Lineaire algebra en analytische meetkunde

Transcriptie

1 Lineaire algera en analytische meetkunde John Val Octoer 5, Inhoud Inleiding coördinaten in R coördinaten in R en hoger Transformaties: ewerkingen op vectoren 6 Lineaire transformaties en matrices 6 Eigenschappen van een lineaire transformatie: eigenwaarde, eigenvector en eigenruimte 7 Praktische etekenis van eigenwaarden en eigenvectoren 9 i

2 Inhoud Inleiding coördinaten in R u + v, w + v 5 6, u + v + w a c a c Laat u, v dan is u + v + d d c + a c a + v + u d + d a c e Laat u, v en w dan is u + v + w d f e a + c + e a c + e + u + v + w f + d + f d + f a + c + d a + c + d + Geen antwoord 5 u, v, u + v 8 7 6, u + v a a a 6 Laat u, dan is u u e c e + c ae + d 7 Laat u, v dan is a u + v a d + d a + d a e + a c e c a + a a u + a v a + a d d c ac a c c 8 Laat u dan a u a a u d ad a d d c c 9 Laat u dan is u u en is u u u + u d d c c + d d a c Laat u en v dan is u a x d + x en v c x + d x, zodat u + v a + c x + + d x Deze vector is dus een cominatie van

3 de eenheidsvectoren Ook geldt voor ieder getal c dat c u c a x + x ac x + c x een cominatie van de eenheidsvectoren is Verder is de cominatie x + x een element van de vectorruimte Als laatste tonen we aan a dat een inverse voor optelling is Vector is de inverse van u want a a + a x x a x + x x + x Herhaal het eerste deel van het antwoord uit de vorige opgave Het euclidische vlak kunnen we ook opspannen met twee andere vectoren u en v waarvoor geldt u a v Laat w a u + v Gegeven: u en v a Bepaal w Gegeven is w a 5 a + 6 Los het stelsel { a 6 6a Bereken exact de waarden voor a en zodat { a 5 6 a + op { 8 9 { a 9 a e c Voer de vorige ewerking uit met de vector w en druk a en uit f { { { e a e a e e+f in e en f e+f 6 f a + e+f 6 a 6 a { e+f e e+f 6 a Dit stelsel is oplosaar voor alle getallen e en f 5 Bepaal de lengte van de vectoren: v, u en w 8 8 antwoord op Een uit werking Bv Lengte zijde AB B A

4 5 Geen antwoord 6 Bewijs de volgende uitspraak: Een lijn k : ex + fy g heeft de zelfde richting als l : ax + y c wanneer e f a Vrijmaken van y in de vergelijkingen geeft: l : y a x + c en l : y e f x + g f Evenwijdige lijnen heen gelijke richtingscoëffincient, dus e f moet gelijk zijn aan a 7 Vectorvoorstelling l AB : p + λ 5 Vectorvoorstelling l AC : q + µ Vectorvoorstelling l BC : r + γ Omzetten naar vergelijking: l AB : x y c Invullen A geeft x 8 Dus l AB : x y 8 l AC : x 5 y 7 l BC : x y 8 Nog geen antwoord 9 Welke van de volgende lijnen zijn evenwijdig? De lijnen: l,m en u zijn evenwijdig evenals de lijnen n,s en t Zelfde steunvector en λ, ofwel de richtingsvectoren liggen in elkaars verlengde Vermenigvuldiging van l met geeft l : x y waardoor deze dus gelijk is aan m : x y Vergelijking: m : x + y + 8 Vectorvoorstelling: m : p + λ 8 Bewijs: Een lijn die in het euclidische vlak ligt en door de oorsprong gaat is een vectorruimte, een lijn die niet door de oorsprong gaat is dat niet Een a vectorvoorstelling van een lijn door de oorsprong is l : p + λ is dus een deel van de ruimte Een lijn niet door de oorsprong heeft die niet en is dus zeker geen vectorruimte Een vector die vanuit de oorsprong naar

5 a een punt op de lijn wijst is van de vorm u λ a a Laat v λ Dan wijst u + v λ + λ ook weer naar een punt op de lijn a Verder is u + u λ + λ Er estaat dus ook een inverse Aan alle voorwaarden van een vectorruimte is dus voldaan Geen antwoord 5 Bepaal de snijpunten van de volgende lijnen: Sustitutie van y x + 8 in l geeft x x x x 7 In vullen in m geeft y x Snijpunt is 7, 7 { { { l : x y 6 l : 6x 9y 8 l : 6x 9y 6 Schrijf als stelsel m : 6x + y 9 m : 6x + y 9 l m : y { { l : x y 6 l : x + 9 l m : y 9 l m : y 9 Snijpunt is, 9 7 Sustitutie geeft 6 + λ + + 6λ 9 λ λ 6 Snijpunt is 6, { + λ + µ 8 Schrijf als stelsel { λ + µ µ Snijpunt is, { { 6 + λ + µ 8 + λ 6 + 9µ 9 Schrijf als stelsel λ + µ λ + µ { { λ + µ λ + µ 7 + µ 5 µ Snijpunt is 6, 8 p 5 en q geen antwoord k m Laat u, v l n λ + µ { + 6λ + 9µ 6λ + µ { 6λ + 9µ + µ r en w s < u, v + w > k m + r + l n + s

6 k m + l n + k r + l s < u, v > + < u, w > < u, a v > k a m + l a n a k m + l n a < u, v > < u, v > k m + l n m k + n l < v, u > < u, u > k + l k + l u α cos α cos α cos 9 6 α cos 7 7 Als < u, v > a c + d 8 De hoek tussen lijnen is de kleinste hoek tussen de lijnen en is gelijk aan de hoek tussen de richtingsvectoren van de lijnen eperkt tot een hoek kleiner dan 9 α cos geen antwoord l : x + y l : x l : p l : p + λ + λ λ s

