Wiskunde D Module Aandelen & Opties

Transcriptie

1 Wiskunde D Module Aandelen & Opties Hoofdstuk 1 : Beleggen in Aandelen Nico Alink & Michel Vellekoop In dit eerste hoofdstuk besteden we aandacht aan een eerste kennismaking met het fenomeen aandelen en natuurlijk aan de wiskunde die je kunt gebruiken om daar aan te rekenen. Je zult al snel zien dat in de beurswereld de wiskunde een zeer grote rol speelt. Daarom herhalen we een aantal wiskundige begrippen en de notatie, voornamelijk uit de statistiek. Voorkennis en vaardigheden daarbij zijn begrippen uit de statistiek zoals gemiddelde, standaardafwijking en de normale verdeling, tweedegraadsfuncties, en het gebruik van de Grafische Rekenmachine. Beleggen is heel oud. In de 16e eeuw was er al sprake van en de 20-er jaren van de vorige eeuw zijn bekend geworden vanwege een grote beurskrach. Toen daalde de beurswaarde van een groot aantal bedrijven in korte tijd tot een dramatisch dieptepunt. Maar vanaf de 50-er jaren kwam er weer meer interesse voor beleggen. En tegenwoordig is het ondenkbaar dat er niet meer gehandeld zou worden in aandelen, opties, obligaties en wat er allemaal nog meer aan financiële producten wordt aangeboden. Met name aan het einde van de vorige eeuw konden de financiële markten rekenen op een grote belangstelling van beleggers. Naast de zogenoemde institutionele beleggers als pensioenfondsen, banken en verzekeringsmaatschappijen was ook de kleine belegger goed vertegenwoordigd. Rond de eeuwwisseling werd de financiële wereld geconfronteerd met een reeks van schandalen - denk maar aan Baringsbank, Enron, Ahold en Parmalat - en tevens was er sprake van een economische teruggang. Dat had tot gevolg dat vooral de kleine belegger zich terugtrok van de beurs. Maar de laatste jaren neemt het aantal particuliere beleggers weer toe. Mensen die wat geld over hebben, beleggen in aandelen en fondsen, en de echte waaghalzen kunnen terecht op de optiemarkt. Tot een paar jaar geleden leverde de handel op de beursvloer in Nederland hectische taferelen op: handelaren die elkaar op luide toon prijzen van allerlei financiële producten toeschreeuwden. Maar sinds enige tijd ziet het er op de beurs nogal saai uit: de handelaren zitten achter rijen beeldschermen en reageren op de cijfers die daarop Hoofdstuk 1, p. 1

2 te zien zijn. Daar komt een hoop wiskunde bij kijken, dat zal je niet verbazen. Je maakt hier kennis met een aantal aspecten van aandelen en opties. Je gaat er zelf aan rekenen en je zult zien dat de wat ingewikkelde producten (zoals opties) met behulp van de wiskunde die je nu al kent, heel goed te begrijpen zijn. Zo nu en dan halen we die oude wiskunde van stal en breiden die uit met nieuwe theorie die we hier goed kunnen gebruiken. Veel mensen denken dat je met wiskundige modellen voor aandelen kunt voorspellen welke aandelen beter gaan presteren dan andere. Jammer genoeg is daar niets van waar en die gedachte is dus absolute lariekoek. Voorspellen welk aandeel in het komend jaar het sterkst zal stijgen komt neer op het voorspellen van de toekomst en zelfs wiskundigen kunnen dat niet. Aan het eind van elk jaar voorspellen enkele beursanalisten, die je toch deskundig mag noemen, welke aandelen het komend jaar het goed zullen gaan doen. Vaak blijkt, achteraf natuurlijk, dat ze er flink naast zitten. Ook analisten die de bedrijven achter de aandelen bestuderen, blijken bijzonder slecht in staat om veel zinnigs te zeggen over de toekomstige aandelenprijzen, zo toont wetenschappelijk onderzoek aan. Je moet er niet op rekenen dat je na afloop van deze module met meer succes kunt beleggen. Je hebt dan wel meer inzicht gekregen in de manier waarop de beurs werkt en je kunt beter risico s inschatten. Zo kun je proberen om aandelen op een slimme manier te combineren zodat je meer of juist minder risico loopt, en daarbij kan de wiskunde goede diensten bewijzen. Wat de toekomstige prijs van een aandeel is, weten we dus niet, maar het feit dat iets in de toekomst onzeker is, vormt voor wiskundigen geen probleem: we laten er gewoon de kansrekening op los. Laten we eerst eens naar één aandeel kijken. We definiëren het rendement op een aandeel, dat we vaak noteren met r, als volgt: het procentuele verschil in de koers over een bepaalde periode, bijvoorbeeld een jaar. Wanneer één aandeel vandaag euro waard is en over een jaar euro, dan is de groeifactor en dus het rendement ofwel 12.5%. Wanneer de waarde van het aandeel in het komend jaar zakt naar euro, dan is het rendement 25%. In de 90-er jaren van de vorige eeuw kwamen jaarlijkse rendementen van meer dan 10% regelmatig voor. Momenteel zijn dat soort resultaten vrijwel niet meer denkbaar. Opdracht 1. Hieronder staan van enkele aandelen hun koerswaarden op 31 december 2003 en op 31 december Bereken telkens het éénjaarsrendement. Aandeel koerswaarde koerswaarde Philips ING Kon. Olie Unilever Hoofdstuk 1, p. 2

3 Opdracht 2. a. Veronderstel dat een aandeel in 2021 een rendement van 8% heeft behaald en in 2022 een rendement van 4.3%. Wat is dan het tweejaarsrendement van dat aandeel over de periode ? b. Veronderstel dat een aandeel een éénjaarsrendement van 7.2% heeft behaald. Wat is dan het eenmansrendement, wanneer we er van uit gaan dat elke maand hetzelfde rendement wordt behaald? c. Veronderstel dat een aandeel in 2021 een rendement van 10% heeft behaald. Welk rendement moet dat aandeel in 2022 behalen om op een tweejaarsrendement van 0% uit te komen? Wiskundigen gaan er vaak van uit dat het rendement van een aandeel normaal verdeeld is. Dat is voor ons wel prettig, want daar kunnen we goed mee rekenen. Daarom besteden we nu eerst wat aandacht aan de normale verdeling en nog wat andere zaken uit de statistiek. Oud Amerikaans aandeel Herhaling: Wat moet je van Statistiek weten? De Griekse hoofdletter sigma, Σ, betekent in de wiskunde dat je de som van een aantal getallen moet uitrekenen. Dat laten we zien aan de hand van een klein voorbeeld. Hoofdstuk 1, p. 3

