Proefhoofdstuk Wiskunde TSO

Transcriptie

1 Proefhoofdstuk Wiskunde TSO

2 Kom je cursus inkijken: Antwerpen, Frankrijklei 127, 2000 Gent, Oude Brusselseweg 125, 9050 Hasselt, Simpernelstraat 27, 3511 Brussel, Timmerhoutkaai 4, Maak van je opleiding wiskunde TSO een succes! Beste toekomstige student, Hartelijk dank voor je interesse in de opleiding wiskunde TSO aan het Centrum Voor Afstandsonderwijs. Op de volgende pagina s vind je een hoofdstuk en de volledige inhoudstafel van deze thuisstudie terug. Weet dat het cursusmateriaal van deze opleidingen werd speciaal ontwikkeld aan de hand van de officiële leerplannen van de Vlaamse overheid, zodat je een maximale kans op slagen hebt. Je krijgt via ons leerplatform begeleiding op afstand van professionele vakdocenten, aan wie je al je vragen kan stellen. Zo bereid je je optimaal op je examens voor. Ook krijg je alle nodige informatie over de werking van onze school. Neem deze info rustig door, zo krijg je een goed beeld van de inhoud van de cursus en weet je zeker dat je voor de opleiding kiest die het beste bij jou past. Heb je na het inkijken van dit proefhoofdstuk nog vragen? Geef ons gerust een seintje op het nummer of mail ons op. Onze opleidingsconsulenten beantwoorden al jouw vragen en geven je persoonlijk advies omtrent je studiekeuze. Blader je graag door de volledige cursus? Ook dat kan. Het Centrum voor Afstandsonderwijs geeft je op vier plaatsen in België de mogelijkheid om de cursussen geheel vrijblijvend in te kijken. Je kan de cursussen inkijken in de campussen van Het Centrum Voor Avondonderwijs VZW in Antwerpen, Gent en Hasselt of in Brussel. Je hoeft hiervoor geen afspraak te maken, kom gewoon vrijblijvend langs. Ik wens je veel leesplezier en alvast veel succes met je studie! Jo Vandevelde Opleidingsconsulent Centrum Voor Afstandsonderwijs

3 Wiskunde TSO: ideale voorbereiding op de Examencommissie Onderwijs! Deze moderne en praktijkgerichte opleiding kwam tot stand in samenwerking tussen het Centrum Voor Afstandsonderwijs en ervaren docenten. Het lesmateriaal werd ontwikkeld op basis van de leerplannen van de Examencommissie Onderwijs. Zo ben jij zeker dat je niets teveel of te weinig studeert! Op de volgende pagina s vind je de volledige inhoudstafel van de opleiding en een gratis onderdeel uit de cursus terug.

4 1 Functies 1.1. Begrip functie 1.2. Veeltermfuncties Functies van de eerste graad Functies van de tweede graad Functies van de derde graad 1.3. Exponentiële functies Lineaire groei Exponentiële groei Exponentiële functies 1.4. Logaritmische functies Logaritme Rekenregels voor logaritmen Logaritmische functies 1.5. Oefeningen Begrip functie Functies van de eerste graad Functies van de tweede graad Functies van de derde graad Exponentiële functies Logaritmische functies 2 Afgeleide van veeltermfuncties 2.1. Limieten van functies 2.2. Veranderingen

5 2.2.1 Gemiddelde verandering Ogenblikkelijke verandering 2.3. Begrip afgeleide Definitie Vergelijking van de raaklijn Stijgen en dalen van een functie De afgeleide functie 2.4. Afgeleide van veeltermfuncties Nulde graad Eerste graad Tweede en hogere graad Afgeleide van een veelvoud Afgeleide van een som Extremumvraagstukken 2.5. Oefeningen Limieten Veranderingen Afgeleide van veeltermfuncties 3 Integralen 3.1. Bepaalde integralen 3.2. Eigenschappen van bepaalde integralen 3.3. Primitieve functie Substitutiemethode 3.4. Oefeningen

