2IV10 Instructie 4: Geometrie 1

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "2IV10 Instructie 4: Geometrie 1"

Roeland Verstraeten
4 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 IV10 Instructie 4: Geometrie 1 1. Gegeven twee opvolgende lijnstukken met hoekpunten, en. r a. Neem aan dat een procedure DrawLine(A, B: Tpoint) beschikbaar is om een lijn van A naar B te tekenen. Geef een procedure DrawArc(C: Tpoint; r, amin, amax: real) die een cirkelboog met straal r, middelpunt C, van hoek amin naar amax (tegen de klok in) tekent. procedure DrawArc(C: Tpoint; r, amin, amax: real) function C(ang: real): Toint; // geef punt op cirkel.x := C.x + cos(ang)*r;.y := C.y + sin(ang)*r if amin > amax then return; real da := *pi/4; // benader cirkel met (bijvoorbeeld) 4 lijnstukjes Tpoint := C(amin); eal a := amin + da; while a < amax do := C(a); DrawLine(, ); := ; a := a + da DrawLine(, C(amax)) b. Gewenst is om de hoek af te ronden met een cirkelboog met straal r. Bepaal C, amin en amax als functie van,, en r. We definiëren eenheidsvectoren U en V langs de kanten en : 1

2 U = ( )/ en V = ( )/. T r C V U W S Het punt C moet liggen op een lijn door, die de hoek halveert: C = + Wc, met W = (U+V)/ U+V C moet op een afstand r van de lijn liggen. Vanuit C laten we een lijn loodrecht neer op de lijn. Het snijpunt S definiëren we met S = + Us, waarbij s nader te bepalen. Van de driehoek CS, met kanten ter lengte s, r en c weten we dat s + r = c (ythagoras) en s/c = U W (ofwel, cos hoek CS). Hieruit volgt dat c = r/ sqrt(1 (U W) ), waarmee C is vastgelegd. Verder geldt s = U Wc, waarmee S vastligt. Het andere raakpunt van de cirkel met is T = + Vs. De hoek die een lijnstuk CX met de positieve x-as maakt kan worden bepaald met a(x, C)= arctan( (X y C y )/ (X x C x )) (te implementeren als a = arctan(x.y-c.y, X.x-C.x)). We kunnen zo twee hoeken p = a(t,c) en q = a(s,c) bepalen. Voor amin en amax moet gelden dat amax > amin en amax amin < pi (waarom?). Dit kunnen we voor elkaar krijgen via bijvoorbeeld: amin := min(p, q); amax := max(p, q); if amax amin > pi then amax := min(p, q) + pi; amin := max(p, q) c. Wat is de bovengrens van r? We weten dat r/s = tan (hoek CS)). Verder, er moet gelden dat s <= min(, ), omdat het snijpunt anders niet op de twee lijnstukken ligt. Als we dit combineren krijgen we: r <= min(, ) tan(hoek CS), ofwel min(, ) sqrt(1 (U W) ) / (U W).. We beschouwen twee curves gedefinieerd door f(x, y) = 0 en g(x, y) = 0: f(x, y) = (x ) + y 9 en g(x, y) = (x+) + y 9.

3 a. Beschrijf deze curves en maak een schets. Dit zijn twee cirkels met straal 3, waarvan de middelpunten (,0) en (, 0) zijn voor f en g. y g=0 f=0 x b. Wat zijn de snijpunten van deze curves? Uit de schets (en vanwege symmetrie) blijkt dat x = 0. Invullen in f=0 en g=0 geeft de twee snijpunten (0, ± sqrt(5)). c. Welke curves worden beschreven door: f+g = 0; f(x, y) + g(x, y) = (x ) + y 9 + (x+) + y 9 = x + y 10 f+g=0 beschrijft dus blijkbaar een cirkel met straal sqrt(5). f g = 0; f(x, y) g(x, y) = (x ) + y 9 ((x+) + y 9) = 8x f g=0 beschrijft de lijn x=0, ofwel, de y-as. fg = 0; fg = 0 als f=0 en/of g=0. Dus, fg=0 beschrijft de twee oorspronkelijke cirkels. d. Beantwoord de vorige vraag voor willekeurige curves f(x, y) = 0 en g(x, y) = 0. Wat kunnen we wel en niet met zekerheid zeggen? f+g = 0; De curve(s) f+g = 0 gaan door de snijpunten van f=0 en g=0, en verder door die gebieden waarvoor geldt dat fg <0. Alleen als f en g een tegengesteld teken hebben is er een kans dat f+g=0. In het voorbeeld geldt dit voor de twee sikkelvormige zones. f g = 0; De curve(s) f g = 0 gaan door de snijpunten van f=0 en g=0, en verder door die gebieden waarvoor geldt dat fg >0. Alleen als f en g hetzelfde teken hebben is er een kans dat f g=0. In het voorbeeld geldt dit voor het buitengebied en het overlappende gebied. fg = 0; Alleen als f=0 en/of g=0 geldt fg=0. De curve(s) fg=0 zijn dus de vereniging van curves f=0 en g=0. 3

