Natuurkunde-2 GPL bakker (bk) BAKKER (2015) Algemene Technicus. Leerjaar 2. Juli K.Bakker (2015) k.bakker Technische Natuurkunde M.T.

Transcriptie

1 BAKKER (2015) Algemene Technicus Leerjaar 2 Juli K.Bakker (2015) k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S - 1 -

2 Inhoud Onderwerpen Verbanden... 4 Antwoorden verbanden Lineaire vergelijkingen Antwoorden lineaire vergelijkingen Exponentiële vergelijkingen Antwoorden exponentiële vergelijkingen Stromingsleer Antwoorden stromingsleer Warmteoverdracht Formules en tabellen warmteoverdracht Bijlage periodiek systeem bij gassen Het verschil tussen afkoelpunt en dauwpunt Het Mollier-h/x-diagram Mollier-diagram (1) Mollier-diagram (2) Mollier-diagram (3) Mollier-diagram (4) Luidheid Absorptie, reflectie en isolatie van geluid Nagalmtijd Bouw- en zaalakoestiek Geluidshinder Antwoorden geluid k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S - 2 -

3 Onderwerpen - Lineaire verbanden - Exponentiele verbanden - Stromingsleer o Tegendruk vloeistofleidingen o Bepaling optimale leidingdiameter o Uitstroomsnelheid tbv meet- en regeltechniek - Warmte overdracht o Warmte wisselaars o Besparing op isolatie van installaties - Gaswetten o Drukverloop door gassen en temperatuurwisseling o Persen en uitzetting van gas o Inzicht volume van gas dat vrijkomt o Inhoudsbepaling bij overpompen o Productie veiligheid - Luchtvochtigheid o Doseerinstallaties en poedervormig product o Houdbaarheid product o Watergehalte in eindproduct o Warmte geleiding - Geluid o Geluidsoverdracht o Meten met geluid k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S - 3 -

4 2. Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband tussen x en y gegeven wordt door de vergelijking y = 2 x + 1. Bij elke waarde voor x hoort dan een waarde voor y en natuurlijk omgekeerd. Als x = 2 volgt y = = 5. Omgekeerd als y = 7 volgt 7 = 2 x x + 1 = 7 2 x = x = 6 x = 6/2 = 3. Omdat het verband tussen x en y in de vorm y = a x + b geschreven kan worden spreken we van een lineair verband. Het verband tussen x en y kunnen we ook in grafiekvorm zichtbaar maken. De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn Om een grafiek te tekenen hebben we eerst een assenstelsel nodig met een x-as en een y-as: Omdat we al weten dat de grafiek van y = 2 x + 1 een rechte lijn is kunnen we twee berekende punten in dat assenstelsel tekenen en daar een rechte lijn doorheen trekken. We nemen voor die twee punten bijvoorbeeld x = 0 y = = 1 en x = 1 y = = 3 of anders geschreven de punten (0, 1) en (1, 3). We noemen de waarden van x en y de coördinaten van het punt. We tekenen de twee punten in ons assenstelsel en trekken er een rechte lijn doorheen. Deze lijn is dan de grafiek van y = 2 x + 1. (0, 1) (1, 3) Bovenstaande figuur noemen we een diagram. Een diagram bestaat dus uit een assenstelsel en één of meer grafieken k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S - 4 -

5 Bijzondere punten bij een rechte lijn zijn de snijpunten met de assen en de richtingscoëfficiënt. Voor het snijpunt met de x-as stellen we y = 0 2 x + 1 = 0 2.x = -1 x = -0,5. Het snijpunt met de x-as heeft dus de coördinaten ( -0,5, 0) Voor het snijpunt met de y-as stellen we x = 0 y = = 1 Het snijpunt met de y-as heeft dus de coördinaten ( 0, 1) De richtingscoëfficiënt van de lijn noemen we ook wel de steilheid van de lijn. y x In bovenstaand diagram hebben we een rechthoekige driehoek tegen de lijn geplakt om de richtingscoëfficiënt te bepalen: De richtingscoëfficiënt rc berekenen we vervolgens met de formule rc = y x Uit het diagram lezen we af: y = 2 en x = 1 dus rc = 2 1 = 2 Nog even terug naar de vergelijking van de grafiek: y = 2 x + 1 Het getal bij de x (hier 2) is altijd de richtingscoëfficiënt van de bijbehorende grafiek. Het losse getal (hier 1 geeft altijd) het snijpunt met de y-as aan. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S - 5 -

6 Voorbeeld 1: We willen de grafiek tekenen van y = 3 x -2 We weten dat het een rechte lijn is. Voor het tekenen van een rechte lijn hebben we twee punten van die lijn nodig. We mogen twee willekeurige waarden voor x nemen en daar de bijbehorende waarde van y mee berekenen. We kiezen natuurlijk twee waarden voor x die makkelijk in te vullen zijn. Voor x = 0 berekenen we y = = -2 dus het eerste punt is ( 0, -2 ). Voor x = 1 berekenen we y = =1 dus het tweede punt is ( 1, 1 ). Deze twee punten tekenen we vervolgens in een diagram en trekken er een rechte lijn doorheen. Daarmee hebben we de gevraagde grafiek getekend. 1 Teken in één diagram de grafieken van: a) y = 2 x b) y = 2 x + 2 c) y = 2 x - 1 Hoe zie je dat de lijnen dezelfde richtingscoëfficiënt hebben? 2 Teken in één diagram de grafieken van: a) y = 3 x b) y = 3 x + 2 c) y = 3 x 1 3 Teken in één diagram de grafieken van: a) y = -x b) y = -x + 2 c) y = -x 1 Wat zijn de snijpunten met de x-as van deze lijnen? 4 Teken in één diagram de grafieken van: a) y = -2 x b) y = -2 x + 2 c) y = -2 x 1 Wat zijn de snijpunten met de y-as van deze lijnen? Hoe groot is de richtingscoëfficiënt van deze drie lijnen? Omgekeerd kunnen we uit de grafiek van een verband de vergelijking afleiden. Als de grafiek een rechte lijn is weten we dat de vergelijking de vorm y = a x + b heeft. We bepalen de richtingscoëfficiënt waarmee we a weten. Vervolgens bepalen we de y-coördinaat van het snijpunt met de y-as en dat is b. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S - 6 -

7 5 Bepaal uit het volgende diagram de vergelijkingen van de drie grafieken a, b en c. Als we de coördinaten van twee punten van een rechte lijn weten kunnen we ook zonder grafiek te tekenen de vergelijking bepalen. Voorbeeld 2: Bepaal de vergelijking van de lijn door de punten P (-1, 6) en Q (3, 8). Van P naar Q betekent in de x-richting 4 naar rechts (van -1 naar 3) dus x = 4. Van P naar Q betekent in de y-richting 2 omhoog (van 6 naar 8) dus y = 2. Voor de richtingscoëfficiënt berekenen we rc = y x = 2 4 = 0,5. Van de vergelijking y = a x + b weten we nu a = 0,5 dus y = 0,5 x + b. Nu moeten we nog b bepalen door bijvoorbeeld de coördinaten van punt P in te vullen: Door (-1, 6) 6 = 0,5-1 + b b 0,5 = 6 b = 6 + 0,5 b = 6,5. De vergelijking is dus y = 0,5 x + 6,5. We hadden om b te bepalen ook de coördinaten van Q kunnen invullen: Door (3, 8) 8 = 0,5 3 + b b + 1,5 = 8 b = 8 1,5 b = 6,5. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S - 7 -

8 6 Bepaal van de volgende grafieken de bijbehorende vergelijkingen. De grafieken gaan door de punten: a) (1, 4) en (3, 6) b) (2, 5) en (4, 7) c) (-1, 4) en (3, 6) d) (2, -5) en (4, -3) e) (-1, 2) en (3, 6) f) (2, -3) en (4, -1) k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S - 8 -

9 Voorbeeld 3: Bereken de hellingshoek van de lijn met vergelijking y = 2 x + 1 Uit de vergelijking volgt tan( ) = rc = 2 = invtan(2) = 63,4349º. Op de CASIO fx-82 typen we in: [shift][tan][2][=]. Let erop dat de rekenmachine op graden staat ingesteld! 7 Bepaal van elk van de grafieken a t/m f uit vraagstuk 6 de hellingshoek α. In de vraagstukken 3 en 4 hebben we gezien dat richtingscoëfficiënten ook negatief kunnen zijn. Die lijnen lopen dan niet naar rechtsboven maar naar rechtsonder. Bij een negatieve richtingscoëfficiënt hoort een negatieve hellingshoek. Voorbeeld 4: Bereken de richtingscoëfficiënt van de lijn door de punten P (-1, 6) en Q (1, 2). Van P naar Q betekent dat 2 naar rechts (van -1 naar 1) en 4 omlaag ( van 6 naar 2). De richtingscoëfficiënt is dus -4 / 2 = -2 met een hellingshoek van -63,43. Voorbeeld 5: Bereken de richtingscoëfficiënt van de lijn door de punten P (1, 2) en Q (-1, 5). Van P naar Q betekent dat 2 naar links (van 1 naar -1) en 3 omhoog ( van 2 naar 5). De richtingscoëfficiënt is dus 3 / -2 = -1,5 met een hellingshoek van 56,31. Dus goed onthouden: een verplaatsing naar rechts of naar boven is positief, een verplaatsing naar links of naar beneden is negatief. 8 Bepaal van de volgende grafieken de bijbehorende vergelijkingen. De grafieken gaan door de punten: a) (1, 4) en (3, 2) b) (2, 5) en (4, 1) c) (1, 4) en (-1, 6) d) (2, -5) en (-2, -3) e) (5, 2) en (3, 0) f) (2, -3) en (0, -7) 9 Bepaal van elk van de grafieken a t/m f uit vraagstuk 8 de hellingshoek α k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S - 9 -

10 We hebben nu gezien hoe we een verband tussen twee variabelen door een vergelijking of door een grafiek kunnen vastleggen. Een verband tussen x en y kunnen we ook in een tabel vastleggen, bijvoorbeeld: x y Zo n tabel is bijvoorbeeld het resultaat van een aantal metingen. In een tabel kunnen we natuurlijk maar een beperkt aantal waarden vastleggen. Als we bijvoorbeeld de waarde van y willen weten voor x = 3,43 kunnen we dat niet uit de tabel aflezen. We kunnen hoogstens zeggen dat y tussen 1 en 4 moet liggen en dat is wel erg ruim. Om een betere benadering voor y te vinden moeten we interpoleren. We tekenen daartoe de volgende deeltabel: 3 1 3,43 y 5 4 We gaan er daarbij van uit dat het verband tussen x en y in het betreffende interval lineair is. Omdat dat in werkelijkheid meestal niet zo is geeft een interpolatie vaak een benadering!! 10 Bereken uit tabel 1 op bladzijde 5 de bijbehorende y als : a) x = -3,1 b) x = 0,5 c) x = 2,1 d) x = 4,3 Geef de antwoorden in twee decimalen na de komma. x hoeft niet binnen de tabel te vallen maar kan er ook buiten staan. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

11 Dat noemen we dan extrapoleren in plaats van interpoleren. We willen bijvoorbeeld de y bepalen voor x = 5,58: ,58 y We berekenen dan met a = 3, b = 1, c = 5,58, d = 5 en e = 4: (5, 58 3) 2, 58 y = 1 + (4 1) = = 4,87 (5 3) 2 11 Bereken uit tabel 1 op bladzijde 205 de bijbehorende y als : a) x = -4,5 b) x = -3,3 c) x = 1,35 d) x = 5,87 Geef de antwoorden in twee decimalen na de komma. 12 Bereken uit tabel 1 op bladzijde 205 de bijbehorende x als : a) y = -6,5 b) y = -3,36 c) y = 1,28 d) y = 6,87 Geef de antwoorden in twee decimalen na de komma. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

12 Antwoorden verbanden 1 De lijnen hebben dezelfde richtingscoëfficiënt omdat ze evenwijdig lopen. 2 De richtingscoëfficiënt van de lijnen is 3. 3 a) ( 0, 0 ) b) ( 2, 0 ) c) ( -1, 0 ) De richtingscoëfficiënt van de lijnen is a) ( 0, 0 ) b) ( 0, 2 ) c) ( 0, -1 ) De richtingscoëfficiënt van de lijnen is Grafiek a: y = -x 1 Grafiek b: y = 2 x + 3 Grafiek c: y = x a) y = x +3 b) y=x+3 c) y = 0,5x + 4,5 d) y=x-7 e) y=x+3 f) y = x a) 45,00 b) 45,00 c) 26,57 d) 45,00 e) 45,00 f) 45,00 8 a) y = -x + 5 b) y = -2 x + 9 c) y = -x + 5 d) y = -0,5 x - 4 e) y = x - 3 f) y = 2 x a) -45,00 b) -63,43 c) -45,00 d) -26,57 e) 45,00 f) 63,43 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

13 10 a) -4,40 b) -1,50 c) 0,10 d) 2,95 11 a) -5,33 b) -4,53 c) -0,65 d) 5,31 12 a) -6,25 b) -1,54 c) 3,19 d) 6,91 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

14 3. Lineaire vergelijkingen De vergelijking 2x = 3 noemen we een eerstegraads- of lineaire vergelijking. De onbekende x komt er namelijk tot de eerste macht in voor. Een eerstegraads vergelijking heeft altijd één oplossing. We lossen x in de vergelijking 2x = 3 op door het getal aan de overkant van het = teken (3) te delen door het getal dat naast de x staat (2). Als ezelsbruggetje onthouden we: overbuurman delen door buurman. Het grote voordeel van vergelijkingen is dat we eenvoudig kunnen controleren of onze oplossing goed is. Als we namelijk de oplossing invullen moet de vergelijking kloppen: Controle: 2 1,5 = 3. Klopt!! Voorbeeld 2: ook de vergelijking 36 = 12f lossen we op door de overkant van het = teken (36) te delen door wat naast de f staat ( 12 ) dus f = = 3. Controle: 36 = Klopt!! Los de volgende lineaire vergelijkingen op en geef het antwoord in vijf decimalen nauwkeurig ( bijvoorbeeld 5,3889 of 0, of 5, ): 1 a) 2 y = 6 b) 6h = 72 c) 45 = 9k d) 34 = 17s e) 34g = 89 2 a) 34t = 23 b) 34u = 456 c) 23p = 234,23 d) 987,543 = 34,9q k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