4 Voorbeeld. Stel dat de cijfers van een wiskunde-proefwerk in een klasje met 10 leerlingen er als volgt uitzien: index i proefwerkcijfer x i Voor de eerste waarneming in deze tabel geldt dus x 1 = 3, voor de tweede waarneming geldt x 2 = 5 en voor de laatste waarneming geldt x 10 = 9. Om nu de som van alle onvoldoende uit te rekenen, moet je 3 i=1 x i uitrekenen. Daar komt natuurlijk 13 uit. Om de som van alle voldoende uit te rekenen, moet je 10 i=4 x i uitrekenen, met als uitkomst 52. Het gemiddelde van een aantal waarnemingen x 1,, x n is: x = 1 n (x 1 + x x n ) = 1 n n i=1 en deze wordt vaak aangegeven met de letter µ of met µ x. Het gemiddelde van de cijfers in het hierboven gegeven voorbeeld is dus i=1 x i = De standaardafwijking of standaarddeviatie van een aantal waarnemingen x 1,, x n is: n (x i x) 2 i=1 SD(x) = n en deze wordt vaak aangegeven met de letter σ of σ x. In de statistiek werken we vaak liever met de variantie van een aantal waarnemingen x 1,, x n : V ar(x) = σ 2 x, dus V ar(x) = 1 n x i n (x i x) 2 i=1 In woorden: de variantie is gelijk aan het gemiddelde van de kwadratische afwijkingen. Een andere formule voor de variantie is: V ar(x) = 1 n (x2 1 + x x 2 n) x 2 = 1 n n x 2 i x 2. In woorden: de variantie is gelijk aan het gemiddelde van de kwadraten min het kwadraat van het gemiddelde. Merk op dat je het gemiddelde en de standaardafwijking van een reeks waarnemingen vrij snel kunt uitrekenen met behulp van je GR, de grafische rekenmachine. De variantie is dan nog een ijskoud kunstje. Dat gaan we hier even herhalen. i=1 Hoofdstuk 1, p. 4

5 Opdracht 3. a. Eerst heel eenvoudig. Gegeven zijn de waarnemingen 2, 5, 7 en 8. Bereken de variantie op twee manieren, door van elk van de hier genoemde formules gebruik te maken. Controleer daarna je antwoord door je GR te laten rekenen. b. Iets lastiger, want meer rekenwerk. Bereken de variantie van de waarnemingen 1, 2, 3,...,20. Kies zelf een handige methode. c. Vaak heb je te maken met een frequentieverdeling en dat betekent dat je op een overzichtelijke manier veel getallen bij elkaar hebt. Het rekenwerk volgens de formules hierboven wordt wel lastiger, maar je GR kan het met evenveel gemak aan. Bereken het gemiddelde, de standaardafwijking en de variantie van de volgende frequentietabel: waarneming x frequentie f Opdracht 4. We gaan wat oefenen met het -teken. Dat kan het gemakkelijkst met enkele voorbeelden. De som kunnen we veel korter schrijven: 100 k=1 k. En zo is 100 k=1 k2 een korte schrijfwijze voor de som De uitkomst van de eerste som is 5050 en die van de tweede som is 385. Reken maar na! Bereken nu zelf a. b. c. 20 k=1 12 j=5 20 n=10 2k, j 3, 1 n. De oneindig lange rij getallen 1 2, 1 4, 1 8, 1 16,,... krijg je door steeds te vermenigvuldigen met 1 2. De som van deze oneindig lange rij is gelijk aan 1. Dat kunnen we aannemelijk maken door bijvoorbeeld te kijken naar de som van de eerste 10 getallen in deze rij. d. Bereken dus 10 k=1 ( 1 2 )k. Je moet dicht bij 1 uitkomen. Hoofdstuk 1, p. 5

6 Opdracht 5. Gegeven zijn de volgende twee frequentieverdelingen A en B. waarneming x i A frequentie f i B frequentie f i a. Bereken van beide verdelingen het gemiddelde. Wanneer je het goed hebt uitgerekend, krijg je bij de vorige vraag twee keer hetzelfde antwoord. Toch zijn de beide frequentieverdelingen verschillend. Bij verdeling A zijn de waarnemingen meer gespreid ten opzichte van het gemiddelde dan bij B. Dat kun je ook goed zien wanneer je van beide verdelingen een frequentiehistogram maakt. Dit betekent dat de spreiding (de standaardafwijking) van A groter is dan van B. b. Teken voor beide verdelingen het frequentiehistogram. c. Bereken van beide verdelingen de standaardafwijking. De standaardafwijking, en dus ook de variantie, is een maat om aan te geven hoe groot de kans is dat extreme waarnemingen (waarnemingen die ver van het gemiddelde liggen) optreden. We komen daar nog op terug, maar hier alvast een voorbeeld. Gegeven is de volgende frequentieverdeling: waarneming x frequentie f Opdracht 6. Bereken hoeveel procent van de waarnemingen méér dan de standaardafwijking verschilt van het gemiddelde. Opdracht 7. Bewijs de volgende formules: 1. k x = k x of anders geschreven: µ k x = k µ x 2. V ar(k x) = k 2 V ar(x) of anders geschreven: σ k x = k σ x Hoofdstuk 1, p. 6

7 Opdracht 8. Onderaan pagina 4 staan twee formules voor de variantie genoemd. Laat zien (niet met een getallenvoorbeeld!) dat beide formules uiteraard hetzelfde voorstellen. Herhaling: De Normale Verdeling Sommige frequentieverdelingen zijn normaal verdeeld. Daarmee bedoelen we dat het bijbehorend frequentiehistogram (let wel: relatieve frequenties) goed benaderd kan worden door de beroemde normaalkromme. Die heb je vast wel vaker gezien en heeft altijd de vorm zoals hiernaast. Voorbeelden van dergelijke frequentieverdelingen zijn o.a. de lengte van mensen, gewichten van pakken koffie, etc. Elke normale verdeling wordt gekenmerkt door de bijbehorende waarde van het gemiddelde µ en de standaardafwijking σ. Uiteraard is de oppervlakte onder deze grafiek gelijk aan 1. En verder gelden de zeer bekende en veel gebruikte vuistregels: Vuistregel 1: Ongeveer 68% van de waarnemingen ligt tussen µ σ en µ + σ. Vuistregel 2: Ongeveer 95% van de waarnemingen ligt tussen µ 2σ en µ + 2σ. Berekeningen, waarbij de normale verdeling aan de orde komt, worden vaak geschreven m.b.v. kansen, zoals: P (X < p) of P (p < X < q). En in een tekening komt die eerste kans overeen met een oppervlakte zoals je hieronder ziet. Dergelijke kansen kun je eenvoudig berekenen door gebruik te maken van je GR. Het is handig, eigenlijk wel noodzakelijk, dat je die vaardigheid paraat hebt. Een belangrijke normale verdeling is de standaardnormale verdeling. Die geven we altijd aan met de letter Z. Kenmerkend voor de standaardnormale verdeling is dat µ Z = 0 en σ Z = 1. Wanneer je van bijvoorbeeld een aantal mensen meet hoe lang ze zijn, weet je van tevoren niet welke uitkomsten je krijgt. Dat hangt af van die mensen en dus van het toeval. We zeggen dat er sprake is van een stochast of stochastische variabele of een toevalsvariabele. Dergelijke variabelen geven we vaak aan met hoofdletters X en Y. Zo spreken we dus bijvoorbeeld over X = het maandelijkse rendement van het aandeel ING of Y = gewicht van een pak koffie of K = de waarde van de AEX-index op 1 september Merk op dat (lang) niet elke stochastische variabele normaal verdeeld is! In heel veel problemen is sprake van de som of het verschil van stochasten. Daarom is het noodzakelijk daarvoor enkele formules bij de hand te hebben. Wanneer X en Y stochasten zijn met gemiddelde µ X resp. µ Y en standaardafwijking σ X resp. σ Y Hoofdstuk 1, p. 7

