Overlevingstafels en longitudinale analyse

Transcriptie

1 9 Overlevigstafels e logitudiale aalyse Survival-aalyse / Duurmodelle Thaya Carolia, Léader Kuivehove e Ja va der Laa Statistische Methode () De Haag/Heerle,

2 Verklarig va tekes. = gegeves otbreke * = voorlopig cifer ** = ader voorlopig cifer = geheim = ihil = (idie voorkomed tusse twee getalle) tot e met (,) = het getal is kleier da de helft va de gekoze eeheid iets (blak) = ee cifer ka op logische grode iet voorkome 8 9 = 8 tot e met 9 8/9 = het gemiddelde over de are 8 tot e met 9 8/ 9 = oogstaar, boekaar, schoolaar ez., begied i 8 e eidiged i 9 6/ 7 8/ 9 = oogstaar, boekaar ez., 6/ 7 tot e met 8/ 9 I geval va afrodig ka het voorkome dat het weergegeve totaal iet overeestemt met de som va de getalle. Colofo Uitgever Cetraal Bureau voor de Statistiek Heri Faasdreef 3 49 JP De Haag Prepress Cetraal Bureau voor de Statistiek - Grafimedia Omslag TelDesig, Rotterdam Ilichtige Tel. (88) Fa (7) Via cotactformulier: Bestellige verkoop@cbs.l Fa (45) Iteret ISSN: Cetraal Bureau voor de Statistiek, De Haag/Heerle,. Verveelvoudigig is toegestaa, mits het CBS als bro wordt vermeld. 665 X-37

3 Ihoudsopgave. Ileidig op het deelthema...4. Cocepte e parameters va duurverdelige Overlevigstafels Kapla-Meier-schatter voor de survivalfuctie Nelso-Aale-schatter voor de cumulatieve hazard Het vergelike va duurverdelige Parametrisch model voor de hazard Co-model / proportioal-hazard-model Logistisch model voor discrete dure Literatuur...4 3

4 . Ileidig op het deelthema. Algemee beschrivig e leeswizer.. Beschrivig va het deelthema Dit deelthema beschrift methode waarmee dure kue worde geaalyseerd. Ee duur ka gezie worde als de tid tusse twee gebeurteisse: geboorte/sterfte, otslag/vide ieuwe baa, huwelik/scheidig, etc. Eerzids worde methode besproke die ee beschrivig geve va de duurverdelig. Aderzids worde methode besproke die probere de duurverdelig te modellere e da vooral de ivloed va achtergrodkemerke op de duur. Hiermee kue vrage als: Lope bedrive uit klasse A ee grotere kas op faillissemet da bedrive uit klasse B?, Zitte vrouwe lager i de WW da mae?, beatwoord worde. Het grote probleem bi het aalysere va dure zit hem vooramelik i het feit dat bia altid de duur voor ee gedeelte va de populatie og iet is afgerod. Va deze obecte is de duur iet beked. Er is allee beked dat de duur lager is da ee bepaalde waarde. Aagezie dit meestal ee selectieve groep is, moete methodes die gebruikt worde voor het aalysere va dure deze gedeeltelike iformatie op éé of adere maier verwerke i hu schattige. De hier besproke methode doe dit... Probleme e oplossige Wat maakt omgaa met dure aders da het omgaa met bivoorbeeld het ikome va persoe? Me zou toch gewoo de gemiddelde duur kue uitrekee. Twee zake make de situatie iets igewikkelder. Te eerste, heeft me bia altid te make met cesurerig e trucatie, e te tweede, compliceert het tidsaspect, dat per defiitie ee rol speelt bi dure, het bepale va de populatie. Hieroder worde beide pute behadeld.... Cesurerig e trucatie I het algemee zal de periode waari me dure waareemt beperkt zi. Zo is aa de ee kat de waaremigsperiode i ieder geval beperkt tot het u. Va dure die op dit momet og iet zi afgeslote is de eidtid e daarmee de legte va de duur iet beked. Aa de adere kat wordt de waaremig i het algemee ook beperkt, bivoorbeeld doordat het register dat gebruikt wordt iet verder terug gaat. Me heeft dus te make met dure die og iet afgeslote zi. Het probleem dat daarbi optreedt is dat het i het algemee de lagere dure zi die og iet zi afgeslote. Deze iet-afgeslote dure kue dus iet buite de aalyse gehoude worde. 4

5 A C B? D? E F? T T waareemperiode Figuur... Mogelike waaremige aa dure. Op de horizotale as loopt de tid; de lie geve dure aa. Figuur.. toot de verschillede mogelikhede die kue optrede. De lie geve dure aa. De waareemperiode loopt va T tot T. Dure zoals A worde volledig waargeome. Bi B wordt de duur rechts gecesureerd: het eide va de duur wordt iet waargeome; er is allee beked dat de duur lager is da ee bepaalde waarde. Rechtse cesurerig komt i de praktik bia altid voor. Stel me is i geïteresseerd i de levesduur va persoe gebore i 97. Va de meeste persoe is i de duur og iet afgelope e is dus allee beked dat de duur lager is da 39 aar. Als me bi het bepale va het gemiddelde egeert dat er dure gecesureerd zi, zal het gemiddelde ooit meer da 39 kue zi, wat duidelik ee oderschattig is va de werkelike levesduur. Naast rechte cesurerig ka er atuurlik ook likse cesurerig optrede. Dit de situatie E. I dat geval is allee beked dat de duur bi het begi va de waareemperiode al begoe is, maar me weet iet hoelag de duur al bezig was aa het begi va de waareemperiode. Dit is ee va de verveledste gevalle, omdat zoder heel erg sterke aaames te doe er gee goede methode zi die hiermee kue omgaa. Gelukkig weet me i het algemee wel hoelag de duur al gaade was. Zo weet me bivoorbeeld wel de geboortedatum va persoe die gebore zi voordat het GBA beschikbaar kwam. Deze situatie wordt geschetst door C. Dit wordt (rechtse) trucatie geoemd. Ook immigratie is hier ee voorbeeld va: deze persoe hebbe ook al ee levesduur voordat ze i de populatie kome. Op zich is de duur dus beked va C e me zou dit dus gelik kue stelle aa A. Echter, er zi ook gevalle als D, die ook getruceerd zi, maar die geheel iet worde waargeome. Getruceerde dure die wel worde waargeome zulle i het algemee lager zi da getruceerde dure die iet worde waargeome. Me moet dus ee of adere correctie toepasse om te voorkome dat de legte va de dure wordt overschat. 5

