobbelsteen hoger dan 2 gooit? Van de 6 mogelijke cijfers zijn er vier hoger dan 2 (namelijk 3, 4, 5 en 6). De kans dat je hoger dan 2 gooit, is een kans van 4 : 6. Dat mag je vereenvoudigen, zoals bij breuken. Het is een kans van 2 : 3. Nu met twee dobbelstenen: hoe groot is de kans dat je twee vieren tegelijk gooit? Bekijk de dobbelstenen een voor een. Voor de eerste dobbelsteen is de kans 1 : 6. De kans dat de tweede dobbelsteen ook een 4 wordt, is ook 1 : 6. 31

32 Je kunt deze kansen met elkaar vermenigvuldigen alsof het twee breuken zijn: [1/6] x [1/6] = [1/36] De kans op twee vieren is 1 : 36. Gemiddeld genomen heb je 36 worpen nodig om een keer twee vieren te gooien. Nog eens twee dobbelstenen: hoe groot is de kans dat je twee gelijke cijfers gooit? Bekijk de dobbelstenen een voor een. Voor de eerste dobbelsteen maakt het nog niet uit. Deze bepaalt wat de waarde van de tweede dobbelsteen moet zijn om twee gelijke cijfers te gooien. Voor de tweede dobbelsteen geldt een kans van 1 : 6 dat deze hetzelfde is als de eerste. De kans op twee gelijke cijfers is 1 : 6. Nog eens twee dobbelstenen: hoe groot is de kans dat je twee verschillende cijfers gooit? Bekijk de dobbelstenen een voor een. Voor de eerste dobbelsteen maakt het nog niet uit. Deze bepaalt wat de waarde van de tweede dobbelsteen niet mag zijn om twee verschillende cijfers te gooien. Voor de tweede dobbelsteen geldt een kans van 5 : 6 dat deze anders is dan de eerste. De kans op twee verschillende cijfers is 5 : 6. Nog eens twee dobbelstenen: hoe groot is de kans dat je een 2 en een 3 gooit? Bekijk de dobbelstenen een voor een. De eerste dobbelsteen mag 2 of 3 zijn. Dat is een kans van 2 : 6, oftewel een kans van 1 : 3. De tweede dobbelsteen moet nu het andere cijfer zijn. Als de eerste dobbelsteen 2 is, moet de tweede dobbelsteen 3 zijn en andersom. De tweede dobbelsteen moet precies die ene waarde hebben die je nog mist. Daarvoor geldt een kans van 1 : 6. Je kunt nu deze twee kansen met elkaar vermenigvuldigen, zoals je dat ook zou doen met breuken: [1/3] x [1/6] = [1/18]. Het is een kans van 1 : 18. Dat klopt, want van de 36 worpen (1-1, 1-2, 1-3, enzovoort t/m 6-6) voldoen er twee aan de voorwaarde: 2-3 en 3-2. Een kans van 2 : 36 is hetzelfde als 1 : 18. Nu met drie dobbelstenen: hoe groot is de kans dat je twee zessen en één vijf gooit? 32

33 Bekijk de dobbelstenen een voor een. Als je wilt gooien, moet de eerste dobbelsteen een 6 zijn. Dat is een kans van 1 : 6. De tweede dobbelsteen moet ook een 6 zijn (weer een kans van 1 : 6) en de derde moet een 5 zijn (ook een kans van 1 : 6). Dat zou een kans van 1 : 216 zijn. Maar je gooit de dobbelstenen tegelijk. Het mag daarom ook of zijn. Er zijn drie combinaties mogelijk met één vijf en twee zessen. In de wiskunde noemen ze die verschillende mogelijkheden 'permutaties'. De kans is 3 : 216. Dat is een kans van 1 : 72. Tot zover de dobbelstenen. Door op bovenstaande manier te redeneren, kun je heel veel kansberekeningen oplossen. Knikkers Je hebt een bak met 5 rode, 4 blauwe en 3 gele knikkers. Totaal 12 knikkers. Je pakt willekeurig 1 knikker. De kans op een rode knikker is 5 : 12. De kans op een blauwe knikker is 4 : 12, oftewel 1 : 3. De kans op een gele knikker is 3 : 12, oftewel 1 : 4. Je pakt twee knikkers uit de genoemde bak. Hoe groot is de kans dat het twee gele knikkers zijn? De kans dat de eerste knikker geel is, is 1 : 4. Daarna zijn er nog 2 gele knikkers in een bak van 11 knikkers. De kans dat de tweede knikker geel is, is 2 : 11. Je kunt de kansen (1 : 4) en (2 : 11) met elkaar vermenigvuldigen, alsof het twee breuken zijn. De kans dat je twee gele knikkers pakt, is 2 : 44, oftewel 1 : 22. Je pakt twee knikkers uit de genoemde bak. Hoe groot is de kans dat deze dezelfde kleur hebben? De kans op twee gele knikkers is 1 :