8 dan geldt: µ X+Y = µ X + µ Y en σ 2 X+Y = σ2 X + σ2 Y µ X Y = µ X µ Y en σ 2 X Y = σ2 X + σ2 Y Daarbij veronderstellen we dat X en Y onafhankelijk zijn. Kortweg gezegd betekent dat dat de uitkomsten van de ene stochast niet van invloed zijn op die van de andere. Ook geldt dat X + Y en X Y normaal verdeeld zijn, wanneer X en Y zelf normaal verdeeld zijn. Opdracht 9. Tijdens een bepaalde periode in het verleden was het rendement van de AEX-index gemiddeld 26% per jaar met een standaardafwijking van 21% per jaar. Neem eens aan dat het éénjaarsrendement van de AEX normaal verdeeld is met dit gemiddelde en deze standaardafwijking, wat is dan de kans dat je tijdens een jaar verlies maakt op een investering in de AEX? Opdracht 10. Aan het begin van deze herhaling werden de twee vuistregels genoemd voor elke normale verdeling. Bepaal de genoemde percentages in 2 decimalen nauwkeurig. Opdracht 11. De inhoud van flessen wijn van Chateau Migraine is normaal verdeeld met µ = 762 cl en σ = 10 cl. Op het etiket staat dat zo n fles (minstens) 750 cl wijn bevat. Iemand koopt één fles, gelukkig niet meer, van dit bocht. a. Bereken de kans dat deze fles inderdaad minstens 750 cl wijn bevat. b. Bereken de kans dat er in die fles méér dan 752 cl maar minder dan 768 cl wijn zit. De Optimale Beleggingsportefeuille: Een Voorbeeld We gaan eens wat rekenen met aandelen en doen dat eerst aan de hand van een voorbeeld. Veronderstel dat we een bedrag gedurende een maand beleggen in twee aandelen: de helft in aandelen Heineken en de andere helft in aandelen Ahold. We gaan er van uit dat het eenmaandsrendement op aandelen Heineken r H normaal verdeeld is met gemiddelde 1.7% en standaardafwijking 7.8% en dat het eenmaandsrendement op Hoofdstuk 1, p. 8

9 aandelen Ahold r A ook normaal verdeeld is met gemiddelde 1.9% en standaardafwijking 7.4%. Verder nemen we aan dat de rendementen op de aandelen Heineken en Ahold onafhankelijk zijn. Dat is niet helemaal zo, maar wel een goede benadering. Dan zal het eenmaandsrendement van onze totale belegging voor de helft worden bepaald door het rendement op aandelen Heineken en voor de helft door het rendement op aandelen Ahold. Met andere woorden: voor het eenmaandsrendement van onze belegging r geldt: r = 1 2 r H r A = = Voor de standaardafwijking van het rendement van onze belegging geldt iets dergelijks. Om die te berekenen, maken we gebruik van de formules op pagina 6 en pagina 8: σ 2 = ( 1 2 )2 σ 2 H + ( 1 2 )2 σ 2 A = (zelf even narekenen!). Dan is de standaardafwijking van het eenmaandsrendement van onze belegging gelijk aan ongeveer dus 5.38%. Dat is minder dan de standaardafwijking die hoort bij elk van beide aandelen apart. We merken op dat de standaardafwijking aangeeft hoeveel spreiding en dus hoeveel risico er is. Een belegger wil altijd graag een hoog gemiddelde van zijn rendement (vanzelfsprekend, wie wil dat niet?) maar een lage standaardafwijking (want dat betekent minder spreiding en dus minder risico. We merken ook op dat een grotere spreiding niet alleen een grotere kans op verlies, maar ook een grotere kans op winst betekent, terwijl je bij het woord risico misschien alleen aan verliezen zou denken. In de financiële wereld is het echter gebruikelijk om alle onzekerheid (positief of negatief) die door de standaardafwijking gemeten wordt, met risico aan te duiden. We hebben nu dus een beleggingsportefeuille samengesteld met een kleiner risico, namelijk σ = 5.38%. Het te verwachten eenmaandsrendement is 1.8%, toch wel redelijk in vergelijking met de eenmaandsrendementen van de twee aandelen zelf. Maar misschien kunnen we ons geld beter verdelen over de twee genoemde aandelen, dus zoeken naar een nog kleinere standaardafwijking. Om dat na te gaan veronderstellen we dat we een gedeelte van ons geld (en dat gedeelte noemen we α met 0 < α < 1) investeren in aandelen Heineken en de rest van ons geld in aandelen Ahold (dat gedeelte is dus 1 α). Voor het rendement van onze portefeuille gelden dan de volgende formules: r = α r H + (1 α) r A, σ 2 = α 2 σ 2 H + (1 α) 2 σ 2 A. Hoofdstuk 1, p. 9

10 Opdracht 12. a. Laat zien dat r = α en σ 2 = α α b. Maak nu een assenstelsel met op de x-as de waarde van σ (let op: niet van de variantie σ 2!) en op de y-as de waarde van r en teken daarin de waarden van de punten (σ, r) voor alle waarden van α met 0 α 1. Gebruik daarbij indien nodig je GR. c. Zoek de waarde van α waarvoor het risico minimaal is. Hoeveel procent van je geld stop je in Heineken en hoeveel procent in Ahold voor die optimale portefeuille? Welk gemiddeld rendement hoort er bij die minst risicovolle portefeuille? En welke standaardafwijking? Laat zien dat die standaardafwijking kleiner is dan de afzonderlijke standaardafwijkingen voor Heineken en Ahold. Wat betekent dat in termen van risico? Opdracht 13. Iemand investeert euro in aandelen KPN en Getronics. Het eenmaandsrendement r K op aandelen KPN is normaal verdeeld met gemiddelde 1.03% en standaardafwijking 2.68%. Het eenmaandsrendement r G op aandelen Getronics is normaal verdeeld met gemiddelde 0.82% en standaardafwijking 2.76%. Ook nu weer nemen we aan dat de beide rendementen onafhankelijk zijn. Bereken hoeveel euro hij moet investeren in aandelen KPN en hoeveel in aandelen Getronics, om te bereiken dat het risico minimaal is. Hoofdstuk 1, p. 10