7 5 λ s Je ent vrij een assenstelsel te kiezen Kies A, de oorsprong van dit assenstelsel Kies B als de eerste richtingsvector en kies e De vergelijkingen van de hoogtelij- als tweede richtingsvector a Definieer nu een willekeurig punt C nen uit respectivelijk A, B en C zijn dan: h C : x + y a h B : a x + y a h A : a x + y x-coördinaat snijpunt is a y-coördinaat snijpunt uit a x + y a en a x + y Uit eide vergelijkingen volgt y a a Dus S h a, a a 7 Neem het zelfde assenstelsel en de zelfde punten als in als in de vorige opgave De voorstellingen van de zwaartelijnen uit respectivelijk A, B en C zijn dan: λ z A : x + a + y z B : p + λ z C : p + µ a+ + a a+ + ḃ a S z Evenzo is µ + a+ a + a+ a ḃ +a S z +a 8 Neem het zelfde assenstelsel en de zelfde punten als in als in de vorige opgave De voorstellingen van de middelloodlijnen op respectivelijk AB, AC en BC zijn dan: m AB : x 6

8 λ a m AC : p a m BC : p a+ + λ a + µ a a S m +a a Evenzo is µ a+ a S m 9 S h a, a a, S +a z Lijn door S h en S z is : a a Invullen S m levert: l Sh S z en S m +a a +a a x + a +a y a a a a + a +a +a a a a a a a a +a a a +a a a a a a a a +a a a a a a +a a a a 6 a a +a a 6 a a a a + a a a a a a a a a a a a Dit klopt dus drie punten liggen op een lijn 5 Geen antwoord 5 dp, l dq, k dp, m Gegeven is de driehoek ABC met A a + a +a a a a + a +a a a 7, B 7 en C a Lengte hoogtelijn vanuit A op BC is gelijk aan de afstand da, l BC Een vergelijking voor de lijn l BC is: 7

9 l BC :< n BC, X >< n BC, C > l BC : x + y da, l BC + + Evenzo is dc, l AB 5 en db, l AC 6 Bewijs: l hc dc, AB In de theorie is ewezen dat voor de afstand van een punt P tot de lijn l :< n l, X > c geldt dat dp, l c < n l, P > n l De constante c wordt voor een epaalde lijn verkregen door het invullen van een punt op die lijn Voor de lijn l AB is dat ijvooreeld het punt A De vergelijking voor l AB wordt dan: l BC :< n AB, X >< n AB, A > Hierdoor wordt de afstand dc, AB gelijk aan: dc, l AB <n AB, A> <n AB, C> n AB Herleiden geeft: dc, l AB <n AB, A C> n AB Omdat er asolute waarde wordt gevraagd is < n AB, A C > < n AB, C A > Waarmee de formule is ewezen l hc < n AB, C A> n AB c De oppervlakte O van een driehoek is gegeven als O hoogte asis da, BC db, C d Bewijs: De oppervlakte O van een driehoek is gegeven als O hoogte asis l hc AB 55 A l m: x A en y A B k m: x B en y B C l k: x C en y C da, k l ha + 5 db, l l hb sqrt7 7 7 < n AB, C A > < n AB, AC > dc, m l hc Tekenen van de driehoek laat een driehoek met alleen scherpe hoeken zien De gevraagde hoeken zijn dus gelijk aan de hoeken tussen de lijnen en dus ook gelijk aan de hoeken tussen de normaalvectoren van die lijnen modulo 9 l, m cos sqrt k, m cos k, l Gegeven is de lijn m : Q + λ en het punt P, 6 Bereken 8

10 exact de afstand van P tot m dp, m 6 5 <n m, P > n m <, 5 > 57 dp, n a 5 7 a 5 a 5 of a 5 a of a 9 58 Bewijs: De oppervlakte van driehoek ABC O < n AC, BC > < n AC, B C > Evenzo is de oppervlakte van driehoek ACD O < n AC, DC > < n AC, D C > Omdat B en D aan verschillende kanten van de diagonaal AC liggen zijn < n AC, B C > en < n AC, D C > tegengesteld van teken Normaal vector wijst v, naar B toe en dan van D af of andersom De totale oppervlakte is de som van de twee oppervlakten en dus gelijk aan < n AC, D C > + < n AC, C D > < n AC, B D > < n AC, BD > 59 O < n AC, B D> <, > Anders: Uit tekening lijkt dat we een vierkant heen met zijde Dus oppervlakte is 6 Gegeven is de vierhoek ABCD met A, B, C en 5 D Bereken exact de oppervlakte van de vierhoek Open geoge- ra/opgave vierhoekgg O < n AC, B D> < 6, > 6 6 Deel de vijfhoek op in een vierhoek en een driehoek of in drie driehoeken Er is geen directe formule te leveren want niet alle driehoeken heen gemeenschappelijke zijde 9