34 Op dezelfde manier kun je uitrekenen wat de kans op twee blauwe knikkers is: (1 : 3) x (3 : 11) = 3 : 33 = 1 : 11 Op dezelfde manier kun je uitrekenen wat de kans op twee rode knikkers is: (5 : 12) x (4 : 11) = 20 : 132 = 5 : 33. Nu moet je drie verhoudingen bij elkaar optellen. De kans dat je twee dezelfde kleuren pakt is: (1 : 22) + (1 : 11) + (5 : 33). Behandel dit als breuken die je eerst gelijknamig moet maken: (3 : 66) + (6 : 66) + (10 : 66) = 19 : 66. Kans uitdrukken in procenten Vaak wordt een kans uitgedrukt in procenten. Het omrekenen naar procenten is eigenlijk hetzelfde als het omrekenen van breuken naar kommagetallen en procenten. Een aantal van de kansen die hierboven genoemd worden, zijn: een kans van 1 : 2 is een kans van 50%. een kans van 3 : 4 is een kans van 75%. een kans van 1 : 18 is een kans van 5,556% (afgerond) een kans van 1 : 22 is een kans van 4,545% (afgerond) een kans van 19 : 66 is een kans van 28,788% (afgerond) Opmerking tot slot: het is kansberekening. Uitkomsten blijven onvoorspelbaar. Als je zes keer met een dobbelsteen gooit, is niet precies 1 van die worpen een 4. Statistisch, gemiddeld over heel veel worpen klopt het wel, maar het is nog steeds mogelijk om 6 keer achtereen een 4 te gooien, hoe onwaarschijnlijk dat ook is. 34

35 Oefenopgaven 1. Uit een klas van 12 jongens en 8 meisjes wordt op aselectieve wijze een vertegenwoordiging van 2 personen samengesteld a. Hoe groot is de kans op 2 jongens? b. Hoe groot is de kans op een jongen en een meisje? c. Hoe groot is de kans dat er minstens 1 jongen bij is? 2. In een loterij met 100 loten zijn 10 prijzen te winnen. Wat is de kans dat iemand die 2 loten koopt minstens 1 prijs krijgt? 3. In een volledig kaartspel heb je van elk der soorten (Schoppen, Harten, Ruiten en Klaveren) 13 kaarten. Als je hieruit 2 willekeurige kaarten krijgt. Wat is dan: a. De kans op 2 harten? b. De kans op precies 1 harten? c. De kans op 2 kaarten van dezelfde soort? 4. Een proefwerk bestaat uit 5 vierkeuzevragen. Iemand vult de antwoorden lukraak in. Hoe groot is de kans dat hij; a. De eerste vraag goed heeft ingevuld? b. De eerste 3 vragen goed heeft ingevuld? c. Precies 3 van de 5 vragen goed heeft? d. Minstens 3 van de 5 vragen goed heeft? 5. In een vaas bevinden zich 3 rode, 3 witte en 3 blauwe knikkers. Hieruit worden aselect 3 knikkers getrokken zonder teruglegging. Bereken de kans op; a. 3 knikkers, alle van verschillende kleur. b. 3 knikkers van dezelfde kleur. c. Minstens 2 knikkers van dezelfde kleur. 35

36 6. Op een surpriseavond besluit een gezin (vader, moeder en 2 kinderen) als volgt te werkt te gaan. Er worden 4 lootjes in een doos gedaan en elk trekt een lootje. a. Hoe groot is de kans, dat ieder zichzelf trekt? b. Hoe groot is de kans, dat niemand zichzelf trekt? 7. 6 ballen worden onafhankelijk van elkaar en aselect in één der 3 gelijke vakjes van een doos geworpen. Bereken de kans dat; a. Ze alle 6 in hetzelfde vakje terecht komen? b. De ballen netjes 2 aan 2 over de vakjes verdeeld worden? c. Dat één van de drie vakjes leeg blijft? 36

