Bachelor Eindwerk: Discrete modellering van plaatwerking

Transcriptie

1 Bachelor Eindwerk: Discrete modellering van plaatwerking Evert van Vliet Mei 2009

2 Bachelor Eindwerk: Discrete modellering van plaatwerking Dit eindwerk is gemaakt in het kader van de opleiding Civiele Techniek aan de TU Delft Eerste begeleider: Ir. J.W. Welleman Tweede begeleider: Ir. W.J.M Peperkamp Evert van Vliet Mei 2009

3 Inhoudsopgave Inhoudsopgave...1 Samenvatting Inleiding Schematisering van het probleem Uitgangspunten voor de aanpak van het probleem Naamgeving en richtingen De verplaatsingen De momenten Nummering knopen Modellering plossingsmethode De verplaatsingen De momenten De dwarskrachten De oplegreacties De invloedsfactoren Invloedsfactoren voor verplaatsing Uitgewerkte differentiaalvergelijkingen Links scharnierend en rechts scharnierend (SS) Links ingeklemd en rechts scharnierend (IS) Links ingeklemd en rechts ingeklemd (II) Links ingeklemd en rechts vrij zwevend (IV) Invloedsfactoren voor momentenverdeling Links scharnierend en rechts scharnierend (SS) Links ingeklemd en rechts scharnierend (IS) Links ingeklemd en rechts ingeklemd (II) Links ingeklemd en rechts vrij (IV) Invloedsfactoren voor dwarskrachtenverdeling Links scharnierend en rechts scharnierend (SS) Links ingeklemd en rechts scharnierend (IS) Links ingeklemd en rechts ingeklemd (II) Links ingeklemd en rechts vrij (IV) Controle van de invloedsfactoren Uitwerking van het probleem, het proces Verificatie van de uitkomsten van Dimod De gegevens voor de verificatie De verplaatsingen De momenten De dwarskrachten De oplegreacties Conclusie uit de verificatie Toepassing d.m.v. vergelijken met andere methoden De gegevens voor de vergelijkingen Vergelijking Dimod met VBC Geval A volgens VBC Geval B volgens VBC Geval C volgens VBC Geval A volgens Dimod Geval B volgens Dimod Geval C volgens Dimod Vergelijking uitkomsten Dimod met uitkomsten VBC Conclusies bij de vergelijking Dimod met VBC / 52

4 6.3 Vergelijking Dimod met EEM Vergelijking van Dimod met EEM voor geval A Vergelijking van Dimod met EEM voor geval B Vergelijking van Dimod met EEM voor geval C Conclusie bij vergelijking van Dimod met EEM Vergelijking EEM met VBC Vergelijking EEM met VBC voor de verschillende gevallen Conclusie bij vergelijking VBC met EEM Verwaarloosde verschijnselen Wringing Dwarscontractie Theorie Conclusie Aanbevelingen Gebruikte Literatuur...48 Bijlage A Toelichting bij Maple Worksheet...49 Bijlage B Script van Dimod in Maple...51 Bijlage C Voorbeeld van een Excel-uitvoer / 52

5 Samenvatting In dit verslag wordt een discrete modellering gemaakt van een vlakke plaatvloer. Daarbij wordt een vereenvoudiging van het probleem gemaakt waarvan de belangrijkste vereenvoudiging bestaat uit het verwaarlozen van wringing en dwarscontractie. Verder wordt een oplossing gezocht voor star, lijnvormig ondersteunde platen, puntvormig ondersteunde platen zullen buiten dus beschouwing gelaten worden. De platen worden gemodelleerd door ze te verdelen in balkjes in beide richtingen. Het is duidelijk dat de verplaatsingen van de onderste en bovenste balkjes op de knopen van de balkjes gelijk moeten zijn. Tevens moet er bij elke knoop evenwicht zijn. Er wordt een modellering gevolgd waarbij de invloed van elke resultante op een verplaatsing wordt gekoppeld door een invloedsfactor. Deze factoren worden bepaald door een speciaal af te leiden vergeet-me-nietje. Met behulp van de vergelijkingen voor evenwicht en verplaatsing kunnen de onbekende verplaatsingen en resultanten bepaald worden. Met de gevonden oplossingen kunnen verder de momenten en dwarskrachten worden bepaald. Er kunnen wederom invloedsfactoren worden bepaald die het verband tussen de kracht en moment of dwarskracht koppelen. p deze manier kan de krachtswerking in de vloer opgelost worden. De uitkomsten van de methode, die in dit verslag Dimod is genoemd, kunnen worden geverifieerd met een eindige elementen methode. Daartoe moet de wringstijfheid in het pakket op vrijwel nul worden gesteld. De uitkomsten bleken exact overeen te komen. De modellering klopt dus. Verder kunnen er, nu de methode klopt, vergelijkingen gemaakt worden met andere methoden. Dit wordt ten eerste gedaan met de VBC-methode. Hiervoor worden de momenten uit Dimod omgerekend naar dezelfde dimensieloze factoren als gebruikt in de VBC. Het blijkt dat Dimod altijd aan de veilige kant zit. De afwijking is maximaal als alle randen scharnierend zijn opgelegd en is minimaal als alle randen zijn ingeklemd. Een volgende vergelijking die gemaakt kan worden is de vergelijking met een EEM plaatmodel. Uit de grafieken komt duidelijk naar voren dat Dimod een veilige methode is. Uit de vergelijking van het EEM model met de VBC-methode blijkt dat ze nagenoeg dezelfde resultaten geven. De verschijnselen die verwaarloosd zijn en wel belangrijk zijn voor platen zijn wringing en dwarscontractie. Doordat dit niet meegenomen is ontstaan er verschillen die verklaarbaar zijn. In het hoofdstuk theorie wordt ingegaan op de achtergrond van de verschillen die bij de vergelijkingen met andere resultaten geconstateerd zijn. In de conclusie wordt een conclusie geschreven naar aanleiding van de gevonden resultaten die hier niet ten overvloede zal worden herhaald. 3 / 52

6 1 Inleiding Uit een onderzoek van de CUR-VB bleek, uitgaande van het jaar 1970, dat er 60 % van de beton verwerkt wordt in platen 1. Het is daarom zeker geen overbodige luxe om goede rekenmethoden te hebben voor de bepaling van krachtswerking in platen. Er zijn twee soorten platen te onderscheiden namelijk de plaatligger en de wandligger. In dit rapport zal ingegaan worden op plaatliggers loodrecht die loodrecht op hun vlak worden belast. De normale methode om plaatproblemen op te lossen is de verplaatsingenmethode. Deze methode zal gebruik maken van de krachtenmethode. Het is de bedoeling om een plaatvloer te modelleren met de kennis opgedaan in de bachelor fase van de opleiding tot Civiel Ingenieur. Dat is ook de reden dat er gekozen is voor de krachtenmethode die dicht bij deze kennis staat. Er wordt gepoogd om een handige tool te ontwikkelen waarmee wapeningsberekeningen kunnen worden uitgevoerd. Er moeten verschillende randvoorwaarden voor de vloer worden meegenomen. Uit de modellering volgen verplaatsings- en momentenverloop. Het is mogelijk de doelstelling te splitsen in de volgende gebieden. Constructiemechanica 1. Modellering voor een vloer ontwikkelen met de krachtenmethode 2. De uitkomsten verifiëren 3. De uitkomsten vergelijken met een echt plaatmodel Betonconstructies 1. Vergelijken met VBC tabellen 2. Berekenen van de benodigde wapeningsoppervlakten 3. Berekenen van de ligging van de wapening De genoemde doelen zullen worden behandeld in dit verslag. Er zullen vergelijkingen gemaakt worden waar bepaalde fenomen zullen worden geconstateerd. De achtergrond van deze fenomenen zal worden toegelicht door een stukje theorie. 1 Prof.Dr.Ir. A.S.G. Bruggeling. Theorie en Praktijk van het gewapend beton. Blz / 52