15 3 a) 234,98h = 234,87 b) 98=87,234k c) 124,98 = 2,3g d) 123 = 98,2z 4 a) = ,98 x b) 5, ,202 = 34, p 5 a) 56,3 y 8, = 12, b) 69,23 p 234, = 23, Bij vergelijkingen met breuken gaan we altijd eerst kruislings vermenigvuldigen, zoals bij Voorbeeld 3: x 35 = 8,7 23,4 Kruislings vermenigvuldigen levert: x 23,4 = 8,7 35 wat weer een bekende vorm is. Er volgt nu x = 8, ,4 = 13,013. Controle: 13,013 8, ,4 = 0, Klopt!! Voorbeeld 4: p p 68,24 = 68,24 = p 1 = 4,5 68,24 p = 307,08 4,5 4,5 1 Als er slechts aan één kant van het = teken een breuk staat kunnen we ook aan de andere kant een breuk maken door er een één onder te zetten. Daarna gaan we weer kruislings vermenigvuldigen. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

16 Los de volgende lineaire vergelijkingen op en geef het antwoord in vijf decimalen nauwkeurig ( bijvoorbeeld 5,3899, 0, of 5, ): Voorbeeld 5: we willen de volgende vergelijking oplossen: Haakjes uitwerken met de papegaaienbekmethode: 9 p + 13,5 = 56,987 24,9 9 p + 13,5 = 1418, ,5 naar de rechterkant van het =teken brengen wordt -13,5: 9 p = 1418, ,5 9 p = 1405,4763 p = 1405, = 156, , 987 = 24,883 4, 5 3 w 5 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

17 9 3 q + 4,6 = 12,5 3,6 q 7, ,3 U = 3,12 4, U 11 6,33 I + 3,8 = 5,89 I - 6,89 34,78 21, ,97 = 84,883 14,5 3 M q + 5,6 = 22,5 2,3 q 7, ,3 X = 3,12 3, X k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

18 15 7,33 I - 3,8 = 5,82 I + 6,89 94,78 21,678 Op internet vinden we talrijke online-calculators die de voorgaande vergelijkingen voor ons kunnen oplossen. Een van de grootste sites op dit gebied is QuickMath. Ga maar eens naar en klik links op het scherm in het vak Equations op Solve. Er verschijnen nu invulvlakken waar we de vergelijking en de naam van de variabele kunnen invoeren. 8 p 4 2 p 3 4, 5 24, 9 Denk bij het invoeren van getallen aan de decimale punt in plaats van een komma!! Na klikken op het Solve-ikoon volgt: We vinden natuurlijk weer dezelfde oplossing. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

19 We hebben tot nu toe telkens één vergelijking met één onbekende opgelost. Als we te maken hebben met twee onbekenden hebben we twee vergelijkingen nodig. Omdat die twee vergelijkingen bij elkaar horen spreken we van een vergelijkingenstelsel. -a b 6 3a b 8 Dit stelsel is heel eenvoudig op te lossen. Als we beide vergelijkingen van elkaar aftrekken valt b weg: Door vervolgens de gevonden waarde van a in te vullen in bijvoorbeeld de bovenste vergelijking volgt: -0,5 + b = 6 b = 6 + 0,5 b = 6,5 We hadden ook de waarde van a in de tweede vergelijking kunnen invullen: 3 0,5 + b = 8 1,5 + b = 8 b = 8 1,5 b = 6,5. Meestal kunnen we bij een vergelijkingenstelsel niet direct aftrekken om een onbekende kwijt te raken, zoals bij: 2a + 3b = 8 3a b = 1 We mogen wel een vergelijking links en rechts met hetzelfde vermenigvuldigen. We gaan de bovenste vergelijking met 3 en de onderste vergelijking met 2 vermenigvuldigen. In beide vergelijkingen krijgen we dan de term 6a: 2a + 3b = 8 3 6a + 9b = 24 3a - b = 1 2 6a - 2b = 2 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

20 Nu raken we door aftrekking a kwijt en kunnen we b berekenen: 2a + 3b = 8 3 6a + 9b = 24 3a - b = 1 2 6a - 2b = 2 11b = 22 b = 2 a = 1 ( hoe komen we daaraan?) Deze methode staat bekend onder de naam schoorsteenmethode. We kunnen natuurlijk ook proberen om eerst b kwijt te raken: 2a + 3b = 8 1 2a + 3b = 8 3a - b = 1 3 9a 3b = 3 11a = 11 a = 1 b = 2 Merk op dat we in dit geval moeten optellen om b kwijt te raken. Tip: zet in de schoorsteen altijd positieve getallen om fouten bij het vermenigvuldigen met negatieve getallen te vermijden! Los de volgende vergelijkingenstelsels op en geef de antwoorden in drijvende komma notatie met vier cijfers achter de komma: 16 a) 2x 4y = 2 b) 4s + 3t = -2 c) 2q 3r = 1 3x + 2y = 7 3s - 2t = 7 4q + 6r = 6 17 a) 2x 3y = 2 b) 4s + 3t = -2 c) 2q 3r = 1 -x + 2y = 7 3s 5t = 7 -q + 2r = 6 18 a) 4x 3y = 3 b) 4v + 3w = -5 c) 2q 3r = 7 3x + 2y = 7 3v 2w = 7 4q + 6r = 6 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

21 We weten nu hoe we twee vergelijkingen met twee onbekenden kunnen oplossen. Drie vergelijkingen met drie onbekenden kunnen we herleiden tot twee vergelijkingen met twee onbekenden. Daartoe isoleren we een willekeurige onbekende uit een van de vergelijkingen en vullen hem in de overige twee vergelijkingen in: 4a + 2b - c = 4 -a + 3b 2c = -2 2a b + 3c = 7 c = 4a + 2b - 4 invullen in de overige twee vergelijkingen: k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

22 We hebben nu drie vergelijkingen met drie onbekenden herleid tot twee vergelijkingen met twee onbekenden. Hierna volgt weer met de schoorsteenmethode a = 1 en b = 1. Tenslotte berekenen we c = 4a + 2b 4 = = 2 Opmerking 1: we hadden natuurlijk ook uit de onderste vergelijking de onbekende b kunnen isoleren en in de bovenste twee vergelijkingen kunnen invullen. Opmerking 2: bij bijvoorbeeld tien vergelijkingen met tien onbekenden kunnen we een willekeurige onbekende uit een van de vergelijkingen isoleren en in de overige vergelijkingen invullen. Daardoor krijgen we negen vergelijkingen met negen onbekenden, enzovoort. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

23 Antwoorden lineaire vergelijkingen 1 a) y = 3,0000 b) h = 12,000 c) k = 5,0000 d) s = 2,0000 e) g = a) t = 0,67647 b) u = 13,412 c) p = 10,184 d) q = 28,296 3 a) h = 0,99953 b) k = 1,1234 c) g = 54,339 d) z = 1, a) x = 15,956 b) p = 0, a) y = 0,25392 b) p = 0, R = 51,193 7 p = 0, w = - 1, q = 1, u = 2, I = 4, M = 0, q = 1, x = -0, I = -1, a) x = 2,0000 ; y = 0,5000 b) s = 1,0000 ; t = -2,0000 c) q = 1,0000 ; r = 0, a) x =25,0000 ; y = 16,0000 b) s = 0,3793 ; t = -1,1724 c) q = 20,0000 ; r = 13, a) x = 1,5882 ; y = 1,1176 b) v = 0,6471 ; w = -2,5294 c) q = 2,5000 ; r = -0,6667 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

24 4. Exponentiële vergelijkingen De gelijkheid 10 3 = 1000 bevat drie getallen: 10, 3 en Als we van die drie getallen er één niet weten moeten we hem kunnen berekenen. We kunnen dus drie gevallen onderscheiden: 1) We weten de 1000 niet, als we op die plaats een x zetten volgt: 10 3 = x de uitkomst x = = 1000 heet de derde macht van 10. 2) We weten de 10 niet, als we op die plaats een x zetten volgt: x 3 = 1000 de uitkomst x = heet de derdemachtswortel van ) We weten de 3 niet, als we op die plaats een x zetten volgt: 10 X = 1000 de uitkomst x = 3 noemen we de 10-logaritme van We schrijven dat als x = 10 log 1000 waarbij 10 hier het grondtal van de logaritme is. Als we bijvoorbeeld de vergelijking 10 X = 23 willen oplossen weten we dat x = 10 log 23. Met de log-toets op onze rekenmachine kunnen we de 10-logaritme van een getal berekenen. Op de CASIO fx-82 typen we [log][23][=]. Het resultaat is 1,3617. Ter controle berekenen we 10 1,3617 = 22,9985. (waarom niet exact 23? ) Voorbeeld 1: 10 3 X = x = 10 log x = 2,5441 x = 2, = 0,8480. We typen in: [log][350][=][ ][3][=] 1 Los de volgende vergelijkingen op en geef de antwoorden in drijvende komma notatie met vier cijfers achter de komma: a) 10 X = 35 b) 10 X = 200 c) 10 X = 3000 d) 10 3 X = 550 e) 10 5 X = 1200 f) 10 2 X = 4500 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

25 Voorbeeld 2: X = X = X = 20 4 x = 10 log 20 4 x = 1,3010 x = 1, x = 0,3253 We typen: [100][ ][5][=][log][ANS][=][ ][4][=] 2 Los de volgende vergelijkingen op en geef de antwoorden in drijvende komma notatie met vier cijfers achter de komma: a) 5 10 X = 35 b) 4 10 X = 200 c) X = 3000 d) X = 55 e) X = 120 f) X = 450 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

26 Logaritmen met grondtal 10 gebruiken we het meest. Daarom vermelden we bij logaritmen met grondtal 10 meestal niet meer het grondtal, dus log 5 betekent 10 log 5. Met de ln-toets op de rekenmachine kunnen we logaritmen uitrekenen met grondtal e. Het getal e is net zoals een natuurkonstante. ( e 2,71828 ) Een logaritme met grondtal e noemen we een natuurlijke logaritme en duiden we aan met ln. ln x is dus eigenlijk een andere schrijfwijze voor e log x. Als we de vergelijking e X = 23 willen oplossen weten we dat x = e log 23 = ln 23. Op de CASIO fx-82 typen we [ln][23][=]. Het resultaat is 3,1355. Ter controle berekenen we e 3,1355 = 23,0001. Voorbeeld 3: e 3 R = 24 3 R = ln 24 3 R = 3,1781 R = 3, R = 1,0594. We typen: [ln][24][=][ ][3][=] 3 Los de volgende vergelijkingen op en geef de antwoorden in drijvende komma notatie met vier cijfers achter de komma: a) e X = 35 b) e X = 200 c) e X = 3000 d) e 3 X = 550 e) e 5 X = 1200 f) e 2 X = 4500 Een macht met grondtal e zoals e 5 X noemen we een e-macht. Voorbeeld 4: 3 e 2 X = 12 e 2 X = 12 3 e 2 X = 4 2 x = ln 4 2 x = 1,3863 x = 1, x = 0,6931. We typen: [12][ ][3][=][ln][ANS][=][ ][2][=] k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

27 Voorbeeld 5: 6 3 e 2 X = 4-3 e 2 X = e 2 X = e 2 X = -2 e 2 X = -2-3 x = -0, e 2 X = 0,6667 x = -0, x = ln 0, x = -0, Los de volgende vergelijkingen op en geef de antwoorden in drijvende komma notatie met vier cijfers achter de komma: a) 5 e -3 T = 4 b) 3 e -4 T = 5 c) 6-6 e -3 T = 2 d) 4-5 e -3 T = 2 e) 8-5 e 3 T = 4 f) 7-2 e 4 T = 3 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

28 Als we de vergelijking 5 X = 30 willen oplossen weten we al dat x = 5 log 30. Het probleem is natuurlijk dat de logaritme met grondtal 5 niet op onze rekenmachine zit. We hebben wat meer kennis nodig over de eigenschappen van logaritmen. We gaan gebruik maken van de volgende formule: k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

29 Dat betekent dat we 5 log 30 uit kunnen rekenen met log 30 log 5 = 2,1133. We controleren weer 5 2,1133 = 30,0008. ( weten we nog hoe we machten intypen? ) 5 Los de volgende vergelijkingen op en geef de antwoorden in drijvende komma notatie met vier cijfers achter de komma: a) 3 X = 35 b) 4 X = 200 c) 5 X = 3000 d) 8 3 X = 550 e) 12 5 X = 1200 f) 34 2 X = 4500 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

30 We hebben nu gezien dat we logaritmen nodig hebben voor het oplossen van vergelijkingen waar de onbekende in de exponent staat. We noemen dergelijke vergelijkingen daarom exponentiële vergelijkingen 7 Los de volgende exponentiële vergelijkingen op en geef de antwoorden in wetenschappelijke notatie met vier cijfers achter de komma: a) 4-7 e -3 T = 2 b) 8-5 e 3 T = 7 c) 9-2 e 4 T = 3 d) 8 3 X = 660 e) 12 5 X = 930 f) 48 2 X = 4500 g) 5 2 W + 8 = 155 h) 26-2 X 5 = 430 i) Z + 5 = 96 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

31 Voorgaande e-machten spelen een grote rol in formules voor het laden en ontladen van condensatoren via weerstanden. We bekijken het volgende voorbeeld waarbij we exponentiële vergelijkingen moeten oplossen. We laden een condensator C via een weerstand R: Voor de uitgangsspanning Uuit geldt de formule Uuit = Uin ( 1 e -t/ ). t is daarbij de tijd in seconden en de tijdconstante van de schakeling in seconden. De tijdconstante (Griekse t, spreek uit als touw ) berekenen we door de waarden van de weerstand en de condensator met elkaar te vermenigvuldigen dus = R C. Voorbeeld: als R = 100 k en C = 33 F geldt = = 3,3 s. De grafiek van Uuit ziet er voor bijvoorbeeld Uin = 10 V als volgt uit: U uit a b c t Voor grafiek a geldt = 1 s, voor grafiek b geldt = 2 s en voor grafiek c geldt = 4 s. We zien dus dat hoe groter de tijdconstante is, hoe langzamer de spanning over de condensator oploopt. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

