CONTINUE WISKUNDE 2, e college: Reeksen 2. Jan-Hendrik Evertse

Transcriptie

1 CONTINUE WISKUNDE 2, 2020 e college: Reeksen 2 Jan-Hendrik Evertse Universiteit Leiden evertse@math.leidenuniv.nl

2 Convergentie en divergentie van reeksen a n = lim K (a p + a p+ + + a K ) is convergent als de limiet bestaat en eindig is, divergent als de limiet niet bestaat of gelijk is aan ±. 2/39

3 Convergentie en divergentie van reeksen a n = lim K (a p + a p+ + + a K ) is convergent als de limiet bestaat en eindig is, divergent als de limiet niet bestaat of gelijk is aan ±. Moeilijk probleem: hoe bepalen we voor een gegeven reeks of die convergeert of divergeert? Er is jammer genoeg geen methode om dit te bepalen die voor alle reeksen werkt. Er zijn verschillende zogenaamde convergentiekenmerken die voor bepaalde types reeksen uitsluitsel geven of ze convergeren of divergeren. Een ander probleem is om voor een gegeven reeks het goede convergentiekenmerk te vinden. 3/39

4 Een divergentiekenmerk Neem aan dat a n convergeert. Dan is lim n a n = 0. 4/39

5 Een divergentiekenmerk Neem aan dat Bewijs. Schrijf a n convergeert. Dan is lim n a n = 0. a n = s. De convergentie van de reeks betekent dat s eindig is. Volgens definitie is s de limiet van de rij partiële sommen s K = a p + + a K voor K. Dan heeft de rij s K = a p + + a K ook limiet s. Dus lim K a K = lim K (s K s K ) = lim K s K lim K s K = s s = 0. 5/39

6 Een divergentiekenmerk Neem aan dat Bewijs. Schrijf a n convergeert. Dan is lim n a n = 0. a n = s. De convergentie van de reeks betekent dat s eindig is. Volgens definitie is s de limiet van de rij partiële sommen s K = a p + + a K voor K. Dan heeft de rij s K = a p + + a K ook limiet s. Dus lim a K = lim (s K s K ) = lim s K lim s K = s s = 0. K K K K Vanwege het logische principe (P Q) ( Q P) geeft dit het volgende Divergentiekenmerk Als lim n a n ongelijk is aan 0 of niet bestaat, dan is a n divergent. 6/39

7 Wat als lim n a n = 0? We hebben gezien: als a n convergeert dan is lim n a n = 0. Het omgekeerde geldt niet: als lim a n = 0 dan hebben we geen n uitsluitsel of a n convergeert of divergeert. 7/39

8 Wat als lim n a n = 0? We hebben gezien: als a n convergeert dan is lim n a n = 0. Het omgekeerde geldt niet: als lim a n = 0 dan hebben we geen n uitsluitsel of a n convergeert of divergeert. Voorbeeld. De harmonische reeks n = }{{} }{{} 2 4 = 2. Er geldt: n 4 8 = } {{ } 8 6 = 2 + De som van de volgende 6 termen is, de som van de 2 daaropvolgende 32 termen is 2 enzovoort. Dus n 2 =. 8/39

9 Wat als lim n a n = 0? Aan de andere kant geldt bijvoorbeeld dat gezegd, n 2 convergeert. Preciezer n 2 = = π2 6 (Leonhard Euler, ). 9/39

10 Wat als lim n a n = 0? Aan de andere kant geldt bijvoorbeeld dat gezegd, n 2 convergeert. Preciezer n 2 = = π2 6 (Leonhard Euler, ). Als lim a n = 0 dan is er nog geen uitsluitsel of a n convergeert of n niet. a n divergeert als a n te langzaam naar 0 nadert. 0/39

11 Convergentiekenmerken voor reeksen met termen 0 In het vervolg van het college bekijken we alleen reeksen alle a n 0. a n waarvoor Voor zulke reeksen bestaat uitkomst kan zijn. Dus a n = lim K (a p + + a K ) altijd maar de a n convergent a n < ; a n divergent a n =. /39

12 Het integraalkenmerk Het integraalkenmerk geeft een verband tussen convergentie (al of niet eindig zijn) van reeksen en convergentie (al of niet eindig zijn) van oneigenlijke integralen. In een aantal gevallen kun je de integraal uitrekenen en op die manier nagaan of de reeks convergeert of divergeert. 2/39