7 2 Schematisering van het probleem 2.1 Uitgangspunten voor de aanpak van het probleem - Er wordt uitgegaan van een gelijkmatig verdeelde belasting. - De te beschouwen randvoorwaarden worden beperkt op (voor x- en y-richting) o Scharnierend-scharnierend o Ingeklemd-scharnierend o Ingeklemd-ingeklemd o Ingeklemd-vrij Er zijn dus combinaties mogelijk omdat dit randvoorwaarden per richting zijn. Hiermee kunnen alle gevallen van tabel 18 uit NEN 6720 worden vergeleken 2. - Er wordt uitgegaan van Lineair Elastische gedrag. - De normaalspanningen hebben een te verwaarlozen grootte. - De hypothese van Bernoulli wordt toegepast. - De wringstijfheid van de balkjes wordt verwaarloosd. De balkjes worden beschouwd als onafhankelijk van elkaar waardoor de belasting via zuivere buiging wordt afgedragen. - De dwarscontractie wordt verwaarloosd. - De stijfheden worden niet aangepast aan scheurvorming. 2.2 Naamgeving en richtingen Als naam is voor de methode de naam Dimod gekozen wat volgt uit Discrete modellering. Dit is gedaan om in het verslag een onderscheid aan te kunnen geven bij vergelijkingen met andere resultaten De verplaatsingen De te hanteren symbolen worden gedefinieerd in de volgende schetsen. Te zien is dat de plaat in de x-richting verdeeld wordt in m velden en in de y-richting in n velden. De randen van de velden zijn weergegeven als stippellijnen. Deze zullen in de modellering opgevat worden als balkjes. Voor het traagheidsmoment worden de breedtes van de velden gebruikt. 2 NNI (1995). NEN blz / 52

8 Balkje in y-richting X-as L y L y /n L x /m L x Y-as In het volgende plaatje wordt hetzelfde probleem in 3D weergeven waarin ook de positieve zakkingsrichting en q-last weergegeven zijn. De q-last wordt omgezet in krachten op de L knooppunten van de stramienlijnen. Uit het plaatje volgt dus: x L q A q y = =. m n w =q*a A q X-as Y-as h Voor de randen geldt dat daar slechts de helft van de breedte aanwezig is zodat geldt rand =0.5*. Voor de hoeken geldt hoek =0.25* De momenten De momenten die gevonden worden zijn gegeven in [knm]. m deze te kunnen vergelijken met de VBC moeten deze momenten gedeeld worden door de breedte van het balkje omdat in de VBC gewerkt wordt met de eenheid [knm]/[m]. De positieve richtingen van de momenten staan weergegeven in de figuur. 6 / 52

9 M x-as X M x L w-as Deel A Deel B Nummering knopen De knopen moeten op een consistente wijze worden genummerd om het goed te kunnen programmeren. De nummering is gekozen volgens de volgende figuur X-as : (x+1)(y+1) : Y-as L y /n Voor elk punt worden gegevens bepaald. Bij al die gegevens staan steeds twee indices namelijk ij= (x+1)(y+1). Als voorbeeld w(x=1,y=1)=w 22. p deze manier kunnen ook de randen meegenomen worden in de te genereren matrix. 7 / 52

10 2.3 Modellering De eerder genoemde balkjes worden hier uitgewerkt. Als voorbeeld wordt dat gedaan voor scharnierend opgelegde randen. w R b R o Te zien is dat er koppelkrachten tussen de balkjes in de x-richting en balkjes in de y-richting aanwezig zijn. Uit deze modellering volgen twee belangrijke vergelijkingen. r r r Evenwicht: = Rb + Ro r r Vormveranderingvoorwaarde: wb = wo Alle krachten en verplaatsingen worden in vectoren gezet zoals al is weergegeven. Ze zullen in het vervolg allemaal als matrices worden weergegeven. 8 / 52

11 2.4 plossingsmethode De verplaatsingen In de vorige paragraaf zijn de belangrijkste vergelijkingen voor dit probleem weergegeven. Het is de bedoeling om de krachten die tussen de balkjes aanwezig zijn op te lossen. Vervolgens kan dan met behulp van invloedsfactoren, die bepaald worden met vergeet-menietjes, de verplaatsing op elk willekeurig punt bepaald worden. De afleiding van de invloedsfactoren voor verplaatsingen vindt plaats in paragraaf 3,1. Er zal een weergave worden gegeven van de te volgen oplossingsmethode zonder verder in te gaan op de grootte van de matrices of vectoren. Daarop zal in hoofdstuk 4 teruggekomen worden. De twee belangrijke vergelijkingen zijn. w = C R [ o ] [ o ] [ o ] verplaatsing van onderste balkjes vgl (1) [ w ] = [ C ] [ R ] verplaatsing van bovenste balkjes vgl (2) b b b De voorwaarde vgl (1) en vgl (2) gelijkstellen geeft de volgende vergelijking: C R = C R vgl (3) [ ] [ ] [ ] [ ] b b o o De vergelijking van het evenwicht = Rb + Ro kan omgeschreven worden naar: [ R ] [ ] [ R ] vgl (4) o =. b Invullen van vgl (4) in vgl (3) geeft de volgende formule: C R = C R = C C R vgl (5) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] b b o b o o b Vgl (5) kan vervolgens omgeschreven worden zodat er een verband tussen R b en ontstaat waarmee in principe alles bekend is omdat de verdeling van over het onderste en bovenste balkje wat van belang is. [ R ] = [ C + C ] 1 [ C ] [ ] b b o o vgl (6) Nu R b bekend is, is daarmee ook w b bekend die, ten gevolge van de voorwaarde, gelijk is aan w o. Er wordt een verband gevonden wat per definitie een flexibiliteitsmatrix is omdat het w uitgedrukt in is. De vergelijking voor w is daarmee opgelost en ziet er als volgt uit. [ w] = [ C ] [ C + C ] 1 [ C ] [ ] = [ K ] -1 [ ] b b o o flexibiliteitsmatrix vgl (7) p het eerste gezicht lijkt dit een onlogische aanpak omdat er ook volgens een andere, meer voor de hand liggende methode een oplossing bepaald kan worden. Daarbij worden R o en R b bepaald en ingevuld in = Rb + Ro. Daarvoor moeten vgl (1) en vgl (2) geïnverteerd worden. Vervolgens is het mogelijk om het verband tussen w en te bepalen door nogmaals te inverteren. De oplossing ziet er dan als volgt uit [ w] = C + C [ ] b o Het is duidelijk dat deze vergelijking enorm veel rekencapaciteit en snelheid vraagt terwijl met behulp van de andere methode die er in eerste instantie omslachtiger uitziet, de oplossing sneller bereikt wordt. 9 / 52