6 4 Matrices 4.1. Begrippen 4.2. Bewerkingen Optelling Scalaire vermenigvuldiging Vermenigvuldiging 4.3. Stelsels oplossen met matrices Methode Gauss-jordan Praktische werkwijze 4.4. Interpreteren van het resultaat 4.5. Matrices met het grafisch rekentoestel 4.6. Oefeningen Begrippen Bewerkingen Stelsels oplossen met matrices 5 Statistiek 5.1. Inleiding 5.2. Centrum en spreidingsmaten 5.3. Histogrammen 5.4. Normaalverdeling Z-score 5.5. Oefeningen Inleiding Normaalverdeling

7 6 Financiële algebra 6.1. Enkelvoudige interest 6.2. Samengestelde intrest 6.3. Gelijkwaardige rentevoet 6.4. Annuïteiten Postnumerando kapitaalsvorming en schuldaflossing Hypothecaire lening Consumentenkredieten 6.5. Oefeningen Enkelvoudige intrest Samengestelde intrest Gelijkwaardige rentevoeten Annuïteiten

8 HOOFDSTUK 3: INTEGRALEN Keuzeonderwerp A voor zij die een examen voor de examencommissie wensen te doen. 3.1 Bepaalde integralen Een zwembadje wordt gevuld met een debiet van 25 liter per minuut, na een half uur is het zwembad vol. Een tweede groter zwembad wordt gevuld met een debiet dat toeneemt naar de tijd met 10 liter per minuut. Ook dit zwembad is na een half uur gevuld. Voor de twee zwembaden stellen we het debiet in functie van de tijd grafisch voor. Voor het eerste zwembad is het debiet constant. We bekomen dan ook een constante functie. Willen we nu het volume kennen in het zwembad dan vermenigvuldigen we het debiet met de tijd. Dit kunnen we doen voor eender welk tijdstip. Zo hebben we na 10 minuten 250 liter in het kleine zwembad. Dit komt overeen met het oppervlak onder de grafiek tussen tijdstippen 0 en 10.

9 Het volume in het zwembad is dus de oppervlakte onder de grafiek van het debiet in functie van de tijd. Voor het tweede zwembad beschrijft het debiet een functie van de eerste graad. Het voorschrift is D(t) = 10t. We kunnen ook nu het volume in het zwembad bepalen door de oppervlakte onder de grafiek te bepalen. Willen we dus het volume in het zwembad na een half uur kennen berekenen we de oppervlakte van de driehoek met basis 30 en hoogte 300. Dit geeft liter. We kunnen voor de twee zwembadjes een functievoorschrift opstellen voor het volume in functie van de tijd V(t). Voor het eerste zwembad, waarbij het debiet constant is moeten we de formule gebruiken voor oppervlakte van een rechthoek en dus het debiet vermenigvuldigen met de tijd. Dit geeft V(t) = D(t).t, aangezien D(t) = 25 is V(t) = 25t. In het tweede zwembad moeten we de formule gebruiken voor oppervlakte van een driehoek en dus debiet vermenigvuldigen met de tijd en delen door twee. Het de debiet is hier geen constante, maar D(t) = 10t. V(t) = D(t).t/2 = 5t². Zetten we nu de functie voorschriften voor V(t) en D(t) naast elkaar dan valt er ons iets op. Voor het kleine zwembad V(t) = 25t en D(t) = 25, voor het grote zwembad V(t) = 5t² en D(t) = 10t. Het valt op dat het functievoorschrift voor het debiet de afgeleide is van het functievoorschrift voor het volume. Het bepalen van een oppervlak tussen de x-as en een grafiek in een interval is het bepalen van een bepaalde integraal. Zo berekende wij voor het kleine zwembad 10 0 D() t dt namelijk het oppervlak onder D(t)-grafiek tussen ondergrens 0 en bovengrens 10 voor de variabele tijd dt. b Algemeen noteren we een bepaalde integraal van een functie f tussen a en b als f ( x) dx a, hiermee bepalen we de georiënteerde oppervlakte van het gebied tussen de grafiek van f, de x-as en de grenswaarden a en b.

