Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven, die nagenoeg even zwaar beoordeeld zullen worden.

Transcriptie

1 Materiaalmodellen (4A330/1) Faculteit : Wertuigouwunde Datum : 26 maart 2003 Tijd : uur Dit tentamen estaat uit 5 opgaven, die nagenoeg even zwaar eoordeeld zullen worden. Het gerui van oeen, noteoo, gsm, grafische reenmachine, dictaat en aanteeningen is niet toegestaan. De antwoorden worden na het tentamen gepuliceerd op piet/ Materiaalmodellen Tentamens. Succes!!!!!!

2 Opgave 1 Een lange dunwandige uis, gemaat van ruer, wordt opgelazen met een inwendige overdru p. Een lein stuje van de uis is geteend in onderstaande figuur, zowel in de onvervormde als in de vervormde toestand. We veronderstellen dat de lengte (l 0 )vanhet eschouwde deel niet verandert tijdens de vervorming. Relevante afmetingen diameter (D 0 en D) en wanddite (w 0 en w) zijn in de figuur aangegeven. l 0 l 0 w 0 p w D 0 D Voor het geruite ruer is de energiefunctie W eend : de per eenheid van vervormd volume in het materiaal opgeslagen elastische energie is gegeven in termen van de hoofdverlengingsfactoren {λ 1,λ 2,λ 3 } : { } { 1 W = C 10 λ λ2 2 + λ C 01 λ λ } 2 λ met C 10 en C 01 eende materiaalparameters. Uit experimenteel onderzoe lijt dat het materiaal incompressiel is. De drie hoofdrichtingen in een punt van de uiswand zijn : de tangentiële richting (= richting 1metλ 1 ), de radiale richting (= richting 2 met λ 2 ) en de axiale richting (= richting 3 met λ 3 ). a. Bepaal de hoofdverlengingsfactoren en dru ze eventueel uit in λ 1 = λ.. Toon aan dat de energiefunctie W als volgt an worden geschreven als functie van λ : W =(C 10 + C 01 ) {λ 2 + 1λ } 2 2 c. Bepaal de tangentiële spanning in de uiswand als functie van λ. d. Bepaal de relatie tussen de inwendige dru p en de tangentiële verlengingsfactor λ. Dru p uit in λ en de eende grootheden C 10, C 01, w 0 en D 0. NB.: Gerui het evenwicht van het eschouwde uisdeel.

3 Opgave 2 In onderstaande figuur is het verloop geteend van de axiale spanning die tijdens een treproef is voorgeschreven als functie van de tijd. De maximum spanning is 3 2 v0, waarij v0 de initiële vloeispanning is. De minimum spanning is 3 4 v0. De elasticiteitsmodulus van het materiaal is E. Tijdens de optredende plastische deformatie vertoont het materiaal zuivere inematische lineaire versteviging, gearateriseerd door de verstevigingsparameter K. Voor de shiftspanning geldt : q(t = 0)= v0 v0 t 2 t 3 t 4 0 t 1 t 3 4 v0 Formuleer het antwoord op onderstaande vragen in termen van de gegeven parameters E, v0 en K. a. Bereen de re 1, wanneer de spanning maximaal is (tijdstip t 1 ).. Bereen de shiftspanning q, wanneer de spanning tot nul is afgenomen (tijdstip t 2 ). c. Bij wele spanning zal het materiaal vloeien, wanneer na t 2 het experiment als druproef wordt voortgezet? d. Hoe groot is de re 3, wanneer de minimale spanning wordt ereit op tijdstip t 3? e. Hoe groot is de shiftspanning q, wanneer het experiment is eëindigd en de axiale spanning nul is op tijdstip t 4?

4 Opgave 3 Twee parallelle staven worden axiaal elast via een star lo dat uitsluitend horizontaal (in x-richting) an verplaatsen. De axiale racht is F, de verplaatsing van het lo is δ. a L A F L A δ x Het dwarsdoorsnede-oppervla A en de elasticiteitsmodulus E van eide staven zijn gelij. Staaf (a) heeft initiële vloeispanning v0 en vertoont tijdens plastische deformatie zuivere isotrope lineaire versteviging met verstevigingsparameter H. Staaf () heeft initiële vloeispanning 2 v0 en vertoont na vloeien ideaal plastisch gedrag. a. Bereen de verplaatsing δ 0 en de racht F 0 op het moment dat er voor het eerst vloeien optreedt in een staaf.. Bereen de verplaatsing δ 1 en de racht F 1 op het moment dat de staven voor het eerst eide plastisch deformeren. c. Na het ereien van δ 1 worden de staven verder axiaal verlengd totdat geldt δ 2 =2δ 1. Hoe groot is de racht F 2 op dat moment? d. Tenslotte wordt de racht tot nul gereduceerd : F 3 =0. Hoe groot had de verplaatsing δ 2 moeten zijn opdat de residuele axiale spanning in eide staven nul is ( a 3 = 3 =0)? (Licht het antwoord toe in de door u te teenen duidelije figuur met trerommen van eide staven).

5 Opgave 4 Voor een lineair visco-elastisch materiaal is de relaxatiefunctie E(t) gegeven : E(t) =Ee αt waarij E en α positieve materiaalconstanten zijn. Uitgaande van een re- en spanningsloze referentietoestand voor t < 0 wordt vanaf tijdstip t = 1 het materiaal onderworpen aan een reverloop, estaande uit drie opeenvolgende restappen, zoals dat in onderstaande figuur is geschetst t 0 a. Hoe luidt de algemene uitdruing voor de Boltzmann-integraal, waarmee de spanningsresponsie an worden ereend?. Bereen de spanning op het tijdstip t =2. c. Bereen de spanning op het tijdstip t =4. d. Bereen de spanning op het tijdstip t =6.

6 Opgave 5 In onderstaande figuur zijn een viertal veer-demper modellen geteend, estaande uit lineaire veren en dempers. De veer- en dempingsconstanten zijn in de figuur aangegeven. El van de modellen representeert lineair visco-elastisch materiaalgedrag. Stel dat we een trestaaf van zo n materiaal elasten met een stapvormig spanningsverloop, dat weergegeven is in onderstaande figuur. 0 0 t Schets voor el van de vier modellen het verloop van de re als functie van de tijd. Geef relevante waarden van -initiële waarden, asymptoten, etc. - duidelij in de figuren aan. a c d