Interim-verslag Random-Getallen

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Interim-verslag Random-Getallen"

Transcriptie

1 Interim-verslag Random-Getallen Tristan Demont en Mark van der Boor en oktober 2012 Begeleider: Relinde Jurrius Opdrachtgever: Berry Schoenmakers Modelleren B, 2WH02 Technische Universiteit Eindhoven 1

2 Samenvatting Start-values (seeds) are used to generate pseudo-random numbers. It is very important to have a start-value that is not biased, or in other words, that is fairly random. This project is about creating such start-values. The purpose is to create these start-values by using userinput and system-properties. After this data is extracted, it has to be transferred to a code consisting of bits. After these steps, the code has to be tested. Is it really random? Inhoudsopgave 1 Inleiding De fasen Combineren Verkrijgen van gegevens (fase 1) Gebruikers-input Systeem-eigenschappen Verwerking naar code (fase 2) Binaire startgegevens Natuurlijke startgegevens Reële startgegevens Controleren op willekeurigheid (fase 3) Afhankelijkheid van n Bepaling van φ m.b.v. statistiek In de praktijk gebracht fase fase fase Uitvoering Voorlopige conclusie 8 7 Vooruitzicht fase fase fase

3 1 Inleiding Dit verslag gaat over het genereren van een random start-code. Deze opdracht is grofweg te verdelen in drie delen. Deze drie fasen worden telkens verduidelijkt door een in de praktijk gebracht idee. 1.1 De fasen In het eerste deel wordt getracht om zoveel mogelijk gegevens te verkrijgen. Dit kan op twee manieren gebeuren. De eerste manier is door gebruik te maken van de input van de gebruiker. Denk aan muis-bewegingen, reactiesnelheid, etc. Ten tweede kan gekeken worden naar systeemeigenschappen. Een systeem heeft een aantal vaste eigenschappen, waarvan er enkele niet van belang zijn. Daarentegen zijn ook heel veel processen pseudo-willekeurig, bijvoorbeeld het werkgeheugen of de snelheid van de computer. In het tweede deel van het verslag wordt gekeken hoe de verkregen gegevens gecombineerd kunnen worden en hoe deze kunnen worden geconverteerd naar bits. Het eerste idee hiervoor was om alle gegevens met elkaar te vermenigvuldigen. Dit blijkt echter niet in alle condities voldoende goed te werken. Ten slotte wordt gekeken of de verkregen rij wel echt willekeurig is. Omdat willekeurig een subjectief begrip is, wordt eerst bepaald wat wordt verstaan onder willekeurig. 1.2 Combineren Het mooie van deze fases is dat er geen vaste combinatie van fases is. Zo kan fase 1 volledig veranderd worden, terwijl fase 2 en fase 3 precies hetzelfde blijven uitvoeren. In de volgende hoofdstukken worden meerdere methodes verteld die gebruikt kunnen worden voor één van de fasen. 2 Verkrijgen van gegevens (fase 1) In dit deel zullen manieren beschreven worden om gegevens te verkrijgen. Deze worden verdeeld in twee categorieën. 2.1 Gebruikers-input Bij deze methodes moet de gebruiker zelf helpen om gegevens te verkrijgen. De gebruiker moet een actie uitvoeren en daar worden de gegevens uit gehaald. Hieronder staat een overzicht van voorbeelden die onder deze methode vallen. Hierbij zullen sommige methoden lang duren maar wel willekeurig zijn en andere zullen snel zijn maar niet erg willekeurig: De gebruiker wordt gevraagd om een munt of dobbelsteen te gooien en de uitkomst in te typen. (langduring, onhandig, maar behoorlijk willekeurig) 3

4 De gebruiker wordt gevraagd om iets met de muis te doen (klikken, bewegen). (kortduring, eventueel onbewust door gebruiker uitgevoerd, maar minder willekeurig) 2.2 Systeem-eigenschappen Er wordt naar eigenschappen van het systeem gekeken. Het voordeel is dat de gebruiker geen actie hoeft te ondernemen om de gegevens te verkrijgen. Het nadeel is dat de mogelijkheden beperkt zijn. Ook zijn dit meestal gegevens die niet of weinig veranderen in een bepaalde periode. Voorbeelden: Het aantal processen. Het processorgebruik. Het fysieke geheugen. 3 Verwerking naar code (fase 2) Zodra fase 2 bereikt wordt, betekent dit dus dat fase 1 voltooid is en dat er veel gegevens beschikbaar zijn. Deze gegevens zijn niet willekeurig en kunnen afhankelijk zijn. De vraag hoe deze gegevens omgezet kunnen worden naar een binaire code, wordt onderverdeeld in drie deelvragen. Elke vraag gaat uit van een ander soort startgegevens. 3.1 Binaire startgegevens Als de beschikbare gegevens binair zijn (dus bijvoorbeeld ), dan is het maken van een code niet moeilijk. In dit geval vormen de binaire gegevens achter elkaar al een binaire code. Voor meer willekeurigheid is het mogelijk om de gegevens in paren van n N te bekijken. Vervolgens levert dit een 0 als het paar een even aantal enen bevat en een 1 als het een oneven aantal enen bevat. 3.2 Natuurlijke startgegevens Als de beschikbare gegevens natuurlijke getallen zijn, dan zijn er meerdere mogelijkheden. Het is mogelijk om alle getallen om te zetten naar binair en vervolgens al die binaire codes achter elkaar te plakken. Dit geeft een lange code, maar deze code is niet erg willekeurig. De tweede mogelijkheid is om alle natuurlijke getallen met elkaar te vermenigvuldigen. Dit geeft een nieuw groot getal. Het nadeel hiervan is dat het getal niet met een 0 begint en eindigt op veel nullen. Ten slotte is er een mogelijkheid om alle getallen modulo p om te zetten en vervolgens pas te vermenigvuldigen. 4

