WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO PAGINA

Transcriptie

1 2.3 Hoeken berekenen Inleiding Een opstijgend vliegtuig heeft een snelheidsvector met een duidelijke richting en grootte. De zijwrtse component geeft de snelheid weer wrmee de hoogte verndert. ls je weet hoeveel m het vliegtuig heeft fgelegd en hoe hoog het dn zit, kun je vnuit de zijwrtse component (dus met behulp vn de sinus) de hoek berekenen wronder het vliegtuig opstijgt. Figuur 1 Je leert in dit onderwerp met behulp vn sinus en cosinus hoeken berekenen. Voorkennis het begrip vector met hoofdrichting (of centrle richting), centrle component en zijwrtse component; een vector ontbinden in de twee componenten; de begrippen sinus en cosinus gebruiken voor de componenten vn een eenheidsvector. Verkennen Opgve V1 Een vliegtuig stijgt in een rechte lijn op vn de begne grond. ls het 3000 meter heeft fgelegd, heeft het een hoogte bereikt vn 1000 m boven de begne grond. Onder welke hoek met de begne grond is het vliegtuig opgestegen? Uitleg Figuur 2 ls de lengte vn een vector en zijn hoek met de centrle richting bekend zijn kun je de zijwrtse- of de centrle component berekenen. Mr je kunt omgekeerd de richtingshoek berekenen ls de lengte vn de vector en de zijwrtse- of de centrle component zijn gegeven. Drvoor gebruik je sinus of cosinus, de componenten vn de eenheidsvector. Met je rekenmchine kun je vnuit sinus en cosinus terugrekenen. Figuur 3 1 cos() sin() centrle richting Hier zie je de situtie vn een opstijgend vliegtuig. ls het 3000 m heeft fgelegd, is het 1000 m gestegen. Je kunt nu de hoek die de bn vn het vliegtuig met de begne grond mkt berekenen. WISKUNDE EERSTE FSE HVO/VWO PGIN 1

2 In de figuur geldt: V = V sin () of wel 1000 = 3000 sin (). Hieruit volgt sin () = = 1 3. Met je rekenmchine kun je vnuit sinus terugrekenen. Vk wordt dt ngeduid ls rcsin( 1 3 ) of (op z'n merikns) ls sin-1 ( 1 3 ) 19,47. Je vindt: 19,5. Figuur m V 1000 m begne grond b Opgve 1 ekijk in de Uitleg het verhl vn het opstijgende vliegtuig. Wrom wordt bij het berekenen vn de hoek sinus gebruikt? ereken de hoek door eerst met de stelling vn Pythgors de centrle component uit te rekenen en dn met cosinus te werken. Opgve 2 Je ziet hier ΔC. C ereken de grootte vn. Doe dit een keer met behulp vn sinus en een keer met behulp vn cosinus. 21 o 10? Opgve 3 Figuur 5 Je ziet hier twee vectoren wrvn de lengte en de lengte vn de centrle component of de zijwrtse component zijn gegeven. Figuur 6 b Wrom geldt voor hoek dt 15 cos () = -6? ereken hieruit de grootte vn deze hoek in grden nuwkeurig. Om hoek β te berekenen werk je met de zijwrste component vn vector w. Lt zien hoe je te werk gt. Theorie en voorbeelden Om te onthouden De centrle- en zijwrtse component vn een vector hngen f vn de hoek die hij met de centrle richting mkt. Voor de centrle component vn de eenheidsvector wordt het woord cosinus gebruikt en voor de zijwrtse component vn de eenheidsvector wordt het woord sinus gebruikt. Ze stn loodrecht op elkr. 1 cos() sin() centrle richting r r cos() r sin() centrle richting Figuur 7 In de linker figuur zie je sinus en cosinus vn een eenheidsvector, een vector met lengte 1. Sinus wordt fgekort tot sin en cosinus tot cos. Om n te geven dt beide vn de richtingshoek PGIN 2 MTH4LL