10 Met een grafisch rekentoestel kan je dit op verschillende manieren ingeven. Voor een TI 83/84 doen we het voorbeeld van het grote zwembad met grenzen 0 en 30. Via MATH ga je naar 9 fnint. Je geeft het functievoorschrift in, gevolgd door een komma de variabele komma, ondergrens komma bovengrens sluit de haakjes enter. Op je scherm geeft dit voor het voorbeeld fnint(10x,x,0,30). De uitkomst is zoals verwacht In de algemene definitie voor bepaalde integraal wordt het woord georiënteerde vet gedrukt omdat het belangrijk is. Dit wordt aangetoond met een voorbeeld. We nemen de functie f(x) = x 3. Bepalen we voor deze functie het oppervlak tussen de grafiek en de x-as in het interval [3,5] dan vinden we als uitkomst 2. Bepalen we de bepaalde integraal in datzelfde interval vinden we eveneens 2. Doen we nu hetzelfde voor het interval [0,3] dan vinden we als oppervlak 4,5. De bepaalde integraal geeft -4,5. Wat blijkt de bepaalde integraal beschouwt oppervlaktes onder de x-as als negatieve oppervlaktes. En dit wordt bedoeld met georiënteerde oppervlakte. Dit is heel belangrijk om rekening mee te houden. Bepalen we de totale oppervlakte tussen grafiek en x-as in het interval [0,5] dan tellen we de twee driehoekjes op en bekomen we 6,5. Met de bepaalde integraal vinden we echter -2,5. Dit is -4, We kunnen dit voorkomen door bij het ingeven in het rekentoestel voor (x 3) abs in te geven. Dit vind je door bij MATH 1 menu naar rechts te gaan zijnde NUM hiervan het eerste. Op je scherm fnint(abs(x-3),x,0,5) en op deze manier krijg je ook 6,5. Lees dus goed de vraag als het gaat over bepalen van oppervlaktes, is de georiënteerde oppervlakte gevraagd kan je gewoon de bepaalde integraal berekenen. Is de oppervlakte gevraagd moet je in je berekening abs opnemen.

11 3.2 Eigenschappen van bepaalde integralen We hernemen het voorbeeld van het tweede zwembad dat gevuld wordt. Willen we nu weten hoeveel water er bijkwam tussen de twintigste en de dertigste minuut, dan moeten we het oppervlak berekenen tussen de grafiek de x-as, x =20 en x = 30. Dit is eigenlijk hetzelfde als het oppervlak van nul tot dertig min het oppervlak van nul tot twintig. Of zoals hieronder wordt geïllustreerd: het groene oppervlak is het blauwe min het rode.

12 Zo vinden we dat het gevraagde oppervlak = Dit vinden we ook als we fnint(10x,x,20,30) ingeven. Andersom is het rode oppervlak plus het groen gelijk aan het blauwe of 3.3 Primitieve functie tdt 10tdt 10tdt Bekijken we terug de voorbeelden van de twee zwembaden waarin we opmerkten dat het debiet de afgeleide was van het volume. Voor het kleine zwembad V(t) = 25t en D(t) = 25, voor het grote zwembad V(t) = 5t² en D(t) = 10t. We zeggen dat V(t) een primitieve functie is van D(t) want de afgeleide van V(t) is D(t). Algemeen een functie F is een primitieve functie van f als en slechts als F = f. Voor elke functie zijn er oneindig veel primitieve functies, zo is 5t² een primitieve functie voor 10t, want de afgeleide van 5t² = 10 t. Maar ook 5t² + 1 is een primitieve functie want de afgeleide van 5t² + 1 = 10t. Hetzelfde voor 5t² +2 enz. Om alle primitieve functies te schrijven gebruiken we volgende notatie f ( x) dx F( x) c met c een reëel getal. Om de primitieve functie van een veeltermfunctie te vinden verhoog je de graad met één en deel je door de nieuwe graad. De primitieve functie van 6x² wordt dan 2x³ + c, want 6x² een graad hoger wordt 6x³ delen door de nieuwe graad 3 geeft 2x³. Ter controle kan je de primitieve uitkomst afleiden, dit moet terug de oorspronkelijke functie geven. Bij een som van meerdere termen pas je de rekenregel toe op elke term. De primitieve functie van 2x + 12x² wordt dan x² + 4x³ + c. Nu we kunnen werken met primitieve functies kunnen we bepaalde integralen berekenen zonder rekentoestel.