12 2.4.2 De momenten Voor de bepaling van de momenten kan niet exact dezelfde methode gevolgd worden zoals die voor de verplaatsingen gepresenteerd is. De momenten in beide richtingen zijn namelijk niet gelijk. Daarom moeten altijd eerst de verplaatsingen opgelost worden zodat de resultanten bekend zijn en daarmee de momenten bepaald kunnen worden. De momenten kunnen bepaald worden door de vector met alle resultanten te vermenigvuldigen met een matrix gevuld met invloedsfactoren. Deze resultanten zijn eerder bepaald bij het oplossen van de verplaatsingen. De bepaling van de invloedsfactoren geschied wederom met behulp van vergeet-me-nietjes die in paragraaf 3,2 bepaald worden. De vector met resultanten kan als volgt bepaald worden: R = R [ o ] [ ] [ b ] vgl (4) [ R ] = [ C + C ] 1 [ C ] [ ] b b o o vgl (6) Er worden twee nieuwe matrices M xr (x-richting) en M yr (y-richting) ontwikkeld met invloedsfactoren zodat daarmee de vector met momenten kan worden bepaald. Dat gebeurd volgens de volgende formules. mx = M R [ ] [ xr ] [ o ] vgl(8) [ my] = M [ R ] vgl(9) yr b Deze vectoren moeten herschaalt worden naar een matrix en kunnen vervolgens geplot worden zodat te zien is wat het momentenverloop in beide richtingen is. Deze momenten zijn dan gegeven in knm en moeten voor vergelijking met andere methoden nog gedeeld worden door de breedte van de bijbehorende balkjes De dwarskrachten De dwarskrachten op dezelfde wijze als de momenten bepaald. Er kan wederom een matrix worden gemaakt met invloedsfactoren die gegeven zijn in paragraaf 3,3. De resultanten R o en R b volgen uit vergelijking 4 en 6. In formulevorm kan de bepaling van de dwarskrachten als volgt worden weergegeven. vx = V R [ ] [ xr ] [ o ] vgl(10) [ vy] = V [ R ] vgl(11) yr b De oplegreacties De oplegreacties kunnen gevonden worden met het dwarskrachtenverloop. De dwarskracht nabij de oplegging volgt uit de berekening. Daarbij moet nog het deel van de q-last (ontbonden in krachten ), dat direct naar de oplegging afgedragen wordt, opgeteld worden. Dat kan in een figuur en in een formule weergegeven worden. 0.5* 0.5* x-as w-as 1 Hoplegreactie = V + vgl(12) 2 De horizontale reacties zijn nul ten gevolge van de modellering zonder normaalkrachten. 10 / 52

13 3 De invloedsfactoren Voor het verband tussen de kracht en verplaatsing zijn invloedsfactoren nodig. Een manier om deze invloedsfactoren te bepalen is de methode met vergeet-me-nietjes. Er worden met behulp van differentiaalvergelijkingen met de bijbehorende randvoorwaarden oplossingen gezocht voor de mogelijke gevallen. Een kanttekening hierbij is dat er alleen vergeet-menietjes bepaald kunnen worden voor statisch bepaalde liggers, daarmee wordt een grens van deze methode bereikt. 3.1 Invloedsfactoren voor verplaatsing De ligger, met lengte L, wordt verdeeld in deel A links van de kracht en deel B rechts van de kracht. Daaruit volgen twee differentiaalvergelijkingen met de daarbij behorende acht randvoorwaarden. Deze zullen per schema opgelost worden waarna een set vergelijkingen gevonden wordt per geval. Bij de toelichting op het proces wordt de invulling van de Matrix weergegeven. In dat geval wordt de functie voor gebied A weergegeven met de letter A en de functie voor gebied B wordt weergegeven met de letter B Uitgewerkte differentiaalvergelijkingen wa = A1 x + A2 x + A3 x + A4 EI wb = B1 x + B2 x + B3 x + B4 EI / 52

14 3.1.2 Links scharnierend en rechts scharnierend (SS) Schema w x-as x w x L Randvoorwaarden: p x=0 w = 0 a M = 0 a w-as Deel A Deel B p x=x (Ter plaatse van de kracht ) w = w a ϕ = ϕ a M a a b b = M b b V = V + p x=l w = 0 b M = 0 b Benodigd is een uitdrukking voor de verplaatsing op een zekere afstand van de kracht. De afstand van deze verplaatsing wordt gesteld op x w vanaf de linker-oplegging. Er zijn twee gevallen te onderscheiden: 1) x w < x (De verplaatsing bevindt zich in gebied A) 2) x w > x (De verplaatsing bevindt zich in gebied B) Uitdrukking voor de verplaatsing op een afstand van (SS): w ss L ( L x ) xw (2L + x 3 x L) xw x = EI L L invloedsfactor voor 0 <x < x w w ss L x xw (2 L + x ) xw x x xw x = + 3 voor x <x w < L 6 EI L L L L 12 / 52

15 3.1.3 Links ingeklemd en rechts scharnierend (IS) Schema w x-as x w x L Randvoorwaarden: p x=0 w = 0 a ϕ = 0 a w-as Deel A Deel B p x=x (Ter plaatse van de kracht ) w = w a ϕ = ϕ a M a a b b = M b b V = V + p x=l w = 0 b M = 0 b Er kunnen nu weer uitdrukkingen bepaald worden voor de w in gebied A en B. Deze tussenstap zal hier niet meer getoond worden, de twee functies voor w zullen gelijk weergegeven worden. 1) x w < x (De verplaatsing bevindt zich in gebied A) 2) x w > x (De verplaatsing bevindt zich in gebied B) Uitdrukking voor de verplaatsing op een afstand van (IS): w is L ( 3 x L + x + 2 L ) xw (2L 3 x L + x ) xw x = + 3 voor 0 <x 6 5 w < x 12 EI L L w is L (3 L x ) xw x (3 L x ) xw x x xw x = voor x <x w < L 12 EI L L L L 13 / 52

16 3.1.4 Links ingeklemd en rechts ingeklemd (II) Schema w x-as x w x L Randvoorwaarden: p x=0 w = 0 a ϕ = 0 a w-as Deel A Deel B p x=x (Ter plaatse van de kracht ) w = w a ϕ = ϕ a M a a b b = M b b V = V + p x=l w = 0 b ϕ = 0 b Er kunnen nu weer uitdrukkingen bepaald worden voor de w in gebied A en B. 3) x w < x (De verplaatsing bevindt zich in gebied A) 4) x w > x (De verplaatsing bevindt zich in gebied B) Uitdrukking voor de verplaatsing op een afstand van (II): w ii L ( 3 x L + 2 x + L ) xw ( L 2 x L + x ) xw x = + 3 voor 0 <x 6 5 w < x 6 EI L L w ii L (3 L 2 x ) xw x (2 L x ) xw x x xw x = voor x <x w < L 6 EI L L L L 14 / 52

17 3.1.5 Links ingeklemd en rechts vrij zwevend (IV) Schema w x-as x w x L Randvoorwaarden: p x=0 w = 0 a ϕ = 0 a w-as Deel A Deel B p x=x (Ter plaatse van de kracht ) w = w a ϕ = ϕ a M a a b b = M b b V = V + p x=l M = 0 b V = 0 b Er kunnen nu weer uitdrukkingen bepaald worden voor de w in gebied A en B. 5) x w < x (De verplaatsing bevindt zich in gebied A) 6) x w > x (De verplaatsing bevindt zich in gebied B) Uitdrukking voor de verplaatsing op een afstand van (IV): w w iv iv L xw xw x = + 3 voor 0 <x 3 3 w < x 6 EI L L L x xw x = 3 voor x 3 3 <x w < L 6 EI L L Er zijn hiermee invloedsfactoren gevonden voor verplaatsing op een bepaalde afstand ten gevolge van een kracht op een zekere afstand. Hiermee kunnen de matrices C o en C b dus ingevuld worden. 15 / 52

18 3.2 Invloedsfactoren voor momentenverdeling Schema voor SS M x-as X M x L w-as Deel A Deel B De schema s van de andere gevallen worden niet weergegeven omdat alleen de opleggingen anders zijn en omdat ze analoog zijn aan de schema s voor de verplaatsingen Links scharnierend en rechts scharnierend (SS) M ss ( L x ) xm = voor 0 <x M < x L invloedsfactor x x L M M ss = + x voor x <x < L M Links ingeklemd en rechts scharnierend (IS) M is (3 xm x L xm x 2 xm L + 2 x L 3 x L + x L = 3 2 L voor 0 <x < x M M is 2 1 x (3 L x ) ( xm + L) = 3 2 L voor x <x < L M Links ingeklemd en rechts ingeklemd (II) M M ii ii (3 xm x L 2 xm x xm L + x L 2 x L + x L = voor 0 <x 3 M < x L 2 2 x ( 3 xm L+ 2 xm x + 2 xm x + 2 L x L) = voor x 3 <x M < L L Links ingeklemd en rechts vrij (IV) ( ) voor 0 <x M < x M = x x iv M M iv = 0 voor x <x < L M 16 / 52