5 3.3 Reële startgegevens Als de beschikbare gegevens reëel zijn, dan is het mogelijk om het reële getal met 10 n te vermenigvuldigen en dan af te ronden naar een natuurlijk getal. Vervolgens kunnen de technieken hierboven toepast worden. 4 Controleren op willekeurigheid (fase 3) Zoals eerder verteld is het nodig om een goede definitie te formuleren van willekeurigheid. Beschouw een rij nullen en enen. Een rij bits van lengte n (X 1, X 2,..., X n ) is willekeurig als: 1. N[1] n 2 φ(n) 2. P[X i+1 = 0 X i = 0] 1 2 φ(n) 3. P[X i+1 = 0 X i = 1] 1 2 φ(n) Kort gezegd, het komt neer op drie dingen. Ten eerste moeten er (ongeveer) net zo veel enen als nullen voorkomen. Ten tweede moet gelden dat als op de i-de plaats een 0 staat, dan moet de kans dat de volgende een 0 is (ongeveer) 1 2 zijn. Als dit geldt, dan geldt namelijk, omdat P[X i+1 = 0] + P[X i+1 = 1] = 1, dat P[X i+1 = 0] P[X i+1 = 1]. Dit moet ook gelden als op de i-de plaats een 1 staat. Van de functies φ en φ is nog niet veel bekend. Deze moeten nog bepaald worden. 4.1 Afhankelijkheid van n Hoe hangt φ van n af? Naar mate de rij bits langer wordt, ofwel n groter wordt, dan mogen er meer onnauwkeurigheden voorkomen. φ wordt dus groter voor toenemende n. Aan de andere kant is een langere rij bits wel betrouwbaarder, in de zin dat het geen grote afwijkingen zal bevatten. φ zal dus afnemend toenemen voor groter wordende n. 4.2 Bepaling van φ m.b.v. statistiek Bekijk nu de situatie vanuit een statistisch perspectief. Beschouw een rij bits als volgt: X = {X 1, X 2, X 3,..., X n 1, X n }. Er geldt dat X i BIN(1, 1 2 ) als X een random rij is. Het aantal enen in de rij is dus verdeeld als N[1] BIN(n, 1 2 ). Noem voor het gemak het aantal enen in de rij N[1] = Y. Bekijk punt 1 uit de definitie (in hoofdstuk 4). Er geldt E[Y ] = n 2, want het aantal enen is binomiaal verdeeld. Neem nu een random rij X waarvan niet zeker is of deze random is. Er geldt dus, alleen kijkend naar de eerste regel van de definitie, dat X i BIN(1, p). Met hoeveel zekerheid kunnen we stellen dat p daadwerkelijk 1 2 is? Dit vraagt om een test. Neem H 0: p = 1 2 en H a:p = 1 2. Neem aan dat we een zekerheid van 1 α nodig hebben. Vind dus a en b zodat P[a Y b] = α. Dit geeft een vaste a en b. Verwerp H 0 nu, als het aantal enen niet tussen a en b ligt. De kans dat H 0 onterecht verworpen wordt, is α. 5

6 5 In de praktijk gebracht 5.1 fase 1 De input die het geschreven programma gebruikt, is een typisch voorbeeld waarvoor de gebruiker zelf een actie moet ondernemen. Er wordt namelijk gevraagd naar drie willekeurige curven. Dit houdt in dat de gebruiker de muis inklikt, een pad maakt en daarna de muis weer loslaat. Dit gebeurt drie keer. Tijdens elk van deze paden worden de volgende gegevens bijgehouden: Aantal pixels bewogen tussen twee keer klikken (afgelegde weg). Aantal pixels bewogen tussen het inklikken en het loslaten (afgelegde weg). De afstand tussen het begin en het eindpunt (netto verplaatsing). De totale tijd tussen twee keer klikken. De tijd tussen het inklikken het loslaten. De hoek van de verplaatsing vlak na het inklikken. 5.2 fase 2 Er zijn tientallen gegevens verzameld. Deze gegevens zijn allemaal getallen. Alle niet-0 getallen worden met elkaar vermenigvuldigd, zodat één groot getal ontstaat. Dit getal eindigt vanzelfsprekend op een aantal nullen, omdat het veel factoren van 2 en 5 bevat. Om dit te voorkomen worden alle nullen op het eind weggehaald. De kans dat het overgebleven getal even is groot, dus het laatste getal wordt ook weggehaald. Vervolgens wordt het grote getal omgezet in een binaire code. Dit is de willekeurige rij. 5.3 fase 3 De verkregen rij wordt in deze fase grondig onderzocht. Er wordt gekeken of alle combinaties van bits even vaak voorkomen. Zo moeten er ongeveer evenveel enen als nullen voorkomen, maar ook moet bijvoorbeeld ongeveer even vaak de code 1001 als 1110 voorkomen. Wanneer deze getallen niet te veel van elkaar verschillen, wordt de rij als willekeurig beschouwd. 5.4 Uitvoering Hieronder staat een voorbeeld van de uitvoering van het programma. In figuur 1 is een voorbeeld te zien van een lijn die getekend is. Deze lijn is vervolgens door ons programma verwerkt, door middel van de fases die in dit hoofdstuk uitgelegd zijn, in een willekeurige code. De lijn uit figuur 1 heeft geleid tot de volgende code: 6

7 Figuur 1: Voorbeeld van een te tekenen lijn. Deze code is vervolgens getest en dit gaf de volgende frequenties: Aantal keer 0: 129 Aantal keer 1: 127 Aantal keer 00: 61 Aantal keer 01: 68 Aantal keer 10: 68 Aantal keer 11: 58 Aantal keer 000: 23 Aantal keer 001: 38 Aantal keer 010: 34 Aantal keer 011: 33 Aantal keer 100: 38 Aantal keer 101: 30 Aantal keer 110: 34 Aantal keer 111: 24 Aantal keer 0000: 8 Aantal keer 0001: 15 Aantal keer 0010: 19 Aantal keer 0011: 18 Aantal keer 0100: 16 Aantal keer 0101: 18 Aantal keer 0110: 20 Aantal keer 0111: 13 Aantal keer 1000: 15 Aantal keer 1001: 23 Aantal keer 1010: 15 Aantal keer 1011: 15 Aantal keer 1100: 22 Aantal keer 1101: 12 Aantal keer 1110: 14 Aantal keer 1111: 10 Uit deze gegevens lijkt de startwaarde willekeurig. Elk van de symmetrische combinaties komt ongeveer even vaak voor. Zo komt 0100 zestien keer voor en 1011 vijftien keer voor. 7