32 We gaan berekenen wanneer de uitgangsspanning 5 V is bij een tijdconstante van 1 s: Voor de uitgangsspanning geldt Uuit = e -t. Als Uuit = 5 V moeten we de exponentiële vergelijking e -t = 5 oplossen. Er volgt: -10 e -t = e -t = -5 e -t = -5 / -10 e -t = 0,5 -t = ln 0,5 -t = -0,6931 t = 0,6931 s. Vervolgens gaan we berekenen wanneer de uitgangsspanning 5 V is bij een tijdconstante van 4 s: Voor de uitgangsspanning geldt Uuit = e -t/4. Als Uuit = 5 V moeten we de exponentiële vergelijking e -t/4 = 5 oplossen. Er volgt: -10 e -t/4 = e -t/4 = -5 e -t/4 = -5 / -10 e -t/4 = 0,5 -t/4 = ln 0,5 -t/4 = -0,6931 t = 4 0,6931 t = 2,7724 s. We zien duidelijk dat het bij een grotere tijdconstante langer duurt voordat de uitgangsspanning een bepaalde waarde bereikt. We krijgen een grotere tijdconstante door de R of de C een grotere waarde te geven. Behalve bij exponentiële vergelijkingen komen we logaritmen veelvuldig tegen in de techniek. We gebruiken in diagrammen een logaritmische schaal wanneer een grootheid kan variëren van heel klein tot heel groot zoals bij transistorkarakteristieken en frequentiediagrammen. In de geluidstechniek wordt de geluidsintensiteit uitgedrukt in decibel, een logaritmisch verhoudingsgetal. Dat geldt ook voor de geluidsisolatie van een wand. In de audiotechniek drukken we de versterking van een versterker vaak uit in decibel. Om het volume te regelen gebruiken we logaritmische potentiometers. In de chemie geven we de sterkte van een zuur weer door zijn zuurgraad. Deze wordt uitgedrukt in een ph-getal. Zuiver water heeft een ph-waarde van 7. Hoe lager het ph-getal, hoe zuurder de vloeistof. Ook dit ph-getal is een logaritmische waarde. In de seismologie registreren we aardbevingen met een seismograaf. Dit apparaat geeft de uitwijking door een aardbevingsgolf weer in een seismogram. De kracht van een aardbeving wordt uitgedrukt door een getal op de schaal van Richter. Bij deze schaal wordt de logaritme gebruikt van de grootste uitwijking die in het seismogram voorkomt. Om aardbevingen met elkaar te kunnen vergelijken gebruiken we seismogrammen die op een afstand van 100 km van het epicentrum zijn gemaakt. Het epicentrum is de plaats aan het oppervlak van de aarde waar de beving het eerste optreedt. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

33 Antwoorden exponentiële vergelijkingen 1 a) 1,5441 b) 2,3010 c) 3,4771 d) 0,9135 e) 0,6158 f) 1, a) 0,8451 b) 1,6990 c) 2,0000 d) 0,2330 e) 0,2602 f) 0, a) 3,5553 b) 5,2983 c) 8,0064 d) 2,1033 e) 1,4180 f) 4, a) 0,0744 b) -0,1277 c) 0,1352 d) 0,3054 e) - 0,0744 f) 0, a) 3,2362 b) 3,8219 c) 4,9746 d) 1,0115 e) 0,5707 f) 1, a) - 0,7129 b) -2,6026 c) - 0,7021 d) -0,7041 e) -2,6080 f) - 1, a) 4, b) - 5, c) 2, d) 1,0407 e) 5, f) 1,0865 g) -2,4332 h) -3,4306 i) -1,0694 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

34 5. Stromingsleer De belangrijkste vergelijking in de stromingsleer is de continuïteitsvergelijking. Deze is de vertaling van de wet van behoud van massa: wat er aan massa een leiding instroomt moet er ook weer uitstromen. Bij gelijke temperatuur houdt dat tevens in dat het vloeistofvolume wat per seconde de buis instroomt gelijk is aan het volume dat er per seconde weer uitstroomt. Stel dat vloeistof met een snelheid van v1 m/s een buis met een doorsnede van A1 m² instroomt. Dat betekent een volume-instroom per seconde van A1 v1 m³. Als dezelfde vloeistof met een snelheid van v2 m/s de buis met een andere doorsnede van A2 m² verlaat betekent dat een volume-uitstroom per seconde van A2 v2 m³. Gelijkstellen van in- en uitstroomvolume leidt tot de volgende vergelijking: k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

35 Opgave 1 We transporteren olie door een transportbuis met een diameter van 30 cm. De snelheid van de olie is 2 m/s. De opening aan het uiteinde van de buis heeft een diameter van 10 cm. Met welke snelheid verlaat de olie de buis? Opgave 2 De olie uit opgave 1 komt terecht in een tank met een inhoud van liter. Hoe lang duurt het voordat de tank volledig met olie is gevuld? De hoeveelheid vloeistof die per tijdseenheid door een leiding stroomt noemen we het debiet. Als we de hoeveelheid uitdrukken in m³ spreken we van het volumedebiet qv. Als we de hoeveelheid uitdrukken in kg spreken we van het massadebiet qm. Opgave 3 Een pomp pompt 60 liter water per minuut uit een sloot via een slang met een inwendige diameter van 3 cm. Aan het einde van de slang is een kraan bevestigd met een inwendige diameter van 1 cm. a) Bereken het volumedebiet qv in m³/s b) Met welke snelheid verlaat het water de kraan? c) Wat is het massadebiet qm in kg/s? (bedenk dat water = 1000 kg/m³) Viscositeit is de 'stroperigheid' van een vloeistof of van een gas. Zo is water een voorbeeld van een vloeistof met een lage viscositeit, honing een voorbeeld van een vloeistof met een hoge viscositeit. De viscositeit van een vloeistof is sterk afhankelijk van de temperatuur. We onderscheiden de kinematische viscositeit ⱱ, uitgedrukt in m²/s en de dynamische viscositeit ᶯ uitgedrukt in Pa s. Het verband tussen die twee grootheden luidt: De Poiseuille (Pl) is een oude eenheid van dynamische viscositeit, 1 Pl = 1 Pa s Een oude cgs-eenheid (centimeter-gram-seconde) voor dynamische viscositeit is de Poise (P), 1 P = 0,1 Pa.s. Meer gebruikelijk is de centipoise (1 cp = 1 mpa.s). Een oude eenheid voor kinematische viscositeit is de Stokes (1 St = 1 cm 2 /s) of de centistokes (1 cst = 1 mm 2 /s) Opgave 4 Een bepaalde oliesoort heeft een dynamische viscositeit van 10 Pa s bij 20 C k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

36 Hoe groot is de kinematische viscositeit bij deze temperatuur als de dichtheid van de olie 850 kg/m 3 bedraagt? Het Getal van Reynolds Re is een dimensieloos getal uit de stromingsleer. De grootte bepaalt of een stroming laminair is of turbulent. Stroming in buizen is bijvoorbeeld laminair als Re < 2300 en turbulent wanneer Re > Tussen deze grenzen hangt het van verschillende factoren af, zoals bijvoorbeeld de wandruwheid, of de stroming laminair of turbulent is,. Opgave 5 Door een buis met een inwendige diameter van 48 mm stroomt glycerine met een snelheid van 2 m/s. De kinematische viscositeit bedraagt 848 mm 2 /s. a) Bereken het getal van Reynolds b) Is deze stroming laminair of turbulent? Opgave 6 Opgave 7 Door een buis stroomt benzeen met een snelheid van 20 cm/s. De kinematische viscositeit bedraagt 0,0073 cm 2 /s. Bereken de inwendige diameter van de buis als de stroming nog juist laminair is. Uit een volledig opengedraaide kraan stroomt 5 liter water per minuut. De diameter van de opening bedraagt 10 mm. De diameter van de hoofdleiding is 30 mm. Bereken de stroomsnelheid van het water in de hoofdleiding. Wanneer in een reservoir onder invloed van de zwaartekracht vloeistof uit een lager gelegen opening stroomt, dan is volgens de wet van Torricelli de uitstroomsnelheid waarmee de vloeistof uit die opening stroomt, evenredig met de wortel uit de vloeistofhoogte. Wet van Torricelli: Merk op dat deze snelheid niet afhankelijk is van de grootte van de opening! k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

37 Wat wel afhankelijk is van de grootte en vorm van de uitstroomopening is het debiet. Voor het volumedebiet qv geldt: C is daarbij de contractiecoëfficiënt. Deze heeft een waarde tussen 0,5 en 1 en is afhankelijk van de vorm van de opening en de dikte van de wand. Opgave 8 Een cilindervormig waterreservoir met een inhoud van 5000 liter heeft een diameter van 2,5 m en is volledig gevuld met water. In de bodem ontstaat een gat met een oppervlakte van 4 cm 2. a) Bereken de uitstroomsnelheid. b) Bereken het volumedebiet in m³/s als C = 0,6 Opgave 9 In een olievat ontstaat een lek in de bodem. Daaruit stroomt olie met een snelheid van 5 m/s. Hoe hoog staat op dat moment de olie in dit vat? De Wet van Bernoulli beschrijft het stromingsgedrag van vloeistoffen en gassen, en verbindt de drukveranderingen aan hoogte- en snelheidsveranderingen. Wet van Bernouilli: k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

38 Opgave 10 In een flat voeren we met een pomp water op tot een hoogte van 40 m. De diameter van de aanvoerbuis bedraagt 2 cm en van de uitstroomopening van de kraan 0,8 cm. De barometerstand bedraagt 1 bar. Als we de kraan volledig openen stroomt het water er met een snelheid van 2 m/s uit. Met welke druk voert de pomp het water op? Opgave 11 Een groot vat is gevuld met wijn. De dichtheid van de wijn is 900 kg/m 3. In de bodem bevindt zich een rond gat met een doorsnede van 2 cm 2 dat afgesloten is met een houten prop. Als we deze prop weghalen stroomt de wijn weg met een snelheid van 4 m/s. a) Bereken de hoogte van de wijn in het vat op dat moment. b) Bereken het volumedebiet op dat moment als C = 0,8 Een methode om een debiet te bepalen is de verschildruk flowmeting (dp-meting). In een leiding wordt dan een vernauwing geplaatst. Het gemeten drukverschil over deze vernauwing is evenredig met het debiet. Er zijn verschillende flowelementen. Het meest bekend is de meetplaat. Deze bestaat uit een vlakke metalen plaat met een rond gat in het midden, die doorgaans tussen twee flenzen geklemd wordt. Er worden twee druknamepunten geplaatst vóór en achter de meetplaat. Het gemeten drukverschil is kwadratisch met de flow. Zie ook Een venturimeter is een instrument voor het meten van de hoeveelheid gas of vloeistof die door een buis stroomt. Hij bestaat uit een in de pijpleiding aangebrachte vernauwing met een daarbij behorend meetinstrument voor het hierdoor veroorzaakte drukverval. De bijbehorende formule luidt: k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

39 Venturimeter: Opgave 12 Bij een venturibuis meten we een drukverschil van Pa. De hoogste vloeistofsnelheid bedraagt 10 m/s. De dichtheid van de getransporteerde vloeistof is 1200 kg/m 3. Bereken de laagste vloeistofsnelheid. Opgave 13 In een venturibuis is de oppervlakte van de kleinste en de grootste doorsnede respectievelijk 10 cm 2 en 50 cm 2. Door de buis stroomt water dat in het wijde deel een stroomsnelheid van 2 m/s heeft. Hoe groot is het drukverschil? Opgave 14 In een venturibuis is de grootste diameter 10 cm en de kleinste diameter 7 cm. Door de buis stroomt 30 liter water per minuut. Bereken het drukverschil. Opgave 15 Een tank is tot een hoogte van 12 m gevuld met een vloeistof. In de zijwand moeten we een gat maken op een zodanige hoogte dat de uitstroomsnelheid de helft bedraagt van de snelheid waarmee de vloeistof zou wegstromen uit een gat in de bodem. Op welke hoogte moeten we dat gat in de tank aanbrengen? De Pitotbuis is een instrument voor het meten van de druk in een gas- of vloeistofstroom. Uit het drukverschil kan de snelheid van de stroom berekend worden. Opgave 16 Bij een Pitot-buis is het opgemeten drukverschil 8160 Pa. De dichtheid van de vloeistof bedraagt 1020 kg/m 3. De middellijn van de buis waarin de Pitot-buis is geplaatst bedraagt 16 cm. a) Hoe groot is de snelheid van de vloeistof? b) Hoeveel kg vloeistof wordt per uur doorgevoerd als we aannemen dat de stroomsnelheid in de buis overal even groot is? k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

40 Opgave 17 Met behulp van een Pitot-buis wordt in een leiding een stroomsnelheid van 30 m/s en een drukverschil van 360 kpa gemeten. Bereken de dichtheid van de vloeistof. Opgave 18 Een vloeistof met een dichtheid van 1200 kg/m 3 wordt met behulp van een pomp 15 m omhoog gepompt. Op die hoogte heeft de vloeistof een uitstroomsnelheid van 4 m/s uit een buis met een diameter van 2 cm. Hoe groot moet de druk op de vloeistof aan het begin zijn als daar de buis een diameter heeft van 8 cm en de buitendruk 100 kpa bedraagt? We verwaarlozen de verliezen in de buis. Bij het transport van vloeistoffen en gassen door leidingen ontstaan, door turbulentie en wrijving langs de wand, energieverliezen die gecompenseerd moeten worden door een groter pomp- of compressievermogen. Bij transport over grote afstanden kunnen deze verliezen aanzienlijk zijn. Verschillende methoden ter verlaging van de stromingsweerstand zijn onder andere succesvol toegepast in de luchtvaart-, scheepvaart-, olie- en gasindustrie. Enkele van deze methoden bieden ook perspectieven voor toepassing in warmtedistributieleidingen zoals het toevoegen van additieven, het aanbrengen van een gladde coating aan de binnenzijde van de buis, het toepassen van profielen en het aanbrengen van schoepen in de bochten. Deze methoden kunnen een vermindering van de stromingsweerstand opleveren van 10-75%. Voor de berekening van het wrijvingsverlies pw in een ronde leiding geldt de Darcy-formule: Daarbij is f de Darcy frictiefactor die van de soort leiding en de vloeistof afhangt, l is de lengte van de leiding, d de diameter, ρ de soortelijke massa en v de snelheid van de vloeistof. De volgende tabel geeft een aantal waarden voor f: Leidingmateriaal en vloeistof koperen buis (10 mm Ø) met water 0,027 koperen buis (30 mm Ø) met water 0,020 stalen buis (10 mm Ø) met water 0,029 stalen buis (30 mm Ø) met water 0,022 plastic slang (75 mm Ø) met water 0,012 rubberen slang (75 mm Ø) met water 0,021 f k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

