3.4 Oppervlakte en inhoud

Transcriptie

1 .4 Oppervlkte en inhoud Inleiding Dit heet een shilddk, een dkvorm die je vk op een stolpoerderij ziet. Belnrijk ij de ouw ervn zijn de oppervlkte ervn (om te eplen hoeveel dkedekking er voor nodig is) en het volume er onder (om te eplen hoeveel opslg/woon-ruimte er onder zit). Figuur 1 Je leert in dit onderwerp de oppervlkte vn ruimtelijke figuren erekenen; de inhoud (het volume) vn ruimtelijke figuren erekenen; werken met oppervlkte- en volumevergrotingsftoren. Voorkennis de sisegrippen vn ruimtemeetkunde, zols punt, lijn, lijnstuk, zijde, hoekpunt, hoek, zijvlk (grensvlk), (lihms)digonl en de nmen en de eigenshppen vn de ekende ruimtelijke figuren; de stelling vn Pythgors, werken met verhoudingen en goniometrie en dit toepssen in ruimtelijke situties; werken met nzihten vn een doorsneden in ruimtelijke figuren. Verkennen Opgve V1 In deze tel zie je een ntl ekende formules voor het erekenen vn een omtrek, een oppervlkte, of een inhoud. Ernst stn de etekenissen vn die formules, mr die stn niet in de juiste volgorde. formule etekenis 1 0,5 sis hoogte omtrek irkel 2 lengte reedte hoogte oppervlkte rehthoek grondvlk hoogte oppervlkte driehoek 4 2π strl d oppervlkte prllellogrm 5 lengte reedte e oppervlkte irkel 6 1 grondvlk hoogte f inhoud lk 7 sis hoogte g inhoud prism 8 π strl 2 h inhoud pirmide Tel 1 Geef ij elke formule de juiste omshrijving. WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO PAGINA 1

2 Uitleg Je ziet hier drie lihmen die lle drie dezelfde hoogte DH heen. Het prism en de pirmide heen ook nog hetzelfde grondvlk ACD en dt is preies de helft vn het grondvlk vn de lk. E H F G E H G H A D 4 B C A D 4 4 C D A C Figuur 2 De inhoud vn de lk is duidelijk het grootst: V(lk) = 4 6 = 12 6 = 72 eenheden (eenheidskuussen). Het prism is de helft vn de lk, dus: V(prism) = = 6 6 = 6. Merk op dt dit preies de oppervlkte vn het grondvlk (ΔACD) ml de hoogte is. En dt wist je ook wel: het volume vn een prism is V(prism) = G h ls G de oppervlkte vn het grondvlk en h de hoogte is. De pirmide heeft hetzelfde grondvlk en dezelfde hoogte ls het prism. Je kunt lten zien, dt er in het prism drie pirmides pssen wrvn het produt vn grondvlk en hoogte hetzelfde is ls dt vn de getekende pirmide. Elk vn deze pirmides heeft drom dezelfde inhoud, nmelijk 1 deel vn die vn het prism. Voor de getekende pirmide geldt V(pirmide) = 1 G h. Vn lle drie de getekende lihmen is de totle oppervlkte gelijk n de oppervlkte vn hun uitslg. En wt geeurt er met de oppervlkte en de inhoud vn zo'n lihm ls lle rien ijvooreeld keer zo groot worden? d Opgve 1 Bekijk de drie lihmen in de Uitleg. De inhoud, het volume, vn een lihm is het ntl eenheidskuusjes dt er in pst. Bij een lk en een prism epl je dn eerst het ntl eenheidskuussen op het grondvlk en dn vermenigvuldig je met het ntl lgen, de hoogte, vn de lk, het prism. Zo krijg je de formule V = G h, wrin V het volume, G de oppervlkte vn het grondvlk en h de hoogte is. Lt zien, dt de formule V = G h zowel ij de lk ls ij het prism tot de juiste inhoud leidt. De oppervlkte vn een lihm is de oppervlkte vn de uitslg vn dt lihm. Bereken de oppervlkte vn de lk. Bereken de oppervlkte vn het prism. Neem nu eens n dt de fmetingen vn deze figuren keer zo groot worden. Hoeveel keer zo groot wordt dn hun inhoud? En hun oppervlkte? Liht je ntwoord toe. Opgve 2 Bekijk de drie lihmen in de Uitleg. Vergelijk de getekende pirmide met het getekende prism. G n, dt het prism kn worden verdeeld in de pirmides ACD.H, CGH.E en AHE.C. G ook n, dt voor elk vn deze pirmides geldt dt G h = 6 wrin G de oppervlkte vn het grondvlk en h de hoogte is. Leg uit dt de oppervlkte vn pirmide ACD.H drom V = 1 G h moet zijn. Bereken deze inhoud. PAGINA 2 MATH4ALL