19 3.3 Invloedsfactoren voor dwarskrachtenverdeling Schema voor SS V x-as x V x L w-as Deel A Deel B De schema s van de andere gevallen worden niet weergegeven omdat alleen de opleggingen anders zijn en omdat ze analoog zijn aan de schema s voor de verplaatsingen Links scharnierend en rechts scharnierend (SS) V ss ( L x ) = voor 0 <x V < x L invloedsfactor V ss x L = voor x <x < L V Links ingeklemd en rechts scharnierend (IS) V is x L + x + 2 L = voor 0 <x 3 V < x 2 L V is 2 x (3 L x ) = 3 2 L voor x <x < L V Links ingeklemd en rechts ingeklemd (II) V V ii ii x L + 2 x + L = voor 0 <x 3 V < x L 2 2 x ( 3 xm L+ 2 xm x + 2 xm x + 2 L x L) = 3 L voor x <x < L M Links ingeklemd en rechts vrij (IV) Viv = voor 0 <x < x V = 0 voor x <x < L iv V V 17 / 52

20 3.4 Controle van de invloedsfactoren De formules die afgeleid zijn met behulp van differentiaalvergelijkingen kunnen gecontroleerd worden met een computerprogramma. Elke formule is voor een aantal waarden gecontroleerd met het programma Matrixframe. De uitkomsten kwamen exact overeen. ok zijn de functies geplot waarbij gelet is op de vorm van de grafiek, deze waren ook naar behoren. Deze twee controles geven samen volkomen zekerheid over de juistheid van de gepresenteerde formules. 18 / 52

21 4 Uitwerking van het probleem, het proces Hierbij wordt een aanpak gepresenteerd die vervolgens gemakkelijk in de computer is te modelleren. Stap voor stap wordt het probleem doorlopen naar de oplossing. Een opmerking daarbij is dat de verplaatsingen en resultanten niet in een matrix worden gezet maar in een vector. In het geval dat deze in een matrix worden geplaatst geeft de matrixoperatie transponeren problemen. In de vector kunnen de verplaatsingen in x- en y-richting dezelfde volgorde worden geplaatst waardoor ze gemakkelijk gelijk gesteld kunnen worden. De invloedsfactoren worden, zoals in het stappenplan te zien is, wel in een matrix geplaatst. m de randen van het veld mee te kunnen nemen wordt een truc toegepast om een singuliere matrix te voorkomen. Als op de diagonaal van Matrix C nullen voorkomen is het probleem onoplosbaar. m die reden worden op de plaatsen in C waar een nul staat een één toegevoegd. m dit te compenseren moet in de vector met krachten (zie stap 4) op dezelfde plaats een nul gezet worden. Het proces naar de oplossing toe: 1) Gegevens q, L x, L y, E, h, m en n invoeren 2) Dx = L x / m en dy= L y / n bepalen. Met deze gegevens en met h kunnen de traagheidsmomenten in de x- en y-richting bepaald worden. 3) De randvoorwaarden aangeven. Keuze uit ss, is, iv en ii in x- en y-richting. (Zie voor de betekenis van de afkortingen X.X) 4) Vector van alle krachten produceren, deze volgen uit =q*dx*dy = [R 11, R 21,..]. Deze vector is (m+1)*(n+1) getallen lang wat gelijk is aan het aantal knooppunten. Voor de randen en hoeken moeten respectievelijk 0.5* en 0.25* ingevuld. In deze vector moeten ook randvoorwaarden verwerkt worden. Er moeten namelijk nullen geplaatst worden op de randen die niet verplaatsen. 5) Er wordt een functie gedefinieerd die zelf bepaald welke van de twee formules, in gebied A of gebied B, er toegepast moeten worden. Hierdoor ontstaat er één intelligente functie (Als x < x w vgmn (B), als x x w vgmn (A)) 6) Matrix voor één balkje in x-richting bepalen: (vgmn(a) -> A en vgmn(b)->b) w11 o A A.. A R11 o w 21o B A.. A R 21o = : : : : : : w( m+ 1)1 o B B.. A R( m+ 1)1o 7) Voor bijna balkjes is deze matrix hetzelfde. Alle verplaatsingen worden in de volgende vorm geplaatst waarbij de matrix van 6) steeds achter elkaar op de diagonaal wordt geplaatst. Dit is hier als voorbeeld gedaan voor een veld met n=m=2. w11 o A A A R11 o R11 o w 21o B A A R 21o R 21o w 31o B B A R 31o R 31o w12 o A A A R12 o R12 o w 22o = B A A R 22o = [ Co ] R 22o w32 o B B A R32 o R32 o w 13o A A A R 13o R 13o w23o B A A R23o R23o w 33o B B A R 33o R 33o 19 / 52

22 Deze matrix is altijd vierkant. De afmeting hangt af van het aantal balkjes in de Y- richting, de matrix heeft een grootte van {(m+1)(n+1)}*{(m+1)(n+1)}. Er werd al genoemd dat niet alle balkjes hetzelfde zijn. De randbalken hebben namelijk de helft van de stijfheid. In de matrix worden daarom de invloedsfactoren die betrekking hebben op verplaatsingen op de randen vermenigvuldigd met 2. Dat is zo omdat de EI twee keer zo klein is. 8) Matrix voor één balkje in y-richting bepalen: w11 b A A.. A R11 b w 21b B A.. A R 21b = : : : : : : w( m+ 1)1 b B B.. A R( m+ 1)1b 9) Voor alle balkjes is deze matrix hetzelfde. mdat de verplaatsingsvector w b dezelfde volgorde moet hebben als w o moet deze matrix wat verbouwd worden. Te zien zijn dat er diagonalen ontstaan. De nullen op de rij tussen de vgmn s ontstaan omdat er een andere volgorde in de verplaatsingsvector is aangehouden. Dit wordt gedaan voor een veld met n=m=2. w11 b A 0 0 A 0 0 A 0 0 R11 b R11 b w 21b 0 A 0 0 A 0 0 A 0 R 21b R 21b w 31b 0 0 A 0 0 A 0 0 A R 31b R 31b w12 b B 0 0 A 0 0 A 0 0 R12 b R12 b w 22b = 0 B 0 0 A 0 0 A 0 R 22b = [ Cb ] R 22b w32 b 0 0 B 0 0 A 0 0 A R32b R32b w 13b B 0 0 B 0 0 A 0 0 R 13b R 13b w23b 0 B 0 0 B 0 0 A 0 R23b R23b w 33b 0 0 B 0 0 B 0 0 A R 33b R 33b Deze matrix is altijd vierkant. De afmeting hangt af van het aantal balkjes in de X- richting, de matrix heeft een grootte van {(m+1)(n+1)}*{(m+1)(n+1)}. ok hier moeten de rijen die betrekking hebben op de verplaatsingen op de randen vermenigvuldigd worden met 2 om dezelfde reden genoemd onder stap 7. 10) De in paragraaf 2,4 afgeleide oplossingsmethode kan nu toegepast worden. De matrices C o en C b zijn bekend. De flexibiliteitsmatrix kan nu bepaald worden. Daartoe wordt de formule [ w] = [ C ] [ C + C ] 1 [ C ] [ ] b b o o flexibiliteitsmatrix ingevuld. Het verband voor het gehele systeem is dan gevonden. 11) mdat w nu nog een lange vector is moet deze nog herschreven worden naar een matrix van de afmeting (n+1) x (m+1). Hiermee kan een verplaatsingsveld geplot worden. In het programma moet de matrix getransponeerd worden omdat de functie Reshape de vector op de verkeerde manier naar een matrix converteerd. 12) De vectoren R o en R b zijn ook bepaald en kunnen worden weergegeven. 13) Voor de momenten kunnen op dezelfde wijze als gedaan in stap 6, 7, 8 en 9 matrices M xr en M yr worden bepaald. Alleen nu hoeft er geen rekening meer gehouden te worden met de stijfheid van de randbalkjes omdat voor het moment in statisch bepaalde liggers de stijfheid niet van belang is. 20 / 52