6 Er zi atuurlik ook allerlei combiaties va likse e rechte cesurerig e trucatie mogelik, zoals F. Doordat cesurerig e trucatie i de praktik bia altid voorkome, moete bi het make va statistieke va dure altid methodes gebruikt worde die op éé of adere maier hiermee kue omgaa.... Populaties i de tid Doordat het proces dat me probeert te beschrive zich i de tid afspeelt, heeft ook de selectie i de tid va de populatie die me wil beschrive ee sterke ivloed op de uitkomste. Ee klei voorbeelde. Stel i ee ver lad met ee veel eevoudiger rechtssysteem krige veroordeelde of aar gevageisstraf of aar e lope straffe altid va auari tot 3 december. Ieder aar worde mese veroordeeld voor aar e mese tot aar. Wat is de gemiddelde gevageisstraf? Ituïtief zal me ( + )/(+)=5,5 aar zegge. Echter, als me de gevageispopulatie op ee bepaalde datum zou oderzoeke, komt me tot ee geheel ader resultaat. Op auari zitte er persoe met ee straf va aar. Verder zitte persoe die afgelope auari zi veroordeeld tot ee straf va aar, persoe die tot aar zi veroordeeld auari va het voorgaade aar, etc. Op auari zitte er i totaal dus persoe die zi veroordeeld tot aar i de gevageis. De persoe die op auari i de gevageis zitte zi dus gemiddeld tot ( + )/( +) = 9, aar veroordeeld. I het eerste geval bestaat de populatie uit persoe waarva de duur op ee bepaald momet begit: ee startcohort. I het tweede geval bestaat de populatie uit persoe die op ee bepaald momet i ee duursituatie zitte: populatie op peilmomet. I het algemee zal ee startcohort meer overeekome met wat me ituïtief verwacht da ee populatie op peilmomet. De duurverdelig horede bi ee startcohort geeft aa welke duur me ka verwachte als me ook i ee duursituatie terecht komt. Ee derde mogelikheid aast startcohort e populatie op peilmomet, is door te kike aar dure die bie ee bepaalde periode valle. Me kikt da iet aar de totale duur, maar allee aar het stuk duur dat bie de periode valt, of eigelik aar de kas op bivoorbeeld overlide bie de periode gegeve de leeftid. Ee voorbeeld hierva zi periodelevestafels welke i de demografie veel gebruikt worde....3 Leeswizer Voor het beschrive va duurverdelige zi ee aatal adere mate/fucties beschikbaar da de stadaard verdeligsfuctie, gemiddelde, mediaa, etc. Deze worde besproke i hoofdstuk. Deze mate zi ook odig om de methode besproke i de daarop volgede hoofdstukke te kue begripe. 6

7 De besproke methode kue i de eerste plaats oderscheide worde door de aaames die gedaa worde over de verdeligsfuctie. De iet-parametrische methode make gee aaames over de verdeligsfuctie. Dit heeft als voordeel dat de verdeligsfuctie beschreve wordt zoals hi wordt waargeome, maar deze methode zi mider toepasbaar als iet heel de verdeligsfuctie wordt waargeome e zi allee beschrived. Het is echter wel mogelik om te toetse of verdelige va elkaar verschille. Dit wordt besproke i hoofdstuk 6. De parametrische methode (parametrisch model voor de hazard, hoofdstuk 7, e het logistische model, hoofdstuk 9) eme aa dat de verdeligsfuctie ee bepaalde verdelig volgt die afhagt va bepaalde achtergrodkemerke va de obecte. Met de parametrische methode ka dus de ivloed va achtergrodkemerke op de duur bestudeerd worde. Daaraast kue deze methode, doordat de duurverdelig helemaal bepaald wordt, gebruikt worde om allerlei kemerke (zoals gemiddelde) va de verdelig af te leide. De semi-parametrische methode (het Comodel, hoofdstuk 8, e ook het logistische model, hoofdstuk 9, ka soms hieroder geschaard worde) modellere wel het effect dat achtergrodkemerke hebbe op de duurverdelig, maar ze probere zo weiig mogelik aaames te doe over de vorm va de duurverdelig. Deze methode kue dus vooramelik gebruikt worde om de ivloed va achtergrodkemerke op de duurverdelig te bestudere. Om tot schattige va bivoorbeeld gemiddelde of mediae dure te kome moete deze methode gecombieerd worde met iet-parametrische schatters zoals de Kapla- Meierschatter. I het algemee ka duur als ee cotiue variabele worde gezie. Zo is levesduur i dage praktisch gezie ee cotiue variabele. De meeste methode eme aa dat duur ee cotiue variabele is. Echter, me ka duur vaak ook zie als ee discrete variabele. Vaak komt dit doordat de auwkeurigheid waarmee de duur gemete wordt ee discretisatie veroorzaakt, zoals levesduur i dage. I ekele gevalle is de duur werkelik discreet, zoals het aatal sollicitatiebrieve dat iemad moet versture voordat hi wordt aageome. Overlevigstafels kue gebruikt worde om discrete dure te beschrive. Het logistische model ka gebruikt worde om discrete dure te modellere. De eigeschappe va de verschillede methode zi samegevat i tabel... 7

8 Tabel... Toepassigsmogelikhede voor de verschillede methode Methode Parametrisch Cotiu/discreet Overlevigstabels (hst.3) ee discreet Kapla-Meierschatter (hst. 4) ee cotiu Nelso-Aaleschatter (hst. 5) ee cotiu Vergelike duurverdelige (hst. 6) ee cotiu Parametrisch model (hst. 7) a cotiu Comodel (hst. 8) semi cotiu Logistisch model (hst. 9) semi/a discreet. Afbakeig e relatie met adere thema s Duurdata is ee vorm va logitudiale data. I dit deelthema wordt allee de aalyse e beschrivig va duurdata besproke. I de Methodereeks is er ee apart deelthema Overlevigstafels bie het thema Overlevigstafels e logitudiale aalyse. Ee aatal meer complee methode worde hier iet besproke, zoals Herhaalde gebeurteisse. Sommige gebeurteisse kue meerdere male optrede. Zo kue persoe meerdere kere werkloos worde. Als me specifiek geïteresseerd i het herhaald optrede zi de methode die hier beschreve worde iet geschikt. Compleere methode zi da odig. Vaak is het mogelik om dit probleem weg te defiiëre door bivoorbeeld te kike hoelag het duurt voordat persoe die i werkloos geworde zi voor het eerst ee baa vide. Competig risks. De methode besproke i dit deelthema gaa erva uit dat er slechts éé soort gebeurteis ka optrede. I het voorbeeld va werkloosheid kue mese werk vide of iactief worde. Als het odig is om oderscheid tusse beide gebeurteisse te make, zi competig risks modelle odig..3 Plaats i het statistisch proces Duuraalyses hebbe vooral ee plaats i de aalysestap va het proces. Daaraast kue de methodes ook diee als iput voor bivoorbeeld regressie-imputatie (zie thema Imputatie)..4 Defiities Zake als hazard, survivalfuctie etc. worde i het volgede hoofdstuk gedefiieerd. 8

9 . Cocepte e parameters va duurverdelige. Korte beschrivig I dit hoofdstuk worde iet zozeer methode besproke, maar verschillede parameters va duurverdelige waarmee duurverdelige kue worde aageduid, zoals de mediaa e het gemiddelde. Teves worde belagrike cocepte die veelvuldig gebruikt worde i de duuraalyse behadeld. Belagrike cocepte zi odermeer de survivalfuctie e de hazard. Methodes die i latere hoofdstukke worde besproke make uitvoerig gebruik va de cocepte e parameters die i dit hoofdstuk zulle worde besproke.. Toepasbaarheid I dit hoofdstuk worde verschillede populatieparameters waarmee duurverdelige kue worde aageduid besproke. Belagrike populatieparameters i de survivalaalyse zi het gemiddelde e de mediaa. Ook worde er cocepte besproke die gagbaar zi i de duuraalyse, maar mider gagbaar zi buite de duuraalyse. Me dekt aa de survivalfuctie, de hazardfuctie e de cumulatieve hazardfuctie..3 Uitgebreide beschrivig.3. Cotiue verdelige Ee erg belagrik begrip i de duuraalyse is de survivalfuctie. Stel f (t) is de kasdichtheidsfuctie va de stochast T. Merkt op dat t omdat dure iet egatief kue zi. De cumulatieve verdeligsfuctie F (t) is da gedefiieerd als t F ( t) = P( T t) = f ( )d. (.3.) De survivalfuctie wordt u als volgt gedefiieerd t S( t) = P( T t) = f ( d). (.3.) Voor de survivalfuctie geldt dat S ( ) = e S( ) limt S( t) ==. Ee praktische iterpretatie va de survivalfuctie is dat zi de fractie persoe aageeft die op tidstip t og gee gebeurteis hebbe odergaa. Stel dat me begit met persoe e dat a ee zeker tidstip t 5 mese uitgestroomd zi, da moete 9