11 6 Gegeven zijn de lijnen l : x y en m : x y Stel vergelijkingen op voor de issectrices van de lijnen l en m Punten op de issectrices van lijnen heen gelijke afstand tot eide lijnen Open geogera/opgave issectricegg Laat P een punt op de issectrice dan geldt: dp, l dp, m en dus x+y 6+9 x+y 6+9 x + y x + y x + y x + y of x + y + x y x + x + y of 7x + 7y 6 6 Gegeven is een driehoek ABC Bewijs de stelling: De issectrices van een driehoek gaan door punt Je ent weer vrij een assenstelsel te kiezen Kies A, de oorsprong van dit assenstelsel Kies B als de eerste richtingsvector en kies e als tweede richtingsvector a Definieer nu een willekeurig punt C van de driehoek: l AB : y l AC : x + a y l BC : x + a y De vergelijkingen van de zijden De vergelijkingen van de issectrices worden dan: iss l AB, l AC : y +x+ay +a y + a x ay y + a x ay of y + a x + ay ABAC : x + + a ay of ABAC : x + a + ay issectrice innen driehoek is: ABAC : x + a + ay iss l AB, l BC : y x ay + a y + a x ay y + a x ay of y + a + x + ay ABBC : x + + a + ay of ABBC : x a + a y issectrice innen driehoek is: ABBC : x + + a + ay Snijpunt van deze issectrice uit :

12 { { x + + a + ay x + a + ay + a + a + + a + a x + a + ay y x iss l AC, l BC : +x+ay +a + a + +a + +a + a + +a + x ay + a We zijn klaar als snijpunt ook aan deze vergelijking voldoet Invullen levert: +x+ay x ay +a +a a+ +a a N a+ +a a N N +a +a +a +a +a punt C +a 6 Geen antwoord 65 W < s, F >< 66 W < s, F >< Het snijpunt ligt dus ook op de issectrice uit, 5Nm, 67 Resp F 5 5 N en F sqrt Geen antwoord Nm N

13 coördinaten in R en hoger Opgaven: Kies een driehoek en volg het ewijs uit het vorige hoofdstuk x l : y + λ z m : x y z x y z + λ n : + λ op n voor λ en kan dus als steunvector dienen geeft slechts een richting aan heeft dezelfde richting en kan dus ook als richtingsvector worden geruikt x x 5 5 m : x x + λ x x Geen antwoord 7 Richtingsvector l is niet een veelvoud van de richtingsvector van m lijnen niet samenvallend of evenwijdig Snijdend? Los op + λ 6 + µ + λ + µ λ 6 µ + λ + µ λ µ

14 Invullen van de gevonden waarden voor λ en µ in de eerste vergelijking geeft: + Lijnen kruisen 8 Richtingsvector l is niet een veelvoud van de richtingsvector van m lijnen niet samenvallend of evenwijdig Snijdend? Los op + λ + µ + λ µ λ λ µ + λ µ λ λ µ µ λ µ µ λ µ Vergelijking klopt dus lijnen snijden in snijpunt S,, 9 Richtingsvector l is een veelvoud frac van de richtingsvector van m lijnen samenvallend of evenwijdig Samenvallend als aangetoond wordt dat punt van l op m ligt v: + µ µ Dit is waar voor µ dus lijnen vallen samen Richtingsvector l is niet een veelvoud van de richtingsvector van m lijnen niet samenvallend of evenwijdig Snijdend? Los op + λ + µ + λ µ λ + µ + λ µ

15 + λ µ + µ + λ µ + λ µ + λ λ µ λ Vergelijking klopt niet dus lijnen kruisen Geen antwoord v : P + λ + µ v : P + λ + µ v : P + λ 6 + µ 5 v : P + λ 6 + µ als de lijnen snijden Los op Los op 6 + λ µ 6 λ 6 + µ + 6λ 5 + µ λ µ µ λ Vergelijking klopt dus lijnen snijden in snijpunt S,, B C ligt ook in v en heeft de zelfde richting als 7 Geen antwoord 8 Gegeven zijn de vectoren u en v Bepaal de uitproducten

16 w u v 9 r r n v r r r + + Vergelijking: v : x y z r n w r r r Vergelijking: w : x y + z r n w r r v : P Vergelijking: w : x + y z + λ + µ 5 w t n v r r en t v u

17 Vergelijking: v : x y + z + 6 ofwel v : x y + z a d Bewijs Neem u en v e dan is: c f f ce w u v af cd ae d en t v u ce f cd af d ae Waarij het ewijs is geleverd antwoord op 5 Geen antwoord f ce af cd ae d λ λ + λ 9 λ S,, 7 + λ λ 8 λ λ 5 S,, 8 9 λ µ γ + λ γ + λ + 7µ µ + λ γ + λ + µ γ λ + λ + µ + γ λ 6µ γ + λ µ + γ + λ + γ λ γ µ µ + λ γ + λ + 7µ µ + λ γ λ µ γ 6 λ 5 + λ + µ + γ λ 6µ γ µ + λ + γ λ γ µ 6

18 + λ + γ 5 µ Tegenspraak dus geen snijpunt en niet samenvallend λ λ Geen tegenspraak geen λ epaald dus samenvallend l DE : P + λ v ABC : Q n v + µ + γ v : x + y z + λ + + λ + λ λ λ S,, a Evenwijdig <, > a a Samenvallend in v dus: 8 6 Geen antwoord Vlakken niet evenwijdig want normaalvectoren zijn geen veelvoud van elkaar { x + y + z x + 6y z { x + 6y + z x + 6y z { x + y + z y + z Kies y λ dan is z λ z λ en x + λ 8λ x + λ Een vergelijking voor de snijlijn is dan: s : P + λ 5 7

19 5 Vlakken niet evenwijdig want normaalvectoren zijn geen veelvoud van elkaar { x + y z y + z Kies y λ dan is z λ en x + λ 9 + λ x vergelijking voor de snijlijn is dan: s : P + λ + λ Een 6 Vlakken niet evenwijdig want normaalvectoren zijn geen veelvoud van elkaar { x + y z { x + y + z x + y x + y + z Kies y λ dan is x 6 8 λ en 6 8 λ + λ z z + λ Een vergelijking voor de snijlijn is dan: s : P 6 + λ 8 7 Vlakken niet evenwijdig want normaalvectoren zijn geen veelvoud van elkaar { { x + y + z 5x + y + 5z 5x + 6y + 7z 8 5x + 6y + 7z 8 { 5x + y + 5z y + 8z Kies z λ dan is y λ en 5x + λ + 5λ x + λ Een vergelijking voor de snijlijn is dan: s : P + λ 8 Stap over op vergelijkingen: v : n v 8