8 6 Voorlopige conclusie Tot nu toe gaan de handelingen in fase 1 goed. Het is goed mogelijk om allerlei gegevens te halen uit bijvoorbeeld gebruikers-input. Ook blijkt dat het gebruiken van deze gegevens een goede invloed heeft op de willekeurigheid van de uiteindelijke rij bits. De gegevens die verkregen zijn, zijn dus willekeurig genoeg. De verkregen gegevens omzetten naar een rij bits is tot nu toe redelijk gelukt. Het vermenigvuldigen van alle waardes geeft een rij bits van een goede lengte. Het probleem is echter dat vermenigvuldigen veel nadelen met zich meebrengt. Bij het vermenigvuldigen in het tientallig stelsel zal bijvoorbeeld aan het eind een hele rij nullen voorkomen. Na het weghalen van deze rij lijkt het overgebleven getal random, maar het weghalen van die nullen is wel degelijk een operatie die de willekeurigheid weghaalt. Het beste is om een nieuwe manier te bedenken om alle gegevens samen te voegen in één rij bits. De controle van de rij bits op willekeurigheid gaat op dit moment aardig. We kunnen grofweg inschatten wanneer bijvoorbeeld de nullen de overhand hebben, maar over echte willekeurigheid kunnen we weinig zeggen. Een vaste definitie of een test zal uitkomst moeten geven. 7 Vooruitzicht Het onderzoek naar dit onderwerp is nog niet voltooid. Sommige delen moeten nog gestart worden, anderen moeten slechts afgerond worden. De belangrijkste stukken die nog toegevoegd moeten worden, zijn ingedeeld in de drie fases. 7.1 fase 1 Zoals verteld is het tot nu toe mogelijk om met de eigenschappen van een lijn gegevens te verkrijgen. Op dit moment zouden nog enkele methodes om gegevens van de gebruiker te erven toegevoegd kunnen worden. Zo is het mogelijk om de gebruiker op het scherm te laten klikken. Hier kan dan de tijd tussen het klikken uitgehaald worden. Ook kan gekeken worden hoe lang de gebruiker iedere keer klikt. De afstand tussen klikken kan ook meegenomen worden. Verder kan de gebruiker nog twee vingers tegelijk gebruiken op bijvoorbeeld een touchpad. Dit noemen we dan de multi-touch. Met deze manier van input kunnen verschillende gegevens verkregen worden. Verder kan er ook een programma geschreven worden waarin de gegevens gehaald worden uit het systeem. Denk hierbij aan de capaciteit van de processor over een bepaalde tijd, de temperatuur van de processor, etc. Het probleem is dat bijvoorbeeld de temperatuur niet constant verandert en gedurende een lange tijd dezelfde waarde kan blijven. Ook hebben niet alle apparaten een temperatuursensor voor de processor. Niet alleen de processor, maar ook de grafische kaart kan gebruikt worden om gegevens te verzamelen, mits deze aanwezig is. Deze methode van data-verkrijging kan dus alleen bij bepaalde apparaten toegepast worden. 8

9 7.2 fase 2 Tot nu toe is er slechts gebruik gemaakt van een behoorlijk primitieve manier om gegevens te combineren tot een startwaarde. Het vermenigvuldigen van getallen ziet er random uit, maar er gebeurt qua datawijziging vrij weinig. In de toekomst is het het doel om van andere technieken gebruik te maken. Een methode die in het oog spring, is het gebruik maken van de exclusive-or operatie (XOR). Bij deze methode worden twee bits omgezet naar één bit. Als een van beide bits waar is, ofwel een 1 is en de andere is onwaar, ofwel een 0, dan is het resultaat 1. Als beide bits hetzelfde zijn, dan is het resultaat 0. Dit gaat volgens de volgende waarheidstabel: Input A Input B Output Het voornaamste voordeel hiervan, is dat het de willekeurigheid van het meest willekeurige stuk data behoudt, ook wanneer het andere stuk data niet erg willekeurig is. Door deze methode herhaald toe te passen, wordt de willekeurigheid dus groter, tot de willekeurigheid van het meest willekeurige stuk data. Stel bijvoorbeeld, dat bit A willekeurig is, maar bit B altijd 0 als waarde heeft. Dit geeft een uitkomstenruimte met nog enkel 2 elementen. Deze elementen zijn echter 0 of 1, en wel dan wanneer A respectievelijk 0 als 1 is. Stel nu dat B altijd waarde 1 heeft, dan is de uitkomstenruimte ook weer gelijk aan 0, 1. 0 als A is 1, en 1 als A is 0. In beide gevallen geeft dit dus de willekeurigheid van A. Hoe deze XOR-operatie toegevoegd wordt aan de dataverwerking, wordt in de volgende periode bepaald. 7.3 fase 3 Betreffende de controle van de startwaarde op willekeurigheid, is de vooruitgang nog gering. Er zal dan ook geprobeerd gaan worden om door middel van toetsen een betrouwbare controlemethode te creëren. Het is tot nu toe alleen gelukt om een toets te creëren die met een bepaalde zekerheid kan vertellen of de rij bits niet willekeurig is. Het is echter het doel om een toets te creëren die met een bepaalde zekerheid kan vertellen of een startwaarde juist wel willekeurig is. Zodra dit via de toets niet vastgesteld kan worden, wordt een nieuwe startwaarde gecreëerd, die vervolgens wederom wordt getoetst op willekeurigheid. Het is dus nog niet zeker of deze test bestaat. Ook is het nodig om vraagtekens te zetten bij de drie definities die in dit verslag zijn genoemd. Zo kan het zijn dat een rij met veel nullen toch willekeurig gegenereerd is, terwijl deze door de definities als niet-willekeurig wordt beschouwd. Bij toetsen wordt de mogelijkheid dat deze rij willekeurig is niet uitgesloten. 9

Random-Getallen. Tristan Demont en Mark van der Boor en

Random-Getallen. Tristan Demont en Mark van der Boor en Random-Getallen Tristan Demont en Mark van der Boor 0768931 en 0772942 18 januari 2013 Begeleider: Relinde Jurrius Opdrachtgever: Berry Schoenmakers Modelleren B, 2WH02 Technische Universiteit Eindhoven

Nadere informatie

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden.