37 Verwachtingswaarde. Voorbeeld Er wordt met 2 dobbelstenen gegooid. Hierbij geldt de dobbelsteen met het hoogste aantal ogen. a. Maak een kanstabel voor het te verwachtte maximum b. Bereken de verwachtingswaarde Mogelijke uitkomsten Kanstabel Ogen Totaal Kans 1/36 1/12 5/36 7/36 1/4 11/ Verwachting 1/36 1/6 5/12 7/9 1 1/4 1 5/6 4 17/ Er worden 4 munten (kruis of munt) tegelijk opgeworpen; a. Maak een kanstabel voor het te verwachtte aantal kruisen. b. Bereken de verwachtingswaarde 2. Twee even sterke tennissers spelen een aantal sets om het kampioenschap. Degene die het eerst 3 sets wint behaalt de titel a. Maak een kanstabel voor het te verwachtte aantal sets. b. Bereken de verwachtingswaarde 37

38 3. In een doos zitten 3 rode, 3 witte en 3 blauwe ballen. Hier worden zonder teruglegging 3 ballen uit de doos gepakt. a. Maak een kanstabel voor het te verwachtte aantal witte ballen b. Bereken de verwachtingswaarde 4. In een schuur staan 5 fietsen; 3 dames en 2 herenfietsen. De fietsen staan zo naast elkaar, dat slechts één fiets (de buitenste) direct beschikbaar is. De heer des huizes wil gaan fietsen en wil dit uitsluitend op een herenfiets gaan doen. Als hij naar het schuurtje gaat, bedenkt hij dat het mee kan zitten; Hij kan direct één van de twee herenfietsen pakken. Zit het helemaal tegen dan moet hij eerst 3 damesfietsen opzij zetten, voor hij bij een van de herenfietsen kan. Je mag aannemen dat de fietsen in aselecte volgorde staan. a. Maak een kanstabel voor het te verwachtte aantal damesfietsen dat verplaatst moet gaan worden b. Bereken de verwachtingswaarde 38

39 Machinetaal. De "denktaal" van een computer is totaal anders dan de onze. Computers werken met spanningen die of laag of hoog zijn. Dat is in verband te brengen met getallen. bijv : laag : nul hoog : een. Bedenk dus dat een computer voor berekeningen geen andere cijfers gebruikt dan 0 en 1 en ook geen letters. De nul-een -taal heet machinetaal. Iemand typt bijvoorbeeld de letter Q in. De computer krijgt dan het volgende binnen via de toetsenbord-interface: Alles wat er gebeurt in Word of Excel of Good Reader handelt de computer in machinetaal af. Binaire getallen omrekenen naar decimale getallen. decimaal binair Binair betekent Tweetallig. We zijn gewend in het tientallig stelsel te werken (decimaal). In de tabel rechts zie je de samenhang

40 We gaan binaire getallen met decimale getallen vergelijken. Bij het getal 739 (decimaal) betekent de 9 --> 9*1 ofwel 9*10 0 en 3 --> 3*10 ofwel 3*10 1 en 7 --> 7*100 ofwel 7*10 2. Nu bekijken we een binair getal 1101 we willen het omrekenen naar een decimaal getal *2 0 = 1*1= 1 0*2 1 = 0*2= 0 1*2 2 = 1*4= 4 1*2 3 = 1*8= dus 1101 komt overeen met 13. De machten van 10 (decimale getallen) zijn nu machten van 2. 40

41 Decimale getallen omrekenen naar binaire getallen. Het omrekenen van decimaal naar binair is iets moeilijker. Stel we willen het getal 19 in binaire vorm schrijven. Dan schrijven we het getal als som van machten van 2. (16=2 4 8=2 3 4=2 2 2=2 1 1=2 0 ) 19 = 1*16 + 0* *4 + 1*2 + 1*1 De uitkomst is dus Bits en Bytes Een binair getal bestaat uitsluitend uit nullen en éénen. Een cijfer in een binair getal wordt een bit genoemd. Het binaire getal 101 bestaat dus uit 3 bits en uit 8 bits. Een reeks van 8 bits wordt een byte genoemd. 41

42 Hexadecimale getallen We kennen inmiddels het tientallig (decimaal) en het tweetallig (binair) stelsel. We gaan nu kennis maken met het zestientallig (hexadecimale) stelsel. Dit stelsel ken zestien verschillende tekens: A B C D E F De ons bekende cijfers, uitgebreid met de eerste zes letters van het alfabet. De letter A heeft de (decimale) waarde 10, de B is 11 enz. Het omrekenen van hexadecimale getallen naar decimale getallen gaat net als in par voorbeeld We bekijken het hexadecimale getal 6C31 we willen het omrekenen naar een decimaal getal. 6 C 3 1 1*16 0 = 1*1= 1 3*16 1 = 3*16= 48 C*16 2 = 12*256= *16 3 = 6*4096= De hexadecimale getallen worden veel gebruikt bij het adresseren van geheugenplaatsen in computersystemen. 42