20 v : x + y z < w : n w w : 6x + z < 6,, 6 > > 6 Vlakken niet evenwijdig want normaalvectoren zijn geen veelvoud van elkaar { x + y z 6x + z 6 Kies x λ dan is z + λ en λ + y + λ y + λ Een vergelijking voor de snijlijn is dan: s : P + λ 9 Stap over op vergelijkingen: v : n v 8 8 v : y + z < w : n w, w : x y + z < 7 7 > 6, 6 > Vlakken niet evenwijdig want normaalvectoren zijn geen veelvoud van elkaar { y + z 6 x y + z Kies y λ dan is z 6 λ en x λ + 6 λ x 8 + λ Een 9

21 vergelijking voor de snijlijn is dan: 8 s : P 6 + λ Stap over op vergelijkingen: v : n v v : z < w : n w, w : y + z < >, > Vlakken niet evenwijdig want normaalvectoren zijn geen veelvoud van elkaar { z y + z { z y Kies x λ Een vergelijking voor de snijlijn is dan: s : P + λ Geen antwoord Hoek is scherpe hoek tussen richtingsvectoren <, > cosθ θ arccos cos

22 Hoek is 9 - scherpe hoek richtingsvector lijn en normaalvector vlak cosθ <, > 9 6 θ 9 arccos Hoek is scherpe hoek tussen norlmaalvectoren cosθ <, > θ arccos cos 7 g de hoek tussen l en m 5 Geen antwoord 6 dp, Q P Q dp, v + 8 dp, v dp, v dq, v c ++ 6 c c c c c c c c 7 c

23 5 dp, v a++ a + a a + a 9 a + a a a 5 Geen antwoord 5 dp, l < 5 dp, l < ,, 5 O ABC dp, QdR, P Q <, dp, l <, a + 8a + 6 a + > > > > < < < 8, < a + a + 8a + 6 a +,, 77 > 6 a, a + > > > a 8a + 6 9a + 8

24 a 8a a 7 a Laat ABC het grondvlak van het viervlak zijn en D de top De inhoud van het viervlak is dan de oppervlakte van ABC maal de afstand van D tot ABC gedeeld door Ofwel: I ABCD O ABCdD, ABC De oppervlakte O ABC wordt weer geschreven als O ABC da, BdC, AB De inhoud als afstand is dus I ABCD 6dA, BdC, ABdD, ABC Definieer r B A, r C A, r D A en n r r dan wordt de formule: I ABCD 6 r I ABCD 6 < n, A> < n, D> n < r, r > < r, r < r, r > < r, r >< r, r > < r, r < n, r > n 57 Gegeven zijn de punten A,,, B,,, C,, en D,, Bereken de inhoud van het viervlak ABCD r, r, r en n Invullen levert: I ABCD 6 58 Geen antwoord 59 Methode : dl, m dp, v <, < >, > Lijnen snijden!

25 6 Lijn QR is l QR : X dl, m dp, v <, 6 methode s l s m dl, m dl, m + µ < > Methode : 5, dl, m dp, v < a + 9 <, a a + 9 a > a, 7 > >

26 5 a a a a a a + 9 a a + 5 a a + 9 8a 6 a Controle dl, m <, > 9 Klopts 6 Geen antwoord 5

27 Transformaties: ewerkingen op vectoren Je het eerder gezien dat het optellen van vectoren en het vermenigvuldigen van een vector met een getal leiden tot een andere vector Ook kunnen we een willekeurig punt in een coördinatenstelsel weergeven als een vector waarin de elementen gelijk zijn aan de coördinaten van dat punt In de meetkunde wil men vaak meer dingen met puntenen lijnstukken Men wil puntenverzamelingentekeningen kunnen spiegelen, roteren, vergroten en strekken Kortom men wil tekeningen originelen kunnen veranderen in andere tekeningen eelden Dit proces noemen we een afeelding of transformatie Afeeldingen waarij rechte lijnen recht lijven noemt men lineaire afeeldingen of lineaire transformaties De twee in de vorige alinea aangehaalde ewerkingen optellen van een vector of scalaire vermenigvuldiging zijn twee lineaire transformaties Er is echter nog een andere klasse van lineaire afeeldingen die we in de volgende sectie gaan ehandelen Lineaire transformaties en matrices Ook voor deze klasse lineaire afeeldingen is er een algeraïsche aanpak ontwikkeld Voordat we op etekenis ingaan definiëren we eerst een matrix Een matrix meervoud: matrices a a a n A a a a n a m a m a mn is een korte notatie voor een een rij getallen geordend in m rijen horizontaal en n kolommen verticaal Het getal dat zich in de i-de rij en de j-de kolom evindt wordt genoteerd als a ij Een matrix A noemen we een vierkante matrix als m n De dimensie van een matrix A met m rijen en n kolommen definiëren we als m n Hoewel er veel te zeggen is over niet vierkante matrices ligt het accent in deze tekst op vierkante matrices Opgaven: Geef de dimensies van de volgende matrices A en geef de waarde van A 6

28 A A A antwoord op Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen optellen van twee matrices Als twee matrices A en B even groot zijn dat wil zeggen, eiden heen m rijen en n kolommen, dan kunnen twee matrices ij elkaar worden opgeteld Net als ij de vector optelling worden de overeenkomstige elementen ij elkaar opgeteld Het resultaat is een matrix C met de zelfde dimensie als A en B vooreeld: Laat A en B, dan is C A + B Opgaven: Bereken waar mogelijk: + antwoord op