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Uitleg Welkom bij de Beverwedstrijd 2006 Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Je krijgt 5 vragen van niveau A, 5 vragen van niveau B en 5 vragen van niveau C. Wij denken

Nadere informatie

2 Elementaire bewerkingen

2 Elementaire bewerkingen Hoofdstuk 2 Elementaire bewerkingen 19 2 Elementaire bewerkingen 1 BINAIRE GETALLEN In het vorige hoofdstuk heb je gezien dat rijen bits worden gebruikt om lettertekens, getallen, kleuren, geluid en video

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 12 Vrijdag 16 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling vandaag: Normale verdeling Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling Deductieve statistiek Hypothese toetsen

Nadere informatie

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE. Toets Inleiding Kansrekening 1 8 februari 2010

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE. Toets Inleiding Kansrekening 1 8 februari 2010 FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE Toets Inleiding Kansrekening 1 8 februari 2010 Voeg aan het antwoord van een opgave altijd het bewijs, de berekening of de argumentatie toe. Als je een onderdeel

Nadere informatie

2 Elementaire bewerkingen

2 Elementaire bewerkingen Hoofdstuk 2 Elementaire bewerkingen 17 2 Elementaire bewerkingen In dit hoofdstuk leer je hoe werken met binaire getallen en hexadecimale getallen omgezet wordt naar een decimaal getal en omgekeerd. Vervolgens

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September

Statistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September Statistiek voor A.I. College 6 Donderdag 27 September 1 / 1 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 1 Vraag: Afghanistan In het leger wordt uit een groep van 6 vrouwelijke en 14 mannelijke soldaten een

Nadere informatie

Memoriseren: Een getal is deelbaar door 10 als het laatste cijfer een 0 is. Of: Een getal is deelbaar door 10 als het eindigt op 0.

Memoriseren: Een getal is deelbaar door 10 als het laatste cijfer een 0 is. Of: Een getal is deelbaar door 10 als het eindigt op 0. REKENEN VIJFDE KLAS en/of ZESDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Luc Cielen: Regels van deelbaarheid, grootste gemene deler en kleinste gemeen veelvoud 1 Deelbaarheid door 10, 100, 1000. Door

Nadere informatie

De Arduino-microcontroller in de motorvoertuigentechniek (2)

De Arduino-microcontroller in de motorvoertuigentechniek (2) De Arduino-microcontroller in de motorvoertuigentechniek (2) E. Gernaat (ISBN 978-90-79302-11-6) 1 Procescomputer 1.1 Microprocessoren algemeen De informatie-verwerking zoals is behandeld, is vrijwel geheel

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 12 Donderdag 21 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 38 Deductieve

Nadere informatie

HANDLEIDING PROGRAMMEREN IN PASCAL (LAZARUS)

HANDLEIDING PROGRAMMEREN IN PASCAL (LAZARUS) HANDLEIDING PROGRAMMEREN IN PASCAL (LAZARUS) Vereiste voorkennis Voldoende kennis van het besturingssysteem (in deze handleiding wordt uitgegaan van Windows) De basisprincipes van programmeren Vereiste

Nadere informatie

Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms

Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms Giso Dal (0752975) Pagina s 5 7 1 Deelverzameling Representatie

Nadere informatie

1. REGELS VAN DEELBAARHEID.

1. REGELS VAN DEELBAARHEID. REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden

Nadere informatie

VBA voor Doe het Zelvers deel 20

VBA voor Doe het Zelvers deel 20 VBA voor Doe het Zelvers deel 20 Handleiding van Auteur: leofact Augustus 2015 handleiding: VBA voor Doe het Zelvers deel 20 Vorige aflevering In het vorige deel werd besproken hoe je de structuur en vensteropbouw

Nadere informatie

Containers stapelen. M.L. Koning april 2013

Containers stapelen. M.L. Koning april 2013 Technische Universiteit Eindhoven 2WH03 - Modelleren C Containers stapelen L. van Hees 0769244 M.L. Koning 0781346 2 april 2013 Y.W.A Meeuwenberg 0769217 1 Inleiding De NS vervoert dagelijks grote hoeveelheden

Nadere informatie

De AT90CAN microprocessor van ATMEL in de motorvoertuigentechniek (2)

De AT90CAN microprocessor van ATMEL in de motorvoertuigentechniek (2) De AT90CAN microprocessor van ATMEL in de motorvoertuigentechniek (2) Timloto o.s. / E. Gernaat / ISBN 978-90-79302-06-2 Op dit werk is de Creative Commens Licentie van toepassing. Uitgave: september 2012

Nadere informatie

Projectieve Vlakken en Codes

Projectieve Vlakken en Codes Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop

Nadere informatie

2 Algemene opbouw van een computersysteem

2 Algemene opbouw van een computersysteem Procescomputer E. Gernaat 1 Microprocessoren algemeen Informatie-verwerking zoals behandeld is momenteel vrijwel geheel overgenomen door microprocessoren. Wanneer we voortborduren op het idee van combinatorische

Nadere informatie

Elementaire rekenvaardigheden

Elementaire rekenvaardigheden Hoofdstuk 1 Elementaire rekenvaardigheden De dingen die je niet durft te vragen, maar toch echt moet weten Je moet kunnen optellen en aftrekken om de gegevens van de patiënt nauwkeurig bij te kunnen houden.