41 Opgave 19 De buis van 15 m lengte uit opgave 18 heeft een wrijvingscoëfficiënt van 0,025. Bovendien bevinden zich drie bochten van 90 in de buis. Bereken nogmaals de druk op de vloeistof aan het begin als we de wrijvingsverliezen niet verwaarlozen k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

42 Antwoorden stromingsleer 1 18 m/s s 3 a) qv = 60 l/min = 0,001 m³/s (bedenk dat 1 liter = 1 dm³) b) v = 12,73 m/s c) qm = qv qm = ,001 = 1 kg/s 4 0,0118 m²/s 5 a) 113 b) laminair 6 0,84 cm 7 0,12 m/s 8 a) 4, 4721 m/s b) 0, m 3 /s 9 1,25 m ,8 N/m 2 11 a) 0,8 m b) 0, m 3 /s 12 7,75 m/s N/m ,41 N/m 2 15 diepte 3 m dus hoogte 9 m 16 a) 4 m/s b) kg k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

43 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

44 6. Warmteoverdracht Onder warmteoverdracht wordt bedoeld de overgang van energie onder invloed van een temperatuurverschil. Zolang een temperatuurverschil aanwezig is zal warmte in een bepaalde richting stromen, namelijk van hoge temperatuur naar lage temperatuur. In de techniek komt het verschijnsel warmteoverdracht zeer veel voor. Meestal is de warmteoverdracht gewenst (ketel, condensor enz) en zal men naar middelen zoeken om het gewenste warmtetransport zo snel mogelijk en in apparatuur van zo gering mogelijke afmetingen te realiseren. Warmteoverdracht vindt onder nadere plaats door geleiding: wanneer er in een lichaam temperatuurverschillen aanwezig zijn zal er in dat lichaam warmtetransport ontstaan van het hogere temperatuurgebied naar het lagere. Voor de warmteoverdracht Q van punt A naar punt B geldt de formule: Daarbij is Q de warmteoverdracht in J, A het oppervlak in m², t de tijd in seconden, T het temperatuursverschil tussen A en B in C en rth(tot) de thermische weerstand tussen A en B met als eenheid m²k/w. De thermische weerstand is de som van overgangs- en materiaallaagweerstanden: is de warmteoverdrachtscoëfficient in W/m²K, zie de tabel achterin dit moduul. In het geval van een onder- en bovengrens nemen we de gemiddelde waarde. Voor bijvoorbeeld de warmteoverdrachtscoëfficient van binnenlucht naar glas nemen we het gemiddelde van 2 en 8 en dat is 5 W/m²K. We gaan daarbij uit van stilstaande lucht In de formule voor rth is d de dikte van de materiaallaag in m en de warmtegeleidingscoëfficiënt in W/mK. Zie voor de tabel achterin dit moduul. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

45 Voorbeeld: Een glasruit van 5 mm dikte heeft een oppervlakte van 3 m 2. De kamertemperatuur is 19 C, de buitentemperatuur bedraagt -3 C. Bereken het warmteverlies door deze ruit per uur. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

46 Opgave 1 Een glasruit van 4 mm dikte heeft een oppervlakte van 6 m 2. De kamertemperatuur is 22 C, de buitentemperatuur bedraagt 4 C. a) Bepaal de warmtedoorgangscoëfficiënt U (U-waarde, vroegere k-waarde) b) Bereken het warmteverlies door deze ruit per etmaal. We vervangen de enkele glasruit door een dubbelglas-constructie. De dikte van beide ruiten bedraagt respectievelijk 4 mm en 5 mm terwijl de spouw tussen beide ruiten 0,5 cm breed is. c) Bepaal de U-waarde van deze constructie. d) Bereken weer het warmteverlies door deze ruit per etmaal. Gewoon dubbel glas is eigenlijk al een verouderde techniek. Hoogrendementsglas (HR-glas) levert veel betere prestaties. HR is een dubbelglas waarbij op één van de twee ruiten aan de binnenkant een microscopisch dun laagje metaal is aangebracht. Deze coating laat de zonnewarmte door naar binnen maar kaatst de warmtestraling die van binnen komt terug. We onderscheiden: HR+ isolatieglas met luchtvulling + metaalcoating en HR++ isolatieglas met gasvulling (Argon, Krypton) + metaalcoating. De U-waarde is voor HR+ 1,6 tm 1,3, voor HR++ lager dan 1,2. Opgave 2 We vervangen de dubbelglas-constructie uit opgave 1 door een HR++ ruit met een U-waarde van 1,1 W/m 2 K (2 glasbladen van respectievelijk 4 mm en 5 mm; afstand 15 mm). Bereken het warmteverlies door deze ruit per etmaal. Opgave 3 Een hardboard-plaat (vezelplaat) met een dikte van 0,5 cm en een oppervlakte van 20 m 2 laat per uur 3,6 MJ warmte door. Bereken het verschil in temperatuur van de lucht aan weerszijden van deze plaat. Opgave 4 Een woonkamer heeft een enkele glasruit van 4 mm dikte. De temperatuur van de kamer is 20 C, terwijl de temperatuur aan de binnenzijde van de ruit 8,5 C bedraagt. Bereken: de buitentemperatuur van de ruit de temperatuur van de buitenlucht. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

47 Opgave 5 In een stalen ketel bevindt zich water met een temperatuur van 100 C. Het aanrakingsoppervlak van het water met de ketelwand bedraagt 2,5 m 2. Per uur wordt door het water 20 MJ warmte op de stalen ketelwand overgedragen. Bereken de temperatuur van het aanrakingsoppervlak Opgave 6 Het aanrakingsoppervlak van verbrandingsgassen met een koperen ketelwand is 2 m 2. De dikte van de ketelwand bedraagt 15 mm. De temperatuur van de verbrandingsgassen is 900 C. In de ketel bevindt zich kokend water. Bereken de temperatuur van het water op het moment dat er 8, J aan warmte per seconde wordt opgenomen. Opgave 7 In een ketel wordt water verwarmd. De koperen ketelwand is 10 mm dik. De temperatuur van de verbrandingsgassen is 875 C. Op de ketelwand bevindt zich een laagje roet van 2,5 mm dikte, terwijl in de ketel de wand bedekt is met een laagje ketelsteen van 3 mm dikte. Bereken het temperatuurverval per materiaallaag op het moment dat de temperatuur van het water 100 C bedraagt. Extra gegevens : roet = 0,12 W/mK ; ketelsteen = 2,3 W/mK Opgave 8 Een buitenwandconstructie is van binnen naar buiten opgebouwd uit een laag grindbeton van 105 mm dikte, een laag minerale wol van 70 mm dikte en een laag gevelklinkers van 105 mm dikte. De binnentemperatuur is 25 C terwijl de buitentemperatuur -5 C bedraagt. Bepaal: het warmteverlies per m 2 in 6 uur door deze constructie bij de gegeven omstandigheden. de vier grensvlaktemperaturen. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

48 Opgave 9 Een wand bestaat van binnen naar buiten uit een laag grindbeton van 115 mm dikte en een laag polystyreen van 45 mm dikte. De binnen- en buitentemperaturen bedragen respectievelijk 25 C en 2 C. Bereken: de warmtestroom per m 2 oppervlak de temperatuur op het grensvlak van het grindbeton en de polystyreenlaag. Extra gegeven : polystyreen = 0,035 W/mK Opgave 10 Een gevelmuur bestaat van binnen naar buiten uit grindbeton met een dikte van 10 cm, een 5 cm brede luchtspouw en een laag kalkzandsteen van 10 cm dikte. In deze gevel met een totaal oppervlak van 20 m 2 is een raam geconstrueerd met een oppervlakte van 6 m 2. Het raam bestaat uit enkel glas met een dikte van 4 mm. De binnen- en buitentemperaturen zijn respectievelijk 22 C en -8 C. Bereken: het warmteverlies per uur door deze gevel en het warmteverlies door deze gevel per uur als de spouw geheel met polystyreen is gevuld. Extra gegeven : polystyreen = = 0,035 W/mK k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

49 Warmteoverdracht kan ook plaats vinden door straling. De warmteoverdracht door geleiding en convectie is steeds gebonden aan materie. Warmteoverdracht door straling is verschillend omdat op deze wijze ook warmte overgedragen kan worden tussen twee warme lichamen, welke door een kouder en niet stralingsabsorberend medium zijn gescheiden. Zo ontvangt de aarde warmte van de zon. De ware aard van warmtestraling en zijn transport is tot op heden niet volledig bekend. Algemeen wordt aangenomen dat warmtestralen elektromagnetische golven zijn. De totale hoeveelheid energie welke een lichaam uitstraalt is afhankelijk van de temperatuur, de golflengte, de emissiveit en van zijn oppervlakte-eigenschappen. Opgave 11 Een wit gelakte radiator heeft een oppervlak van 2 m 2 en een oppervlakte- temperatuur van 90 C. De temperatuur van de kamer is 20 C. Bereken de warmtestroom als gevolg van straling. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

50 Formules en tabellen warmteoverdracht k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

51 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

52 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

53 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

54 7.Gaswetten Opgave 1 Bereken de luchtdruk in bar op 3000 m hoogte in de Franse Alpen. De soortelijke massa van lucht is 1,2 kg/m³. De druk op zeeniveau bedraagt 1 bar. Opgave 2 In een buisvormige ruimte worden experimenten in het luchtledige gedaan. De uiteinden van de buis worden afgesloten door cirkelvormige deksels met een diameter van 2 m. Bereken de kracht op deze deksels als de barometerstand 1035 mbar bedraagt. Opgave 3 Een verticale cilinder bevat 10 dm³ lucht van 300 K en wordt aan de onderzijde afgesloten door een vrij beweegbare zuiger. Deze heeft een massa van 3 kg en een diameter van 11,28 cm. De druk van de buitenlucht bedraagt 1020 mbar. a) Hoe groot wordt de druk als we het geheel verwarmen tot 400 K? b) Bereken ook het nieuwe volume. Opgave 4 We sluiten het linker been van een open kwikbarometer aan op een ruimte. De vloeistof in het rechter niet-aangesloten been stijgt daardoor 3 cm. De barometerstand bedraagt 1020 mbar. a) Bereken de overdruk. b) Bepaal de absolute druk in deze ruimte in N/m². Opgave 5 In een flesje limonade steken we een rietje. Daarna sluiten we de bovenzijde van het rietje met onze vinger af. De lengte van de luchtkolom tussen onze vinger en de vloeistof bedraagt dan 15 cm. We halen vervolgens het rietje uit de limonade en zien dat de luchtkolom 15,073 cm wordt. De barometerstand is 1025 mbar en de dichtheid van de limonade is 1010 kg/m³. a) Bereken de druk van de lucht in het rietje in mbar. b) Bereken de lengte van het rietje in cm. Opgave 6 We sluiten het linker been van een open kwikbarometer aan op een ruimte. De vloeistof in het rechter niet aangesloten been stijgt daardoor 3 cm. De doorsnede (dwarsoppervlakte) van het linker been is twee maal zo klein als de doorsnede van het rechter been. Bereken de overdruk in deze ruimte in N/m². Opgave 7 We sluiten het linker been van een open kwikbarometer aan op een ruimte. De druk in de ruimte bedraagt Pa terwijl de buitendruk 1 bar is. De diameter van het linker been is 2 cm en de diameter van het rechterbeen bedraagt 3 cm. Hoeveel stijgt de vloeistofspiegel in het rechterbeen? k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

55 Opgave 8 Twee bollen A en B zijn via een dunne leiding met elkaar verbonden. In deze leiding zit een gesloten kraan. Bol A heeft een volume van 6 m³ en bevat stikstof met een druk van 4 bar. Bol B heeft een volume van 10 m³ en bevat zuurstof met een druk van 3 bar. Bereken de einddruk als we de kraan openen en de temperatuur constant blijft. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

56 Opgave 9 Twee bollen A en B zijn via een dunne leiding met elkaar verbonden. In deze leiding zit een gesloten kraan. Bol A heeft een volume van 5 m³, een temperatuur van 200 C en bevat stikstof met een druk van 4 bar. Bol B heeft een volume van 2 m³, een temperatuur van 400 C en bevat zuurstof met een druk van 3 bar. Bereken de einddruk als we de kraan openen en de temperatuur van de bollen constant blijft. Opgave 10 Een cilinder bevat lucht met een temperatuur van -23 ºC. Deze lucht wordt afgesloten door een vrij beweegbare zuiger die met de onderkant 5 cm vanaf de bodem staat. Hoe groot wordt die afstand als we de cilinder met inhoud verwarmen tot 77 ºC? Opgave 11 Een verticale cilinder bevat 10 dm³ lucht van 300 K en wordt aan de bovenkant afgesloten door een vrij beweegbare zuiger. Deze heeft een massa van 3 kg en een oppervlakte van 100 cm 2. De druk van de buitenlucht bedraagt 1020 mbar. Hoe groot wordt de druk in de cilinder als we het geheel verwarmen tot 400 K? De molecuulmassa van een stof is de massa van één molecuul van die stof, uitgedrukt in atomaire massa-eenheden (u). De molecuulmassa is de som van de atoommassa's van de afzonderlijke atomen waaruit het molecuul is opgebouwd. Omdat de atomen van een element meestal een mengsel zijn van verschillende isotopen, gaan we standaard uit van de normale verhouding van deze isotopen voor elk element. Het chemisch element waartoe een atoom behoort wordt bepaald door het aantal protonen in de kern. Voor een gegeven aantal protonen kan daarnaast het aantal neutronen in de kern variëren; we spreken dan van verschillende isotopen van hetzelfde element. Het element chloor bijvoorbeeld heeft atoomnummer 17. Alle chlooratomen hebben dus 17 protonen in de kern, maar er zijn twee stabiele isotopen: 75,77% van de atomen hebben 18 neutronen, 24,23% hebben 20 neutronen in de kern. De atoommassa is dus of = 35 of = 37. Deze isotopen schrijven we respectievelijk als 35 Cl en 37 Cl. Opgave 12 a) Hoeveel elektronen bevat een chlooratoom? b) Bereken het aantal neutronen in de kern van het radioactieve 36 Cl. c) Bereken de atoommassa van chloor. d) Bepaal de molecuulmassa van chloorgas Cl2. e) Hoe groot is de specifieke gasconstante Rs van chloorgas? k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