29 Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen scalaire vermenigvuldiging van een matrix Net als ij de scalaire vermenigvuldiging van een vector kan een matrix met een getal worden vermenigvuldigd door alle elementen van de matrix met dat getal te vermenigvuldigen vooreeld: Laat A en c, dan is C A Opgaven: Bereken: Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen 8

30 vermenigvuldiging van een matrix met een vector Een matrix A met dimensie m n kun je met een vector x met n elementen als volgt vermenigvuldigen: A v a a a n a a a n a m a m a mn a v + a v + + a n v n a v + a v + + a n v n a m v + a m v + + a mn v n v v v n Deze vermenigvuldiging noemen we een martixvermenigvuldiging van vector v Het resultaat is een vector met m elementen De volgorde in de schrijfwijze is elangrijk A v is niet gelijk aan va Merk op dat de vermenigvuldiging alleen mogelijk is als het aantal kolommen in A gelijk is aan het aantal elementen ofwel de dimensie van de vector v vooreeld: Laat A A v en v, dan is Eigenschappen matrices Voor de verzameling van m n matrices gelden voor de tot nu toe ehandelde algerïsche ewerkingen de volgende eigenschappen: a A + B B + A commutatieve eigenschap A + B + C A + B + C associatieve eigenschap c Er is een unieke m n matrix die we de nulmatrix noemen met de eigenschap A + A De matrix is volledig gevuld met nullen 9

31 d Voor elke matrix A is er een unieke m n matrix weergegeven als A uit gesproken als min A zodat A + A e A A voor iedere matrix f a A aa voor willekeurige getallen a en en iedere matrix g aa + B aa + B h a + A aa + A i A u + v A u + A v als u, v eiden n dimensionale vectoren zijn j A + B u A u + B u als u een n dimensionale vector is Opdracht: Bewijs deze eigenschappen Binnen de verzameling van vierkante n n matrices estaat er een unieke matrix die we de eenheidsmatrix I noemen waarvoor geldt: I u u als u een n dimensionale vector is De eenheidsmatrix heeft de volgende vorm: I Opgaven: Bereken: 5 6 6

32 Wat is het verand tussen het inproduct van de vectoren < en de matrixvermenigvuldiging uit de vorige opgave?, > 5 Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen een interpretatie van lineaire transformaties Eerder heen we gezegd dat er een algeraïsche aanpak is om puntenverzamelingen te kunnen spiegelen, roteren, vergroten en strekken om tot een eeld van die puntenverzameling te komen Algeraïsch wordt een lineaire afeelding innen één vectorruimte van dimensie n dat wil zeggen origineel en eeld heen eide dimensie n gedefinieerd door een vierkante n n matrix We zullen aan de hand van een aantal geogera applets laten zien wat je in twee dimensies zoal kunt verwachten 5 spiegelen: Er zijn twee elementaire vormen van spiegelen: puntspiegelen in de oorsprong en lijnspiegelen in een lijn door de oorsprong In de applet spiegelen zijn matrices gegeven voor spiegeling in de oorsprong A, spiegeling in de in x-as B en spiegeling in de y-as C: ux ux A u u y B u C u ux u y u y u y ux u y ux ux Opdracht: Wat is het resultaat van deze spiegelingen op het orgineel u y Opdracht: In de applets kun je de coördinaten van de vector v veranderen Doe dat en analyseer de resultaten

33 Figure : vectoren spiegelen Open geogera/vectorspiegelengg Spiegelen: Matrices A,B,C y voor spiegelen in oorsprong A, x-asb en y-asc A B C v x z C v v y z v x 5 O ū w ū A v w B v 6 schalen: De grootte van een vector veranderen kan op veel manieren De meest eenvoudige schaling is alleen een vergroting van de x en de y coördinaten van een vector met respectievelijk de factoren a en a De ijehorende matrixvermenigvuldiging met schalings matrix D is: a ux a u D u x a u y a u y De applet schalen iedt de mogelijkheid om de coördinaten van v in de x-richting en y-richting afzonderlijk met een constante te vermenigvuldigen Verander de coëfficienten a en a en analyseer de resultaten 5 7 roteren: Opdracht: In de applet eenheidscirkel wordt het punt A over een hoek α gedraaid naar punt E Lijnstuk OA maakt een hoek β met lijnstuk OB De coördinaten van A zijn A cosβ, sinβ Laat met goniometrische formules zien dat de coördinaten van E gelijk zijn aan E cosα cosβ sinα sinβ, sinα cosβ+cosα sinβ

34 Figure : vectoren schalen Open geogera/vectorschalengg y Schalen: Lineaire afeelding gedefiniee a A a 5 a a 5 v ū A v 5 x O 5 6 Figure : rotatie om oorsprong op eenheidscirkel Open geogera/eenheidscirkelgg E A C 5 α β B 5 5 O 5 D 5 5 Een rotatie in om de oorsprong over een hoek α radialen is weergegeven tegen de klok in wordt eschreven door de matrix R: cosα sinα R sinα cosα Opdracht: Laat zien dat punt A uit de vorige opdracht inderdaad met deze vermenigvuldiging op E terecht komt Opdracht: In de applet roteren kun je de hoek α voor de transformatie veranderen en je kunt de lengte van de eeldvector met de constante c schalen Doe dit en analyseer de resultaten Opdracht: Op wikipedia worden nog een aantal speciale transformaties geoden Proeer deze eens uit in applet alles te samen 5 Lees eerst onderstaande tekst over samenvoegen van lineaire cominaties Proeer daarna eens zelf samengestelde transformaties uit te rekenen en te testen in applet 5 vrij uitgaande van de voor-