11 Afsluitende opdrachten De waarde van de AEX-index wordt bepaald door de fondsen die in de AEX zijn opgenomen. Die fondsen leveren niet allemaal dezelfde bijdrage voor de waarde van de AEX-index. Op 4 mei 2004 zag de samenstelling van de AEX-index er als volgt uit: Fonds Symbool Gewicht Fonds Symbool Gewicht ABN AMRO AAB ING Groep ING Aegon AGN Kon. KPN KPN Kon. Ahold AH Van der Moolen MOO 5.00 Akzo Nobel AKZ Kon. Numico NUM ASML Holding ASL Kon. Philips PHI Burhmann BHR Royal Dutch RD DSM DSM Reed Elsevier REN Fortis FOR TPG TPG Getronics GTN Unilever UN Heineken HEI VNU VNU Hagemeyer HGM Versatel VRS IHC Caland IHC 4.50 Wolters Kluwer WKL De waarde van de AEX-index wordt berekend op de volgende wijze: 1. Vermenigvuldig de laatste vastgestelde prijs voor ieder individueel aandeel met het bijbehorende gewicht. 2. Tel de getallen bij elkaar op. 3. Deel de som van 2) door 100. Op een zeker moment waren de prijzen van de individuele aandelen als volgt: Fonds Prijs Fonds Prijs Fonds Prijs AAB GTN 1.59 PHI AGN 9.30 HEI RD AH 5.54 HGM 1.53 REN AKZ IHC TPG ASL ING UN BHR 6.72 KPN 6.53 VNU DSM MOO 4.54 VRS 2.00 FOR NUM WKL We gaan nu met deze gegevens aan de AEX rekenen. Hoofdstuk 1, p. 11

12 Afsluitende Opdracht 1.1 Opdracht 14. a. Bereken de waarde van de AEX-index, die hier bij hoort. b. Er zijn enkele zwaargewichten onder de zogenoemde hoofdfondsen, bijvoorbeeld KPN, AAB en AGN. Daarentegen behoren IHC en MOO tot de kleintjes. Bereken van deze vijf genoemde fondsen met hoeveel procent zij bijdragen aan de berekening van de AEX-index. c. Veronderstel dat alle fondsen met hetzelfde bedrag stijgen, met 0.40 euro. Bereken hoeveel de AEX-index dan toeneemt. Afsluitende Opdracht 1.2 Opdracht 15. Regelmatig verandert de samenstelling van de AEX. Onderzoek hoe op dit moment de AEX is samengesteld en welk gewicht elk fonds heeft. Onderzoek ook op welke manier deze gewichten tot stand komen. Onderzoek op welke manier wordt bepaald welke fondsen uit de AEX worden gezet en welke andere fondsen er in komen. Afsluitende Opdracht 1.3 Opdracht 16. In dit hoofdstuk is sprake van het gemiddelde en de standaardafwijking van de AEX-index. Probeer eens antwoord te geven op de vraag hoe je deze twee waarden zou kunnen berekenen. Hoofdstuk 1, p. 12

13 Wiskunde D Module Aandelen & Opties Hoofdstuk 2 : Opties Nico Alink & Michel Vellekoop In dit hoofdstuk besteden we aandacht aan een van de meest voorkomende belegginsproducten: de optie. Om het rekenwerk te vereenvoudigen maken we ook kennis met het computerprogramma Excel. We maken daar gebruik van enkele specifieke opties. Voorkennis en vaardigheden voor dit hoofdstuk zijn grafieken van lineaire functies, en het manipuleren van allerlei formules. Opties zijn een zeer gewild product in de financiële wereld. Je kunt er hoge rendementen mee behalen maar de kans dat je er flink de mist mee in gaat, moet je niet onderschatten. Handelen in opties is dus een risicovolle bezigheid. Maar wat is een optie eigenlijk? De betekenis van een optie in de financiële wereld is ongeveer dezelfde als de betekenis van het woord in ons dagelijks spraakgebruik. Een optie geeft je het recht om iets te doen in de toekomst, zonder dat dit recht meteen een verplichting inhoudt. Wanneer je bijvoorbeeld een optie op een huis neemt, dan betekent dit dat je het huis mag kopen gedurende een bepaalde periode maar dat je er eventueel ook nog van mag afzien. In de praktijk gebeurt dat heel vaak om een potentiële koper van een huis de gelegenheid te geven de financiering voor de aankoop van het huis te regelen. Een optie geeft je dus de mogelijkheid om iets te doen in de toekomst als dat gunstig voor je is en om het niet te doen wanneer het niet gunstig voor je is. Dat aspect maakt opties interessant en populair, ogenschijnlijk heb je immers nog wat te kiezen. Hoofdstuk 2, p. 1

14 Optiecontracten Een financiële optie geeft het recht om iets te kopen of te verkopen in de toekomst tegen een prijs die vandaag, dus op het moment waarop de optie wordt gekocht, al vaststaat. Daar horen een paar begrippen bij: De onderliggende waarde van de optie is hetgeen je mag kopen of verkopen. Bij de optie op een huis is de onderliggende waarde natuurlijk het huis zelf. Op de Amsterdamse optiebeurs zijn de onderliggende waarden aandelen, een index van aandelen (zoals de AEX-index, wat gewoon een mandje van verschillende Nederlandse aandelen is), obligaties, goud, zilver of dollars. De strike of uitoefenprijs van een optie is de van tevoren vastgestelde prijs waarvoor je de onderliggende waarde mag kopen of verkopen. Een calloptie is een optie waarbij je het recht hebt de onderliggende waarde te kopen. Een putoptie is een optie waarbij je het recht hebt de onderliggende waarde te verkopen. De expiratiedatum is het tijdstip (in de toekomst) waarop je de optie mag uitoefenen. kwijt. Nog een paar begrippen: Het recht om straks iets te kopen of verkopen tegen een prijs die nu al vast ligt (zonder dat het ook een plicht inhoudt) is zo prettig omdat je er alleen gebruik van maakt wanneer het je goed uitkomt. Wanneer je verlies zou maken, gebruik je het recht niet en wanneer je winst kunt maken, gebruik je het recht wel. Je kunt met zo n optie dus niet verliezen, maar er wel mee winnen. Daarom kun je een call- of putoptie niet gratis krijgen, want een manier om gratis winst te maken zonder dat daar een mogelijk verlies tegenover staat zou betekenen dat er een stormloop op de beurs zou komen naar deze contracten, die dan immers als een soort geldmachine zouden werken. Je moet dus voor een optie een prijs betalen en dat geld ben je meteen Een contract is een overeenkomst zoals een optie, waarin de kenmerken nauwkeurig zijn vastgelegd. De premie van een optie is de prijs die je moet betalen om het bijbehorende recht te krijgen. Een (standaard)optie heeft dus als kenmerken: 1. De aanduiding of het een calloptie danwel een putoptie betreft; Hoofdstuk 2, p. 2

15 2. De onderliggende waarde; 3. De expiratiedatum; 4. De uitoefenprijs van de optie. We geven twee voorbeelden. Stel dat het vandaag 1 januari 2020 is en dat de huidige prijs van het aandeel KPN gelijk is aan euro en van het aandeel ING euro. Dan zouden we vandaag de volgende contracten tegen kunnen komen. Dit contract geeft de houder het recht maar niet de plicht om op 1 januari 2021 een aandeel KPN te kopen voor een prijs van euro. Contract: Call KPN jan 2021 Strike 19 Dit contract geeft de houder het recht maar niet de plicht om op 1 januari 2021 een aandeel ING te verkopen voor een prijs van euro. Contract: Put ING jan 2021 Strike 45 Laten we eerst eens naar het eerste contract kijken waarmee we een aandeel KPN over een jaar mogen kopen voor een prijs van 19 euro. Als we dat recht vandaag zouden hebben waren we daar erg gelukkig mee! Immers, we zouden dan iets voor 19 euro mogen kopen (namelijk een aandeel KPN) dat we onmiddellijk voor 20 euro kunnen verkopen op de aandelenmarkt (want dat is de huidige waarde van het aandeel). Dat betekent dus dat we met dit contract een euro winst zouden kunnen maken, als het recht vandaag zou gelden en niet over een jaar. Een optie die, bij gelijkblijvende koers, geld op lijkt te leveren noemen we in-the-money, en een optie die bij gelijkblijvende koers geen geld oplevert, noemen we out-of-the-money. Hoofdstuk 2, p. 3