3 Meetkunde Ruimtemeetkunde Oppervlkte en inhoud d Opgve Er zijn ook lihmen met geogen grensvlkken. Een ilinder en een kegel ijvooreeld heen ook een grondvlk met oppervlkte G en een hoogte h. Wrom zl de formule voor de inhoud vn een ilinder V(ilinder) = G h zijn? Bereken de inhoud vn een ilinder met een dimeter vn 4 m en een hoogte vn 5 m. Wrom zl de formule voor de inhoud vn een kegel V(kegel) = 1 G h zijn? Bereken de inhoud vn een kegel met een dimeter vn 4 m en een hoogte vn 5 m. Theorie en vooreelden Om te onthouden Onder de inhoud of het volume vn een lihm wordt het totl ntl eenheidskuussen dt dit lihm opvult verstn. Voor vershillende soorten lihmen kun je die inhoud erekenen met ehulp vn een formule. De inhoud vn een lk, een prism, of een ilinder met G ls oppervlkte vn het grondvlk en h ls hoogte is: V = G h. De inhoud vn een pirmide, of een kegel met G ls oppervlkte vn het grondvlk en h ls hoogte is: V = 1 G h. Onder de oppervlkte vn een lihm wordt de oppervlkte vn de uitslg vn dt lihm verstn. Om zowel de inhoud ls de oppervlkte vn een lihm te kunnen erekenen moet je de oppervlkteformules vn llerlei vlkke figuren, zols rehthoek, driehoek en irkel kennen. Ook de formule voor de omtrek vn een irkel is vn elng. Zorg dt je l deze formules goed kent! h h Figuur Als je de fmetingen vn een lihm k keer zo groot mkt, dn wordt de oppervlkte k 2 keer zo groot en de inhoud k keer zo groot. k heet de lengtevergrotingsftor, k 2 de oppervlktevergrotingsftor en k de volumevergrotingsftor. G G Vooreeld 1 Een ilinder heeft een dimeter vn 8 m en een hoogte vn 10 m. Bereken de inhoud en de oppervlkte vn deze ilinder. 8 m Antwoord Voor de inhoud V geruik je de formule V = G h, wrin G de oppervlkte vn het grondvlk en h de hoogte is. Nu is G = π r 2 = π 4 2 = 16π en h = 10. En dus is V = 16π 10 = 160π m. Voor de oppervlkte A moet je weten hoe de uitslg vn een ilinder er uit Figuur 4 ziet. Die estt uit twee irkels en een rehthoek. De rehthoek heeft reedte 10 m en ls lengte de omtrek vn de grondirkel π 8 = 8π m. Dus krijg je A = 8π π 4 2 = 112π. 10 m r h Opgve 4 In Vooreeld 1 worden de inhoud en de oppervlkte vn een ilinder met gegeven dimeter en strl erekend. Neem nu een ilinder met dimeter en hoogte preies 2 keer zo groot. Lt zien dt de inhoud vn deze ilinder 2 = 8 keer zo groot is ls die vn de ilinder in het vooreeld. Leg uit hoe de oppervlkte vn de ilinder in het vooreeld wordt erekend. WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO PAGINA