35 Figure : vectoren roteren Open geogera/vectorroterengg y Roteren en vergroten: cosα sinα A c sinα cosα O α 57 c ū A v 5 6 v x eelden in de ovenstaande applets Figure 5: alles te samen Open geogera/vectorvrijgg y Vrij: a a A 5 87 a a 87 5 a 5 a 87 a 87 a 5 v origineel 5 87 v A v 87 5 x O eeld samenvoegen lineaire transformaties Lineaire transformaties kunnen ook gecomineerd worden Je kan ijvooreeld een vector u eerst roteren met een matrix A Dit levert eeldvector v Daarna zou je v kunnen spiegelen met een matrix B met als resultaat vector w Dus { v A u w B v

36 Als we nu in de laatste vergelijking v vervangen door de erekening van v uit u dan krijgen we w BA u Als we iets als C BA zouden kunnen uitrekenen dan zouden we de afeelding van u naar w als één lineaire transformatie weergegeven door de matrix C kunnen zien Laten we eens in twee dimensies kijken hoe dat werkt x a e f Laat u, A en B y c d g h Dan is w BA u e f a x g h c d y e f ax + y g h cx + dy eax + y + fcx + dy gax + y + hcx + dy ea + fcx + e + fdy ga + hcx + g + hdy ea + fc e + fd x ga + hc g + hd y C u Je ziet dat er inderdaad een matrix C gevonden kan worden Als je in het product BA iedere kolom in A als een vector eschouwt, oserveer dan dat iedere kolom in C verkregen kan worden door B met de corresponderende kolom in A te vermenigvuldigen alsof het een matrixvermenigvuldiging met een vector is Deze oservatie geeft dan weer het volgende resultaat: Een matrixvermenigvuldiging C AB met A een m n matrix en B een s t matrix is alleen mogelijk als n s ofwel het aantal kolommen in A moet gelijk zijn aan het aantal rijen in B De matrix C heeft dan de dimensie m t vooreeld: Laat A en B dan is + + C BA

37 Hier is de volgorde elangrijk, uitzonderingen daar gelaten geldt meestal: BA AB In ons vooreeld geldt ook dat BA AB: AB Opgaven: Bereken indien mogelijk: Het punt P 6 wordt eerst gedraaid over een hoek van α π 6 Vervolgens wordt de y-coördinaat met een factor vergroot Bepaal eerst de samengestelde matrix en ereken daarna het eeld van P Is het eeld van P anders als er eerst vergroot wordt en daarna pas gedraaid? Het punt P wordt eerst gespiegeld in de x as vervolgens wordt de y- coördinaat met een factor vermenigvuldigd Bepaal eerst de samengestelde matrix en ereken daarna het eeld van P Aan welke twee andere transformaties is deze samengestelde vergelijking identiek? Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen 6

38 Eigenschappen van een lineaire transformatie: eigenwaarde, eigenvector en eigenruimte Opdracht: Gegeven is de matrix A en de puntenverzamelingen: { } A,,, { } B,,, { } C,,, Bepaal de eeldpunten van alle punten in de verzamelingen: Wat is het verschil tussen de verzamelingen A of B en C? Als A een lineaire transformatie is en v een element uit een vectorruimte V dan is er iets speciaals met de vergelijking: A v λ v, 6 waarin λ een getal is Deze vergelijking heeft altijd de oplossing v Ofwel de oorsprong wordt altijd weer op de oorsprong afgeeeld Wat als we de vergelijking niet in v willen oplossen maar in λ voor v? Het lijkt dat voor een willekeurig gekozen v dit niet mogelijk is Maar er zijn wel cominaties van λ en v te vinden die aan de vergelijking voldoen De meetkundige interpretatie ij het oplossen van een dergelijke vergelijking is dat we op zoek zijn naar deelruimten V d lijnen,vlakken, van V die zelf ook weer een vectorruimte zijn en die door de transformatie A onveranderd lijven De deelruimten gaan dus altijd door de oorsprong ijvooreeld ligt v op de lijn m door de oorsprong en ligt hethet eeld A v ook op de lijn m dan zal iedere andere u op die lijn ook weer op die lijn worden afgeeeld Daarnaast zal ieder eeld op die lijn een vergroting met factor λ van zijn origineel zijn vooreeld: Een vooreeld in twee dimensies: Gegeven is de transformatie A 7

39 Deze transformatie is een spiegeling in de x-as waarij het spiegeleeld twee keer vergroot wordt De cominatie λ samen met vectoren van de vorm x v x-as voldoen aan de vergelijking evenals de cominatie λ en vectoren van de vorm v y-as De x-as en de y-as worden dus y op zichzelf afgeeeld Opdracht: Overtuig jezelf door de vector v in de applet schalen 6 te veranderen Zijn er voor A uit het vooreeld nog andere lijnen die door de oorsprong gaan en waarvan het eeld van een vector op die lijn weer op die lijn ligt? Opdracht: Onderzoek met de applet 6 welke twee lijnen onveranderlijk zijn en hoe groot de schalingsfactoren voor die lijnen zijn voor de transformatie A Opdracht: Onderzoek met de applet 6 welke twee lijnen onveranderlijk zijn en hoe groot de schalingsfactoren voor die lijnen zijn voor de transformatie A Figure 6: Eigenwaarden en eigenruimten Open geogera/vectoreigengg y a a A a a O a a v vx v y v A v a a v x v y x De waarden λ en λ ij het ovengenoemde vooreeld noemt men de eigenwaarden karakteristieke waarde van de matrix uit het vooreeld ofwel lineaire transformatie In de deelruimte die op zichzelf wordt afgeeeld noemt men 8