23 14) Met deze matrices kunnen eenvoudig de momenten in x- en y-richting worden bepaald volgens: [ mx] = [ M xr ] [ Ro ] en [ my] = M yr [ Rb ] 15) De bekende momenten moeten gedeeld worden door respectievelijk dy en dx om ze te transformeren naar de eenheid [knm/m] 2 16) De momenten worden gedeeld door q Lx. Daardoor ontstaan dezelfde dimensieloze parameters als die in de VBC staan. 17) Uit de momentcoëfficiënt-matrices kunnen de maxima en minima gevonden worden welke van belang zijn voor de wapeningsberekening. 18) De dwarskrachten kunnen op soortgelijke wijze als de momenten worden bepaald met: [ vx] = [ Vxr ] [ Ro ] en [ vy] = V yr [ Rb ]. 19) Met deze dwarskrachten kunnen de oplegreacties berekend worden. Aan de randen moet nog wel het deel van de q-last wat direct boven de oplegging staat daarbij opgeteld worden. Gesommeerd moeten deze oplegreacties gelijk zijn aan q*l x *L y. 20) Hiermee zijn dus alle gegevens bekend waarmee een betontoepassing gemaakt kan worden. De resultaten die uit de berekening volgen zijn. - verplaatsingenveld - momentenverloop - maximale en minimale momentcoëfficiënten - dwarskrachtenverloop - oplegreacties In de toelichting bij de Maple Worksheet in Bijlage A staat meer geschreven over de wapeningsberekeningen die uitgevoerd worden. 21 / 52

24 5 Verificatie van de uitkomsten van Dimod Als controle wordt er een som uitgewerkt die gecontroleerd is met het programma endem waarbij de wringstijfheid heel klein genomen is. Het wordt ook uitgewerkt met de gepresenteerde methode Dimod waarna een vergelijking gemaakt kan worden. 5.1 De gegevens voor de verificatie 400 kn q = 2 3 m h = 0.25 m EI EI L L x y x richting y richting n = 8 = 8 m = 6 m m = 8 kn = m 2 kn = m Lx=8 X-as Ly=6 Y-as De uitkomsten van de gepresenteerde methode voor verschillende willekeurige rijen vergeleken worden met de uitkomsten van het programma endem. 22 / 52

25 5.2 De verplaatsingen nderstaand zijn tabellen weergegeven met vergelijkingen van de waarden ven Dimod en endem. endem is een EEM programma van Dhr. J.W. Welleman. Voor deze verificatie is de invloed van de wringstijfheid zeer klein genomen zodat dat effect verwaarloosbaar is en de uitkomsten overeen zouden moeten komen. Dimod endem 0, , , , , , , , , , , , , , , , , ,00000 Tabel 5.1 Vergelijking van de verplaatsingen op raai y=2.25 Dimod endem 0, , , , , , , , , , , , , , , , , ,00000 Tabel 5.2 Vergelijking van de verplaatsingen op raai x=5 Deze komen exact overeen op enkele getallen na die op de vijfde decimaal een puntje afwijken. Dit is echter een verwaarloosbaar klein verschil. De verplaatsingen kloppen dus. 23 / 52

26 5.3 De momenten De momenten worden vergeleken op dezelfde raaien. Er worden absolute momenten vergeleken in de eenheid van [knm]. Hiervoor wordt voor tabel 5.3 een raai uit de matrix met momenten in de x-richting genomen en voor tabel 5.4 een raai uit de matrix met momenten in de y-richting. Dimod endem 0,0000 0, , , , , , , , , , , , , , ,9236 0,0000 0,0000 Tabel 5.3 Vergelijking van de momenten op raai x=3 Dimod endem 0,0000 0, , , , , , , , , , , , , , ,6711 0,0000 0,0000 Tabel 5.4 Vergelijking van de momenten op raai x= 5 Te zien is dat er verschillen optreden de orde van Dit is verwaarloosbaar klein waaruit volgt dat de gevonden momentenverdeling correct is. 24 / 52

27 5.4 De dwarskrachten De dwarskrachten worden wederom op willekeurige raaien vergeleken. Hiervoor wordt voor tabel 5.5 een raai uit de matrix met dwarskrachten in de x-richting genomen en voor tabel 5.6 een raai uit de matrix met dwarskrachten in de y-richting. Dimod endem 216, , , , , , , , , , , , , , , , , ,9236 Tabel 5.5 Vergelijking van de dwarskrachten op raai y=3 Dimod endem 234, , , , , , , , , , , , , , , , , ,2282 Tabel 5.6 Vergelijking van de dwarskrachten op raai x=5 Hieruit blijkt dat de dwarskrachten ook voldoen. 5.5 De oplegreacties De oplegreacties volgen direct uit de dwarskrachten. De sommatie van de dwarskrachten geeft ook q*l x *L y. Deze kloppen derhalve ook. 5.6 Conclusie uit de verificatie Te zien is dat de methode heel nauwkeurig is. Er treden zeer kleine verschillen op met het programma endem wat waarschijnlijk te wijten is aan het feit dat de wringstijfheid niet geheel nul gesteld kan worden. In het vervolg van het verslag zal vooral ingegaan worden op de verplaatsingen en momenten. De dwarskrachten zijn voornamelijk bepaald met het oog op de oplegreacties. 25 / 52

28 6 Toepassing d.m.v. vergelijken met andere methoden m de resultaten van de methode Dimod te kunnen vergelijken worden enkele gevallen bekeken. De gevallen waar alle randen scharnierend en ingeklemd zijn worden in eerste instantie als uitersten aangenomen. Daartussen worden andere combinaties bekeken. De gevallen zullen vergeleken worden met de VBC en met een plaatberekening met een eindige elementenpakket. Dit pakket zal in de vergelijking EEM genoemd worden. 6.1 De gegevens voor de vergelijkingen De gegevens voor de vergelijkingen staan hieronder weergegeven. kn q = 5 m 2 h = 0.25 m E = L L x y kn m 2 = 10 m = 14 m m = 18 n = Y-as Lx=10 X-as Ly=14 De gevallen die beschouwd zullen worden zijn: A: Alle zijden scharnierend B: In X-richting ingeklemd-scharnierend, in Y-richting ingeklemd-scharnierend C: Alle zijden ingeklemd 26 / 52

29 6.2 Vergelijking Dimod met VBC De VBC methode geeft een eenvoudige manier om de maximale momenten te bepalen. Voor de bepaling van de coëfficiënten van de VBC-methode is de verhouding tussen de x-lengte en de y-lengte nodig. Deze bedraagt: ly 14 = = 1.4. lx 10 Verder kunnen de waarden dan in opgezocht worden en de momenten worden berekend. Het programma Dimod berekend aan de hand van de gegevens de traagheidsmomenten en krachten op de knopen. ok worden de invloedsfactoren bepaald voor de verplaatsingen, momenten en dwarskrachten. Uit deze gegevens kunnen dezelfde dimensieloze coëfficiënten bepaald worden als gebruikt in de VBC zodat deze vergeleken kunnen worden. Voor de vergelijking met de VBC-coëfficiënten moeten de momenten omgerekend worden. In de VBC wordt gerekend met een moment per lengte. m het moment te kunnen vergelijken moet de volgende formule worden toegepast. Daarbij zijn mx (moment in x-richting) en my (moment in y-richting) de momenten die in de balkjes optreden in knm. mx mx n [knm] M x = = dy L [m] M y my my m = = dx L y x [knm] [m] m de momentcoëfficiënten te bepalen moet er gedeeld worden door de factor van de VBC die de coëfficiënt dimensieloos maakt. De volgende formules worden toegepast. M x Cx = [-] q l C y M y = q l x 2 x [-] Eerst zullen alle de genoemde gevallen volgens beide methoden berekend worden. Tot slot zullen de resultaten toegelicht worden. De VBC-methode gebruikt ook de wringingscapaciteit van de plaat zodat er verschil te verwachten is met de uitkomsten zonder wringing die uit Dimod komen. De verwachting is dat Dimod aan de veilige kant zit. 27 / 52