10 er dus og 75 mese uitstrome. De survivalfuctie is u gelik aa.75, dus S(t)=.75. Ee ader belagrik cocept i de duuraalyse is de hazardfuctie h (t). De hazardfuctie is gedefiieerd als P( t T t + t T t) f ( t) h( t) = lim t =. (.3.3) t S( t) De hazardfuctie ka gezie worde als het mometae tempo waarmee ee gebeurteis optreedt op tidstip t, gegeve dat de gebeurteis iet opgetrede is voor tidstip t. De fucties f ( t), ( ts ), e h (t) kue oderlig i elkaar over worde geschreve. De volgede vergelikig geldt bivoorbeeld t S( t) = ep( h( )d). (.3.4) Het is u hadig om de cumulative hazardfuctie te defiiëre t H ( t) = h( )d. (.3.5) Het is u eevoudig i te zie dat S( t) = ep( ( th )). (.3.6) Teslotte ka f (t) uitgedrukt worde i h (t) op de volgede wize t f ( t) = h( t) ep( h( )d). (.3.7) Deze vergelikige like misschie op het eerste gezicht abstract, maar veel methode die og i de volgede hoofdstukke aa de orde kome make uitvoerig gebruik va deze vergelikige..3. Discrete modelle Als dure bivoorbeeld afgerod, gegroepeerd of uitgedrukt zi i het aatal keer dat ee bepaalde cyclus is opgetrede ka me gebruik make va discrete modelle. Stel dat de duur T de waardes t,, K ka aaeme met < tt. < L Stel verder dat de kasfuctie gelik is aa f ( t ) = P( T ) t ==,,K. (.3.8) t

11 De survivalfuctie is da gelik aa S( t) P( T t) f ( t ). (.3.9) : t De hazardfuctie is het discrete geval is t f ( t ) h( t ) P( T t T t ),,K. (.3.) S( t ) Net als i het cotiue geval kue f ( t), ( ts ), e h(t) i elkaar worde overgeschreve. Dit beteket dus ook dat het theoretische gezie iet uitmaakt welke va de fucties beschikbaar is om de duurverdelig eeduidig vast te legge. Verder geldt i het discrete geval dat f t ) S( t ) S( t ) e dit impliceert dat ( S( t ) h( t ),,K. (.3.) S( t ) Bovedie impliceert dit : t t S( t) ( h( t )). (.3.) De cumulatieve hazardfuctie is simpelweg gelik aa de som va de hazards H ( t) h( t ). (.3.3) : t t Ee adere defiitie va de cumulatieve hazardfuctie die gagbaar is H ( t) log ( ts ). (.3.4) Deze vergelikig maakt gebruikt va vergelikig (.3.)..4 Parameters va duurverdelige Verdelige worde gekemerkt door verschillede parameters. Ekele bekede parameters zi het gemiddelde e de mediaa. Bi duuraalyses wordt vaak vauit de survivalfucties gedacht. Daarmee wordt bedoeld dat de defiitie va de parameters vaak afgeleid is met behulp va de survivalfuctie. Hieroder worde verschillede voorbeelde hierva gegeve. Het pde kwatiel is gedefiieerd als de kleiste waarde va t waarvoor S(t) kleier of gelik is aa p. if t : S t)( p. (.4.) p Ee belagrik kwatiel dat i de praktik veel wordt gebruikt is de mediaa. De mediaa is gedefiieerd als de kleiste waarde va t waarvoor S(t) kleier of gelik is aa.5.

12 { t : ( ).5} ξ.5 = if ts. (.4.) Dit is dus de duur waarop S(t) va ee waarde groter da.5 aar ee waarde kleier da.5 sprigt. Adere veel voorkomede kwatiele zi.5 e.75. Het gemiddelde is gelik aa de oppervlakte oder de survivalfuctie µ = S( )dtt. (.4.3) Bi discrete verdelige gaat de itegraal over i ee som..5 Voorbeeld Hieroder ziet me ee typische survivalfuctie afgebeeld. Het is duidelik te zie dat de fuctie begit bi e eidigt bi. I de grafiek is met ee stippelli de mediaaξ. 5 aageve. De oppervlakte oder de grafiek is gelik aa het gemiddelde. S(t) ξ t

13 3. Overlevigstafels 3. Korte beschrivig De overlevigstafel ook sterftetafel geoemd is ee statistische beschrivig va het sterftepatroo i ee bevolkig (over de are hee) e geeft het aatal overlevede, de cumulatieve hazardfuctie e de hazard rates va de oderliggede bevolkig weer. I de demografie wordt de hazard gewoolik gedefiieerd als de kas dat iemad uitstroomt tusse e +, gegeve dat hi de duur gehaald heeft. h = Pr( T < + T ). (3..) Deze kas, weergeve i formule (3..), ka geschat worde door gebruik te make va het uitstroomtempo. Het uitstroomtempo m is gedefiieerd als het aatal persoe dat uitstroomt met ee duur tusse e + gedurede de periode ( D ) te dele door het aatal persooperiode dat risico heeft gelope bie deze duurcategorie e bie de periode ( L ), D m =. (3..) L Het aatal persoe dat aa het begi va het duuriterval dat loopt va tot + risico loopt om uit te strome i het iterval wordt gegeve door l. Het verwachte aatal persoe dat i het iterval uitstroomt, wordt dus gegeve door D = l h, (3..3) Stel dat de persoe die uitstrome tides het iterval dit gemiddeld a a doe. Het aatal persooperiode i het betreffede iterval wordt da gegeve door L = ( l D ) + a D = l { ( a ) h. (3..4) } Door vergelikig (3..), (3..3) e (3..4) te combiere e op te losse voor wordt de relatie tusse de hazard e het uitstroomtempo gevode: h, h m =. (3..5) ( + a ) m Als a gelik is aa ee half, i.e. als wordt aageome dat de persoe die uitstrome tides het iterval dit gemiddeld halverwege het iterval doe, wordt de actuariële schatter voor de hazard verkrege. Deze hazard ka omgereked worde aar de survivalfuctie: S( t) = ( ). : < t h 3

14 3. Toepasbaarheid De overlevigstafel is éé va de oudste e meest gebruikte methode om levesdure te beschrive (zie bivoorbeeld Berkso e Gage, 95; Cutler e Ederer, 958; Geha, 969). Het is i weze ee aagepaste e uitgebreide versie va de frequetietabel e ka goed toegepast worde i geval va gecesureerde data. De duurverdelig wordt verdeeld i ee bepaald aatal itervalle. Voor elk iterval ka vervolges het aatal of de fractie idividue bepaald worde die aa het begi va het iterval i leve zi, de fractie waarva de duur i het iterval beëidigd wordt (termial evets, sterfte) e het aatal gecesureerde gevalle. 3.3 Uitgebreide beschrivig 3.3. Theoretische achtergrod I het algemee wordt er ee oderscheid gemaakt tusse verschillede soorte overlevigstafels. Deze overlevigstafels worde oderscheide op basis va de samestellig va de oderliggede populatie (bevolkigstafels vs. ervarigstafels) e de maier waarop deze populatie wordt waargeome (geeratietafels vs. periodetafels). Hieroder worde ee aatal overlevigstafels besproke (zie ook Wolthuis e Bruig, 996). Geeratietafels (Cohort-tafels) Geeratietafels of cohorttafels beschrive de sterfte i ee bepaalde geboortecohort. Hiervoor wordt het sterfteverloop va ee groep persoe vaaf geboorte, va aar tot aar gevolgd totdat de laatste persoo va deze groep is overlede. Op grod va de waargeome sterftequotiëte ka ee sterftetafel worde gecostrueerd. Deze aapak leidt ertoe dat er bi ieder geboorteaar ee aparte sterftetafel hoort. Omdat de sterftetafel pas gecostrueerd ka worde op het momet dat de laatste persoo va de desbetreffede geeratie of geboortecohort is overlede, kue de gegeves va de verkrege sterftetafel sterk verouderd zi. Periodetafels Periodetafels worde gecostrueerd op basis va ee sythetische geboortecohort, door waaremige te verzamele voor ee bepaald kalederaar of meerdere kalederare same. Voor ieder kalederaar uit de waaremigsperiode worde eearige sterftequotiëte qˆ waargeome voor alle leeftide. Het sterftequotiët qˆ voor de gehele waaremigsperiode wordt da vaak gelik gesteld aa het rekekudige gemiddelde va de sterftequotiëte voor de afzoderlike are. Op 4