16 Wiskunde D Module Aandelen & Opties Opdracht 1. a. Laat zien dat de ING put die we zojuist beschreven hebben op het moment out-of-the-money is. b. Laat vervolgens zien dat een call meer waard wordt als de prijs van de onderliggende waarde stijgt, en laat zien dat de prijs van een put meer waard wordt als de prijs van de onderliggende waarde daalt. c. Leg vervolgens uit waarom een putoptie wel een verzekering op aandelen wordt genoemd en waarom personeelsopties altijd uit calls en nooit uit puts bestaan. Investeren in Opties In werkelijkheid weten we natuurlijk niet wat er tussen 1 januari 2020 (vandaag) en 1 januari 2021 met het aandeel KPN gaat gebeuren. Wanneer de koers een jaar lang op 20 euro blijft of hoger wordt, dan maken we op 1 januari 2021, als de optie expireert en we van ons recht gebruik kunnen maken, een winst van 1 euro of meer. Maar wanneer de koers van KPN tussen 19 en 20 euro eindigt op 1 januari 2021, dan maken we minder dan 1 euro winst (bijvoorbeeld 0.25 euro wanneer de waarde euro wordt). En wat gebeurt er nu wanneer de waarde van het aandeel KPN volgend jaar onder 19 euro zakt? Je zou misschien denken dat we dan een verlies maken omdat we iets voor 19 euro kopen dat op dat moment minder dan 19 euro waard is. Maar nu komt de aantrekkelijkheid van een optie om de hoek kijken. Wanneer het aandeel KPN op 1 januari 2021 minder dan 19 euro zal zijn, dan gebruiken we het Hoofdstuk 2, p. 4

17 kooprecht van de optie gewoon niet! Immers, het was een recht en geen plicht om een aandeel KPN te kopen. We kunnen dus op het moment van uitoefening winst maken of quitte spelen maar nooit verlies maken, want dan gooien we het optiecontract gewoon weg zonder het te gebruiken. In werkelijkheid zullen we vandaag ook wat moeten betalen om zo n optie in handen te krijgen en als de optie dan een jaar later waardeloos expireert, hebben we op dat moment weliswaar geen verlies, maar de prijs die we er voor betaald hebben, zijn we mooi kwijt. Een voorbeeld: het is vandaag 1 januari 2020 en de koers van het aandeel ABN AMRO bedraagt euro. Er is sprake van de volgende optie: Call ABN AMRO jan 2021 Strike 50. De premie van deze optie is 3.34 euro. Opdracht 2. Twee bekende Nederlandse entertainers, Frans en Marianne (die verder anoniem wensen te blijven) willen allebei vandaag elk 570 euro beleggen voor 1 jaar, dus van 1 januari 2020 tot 1 januari Frans belegt zijn 570 euro helemaal in aandelen ABN AMRO. Marianne belegt haar 570 euro helemaal in genoemde callopties ABN AMRO. a. Bereken hoeveel aandelen Frans kan kopen en hoeveel callopties Marianne kan kopen. b. Veronderstel dat op 1 januari 2021 de koers van het aandeel ABN AMRO gelijk is aan euro. Bereken hoeveel geld Frans ontvangt wanneer hij al zijn aandelen dan verkoopt. Bereken ook hoeveel procent winst hij in dat geval heeft gemaakt. Voer dezelfde berekeningen uit voor de situatie waarin Marianne zit en vergelijk de resultaten van Frans en Marianne met elkaar. c. Maak dezelfde berekeningen als bij b. in het geval dat de koers van het aandeel ABN AMRO op 1 januari 2021 gelijk is aan euro. Opdracht 3. Het is vandaag 1 januari 2020 en de koers van het aandeel Ahold bedraagt 8.34 euro. Er is sprake van de volgende optie: Call Ahold jan 2021 Strike De premie voor deze optie is 1.03 euro. Frans belegt zijn 570 euro helemaal in aandelen Ahold en Marianne belegt haar 570 helemaal in callopties Ahold. Voer dezelfde berekeningen uit als in opdracht 2b in het geval dat: a. op 1 januari 2021 de koers van het aandeel Ahold gestegen is naar euro. b. op 1 januari 2021 de koers van het aandeel Ahold gestegen is naar 8.72 euro. Hoofdstuk 2, p. 5

18 Opdracht 4. Het is vandaag 1 januari 2020 en de koers van het aandeel Aegon bedraagt euro. Er is sprake van de volgende optie: Put Aegon jan 2021 Strike De premie van deze optie is 0.90 euro. Frans belegt zijn 570 euro helemaal in aandelen Aegon en Marianne belegt haar 570 helemaal in putopties Aegon. Voer dezelfde berekeningen uit als in opdracht 2b in het geval dat: a. op 1 januari 2021 de koers van het aandeel Aegon gestegen is naar euro. b. op 1 januari 2021 de koers van het aandeel Aegon gedaald is naar euro. Opdracht 5. Het is vandaag 1 januari 2020 en de koers van het aandeel Heineken bedraagt euro. Er is sprake van de volgende optie: Put Heineken jan 2021 Strike De premie van deze optie is 2.34 euro. Frans belegt zijn 570 euro helemaal in aandelen Heineken en Marianne belegt haar 570 helemaal in putopties Heineken. Voer dezelfde berekeningen uit als in opdracht 2b in het geval dat: a. op 1 januari 2021 de koers van het aandeel gedaald is naar euro. b. op 1 januari 2021 de koers van het aandeel gedaald is naar euro. Aan bovenstaande opgaven kun je zien dat beleggen in opties een veel groter risico in zich draagt dan beleggen in aandelen. Dat betekent dat je een veel grotere winst met opties op aandelen kunt maken wanneer de prijs van die aandelen stijgt dan mogelijk zou zijn met de aandelen zelf. Aan de andere kant, wanneer aandelen iets in waarde zakken, behouden ze toch een flink stuk van hun waarde, terwijl opties van het ene op het andere moment volkomen waardeloos kunnen worden. Veel mensen denken daarom dat opties vooral verhandeld worden om speculanten een mogelijkheid te geven enorme risico s te nemen. Maar dat is niet helemaal terecht. We hebben al eerder gezien dat putopties juist als een soort verzekering (een bescherming dus) kunnen werken. Immers, wanneer je veel aandelen in je bezit hebt, en dat is bijvoorbeeld het geval bij pensioenfondsen, dan kun je door wat putopties aan je aandelenportefeuille toe te voegen juist risico s vermijden. Want wanneer je aandelen minder waard worden door dalende aandeelkoersen, worden je putopties juist meer waard. Daardoor daalt je portefeuille in totaal minder in waarde dan wanneer je geen opties zou gebruiken. Door een putoptie te kopen neem je dus een klein verliesje (de prijs van de putoptie, een soort verzekeringspremie) op de koop toe om je te beschermen tegen al te grote verliezen. Dit alles betekent niet dat er niet af en toe dingen dramatisch fout gaan door de grote risico s die opties met zich meebrengen, maar dat komt dan meestal omdat mensen bewust willen speculeren of omdat mensen binnen een bank zich niet aan de regels houden. Hoofdstuk 2, p. 6