4 3. Gegeven een ellips (x/a) + (y/b) = 1. a. Geef een geparametriseerde representatie. Een ellips kan je beschouwen als een geschaalde cirkel: = ( a cost, bsin t); 0 t π. b. Geef een vector loodrecht op de curve voor een willekeurig punt op de ellips. Neem f ( x, y) = ( x / a) + ( y / b) 1, zodat f(x, y) = 0 de ellips voorstelt. Een normaal wordt nu gegeven door f = ( / x, / y) = (x / a,y / b ). Een alternatieve afleiding: Neem een raakvector ( x'( t), y'( = ( asin t, b cost). otatie over 90 graden met de klok mee geeft een naar buiten gerichte normaal-vector: ( b cost, asin t). c. Geef een geparametriseerde representatie van een offset-curve van deze ellips. Voor elk punt van zo n curve geldt dat de minimale afstand tot de oorspronkelijke curve constant is. We gaan uit van de geparametriseerde representatie, en tellen bij daar een vector met lengte r, loodrecht op de curve bij op: = ( acost, bsint) + r( bcost, asint) / a sin t + b cos t; 0 t π. d. Is deze nieuwe curve weer een ellips? Nee. Zo n ellips zo op basis van symmetrie, de vorm = (( a + r)cost,( b + r)sin t); 0 t π moeten hebben, maar de representatie in 3c kan hier niet naar worden gereduceerd. De normalisatie van de normaal-vector gooit roet in het eten. 4. We bekijken snijlijnen van cilinders. Geef geparametriseerde representaties van de snijlijn(en) van de volgende paren cilinders: a. x + y = 1 en y + z = 1 Dit zijn een cilinder langs de z- en de x-as. We parametriseren het oppervlak van de eerste cilinder, gewoon met cilindercoördinaten: ( x ( v), v), v)) = (cossin v). Vervolgens vullen we dit in in de vergelijking van de tweede cilinder. Dit geeft: sin u + v = 1, ofwel v = ±cosu. Als we dit weer invullen in de parametrisatie van de eerste cilinder, dan krijgen we: ( x( u)) = (cossin ± cosu) = cosu(1,0, ± 1) + sinu(0,1,0) Blijkbaar zijn de snijlijnen twee ellipsen, met de oorsprong als centrum, een as met lengte 1 langs de y-as, en een as met lengte sqrt() langs een diagonaal in het XOZvlak (met de z + of -1). En als je een plaatje tekent, dan is dat een heel plausibel resultaat. b. x + y = 1 en (x 1) + z = 1 De eerste cilinder is weer een cilinder langs de z-as; de tweede is een cilinder in de richting van de y-as, waarvan de hartlijn door het punt (1,0,0) gaat. We gebruiken weer dezelfde parametrisatie voor de eerste cilinder. Als we deze invullen in de vergelijking van de tweede cilinder, dan krijgen we 4

5 (cosu 1) v = ± + v = 1, 1 (cosu 1) ofwel ofwel v = ± cosu cos u. De curve wordt dus gegeven door, ( x( u)) = (cossin ± cosu cos ). Dit is een stuk ingewikkelder dan bij opgave 4a. Ook hier helpt het om een plaatje te tekenen: De curve lijkt hier op de curve op een tennisbal. Let er op dat het domein van u beperkt is. Er moet gelden dat cosu cos u 0, ofwel cosu ( cosu) 0, ofwel cosu 0, met andere woorden π / u π /. 5. Geef de normaal op de volgende oppervlakken: a. (x/a) + (y/b) + (z/c) = 1 Neem f ( x, y, z) = ( x / a) + ( y / b) + ( z / c) 1. Een normaal volgt dan uit f = ( / x, / y, / z) = (x / a,y / b,z / c ). b. xy = 0 Net zo: f = ( y, x,0). c. x y+xy = 0 Net zo: f = (xy + y, x + xy,0). d. ( v) = ( v, u ) We nemen een raakvector langs u en een raakvector langs v, en nemen daar het uitproduct van om een normaal te bepalen. Ofwel: = (1,0, u); = (0,1,0); = ( 0,1). e. ( v) = ( v, f(v)) Deze vorm komen we vaak tegen, bijvoorbeeld bij het tekenen van functies van twee variabelen als een berglandschap. De afleiding gaat net als het voorgaande voorbeeld: = (1,0, ); = (0,1, ); = ( / f. ( v) = (u v, u+v, uv ) Net zo: = (uv,1, v ); = ( u,1, uv); = (uv v, 3u,1). v,uv u ). u 5

Vergelijkbare documenten

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk