Wiskunde. 1ste bach TEW 131 4,20. uickprinter Koningstraat Antwerpen.

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Wiskunde. 1ste bach TEW 131 4,20. uickprinter Koningstraat Antwerpen."

Karolien Meijer
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 1ste bach TEW Wiskunde Definities en bewijzen / Prof. De Schepper / 1ste & de semester Q uickprinter Koningstraat Antwerpen 131 4,0

2 Nieuw!!! Online samenvattingen kopen via

3 Alle definities en bewijzen Binomium Newton Definitie Faculteiten VVVV n N geldt 0! = 1 n! = n (n 1) 1 vvvv n 1 Definitie Combinaties VVVV n, k N mmm k n ggggg n k = n! k!(n k)! vvvv n 1 Stelling Binomium van Newton VVVV a, b R ee n N ggggg (a + b) n = n 0 an b 0 + n 1 an 1 b n n 1 a1 b n 1 + n n a0 b n n = n k an k b k k=0 De coëfficiënten bij de machten van a en b in deze uitdrukking noemt men binomiaalcoëfficiënten. vv: vvvv n = 3: (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 Verband tussen beide coördinatenstelsels DD oooooooooooooooooo tttttt bbbbb sssssss ccörrrrrrrr zzzz dd vvvvvvvv: x = rrrrr y = rrrrr en r = x + y φ = y x Definitie Complexe Getallen We definiëren i als het getal waarvoor geldt: i = -1. Met deze definitie wordt de verzameling van de complexe getallen dan gedefinieerd als de verzameling van alle lineaire combinaties van reële getallen en dit getal i, of C = {a + b i a, b R} In de notatie a + b i nnnnn mmm a hee rrëll dddd ee b i hee iiiiiiiiii deee. Definitie Toegevoegd Complex Getal MMM dddddddddd hee tttttttttt ccccccc ggggg vvv a + b i aaa Dennis van Veldhoven 1

4 Alle definities en bewijzen a + b ı = a b i Definitie Goniometrische of Polaire vorm Een complex getal a + b i kan in het complexe vlak meetkundig voorgesteld worden door het punt met: Cartesische coördinaten (a, b), of Poolcoördinaten (r, φ) bepaald door a = rrrrr b = rrrrr mmm r 0 ee 0 φ < Er geldt a + b i = r(cccc + i ssss) Het rechterlid noemt men de goniometrische of polaire vorm van het complexe getal. Eigenschap Formule van De Moivre VVVV eek ccccccc ggggg mmm mmmmmmm 1 ggggg (cccc + i ssss) n = cos(nn) + i sin(nn) (n Z) Methode Toepassing De Moivre Om de n-de macht te bepalen van een willekeurig complex getal, stap je best over op de goniometrische vorm. Als a + b i = r (cccc + i ssss) dan is (a + b i) n = r n (cos (nn) + i sin (nn)) (n Z) Definitie Kapitalisatie Wanneer je een startkapitaal A gedurende n jaar belegt aan een jaarlijkse intrestvoet r, dan kan het eindbedrag na n jaar berekend worden als S = A (1 + r) n Dit bedrag noemt men het gekapitaliseerde bedrag of de slotwaarde of eindwaarde. Men gebruikt meestal de notatie u = 1 + r voor de kapitalisatiefactor. Dennis van Veldhoven