15 basis va deze (gemiddelde) sterftequotiëte ka ee sterftetafel worde gecostrueerd. Vaak worde de sterftequotiëte eerst og afgerod om statistische afwikige te elimiere ( mortality graduatio ). Op basis va de samestellig va de waargeome groep of populatie ka voor de periodetafels ee oderscheid worde gemaakt i ervarigstafels e bevolkigstafels. Ervarigstafels Ee ervarigstafel wordt samegesteld aa de had va het sterfteverloop oder de verzekerde va ee verzekerigsmaatschappi e wikt vaak af va het sterfteverloop va de bevolkig. Het doel hierbi is om autoselectie va de kat va de verzekerde i kaart te brege. I plaats va éé sterftequotiët dat voor eeieder gelik is, wordt hier verodersteld dat sprake is va ee zekere variatie i sterftequotiëte per leeftid. I de praktik blikt amelik dat mese, ook al hebbe ze ee gelike leeftid, toch va elkaar verschille wat betreft sterfterisico. Dit verschil wordt o.a. veroorzaakt door erfelike aaleg, leefwize e woo- e werkomgevig va de persoo. Bevolkigstafels I het algemee geldt dat deze sterftetafels worde gecostrueerd met sterftecifers va ee lad of va ee gedeelte va ee lad, waarva de sterfte gedurede ee aatal are is waargeome. Hierbi wordt traditioeel ee oderscheid gemaakt tusse mae e vrouwe. Voor elk aar wordt voor iedere leeftid afzoderlik ee sterftequotiët bereked. Bi het berekee va deze sterftequotiëte wordt er rekeig mee gehoude dat i de loop va het aar de bevolkigssamestellig veradert door immigratie e emigratie. Dit is belagrik omdat allee de mese die i het lad woe, worde opgeome i deze sterftetafels. Voor iedere leeftid wordt het gemiddelde geome va de bibehorede waargeome sterftequotiëte i de periode, waarmee vervolges de bevolkigstafel wordt gecostrueerd Stadaard overlevigstafel aalyse I de praktik zi er verschillede methode om de bevolkigstafels op te stelle. I deze paragraaf wordt de stadaardmethode, gebaseerd op cohorttafel, beschreve. Ee cohort wordt gedefiieerd als ee groep idividue die ee willekeurige steekproef vormt va ee populatie. Zoals eerder vermeld ka de overlevigstafel worde gezie als ee uitbreidig va de relatieve frequetietabel voor gecesureerde data, iettemi met de overlevigstafel ligt de adruk op het schatte va de voorwaardelike of coditioele sterftekas i ee iterval gegeve overlevig aa het begi va het iterval, e de overlevigskas tot het eid va het 5

16 iterval. Voor ee uitgebreider uitleg va oderstaade beschrivig, zie Lawless (3). Stel, de tid is verdeeld i k + itervalle I = t, t ) voor =,..., k + e [ t =, t = T e = k t k +, waar T ee bovelimiet is voor de observaties. Voor elke persoo uit ee willekeurige steekproef va grootte, wordt of de levesduur d of de cesurerigsmomet/tid L geobserveerd. Echter, voor de gegroepeerde data is allee beked i welk iterval bepaalde idividue sterve of worde gecesureerd e iet de eacte levesdure e cesurerigstide. De data bestaat da uit het aatal levesdure e cesurerigstide die i elk iterval voorkome. Voor het laatste iterval I k+ wordt verodersteld dat het allee levesdure bevat, aagezie alle overlevede op tidstip T i het iterval I k+ kome te overlide. Da kue de volgede variabele gedefiieerd worde: N : de omvag va de risicopopulatie op tidstip leve e iet gecesureerd), I t (i.e. aatal persoe i D : aatal dode i iterval I = t, t ) (i.e. aatal levesdure bie desbetreffede iterval), [ W : aatal cesurerigsgevalle i I = t, t ) (i.e. withdrawals ). [ Hieruit volgt, N = e = N D W N voor =,..., k +. Gegeve de survivalfuctie S (t) voor de duurverdelig, worde de (coditioele) overlevigs- e bibehorede sterftekase gedefiieerd als: P = S( t ) : kas op overlevig voorbi tidsiterval I P p = : kas op overlevig voorbi I, gegeve overlevig op I P q = p : kas op sterfte i I, gegeve overlevig op I voor =,..., k +. Verder geldt P =, P + = e =. Uit bovestaade k q k + volgt dat de ovoorwaardelike of ocoditioele overlevigskas herschreve als P ka worde P = p p p voor =,..., k +. (3.3.) Dat is, de kas op overlevig voorbi iterval I is gelik aa het product va de coditioele overlevigskase tot e met I. Dit resultaat vormt de basis voor de overlevigstafelbeaderig voor survivalaalyse. Bi de overlevigstafelaalyse worde de parameters q e p geschat e vervolges wordt met behulp va 6

17 vergelikig (3.3.) P geschat. De resultate worde da getood i de vorm va ee tabel, die de oorsprokelike data e de schattige q ˆ e P ˆ weergeeft. I het algemee bevatte de kolomme dus, voor elk iterval I, de waarde voor N, D, W, q ˆ e P ˆ. Hieroder worde de twee gevalle besproke voor het berekee va q ˆ, amelik bi afwezigheid va cesurerig (i.e. W = ) e i het geval va cesurerig ( W > ) Schattig q als W = Als ee bepaald iterval I gee cesurerigsgevalle bevat, wordt q geschat als qˆ D =. (3.3.) N Dit volgt direct uit de defiitie va multiomiaal verdeeld met kasverdelig gegeve door q. I dit geval is het aatal dode D Pr( D,..., D ) = k k +! D π (3.3.3) D! D! D! k k + = met D Dk + = e π π k + =. De parameter gelik aa π geeft de ocoditioele kas op sterfte i iterval π I weer e is = P P = p p q. (3.3.4) Hieruit volgt ee likelihoodfuctie die proportioeel is aa k + k + D N D D = = (3.3.5) L ( p p q ) = ( p q ) waarbi N = D D. D Deze fuctie is maimaal voor qˆ ˆ = p =, zolag N >, N {,..., k + }. Als N = voor ee bepaalde, da bestaat er gee maimumlikelihood-schatter voor q (de bibehorede parameters q e p kome iet voor i de likelihoodfuctie) e wordt verodersteld dat q ˆ =. De maimumlikelihood-schatter voor Pˆ pˆ pˆ N P is gelik aa: + = = (3.3.6) 7