19 De Uitbetaling van Optiecontracten De uitbetaling U van een optie hangt dus af van de strike K van de optie en de waarde S van het onderliggende aandeel op de expiratiedatum. Het is niet zo moeilijk daar een formule voor op te stellen en het ligt voor de hand dat deze formule voor een calloptie anders is dan voor een putoptie. Er gelden de volgende formules: en U call = { 0 als K > S S K als K S U put = { K S als K > S 0 als K S Met een klein beetje kunst- en vliegwerk kunnen we in beide gevallen de twee formules herleiden tot één formule 1 : U call = max(s K, 0) U put = max(k S, 0) Opdracht 6. Ga na dat de laatste twee uitdrukkingen voor U call overeenkomen met de eerstgenoemde formules. en U put Nu we hebben gezien dat we de uitbetaling U van een optie gemakkelijk in een formule kunnen beschrijven, moet het ook niet moeilijk zijn daarvan een grafiek te tekenen. We laten dat zien aan de hand van de gegevens van opdracht 2. Zoals je weet was daar sprake van: Call ABN AMRO jan 2021 Strike 50. De premie van deze optie is 3.34 euro. Dan is U call = max(s 50, 0) en voor de winst W op deze optie geldt: W call = max(s 50, 0) met max bedoelen we het maximum van de twee waarden; zo is bijvoorbeeld max( 3, 5) = 5 en max(2, 2) = 2 Hoofdstuk 2, p. 7

20 Hiernaast zie je de grafieken van U call en W call. Je kunt nagaan dat de optie pas echt winst oplevert wanneer de onderliggende waarde groter is dan euro. Dat zal je niet verbazen. Opdracht 7. Teken, net zoals hierboven is gedaan, de grafieken van de uitbetaling U en de winst W voor de opties uit de opdrachten 3, 4 en 5. Het is gebruikelijk te investeren in combinaties van opties om daarmee te proberen de kans op winst te vergroten en risico s te beperken. We geven hiervan een paar voorbeelden. In onze voorbeelden gaan we telkens uit van hetzelfde aandeel en dezelfde expiratiedatum; die laten we hier verder weg. We nemen de volgende opties. A. Calloptie met strike 9.00 euro; de premie is 0.45 euro. B. Calloptie met strike euro; de premie is 0.30 euro. Figuur 1: Winst W als functie van uiteindelijke aandeelprijs S. Voorbeeld 1. Koop 1 optie A en 1 optie B. De winst W ziet er dan als volgt uit: W = max(s 9, 0) + max(s 10, 0) Dit kunnen we als volgt uitwerken: Als S 9 dan is W = = Als 9 S 10 dan is W = S = S Als S 10 dan is W = S 9 + S = 2S 19.75, en de grafiek van W, als functie van S (de waarde van het aandeel op de expiratiedatum) ziet er dan uit zoals weergegeven in Figuur 1. In de beurshandel is het ook mogeljk om opties te verkopen die je niet in je bezit hebt. We praten dan over de aanschaf van een negatief aantal opties en zeggen dat er sprake is van een short position. Wanneer je deze mogelijkheden gebruikt bij het combineren Hoofdstuk 2, p. 8

21 van een investering in opties, krijg je interessante grafieken voor de uitbetaling als functie van de uiteindelijke aandeelprijs. Voorbeeld 2. Koop 2 opties B en verkoop 1 optie A. De winst W ziet er dan als volgt uit: W = 2 max(s 10, 0) max(s 9, 0) (Reken die 0.15 even zelf na!) Dit kunnen we als volgt uitwerken: Als S 9 dan is W = = Als 9 S 10 dan is W = 2 0 (S 9) 0.15 = 8.85 S. Als S 10 dan is W = 2(S 10) (S 9) 0.15 = S 11.15, en de grafiek van W, als functie van S (de waarde van het aandeel op de expiratiedatum) ziet er dan uit zoals weergegeven in Figuur 2. Figuur 2: Winst W als functie van uiteindelijke aandeelprijs S. Het komt natuurlijk ook wel voor dat iemand zowel callopties als putopties heeft. Dan zien de grafieken van de uitbetaling en winst er nog interessanter uit. Opdracht 8. Teken de grafieken van de uitbetaling U en de winst W voor de volgende situaties: a. Call GM jan 2021 Strike 8 samen met Put GM jan 2021 Strike 6. De premie van de call is 0.40 euro en van de put b. Neem 2 callopties en 1 putoptie, zoals genoemd in vraag a. c. Geef voor beide vragen a. en b. aan hoe groot het verlies maximaal is, en druk dit verlies ook uit in procenten van de investering. In afsluitende opdracht 2.3 zie je nog hele andere voorbeelden van combinaties van koop en verkoop van call opties en put opties. We kunnen dus de conclusie trekken dat het heel goed mogelijk is om combinaties van aandelen, opties, e.d. te maken, waarin negatieve aantallen voorkomen, bijvoorbeeld 5 callopties plus -3 putopties. Het is goed om je dat te realiseren, want dat betekent dat we negatieve uitkomsten toestaan. Hoofdstuk 2, p. 9

22 Rekenen met Excel Het programma Excel, dat standaard op iedere computer met een Windows-versie is geïnstalleerd, is een vreselijk handig hulpmiddel bij wat ingewikkelder rekenwerk. Omdat we dat in de financiële wiskunde goed kunnen gebruiken, besteden we er hier aandacht aan. Wanneer je Excel geopend hebt, vind je onder de knop Extra onder andere de volgende twee opties: Doelzoeken en Oplosser, of bij de Engelse versie: Goalseek en Solver. De optie Doelzoeken (Goalseek) is standaard geïnstalleerd, maar dat geldt niet altijd voor de optie Oplosser (Solver). Mocht dat niet het geval zijn, dan is het meestal een kleine moeite dat voor elkaar te krijgen. Ga in Excel naar Extra, Invoegtoepassingen, Invoegtoepassing Oplosser (of Tools, Add-ins, Solver) en klik op OK. Als het goed is, wijst alles zich vanzelf. We gaan er hier dus van uit dat beide opties aanwezig zijn en we gebruiken hier steeds de Nederlandse benaming. Zoals je wel weet is Excel een spreadsheetprogramma, waarmee je snel kunt rekenen. Door het veranderen van de waarde van één of meerdere cellen kun je met Excel snel nagaan wat daarvan de invloed is op het resultaat in andere cellen. In een aantal gevallen wil je de waarde van een aantal cellen zodanig veranderen dat je in een andere cel een waarde krijgt die je graag wilt hebben. Het zoeken van geschikte waarden is een hele klus en Excel neemt dat werk graag van je over. We zullen dat hier demonstreren aan de hand van een paar voorbeelden. We beginnen met Doelzoeken. Die optie heb je niet vaak nodig, maar het is toch aardig om te weten hoe dat werkt. Voorbeeld 1. We willen graag weten hoe groot je x moet kiezen om te bereiken dat x 2 + 6x = 28. Open Excel en vul bij cel B2 in: =A2^2+6*A2. Sluit af met Enter. Het = teken geeft aan dat je een formule gebruikt. En je herkent hier natuurlijk de formule uit dit voorbeeld. Telkens wanneer je in cel A2 een getal invult, krijg je in cel B2 het resultaat van de bijbehorende formule. Neem nu Extra, Doelzoeken en kies bij Cel instellen voor cel B2. Kies bij Op waarde voor 28 natuurlijk. En kies bij Door wijzigen van cel natuurlijk voor A2. Klik op OK en het programma geeft aan dat er een oplossing is gevonden nl Merk op dat er nog een oplossing is en dat Excel zich daar niet druk over maakt. Dit is een beetje flauw voorbeeld, maar je kunt je wel voorstellen dat een doelcel meerdere variabelen bevat, dus verwijzingen naar meerdere andere cellen. In dat geval kun je met deze optie vrij snel een bepaalde waarde van de doelcel vinden door één van de cellen waarnaar wordt verwezen, te wijzigen. Hoofdstuk 2, p. 10

23 Voorbeeld 2. We willen van formule x 2 +6x weten wat het minimum is. Ga nu naar Extra, Oplosser en kies bij Cel bepalen voor B2 en daaronder de optie Min en Door verandering cel : A2. Daarna kun je kiezen voor een aantal beperkingen, maar die zijn er hier niet. Het aanklikken van Oplossen geeft meteen de oplossing. Voorbeeld 3. We willen weten wat het maximum is van x 2 + 4xy onder de voorwaarde dat x + y = 10 en dat x en y beide niet negatief zijn. Vul bij C2 in: =A2^2+4*A2*B2. Omdat we bij Doelzoeken en Oplosser altijd moeten verwijzen naar één cel, vertalen we de voorwaarde in een getal in één cel D2, die de waarde 10 moet krijgen. Vul dus bij D2 in: =A2+B2. Kies bij Oplosser voor: Cel bepalen: C2 optie: Max Door verandering cel: klik cellen A2 en B2 tegelijk aan door slepen. Vul bij Restricties in: D2 = 10 ; A2 >= 0; B2 >= 0 ( >= betekent natuurlijk ) Oplossen levert op: A2 = en B2 = en C2 = Voorbeeld 4. Bij opdracht 12 van hoofdstuk 1 moest je eigenlijk x y 2 minimaliseren onder de voorwaarde dat x + y = 1. Omdat x en y een hoeveelheid geld voorstellen, geldt natuurlijk x 0 en y 0. Vul bij cel C2 in: = *A2^ *B2^2 in en bij cel D2: =A2+B2. Ga daarna te werk als in het vorige voorbeeld. Opdracht 9. a. Bereken het minimum van 2x 3 xy 2 + y onder de voorwaarden dat x + y = 100 en x 0 en y 0. b. Bereken het maximum van xy 3xz + 2xyz onder de voorwaarden dat x + y + z = 10 en x 0, y 0 en z 0. c. Reken nog eens opdracht 13 van hoofdstuk 1 na door gebruik te maken van de Oplosser. En dan nog iets over het slepen over cellen. Daarmee kun je niet alleen een grote hoeveelheid cellen tegelijk selecteren, maar je kunt ook meerdere cellen van eenzelfde formule voorzien. We laten dat aan de hand van twee voorbeelden zien. Bij de afsluitende opdrachten kun je er veel profijt van hebben. Voorbeeld 5. We gaan twee kolommen cellen maken als volgt: De eerste kolom cellen bevat achtereenvolgens de getallen 1, 2, 3,..., 100. De tweede kolom bevat achtereenvolgens de kwadraten van deze getallen. Ga nu als volgt te werk: Zet in cel A1 het getal 1 en in cel A2 het getal 2. Selecteer, m.b.v. slepen, beide cellen en zet daarna de cursor rechts onderaan cel A2. Daar moet dan een +-teken komen te staan. Sleep daarna met de muis naar beneden tot en met cel A100 en laat de muis los. Je ziet nu dat de getallen 1 t/m 100 in kolom A zijn gezet. Vul nu in: B2=A2^2. Selecteer B2 en zet Hoofdstuk 2, p. 11

24 de cursor weer rechts onderaan deze cel. Het +-teken verschijnt weer; sleep daarna met de muis naar beneden tot en met cel B100 en je bent klaar. Klaarblijkelijk wordt door deze procedure bij het invullen van de cellen in kolom B steeds de waarde van de volgende cel uit kolom A genomen en daarna gekwadrateerd. Het kan ook zijn dat je de uitkomsten ook nog een vaste waarde mee wilt geven, die afkomstig uit één cel. Daarover gaat het volgende voorbeeld. Voorbeeld 6. We gebruiken weer de getallen 1 t/m 100 uit kolom A. Laat kolom B maar staan, die heb je nu niet nodig. Zet in cel C1 het getal 1 en vul in cel D1 in: D1=A1/(A1+$C$1) en sleep met de muis van D1 tot en met D100. Met het schrijven van dollartekens geef je aan dat deze cel niet verandert met het slepen over de cellen D1 tot en met D100. Klik maar eens op bijvoorbeeld cel D23. Je ziet dat daar in de formule nog steeds naar cel C1 wordt verwezen, terwijl tegelijkertijd de verwijzing naar cel A1 is veranderd in de verwijzing naar cel A23. We spreken van een absolute verwijzing naar cel C1. Daarentegen is de verwijzing naar cel A1 relatief. Sleep nu van cel D1 tot en met cel D100. Laat Excel daarna in D101 de som van de getallen in D1 tot en met D100 berekenen. In D101 staat dus nu de uitkomst van 100 n=1 n n + 1 Wanneer je nu in cel C1 bijvoorbeeld het getal 5 invult, levert D101 je de uitkomst van 100 n=1 n n + 5 Zo simpel werkt dat dus! Opdracht 10. Bereken tot op 4 decimalen nauwkeurig a b c Opdracht 11. Bereken tot op 4 decimalen nauwkeurig a. b. 50 n=0 (2n + 1), dit is dus hetzelfde als n n=0 Hoofdstuk 2, p. 12

25 Opdracht 12. a. Maak opdracht 4d. uit hoofdstuk 1 nog eens over, maar nu met Excel. b. Benader het getal e (dwz e tot de macht 1 dus e 1 ) door de volgende som per benadering uit te rekenen. n=0 c. Bereken 1 n! 15 n= ( 1 25 )n ( )n 2n + 1 Dit is een benadering van π die 23 decimalen nauwkeurig is! Opdracht 13. Gebruik Doelzoeker om te berekenen voor welke p geldt 100 n=1 n n + p = 50 Hoofdstuk 2, p. 13

26 Wiskunde D Module Aandelen & Opties Afsluitende opdrachten Afsluitende Opdracht 2.1 Opdracht 14. Bereken voor de opdrachten 2 t/m 5 bij welke aandeelkoers op 1 januari 2021 Frans en Marianne een even groot rendement behalen op hun investering. Krant op de dag van de 1929 Wall Street Crash Hoofdstuk 2, p. 14