4 Lt zien dt de oppervlkte vn de ilinder in deze opgve 2 2 = 4 keer zo groot is ls die vn de ilinder in het vooreeld. Opgve 5 Een ilindervormig groentenlik heeft een strl vn 6 m en een hoogte vn 16 m. Het lik is gemkt vn metl met een dikte vn 1 mm. De strl en de hoogte zijn gemeten n de innenknt vn het lik. Je wilt de hoeveelheid metl die voor dit lik nodig is erekenen ls er een plsti deksel op zit. Je kunt dit op twee mnieren doen: de oppervlkte vn het lik erekenen en die met de dikte vermenigvuldigen, of vn de inhoud vn een lik met een strl vn 6,1 m en een hoogte vn 16,1 m de inhoud vn een lik met strl 6 m en hoogte 16 m ftrekken. Voer eide erekeningen uit en geef je ntwoord in mm nuwkeurig. Wrdoor ontstt het vershil tussen eide ntwoorden? Opgve 6 Vn een ilinder is het voornziht een rehthoek met een oppervlkte vn 75 m 2. Het ovennziht is een irkel met een oppervlkte vn 60 m 2. Bereken de hoogte vn de ilinder in mm nuwkeurig. Opgve 7 Vn een ilindervormig literlik zijn hoogte en dimeter gelijk. Bereken de hoogte vn de ilinder in mm nuwkeurig. Vooreeld 2 Deze krtonnen doos heeft de vorm vn een vijfzijdig prism. De voorknt en de hterknt zijn symmetrishe vijfhoeken met twee rehte hoeken. De fmetingen vind je ij de figuur. Bereken de inhoud en de oppervlkte vn deze doos. Antwoord Voor de inhoud V vn deze doos geruik je de formule V = G h, wrin G de oppervlkte vn het grondvlk en h de hoogte is. Hier is het grondvlk het voorvlk vn het prism, de hoogte is 9 dm. 4 dm 6 dm Figuur 5 G n, dt G = = Nu kun je met de formule erekenen dt de inhoud vn de doos ongeveer 95 dm is. De oppervlkte vn de doos is de oppervlkte vn de uitslg vn deze doos. Die uitslg estt uit twee gelijke vijfhoeken (wrvn je de oppervlkte l het erekend) en vijf rehthoeken. De totle oppervlkte is de som vn de oppervlktes vn deze vijfhoeken en de vijf rehthoeken. 6 dm 9 dm Opgve 8 In Vooreeld 2 zie je hoe je de inhoud en de oppervlkte vn een prism kunt erekenen. Leg uit hoe de oppervlkte vn de vijfhoek die ls grondvlk dient, kn worden erekend. Reken nu de gevonden inhoud vn de doos zelf n. Bereken de totle oppervlkte vn de doos. Opgve 9 Vn een regelmtige vierzijdige pirmide ABCD.T is AB = 4 m en AT = 6 m. Bereken de inhoud en de oppervlkte vn deze pirmide. PAGINA 4 MATH4ALL

5 Opgve 10 Vn een regelmtige vierzijdige pirmide zijn lle rien even lng. De oppervlkte vn deze pirmide is 1000 m 2. Hoe lng zijn de rien vn deze pirmide in mm nuwkeurig? Vooreeld Bij zndwinning ontstn grote hopen vn vershillende soorten znd. Die hopen znd heen lleml dezelfde kegelvorm. Hoeveel m znd evt zo'n kegelvormige hoop met een dimeter vn 4 m en een hoogte vn 1,50 m? En hoeveel m znd evt een hoop znd wrvn de fmetingen 2 keer zo groot zijn? Antwoord Voor de inhoud V vn een kegel geruik je de formule V = 1 G h, wrin G de oppervlkte vn het grondvlk en h de hoogte is. Hier is het grondvlk een irkel met een strl vn 2 m en de hoogte is 1,50 m. De inhoud is dus V = 1 π = 2π m. Vn de hoop znd wrvn lle fmetingen twee keer zo groot zijn is de lengtevergrotingsftor 2 en dus de volumevergrotingsftor 2 = 8. De inhoud vn die zndhoop is drom 2π 8 = 16π m. Figuur 6 Bron: Vlms Instituut voor de Zee Opgve 11 In Vooreeld zie je hoe je de inhoud vn een kegel kunt erekenen. Bereken de inhoud vn een kegel wrvn de strl 5 m en de hoogte 10 m is. Hoeveel edrgt de inhoud vn een kegel wrvn de fmetingen hlf zo groot zijn ls die ij? d In welke kegel kn meer: een kegel wrvn de strl vn het grondvlk 5 en de hoogte 10 is, of een kegel wrvn de strl 10 en de hoogte 5 is? Verklr je ntwoord. In welke kegel kn meer: een kegel wrvn de strl vn het grondvlk en de hoogte is, of een kegel wrvn de strl en de hoogte is? Verklr je ntwoord. Opgve 12 In een etonlok in de vorm vn een kuus met rien vn 50 m wordt een kegelvormig gt geoord. Dit kegelvormige gt heeft een dimeter vn 15 m en een diepte vn 40 m. Uit hoeveel m eton estt dit etonlok met gt? WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO PAGINA 5