13 Het integraalkenmerk Het integraalkenmerk geeft een verband tussen convergentie (al of niet eindig zijn) van reeksen en convergentie (al of niet eindig zijn) van oneigenlijke integralen. In een aantal gevallen kun je de integraal uitrekenen en op die manier nagaan of de reeks convergeert of divergeert. Zij p een geheel getal en f (x) een functie die op [p, ) continu, monotoon niet-stijgend en 0 is. Dan geldt: f (n) convergent p f (x)dx convergent. 3/39

14 Het integraalkenmerk Zij p een geheel getal en f (x) een functie die op [p, ) continu, monotoon niet-stijgend en 0 is. Dan geldt: f (n) convergent p f (x)dx convergent. 4/39

15 Het integraalkenmerk Zij p een geheel getal en f (x) een functie die op [p, ) continu, monotoon niet-stijgend en 0 is. Dan geldt: f (n) convergent p f (x)dx convergent. Bewijs. Er geldt: som van de oppervlaktes van de rechthoekjes onder de grafiek van f oppervlakte onder de grafiek van f som van de oppervlaktes van de rechthoekjes boven de grafiek van f ofwel f (p + ) + f (p + 2) + p f (x)dx f (p) + f (p + ) + 5/39

16 Het integraalkenmerk Zij p een geheel getal en f (x) een functie die op [p, ) continu, monotoon niet-stijgend en 0 is. Dan geldt: f (n) convergent Vervolg bewijs. We hebben gezien: f (p + ) + f (p + 2) + ( ) ofwel f (n) f (p) Dus p p p f (x)dx convergent. f (x)dx f (p) + f (p + ) + f (x)dx f (n) < (d.w.z. convergent) f (n). p f (x)dx <. 6/39

17 Voorbeeld Voor welke s convergeert n s en voor welke s divergeert hij? 7/39

18 Voorbeeld Voor welke s convergeert n s en voor welke s divergeert hij? We weten: n s convergeert x s dx convergeert. 8/39

19 Voorbeeld Voor welke s convergeert We weten: Er geldt: = lim B n s en voor welke s divergeert hij? n s convergeert x s dx = lim B B x s dx [ s x s] B = lim B x s dx convergeert. s (B s ) = [ ] B = lim ln x = lim ln B = als s =. B B Dus x s dx convergeert als s > en divergeert als s. { < als s >, s als s <. 9/39

20 Voorbeeld Voor welke s convergeert We weten: Er geldt: = lim B n s en voor welke s divergeert hij? n s convergeert x s dx = lim B B x s dx [ s x s] B = lim B x s dx convergeert. s (B s ) = [ ] B = lim ln x = lim ln B = als s =. B B Dus x s dx convergeert als s > en divergeert als s. Dus n s convergeert als s > en divergeert als s. { < als s >, s als s <. 20/39

21 Voorbeeld 2 Convergeert of divergeert n=2 n ln n? 2/39

22 Voorbeeld 2 Convergeert of divergeert We weten n=2 n=2 n ln n? n ln n convergeert dx convergeert. x ln x 2 22/39

23 Voorbeeld 2 Convergeert of divergeert We weten Er geldt n=2 n=2 n ln n? n ln n convergeert dx convergeert. x ln x x ln x dx = 2 u du (substitutie u = ln x, du = x dx) = ln u + C = ln ln x + C. Dus 2 = lim B B dx = lim x ln x B 2 x ln x dx [ ] B ln ln x = lim (ln ln B ln ln 2) = is divergent. 2 B Dus n=2 n ln n is divergent. 23/39

24 We vervolgen met het vergelijkingskenmerk 24/39

25 Het vergelijkingskenmerk Neem aan dat we van een bepaalde makkelijke reeks b n met b n 0 n=q weten of hij convergeert of divergeert. We willen van een moeilijke reeks a n met a n 0 bepalen of hij convergeert door a n met b n te vergelijken. 25/39

26 Het vergelijkingskenmerk Neem aan dat we van een bepaalde makkelijke reeks b n met b n 0 n=q weten of hij convergeert of divergeert. We willen van een moeilijke reeks a n met a n 0 bepalen of hij convergeert door a n met b n te vergelijken. Bij makkelijke reeksen moet je denken aan n s (convergent als s > en divergent als s ). 26/39