30 6.2.1 Geval A volgens VBC Dit geval is gelijk aan het VBC-geval 1. iguur 6-1 NEN 6720 tabel 18 geval I m = q l X = = vx vy x m = q l X = = x Geval B volgens VBC Dit geval is gelijk aan het VBC-geval 3. [knm] [m] [knm] [m] iguur 6-2 NEN 6720 tabel 18 geval III m = q l X = = vx vy sx x m = q l X = = sy x m = q l X = = [knm] [m] [knm] [m] x m = q l X = = x [knm] [m] [knm] [m] 28 / 52

31 6.2.3 Geval C volgens VBC Dit geval is gelijk aan het VBC-geval 2. iguur 6-3 NEN 6720 tabel 18 geval II vx x m = q l X = = vy sx x m = q l X = = m = q l X = = sy [knm] [m] [knm] [m] x x m = q l X = = [knm] [m] [knm] [m] 29 / 52

32 6.2.4 Geval A volgens Dimod iguur 6-4 Verplaatsing vloer geval A De momentencoëfficiënten zijn: vx 123 vy 57 sx 0 sy 0 Tabel 6.1 Momentcoëfficiënten uit Dimod voor geval A 30 / 52

33 6.2.5 Geval B volgens Dimod iguur 6-5 Verplaatsing vloer geval B De momentencoëfficiënten zijn: vx 69 vy 32 sx -124 sy -84 Tabel 6.2 Momentcoëfficiënten uit Dimod voor geval B 31 / 52

34 6.2.6 Geval C volgens Dimod iguur 6-6 Verplaatsing vloer geval C De momentencoëfficiënten zijn: vx 41 vy 16 sx -82 sy -57 Tabel 6.3 Momentcoëfficiënten uit Dimod voor geval C 32 / 52

35 6.2.7 Vergelijking uitkomsten Dimod met uitkomsten VBC Een vergelijking tussen de momentcoëfficiënten van Dimod en van de VBC Vergelijking geval A Plaats volgens VBC Coëfficiënt van VBC Coëfficiënt van Dimod Toename in procenten Mvx % Msx % 142 % Mvy % Msy % 142 % Tabel 6.4 Vergelijking geval A Vergelijking geval B Plaats volgens VBC Coëfficiënt van VBC Coëfficiënt van Dimod Toename in procenten Mvx % Msx % 140,5 % Mvy % Msy % 134,5 % Tabel 6.5 Vergelijking geval B Vergelijking geval C Plaats volgens VBC Coëfficiënt van VBC Coëfficiënt van Dimod Toename in procenten Mvx % Msx % 121 % Mvy % Msy % % Tabel 6.6 Vergelijking geval C Conclusies bij de vergelijking Dimod met VBC De eerder genoemde verwachting is dat de methode Dimod grotere momentcoëfficiënten geeft omdat wringing en dwarscontractie verwaarloosd worden. De gehele last moet namelijk via zuivere buiging overgedragen worden naar de opleggingen. De resultaten voldoen aan deze verwachting. Niet alle oplegcondities geven echter dezelfde afwijking in resultaten. Dat wekt het vermoeden dat de afwijking afhankelijk is van de oplegcondities. De genoemde aanname dat geval A en C uitersten zijn lijkt te kloppen. De maximale afwijking is 1,84 bij geval A en de minimale (afgezien van de 100 %) is 1,04 bij geval C. Als het gemiddelde per richting genomen wordt is de maximale afwijking 1,42 bij geval A en de minimale is 1,19 bij geval C. p grond van deze resultaten kan dus gesteld worden dat de methode Dimod veilig is. Daarbij is de afwijking maximaal voor geval A en minimaal voor geval C. De verklaring voor dit verschijnsel is te vinden in paragraaf / 52

36 6.3 Vergelijking Dimod met EEM Deze resultaten zijn gemaakt met het EEM-programma endem waarbij de ene keer balkjes zonder wringing en de andere keer een echt plaatmodel gebruikt. De raaien met maximale momenten in de x- en y-richting worden voor de drie gevallen vergeleken. Een vergelijking met een dwarscontractiecoëfficiënt van 0.3 gaf grote afwijkingen waarna ook een vergelijking gemaakt is voor v=0.0. In de conclusie zal hierop teruggekomen worden. De momenten zijn allemaal gegeven in knm. Er staan getallen in de tabellen schuin weergegeven. Deze springen eruit omdat ze rond het snijpunt met de x-as zitten en zodoende af en toe afwijkende verhoudingen geven. Deze waarden zijn niet meegenomen in de gemiddelde verhouding die steeds onderaan staan weergegeven. 34 / 52

37 6.3.1 Vergelijking van Dimod met EEM voor geval A Vergelijkende tabel geval A X-richting Dimod verhouding EEM-plaat v=0,3 verhouding EEM-plaat v=0,0 verhouding 0, , ,00% 0, ,00% 0, ,00% 12, , ,00% 8, ,48% 7, ,13% 24, , ,00% 16, ,79% 14, ,94% 34, , ,00% 22, ,87% 19, ,47% 42, , ,00% 27, ,63% 24, ,57% 49, , ,00% 31, ,00% 27, ,13% 54, , ,00% 33, ,91% 30, ,02% 58, , ,00% 36, ,31% 31, ,16% 60, , ,00% 37, ,17% 32, ,48% 61, , ,00% 37, ,46% 33, ,92% 60, , ,00% 37, ,17% 32, ,48% 58, , ,00% 36, ,31% 31, ,16% 54, , ,00% 33, ,91% 30, ,02% 49, , ,00% 31, ,00% 27, ,13% 42, , ,00% 27, ,63% 24, ,57% 34, , ,00% 22, ,87% 19, ,47% 24, , ,00% 16, ,79% 14, ,94% 12, , ,00% 8, ,48% 7, ,13% 0, , ,00% 0, ,00% 0, ,00% 151,15% 168,41% Y-richting Dimod EEMbalkjes EEMbalkjes verhouding EEM-plaat v=0,3 verhouding EEM-plaat v=0,0 verhouding 0, , ,00% -0, ,00% 0, ,00% 11, , ,00% 9, ,70% 7, ,46% 19, , ,00% 15, ,24% 11, ,50% 24, , ,00% 19, ,33% 13, ,23% 26, , ,00% 22, ,08% 14, ,06% 27, , ,00% 23, ,12% 15, ,80% 28, , ,00% 24, ,22% 15, ,65% 28, , ,00% 24, ,07% 15, ,95% 28, , ,00% 24, ,07% 15, ,95% 28, , ,00% 24, ,22% 15, ,65% 27, , ,00% 23, ,12% 15, ,80% 26, , ,00% 22, ,08% 14, ,06% 24, , ,00% 19, ,33% 13, ,23% 19, , ,00% 15, ,24% 11, ,50% 11, , ,00% 9, ,70% 7, ,46% 0, , ,00% -0, ,00% 0, ,00% 116,47% 165,83% Tabel 6.7 Vergelijkende tabel geval A 35 / 52

38 De verhoudingen bij de maxima in x-richting zijn: Veldmoment % Steunpuntsmoment % De verhoudingen bij de maxima in y-richting zijn: Veldmoment % Steunpuntsmoment % Belastingsafdracht volgens Dimod/ EEM In x-richting 69.5 / 61,6 % In y-richting 30.5 / 38,4 % Vergelijkende grafieken geval A 70, , , , , ,00000 EEM-plaat v=0,3 Dimod EEM-plaat v=0,0 VBC 10, , iguur 6-7 Momenten voor Geval A in x-richting [knm/m] 30, , , , , ,00000 EEM-plaat v=0,3 Dimod EEM-plaat v=0,0 VBC 0, , iguur 6-8 Momenten voor Geval A in y-richting [knm/m] 36 / 52