3 Meetkunde Goniometrie Hoeken berekenen fhngen, zet je dt er tussen hkjes bij. Het rekenen met sinus en cosinus heet goniometrie en dt betekent hoekmeetkunde ( goni is grieks voor hoek ). ls je vector de lengte r heeft, dn worden lle fmetingen vn de driehoek met r vermenigvuldigd. De centrle component is dn r cos () en de zijwrtse component is r sin (). Je kunt dit ook gebruiken om de hoek te berekenen ls de lengte vn de vector en één vn beide componenten is gegeven. In het Prcticum zie je een pplet wrin je de grootte vn de hoek vn een eenheidsvector kunt zoeken ls de sinus of de cosinus ervn bekend is. Je moet wel goed kijken of je hoek scherp, stomp of zelfs overstrekt is, wnt er zijn in de pplet steeds twee hoeken met dezelfde sinus en ook twee hoeken met dezelfde cosinus. Ook de rekenmchine kn berekenen ls je sin () of cos () weet. Hij kn terugrekenen vnuit sinus en cosinus. Mr je rekenmchine kn niet zien welke hoek je wilt uitrekenen en geeft dus soms een scherpe hoek terwijl je een stompe hoek wilt hebben. Je kunt echter uit je ntwoord wel de goede hoek fleiden. Voorbeeld 1 ereken de grootte vn hoek C in de figuur hiernst. ntwoord Vnuit hoekpunt C gezien kun je C opvtten ls vector die een hoek mkt met de centrle component C. En dn is de zijwrtse component. Dus is 13 sin ( C) = 12 en dus sin ( C) = En hierbij hoort C 67,4. C Figuur 8 Op je rekenmchine vind je dit (fhnkelijk vn het merk) door sin -1 (12 13) of rcsin (12 13) te berekenen b c Opgve 4 ekijk in Voorbeeld 1 hoe je de grootte vn een scherpe hoek vn een rechthoekige driehoek kunt berekenen. Voer ook zelf de berekening vn deze hoek uit. Gebuik je rekenmchine of de pplet in het Prcticum. ereken eerst met de stelling vn Pythgors de lengte vn zijde C. ereken drn opnieuw de grootte vn hoek C, mr nu met behulp vn cosinus. Wrom hoef je nu de grootte vn niet meer met goniometrie te berekenen? Opgve 5 ereken in deze driehoeken de grootte vn de hoeken met het vrgteken in grden nuwkeurig. C F 3 E I 5?? D? 7 10 G H Figuur 9 WISKUNDE EERSTE FSE HVO/VWO PGIN 3

4 Opgve 6 ereken in deze driehoek de grootte vn D. Voorbeeld 2 Figuur 10 Op 3 meter vn de voet vn een ntennemst worden enkele korte pltjes de grond in geslgen. Vn de top vn de mst worden drden vn 7 meter gespnnen nr de voet vn de pltjes. ereken de hoogte vn de ntennemst en de hoek die elke drd met de grond mkt. ntwoord Verwerk de gegevens in een tekening zols hiernst. Je gt er vn uit dt de ntennemst loodrecht op de grond stt. Je neemt de grond ls centrle richting. In de tekening zie je dt de vector een lengte vn 7 m en een centrle component met een lengte vn 3 m heeft. Er geldt dus 7 cos () = 3. De grootte vn hoek is ongeveer 65. De hoogte vn de mst is dn ongeveer 7 sin (64,6) 6,32 m. 7 3 mst b c d Opgve 7 Figuur 11 ekijk in Voorbeeld 2 hoe je de hoek kunt berekenen die een gespnnen drd mkt met de grond. Voer ook zelf de berekening vn deze hoek uit. Gebuik je rekenmchine of de pplet in het Prcticum. Je kunt ook de ntennemst ls hoofdrichting nemen. Dn bereken je eerst de hoek β die de drd met de ntenne mkt. G n dt dit een wrde voor β oplevert die in overeenstemming is met de wrde vn die je eerder hebt gevonden. Wrom is voor het berekenen vn de hoogte vn de ntennemst niet de wrde vn in grden nuwkeurig genomen, mr een nuwkeuriger wrde? ereken de hoogte vn de ntennemst ook met behulp vn de stelling vn Pythgors. Opgve 8 Er wordt een nieuwe ntennemst opgericht met een hoogte vn 10 m. Deze ntennemst wordt loodrecht gehouden door drden vnf de top te spnnen nr punten op de grond. Deze drden moeten een hoek vn 50 met de begne grond mken. Hoe lng worden deze drden? Geef je ntwoord in cm nuwkeurig. Opgve 9 Een vliegtuig ondervindt een windsnelheid vn 60 km/uur schuin tegen. De snelheid vn het vliegtuig neemt drdoor met 15 km/uur f. Welke hoek mkt de windrichting met de vliegrichting? PGIN 4 MTH4LL