Nadere informatie

Les A-03 Binaire en hexadecimale getallen

Les A-03 Binaire en hexadecimale getallen Les A-03 Binaire en hexadecimale getallen In deze les wordt behandeld hoe getallen kunnen worden voorgesteld door informatie die bestaat uit reeksen 0-en en 1-en. We noemen deze informatie digitale informatie.

Nadere informatie

Stochastiek 2. Inleiding in the Mathematische Statistiek. staff.fnwi.uva.nl/j.h.vanzanten

Stochastiek 2. Inleiding in the Mathematische Statistiek. staff.fnwi.uva.nl/j.h.vanzanten Stochastiek 2 Inleiding in the Mathematische Statistiek staff.fnwi.uva.nl/j.h.vanzanten 1 / 12 H.1 Introductie 2 / 12 Wat is statistiek? - 2 Statistiek is de kunst van het (wiskundig) modelleren van situaties

Nadere informatie

Inleiding Digitale Techniek

Inleiding Digitale Techniek Inleiding Digitale Techniek Week 4 Binaire optellers, tellen, vermenigvuldigen, delen Jesse op den Brouw INLDIG/25-26 Optellen Optellen is één van meest gebruikte rekenkundige operatie in digitale systemen.

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (WS05), vrijdag 9 oktober 010, van 14.00 17.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS4, dinsdag 17 juni 28, van 9. 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Lights Out. 1 Inleiding

Lights Out. 1 Inleiding Lights Out 1 Inleiding Het spel Lights Out is een elektronisch spel dat gelanceerd werd in 1995 door Tiger Electronics. Het originele spel heeft een bord met 25 lampjes in een rooster van 5 rijen en 5

Nadere informatie

1 Rekenen in eindige precisie

1 Rekenen in eindige precisie Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 199 1994 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek wi2105in deel I 29 januari 2010, uur

Kansrekening en statistiek wi2105in deel I 29 januari 2010, uur Kansrekening en statistiek wi20in deel I 29 januari 200, 400 700 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt grafische rekenmachine toegestaan Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop inleveren

Nadere informatie

Combinatorische Algoritmen: Binary Decision Diagrams, Deel III

Combinatorische Algoritmen: Binary Decision Diagrams, Deel III Combinatorische Algoritmen: Binary Decision Diagrams, Deel III Sjoerd van Egmond LIACS, Leiden University, The Netherlands svegmond@liacs.nl 2 juni 2010 Samenvatting Deze notitie beschrijft een nederlandse

Nadere informatie

THEORIE TALSTELSELS. 1 x 10 0 = 1 (een getal tot de macht 0 = 1) 8 x 10 1 = 80 2 x 10 2 = x 10 3 = Opgeteld: 9281d(ecimaal)

THEORIE TALSTELSELS. 1 x 10 0 = 1 (een getal tot de macht 0 = 1) 8 x 10 1 = 80 2 x 10 2 = x 10 3 = Opgeteld: 9281d(ecimaal) THEORIE TALSTELSELS De binaire code Het geheugenelement van de computer kan slechts twee verschillende waarden bevatten. De schakelingen uit de computer werken daarom met een tweetallig ofwel binair stelsel.

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 5 Dinsdag 28 September 1 / 25 1 Kansrekening Indeling: Bernouilli verdelingen Binomiale verdelingen Voorwaardelijke kansen Voor software R: van http://sourceforge.net

Nadere informatie

Beveiliging van persoonlijke bestanden door middel van encryptie een tutorial door Nick heazk Vannieuwenhoven

Beveiliging van persoonlijke bestanden door middel van encryptie een tutorial door Nick heazk Vannieuwenhoven Beveiliging van persoonlijke bestanden door middel van encryptie een tutorial door Nick heazk Vannieuwenhoven Ten Geleide Voor het beveiligen van onze persoonlijke bestanden zullen we gebruik maken van

Nadere informatie

Lab Webdesign: Javascript 3 maart 2008

Lab Webdesign: Javascript 3 maart 2008 H5: OPERATORS In dit hoofdstuk zullen we het hebben over de operators (of ook wel: operatoren) in JavaScript waarmee allerlei rekenkundige en logische bewerkingen kunnen worden uitgevoerd. Daarbij zullen

Nadere informatie

4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij.

4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij. 3x4 y26 4x y3 4.0 Voorkennis [1] Voorbeeld 1 (Elimineren door substitutie): Los op: Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij. 4x y = 3 y = 4x 3 Stap 2: Vul de vrijgemaakte variabele

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 2 Donderdag 15 September 1 / 42 1 Kansrekening Vandaag: Vragen Eigenschappen van kansen Oneindige discrete uitkomstenruimtes Continue uitkomstenruimtes Continue stochasten

Nadere informatie

HOOFDSTUK 6: INTRODUCTIE IN STATISTISCHE GEVOLGTREKKINGEN

HOOFDSTUK 6: INTRODUCTIE IN STATISTISCHE GEVOLGTREKKINGEN HOOFDSTUK 6: INTRODUCTIE IN STATISTISCHE GEVOLGTREKKINGEN Inleiding Statistische gevolgtrekkingen (statistical inference) gaan over het trekken van conclusies over een populatie op basis van steekproefdata.

Nadere informatie

Graphics. Small Basic graphics 1/6

Graphics. Small Basic graphics 1/6 Small Basic graphics 1/6 Graphics Naast het werken met tekst kan je in Small Basic ook werken met grafische elementen: lijnen, vormen en kleuren. Hierbij gebruik je het grafische venster met de witte achtergrond.