18 waarbi N = N + D. Dit laatste volgt uit de aaame dat p ˆ = als N =. N + is biomiaal verdeeld, met kasverdelig Pr( N + ) = P ( P ). (3.3.7) De verdelig va P ˆ volgt da simpelweg uit bovestaade, met verwachtigswaarde e variatie gelik aa respectievelik. E( Pˆ ) = P e ˆ P ( P ) Var( P ) =, Schattig q als W > I geval va cesurerig, zal de schatter oderschatte, aagezie de gecesureerde persoe i qˆ D = de echte waarde q N I zoude kue zi gestorve vóór het eide va het iterval als er gee cesurerig had plaatsgevode. De meest gebruikte e voor de had liggede schattig voor q is da qˆ D D = = N N W. (3.3.8) Vergelikig (3.3.8) vidt me door aa te eme dat gecesureerde persoe gemiddeld gedurede de helft va ee iterval behore tot de risicopopulatie. Met adere woorde wordt er aageome dat de cesurerige uiform verdeeld zi over het iterval Alteratieve overlevigstafelaalyse Ee traditioele methode om overlevigstafels te costruere aast de eerder beschreve stadaardmethode, staat beked als de methode va Chiag (96a, b, 968, 984). Bi de methode va Chiag is keis va de cesurerigstide va de duur va alle waargeome idividue, iclusief sterfte vereist. De sterftetafel volges de methode va Chiag wordt aa de had va ee aatal variabele opgebouwd, die elk ee kolom va de tafel weergeve. I het vervolg wordt elk va deze variabele va de overlevigstafel gedefiieerd e zal de relatie t.o.v. de overige groothede worde verklaard. Ee uitgebreide beschrivig va de toepassig va deze methode op het CBS is te vide i Va der Meule (9). De eerste kolom va ee overlevigstafel bevat de leeftid. De hoogst voorkomede leeftid wordt aageduid met. Alle leeftide zi als ee iterval 8

19 gedefiieerd bestaade uit twee opeevolgede getalle, amelik [, + ) behalve. De hoogst voorkomede leeftid is ee ope iterval. I de meeste gevalle wordt gelik gesteld aa aar. De leeftidspecifieke sterftequotiëte qˆ worde i de tweede kolom weergegeve. Het geschatte sterftequotiët ka worde bepaald volges vergelikig (3.3.9) qˆ d m = = voor =,, K,. l + m ( - a ) (3.3.9) Hierbi is d gelik aa het aatal persoe dat komt te overlide op het leeftidsiterval [, + ) e l is het aatal overlevede op leeftid. De variabele m is de sterfte-itesiteit op leeftid e is de fractie die geleefd werd door de persoe die i het leeftidsiterval [, + ) zi kome te overlide. Deze twee groothede zi i kolom vif e zes opgeome e worde i het vervolg uitgelegd. Het sterftequotiët qˆ geeft de coditioele kas weer op sterfte i iterval [, + ), gegeve overlevig aa het begi va het iterval. Als het sterftequotiët va leeftid beked is, ka hieruit het overlevigsquotiët voor leeftid worde afgeleid a pˆ = qˆ voor =,, K,. (3.3.) De derde kolom geeft per leeftid het aatal levede l op leeftid aa. De sterftetafels zi i het algemee iet gebaseerd op waaremige va ee werkelike groep ularige, maar op ee fictieve groep ularige. Deze fictieve groep va ularige (= l ) wordt ook wel de radi va de sterftetafel geoemd. De radi va ee sterftetafel wordt willekeurig gekoze e ka dus verschille va adere sterftetafels. Meestal is de radi ee veelvoud va ee macht va tie, bivoorbeeld. De fictieve groep ularige wordt vervolges gevolgd tot e met de laatste levede. Het aatal waargeome levede va leeftid vermeigvuldigd met het overlevigsquotiët va die leeftid levert het aatal persoe dat éé aar later og i leve is, ofwel l ˆ + = p l voor =,, K, -. (3.3.) Hiermee ka het aatal persoe d dat komt te overlide op het leeftidsiterval [, + ) bereked worde volges d = qˆ l voor =,, K, -. (3.3.) Dit ka ook i terme va het overlevigsquotiët worde uitgedrukt. Als het sterftequotiët i bovestaade vergelikig wordt vervage door het overlevigsquotiët da leidt dit tot de volgede relatie 9

20 = l pˆ ) = l pˆ l = l l. (3.3.3) d ( + Hieruit volgt dat het aatal overlidesgevalle i de groep -arige gelik is aa het verschil tusse het aatal levede va leeftid e het aatal levede are later. De variabele l e d zi afhakelik va de radi e kome da ook iet overee met de werkelike geobserveerde data. Ze geve ekel het aatal levede e het aatal overledee voor de sterftetafel met radi l weer. I de vifde kolom staat de fractie a. Dit is de fractie va het leeftidsiterval [, + ) die de overlede persoe d gemiddeld hebbe geleefd. Alle d persoe zi tides het iterval [, + ) kome te overlide e hebbe dus complete are geleefd plus ee fractie va het het iterval [, + ). Voor iedere leeftid wordt het gemiddelde va deze fracties weergegeve door De sterfte-itesiteit waargeome sterfte waargeome levesare vergelikig. a. m wordt bepaald door het quotiët te eme va de d bie het leeftidsiterval [, + ) e het aatal L i de cohort i het iterval. Dit leidt tot oderstaade m d = voor =,, K,. L (3.3.4) Het aatal geleefde are L bie het leeftidsiterval, ) [ + is i kolom zeve opgeome. Elk persoo die aa het eid va het iterval [, + ) og i leve is, levert ee bidrage va aar aa overlide bie dit iterval gemiddeld ee fractie voor =,, K, -: L, terwil elk persoo die komt te a bidraagt. Hieruit volgt L ( l d ) + d = a (3.3.5) De eerste term aa de rechterkat va de bovestaade vergelikig geeft het totale l d. De tweede aatal are dat wordt geleefd door de levede, amelik ( ) term geeft het aatal aar weer dat werd geleefd door de d overledee. De hoogstvoorkomede leeftid ω i de sterftetafel is ee ope iterval.voor dit iterval wordt L bereked op basis va de sterfte-itesiteit voor de persoe vaaf leeftid. De berekeig va L geschiedt volges: l L =. (3.3.6) m Voor de hoogst voorkomede leeftid i de sterftetafels is het aatal geleefde are bie de leeftidsiterval gelik aa het quotiët va het aatal levede op

21 leeftid e de sterfte-itesiteit op leeftid. Met L ka het totale aatal are T, geleefd door de persoe vaaf leeftid, i kolom acht weergegeve. Deze grootheid is belagrik voor de berekeig va de levesverwachtig. T is gelik aa de som va het aatal geleefde are i elke leeftidsiterval vaaf leeftid : T = L + L+ + K + L voor =,, K,. (3.3.7) Uitgedrukt i terme va T + : T = L + T+ voor =,, K, -. (3.3.8) I de laatste kolom wordt de resterede levesverwachtig ê voor leeftid vermeld. Dit getal geeft het gemiddeld aatal are weer dat ee persoo met leeftid zal leve. De levesverwachtig wordt als volgt bereked: eˆ T = voor =,, K,. l (3.3.9) Als de leeftid hierbi wordt opgeteld levert dit de levesverwachtig vaaf geboorte op. 3.4 Voorbeeld Hieroder is ee overlevigstafel te zie zoals deze op het CBS wordt gepubliceerd. I deze tabel zi iet alle kolomme volges de methode va Chiag vermeld. De eerste kolom geeft leeftid ( ) weer. I de tweede kolom is de sterftekas ( qˆ ) opgeome. De derde e vierde kolomme vermelde respectievelik het aatal levede ( l ) e overledee ( d ). Teslotte geeft de laatste kolom de resterede levesverwachtig weer ( ê ). Overlevigstafels; geslacht e leeftid Vrouwe Leeftid Sterftekas Levede Overledee Levesverwachtig (aar) (aatal) (aatal) (aar) , , , , , , , , , , , ,