57 Opgave 13 Van stikstof komen twee isotopen voor: 14 N (99.632%) en 15 N (0,368%). Het atoomnummer van stikstof is 7. a) Bereken het aantal neutronen in de kern van 15 N. b) Bepaal het aantal elektronen in een 15 N-atoom. c) Bereken de atoommassa van stikstof. d) Bepaal de molecuulmassa van stikstofgas N2. e) Hoe groot is de specifieke gasconstante Rs van stikstofgas? Opgave 14 De atoommassa van zuurstof bedraagt kg/kmol. a) Bereken de molecuulmassa van zuurstofgas O2. b) Wat is de massa van een kmol zuurstofgas? c) Hoeveel moleculen bevat een kmol zuurstof? d) Bereken de massa van een molecuul zuurstof. e) Wat is het gewicht van een zuurstofmolecuul? f) Hoe groot is de specifieke gasconstante Rs van zuurstofgas? Opgave 15 Bereken de massa van een hoeveelheid stikstof die zich in een ruimte van 5 m 3 bevindt. De druk van deze stikstof is Pa bij een temperatuur van 25 C. Voor Rs van stikstof zie 13e. Opgave 16 In een ruimte van 10 m 3 bevind zich 25 kg van een onbekend gas. De druk van het gas bedraagt 2, Pa bij een temperatuur van 15 C. Bereken de molecuulmassa van dat onbekende gas. Welk gas kan dit zijn? (zie bijlage periodiek systeem) Opgave 17 In een vat met een volume van 7 m 3 bevindt zich 75 kg van een gas. De druk die dat gas uitoefent is 5 bar bij een temperatuur van 25 C. Bereken de dichtheid van het gas bij een druk van Pa en een temperatuur van 50 K. Opgave 18 Een cilinder bevat 40 liter zuurstof met een druk van 200 bar. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

58 De temperatuur bedraagt 17 ºC. Bereken de massa van de zuurstof in de cilinder. Voor Rs van zuurstof zie 14f. De thermodynamica onderzoekt de warmteverschijnselen en hoe de materie zich gedraagt bij veranderingen van temperatuur en druk. Zij bestudeert de omzettingen van warmte en energie. Eerste hoofdwet van de thermodynamica: Q = U + W waarbij Q = toevoerde warmte, U = toename inwendige energie en W = verrichte uitwendige energie. We onderscheiden isobarische (p = constant), isothermische (T = constant), isochorische (V = constant) en adiabatische (geen warmteuitwisseling dus Q = 0) processen: Verband tussen Cp, Cv en Rs : Cp Cv = Rs k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

59 Opgave 19 Een hoeveelheid zuurstof met een massa van 1 kg kan vrij uitzetten. Als we verwarmen van 10 C tot 110 C zet de zuurstof 0,2 m 3 uit. a) Bereken de door het gas verrichte arbeid. b) Bereken de druk van de zuurstof. Opgave 20 We verwarmen 0,6 kg zuurstof van 27 C bij een constante druk van 2 bar. De verrichte uitwendige arbeid bedraagt 30 kj. a) Bereken de eindtemperatuur. b) Bereken het eindvolume van de zuurstof. Opgave 21 Van 1 m 3 aardgas ( Cp = 1900 J/kgK en Rs = 441 J/kgK) met een temperatuur van 20 C voeren we bij constante druk 300 kj warmte toe. Het volume neemt daardoor toe met 0,6 m 3. a) Bereken de eindtemperatuur. b) Bereken de einddruk van het aardgas. c) Bereken de door het aardgas verrichte arbeid. Opgave 22 We laten 1 m 3 stikstof ( Cp = 1040 J/kgK en Rs = 297 J/kgK) met p = 20 bar en een temperatuur van 553 K adiabatisch expanderen tot een volume van 5 m 3. a) Bereken de nieuwe druk. b) Bereken de eindtemperatuur. Opgave 23 We comprimeren 4 m 3 gas met een druk van 200 Pa tot een kwart van het volume. De compressie gebeurt adiabatisch Bereken de einddruk van het gas als Cp = 1000 J/kgK en Cv = 300 J/kgK k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

60 Bij een kringproces keert het gas na meerdere toestandsveranderingen weer terug in de begintoestand, zoals bij het volgende voorbeeld: Een afgesloten hoeveelheid stikstof met p = 2 bar, V = 3 dm³ en T = 27 ºC (toestand 1) wordt isothermisch gecomprimeerd tot 2 dm³ (toestand 2). Vervolgens vindt een isochore compressie plaats (toestand 3) waarna het gas via een isobare temperatuurverhoging de begintoestand wordt bereikt. Bereken de p, V en T van toestand 3 van het gas. We beginnen altijd met het schematisch overzicht van de gegevens : Opgave 24 Een afgesloten hoeveelheid stikstof met p = 4 bar, V = 3 dm³ en T = 27 ºC (toestand 1) wordt isobarisch gecomprimeerd tot 2 dm³ (toestand 2). Vervolgens vindt een isochore compressie plaats (toestand 3) waarna het gas via een isothermische temperatuurverhoging de begintoestand wordt bereikt. Bereken de p, V en T van toestand 3 van het gas. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

61 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

62 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

63 Bijlage periodiek systeem bij gassen k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

64 Antwoorden gaswetten 1 0,64 bar ,84 N 3 a) Pa b) 13,33 dm 3 4 a) 8160 Pa b) Pa 5 a) Pa b) 19,988 cm Pa 7 4 cm 8 3,375 bar 9 3,78 bar 10 7 cm Pa 12 a) 17 b) 19 c) 35,485 kg/kmol d) 70,970 kg/kmol e) 117,15 J/kgK 13 a) 8 b) 7 c) 14,0037 kg/kmol d) 28,0074 kg/kmol e) 296,85 J/kgK 14 a) 31,998 kg/kmol b) 31,998 kg c) d) 5, kg e) 5, N f) 259,83 J/kgK 15 1,1304 kg k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

65 17 2,554 kg/m ,617 kg 19 a) J b) 129,92 kpa 20 a) 219,43 C b) 0,38385 m 3 21 a) 468,8 K b) ,66 Pa c) 69631,6 J 22 a) 2,10 bar b) 290,33 K Pa k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

66 8. Luchtvochtigheid relatieve vochtigheid e p 100 % p aanwezige dampdruk absolute dampdruk dauwpuntstemperatuur Td = de temperatuur waarbij de heersende waterdampdruk de maximale dampdruk is. massaformule voor waterdamp mw = P V T x 0,0022 Opgave 1 In een ruimte met een volume van 15 dm³ en een temperatuur van 25 ºC verdampen we 0,08 g water. Bereken: a) de relatieve vochtigheid; b) de absolute vochtigheid; c) de dauwpuntstemperatuur. Opgave 2 Opgave 3 Een ruimte van 24 ºC heeft een dauwpuntstemperatuur van 19 ºC. Bereken de absolute vochtigheid. Een cilinder heeft een volume van 4 dm³ en een temperatuur van 20 ºC. De relatieve vochtigheid bedraagt 65 %. We verkleinen het volume tot 2 dm³ en verlagen de temperatuur tot 17 C. Bereken de hoeveelheid water op de bodem. Opgave 4 De temperatuur van een keuken van 2 m 4 m 2,5 m is 25 ºC. De ramen van de keuken beslaan bij een temperatuur van 15 ºC. Bereken hoeveel waterdamp er in de ruimte aanwezig is. Opgave 5 In een ruimte van 5 m 6 m 2,5 m is de relatieve vochtigheid 40 %. De temperatuur van de lucht bedraagt 18 ºC. a) Bereken de massa van de waterdamp in de ruimte. b) Hoeveel water moeten we in de ruimte verdampen opdat de relatieve vochtigheid 65 % wordt. c) Hoe groot wordt de relatieve vochtigheid als we daarna de temperatuur verhogen tot 25 ºC? Opgave 6 Het dauwpunt in een ruimte is 3 C. a) Bepaal de relatieve vochtigheid in die ruimte bij 25 C. De temperatuur in de ruimte wordt 28 C. b) Hoeveel water moeten we per volume-eenheid verdampen opdat de relatieve vochtigheid gelijk wordt aan 70 %? k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

67 Het verschil tussen afkoelpunt en dauwpunt We beschouwen twee manieren om in een vochtige ruimte condensatie te bereiken. Allereerst kunnen we de ruimte plaatselijk afkoelen tot we condensatie waarnemen. De temperatuur waarbij dat gebeurt heet het dauwpunt Td. Een tweede manier is het afkoelen van de gehele ruimte. We gaan er van uit dat het volume constant blijft zodat we te maken hebben met isochore afkoeling waarvoor dus geldt dat p/t constant blijft. Ook hier bereiken we een situatie dat condensatie optreedt, de bijbehorende temperatuur noemen we het afkoelpunt Ta. Onderstaande figuur laat zien hoe we Td en Ta grafisch kunnen bepalen, we merken op dat altijd geldt dat Td > Ta. Het berekenen van het afkoelpunt gaat als volgt: In de beginsituatie weten we de dampdruk p en de temperatuur T zodat we het quotiënt van beide kunnen berekenen. Tijdens afkoeling blijft dat quotiënt constant. Vervolgens zoeken we in de maximale dampspanningstabel een zodanige temperatuur T op dat het quotiënt van de bijbehorende pmax en die T gelijk is aan het eerder berekende quotiënt. Die gevonden T is dan het gevraagde afkoelpunt Ta. Om een idee te geven van de grootte van dat quotiënt van pmax en Ta geeft de volgende tabel van een aantal temperaturen de maximale dampspanning en het bijbehorende quotiënt van temperatuur en maximale dampspanning. T p max p max/t T p max p max/t T p max p max/t T p max p max/t ºC kpa Pa/K ºC kpa Pa/K ºC kpa Pa/K ºC kpa Pa/K 1 0,656 2,39 9 1,15 4, ,94 6, ,17 10,64 2 0,705 2, ,23 4, ,06 7, ,36 11,24 3 0,757 2, ,31 4, ,20 7, ,56 11,87 4 0,813 2, ,40 4, ,34 7, ,78 12,56 5 0,872 3, ,50 5, ,49 8, ,00 13,25 6 0,935 3, ,60 5, ,64 8, ,24 13,99 7 1,00 3, ,70 5,9 23 2,81 9, ,38 23,58 8 1,07 3, ,82 6,3 24 2,98 10, ,3 271,6 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

68 Voor bijvoorbeeld t = 5 ºC geldt pmax = 0,872 kpa dus pmax/t = 872/278 = 3,14 Pa/K. Het volgende voorbeeld laat een berekening zien van zowel het afkoelpunt als het dauwpunt van een ruimte met vochtige lucht: In een ruimte van 23 ºC bedraagt de relatieve vochtigheid 70% Bereken het afkoelpunt en het dauwpunt. Oplossing: p = e pmax = 0, = 1967 Pa. T = = 296 K. Er geldt dus p/t = 1967/296 = 6,65. In de tabel moeten we die temperatuur opzoeken waarvoor geldt dat p/t gelijk is aan 6,65. We zien dat het gevraagde afkoelpunt Ta ligt tussen 16 ºC en 17 ºC. Met interpoleren vinden we Ta = 16,90 ºC. Voor het dauwpunt moeten we in de tabel de temperatuur opzoeken waarvoor geldt dat pmax = 1967 Pa. We zien dat het dauwpunt ligt tussen 17 ºC en 18 ºC. Ook hier moeten we interpoleren en vinden Td = 17,23 ºC. Opgave 7 In een cilinder van 10 dm³ is de relatieve vochtigheid 50 % terwijl de temperatuur 20 ºC bedraagt. a) Bereken het dauwpunt Td van de ruimte. b) Tot welk volume moeten we comprimeren om de relatieve vochtigheid juist 100 % te maken? c) Tot welke temperatuur moeten we, uitgaande van de begintoestand, de cilinder afkoelen om de relatieve vochtigheid juist 100 % te maken? Opgave 8 Een ruimte van 80 m 3 heeft een temperatuur van 20 C. De relatieve vochtigheid bedraagt 40 %. We verhogen de relatieve vochtigheid tot 70 %. a) Hoeveel g water moeten we daartoe in de ruimte verdampen? b) Bepaal in die eindsituatie de dauwpuntstemperatuur Td. c) Tot welke temperatuur moeten we vervolgens de ruimte afkoelen om de relatieve vochtigheid net op 100 % te brengen? k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