6 Verwerken d Opgve 1 Verflikken zijn er in llerlei mten. In deze opgve wordt uitgegn vn een wiskundig model vn een verflik: een ilinder met een irkel ls odem en een irkel ls deksel. Houd geen rekening met de dikte vn het lik. Een verflik heeft een hoogte vn 14 m en een strl vn 8 m. Bereken hoeveel m de inhoud vn het verflik is. Rond je ntwoord f op een geheel getl. Teken op shl 1 : 4 de uitslg vn dit verflik. Shrijf op hoe je de mten vn je tekening gevonden het. Als je de strl vn een lik verduelt en de hoogte hlveert, lijft de inhoud vn het lik dn hetzelfde? Lt zien hoe je het ntwoord het gevonden. Er zijn likken nodig met een inhoud vn 2500 m. De likken worden zo gemkt dt er zo weinig mogelijk metl voor nodig is. De hoeveelheid metl die nodig is voor een lik, is zo klein mogelijk ls de hoogte vn het lik 2 keer zo groot is ls de strl. Bereken hoeveel m de strl en de hoogte vn dit lik zijn. Geef je ntwoorden in één deiml. Opgve 14 Een sprpot heeft de vorm vn een regelmtige pirmide met een vierknt grondvlk. In de linkerfiguur hieronder zie je een tekening vn de sprpot. Drnst stt een wiskundig model met de mten vn de sprpot. Figuur 7 De sprpot heeft een deksel. Dt is pirmide T.EFGH. Het shrnier, wrom de deksel omgeklpt kn worden, is lijnstuk HG. De nk die deze sprpot deu geeft eweert dt de inhoud vn de deksel 4,6% vn de inhoud vn de hele pirmide is. Lt met een erekening zien dt dit niet wr is. De sprpot wordt deu gegeven in de vorm vn een ouwplt. Hoeveel oppervlkte n krton is er nodig voor deze sprpot? Houd geen rekening met de opening om geld in te doen en geef je ntwoord in m 2 nuwkeurig. PAGINA 6 MATH4ALL

7 Opgve 15 Op de foto hiernst zie je een houder wrin een sfeerlihtje zit. Deze sfeerlihthouder heeft de vorm vn een prism met een gelijkzijdige driehoek ls grondvlk. Op de foto hieronder zie je het ovennziht vn een figuur gemkt vn zes vn deze sfeerlihthouders. Figuur 8 Figuur 9 Geef de kleinste hoek in grden wrover dit ovennziht drisymmetrish is. Hieronder zie je een tekening vn de sfeerlihthouder. De sfeerlihthouder is mssief en gemkt vn kunststof. De zijden vn het driehoekige grondvlk zijn 10 m. De hoogte vn de sfeerlihthouder is 2 m. Preies in het midden vn de sfeerlihthouder zit een rond gt voor het sfeerlihtje. De dimeter vn dit gt is,8 m en de diepte is 1,2 m. Figuur 10 Bereken in hele m hoeveel kunststof er nodig is om deze sfeerlihthouder te mken. Opgve 16 Droste hooltjes worden onder ndere verpkt in krtonnen doosjes zols je die hiernst ziet. De odem vn deze doosjes is een regelmtige hthoek met zijden vn ongeveer 7,8 m. De hoogte vn zo'n Drostedoosje is ongeveer, m. Ndt je lle hooltjes op het hl je het plsti wr ze in heen gelegen uit het doosje. Bereken de inhoud vn het doosje in m nuwkeurig. Een model vn dit Drostedoosje is een regelmtig hthoekig prism met opstnde rien vn, m en ndere rien Figuur 11 vn 7,8 m. Bereken de oppervlkte vn zo'n prism in m 2 nuwkeurig. WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO PAGINA 7