22 3.5 Kwaliteitsidicatore Schattige voor de variatie va de stadaardschatters q ˆ, p ˆ e P ˆ worde gegeve door de formules die zi afgeleid door Greewood (96). I dit geval geldt: var ˆ ( pˆ ) = pˆ qˆ N (3.5.) e qˆ ˆ q var ˆ ( qˆ ) = N (3.5.) Hieruit volgt dat ˆ ˆ qˆ qˆ ˆ qˆ var ˆ ( P ) P P i i i = = i= ( qˆ ) i ˆ i Ni = Ni pi. (3.5.3) I het speciale geval waarbi W =, ka bovestaade gesimplificeerd worde tot ˆ ( ˆ ˆ P P ) var ˆ ( P ) = (3.5.4) Betrouwbaarheidsitervalle voor Pˆ = Sˆ ( a ) volge da direct uit de stadaard theorie voor de biomiale verdelig. De betrouwbaarheidsitervalle voor de geschatte sterftequotiëte volges de methode va Chiag zi symmetrisch e gebaseerd op de aaame dat leeftidsspecifieke mortaliteit biomiaal verdeeld is (Chiag, 984). De variatie va q ˆ is da asymptotisch ormaal verdeeld e ka geschat worde met qˆ ( ˆ q) var( ˆ qˆ ) =. (3.5.5) D Het ( α)% betrouwbaarheidsiterval zou dus geschat kue worde met qˆ ± z var( qˆ ), (3.5.6) ˆ α waarbi de is het α percetiel va de stadaard ormale verdelig. z α

23 4. Kapla-Meier-schatter voor de survivalfuctie 4. Korte beschrivig De Kapla-Meier-schatter geeft ee iet-parametrische schattig va de survivalfuctie. Deze ka vervolges gebruikt worde om bivoorbeeld de mediae of gemiddelde duur uit te rekee. 4. Toepasbaarheid De Kapla-Meier-schatter is te gebruike voor het schatte va de survivalfuctie voor cotiue dure. Schattige va bivoorbeeld de gemiddelde of mediae duur kue gebaseerd worde op de Kapla-Meier-schatter. Aagezie de Kapla-Meier-schatter iet parametrisch is, worde er gee aaames gedaa over het verloop va de duurverdelig. Het adeel hierva is dat het beperkt mogelik is om de ivloed va bepaalde achtergrodkemerke op de duur te bestudere. Het is atuurlik wel mogelik om voor verschillede groepe de survivalfuctie te schatte e deze met elkaar te vergelike. Dit is het oderwerp va hoofdstuk 6. De schatter is dus vooral beschrived te gebruike. De Kapla-Meier-schatter is gebaseerd op de aaame va iet-iformatieve cesurerig, wat ihoudt dat keis va het cesurerigstidstip gee etra iformatie geeft over de overlevigskase op ee tidstip a cesurerig aaemed dat de persoo iet gecesureerd is. Aa deze aaame wordt bivoorbeeld iet voldaa als persoe die i ee slechte gezodheidstoestad verkere vaker worde gecesureerd da persoe die gezod zi. Als iet aa de voorwaarde is voldaa zi de schatters iet zuiver. 4.3 Uitgebreide beschrivig Stel we hebbe idividue e er zi k ( k ) verschillede tidstippe t << < t K t k waarop gebeurteisse plaatsvide. Er kue meerdere gebeurteisse plaatsvide op ee tidstip t ; d is het aatal gebeurteisse dat plaatsvidt op t. De Kapla-Meier-schatter is gedefiieerd als: d S ˆ ( t) =, (4.3.) : t < t waarbi het aatal persoe is dat risico loopt op t. Dit is het aatal persoe dat ee duur heeft lager of gelik aa t e og iet gecesureerd is voor t. Cesurerig wordt dus verwerkt i : tot het cesurerigsmomet telt ee persoo mee i daara iet meer. Op het momet va cesurerig daalt. Als ee persoo gecesureerd is op ee tidstip t e er vidt ook ee gebeurteis plaats op tidstip t da wordt aageome dat de cesurerig et iets a t 3

24 plaatsvidt. De persoo wordt da dus tot de risicogroep gereked op t. I feite wordt dus aageome dat de duur va de persoo lager is da t, wat wel zeer waarschilik is voor iemad die op t wordt gecesureerd. Als de lagste waargeome duur gecesureerd is, da is de schatter gedefiieerd tot dit cesurerigsmomet. De schatter ka gezie worde als gebaseerd op vergelikig (.3.), waar de survivalfuctie ook wordt gegeve als ee product va éé mi de hazard. Hier wordt de hazard geschat met d /, het aatal gebeurteisse gedeeld door het aatal persoe dat ee gebeurteis zou kue odergaa. De Kapla-Meier-schatter is oder vri algemee voorwaarde ee cosistete schatter va de survivalfuctie (de schattig adert de werkelike survivalfuctie als ). Door gebruik te make va vergelikig (.3.6) ka de schatter ook gebruikt worde om ee schattig te verkrige va de cumulatieve hazard: ˆ H KM ( Sˆ( t) ) ( t) = log. (4.3.) Het subscript KM wordt gebruikt om ee oderscheid te make met de i het volgede hoofdstuk besproke Nelso-Aale-schatter voor de cumulatieve hazard. Het is echter iet goed mogelik om de Kapla-Meier-schatter te gebruike voor ee schattig va de hazard. Het aatal gebeurteisse d op ee tidstip t is vaak klei, waardoor de schattig ogal sterk fluctueert. Sommige pakkette (waaroder STATA) kue wel ee soort gladgestreke schattig geve die allee gebruikt ka worde om kwalitatief aar de data te kike. De mediaa is gedefiieerd als de kleiste waarde va t waarvoor S(t) kleier of gelik is da.5 is e ka dus makkelik uit de Kapla-Meier-schatter geschat worde. ˆ 5 { t : ˆ( ).5} ξ. = if ts. (4.3.3) Dit is dus de duur waarop S ˆ( t ) va ee waarde groter da.5 aar ee waarde kleier da.5 sprigt. Het gemiddelde wordt geschat door de oppervlakte oder de geschatte survivalfuctie. T µ ˆ = Sˆ( t)dt, (4.3.4) waari T de lagste duur is die is waargeome. Als de lagste duur ee gebeurteis betreft, da bereikt S ˆ( t ) daar ul e is µˆ ee zuivere schatter. Als de lagste duur ee cesurerig betreft da bereikt S ˆ( t ) ul iet e zal µˆ ee oderschattig geve va het werkelike gemiddelde. 4

25 Kapla-Meier survival estimate aalysis time 95% CI Survivor fuctio Figuur 4.4. Kapla-Meier-schatter va de survivalfuctie voor werkloosheidsuitkerigsdure i dage. Het betrouwbaarheidsiterval is i gris weergegeve (door de grote hoeveelheid data is het betrouwbaarheidsiterval dermate klei dat het slecht te zie is). De groee streepes geve cesurerige aa. 4.4 Voorbeeld Figuur 4.4. toot de Kapla-Meier-schatter voor werkloosheidsuitkerige. Duidelik is te zie dat het meredeel va de persoe ee duur heeft kleier da ee aar. De mediaa is 97 dage. Aagezie dit ee grote dataset betreft, likt de schatter cotiue. Echter, de survivalfuctie is, zoals uit vergelikig (4.3.) blikt, ee (rechtscotiue e liksgelimiteerde) stapfuctie, die iedere keer als er ee gebeurteis optreedt ee stap aar beede gaat. 4.5 Kwaliteitsidicatore De variatie va de Kapla-Meier-schatter wordt gegeve door de formule va Greewood (Lawless, 98) { Sˆ( t) } d v âr = Sˆ( t). (4.5.) : t < t ( d ) De schattig S ˆ( t ) is asymptotisch ormaal verdeeld. Het ( α)% betrouwbaarheidsiterval zou dus geschat kue worde met 5