5 Alle definities en bewijzen Definitie Actualisatie Om na een belegging gedurende n jaar aan een jaarlijkse intrestvoet r een eindbedrag S te bereiken, moet gestart worden met een kapitaal gelijk aan A = S (1 + r) n Dit bedrag noemt men het geactualiseerde bedrag of de aanvangswaarde of beginwaarde. Men gebruikt meestal de notatie v = 1 vvvv dd aaaaaaaaaaaaaaaaaa 1+r = 1 u Definitie Functie Een reële functie f is een voorschrift dat aan elk element van een verzameling A R (domein of definitiegebied) een element van een verzameling B R (bereik of beeldgebied) toekent. Notatie: of f: A B x f(x) f: R R x f(x) Definitie Even - Oneven Een reële functie f: R R x f(x) is een even functie, indien voor elke waarde x uit het domein geldt: f(x) = f(-x) De grafiek van de functie is symmetrisch ten opzichte van de Y-as Een reële functie f: R R x f(x) is een oneven functie, indien voor elke waarde x uit het domein geldt: f(x) = -f(-x) De grafiek van de functie is symmetrisch ten opzichte van de oorsprong. Definitie Samengestelde Functie Een reële functie f: R R x f(x) is een samenstelling van functies g: R R x g(x) na h: R R x h(x), of f = g h Indien voor elke waarde van x geldt f(x) = g(h(x)) Definitie Inverse Functie Een reële functie g: R R x g(x) is de inverse functies van f: R R x f(x), indien Dennis van Veldhoven 3

6 Alle definities en bewijzen voor elke waarde y uit het domein van f geldt: f(y) = x g(x) = y Meestal noteert men de inverse functie als g = f -1 De beeldlijnen van de functies f en f -1 zijn gespiegeld ten opzichte van de eerste bissectrice. Eigenschap Invers Voor een eenduidige en eenwaardige reële functie f: R R x f(x) geldt: f f 1 (x) = x ee f 1 f(x) = x Definitie Stuksgewijs gedefinieerde functie Een reële functie g: R R x g(x) is een stukgewijs gedefinieerde functie indien het voorschrift verschilt voor verschillende delen van het domein van de functie. Definitie Lineaire functie Een lineaire functie of affiene functie heeft voorschrift f: R R x f(x) = mm + q. Een lineaire functie wordt grafisch voorgesteld door een rechte. De waarde m is de rico of helling van de functie. De waarde q bepaalt het snijpunt van de beeldlijn van de functie met de Y-as. Definitie Absolute waarde functie De absolute waarde functie associeert met elk reëel getal zijn absolute waarde: x x < 0 aaa: R R x aaa(x) = x = x x 0 Definitie Grootste Gehele Waarde functie De grootste gehele waarde functie associeert met elk reëel getal het grootste gehele getal dat niet groter is dan het beschouwde getal: ggg: R R x ggg(x) = [x] = mmm{y Z y x} Definitie Veeltermfunctie Een veeltermfunctie van graad n heeft voorschrift f: R R x f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 Met n N ee mmm a 0, a 1,, a n 1, a n R, a n 0. Een veeltermfunctie heeft als domein de gehele reële as, en wordt grafisch voorgesteld door een gladde éénwaardige kromme. Definitie Parabool De vergelijking Dennis van Veldhoven 4

7 Alle definities en bewijzen y y 0 = a(x x 0 ) Met x 0, y 0 R ee a R 0, bbbbhrrrrr eee pppppppp De top van deze parabool heeft coördinaten (x 0,y 0 ). De symmetrie-as is evenwijdig aan de Y-as en heeft vergelijking x = x 0. De parabool heeft de holle zijde naar boven indien a > 0, naar beneden indien a < 0. Definitie Rationale Functie Een veeltermfunctie van graad n heeft voorschrift f: R R x f(x) = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b m x m + b n 1 x m b 1 x + b 0 Met n, m N ee mmm a 0, a 1,, a n, b 0, b 1,, b m R Het domein van een rationale functie is de reële as verminderd met de waarden waarvoor de noemer nul wordt. Definitie Irrationale Functie Een irrationale functie heeft een voorschrift waarin een of meer wortelvormen voorkomen. Het domein van een irrationale functie is beperkt tot dat deel van de reële as waarvoor het argument onder de wortel het juiste teken bezit. Definitie Cirkel De impliciete vergelijking (x x 0 ) + (y y 0 ) = r Met x 0, y 0 R ee r R 0 + bbbbhrrrrr eee cccccc Het middelpunt van deze cirkel heeft coördinaten (x 0,y 0 ) ; de straal is r. Eigenschap Sinusfunctie De sinusfunctie sss R R x sin(x) Is positief voor hoeken uit het eerste en tweede kwadrant, en negatief voor hoeken uit het derde en vierde kwadrant; Heeft domein R ee bbbbbb [ 1, 1] ; Is éénwaardig en meerduidig Is een oneven functie; Is een periodische functie met periode Eigenschap Cosinusfunctie De cosinusfunctie ccc R R x cos(x) Dennis van Veldhoven 5