40 een willekeurige vector een eigenvector De eigenvectoren die ij verschillende eigenwaarden horen zijn lineair onafhankelijk Dat wil zeggen dat ze niet in de zelfde onveranderlijke deelruimte liggen Als ijvooreeld twee deelruimten lijnen zijn dan etekent dit dat er geen constante c te vinden is zodanig dat v c v, ofwel de lijnen vallen niet samen, maar snijden in de oorsprong Als in een twee of n dimensionale ruimte twee of n vectoren onderling onafhankelijk zijn dan kan iedere andere vector in die ruimte worden geschreven als een unieke lineaire cominatie van die twee of n vectoren, ofwel u c v + c v ; u c v + c v + + c n v n 7 Opdracht: Bewijs deze eigenschap in D door a en op te lossen uit de volgende vergelijking vx a v y vx + v y ux a u y Voor het eeld van u geldt dan A u Ac v + c v c A v + c A v c λ v + c λ v Ofwel het eeld van u gaat met de zelfde coëfficienten c en c over in een lineaire cominatie van de eelden van de eigenvectoren Let wel dit gaat alleen op als er alleen net zoveel verschillende eigenwaarden zijn als het aantal rijen van de vierkante matrix Later gaan we in op het geval dat er minder eigenwaarden zijn eigenwaarde en de karakteristieke vergelijking Hoe epaal je nu alle eigenwaarden λ voor een vierkante matrix A en de ijehorende eigenvectoren? Beschouw weer de vergelijking: A v λ v waarin λ een getal is Deze kan worden herschreven tot A v λ v A λi v, hierin is I de eenheidsmatrix 9

41 Omdat we op zoek zijn naar oplossingen waarvoor v moeten we opzoek naar cominaties λ en v waarvoor de vergelijking geldt Zonder ewijs geven we hier de methode om tot een karakteristieke vergelijking te komen waaruit λ kan worden erekend Daarvoor moeten we eerst de determinant van een vierkante matrix introduceren We geven eerst een rekenrecept voor twee dimensies Daarna geven we het recept voor drie dimensies Gegeven is de vierkante matrix: a a A a a De determinant deta van een matrix A is een getal verkregen door het volgende recept deta a a a a a a a a vooreeld: Bepaal de determinant van de matrix A deta Gegeven is de vierkante matrix a a a A a a a a a a De determinant deta van A matrix kan als volgt worden erekend: a a deta a det a a a a a det a a + a a a det a a vooreeld: Bepaal de determinant van de matrix B detb det det + det

42 + Opgaven: Bepaal de exacte waarde van de determinant van de volgende matrices: A antwoord op B 5 5 C 8 6 D 7 E 8 F Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent Opdracht: Voor het erekenen voor de determinant van vierkant matrices in hogere dimensie verwijzen we je naar wikipedia of Wolfram Mathworld Daar vind je ook nog andere eigenschappen van determinanten die we hier niet ehandelen Proeer eens de determinant te vinden voor de matrix Nu terug naar het vinden van de eigenwaarden en eigenvectoren uit de vergelijking A λi v Ook hier eginnen we weer in twee dimensies Laat a a A, a a

43 dan is A λi v te schrijven als a a a a λ a λ a v a a λ v Er lijkt nu te gelden dat we λ kunnen epalen door de determinant van A λi gelijk te stellen aan Dit leidt tot de karakteristieke vergelijking: det A λi a λ a a λ a λa λ a a a Dit is een kwadratische vergelijking in λ Een kwadratische vergelijking heeft niet altijd een oplossing als λ een reëel getal zou moeten zijn Die eperking hoeven we ons echter niet op te leggen Sterker nog die eperking is zelfs ongewenst Binnen de verzameling van complexe getallen zie complexe getallen door Jan van de Craats voor een introductie heeft een kwadratische vergelijking altijd twee mogelijk samenvallende oplossingen λ en λ Heen we twee eigenwaarden gevonden dan kunnen de ijehorende eigenvectoren worden verkregen door v en v op te lossen uit: A λ I v en A λ I v twee reële eigenwaarden vooreeld: Bepaal de eigenwaarden en de eigenvectoren van de matrix A deta λi λ λ λ λ + 6 λ λ + λ Hier uit volgt dat λ en λ de gevraagde eigenvectoren erekenen we nu per eigenwaarde: λ : Los op A I v vx v y { vx v y v x v y

44 Beide vergelijkingen geven v x v y ofwel v x / v y We kunnen nu een willekeurige x coördinaat kiezen v v x v y Een eigenvector is dan v λ : Los nu op A I v vx v y { vx v y v x v y Beide vergelijkingen geven v x v y We kunnen nu een willekeurige x coördinaat kiezen v v x v y Een eigenvector is dan v Vectoren op de lijn y x worden dus met een factor verlengd en vectoren op de lijn y x/ worden precies op de zelfde plek afgeeeld Opdracht: Controleer dit in de applet eigenwaarden en eigenruimte 6 Laat met een erekening zien dat het eeld van u v v is aan u v v A u gelijk Opgaven: Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren voor de volgende matrices: A antwoord op ,8}} B 5 5 C Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent