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 3 Dinsdag 21 September 1 / 21 1 Kansrekening Indeling: Uniforme verdelingen Cumulatieve distributiefuncties 2 / 21 Vragen: lengte Een lineaal wordt op een willekeurig

Nadere informatie

Genererende Functies K. P. Hart

Genererende Functies K. P. Hart genererende_functies.te 27--205 Z Hoe kun je een rij getallen zo efficiënt mogelijk coderen? Met behulp van functies. Genererende Functies K. P. Hart Je kunt rijen getallen op diverse manieren weergeven

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Een spoedcursus python

Een spoedcursus python Een spoedcursus python Zoals je in de titel misschien al gezien hebt, geven wij een spoedcursus Python. Door deze cursus leer je alle basics, zoals het rekenen met Python en het gebruik van strings. Het

Nadere informatie

Het voert eenvoudige instructies uit die achter elkaar in het geheugen van de machine zijn opgeslagen.

Het voert eenvoudige instructies uit die achter elkaar in het geheugen van de machine zijn opgeslagen. Antwoorden door een scholier 1809 woorden 28 september 2006 3,6 14 keer beoordeeld Vak Informatica Samenvatting Informatica 6.1) Van kleine instructies naar grote processen Noem 2 termen voor het centrale

Nadere informatie

Hoeveel vertrouwen heb ik in mijn onderzoek en conclusie? Les 1

Hoeveel vertrouwen heb ik in mijn onderzoek en conclusie? Les 1 Hoeveel vertrouwen heb ik in mijn onderzoek en conclusie? Les 1 1 Onderwerpen van de lessenserie: De Normale Verdeling Nul- en Alternatieve-hypothese ( - en -fout) Steekproeven Statistisch toetsen Grafisch

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

Bij elkaar behorende instructies die een probleem oplossen of een taak uitvoeren.

Bij elkaar behorende instructies die een probleem oplossen of een taak uitvoeren. 1 Programma Structuur Diagram: Een gestructureerd programma is een programma dat we gemakkelijk kunnen begrijpen. Dit kunnen we bereiken door het programma op te bouwen uit drie programmacomponenten: Als

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 4. Donderdag 20 September 2012

Statistiek voor A.I. College 4. Donderdag 20 September 2012 Statistiek voor A.I. College 4 Donderdag 20 September 2012 1 / 30 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 30 Cycle 3 / 30 Context 4 / 30 2 Deductieve statistiek Vandaag: Eigenschappen kansen Oneindige

Nadere informatie

EXAMEN INFORMATIETHEORIE I (5JJ40 / 5K020) 25 maart 2004, 9u00 12u00-1 -

EXAMEN INFORMATIETHEORIE I (5JJ40 / 5K020) 25 maart 2004, 9u00 12u00-1 - EXAMEN INFORMATIETHEORIE I (5JJ40 / 5K020) 25 maart 2004, 9u00 12u00-1 - Zet de antwoorden in de daarvoor bestemde vakjes en lever alleen deze bladen in! LET OP: Dit werk bevat zowel de opgaven voor het

Nadere informatie

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3 Modelleren C Appels Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both 2 april 2010 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Probleembeschrijving 2 3 Data 3 4 Aanpak 3 5 Data-analyse 4 5.1 Data-analyse: per product.............................

Nadere informatie

BEGINNER JAVA Inhoudsopgave

BEGINNER JAVA Inhoudsopgave Inhoudsopgave 6 Configuratie Hallo wereld! Praten met de gebruiker Munt opgooien Voorwaarden Lussen......6 Configuratie Met deze Sushi kaarten ga je een simpel spel maken met één van de meest populaire

Nadere informatie

Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks?

Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks? 1 Uitwerking puzzel 92-1 Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks? Harm Bakker noemde het: pro-niks voor-niks De puzzel was voor een groot deel afkomstig van Frits Göbel. Een pronik is een getal dat

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Beweging in beeld. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal

Hoofdstuk 1 Beweging in beeld. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal Hoofdstuk 1 Beweging in beeld Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal 1.1 Beweging vastleggen Het verschil tussen afstand en verplaatsing De verplaatsing (x) is de netto verplaatsing en de

Nadere informatie

3. Structuren in de taal

3. Structuren in de taal 3. Structuren in de taal In dit hoofdstuk behandelen we de belangrijkst econtrolestructuren die in de algoritmiek gebruikt worden. Dit zijn o.a. de opeenvolging, selectie en lussen (herhaling). Vóór we

Nadere informatie

Zo gaat jouw kunstwerk er straks uitzien. Of misschien wel heel anders.

Zo gaat jouw kunstwerk er straks uitzien. Of misschien wel heel anders. Spirograaf in Python Een kunstwerk maken Met programmeren kun je alles maken! Ook een kunstwerk! In deze les maken we zelf een kunstwerk met Python. Hiervoor zal je werken met herhalingen en variabelen.

Nadere informatie

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten. WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de

Nadere informatie

dan verdwijnt een deel van het rijm, maar ook de raadselachtigheid van de tekst.

dan verdwijnt een deel van het rijm, maar ook de raadselachtigheid van de tekst. Uitwerking puzzel 94-4 Raad eens hoe we dat tellen moeten. Wobien Doyer Lieke de Rooij We begonnen met een oud rijmpje, dat een raadsel bevat: De boeren van het Kennemerland hebben tien vingers aan iedere

Nadere informatie

1. De wereld van de kansmodellen.

1. De wereld van de kansmodellen. STATISTIEK 3 DE GRAAD.. De wereld van de kansmodellen... Kansmodellen X kansmodel Discreet model Continu model Kansverdeling Vaas Staafdiagram Dichtheidsfunctie f(x) GraJiek van f Definitie: Een kansmodel

Nadere informatie

D-dag 2014 Vrijeschool Zutphen VO. D -DAG 13 februari 2014: 1+ 1 = 2. (en hoe nu verder?) 1 = 2en hoe nu verder?