8 Alle definities en bewijzen Is positief voor hoeken uit het eerste en vierde kwadrant, en negatief voor hoeken uit het tweede en derde kwadrant; Heeft domein R ee bbbbbb [ 1, 1] ; Is éénwaardig en meerduidig Is een even functie; Is een periodische functie met periode Eigenschap Tangensfunctie De tangensfunctie ttt R R x tan(x) Is positief voor hoeken uit het eerste en derde kwadrant, en negatief voor hoeken uit het tweede en vierde kwadrant; Heeft domein R (n + 1) : n Z ee bbbbbb R ; Is éénwaardig en meerduidig Is een oneven functie; Is een periodische functie met periode Waarden van sinus, cosinus en tangens. α 0 6 Sin(α) Cos(α) Tan(α) / 0 Definitie Boogsinusfunctie De boogsinusfunctie is de inverse van de sinusfunctie. De gewone boogsinusfuctie bgsin wordt gedefinieerd als y=bgsin(x) x=sin(y). x = sin (y) De hoofdwaarde Bgsin wordt gedefinieerd als y = Bgsin (x) y, Definitie Boogcosinusfunctie De boogcosinusfunctie is de inverse van de cosinusfunctie. Dennis van Veldhoven 6

9 Alle definities en bewijzen De gewone boogcosinusfuctie bgcos wordt gedefinieerd als y=bgcos(x) x=cos(y). x = cos (y) De hoofdwaarde Bgcos wordt gedefinieerd als y = Bgcos (x) y [0, ] Definitie Boogtangensfunctie De boogtangensfunctie is de inverse van de tangensfunctie. De gewone boogtangensfuctie bgtan wordt gedefinieerd als y=bgtan(x) x=tan(y). x = tan (y) De hoofdwaarde Bgtan wordt gedefinieerd als y = Bgtan (x) y, Eigenschap Boogsinusfunctie (Bgsin) De functie bgsin : R R: x bgsin(x) Heeft domein [-1, 1] en bereik R Is meerwaardig en éénduidig De functie Bgsin : R R: x Bgsin(x) Heeft domein [-1, 1] en bereik [-/, /] Is éénwaardig en éénduidig Eigenschap Boogcosinusfunctie (Bgcos) De functie bgcos : R R: x bgcos(x) Heeft domein [-1, 1] en bereik R Is meerwaardig en éénduidig De functie Bgcos : R R: x Bgcos(x) Heeft domein [-1, 1] en bereik [0, ] Is éénwaardig en éénduidig Eigenschap Boogtangensfunctie (Bgtan) De functie bgtan : R R: x bgtan(x) Heeft domein R en bereik R\{(n+1) / : n Z} Is meerwaardig en éénduidig De functie Bgtan : R R: x Bgtan(x) Heeft domein [-1, 1] en bereik ]-/, /[ Is éénwaardig en éénduidig Definitie Exponentiële functie Een exponentiële functie heeft voorschrift expa : R R0 + : x expa(x) = a x, met a R + \{0,1}. Dennis van Veldhoven 7

Vergelijkbare documenten

Goniometrische functies

Goniometrische functies ) Hoeken - Grondbegrippen a) Definitie van een hoek Een hoek is een georiënteerd paar halfrechten die starten in hetzelfde punt (hoekpunt). Hierbij maken we de afspraak dat positieve