43 Oefenen getallenstelsels 1. Maak de tabel compleet binair decimaal hexadecimaal A Hier zie je een binair getal Schrijf het voorgaande getal erboven Schrijf het volgende getal eronder 3 Waaraan herken je even getallen in het binaire stelsel? 43

44 Digitale elektronica Inleiding in de digitale elektronica werken we met nullen en eenen. nul betekent dan : 0 volt (of schakelaar uit ) één betekent dan: 5 volt (of schakelaar aan ) een nul-één getal noemen we een bit. Een digitale schakeling bestaat uit poorten Een poort zet nullen en éénen om in andere nullen en éénen. We werken met drie verschillen de poorten. de AND-poort de OR-poort de NOT-poort. De werking van een poort (of van een schakeling) wordt vastgelegd in een waarheidstabel. In een waarheidstabel staan links de ingangswaarden en rechts de uitgangswaarden. Deze waarden kunnen slechts nul of één zijn. Voorbeeld: IN UIT A B C

45 de AND-poort De uitgang van een AND-poort is alleen 1 als beide ingangen 1 zijn. waarheidstabel : symbool : IN UIT A B C A B & C

46 de OR-poort De uitgang van een OR-poort is 1 als (minstens) één van de ingangen 1 is. waarheidstabel IN UIT A B C A B 1 C de NOT-poort De uitgang van een NOT-poort is 1 als de ingang 0 is en andersom. waarheidstabel IN UIT A B A 1 B 46

47 Digitale schakelingen. In een digitale schakeling bevinden zich meerdere poorten waarvan de uit- en ingangen onderling zijn verbonden. We vullen een waarheidstabel in om de eigenschappen van de schakeling te beschrijven. We oefenen met de twee-wegschakelaar en het binaire rekenmachientje. (zie oefenopgaven 1 t/m 3) Formules. Om niet iedere keer de schakelingen te hoeven tekenen kunnen we de poorten vervangen door formules. In de onderstaande figuur staan de symbolen + en - uitgelegd. A B & C Formules: A.B = C (AND) A B 1 C A+B = C (OR) A 1 B A - = B (NOT) Er zijn nu dus drie manieren om een digitale schakeling weer te geven. 1. het schema 2. de waarheidstabel 47

48 3. de formule van waarheidstabel naar formule In de praktijk komt het voor dat een schakeling ontworpen moet worden. Dat wil zeggen : wat de schakeling moet doen is bekend (de waarheidstabel) maar het schema (of de formule) weten we niet. We gaan als voorbeeld uit van de tweeweg-schakelaar. De waarheidstabel is gegeven en we proberen de formule te vinden. in uit A B S C oplossing: 1. Ga uit van de regels waar 1 uit komt (de regels 3, 4, 6, en 8). Maak, door gebruik te maken van NOT en AND, de regels kloppend. regel 3: A.B -.S - = C regel 4: A.B.S - = C regel 6: A -.B.S = C regel 8: A.B.S = C 2. zet tussen de gevonden onderdelen een + (OR) A.B -.S - + A.B.S - + A -.B.S + A.B.S = C 3. werken met haakjes A.S -.(B - + B) + B.S.(A- + A)= C 4. vereenvoudigen: wat tussen haakjes staat is namelijk 1! antwoord : A.S - + B.S = C de bijbehorende schakeling staat in opgave 2 48

49 oefenopgaven 1. hieronder zie je drie digitale schakelingen geef van elke schakeling de waarheidstabel A B C D A B C & 1 1 D A B C D A B C D C A B C A B & & D D 49

50 2. De schakeling hieronder stelt een twee-weg-schakelaar voor a. geef de waarheidstabel. S A B D b. verklaar waarom de schakeling een twee-weg schakelaar heet. A & 1 1 D B S & 50

51 3. De schakeling hieronder stelt een binair rekenmachine voor a. geef de waarheidstabel. (ingang A en B, uitgang C en D) b. welke (binaire ) sommen kan het rekenmachientje oplossen? & C A B 1 & 1 D 1 & A B C D

52 4. Bij opgave 1. zie je drie digitale schakelingen. Geef van iedere schakeling de formule. 5. Geef de formule voor de schakeling van opg.2 6. Van een schakeling luidt de formule: A. B - + A -. B = C teken de schakeling en geef de waarheidstabel. A B C Ontwerp een schakeling waarvan de waarheidstabel de onderstaande uitkomst heeft. geef de formule en de schakeling. IN UIT A B C

53 53