27 Het vergelijkingskenmerk Neem aan dat we van een bepaalde makkelijke reeks b n met b n 0 n=q weten of hij convergeert of divergeert. We willen van een moeilijke reeks a n met a n 0 bepalen of hij convergeert door a n met b n te vergelijken. Bij makkelijke reeksen moet je denken aan n s (convergent als s > en divergent als s ). Ruw gezegd, als a n van orde van grootte hoogstens b n is en convergent, dan is a n convergent; als a n van orde van grootte minstens b n is en a n divergent. b n is n=q b n is divergent, dan is n=q 27/39

28 Het vergelijkingskenmerk Zijn a n, b n reeksen met a n 0, b n 0 voor alle n. n=q a (i) als lim n = l <, n b n a (ii) als lim n = l > 0, n b n b n convergent dan n=q b n divergent dan n=q a n convergent; a n divergent. 28/39

29 Het vergelijkingskenmerk Zijn a n, b n reeksen met a n 0, b n 0 voor alle n. n=q a (i) als lim n = l <, n b n a (ii) als lim n = l > 0, n b n b n convergent dan n=q b n divergent dan n=q a n convergent; a n divergent. a Als lim n = l < dan is a n b n van orde van grootte hoogstens b n, dus n als b n convergent (d.w.z. < ) is dan is a n convergent; n=q a als lim n = l > 0 dan is a n b n van orde van grootte minstens b n, dus als n b n divergent (d.w.z. ) is dan is a n divergent. n=q 29/39

30 Voorbeeld Is n=2 5n +7n 0 n 3 convergent of divergent? 30/39

31 Voorbeeld Is n=2 5n +7n 0 n 3 convergent of divergent? We willen het vergelijkingskenmerk toepassen met a n = 5n +7n 0 n 3 en met een eenvoudige b n van dezelfde orde van grootte waarvan we weten of b n convergeert of divergeert. n=q We proberen iets van de vorm b n = n s. We weten dat convergeert als s > en divergeert als s. n s 3/39

32 Voorbeeld Is n=2 5n +7n 0 n 3 convergent of divergent? We willen het vergelijkingskenmerk toepassen met a n = 5n +7n 0 n 3 en met een eenvoudige b n van dezelfde orde van grootte waarvan we weten of b n convergeert of divergeert. n=q We proberen iets van de vorm b n = n s. We weten dat convergeert als s > en divergeert als s. De teller van a n is van orde van grootte n (hoogste macht van n, als n groot wordt is n de dominante term) en de noemer van a n van orde van grootte n 3. Dus a n zelf is van orde van grootte n 3 = n 2. We vergelijken a n met b n = n 2. n s 32/39

33 Voorbeeld Is n=2 5n +7n 0 n 3 convergent of divergent? We vergelijken a n = 5n +7n 0 n 3 met b n = n 2. 33/39

34 Voorbeeld Is n=2 5n +7n 0 n 3 convergent of divergent? We vergelijken a n = 5n +7n 0 n 3 Er geldt met b n = n 2. a n = (5n +7n 0 )/(n 3 ) b n n 2 = (5n +7n 0 )n 2 n 3 = 5n3 +7n 2 n 3. Als we teller en noemer door de snelstgroeiende term van de noemer, dat is n 3 delen krijgen we a lim n n b n 5+7n = lim n n 3 = 5. Zoals bekend is n 2 convergent. Volgens het vergelijkingskenmerk (i) is n=2 5n +7n 0 n 3 convergent. 34/39

35 Voorbeeld 2 Is n=2 ln n convergent of divergent? 35/39

36 Voorbeeld 2 Is n=2 ln n convergent of divergent? (ln n) We hebben in Continue wiskunde gezien dat lim t n n s t > 0, s > 0. Dus voor a n = ln n, b n = n s geldt a lim n n b n Zoals bekend is / ln n n = lim n /n s = lim s = voor alle s > 0. n ln n n s divergent voor 0 < s <. Dan is volgens vergelijkingskenmerk (ii) n=2 ln n ook divergent. = 0 voor elke 36/39

37 Voorbeeld 3 Is (ln n) 000 n 2 convergent of divergent? 37/39

38 Voorbeeld 3 Is (ln n) 000 n 2 convergent of divergent? (ln n) We weten dat lim t n n s = 0 voor elke t > 0, s > 0. (ln n) Dus lim 000 /n 2 n n s 2 = 0 voor elke s > 0. M.a.w. voor a n = We weten dat (ln n)000 n 2 en b n = n s 2 geldt lim n a n b n = 0. n s 2 convergeert als s 2 < dus als s <. Dan is volgens vergelijkingskenmerk (i) (ln n) 000 n 2 ook convergent. 38/39

39 EINDE VAN HET COLLEGE 39/39