39 6.3.2 Vergelijking van Dimod met EEM voor geval B Vergelijkende tabel geval B X-richting Dimod verhouding EEM-plaat v=0,3 verhouding EEM-plaat v=0,0 verhouding -61, , ,00% -49, ,70% -49, ,95% -45, , ,00% -33, ,81% -33, ,48% -30, , ,00% -20, ,12% -20, ,78% -16, , ,00% -9, ,63% -9, ,29% -5, , ,01% -0, ,76% -1, ,74% 5, , ,99% 7, ,93% 5, ,22% 13, , ,00% 13, ,14% 11, ,90% 21, , ,00% 17, ,29% 15, ,59% 26, , ,00% 21, ,77% 18, ,01% 30, , ,00% 23, ,60% 20, ,86% 33, , ,00% 25, ,77% 22, ,96% 34, , ,00% 25, ,71% 22, ,64% 34, , ,00% 25, ,62% 22, ,09% 32, , ,00% 23, ,67% 21, ,46% 28, , ,00% 21, ,00% 19, ,88% 24, , ,00% 17, ,67% 16, ,50% 17, , ,00% 13, ,83% 12, ,48% 9, , ,00% 7, ,44% 6, ,84% 0, , ,00% 0, ,00% 0, ,00% 132,52% 143,28% Y-richting Dimod EEMbalkjes EEMbalkjes verhouding EEM-plaat v=0,3 verhouding EEM-plaat v=0,0 verhouding -42, , ,00% -38, ,58% -38, ,65% -24, , ,00% -17, ,57% -17, ,78% -10, , ,00% -3, ,47% -4, ,85% -0, , ,95% 5, ,34% 2, ,85% 5, , ,00% 10, ,09% 6, ,02% 9, , ,00% 13, ,19% 8, ,30% 11, , ,00% 14, ,31% 8, ,27% 13, , ,99% 15, ,31% 9, ,31% 14, , ,99% 16, ,80% 9, ,38% 15, , ,99% 16, ,91% 9, ,99% 15, , ,99% 16, ,78% 9, ,03% 16, , ,00% 15, ,76% 10, ,16% 15, , ,00% 14, ,83% 10, ,22% 13, , ,00% 12, ,18% 8, ,61% 8, , ,00% 7, ,36% 5, ,14% 0, , ,00% 0, ,00% 0, ,00% 96,76% 129,92% Tabel 6.8 Vergelijkende tabel geval B 37 / 52

40 De verhoudingen bij de maxima in x-richting zijn: Veldmoment % Steunpuntsmoment % De verhoudingen bij de maxima in y-richting zijn: Veldmoment % Steunpuntsmoment % Belastingsafdracht In x-richting 67.3 % In y-richting 32.7 % Vergelijkende grafieken geval B 40, , , , , EEM-plaat v=0,3 Dimod EEM-plaat v=0,0 VBC -60, ,00000 iguur 6-9 Momenten voor Geval B in x-richting [knm/m] 20, , , , , , EEM-plaat v=0,3 Dimod EEM-plaat v=0,0 VBC -40, ,00000 iguur 6-10 Momenten voor Geval B in y-richting [knm/m] 38 / 52

41 6.3.3 Vergelijking van Dimod met EEM voor geval C Vergelijkende tabel geval C X-richting Dimod verhouding EEM-plaat v=0,3 verhouding EEM-plaat v=0,0 verhouding -41, , ,00% -35, ,05% -35, ,05% -28, , ,00% -23, ,42% -23, ,09% -16, , ,00% -12, ,83% -12, ,11% -6, , ,00% -3, ,95% -4, ,37% 1, , ,00% 3, ,74% 2, ,57% 8, , ,00% 8, ,71% 7, ,62% 13, , ,00% 12, ,50% 11, ,16% 17, , ,00% 15, ,52% 13, ,90% 19, , ,00% 16, ,03% 15, ,39% 20, , ,00% 17, ,80% 15, ,18% 19, , ,00% 16, ,03% 15, ,39% 17, , ,00% 15, ,52% 13, ,90% 13, , ,00% 12, ,50% 11, ,16% 8, , ,00% 8, ,71% 7, ,62% 1, , ,00% 3, ,73% 2, ,57% -6, , ,00% -3, ,95% -4, ,37% -16, , ,00% -12, ,83% -12, ,11% -28, , ,00% -23, ,42% -23, ,09% -41, , ,00% -35, ,05% -35, ,05% 119,42% 124,45% Y-richting Dimod EEMbalkjes EEMbalkjes verhouding EEM-plaat v=0,3 verhouding EEM-plaat v=0,0 verhouding -28, , ,00% -27, ,87% -27, ,57% -14, , ,00% -10, ,82% -10, ,09% -4, , ,00% -0, ,19% -1, ,09% 2, , ,00% 5, ,35% 3, ,86% 6, , ,00% 8, ,07% 5, ,26% 7, , ,00% 9, ,80% 5, ,73% 8, , ,00% 10, ,36% 6, ,61% 8, , ,00% 10, ,79% 5, ,62% 8, , ,00% 10, ,79% 5, ,62% 8, , ,00% 10, ,36% 6, ,61% 7, , ,00% 9, ,80% 5, ,73% 6, , ,00% 8, ,07% 5, ,26% 2, , ,00% 5, ,35% 3, ,86% -4, , ,00% -0, ,19% -1, ,09% -14, , ,00% -10, ,82% -10, ,09% -28, , ,00% -27, ,87% -27, ,57% 89,78% 124,48% Tabel 6.9 Vergelijkende tabel geval C 39 / 52

42 De verhoudingen bij de maxima in x-richting zijn: Veldmoment % Steunpuntsmoment % De verhoudingen bij de maxima in y-richting zijn: Veldmoment % Steunpuntsmoment % Belastingsafdracht volgens Dimod/ EEM In x-richting 66.1 / 63.9 % In y-richting 33.9 / 36.1 % Vergelijkende grafieken geval C 30, , , , , , , , , EEM-plaat v=0,3 Dimod EEM-plaat v=0,0 VBC iguur 6-11 Momenten voor Geval C in x-richting [knm/m] 15, , , , , , , , EEM-plaat v=0,3 Dimod EEM-plaat v=0,0 VBC -25, , ,00000 iguur 6-12 Momenten voor Geval C in y-richting [knm/m] 40 / 52

43 6.3.4 Conclusie bij vergelijking van Dimod met EEM In eerste instantie worden de resultaten vergeleken met een plaatmodel waarin de dwarscontractie op 0,3 is gesteld. Ten gevolge van dwarscontractie worden de momenten in de lange richting groter dan de resultaten die Dimod geeft zodat Dimod dan niet meer conservatief genoemd kan worden. In de gescheurde toestand, waar op wordt gewapend, is er echter nauwelijks dwarscontractie meer aanwezig zodat in tweede instantie een vergelijking gemaakt is met v=0,3. Dit geeft goede resultaten waaruit geconcludeerd kan worden dat Dimod altijd conservatief is. Het is wel mooi om te zien hoe belangrijk het effect van de dwarscontractie is. Nu is de vergelijking echter onjuist omdat in de gescheurde toestand het effect nadert naar nul. De belastingsafdracht in de x- en y-richting worden beïnvloed door de wringende momenten. Te zien is dat bij aanwezigheid van wringende momenten er meer in de lange richting wordt afgedragen wat ook wel voor te stellen is. ok is goed te zien dat er voor geval A het verschil tussen de verdeling met of zonder wringing groter is dan bij geval C. Dat past helemaal in de theorie dat de invloed van wringing bij geval C kleiner is dan bij geval A. De gevonden verhoudingen op de kenmerkende punten die ook in de VBC gebruikt worden zitten dicht in de buurt van de waarden die in de tabellen 6.4, 6.4 en 6.6 zijn weergegeven. Dat zegt al wat over de verhouding tussen de VBC resultaten en de EEM resultaten. 41 / 52