5 Verwerken Opgve 10 Hieronder zie je vier windvectoren en de fietsrichting getekend. De componenten wrin je deze vectoren kunt ontbinden zijn ook getekend. Vn zowel de vectoren ls sommige componenten is de lengte gegeven. fietsrichting fietsrichting 7 12 fietsrichting 8 18 fietsrichting 25 Figuur 12 ereken de hoek die de windvector met de fietsrichting mkt in grden nuwkeurig. Opgve 11 Een trein rijdt 200 m lngs een berghelling omhoog. Hij is dn 68 m gestegen. Hoe groot is de hoek die het spoor met de horizontle richting mkt? Geef het ntwoord in grden nuwkeurig. Opgve 12 Iemnd bevindt zich in een oude mijngng 40 m lger dn de ingng. Hij loopt terug nr die ingng. De eerste 400 meter loopt hij schuin omhoog onder een hoek vn 5. Het is dn nog 200 meter terug nr de ingng. Onder welke hoek loopt hij het ltste deel vn de terugtocht schuin omhoog? Geef het ntwoord in grden in één deciml nuwkeurig. Opgve 13 ΔC is het voornzicht vn de bovenknt vn een symmetrische gevel. De zijden C en C vormen de breedtes vn de rechthoekige dkdelen. C 4 m 32 o D Figuur 13 ereken de breedte vn een dkdeel in cm nuwkeurig. Opgve 14 Vn een zogenmde luie trp is de optrede 15 cm en de ntrede 30 cm. Zie figuur. Tussen twee verdiepingen vn een wrenhuis zit een luie trp met 26 treden. De hoekpunten bij de rechte hoeken die ntrede en optrede met elkr mken liggen op een rechte lijn die een hoek mkt met de vloeren vn de verdiepingen. ereken die hoek in tienden vn grden nuwkeurig. Figuur 14 WISKUNDE EERSTE FSE HVO/VWO PGIN 5

6 Opgve 15 Vn een gelijkbenige driehoek zijn de zijden 12, 12 en 10 cm. ereken de hoeken vn deze driehoek in grden nuwkeurig. Toepssen Je ziet hier de twee tekendriehoeken die je vroeger in veel wiskundeloklen ntrof. De éne tekendriehoek heeft dezelfde vorm ls je geodriehoek, dus hoeken vn 45, 45 en 90. De ndere geodriehoek is de rechthoekige driehoek die de helft is vn een gelijkzijdige driehoek. Deze heeft dus hoeken vn 60, 30 en 90. Opgve 16: Hoeken vn 45 grden ekijk de twee tekendriehoeken die in Toepssen wordt beschreven. Lt zien dt elke geodriehoek zijden vn, en 2 heeft. b ereken de excte wrde vn sin (45) en vn cos (45). Opgve 17: Hoeken vn 30 grden en 60 grden ekijk de twee tekendriehoeken die in Toepssen wordt beschreven. Figuur 15 Lt zien dt de tekendriehoek die de helft vn een gelijkzijdige driehoek is, zijden vn, 2 en 3 heeft. b ereken de excte wrde vn sin (60) en vn cos (60). c ereken de excte wrde vn sin (30) en vn cos (30). Testen Opgve 18 Hieronder zie je twee windvectoren en de fietsrichting getekend. Figuur 16 ereken de hoeken en β met behulp vn sinus en cosinus in tienden vn grden nuwkeurig. PGIN 6 MTH4LL

7 Opgve 19 Een toren heeft een lengte vn 75 m. De toren is scheef gezkt. De top vn de toren hoort norml gesproken recht boven het het midden vn zijn vierknte grondvlk te liggen. Mr het punt recht onder de top ligt 1,96 m verwijderd vn dit midden. ereken de hoek die de lijn door het midden vn het grondvlk en de top mkt met de grond. Prcticum De hoek beplen ls sinus of cosinus zijn gegeven: zoek de juiste hoek bij de gegeven sinus of cosinus ervn ekijk de pplet. WISKUNDE EERSTE FSE HVO/VWO PGIN 7

8 2022 Deze prgrf is een onderdeel vn het Mth4ll wiskundemteril. Mth4ll stelt het op prijs ls onvolkomenheden in het mteril worden gemeld en ideeën voor verbeteringen in de content of dienstverlening kenbr worden gemkt. Emil: Met de Mth4ll mtwerkdienst kunnen complete reders worden smengesteld en toetsen worden gegenereerd. Docenten kunnen een grtis inlog voor de mtwerkdienst nvrgen.