13 b b a a f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx ([ F( x)] c) ([ F( x)] c) 0 0 [ F( x)] [ F( x)] [ F( x)] F( b) F( a) b a b 0 0 a b a 0 0 b b Of korter: f ( x) dx [ F( x)] F( b) F( a) a a Zo vinden we xdx [5 x²] 5.30² 5.20² Opgelet, als je deze methode gebruikt om een oppervlakte te berekenen dan bepaal je de georiënteerde oppervlakte. Indien de functie de x-as snijdt dan kan je best het interval indelen in intervallen met de nulwaarden als grenzen om dan de absolute waarden op te tellen. 3.4 Substitutiemethode Nemen we de integraal bestaande uit f ( x) dx hierin is dx de differentiaal en dit wil zeggen dat je moet integreren naar x. In de integraal wordt f(x) vermenigvuldigd met dx, aangezien dx de afgeleide is van x (1) neem je gewoon de integraal van f(x) naar x. In bovenstaande gevallen was f(x) steeds een functie van de vorm 5x of 2x²+4 enz. Maar wat als we nu een functie in een functie krijgen, bijvoorbeeld (2x 3)² dx we hebben hier de functie 2x-3 welke in de functie tot de tweede macht zit. We kunnen dit oplossen door een eenvoudige vorm te schrijven en deze op te lossen, maw werk de haakjes uit. 4 x³ (2x 3)² dx 4 x² 12x 9dx 6 x² 9x c 3 Nu willen we dit sneller kunnen dus zonder de haakjes eerst te moeten uitwerken, dit is zeker aan te raden voor moeilijkere gevallen en hogere machten. We kunnen dit niet zomaar doen door de integraalregels toe te passen op (2x-3) want dan krijg je het volgende (2x 3)³ 8 x³ (2x 3)² dx 12 x² 18x 9 c je merkt dat deze uitkomst niet overeenkomt met vorige. 3 3 Deze is dan ook FOUT!

14 Wat is er verkeerd gegaan, we hebben niet geïntegreerd naar x maar naar (2x-3) terwijl er wel dx staat. Dus willen we alles tussen de haakjes integreren moeten we d(2x-3) schrijven. We hebben gezien dat maal dx eigenlijk maal 1 is, maar maal d(2x-3) is niet langer maal 1, wel maal 2, want de afgeleide van 2x-3 is 2. Aangezien we onze integraal vermenigvuldigen met 2 door deze ingreep moeten we ook delen door twee. En dan klopt de integraal terug, want het vermenigvuldigen met 2 en delen door 2 heft elkaar op. (2x 3)² d(2x 3) (2x 3)³ 4 x³ 9 (2x 3)² dx 6 x² 9x c Je merkt toch een verschil namelijk de -9/2, aangezien we echter eindigen met +c welk een willekeurig reëel getal is maakt de waarde van het getal zonder x niet uit. Algemeen Vervang dx door df(x) en deel door Df(x). Werk de integraal uit. In de uitgewerkte integraal is het niet de bedoeling dat de haakjes uitgewerkt worden, in bovenstaand voorbeeld werd dit enkel gedaan om aan te tonen dat de uitkomst juist was. Nog een voorbeeld hoe het dan wel wordt verwacht (4x 5) (4x 5) (4x 5) dx d(4x 5) c Oefeningen Deze oefeningen gaan over heel het hoofdstuk integralen. 1) Bepaal de primitieve functies van volgende veeltermfuncties. 4. t dt 4 (9 ² 10 ) x x dx (5 x³ 4 x² 3x 2) dx (5 tx) dt 5. t dx 5( x². x³ 2 x) dx

15 2) Los volgende bepaalde integralen op zonder rekentoestel x dx 6 x². dx 5. dx (9 x² 8 x) dx (12 x³ 12) dx 4 x². dx 3) Los volgende bepaalde integralen op met rekentoestel (10 x³ 5 x² 2 x). dx x dx 0 4 ( x ²) x dx ( x³ 2 x² 3x 4) dx 4) Bepaal de georiënteerde oppervlakte tussen de x-as en de grafiek van de functie f(x) = x-3 in het interval [-3,3]. 5) Bepaal het oppervlak tussen de x-as en de grafiek van de functie f(x) = x²-1 in het interval [-2,2]. 6) Los op met behulp van substitutie. 4 (3x 2) dx 7 (3 x² 5x 12).(6x 5) dx tip gebruik de eerste haakjes als f(x) 2 x( x² 1)³ dx 5 12( x 8) dx