26 { Sˆ( )} Sˆ( t) ± z α vâr t, (4.5.) de waari z α het α percetiel is va de stadaard ormale verdelig. Echter om te zorge dat het betrouwbaarheidsiterval bie het iterval [,] blift wordt meestal ee trasformatie toegepast. ep ± z { } ( ) α vâr Sˆ( t) Sˆ( t) log Sˆ( t) S ˆ( t). (4.5.3) Voor het bepale va ee ( α)% betrouwbaarheidsiterval voor ξ. 5 wordt gebruik gemaakt va ideeë va Brookmeyer e Crowley (98). Zi otwikkelde ee betrouwbaarheidsiterval op basis va hypothesetoetse. Als iterval eemt me alle waardes va ξ.5 die iet verworpe zulle worde als me de ulhypotheses ξ.5 = ξ.5 test tege de alteratieve hypothese ξ.5 ξ.5 met ee obetrouwbaarheidsdrempel va α. Meer formeel bestaat het betrouwbaarheidsiterval uit alle waardes va ξ.5 die voldoe aa g( Sˆ( ξ.5 )) g(.5) g ( Sˆ( ξ )) Sˆ( ξ )ˆ( τ ξ z ) α. (4.5.4) waarbi g ee ader te bepale fuctie is, zoals g() = of g() = log(-log()) wat meestal gebruikt wordt. De odergres va het betrouwbaarheidsiterval wordt bepaald door de kleiste waarde voor t te kieze waarvoor geldt dat ep z vâr{ ˆ( )} ( ˆ( ) log ˆ( )) α S t S t S t S ˆ( t).5. (4.5.5) Voor de bovegres va het betrouwbaarheidsiterval kiest me de kleiste waarde t waarvoor geldt dat ep + z vâr{ ˆ( )} ( ˆ( ) log ˆ( )) α S t S t S t S ˆ( t).5. (4.5.6) De variatie voor het gemiddelde wordt gegeve door Klei e Moeschberger 3, paragraaf 4.5, k T d i Sˆ( t)dt i= ti i ( i ( µ ˆ ) = var, (4.5.7) d ) waaruit het ( α)% betrouwbaarheidsiterval geschat ka worde door ˆ ( µ ˆ ) i µ ± z α var. (4.5.8) 6

27 5. Nelso-Aale-schatter voor de cumulatieve hazard 5. Korte beschrivig De Nelso-Aale-schatter geeft ee iet-paramatrische schattig va de cumulatieve hazard. Deze ka vervolges gebruikt worde om bivoorbeeld de mediae of gemiddelde duur uit te rekee. 5. Toepasbaarheid De Nelso-Aale-schatter is te gebruike voor het schatte va de cumulatieve hazard voor cotiue dure. Schattige va bivoorbeeld de gemiddelde of mediae duur kue gebaseerd worde op de Nelso-Aale-schatter. Aagezie de Nelso-Aale-schatter iet parametrisch is, worde er gee aaames gedaa over het verloop va de duurverdelig. Het adeel hierva is dat het beperkt mogelik is om de ivloed va bepaalde achtergrodkemerke op de duur te bestudere. Het is atuurlik wel mogelik om voor verschillede groepe de survivalfuctie te schatte e deze met elkaar te vergelike. Het vergelike va survivalfucties wordt besproke i hoofdstuk 6. De schatter is dus vooral beschrived te gebruike. De Nelso-Aale-schatter is gebaseerd op de aaame va iet-iformatieve cesurerig, wat ihoudt dat keis va het cesurerigstidstip gee etra iformatie geeft over de overlevigskase op ee tidstip a cesurerig aaemed dat de persoo iet gecesureerd is. Aa deze aaame wordt bivoorbeeld iet voldaa als persoe die i ee slechte gezodheidstoestad verkere vaker worde gecesureerd da persoe die gezod zi. Als iet aa de voorwaarde is voldaa zi de schatters iet zuiver. 5.3 Uitgebreide beschrivig Stel we hebbe idividue e er zi k ( k ) verschillede tidstippe t < t K << t k waarop gebeurteisse plaatsvide. Er kue meerdere gebeurteisse plaatsvide op ee tidstip t ; d is het aatal gebeurteisse dat plaatsvidt op t. De Nelso-Aale-schatter is gedefiieerd als: d H ˆ ( t) =. (5.3.) : t < t t waarbi het aatal persoe is dat risico loopt op t. Dit is het aatal persoe dat ee duur heeft lager of gelik aa t e og iet gecesureerd is voor t. Cesurerig wordt dus verwerkt i : tot het cesurerigsmomet telt ee persoo mee i daara iet meer. Op het momet va cesurerig daalt. 7

28 Als ee persoo gecesureerd is op ee tidstip t e er vidt ook ee gebeurteis plaats op tidstip t da wordt aageome dat de cesurerig et iets a t plaatsvidt. De persoo wordt da dus tot de risicogroep gereked op t. I feite wordt dus aageome dat de duur va de persoo lager is da t, wat wel zeer waarschilik is voor iemad die op t wordt gecesureerd. Als de lagste waargeome duur gecesureerd is, da is de schatter gedefiieerd tot dit cesurerigsmomet. Door gebruik te make va vergelikig (.3.6) ka de schatter ook gebruikt worde om ee schattig te verkrige va de survival fuctie: ˆ S FH ( H ˆ ( t) ) ( t) = ep. (5.3.) Deze schatter voor de survivalfuctie wordt ook wel de Flemmig-Harrigtoschatter geoemd. Vadaar dat het subscript FH gebruikt wordt. Voor grote datasets ( ) is de Flemmig-Harrigto-schatter gelik aa de Kapla-Meierschatter. Het verloop va de hazard ka gemakkeliker gezie worde met de cumulatieve hazard da met de survivalfuctie. Ee costate hazard geeft ee lieaire cumulatieve hazard; ee toeemede hazard ee covee cumulatieve hazard e ee afemede hazard ee cocave cumulatieve hazard. 5.4 Voorbeeld Nelso-Aale cumulative hazard estimate aalysis time 95% CI Cumulative hazard Figuur 5.4. Nelso-Aale-schatter va de cumulatieve hazard voor werkloosheidsuitkerigsdure i dage. Het betrouwbaarheidsiterval is i gris weergegeve (door de grote hoeveelheid data is het betrouwbaarheidsiterval dermate klei dat het slecht te zie is). De groee streepes geve cesurerige aa. 8

29 Figuur 5.4. toot de Nelso-Aale-schatter voor werkloosheidsuitkerige. De cumulatieve hazard is duidelik cocaaf: aarmate persoe lager ee werkloosheidsuitkerig hebbe eemt de kas om uit de werkloosheidsuitkerig te strome af. De kas op uitstrome eemt a 6 aar (ogeveer dage) sterk toe. Dit wordt veroorzaakt doordat de legte va de duur wettelik beperkt is. 5.5 Eigeschappe Op theoretische grode ka er iet echt ee voorkeur aa de Nelso-Aale-schatter of Kapla-Meier-schatter gegeve worde. Voor grote datasets geve beide ageoeg dezelfde uitkomste. 5.6 Kwaliteitsidicatore De variatie va de Nelso-Aale-schatter wordt gegeve door (Klei e Moeschberger, 3) ( Hˆ ( t) ) = d v âr. (5.6.) : t < t t Voor variaties e betrouwbaarheidsitervalle voor overige statistieke gebaseerd op de Nelso-Aale-schatter zie paragraaf