27 Afsluitende Opdracht 2.2 Opdracht 15. Gebruik het internet om maandelijkse rendementen te downloaden van de AEX index in de periode juni 1996 tot juni 2002 (Ga bijvoorbeeld naar finance.yahoo/com, zoek op AEX, ga naar Historical Prices, selecteer de juiste periode en monthly data en gebruik dan de Close prijs data). We willen nu Excel gaan gebruiken om een portfolio te construeren (bestaande uit aandelen die in de AEX zitten) die een zo laag mogelijke variantie, dus een zo klein mogelijke standaardafwijking heeft. Dan investeer je met het minste risico! a. Gebruik Excel om het gemiddelde en de standaardafwijking voor elk AEX fonds te bepalen op 2 manieren: 1. met behulp van de formules uit het eerste hoofdstuk. 2. met behulp van de standaard Excel functies MEAN (of AVERAGE) en STD (of STDEVP). b. Plot in Excel alle aandelen in een ( r, σ)-diagram. Wat valt je op aan het punt dat de AEX representeert? Om een portfolio te maken met een zo laag mogelijke variantie moet je elk aandeel een gewicht geven (let op: alleen aandelen, niet de AEX index zelf). c. Maak een rij met mogelijke gewichten (zet die allemaal op 1/23 om mee te beginnen, dan weegt elk aandeel even zwaar) en een kolom waarin je voor elke datum alle gewichten met de bijbehorende rendementen vermenigvuldigt. Als je twee rijen met elkaar wilt vermenigvuldigen en de resultaten wilt optellen, hoef je dat niet stap voor stap in Excel te programmeren: gebruik het handige commando SUMPRODUCT (zie Excel help). Je krijgt nu een kolom met portfolio rendementen. Bepaal daarvan het gemiddelde en de standaardafwijking. d. Gebruik de Solver om de portfolio te maken met minimale standaardafwijking. Bedenk daarbij dat de gewichten wel tot 100% op moeten tellen en dat ze niet negatief mogen zijn, dus dat moet je de Solver meegeven! Geef de optimale portfolio, en teken hem ook in je ( r, σ)-diagram. De portfolio die je bij e. gevonden hebt, heeft een slechter gemiddeld rendement dan de AEX. e. Bepaal nu eens de portfolio die een zo klein mogelijk standaardafwijking heeft in zijn rendement, maar wel hetzelfde gemiddelde rendement als de AEX. Wat gebeurt er met de minimale standaardafwijking t.o.v. het antwoord van e.? Kun je dat verklaren? f. Bepaal de beste (minimale) standaardafwijking als je een rendement eist van 0%, van 1%, van 2%, van 3%, van 4%, van 5% en van 6% en teken al die portfolios in je ( r, σ)-diagram. Wat valt je op? Hoofdstuk 2, p. 15

28 Afsluitende Opdracht 2.3 Opdracht 16. Teken de grafiek van de uitbetaling U voor de volgende situaties: a. Koop 1 putoptie met strike 80 en verkoop 1 putoptie met strike 120. b. Koop 1 calloptie met strike 80 en 1 calloptie met strike 120, verkoop 2 callopties met strike 100. c. Koop 1 putoptie met strike 80 en verkoop 1 calloptie met strike 120. Je ziet dat we hier de premie voor de opties niet hebben genoemd, we vragen dan ook niet naar de uiteindelijke winst op de genoemde transacties. Hoofdstuk 2, p. 16

29 Wiskunde D Module Aandelen & Opties Hoofdstuk 3: Het Prijzen van Opties Nico Alink & Michel Vellekoop In hoofdstuk 2 hebben we gerekend met opties. Daarbij speelde de prijs die de koper voor een optie moet betalen een rol. In dit hoofdstuk zullen we zien hoe je de prijs van een optie kunt bepalen. We maken daarvoor gebruik van een eenvoudig model. In de beurspraktijk ziet het er veel ingewikkelder uit. Voorkennis en vaardigheden zijn de basisbegrippen uit de kansrekening waaronder toevalsvariabele, verwachtingswaarde, standaardafwijking en onafhankelijkheid van gebeurtenissen. Daarnaast maken we veel gebruik van het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen. We beginnen met een herhaling en uitbreiding van het laatste en daarna herhalen we in het kort de noodzakelijke onderdelen van de kansrekening. Stelsels vergelijkingen oplossen Eerst ter herinnering. We nemen even twee eerstegraadsvergelijkingen met twee onbekenden, bijvoorbeeld: { x + 7y = 12 3x + 5y = 14 Zoals je weet stellen beide vergelijkingen meetkundig een rechte lijn voor en betekent het oplossen van dit stelsel niets anders dan het zoeken van (de coördinaten van) het snijpunt van beide lijnen. Daarvoor hebben we verschillende methoden tot onze beschikking. We zetten ze even op een rij. Algebraïsch, dus kort gezegd: met pen en papier en je blote verstand. En dat kan op verschillende manieren. Dat heb je ongetwijfeld al in een eerder leerjaar op het vwo geleerd. Met de GR. Een beetje afhankelijk van het type rekenmachine. Maar sommige beschikken over een optie in de trant van Equations - Simultaneous of iets dergelijks. Een beetje GR gaat tot het oplossen van zes vergelijkingen met zes onbekenden. Hoofdstuk 3, p. 1

30 Met Excel. Dat gaan we hier nog even behandelen aan de hand van bovenvermeld stelsel. Neem een (leeg) Excel-blad en vul in bij C2:=A2+7*B2 en bij D2:=3*A2+5*B2. Ga naar Oplosser en vul in bij Cel bepalen: C2 en bij Gelijk aan: Waarde 12. Vul bij Door verandering cel: in A2;B2 (dat doe je weer met slepen). Vul bij Restricties in: D2=14. Oplossen geeft het antwoord: A2=2.375 en B2= Verloop van de AEX op één dag. De laatste methode heeft als voordeel dat cellen C2 en D2 niet per se als formule een eerstegraadsverband hoeven te hebben. Je begrijpt wel dat je met weinig extra moeite een stelsel van drie of vier of nog meer vergelijkingen met even zoveel variabelen kunt oplossen met Excel, terwijl het met pen en papier al gauw erg veel werk wordt. Even oefenen. Opdracht 1. Los de volgende stelsels vergelijkingen op. Kies zelf een geschikte methode. Rond, indien nodig, af op twee decimalen. a. { 3x 2y = 16 3x + 5y = 23 b. { 4x + 4y = x 6y = 23.9 c. { 1.05p + 10q = 23 p q = 18.7 En dan kan het meteen ook wel met wat grotere problemen. Opdracht 2. Los de volgende stelsels vergelijkingen op. Kies zelf een geschikte methode. Rond, indien nodig, af op twee decimalen. a. x + y + z = 1 2x + 3y + 2z = 2 3x + y + 5z = 6 b. 3x 2y + 5z = 12 4x + y + 7z = 6 y z = 2 De vergelijkingen in opgave 2 stellen meetkundig gezien vlakken voor. Vanuit die invalshoek betekent het oplossen van zo n stelsel niets anders dan het vinden van Hoofdstuk 3, p. 2