D-dag 2014 Vrijeschool Zutphen VO. D -DAG 13 februari 2014: 1+ 1 = 2. (en hoe nu verder?) 1 = 2en hoe nu verder? D -DAG 13 februari 2014: 1+ 1 = 2 (en hoe nu verder?) 1 = 2en hoe nu verder? 1 Inleiding Snel machtsverheffen Stel je voor dat je 7 25 moet uitrekenen. Je weet dat machtsverheffen herhaald vermenigvuldigen

Nadere informatie

4,7. Praktische-opdracht door een scholier 1959 woorden 1 juni keer beoordeeld

4,7. Praktische-opdracht door een scholier 1959 woorden 1 juni keer beoordeeld Praktische-opdracht door een scholier 1959 woorden 1 juni 2001 4,7 331 keer beoordeeld Vak Wiskunde Tientallig stelsel In een tientallig stelsel heb je de getallen 0 t/m 9 tot je beschikking. Zoals je

Nadere informatie

Constanten. Variabelen. Expressies. Variabelen. Constanten. Voorbeeld : varid.py. een symbolische naam voor een object.

Constanten. Variabelen. Expressies. Variabelen. Constanten. Voorbeeld : varid.py. een symbolische naam voor een object. een symbolische naam voor een object. Variabelen Constanten Variabelen Expressies naam : geeft de plaats in het geheugen aan waarde : de inhoud van het object identifier : een rij van letters en/of cijfers

Nadere informatie

Rekenen aan wortels Werkblad =

Rekenen aan wortels Werkblad = Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden

Nadere informatie

Variabelen en statements in ActionScript

Variabelen en statements in ActionScript Ontwikkelen van Apps voor ios en Android Variabelen en statements in ActionScript 6.1 Inleiding Als we het in de informatica over variabelen hebben, bedoelen we een stukje in het geheugen van de computer

Nadere informatie

7,6. Samenvatting door A woorden 12 april keer beoordeeld. Natuurkunde. Natuurkunde Systemen. Systemen

7,6. Samenvatting door A woorden 12 april keer beoordeeld. Natuurkunde. Natuurkunde Systemen. Systemen Samenvatting door A. 1243 woorden 12 april 2013 7,6 12 keer beoordeeld Vak Natuurkunde Natuurkunde Systemen Systemen We onderscheiden 3 soorten gegevensverwerkende systemen: meetsysteem: meet een grootheid

Nadere informatie

Eventing. Introductie. Regel verwerking. Basis structuur

Eventing. Introductie. Regel verwerking. Basis structuur Eventing Eventing...1 Introductie...1 Regel verwerking...1 Basis structuur...1 Waar of Onwaar...2 AND en OR...2 Haakjes...3 Operatoren...3 Apparaten...3 Functies...4 Acties...4 Parameters van apparaten

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Tentamen Computersystemen

Tentamen Computersystemen Tentamen Computersystemen baicosy06 2e jaar bachelor AI, 2e semester 23 september 2013 13u-15u IWO 4.04A (blauw), Academisch Medisch Centrum, Meidreef 29, Amsterdam ZuidOost Het is niet toegestaan communicatieapparatuur

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 12. Dinsdag 23 Oktober

Statistiek voor A.I. College 12. Dinsdag 23 Oktober Statistiek voor A.I. College 12 Dinsdag 23 Oktober 1 / 20 2 Deductieve statistiek Orthodoxe statistiek 2 / 20 3 / 20 Jullie - onderzoek Wivine Tijd waarop je opstaat (uu:mm wordt weergeven als uumm). Histogram

Nadere informatie

Logica voor Informatici najaar 2000 Opgaven en Oplossingen Hoofdstuk 2

Logica voor Informatici najaar 2000 Opgaven en Oplossingen Hoofdstuk 2 Logica voor Informatici najaar 2000 Opgaven en Oplossingen Hoofdstuk 2 2.1 Geef de volgende zinnen weer in propositionele notatie: i Als de bus niet komt, komen de tram en de trein We voeren de volgende

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 3 Dinsdag 20 September 1 / 29 1 Kansrekening Indeling: Cumulatieve distributiefuncties Permutaties en combinaties 2 / 29 Vragen: verjaardag Wat is de kans dat minstens

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

Praktisch bestaan er enkele eenvoudige methoden om een decimaal getal om te zetten naar een binair getal. We bespreken hier de twee technieken.

Praktisch bestaan er enkele eenvoudige methoden om een decimaal getal om te zetten naar een binair getal. We bespreken hier de twee technieken. Talstelsels 1 Algemeenheden Digitale systemen werken met nullen en enen omdat dit elektronisch gemakkelijke te verwezenlijken is. De transistor kent enkel twee toestanden (geleiden of sperren) Hierdoor

Nadere informatie

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE Tentamen Analyse 6 januari 203, duur 3 uur. Voeg aan het antwoord van een opgave altijd het bewijs, de berekening of de argumentatie toe. Als je een onderdeel

Nadere informatie

Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica

Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica T.Verhoeff@TUE.NL http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig ... Oneindig 2 Top tien

Nadere informatie

(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen!

(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen! Examen Wiskundige Basistechniek, reeks A 12 oktober 2013, 13:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven;

Nadere informatie

Vectoren, matrices en beeld. Figuur: Lena. Albert-Jan Yzelman

Vectoren, matrices en beeld. Figuur: Lena. Albert-Jan Yzelman Vectoren, matrices en beeld Figuur: Lena Vectoren, matrices en beeld Hoe coderen we foto s zodat ze te gebruiken zijn op computers? Wat verwachten we van de bestandsgrootte? Hoe verkleinen we de benodigde

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

www.dubbelklik.nu Handleiding Paint 2003

www.dubbelklik.nu Handleiding Paint 2003 Handleiding Paint 2003 www.dubbelklik.nu Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand dan wel openbaar gemaakt in enige

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 4 Donderdag 22 September 1 / 31 1 Kansrekening Vandaag : Vragen Bernouilli verdelingen Binomiale verdelingen Voorwaardelijke kansen 2 / 31 Vragen: multiple choice Bij

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

Mijn project noemt Het Wari-spel. De doelgroep van mijn programma is iedereen die houdt van strategische spelen.