30 6. Het vergelike va duurverdelige 6. Korte beschrivig I dit hoofdstuk worde verschillede toetse besproke die gebruikt kue worde om duurverdelige te vergelike. 6. Toepasbaarheid Deze methode kue gebruikt worde om te toetse of groepe met verschillede achtergrodkemerke sigificat verschillede duurverdelige hebbe. Zo ka me bivoorbeeld toetse of persoe met ee opleidig ee kortere uitkerigsduur hebbe da persoe zoder opleidig. 6.3 Uitgebreide beschrivig Er zi verscheidee toetse die gebruikt kue worde. We zulle toetse bespreke die het meest i de praktik gebruikt worde. Dit zi de volgede toetse: lograk-toets, Wilcoo-toets e de Taroe-Ware-toets. Adere meer specifieke toetse ka me vide i Lawless (3). I het algemee is het weselik om de duurgegeves aa ee beschrived oderzoek te oderwerpe voordat me gaat toetse. Het is verstadig om ee grafiek te make va de survivalfucties va de verschillede groepe die me west te vergelike. Teves is het aa te rade om op zi mist de schattig va de mediaa e het gemiddelde met hu variatie e betrouwbaarheidsiterval op te vrage. Bovedie is het belagrik om te bekike wat het cesurerigspatroo is va de verschillede groepe die vergeleke diee te worde. I ieder geval moet het percetage cesurerige per groep beked zi. Stel dat het aatal persoe is dat risico loopt op t. De riskset wordt aagegeve door. Stel verder dat er k ( k ) verschillede tidstippe t < t K << tk worde waargeome waarop gebeurteisse plaatsvide e dat we r groepe met elkaar wille vergelike. De toetsigsgroothede va de verschillede toetse kue i ee zelfde vorm worde geschreve. De toetse verschille allee maar i het soort gewicht dat gekoze wordt. De toetsigsgrootheid is waarbi u ~ χ r u V. (6.3.) k u = W ( t )( d E, K, dr Er). (6.3.) = 3

31 met d r als het aatal gebeurteisse i groep r op tidstip t, E r het verwachte aatal gebeurteisse i groep r op tidstip t e W(t ) het gewicht dat bi ee specifieke toets hoort op tidstip t. Verder is V ee r r covariatie matri met elemete V il k W ( t ) d ( i ( ) d ) il i. (6.3.3) met i, l =,, r e I[ i l]. il Ee erg populaire toets is de lograk-test. I de meeste software pakette is dit de stadaard toets die wordt bereked. Bi de lograk-test is W(t )=. Opgemerkt moet worde dat deze toets beter iet gebruikt ka worde als de survivalfucties kruize. Ee adere toets is de Wilcoo-toets, hierbi is W(t )=. Door dit gewicht wordt er meer adruk gelegd bi vroege dure. Helaas is deze toets redelik obetrouwbaar als de cesurerigspatroe over de groepe verschille. Teslotte is er de Taroe-Ware toets. Deze is mider gevoelig da de Wilcoo-toets voor verschillede cesurerigspatroe bi groepe. Het gewicht bi de Taroe-Ware-toets is W t ). Tezi me i het bizoder geïteresseerd is i korte dure zal de ( Taroe-Ware-toets i het algemee betere resultate late zie. 3

32 7. Parametrisch model voor de hazard 7. Korte beschrivig Bi deze methode wordt ee parametrisch model geschat voor de hazard. De hazard hagt daarbi af va achtergrodkemerke va de idividue. Zo zou bivoorbeeld de uitkerigsduur kue afhage va geslacht e leeftid. Doordat dure vaak erg scheef verdeeld zi e doordat er cesurerig optreedt is het iet mogelik om ormale regressie toe te passe op de waargeome dure. Het model dat het meest gebruikt wordt is het proportioal-hazards-model: h i ( t ) = r i h ( t ). (7..) Hieri wordt aageome dat de hazard voor iederee dezelfde vorm heeft, amelik h ( t ), de baseliehazard. Idividuele persoe wike va deze baselie hazard af met de risicofactor r i, welke afhagt va de achtergrodkemerke va het idividu. Hoe hoger de risicofactor des te groter is de kas dat de gebeurteis optreedt. De baseliehazard modelleert de duurafhakelikheid va de hazard. Voor h ( t ) kue zeer veel fucties gekoze worde. Zo zi het epoetiële model e het Weibullmodel veel gebruikte modelle, maar ook polyome e splies worde wel gebruikt. I de beschrivig zulle we os beperke tot het epoetiële model e het Weibullmodel. Naast het proportioal-hazards-model bestaat er ook het accelerated-failure-timemodel, waarbi persoe dezelfde verdeligsfuctie voor de dure hebbe, maar waarbi de tid seller of lagzamer loopt voor persoe afhakelik va de achtergrodkemerke va de persoe. Deze modelle zulle iet besproke worde. Hiervoor wordt aar de literatuur verweze (bivoorbeeld Lawless, 98; Klei e Moeschberger, 3). 7. Toepasbaarheid Met deze methode ka ee parametrische beschrivig verkrege worde va de duurverdelig. De methodes zi toepasbaar voor cotiue dure. De ivloed va bepaalde achtergrodkemerke op de duur ka hiermee bestudeerd worde. Het is echter wel oodzakelik om ee parametrisch model aa te eme voor de duurverdelig. Het ka lastig zi om ee model te vide dat de waargeome verdelig goed beschrift. Voor ee correcte schattig va de parameters is het echter oodzakelik om ee correct model te gebruike. Als me allee geïteresseerd is i de relatieve ivloed va achtergrodkemerke op de hazard e iet i het modellere va de gehele verdelig ka het i hoofdstuk 8 besproke Co-model gebruikt worde, dat gee aaames doet voor de baseliehazard h ( ). t 3

33 7.3 Uitgebreide beschrivig Zoals gezegd wordt de hazard gemodelleerd als ee baseliehazard vermeigvuldigd met de risicoscore. Nu moete op ee of adere maier de k achtergrodkemerke,,, i deze risicoscore verwerkt worde. Hiervoor wordt meestal ee epoet gebruikt: va idividu i, X ( ) i = i, i K ik ( β ) h ( t) = ep( β + + β ) h ( ) hi ( t) = ri h ( t) = ep X i i K k ik t. (7.3.) Dit zorgt ervoor dat de risicoscore altid positief is; de hazard mag/ka amelik iet egatief zi. De risicoscore geeft aa hoeveel meer risico ee persoo loopt op het optrede va ee gebeurteis te opzichte va de baseliehazard. Om het model te kue schatte is het verder odig om voor h ( t ) ee fuctie te kieze. Hiervoor zi zeer veel keuzes mogelik. Hier worde allee het epoetiële model e het Weibullmodel besproke. Adere keuzes zi het logormale, log-logistische e Gompertz model. Bi het epoetiële model, wordt aageome dat de hazard costat is voor iederee. Allee het iveau verschilt tusse idividue. De baseliehazard wordt dus gegeve door h ( t) = λ met. (7.3.) > Ee costate hazard vertaald zich i ee lieair toeemede cumulatieve hazard aagezie volges vergelikig (.3.5) t t H ( t) = h( u)du = λdu =λt. (7.3.3) De Nelso-Aale-schatter zou dus gebruikt kue worde om a te gaa of het epoetiële model ee redelik model zou kue zi. I de praktik zal dit model iet vaak voorkome, omdat de hazard i het algemee wel afhagt va de duur. Zo eemt het risico op overlide toe met leeftid (a ee dalig i de eerste levesare) e eemt het risico op het vide va ee baa i het algemee af met de werkloosheidsduur. Ee model dat wel met ee stigede of dalede hazard ka omgaa is het Weibullmodel, waarva de baseliehazard gegeve wordt door p h ( t) = λpt met > e p >. (7.3.4) Als p gelik is aa éé da is dit model gelik aa het epoetiële model. Voor p> eemt de hazard toe met de duur e voor p< eemt de hazard af. Ee toe- of afemede hazard vertaald zich i ee covee of cocave hazard. 7.4 Kwaliteitsidicatore Voor de beoordelig va de kwaliteit va duurmodelle zi veel verschillede residue beschikbaar. Dit komt voor ee groot gedeelte doordat gee va de 33