69 Opgave 9 Een cilinder met een volume van 50 dm 3 en een temperatuur van 22 ºC bevat vochtige lucht ( mengsel van lucht en waterdamp ) met een druk van Pa. De relatieve vochtigheid bedraagt 60 % Bij gelijkblijvende temperatuur comprimeren we tot een volume van 10 dm3. Bereken de druk van de vochtige lucht in die nieuwe situatie. Opgave 10 In een cilinder met een volume van 20 dm 3 bevindt zich water en waterdamp. De temperatuur bedraagt 22 ºC. Vervolgens vergroten we bij gelijkblijvende temperatuur het volume tot 50 dm 3. Bereken de hoeveelheid water in de begintoestand als in de eindsituatie de relatieve vochtigheid 70 % is. Opgave 11 In een keuken van 48 m 3 is de temperatuur 22 ºC. Na de afwas blijft er 0,24398 kg water in de gootsteen achter terwijl de relatieve vochtigheid op dat moment 80 % bedraagt. 's Nachts daalt de temperatuur van de keuken tot 15 ºC terwijl de ramen tot 10 ºC afkoelen. Bereken hoeveel water er in de evenwichtstoestand tegen de ramen is gecondenseerd. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

70 Het Mollier-h/x-diagram In de klimaattechniek worden voor de diverse grootheden andere symbolen gebruikt dan in de natuurkunde gebruikelijk is. De relatieve vochtigheid is de verhouding tussen de heersende dampspanning d en de maximale dampspanning s. Deze s is zoals bekend temperatuurafhankelijk en halen we normaal uit de maximale dampspanningstabel. Bepaling van s uit het Mollierdiagram laten we zien aan de hand van het volgende voorbeeld: Gegeven : de temperatuur T = 10 C en de relatieve vochtigheid = 70 % Gevraagd : de dampdruk d en de maximale dampdruk s. Oplossing : zet de luchtconditie uit in het diagram en trek vanuit dit punt een verticale lijn tot de dampdrukschaal. We vinden dan d = 0,86 kpa = 8,6 mbar ( 1 bar = 10 5 Pa) Trek vervolgens vanuit het snijpunt van de isotherm voor 10 C met de verzadigingslijn een verticale lijn tot de dampdrukschaal. We vinden dan s = 1,2 kpa = 12 mbar. Controle: d / s = 0,86 / 1,2 = 0,717 dus een kleine afwijking als gevolg van aflezing. Opgave 12 Bepaal met het Mollier-diagram d en s bij de volgende luchtcondities: a) T = 18 C en = 70 %. b) T = 14 C en = 60 %. c) T = 8 C en = 50 %. d) T = 5 C en = 80 %. Het bepalen van de dauwpuntstemperatuur Td met het Mollier-diagram gaat als volgt : Gegeven : de temperatuur T = 18 C en de relatieve vochtigheid = 70 % Gevraagd : de dauwpuntstemperatuur Td. Oplossing : zet de luchtconditie uit in het diagram en trek vanuit dit punt een verticale lijn tot deze de verzadigingslijn snijdt. Voor Td lezen we dan af 12,5 C. Opgave 13 Bepaal met het Mollier-diagram Td bij de volgende luchtcondities: a) T = 19 C en = 70 %. b) T = 14 C en = 60 %. c) T = 8 C en = 50 %. d) T = 5 C en = 80 %. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

71 Het absolute vochtgehalte x geeft het aantal kilogrammen damp per kilogram droge lucht. Omdat het vochtgehalte meestal gering is drukken we x vaak uit in g/kg in plaats van kg/kg. Het bepalen van het absolute vochtgehalte x met het Mollier-diagram gaat als volgt : Gegeven : de temperatuur T = 18 C en de relatieve vochtigheid = 70 % Gevraagd : het absolute vochtgehalte x. Oplossing : zet de luchtconditie uit in het diagram en trek vanuit dit punt een verticale lijn omhoog tot de x- as. Voor x lezen we dan af 0,009 kg/kg. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

72 Opgave 14 Zoek in het Mollier-diagram het absolute vochtgehalte x op van : a) lucht van 20 C en = 70 %. b) lucht van 15 C en = 40 %. c) lucht van 10 C en = 30 %. De enthalpie H (warmte-inhoud) van vochtige lucht is samengesteld uit drie componenten : 1 De warmte-inhoud van de lucht: ml cpl T (T in C) 2 De verdampingswarmte van water van 0 C: md r 3 De warmte-inhoud van de waterdamp: md cpd T (T in C) Als we deze enthalpie H delen door de massa van lucht krijgen we de specifieke enthalpie h, uitgedrukt in kj/kg De enthalpie h kunnen we als volgt aflezen uit het Mollier-diagram : Gegeven : T = 15 C en x = 6 g/kg. Gevraagd : de specifieke enthalpie h. Oplossing : zet de luchtconditie uit in het diagram en trek vanuit dit punt een constante enthalpie-lijn tot de verzadigingslijn. We lezen een enthalpie h af van 30 kj/kg. Opgave 15 Zoek in het Mollier-diagram de enthalpie h op van : a) lucht van 20 C met = 80 %. b) lucht van 15 C met x = 4 g/kg c) lucht van 10 C met x = 2 g/kg De natte-bol-temperatuur TN wordt gemeten met een natte-bol-thermometer. Dit is een thermometer waarvan het reservoir is omhuld met een met water bevochtigd kousje. Door verdamping van het water zal warmte aan het water worden onttrokken waardoor een lagere temperatuur zal worden afgelezen dan met een droge-bol-thermometer. Aan de daling van de temperatuur komt een eind wanneer de verzadigingslijn is bereikt. De dan afgelezen temperatuur is de natte-bol-temperatuur. Hoe droger de omgevingslucht hoe meer vocht kan worden verdampt en hoe lager de gemeten natte-bol-temperatuur zal zijn. De lijnen van constante natte-bol-temperatuur gaan door de snijpunten van de isothermen en de verzadigingslijn en lopen vrijwel evenwijdig aan de lijnen voor constante enthalpie. Bepaling van TN met het Mollier-diagram : Gegeven : T = 15 C en = 36 %. Gevraagd : de natte-bol-temperatuur TN. Oplossing : zet de luchtconditie uit in het diagram en trek vanuit dit punt een lijn van constante natte-bol-temperatuur. Op de temperatuurschaal lezen we af TN = 8 C. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

73 Opgave 16 Zoek in het Mollier-diagram de natte-bol-temperatuur TN op als : a) T = 18 C en = 70 %. b) T = 14 C en = 60 %. c) T = 8 C en = 50 %. d) T = 5 C en = 80 %. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

74 Uit de combinatie van natte-bol- en droge-bol-temperatuur kan de relatieve vochtigheid worden bepaald. Een meetinstrument om gelijktijdig de droge- en de natte-bol-temperatuur te kunnen bepalen is de slinger-psychrometer. Door het apparaat rond te slingeren vergroten we de luchtstroom die nodig is om het water in het vochtige kousje te verdampen.waardoor de temperatuur van de natte-bolthermometer daalt. Door beide temperaturen af te lezen en op te zoeken in het Mollier diagram, kan de vochtigheid worden bepaald met een hoge nauwkeurigheid. Voorbeeld: Gegeven: we lezen na rondslingeren een slingerpsychometer af met als resultaat T = 19 C en TN = 15 C. Gevraagd: de relatieve vochtigheid. Oplossing: we snijden de constante temperatuurlijn van 19 C met de constante natte-bol-temperatuurlijn van 15 C. We lezen af: = 66 %. Merk op dat in een ruimte met een relatieve vochtigheid van 100 % er geen verdamping zal plaatsvinden zodat T = TN. De constante temperatuurlijn en de constante natte-boltemperatuurlijn van gelijke waarde snijden elkaar daarom op de verzadigingslijn. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

75 Schematische samenvatting van het werken met het Mollierdiagram: Opgave 17 Voor een hoeveelheid lucht geldt T = 20 C en TN = 12,5 C. Bepaal met het Mollier-diagram de enthalpie h, het vochtgehalte x, de dauwpuntstemperatuur Td, de dampdruk d, de maximale dampdruk s en de relatieve vochtigheid. Opgave 18 Voor een hoeveelheid lucht geldt T = 20 C en Td = 6 C. Bepaal met het Mollier-diagram de enthalpie h, het vochtgehalte x, de natte-bol-temperatuur TN, de dampdruk d, de maximale dampdruk de relatieve vochtigheid. s en Opgave 19 Voor een hoeveelheid lucht geldt = 0,3 en Td = 4 C. Bepaal met het Mollier-diagram de enthalpie h, het vochtgehalte x, k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

76 de natte-bol-temperatuur TN, de dampdruk d, de maximale dampdruk de temperatuur T. s en Opgave 20 Voor een hoeveelheid lucht geldt T = 15 C en h = 30 kj/kg. Bepaal met het Mollier-diagram het dauwpunt Td, het vochtgehalte x, de natte-bol-temperatuur TN, de dampdruk d, de maximale dampdruk de relatieve vochtigheid. s en Opgave 21 Voor een hoeveelheid lucht geldt x = 9 g/kg en = 0,4. Bepaal met het Mollier-diagram de enthalpie h, de natte-bol-temperatuur TN, de temperatuur T, het dauwpunt Td, de dampdruk d en de maximale dampdruk s. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

77 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S Natuurkunde-2 GPL bakker (bk) Mollier-diagram (1)

78 Natuurkunde-2 GPL bakker (bk) Mollier-diagram (2) k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

79 Natuurkunde-2 GPL bakker (bk) Mollier-diagram (3) k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

80 Mollier-diagram (4) k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

81 Mollier-diagram (5) k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

82 Antwoorden luchtvochtigheid k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

83 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

84 5 a) 0,46722 kg b) 0,29201 kg c) 43,256 % 6 a) 23,880 % b) 13,7509 g/m³ 7 a) 9,25 C b) 5 dm 3 c) 8.67 C 8 a) 421,68 g b) 14,380 C c) 14,061 C k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

85 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

86 12 a) 1,43 kpa ; 2,08 kpa b) 0,95 kpa ; 1,6 kpa c) 0,53 kpa ;1,06 kpa c) 0,68 kpa ; 0,86 kpa 13 a) 13,5 C b) 6,75 C c) -1,5 C d) 2 C 14 a) 0,0102 kg/kg b) 0,0042 kg/kg c) 0,0023 kg/kg 15 a) 50 kj/kg b) 25 kj/kg c) 15 kj/kg 16 a) 14,6 C b) 10 C c) 3,8 C d) 3,5 C 17 h = 35,2 kj/kg ; x = 0,006 kg/kg ; Td = 6,7 C ; d = 0,96 kpa ; s = 2,3 kpa ; = 0,42 18 h = 35 kj/kg ; x = 0,0058 kg/kg ; TN = 12 C ; d = 0,92 kpa ; s = 2,3 kpa ; = 0,4 19 h = 35 kj/kg ; x = 0,005 kg/kg ; TN = 12,4 C ; d = 0,8 kpa ; s = 2,7 kpa ; T = 22,5 C 20 Td = 6,5 C ; x = 0,006 kg/kg ; TN = 10,2 C ; d = 0,95 kpa ; s = 1,7 kpa ; = 0,56 21 h = 50 kj/kg ; TN = 17,6 C ; T = 27 C ; Td = 12,5 C ; d = 1,44 kpa ; s =? k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

87 9. Geluid Geluidsgolven ontstaan als lucht (of een ander medium) in trilling wordt gebracht. Er ontstaan achtereenvolgende verdichtingen en verdunningen in de lucht. Het gevolg zijn achtereenvolgende verhogingen en verlagingen van de gemiddelde luchtdruk. Geluidsgolven vertegenwoordigen energie. Deze energie wordt door een geluidsbron zoals een luidspreker uitgezonden. De hoeveelheid energie die per seconde door een oppervlak van 1 m 2 passeert noemen we de geluidsintensiteit I met als eenheid W/m 2. Voor de geluidsdrempel of gehoorgrens geldt I = W/m². De pijngrens ligt bij ongeveer 1 W/m². Boven deze pijngrens is geluidswaarneming pijnvol en kan (blijvende) gehoorschade optreden. Geluidsintensiteit is voor de mens eigenlijk geen goede grootheid om de geluidssterkte uit te drukken. Een geluid met een twee maal zo grote intensiteit wordt door ons namelijk niet als twee maal zo hard ervaren omdat ons oor niet lineair maar logaritmisch werkt. Dat betekent dat een geluid tien maal zoveel vermogen moet krijgen om door ons als twee maal zo hard te worden ervaren. Het bereik van de geluidsintensiteit, van W/m² tot 1 W/m², is enorm groot. Daarom is de handzamer grootheid geluidssterkte of geluidsniveau L ingevoerd: Daarbij geldt dat I0 = W/m 2. L is een logaritmisch verhoudingsgetal (dimensieloos). Logaritmische verhoudingsgetallen worden uitgedrukt in B (bel) maar meestal in db (decibel) door met tien te vermenigvuldigen. Het bereik van L loopt van 0 db tot 120 db Nevenstaande tabel geeft een indicatie van het geluidsniveau in een aantal omstandigheden. MP3-spelers gaan tot ongeveer 100 db op het hoogste volume. Het maakt een verschil of met een koptelefoon of met oordopjes wordt geluisterd. Oordopjes liggen namelijk dieper in het oor en versterken met zo n 6 db extra. In disco s meten we sterktes van 120 tot 150 db! Het hardste geluid dat ooit door mensen zou zijn gemaakt, is de atoombom op Hiroshima. Deze veroorzaakte een sterkte van 250 db. Van een dergelijk geluid scheurt het trommelvlies onmiddellijk. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

88 Voorbeeld: Langs de snelweg wordt een geluidsintensiteit I van 10-4 W/m 2 gemeten. Bereken het geluidssterkte L. 1. Bereken het geluidsniveau L bij een geluidsintensiteit I van: a) 0,5 W/m 2 b) 2 W/m 2 c) 6 nw/dm 2 d) 12 pw/cm 2 Voorbeeld: Langs de snelweg wordt een intensiteitniveau L van 60 db gemeten. Bereken de geluidsintensiteit I. 2 Bereken de geluidsintensiteit I bij een geluidsniveau L van: a) 20 db b) 65 db c) 100 db d) 120 db Voorbeeld: Bereken het gezamenlijke geluidssterkte Ltot van een geluidsbron met een geluidssterkte L1 van 95 db en een geluidsbron met een geluidssterkte L2 van 85 db. Oplossing: Voor berekeningen aan meerdere geluidsbronnen tegelijk gebruiken we de volgende formule: k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