Mijn project noemt Het Wari-spel. De doelgroep van mijn programma is iedereen die houdt van strategische spelen. Voorstel project Mijn project noemt Het Wari-spel. De doelgroep van mijn programma is iedereen die houdt van strategische spelen. Het doel van mijn project is de spelers een ontspannende, plezierige en

Nadere informatie

8. Analyseren van samenhang tussen categorische variabelen

8. Analyseren van samenhang tussen categorische variabelen 8. Analyseren van samenhang tussen categorische variabelen Er bestaat een samenhang tussen twee variabelen als de verdeling van de respons (afhankelijke) variabele verandert op het moment dat de waarde

Nadere informatie

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Rick van der Zwet 13 november 2010 Samenvatting Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek [JS2009]

Nadere informatie

Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002

Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 19.a) Laat zien dat 5 een voortbrenger is van F 37. b) In het sleuteldistributiesysteem van Diffie en Hellman (met G = F 37, α =

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail

Nadere informatie

ICARUS Illumina E653BK on Windows 8 (upgraded) how to install USB drivers

ICARUS Illumina E653BK on Windows 8 (upgraded) how to install USB drivers ICARUS Illumina E653BK on Windows 8 (upgraded) how to install USB drivers English Instructions Windows 8 out-of-the-box supports the ICARUS Illumina (E653) e-reader. However, when users upgrade their Windows

Nadere informatie

Toetsen in Blackboard

Toetsen in Blackboard Toetsen in Blackboard Met de tool Test kun je toetsvragen maken en afnemen. In dit document wordt uitgelegd 1. Hoe een toets gemaakt kan worden. 2. Hoe een toets bewerkt kan worden. 3. Hoe een toets beschikbaar

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 13 Dinsdag 26 Oktober 1 / 24 2 Statistiek Indeling: Hypothese toetsen Filosofie 2 / 24 Hypothese toetsen 3 / 24 Hypothese toetsen: toepassingen Vb. Een medicijn wordt

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Functies voor getallen en teksten

Hoofdstuk 5: Functies voor getallen en teksten Programmeren in Microsoft Visual Basic 6.0, lessenserie voor het voortgezet onderwijs HAVO/VWO David Lans, Emmauscollege, Marnix Gymnasium Rotterdam, maart 2001 Hoofdstuk 5: Functies voor getallen en teksten

Nadere informatie

Geldwisselprobleem van Frobenius

Geldwisselprobleem van Frobenius Geldwisselprobleem van Frobenius Karin van de Meeberg en Dieuwertje Ewalts 12 december 2001 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Afspraken 3 3 Is er wel zo n g? 3 4 Eén waarde 4 5 Twee waarden 4 6 Lampenalgoritme

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 8 Donderdag 13 Oktober 1 / 23 2 Statistiek Vandaag: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 23 Stochast en populatie

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 Het toetsen van nonparametrische variabelen

Hoofdstuk 8 Het toetsen van nonparametrische variabelen Hoofdstuk 8 Het toetsen van nonparametrische variabelen 8.1 Non-parametrische toetsen: deze toetsen zijn toetsen waarbij de aannamen van normaliteit en intervalniveau niet nodig zijn. De aannamen zijn

Nadere informatie

Lesbrief hypothesetoetsen

Lesbrief hypothesetoetsen Lesbrief hypothesetoetsen 00 "Je gaat het pas zien als je het door hebt" Johan Cruijff Willem van Ravenstein Inhoudsopgave Inhoudsopgave... Hoofdstuk - voorkennis... Hoofdstuk - mens erger je niet... 3

Nadere informatie

ALL-CRM Gebruikershandleiding AC-DataCumulator

ALL-CRM Gebruikershandleiding AC-DataCumulator ALL-CRM Gebruikershandleiding AC-DataCumulator Author: Bas Dijk Date: 23-04-2013 Version: v1.2 Reference: 2013, All-CRM 1 Inhoudsopgave 1 Inhoudsopgave 2 2 Inleiding 3 3 Gebruikershandleiding Windows Forms

Nadere informatie

Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari

Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari 2007. (a) De buitenste for-lus kent N = 5 iteraties. Na iedere iteratie ziet de rij getallen er als volgt uit: i rij na i e iteratie 2 5 4 6 2 2 4

Nadere informatie

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 1 11 februari 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides

Nadere informatie

Gebruikershandleiding

Gebruikershandleiding Gebruikershandleiding Installeren van het programma Het programma heeft geen verdere installatie nodig dan het downloaden van de bestanden. Na het downloaden kunt u op GUI dubbelklikken om het programma

Nadere informatie

Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst.

Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst. Statistiek I Werkcollege 1 Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst. Steekproef: Gedeelte van de populatie dat feitelijk wordt onderzocht om informatie te vergaren. Eenheden:

Nadere informatie

WELKOM BIJ UNICODING PROCESSING. Unicoding 1. Handleiding docent LES 1 DEEL A: Vormen, coördinaten en kleuren

WELKOM BIJ UNICODING PROCESSING. Unicoding  1. Handleiding docent LES 1 DEEL A: Vormen, coördinaten en kleuren WELKOM BIJ UNICODING Bedankt voor het kiezen van Unicoding Coding for Kids. Unicoding is een workshop coderen voor basisscholieren van groep 8. In de cursus leren de leerlingen stap voor stap hoe ze een

Nadere informatie

Praktische toepassing van functies

Praktische toepassing van functies Excellerend Heemraadweg 21 2741 NC Waddinxveen 06 5115 97 46 richard@excellerend.nl BTW: NL0021459225 ABN/AMRO: NL72ABNA0536825491 KVK: 24389967 Praktische toepassing van functies De laatste twee functies

Nadere informatie

Toepassingen van de Wiskunde in de Digitale Wereld

Toepassingen van de Wiskunde in de Digitale Wereld Toepassingen van de Wiskunde in de Digitale Wereld Eindhoven 17 juli 2010 Henk van Tilborg Technische Universiteit Eindhoven 1 Beschermen van digitale gegevens. Bijna alle informatie (muziek, video, foto's,

Nadere informatie

Classification of triangles

Classification of triangles Classification of triangles A triangle is a geometrical shape that is formed when 3 non-collinear points are joined. The joining line segments are the sides of the triangle. The angles in between the sides

Nadere informatie