16 Afstandsonderwijs = studeren op je eigen tempo Een thuisstudie volgen aan het Centrum Voor Afstandsonderwijs is de meest flexibele manier om je erkend diploma te behalen. Met een thuiscursus start je namelijk wanneer het jou het beste uitkomt. Je studeert waar en wanneer je wil, en legt examen af wanneer jij er klaar voor bent. Erg handig als jouw leven meer is dan studeren alleen! Tijdens je studie kan je rekenen op de professionele begeleiding van een persoonlijke docent. Met de taken die je docent aan elk hoofdstuk heeft toegevoegd, oefen je jezelf in de praktijk, en bereid je je optimaal op het examen voor. Heb je vragen, of wil je je gemaakte oefeningen uit de cursus laten verbeteren? Dan stuur je je docent een mailtje via het online leerplatform (je krijgt een toegangscode bij inschrijving). In het inschrijvingsgeld is twaalf maanden begeleiding van je docent inbegrepen. Klaar met studeren? Dan leg je examen af op één van onze campussen in Antwerpen, Brussel, Gent of Hasselt. Je hebt vijf jaar de tijd om je examen af te leggen en je beslist zelf wanneer je dit wil doen. Dit kan bijvoorbeeld al na drie maanden, maar ook na een jaar; de keuze is aan jou! Geslaagd? Dan krijg je je diploma binnen de 14 dagen. Je kan hiermee meteen solliciteren als werknemer of als zelfstandige starten (mits je ook een attest bedrijfsbeheer hebt). Al onze diploma s zijn erkend en zijn een fikse meerwaarde op de arbeidsmarkt. Niet van de eerste keer geslaagd? Geen nood. Je kijk je examen in, en leert van je fouten. Vervolgens mag je gratis herexamen afleggen. Examen afleggen is trouwens nooit verplicht.

17 Zes ijzersterke redenen om te studeren aan het CVA 1. Je behaalt een erkend diploma Het Centrum Voor Afstandsonderwijs bezit het ISO certificaat. Dit is een onafhankelijk kwaliteitslabel dat elk jaar opnieuw, na een grondige audit, moet worden toegekend. Zowel ons cursusmateriaal als de docenten en de secretariaatswerking kregen en krijgen een positieve beoordeling. Dit is jouw beste garantie voor een kwaliteitsvolle en degelijke opleiding. Het Centrum Voor Afstandsonderwijs is door een groot aantal beroepsfederaties erkend. Je kan je met je diploma bij deze federaties aansluiten en genieten van allerlei voordelen. Bij werkgevers in verschillende sectoren heeft het diploma een grote troef bij je sollicitatie en biedt het je vaak werkzekerheid. Bovendien zijn onze diploma s internationaal erkend door de International Association of Professional Education (IAPE), die alle beroepsopleidingen wereldwijd registreert en accrediteert. De IAPE controleert en beoordeelt de kwaliteit van professioneel onderwijs van instellingen zoals universiteiten, hogescholen, publieke en private opleidingsverstrekkers, docenten en onderwijsinstellingen voor volwassenen. 2. Je kiest voor een praktijk- en jobgerichte opleiding Al onze opleidingen en cursussen worden ontwikkeld en geschreven door zelfstandige specialisten met jarenlange beroepservaring. Je gaat er meteen mee aan de slag. Dankzij onze jarenlange ervaring weten we precies welke onderwerpen, extra uitleg of praktijkvoorbeelden het verschil maken. Hierdoor bereik je snel je doel: je carrière een boost geven of een nieuwe job vinden. Het contact tussen jou en je docent is maximaal door gebruik van ons online studentenplatform. Al je vragen zullen binnen de 48 uren worden beantwoord. Momenteel is er in het bedrijfsleven veel vraag naar goed opgeleide werknemers. Het diploma dat je behaalt is een internationaal erkend diploma. Deze cursus biedt daarom zeer goede perspectieven op de arbeidsmarkt en een groot voordeel tijdens je sollicitatie. Veel afgestudeerde studenten startten reeds hun eigen succesvolle zaak na het volgen van een opleiding bij het CVA. Wij zijn dan ook een echte ondernemersschool die startende