89 Voor L1 = 95 db en L2 = 85 db volgt dan voor Ltot: Geef de antwoorden van de volgende vraagstukken in twee decimalen achter de komma. 3 Bereken in een punt het totale geluidssterkte Ltot als gevolg van meerdere geluidsbronnen. a) L1 = 70 db en L2 = 70 db. b) L1 = 70 db en L2 = 80 db. c) L1 = 60 db en L2 = 90 db. d) L1 = 60 db, L2 = 90 db en L3 = 80 db. 4 Een machine heeft een geluidssterkte van 60 db. Wat wordt het geluidssterkte als er vier dezelfde machines bijkomen? 5 Machine A heeft een geluidssterkte van 60 db. Als we machine B ook in bedrijf nemen meten we een resulterend geluidssterkte van 65 db. Bereken het geluidssterkte van machine B. (Tip: probeer weer gebruik te maken van formule 4) k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

90 Geluid & arbo Te veel lawaai beschadigd het gehoor, dat weet bijna iedereen, maar de gevolgen worden meestal onderschat: Sociale isolatie, en met soms psychische problemen als gevolg Vermoeiing door verhoogde inspanning bij concentratie en / of communicatie Kwaliteitsverlies, fouten of zelfs ongelukken door communicatieproblemen/slechthorendheid Gehoorsbescherming geeft vaak problemen op het gebied van handhaving, communicatie en veiligheid. Daarom dient bronbestrijding altijd voorrang te hebben bij lawaaibestrijding, de arbo regels schrijven dit ook voor in de zogenaamde arbeidshygiënische strategie: Geluidsniveaus boven 85 db(a) moeten in de eerste plaats worden voorkomen door het lawaai aan de bron te bestrijden. Dit kan bijvoorbeeld door een machine te vervangen door een minder lawaaiige machine of werkproces, of voorzieningen te treffen aan de gebruikte arbeidsmiddelen; Is het redelijkerwijs niet afdoende mogelijk om de bron te bestrijden, dan moet het lawaai op de arbeidsplaats verminderd worden door beperking van geluidsoverdracht. Gangbare middelen daartoe zijn een isolerende kast om de geluidsbron of een scherm tussen bron en werknemer; Mochten ook die maatregelen onvoldoende opleveren, dan is het zaak het aantal aan lawaai blootgestelde werknemers en hun blootstellingduur tot een minimum te beperken; Ondanks alle in redelijkheid te vergen maatregelen kunnen werknemers blootstaan aan een geluidsniveau van 85 db(a) of meer. In dergelijke gevallen is de werknemer verplicht passende gehoorbescherming (die gemiddeld ongeveer 20 db(a) dempt), te gebruiken. Een uitgebreid onderzoek naar het geluid op de arbeidsplaats is door het arbo besluit verplicht indien geluidniveaus van 80 dba voorkomen of hoger. Indien communiceren op een afstand van 1 meter moeite kost kan ervan worden uitgegaan dat dit het geval is. Beoordeling van lawaai op de werkplek vindt plaats volgens NEN NEN 3418 wordt binnenkort vervangen door ISO De grens waarboven risico voor gehoorschade bestaat ligt volgens de Arbo-wetgeving bij 80 db(a), uitgaande van een wekelijkse blootstelling van 40 uur. Bij een stijging van het niveau met 3 db(a) mag het gehoor maar half zo lang aan het geluid worden blootgesteld. Dat leidt tot de volgende tabel: We lezen af dat 8 uur met 80 db(a) gelijk staat met 4 uur met 83 db(a), 2 uur met 86 db(a), 1 uur met 89 db(a), 30 minuten met 92 db(a) of 15 minuten met 95 db(a). Niet alleen op de werkvloer komen hoge waarden voor. In een disco is een niveau van 100 db(a) op de dansvloer heel gewoon. Waar live muziek gespeeld wordt, zijn zelfs hogere geluidsniveaus niet zeldzaam. Het dragen van gehoorbescherming (die gemiddeld ongeveer 20 db(a) dempt), is dan ook van groot belang. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

91 Als we lang aan hard geluid zijn blootgesteld worden onze oren minder gevoelig voor hoge tonen. Na een tijd rust herstelt zich dat weer, afhankelijk van de sterkte van het geluid, de duur en de rustperiode. Bij veelvuldige blootstelling is de schade echter blijvend. 20% tot 30% van de jongeren heeft een milde tot ernstige vorm van gehoorschade. Als we een hele avond in de herrie hebben gestaan kunnen we daarna, als het weer rustig is, een pieptoon in ons oor horen. Dat is al een teken van een (geringe) hoorschade. De gehoorzenuw herstelt zich weer maar de beschadigde haarcellen in het binnenoor niet. Mensen horen doordat trillingen via de haarcellen in het zogenaamde slakkenhuis worden omgezet in elektrische signalen. Deze worden vervolgens afgegeven naar de gehoorzenuwen. Bij doven en slechthorenden werken die haarcellen niet goed meer. Meestal is het geluidsniveau op de werkvloer niet constant. Om te bepalen of we gedurende een werkdag gemiddeld niet boven de 80 db(a) uitkomen berekenen we het zogenaamde equivalente geluidsniveau Leq. Daaronder verstaan we een denkbeeldig constant geluidsniveau dat binnen een bepaalde tijdsduur ( hier 8 uur) dezelfde geluidsenergie geeft als de wisselende niveaus samen. Voorbeeld: Een werknemer van een machinefabriek is gedurende een werkdag achtereenvolgens onderhevig aan de volgende geluidsniveaus: gedurende 4 uur achtereen: 70 db(a), gedurende 1 uur: 90 db(a) en gedurende 3 uur: 85 db(a). Bepaal zijn daggemiddelde in db(a) Oplossing: We kunnen een deeltijdsterkte Lt gedurende t uur omrekenen naar een equivalente geluidssterkte L8 gedurende 8 uur met onderstaande formule: 8 L 8 L t 10 log t 4 uur 70 db(a) betekent log 1 uur 90 db(a) betekent log db(a) gedurende 8 uur, 81dB(A) gedurende 8 uur, 80, 7 db(a) gedurende 8 uur. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

92 6 Een werknemer is gedurende een werkdag achtereenvolgens onderhevig aan de volgende geluidsniveaus: gedurende 3 uur: 75 db(a), gedurende een half uur: 90 db(a), gedurende 4 uur: 78 db(a) en gedurende een half uur: 85 db(a). Bereken of zijn daggemiddelde onder of boven de arbo-norm ligt. A-, B-, C- en D-weging van niveaus De gevoeligheid van ons oor flink varieert behoorlijk met de frequentie. Bij 20 Hz ligt de gehoordrempel ca 65 db boven die van de 1000 Hz. Als we met onze decibelmeter veel geluidsenergie opvangen van rond de 20 Hz en van Hz, zouden we wél veel geluid meten. Maar omdat ons oor dat niet of nauwelijks hoort, ervaren we dat toch niet als erg hard. Om het geluidsniveau te meten dat wel overeenkomt met de manier waarop wij geluid ervaren, moeten we de meting aanpassen aan de gevoeligheid van ons oor. Daartoe verdelen we het hoorbare gebied in frequentie-intervallen, de zogenaamde octaafbanden. In elke octaafband meten we eerst de geluidssterkte. Daar passen we vervolgens een correctie op toe, waarbij we rekening houden met de gevoeligheid van het oor. Bij die zogenaamde A-weging kunnen we die correctie aflezen in onderstaande grafiek/tabel. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

93 Bij een frequentie van 10 Hz bijvoorbeeld, is de correctie -70 db. Dit betekent dat geluid van 10 Hz nauwelijks meetelt, omdat het bijna onhoorbaar is. Bij 125 Hz is de correctie ongeveer -16 db. Dus als we in het interval rond 125 Hz met onze meetapparatuur 56 db zouden meten, moeten we er 16 db afhalen om de sterkte aan ons oor aan te passen. We zien dat er bij 1000 Hz geen correctie is. In de buurt van Hz moet er weer in negatieve zin gecorrigeerd worden. Vervolgens wordt het zo gecorrigeerde geluid voor alle intervallen (logaritmisch) opgeteld, zodat we uiteindelijk één waarde krijgen voor de geluidsterkte uitgedrukt in het aantal db(a). De A slaat op de toegepaste A-weging. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

94 Voorbeeld: We horen de volgende twee tonen tegelijk: één van 250 Hz en 70 db en één van 4000 Hz en 65 db. Hoeveel db(a) is dit geluid samen? Oplossing: Na correctie krijgen we: 250 Hz: 70 db 9 db (correctie) = 61 db(a), 4000 Hz: 65 db + 1 db (correctie) = 66 db(a). We berekenen tenslotte het totale geluidsniveau volgens de A-weging: 7 We horen de volgende drie tonen tegelijk: één van 125 Hz en 70 db, één van 1000 Hz en 50 db en één van 8000 Hz en 60 db. Hoeveel db(a) is dit geluid samen? In de decibelmeter zit een elektronisch filter dat het geluid bij de verschillende frequenties verzwakt volgens de A-weging. Het display geeft dan één getal: het geluidsniveau in db(a). Bij hard geluid (meer dan 100 db) blijkt dat onze gehoorgevoeligheid een beetje anders is dan bij zacht geluid. We zouden dan voor hard geluid een andere weging moeten toepassen. Een geluidsniveau gemeten met een A-filter wordt uitgedrukt in db(a) en toegepast voor algemeen gebruik. B-filters worden bijna niet meer gebruikt. Het C-filter wordt nog regelmatig gebruikt bij installatielawaai en pieklawaai op de arbeidsplaats. Het D-filter wordt toegepast bij metingen van vliegtuiglawaai. Geluid onder de 20 Hz noemen we infrasoon. Infrasoon geluid horen we niet maar is wel voelbaar als zware trilling. Bij een kerkorgel kan het voortkomen uit de laagste tonen. Infrasone geluidstrillingen worden niet meer opgevangen door onze oren, maar worden ervaren door onze huidcellen, door de zenuwen onder onze huid en door ons beendergestel. De gevolgen kunnen bestaan uit misselijkheid en duizeligheid bij langdurige blootstelling aan infrageluid met een niveau van db. Geluiden boven de Hz heten ultrasoon. Ultrasoon geluid kunnen mensen niet waarnemen. Vleermuizen en dolfijnen gebruiken dit geluid om hun omgeving waar te nemen en hun prooi te vinden. In ziekenhuizen wordt het gebruikt om echo s te maken. Nierstenen worden door middel van ultrasone geluidsgolven vergruisd. In de industrie wordt ultrasoon geluid gebruikt om bijvoorbeeld machineonderdelen te onderzoeken op haarscheurtjes. Ook bij reinigingsprocessen zijn ultrasoonreinigers niet meer weg te denken. Als resultaat van ultrasone trillingen ontstaan in vloeistoffen miljoenen kleine k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

95 vacuümbellen. Tijdens de hoge druk fase imploderen deze vacuüm bellen en creëren ze uiterst effectieve drukgolven. Dit proces wordt cavitatie genoemd en dat zorgt ervoor dat vuildeeltjes van te reinigen objecten worden verwijderd. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

96 Luidheid De sterkte van een geluid kan worden uitgedrukt in objectieve (fysische) grootheden zoals de geluiddruk en geluidintensiteit. Als zodanig zeggen deze grootheden weinig over de luidheidssensatie die een geluidsignaal veroorzaakt. Luidheid is een subjectieve ervaring. Luidheid is niet meetbaar, het is een gewaarwording. In het verleden is er onderzoek gedaan met als doel het begrip luidheid te kwantificeren. Hiertoe werd de luidheid die verschillende signalen bij de luisteraar veroorzaken onderling vergeleken. Curven van gelijke luidheid noemen we isofonen.voor sinustonen is op deze wijze het verband tussen geluidssterkte in db, frequentie in Hz en luidheidsniveau in foon vastgelegd in een isofonendiagram: Zo is het luidheidsniveau van een toon in foon gelijk aan het geluidsniveau van een even luide toon van 1000 Hz. De luidheidsschaal in foon loopt dus globaal van 0 foon bij de gehoordrempel tot 120 foon bij de pijngrens. Toename van het luidheidsniveau met 10 foon wordt ervaren als een verdubbeling van de luidheid. Voorbeeld: Bepaal het geluidsniveau van een toon van 500 Hz die net zo hard klinkt als een toon van 63 Hz met een geluidssterkte van 60 db. Oplossing: 63 Hz / 60 db ligt op de 40 foon isofoon. Snijden van deze isofoon met de 500 Hz rasterlijn levert een geluidssterkte op van 38 db. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

97 8 Bepaal het geluidssterkte van een toon van 500 Hz die net zo hard klinkt als een toon van a) 250 Hz / 32 db b) 2500 Hz / 55 db c) 5000 Hz / 45 db 9 Een MIT-student hoort een toon van 100 Hz met een luidheid van 80 foon. a) Bereken de intensiteit I. b) Bereken de intensiteit van een toon van 4000 Hz die even hard wordt ervaren. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