8 Opgve 17 Je ziet hier een ilindervormige plsti k wr een kegel uit is weggesneden. Bereken de hoeveelheid plsti die hiervoor nodig is. Bereken de hoeveelheid plsti die nodig is voor eenzelfde k wrvn lle fmetingen 1,5 keer zo groot zijn. 10 m 8 m Toepssen Figuur 12 Hier zie je een vereenvoudigd model vn het dk vn een stolpoerderij. Het dk is zuiver symmetrish, dus de rien AE, DE, BF en CF zijn even lng en EF loopt evenwijdig met AB en CD. Dit is een smengestelde ruimtelijke figuur, die estt uit een prism en twee pirmides die je tot één pirmide kunt smenvoegen. E 6 m F 5 m A Figuur 1 D 12 m B 8 m C De hoeken vn de vershillende delen vn zo'n dk kun je erekenen en ook llerlei lengtes die je nodig het om ze op shl te tekenen zijn te erekenen. Als je op weg nr huis om je heen kijkt onderweg, zul je dken in vershillende vormen tegenkomen. Bijn ltijd vlt er met de hulpmiddelen die je in dit onderdeel het geruikt n te rekenen. En dt is nuttig, l is het mr om te kunnen erekenen hoeveel m 2 n dkedekking ervoor nodig is. Opgve 18: Stolpoerderij: volume onder het dk Bekijk het sterk vereenvoudigde dk vn een stolpoerderij in. Geruik de gegevens in de figuur. Bereken het volume onder dit dk en oven de zoldervloer. Opgve 19: Stolpoerderij: dkoppervlk Geruik de gegevens in de figuur vn het dk vn de stolpoerderij hieroven. Bereken de oppervlkte vn het dk. Testen Opgve 20 De dkvorm vn dit huis heet zdeldk en estt uit twee grensvlkken vn een prism. Neem n dt de voorknt (en de hterknt) vn dit prism n gelijkenige driehoek is met een sis vn 8 m en een hoogte vn 5 m. De lengte vn het zdeldk is 12 m en het steekt n eide zijden 0 m uit. Bereken de oppervlkte vn het zdeldk in m 2 nuwkeurig. Bereken de inhoud vn het prism. Figuur 14 Hoe groot is de dkoppervlkte vn een huis wrvn lle fmetingen 1,5 keer zo groot zijn, mr dt verder volkomen gelijkvormig is met dit huis? Geef je ntwoord weer in m 2 nuwkeurig. PAGINA 8 MATH4ALL

9 Opgve 21 Dit is een luhtfoto vn de Buddenturm in Münster. Het geouw stmt uit 1150 en is in totl 0 m hoog. Stel, de innendimeter vn de toren is 6 m en vn de kegelvormige spits is de hoogte gelijk n de dimeter vn het grondvlk. Bereken dn het totle innenvolume vn deze toren in m nuwkeurig. Figuur 15 WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO PAGINA 9

10 2022 Deze prgrf is een onderdeel vn het Mth4All wiskundemteril. Mth4All stelt het op prijs ls onvolkomenheden in het mteril worden gemeld en ideeën voor vereteringen in de ontent of dienstverlening kenr worden gemkt. Emil: Met de Mth4All mtwerkdienst kunnen omplete reders worden smengesteld en toetsen worden gegenereerd. Doenten kunnen een grtis inlog voor de mtwerkdienst nvrgen.