18 ondernemers met veel plezier begeleidt in hun eerste stappen naar een carrière als zelfstandig ondernemer. 3. Je kiest voor maximale flexibiliteit Thuisstudie is uiterst flexibel. Jij bepaalt zelf wanneer je studeert, hoe lang, en wanneer je examen aflegt. Je hebt je toekomst dus zélf in de hand! Ideaal als je je studie wil combineren met een job, kinderen of andere activiteiten. 4. Je weet zeker dat je de opleiding kiest die bij je past Nog vragen? Extra informatie nodig? Kom dan gewoon langs op onze secretariaten (Antwerpen, Brussel, Gent, Hasselt) voor een adviserend gesprek met één van onze professionele opleidingsconsulenten. Zij helpen jou met veel plezier bij het ontwikkelen van een studietraject dat volledig aan jouw eisen en wensen voldoet. Je kan er ook je volledige cursus inkijken! 5. Je kan boeiende stages lopen Het CVA helpt je carrière op weg! Heel wat studenten kiezen ervoor om tijdens hun opleiding stage te lopen, ook al is dat in de meeste gevallen geen verplichting. Je docent begeleidt je in jouw keuze van een stageplaats en jouw opleidingsconsulenten brengen de nodige papieren in orde. Een handige manier om praktijkervaring op te doen, waardevolle referenties te krijgen en connecties te leggen! 6. Dit aan een uiterst scherpe prijs! Wist je dat het CVA elk jaar meer dan studenten telt? Door die schaalgrootte kunnen we jouw cursus tegen een bijzonder scherpe prijs laten drukken en verzenden. Zonder in te boeten op de kwaliteit van het lesmateriaal. Het examen dat je aflegt op onze school is in je inschrijvingsgeld inbegrepen (inclusief herkansingen!). Geen verborgen kosten bij het CVA! Je kan mogelijk genieten van extra financiële voordelen bij je inschrijving, zoals de Ondernemerskorting voor startende ondernemers, korting indien meerdere familieleden dezelfde opleiding volgen, korting bij het volgen van een studietraject dat bestaat uit meerdere cursussen enz. Bel onze opleidingsconsulenten () tijdens je inschrijving om te weten voor welke korting jij in aanmerking komt.

19 Overtuigd? Start vandaag nog! Schrijf je snel en eenvoudig in: Wie studeert aan het Centrum Voor Afstandsonderwijs heeft een streepje voor. Moderne werkgevers hechten veel belang aan permanente bijscholing en een praktijkgerichte kennis. Onze school bouwde in de loop der jaren op dit vlak een ijzersterke reputatie op. Alle diploma s die je behaalt via het Centrum Voor Afstandsonderwijs zijn erkend, en verhogen je kansen op de arbeidsmarkt. Jouw keuze gemaakt? Dan hoef je je alleen nog in te schrijven. Je hebt hiervoor 3 opties: 1. Je vult het inschrijvingsformulier in op 2. OF je mailt naar 3. OF je maakt gebruik van het inschrijvingsformulier op de volgende pagina (als je je rechtstreeks op één van onze locaties komt inschrijven). Je inschrijving is pas definitief nadat we ook je cursusgeld ontvangen. Het inschrijvingsgeld voor de cursus wiskunde TSO bedraagt 199 en bevat de kostprijs van het cursusboek, de begeleiding van jouw docent en het (her)examen bij ons op school. Na ontvangst van je inschrijvingsgeld krijg je van ons een bevestigingsmail. Je krijgt je cursus dan binnen de week toegestuurd, zodat je meteen aan de slag kan! Veel succes!

20 INSCHRIJVINGSFORMULIER WISKUNDE TSO Naam: Voornaam: Straat + Huisnummer: Postcode + Gemeente: Telefoon: GSM: adres: Geboortedatum: Heb je bij ons al een cursus gevolgd? Wens je een factuur na je betaling? JA - NEE JA - NEE Bij ja, vul hier je bedrijfsnaam en BTW-nummer in: O Ik ga akkoord met de algemene voorwaarden zoals ze vermeld staan op onze website. (handtekening) Je inschrijving is pas definitief nadat we ook je inschrijfgeld ontvangen. Het inschrijvingsgeld voor de cursus wiskunde TSO bedraagt 199 en bevat de kostprijs van de cursus, de begeleiding van je docent en je examen bij ons op school (en eventuele herexamens). Veel succes met je opleiding en je verdere carrière!