98 Absorptie, reflectie en isolatie van geluid Van een geluidgolf die op een wand invalt zal een gedeelte van de akoestische energie worden gereflecteerd, een gedeelte worden geabsorbeerd (= omgezet in warmte) en een gedeelte worden doorgelaten. De absorptiecoëfficiënt is een maat voor de niet gereflecteerde energie. Als 100 % van de energie wordt geabsorbeerd (open raam) dan is de absorptiecoëfficiënt gelijk aan 1 en indien alles wordt gereflecteerd is de absorptiecoëfficiënt gelijk aan 0. De absorptiecoëfficiënt is behalve van het materiaal en de dikte ook afhankelijk is van de frequentie, de hoek van inval van de golf en de wijze van bevestiging van het materiaal. Het gevolg is dat er een aantal verschillende geluidabsorptiecoëfficiënten in omloop is. Fabrikanten en leveranciers van absorberende materialen geven vrijwel altijd de waarde volgens Sabine op. Een andere veel gebruikte grootheid is de N.R.C.-waarde (Noise Reduction Coefficient). Dit is het rekenkundig gemiddelde van de absorptiecoëfficiënten bij de frequenties 250, 500, 1000 en 2000 Hz, afgerond op 0,05. Is de absorptiecoëfficiënt een maat voor de geabsorbeerde energie, de transmissiecoëfficiënt is een maat voor de door een akoestisch medium doorgelaten energie. De transmissiecoëfficiënt is daarmee een maat voor de isolerende werking van een materiaal. Ten aanzien van akoestische materialen is het van belang om goed onderscheid te maken tussen de absorberende en de isolerende eigenschappen ervan. Een bron van verwarring hierbij is dat materialen waarmee een hoge thermische isolatie kan worden bereikt, zoals bijvoorbeeld steenwol, akoestisch slecht isoleren. Akoestisch gezien is steenwol een absorptiemateriaal. De absorberende eigenschappen van een materiaal hebben betrekking op de mate waarin dat materiaal geluid reflecteert terwijl isolerende eigenschappen betrekking hebben op de mate waarin het materiaal geluid al dan niet verzwakt doorlaat. Absorptiematerialen zijn in het algemeen licht van gewicht en bezitten meestal een poreuze open structuur terwijl isolatiematerialen niet poreus zijn en bij voorkeur een grote massa per oppervlak hebben. Isolatiematerialen hebben een kleine transmissiecoëfficiënt en derhalve een grote isolatieindex. Deze materialen zijn van belang indien moet worden voorkomen dat geluid vanuit een ruimte naar buiten treedt. Isolatiematerialen zijn niet poreus, hebben vaak een grote massa per oppervlak en maken meestal deel uit van de constructie. Voorbeeld: De vlakken van een ruimte van 4 m 5 m 3 m (l b h) zijn volledig bedekt met mineraalwol van 30 mm dikte. Bereken het equivalent absorptieoppervlak A in m 2 Sabine voor een frequentie van 1000 Hz. Oplossing: We gebruiken de formule A S waarbij de absorptiecoëfficiënt is en S het werkelijke oppervlak in m 2. vinden we in bijlage 3: = 0,78. De oppervlakte van alle vlakken samen is 94 m 2 zodat wij berekenen: A = 0,78 94 = 73,32 m 2 Sabine. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

99 10 De wanden van een ruimte van 5 m 6 m 3 m bestaan uit metselwerk. Het plafond is van houtwolcementplaat terwijl op de vloer hoogpolig tapijt ligt met = 0,9. In de wand bevindt zich een openstaande deur van 2 m 2. Bereken het equivalent absorptieoppervlak A in m 2 Sabine voor: a) een frequentie van 1000 Hz. b) een frequentie van 2000 Hz. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

100 Nagalmtijd Galm ontstaat door vele malen herhaalde reflecties van geluid tegen de wanden en objecten, dit in tegenstelling tot een echo. Deze kan ontstaan door slechts één reflectie, bijvoorbeeld aan het wateroppervlak in een echoput, of in de openlucht tegen een harde muur. Galm ontstaat door talrijke reflecties, en door een optelling van vele echo's. Door de verschillende afstanden tussen de bron en de weerkaatsingspunten ontstaat - in tegenstelling tot een echo - een complex reflectiepatroon. De mate van galm in een ruimte wordt opgegeven als nagalmtijd. De nagalmtijd is gedefinieerd als de tijd die nodig is om het geluiddrukniveau in de ruimte met 60 db te laten afnemen en hangt af van de totale absorptie en het volume van de ruimte. De nagalmtijd in een grote zaal (met een groot volume) zal groter zal zijn dan in een kleine kamer. Nagalm is om de volgende redenen belangrijk: Voor de verstaanbaarheid van spraak. In een goede zaal die voor lezingen of voor lessen gebruikt wordt, is de nagalmtijd vrij kort. Als de nagalmtijd erg lang is (zoals in een kerk) dan wordt de verstaanbaarheid veel slechter. Daarom komt een preek in een grote kerk alleen goed over als er langzaam gesproken wordt. Voor de kwaliteit van een concertzaal. Daar moet de nagalmtijd wat langer zijn. Dan wordt een luisteraar omhuld door het geluid, dat hem of haar van alle kanten bereikt. De nagalmtijd in een grote kerk is nog langer dan in een concertzaal. Statige orgelmuziek en zang komt dan juist heel mooi over. Voor verlaging van het geluidsniveau. In een grote hal (bijvoorbeeld een zwembad, sporthal of een stationshal) heeft een een lange nagalmtijd tot gevolg dat het geluidsniveau erg hoog wordt. Het geschreeuw van enthousiaste kinderen in een zwembad galmt bijvoorbeeld erg lang na. Daarom is het in een zwembad vaak zo'n lawaai. De nagalmtijd kan verkort worden door de absorptie van de wanden van de zaal te verhogen. Enkele gewenste praktijkwaarden voor nagalmtijden ( Hz): sportzalen 1,5-2,0 sec vergaderzaal 0,5 sec zwembaden algemeen 1,0-1,8 sec kantine 0,6-0,8 sec concertzalen 1,5-2,2 sec computerruimten 0,4-0,6 sec schouwburg, theater 0,9-3,5 sec theorielokalen 0,6-0,8 sec kerken 1,0-3,5 sec praktijklokalen 0,5-0,8 sec kantoortuin 0,3-0,5 sec gangen 1,0-1,5 sec In de muziek en in de geluidstechniek wordt veel gebruik gemaakt van kunstmatige galm, in k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

101 het Engels reverb genoemd (to reverberate: weerkaatsen). Hierbij wordt het galmpatroon van een ruimte veelal elektronisch gesimuleerd. Dit biedt als voordeel dat men niet meer beperkt is tot de galm van een bepaalde ruimte. Met de komst van microprocessors werden ook digitale galmsimulaties mogelijk. Door middel van wiskundige modellen worden ruimtes gesimuleerd. Het belangrijke voordeel is dat tal van eigenschappen hiervan kunnen worden veranderd. In de regel zorgt een complexer model voor een hogere klankkwaliteit. Digitale galm kan ingebouwd zijn in hardware, maar ook in software. Voorbeeld: De vlakken van een ruimte van 4 m x 5 m x 3 m zijn volledig bedekt met mineraalwol van 30 mm dikte. Bereken de nagalmtijd T in seconden voor een frequentie van 1000 Hz. Oplossing: We gebruiken de formule en A = α S waarbij V het volume van de ruimte is en A het equivalente absorptieoppervlak. Met V = = 60 m³ en A = 73,32 m 2 Sabine volgt: T = 0,167 x 60 / 73,32 = 0,137 s. 11 De wanden van een ruimte van 5 m x 6m x 3 m bestaan uit metselwerk. Het plafond is van dichte gipsplaat terwijl op de vloer hoogpolig tapijt ligt met = 0,9. In de wand bevindt zich een dichte deur van 2 m 2 met = 0,1 en twee openstaande ramen van elk 3 m 2. Bereken voor een frequentie van 500 Hz: a) het equivalent absorptieoppervlak A in m 2 Sabine. b) de nagalmtijd T in seconden. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

102 Bouw- en zaalakoestiek Bouw- en zaalakoestiek heeft betrekking op het gedrag van geluid in gebouwen zoals woningen, kantoren, theaters en dergelijke. Het gaat daarbij altijd om de akoestische kwaliteit van het gebouw. Een goede akoestische kwaliteit kenmerkt zich door een laag stoorgeluidniveau en een ruimte-akoestiek die past bij de bestemming van de ruimte. Een laag stoorgeluidniveau kan worden verkregen door een goede geluidwering van de gevels, een goede geluidwering tussen ruimten onderling en een laag installatiegeluidniveau. Het Bouwbesluit (Staatsblad 1991, 680) stelt ook akoestische prestatie-eisen waaraan gebouwen moeten voldoen. Voor de bepaling van bouwkundig-akoestische grootheden is er een Nederlandse norm beschikbaar, de NEN De zaal- en ruimte-akoestiek houdt zich bezig met het akoestisch klimaat in een ruimte. Hierbij gaat het om zaken als de nagalm en de klankkleur van een zaal. Een klaslokaal vraagt om een andere akoestiek dan een concertzaal. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

103 Geluidshinder De Lden (day-evening-night) is een maat voor de geluidsbelasting door omgevingslawaai. Met ingang van 2004 is het gebruik van de Lden in alle Europese landen verplicht. Dit hangt samen met de implementatie van de Europese Richtlijn Omgevingslawaai. Voor de bepaling van Lden wordt het etmaal in drie periodes verdeeld: dagperiode: uur avondperiode: uur nachtperiode: uur Eerst wordt per periode het equivalente geluidsniveau in db(a) over een heel jaar bepaald. Bij de avond en de nachtwaarde wordt vervolgens een toeslag van respectievelijk 5 db(a) en 10 db(a) opgeteld. De reden hiervan is dat een bepaald geluidsniveau in de avond en de nacht door het verminderen van geluiden uit de omgeving als hinderlijker wordt ervaren dan het geluid van overdag. Een andere reden is dat het voor eventuele slaapverstoring gedurende de nacht van belang is 's nachts strengere eisen te stellen. Er is geen wetenschappelijke basis voor de exacte grootte van deze factoren, maar ze worden algemeen gehanteerd. De Lden is tenslotte het logaritmisch gemiddelde van de dag-, avond- en nachtwaarde, waarbij we de duur van elke periode ook meewegen. In formulevorm wordt de Lden als volgt berekend: De Lden is daarmee een gewogen energetisch gemiddelde van de drie etmaalperioden waarin een straffactor van 5 db voor de avondperiode en van 10 db voor de nachtperiode is opgenomen. Hiermee wordt de extra hindergevoeligheid voor deze perioden in rekening gebracht. De waarneempunten voor de bepaling van de Lden liggen afhankelijk van de toepassing op 4 m hoogte maar mogen nooit lager worden gekozen dan 1.5 m. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

104 12 Langs een weg meten we de volgende geluidsbelastingen: Dagperiode: 55 db(a), avondperiode: 45 db(a) en nachtperiode: 40 db(a) Bereken de waarde voor Lden 13 Op een bepaald punt bij een vliegveld passeren er overdag 30 toestellen per uur, s avonds 5 en s nachts 2. Elk toestel produceert 68 db gedurende 20 s. a) Bereken de equivalente Ldag, b) Bereken de equivalente Lavond, c) Bereken de equivalente Lnacht, d) Hoe groot is Lden? k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

105 De Lnight (nachtgeluidsbelastingsindicator), het over alle nachtperioden van een jaar gemiddelde geluidniveau, wordt nog apart gebruikt als een indicator voor slaapverstoring. Lawaai tijdens rustperiodes en slaap is een belangrijke oorzaak van hinder. Slaaponderbrekingen zijn meestal meer het gevolg van een met tussenpozen verschijnend of werkend geluid dan van een continu geluid. Meestal kunnen ze geassocieerd worden met geluidgebeurtenissen zoals het voorbijrijden van transportmiddelen. Lawaai kan het inslapen verhinderen en/of ontwaken tot gevolg hebben hetgeen tot loomheid, slaperigheid en nervositeit kan leiden tijdens de dag. Hangjongeren veroorzaken op veel plaatsen ernstige overlast. De Mosquito is een apparaat dat hoogfrequent geluid verspreidt en biedt in veel gevallen een veilige, effectieve, snelle en goedkope oplossing. Sinds begin 2006 zijn er inmiddels meer dan 350 geïnstalleerd op overlastplekken in ongeveer 105 gemeenten. Door plaatsing van een Mosquito ultrasoon geluidssysteem wordt een beperkt gebied onaantrekkelijk voor hangjongeren zonder dat dit hinder voor passanten en omwonenden veroorzaakt. Het geluid van de Mosquito wordt vrijwel alléén door jongeren (tot ~25 jaar) gehoord en na korte tijd als zo irritant ervaren dat ze weg zullen gaan. Onderzoek heeft aangetoond dat bij normaal gebruik van de Mosquito géén gevaar op gehoorschade bestaat. Het bereik van de Mosquito is ongeveer 20 meter. Het gaat om gerichte inzet door overwegend gemeentes, politie, scholen en woningcorporaties tegen vaak stuitende overlast op specifieke locaties en tijden. Onderzoek in Engeland waar de Mosquito veelvuldig wordt toegepast voor winkelingangen heeft aangetoond, dat het gemiddeld slechts zes minuten duurt voordat een groep zich verspreid. Honden hebben een veel beter gehoor dan mensen en kunnen ook hogere tonen waarnemen. Zij reageren echter niet op het geluid van de Mosquito. Hetzelfde geldt voor vogels. Moderne gehoorapparaten zijn niet gevoelig voor frequenties > 8 KHz en registreren het geluid van de Mosquito daarom niet. Ook baby's blijken ongevoelig voor het geluid en reageren er niet op. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

106 Antwoorden geluid 1 a) L = 116,99 db b) L = 63,01 db c) L = 57,78 db d) L = 50,79 db 2 a) I = W/m 2 b) I = W/m 2 c) I = 10-2 W/m 2 d) I = 1 W/m 2 3 a) Ltot = 73,01 db b) Ltot = 80,41 c) Ltot = 90,00 db d) Ltot = 90,42 db 4 Ltot = 66,99 db 5 LB = 63,35 db 6 Ltot = 81,02 db(a), ligt boven de arbo-norm dus gehoorbescherming 7 Ltot = 60,59 db(a) 8 a) 30 foon 28 db b) 60 foon 57 db c) 50 foon 47,5 db 9 a) 3, W/m 2 b) 10-5 W/m 2 10 a) Vlak S (m²) (1000 Hz) A (m² Sabine) Plafond 30 0,46 13,8 Vloer 30 0,9 27 Deur Wanden 64 0,11 7,04 Totale absorptie-oppervlak = 13, ,04 = m 2 Sabine. b) Vlak S (m²) (2000 Hz) A (m² Sabine) Plafond 30 0,62 18,6 Vloer 30 0,9 27 Deur Wanden 64 0,13 8,32 Totale absorptie-oppervlak = 18, ,32 = m 2 Sabine. k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

107 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

108 k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S

109 Bijlage 1 Geluidssterkte L in db Optellen van geluidsniveaus : waarbij I de geluidsintensiteit in W/m 2 is : k.bakker Technische Natuurkunde M.T.S