44 6.4 Vergelijking EEM met VBC De momenten die uit de EEM-plaat volgen kunnen ook teruggerekend worden naar de dimensieloze paramters die ook in de VBC te vinden zijn. p die manier kan de VBC gecontroleerd worden met de uitkomsten van de EEM-plaat-methode Vergelijking EEM met VBC voor de verschillende gevallen Er is een vergelijking gemaakt met twee gevallen. De ene keer is er wel een dwarscontractie aanwezig, de andere keer niet. Te zien is dat de VBC bepaald is zonder dwarscontractie Vergelijking EEM met VBC geval A Plaats volgens VBC Coëfficiënt van VBC Coëfficiënt van EEM v=0.3 Coëfficiënt van EEM v=0.0 Verschil in procenten Mvx / 99 % Mvy / 97 % Msx / 100 % Msy / 100 % Tabel 6.10 Vergelijking geval A Vergelijking EEM met VBC geval B Plaats volgens VBC Coëfficiënt van VBC Coëfficiënt van EEM v=0.3 Coëfficiënt van EEM v=0.0 Verschil in procenten Mvx / 100 % Mvy / 95 % Msx / 101 % Msy / 100 % Tabel 6.11 Vergelijking geval B Vergelijking EEM met VBC geval C Plaats volgens VBC Coëfficiënt van VBC Coëfficiënt van EEM v=0.3 Coëfficiënt van EEM v=0.0 Verschil in procenten Mvx / 97% Mvy / 100 % Msx / 100 % Msy / 100 % Tabel 6.12 Vergelijking geval C Conclusie bij vergelijking VBC met EEM Uit literatuur blijkt dat bij de modellering van de VCB modellen uitgegaan is van een dwarscontractiecoëfficiënt van nul. Te zien is dat dat inderdaad zeer goed overeenkomt met de uitkomsten van het EEM-programma. Er treden nauwelijks verschillen op waaruit geconcludeerd kan worden dat de VBC coëfficiënten nog steeds voldoen ondanks dat ze zonder de huidige geavanceerde technieken zijn ontwikkeld. 42 / 52

45 7 Verwaarloosde verschijnselen De invloedsfactoren van dit model zijn bepaald met vergeet-me-nietjes. Daarbij is alleen rekening gehouden met de buigstijfheid in de verticale richting. In de vergeet-me-nietjes zijn de invloeden van wringing en dwarscontractie niet verwerkt. Deze twee verschijnselen worden hieronder toegelicht. 7.1 Wringing Wringing is belangrijk voor plaatvloeren omdat dit ook momenten opneemt en zodoende de zakking verhindert. ok wordt er belasting via wringing afgedragen. Zonder wringing wordt alles via buiging afgedragen wat grotere buigende momenten geeft. In de figuur zijn de wringende momenten weergegeven als m yx en m xy. Dit zijn bijdragen die ontstaan door de wringstijfheid van het materiaal. Schematisch kan de werking van wringing als volgt worden weergegeven. X-as M yx Vervorming met wringing Vervorming zonder wringing In paragraaf wordt ingegaan op de theorie van wringing in platen wat voornamelijk kwalitatief zal worden beschreven. 43 / 52

46 7.2 Dwarscontractie Een ander verschijnsel dat optreed is dwarscontractie. Het verschijnsel dwarscontractie door moment kan eenvoudig in een figuur worden afgebeeld. M x - X-as + w-as Zijaanzicht met spanningsverloop Y-as Doorsnede met vervorming w-as Door deze dwarscontractie ontstaat er, puur alleen door moment in de andere richting, trek onderin de vloer en druk bovenin de vloer. Door dit verschijnsel wordt de zakking verhinderd. De momentenverdeling in de lange richting wordt belangrijk beïnvloedt door dit verschijnsel zoals te zien is in de tabellen in paragraaf 7.4. In gescheurde toestand heeft dit echter geen invloed meer wat te zien is in de vergelijking van de resultaten uit de EEM-plaat uitvoer met de VBC coëfficiënten in paragraaf Daar is te zien dat de VBC uitgegaan is van v=0, Theorie m wat informatie over de beschreven fenomenen te verkrijgen is literatuur 3 Hieronder is een samenvatting van wat er gezegd wordt weergegeven. bestudeerd. Aan de lange zijden opgelegde platen In de plaatvergelijking komt de invloed van de dwarscontractie naar voren door de dwarscontractiecoëfficiënt ν te gebruiken. Als gedachte-experiment word een lange vierzijdig opgelegde plaat beschouwd (L y >2.5*L x ). In dat geval geldt: 2 2 δ w δ w 0 en 0 2 δ y δ y δ x. De momenten in y-richting volgen dan uit de momenten in x-richting. Het is dus duidelijk dat er momenten in de andere richting ontstaan door het genoemde dwarscontractie-effect als de vervorming wordt verhinderd. Een plaat is dus geen brede balk want er treden andere effecten op die bij een plaat niet optreden, de breedte van het element gaat dus de spanningsverdeling bepalen. Na scheurvorming reduceert echter de invloed van de dwarscontractie en kan voor de bepaling van de hoofdwapening dat effect worden verwaarloosd. Vierzijdig star ondersteunde plaat 3 Prof.Dr.Ir. A.S.G. Bruggeling. Theorie en Praktijk van het gewapend beton. en Prof.Dr.Ir. A.S.G. Bruggeling. Het gedrag van betonconstructies. 44 / 52

47 Kwalitatief kan er al een goed inzicht verkregen in de verdeling van de momenten. Het wringend moment is afhankelijk van de verwringing. Het is dus recht evenredig met de relatieve hoekverdraaing tussen twee opeenvolgende doorsneden. De volgende uitspraken kunnen gedaan worden na een ontwikkeling in ourrier-reeksen. 1. m x en m y zijn maximaal in het midden van de plaat. Bij een vierkante plattegrond zijn ze logischerwijs gelijk. Als L y >> L x bevind het maximaal moment in de y- richting zich niet meer in het midden. Er ontstaat dan een hogere orde polynoom De belastingsafdracht naar de korte zijde wordt dan belangrijker. 2. m x en m y zijn nul bij de ondersteuningen omdat het scharnieren zijn 3. m xy is nul in het midden van de plaat, doch ook in de stroken in het midden van de plaat evenwijdig aan de ondersteuningen 4. De wringende momenten m xy zijn maximaal in de hoekpunten van de plaat. In de hoekpunten worden dus belangrijke krachten overgebracht. Zonder deze krachten zouden de hoekpunten opwippen. (In methode Dimod treed geen opwippen op omdat er geen wringing meegenomen is) iguur 7-1 Verdeling van wringende momenten voor resp. ss en ii randvoorwaarden De genoemde niet ingeklemde plaat kan verdeeld worden in stroken. De stroken op de halve lengte ondergaan alleen buiging omdat ze geen verdraaiing ondergaan, in overeenstemming met punt 3. iguur 7-2 Schematisering in balkjes De doorsneden van de randstroken ondergaan steeds een rotatie. Ze liggen namelijk met de ene kant op de starre oplegging. Aan de andere zijde moeten ze de verplaatsing van het middenliggertje meemaken. De verdraaiing of verdraaiing van de zwaartelijn duidt op wringing. Het gaat om de relatieve verdraaiing tussen de doorsnede waardoor wringing wordt opgewekt. Deze verwringing is maximaal ter plaatse van de oplegging en neemt af tot nul in het midden van de strook. Deze wringende momenten hebben in de hoekpunten dezelfde orde van grootte als de buigend momenten. Voor het geval L y =1.4*L x is het ongeveer 75% van het maximale wringend moment. 45 / 52