45 twee complexe eigenwaarden In ovenstaand vooreeld waren de eigenwaarden reële getallen Het kan ook zijn dat er twee complexe eigenwaarden zijn De eigenvectoren zijn dan ook complex Complexe eigenwaarden horen ij matrices waarin een rotatie aanwezig is We ekijken weer een vooreeld vooreeld: Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren voor de matrix A deta λi λ λ λ λ + λ λ + + λ Hier uit volgt dat λ + i en λ i de gevraagde eigenwaarden zijn De gevraagde eigenvectoren erekenen we weer per eigenwaarde λ + i: Los nu op A + ii v i i vx v y { + ivx v y v x + iiv y Beide vergelijkingen geven iv x v y We kunnen nu weer een willekeurige y coördinaat kiezen v v y v x i Een eigenvector is dan i v λ i: Los nu op A ii v + i + i vx v y { + ivx v y v x + i + v y Beide vergelijkingen geven + iv x v y We kunnen nu een willekeurige y coördinaat kiezen v v y v x + i Een eigenvector is dan + i v Opgaven: Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren voor de volgende matrices:

46 5 A,}} 5 B 6 6 C 8 9 antwoord op 7 Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent twee samenvallende eigenwaarden Als laatste is er nog het geval van twee samenvallende eigenwaarden ofwel één reële eigenwaarde met multipliciteit twee Het vinden van twee verschillende onafhankelijke eigenvectoren ehoeft dan wat extra uitleg Bij één reële eigenwaarde kunnen we direct één eigevector v epalen Voor deze eigenvector geldt natuurlijk A λi v Het lijkt nu dat voor een eigenwaarde met mutlipliciteit twee een tweede eigenvector gevonden kan worden door de vergelijking A λi v op te lossen Omdat dit ook te schrijven is als A λi A λi v ligt v of in de zelfde deelruimte als v, maar dan zijn de twee eigenvectoren niet onafhankelijk, of v ligt in de deelruimte die door de matrix A λi wordt afgeeeld op de deelruimte die door v wordt opgespannen ofwel we kunnen v oplossen uit: A λi v v 8 Het is nu niet meer zo dat u a v + v door A wordt afgeeeld op u a λ v + λ v maar op u a λ v + A v a λ v + λ v + v a λ + v + λ v 9 vooreeld: Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren voor de matrix A deta λi λ λ λ λ + λ λ + + λ 5

47 Hier uit volgt dat λ is een eigenwaarde met mutlipliciteit twee λ : Los nu op A I v vx v y { vx v y v x + v y Beide vergelijkingen geven v x v y We kunnen nu weer een willekeurige y coördinaat kiezen v v y v x Een eigenvector is dan v Voor de tweede eigenvector lossen we op: A I v v { vx vx v y v x + v y v y Kies v x dan is v y dan is v Merk op dat inderdaad v en v onderling onafhankelijk zijn Opgaven: Bepaal de eigenwaarden en de ijehorende eigenvectoren voor de volgende matrices: 8 A 5 9 B C D E Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen 6

48 5 hogere dimensie In drie dimensies kunnen we net als in twee dimensies een karakteristieke vergelijking opstellen Namelijk door de determinant van A λi gelijk aan nul te stellen A λi a λ a a a a λ a a a a λ a λa λa λ + a a a + a a a a a λa a λa a Dit is een derdegraadsvergelijking die drie, mogelijk samenvallende, oplossingen heeft Hieronder is het algemene recept te vinden voor het algeraïsch oplossen van een derdegraadsvergelijking Voor hogeregraadsvergelijkingen zijn er geen algemene oplossingsformules Sterker nog het is ewezen dat die er ook niet kunnen zijn Omdat de theorie uit deze sectie veel wordt in de analyse van continue dynamische systemen die in de praktijk vaker in hogere dimensies worden toegepast is het nut van het recept voor derdegraadsvergelijking vrij klein en worden oplossingen numeriek opgelost Intermezzo: De oplossingen voor een vergelijking λ + aλ + λ + c in C zijn λ a + T λ a + T +i T +p λ a + T i T +p Hierij is T T + T, T q + r ; T q r; p a ; q 7 a + a c ; r q + p vooreeld: Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren voor de matrix A De karakteristieke vergelijking voor de matrix A is: λ deta I λ λ λ λ λ λ λ λ + Deze vergelijking heeft als oplossingen: 7

49 λ λ λ + λ + i λ i λ : De eigenvector v voor deze eigenwaarde lossen we op uit A λi v v x v y v z We mogen v x vrij kiezen De vector v v z v y is dus een eigenvector λ + i: De eigenvector v voor deze eigenwaarde lossen we op uit i v x iv x A +ii v i v y iv y v z i v z v y iv z Dus v x en de laatste twee vergelijkingen leveren v y iv z Kiezen we v z dan is de vector v i een eigenvector λ i: De eigenvector v voor deze eigenwaarde lossen we op uit i v x iv x A +ii v i v y iv y v z i v z v y + iv z Dus v x en de laatste twee vergelijkingen leveren v y iv z Kiezen we v z dan is de vector v i een eigenvector Opgaven: Bepaal de eigenwaarden en de ijehorende eigenvectoren voor de volgende matrices: A 5 B 8

50 6 inverse matrix a Gegeven is de twee dimensionale transformatie A Passen we deze c d tansformatie toe op x dan krijgen we het eeld x A x Nemen we als startpunt x dan is er meestal ook een transformatie die als eeld x oplevert Deze transformatie noemen we de inverse van A en wordt aangegeven met A Pas je eerst A toe op x en vervolgens A dan en je weer terug in de oorspronkelijke toestand dus: A A x x, zodat A A gelijk moet zijn aan de eenheidsmatrix I De inverse matrix A kun je uit A als volgt epalen A d deta c a Het mag nu duidelijk zijn dat de voorwaarde van het estaan van A is dat deta niet gelijk aan mag zijn Opdracht: Toon met een erekening aan dat inderdaad geldt A A I Opdracht: Geef een meetkundige etekenis aan de voorwaarde deta vooreeld: Bepaal de inverse van de matrix A Antwoord: A Praktische etekenis van eigenwaarden en eigenvectoren We heen eerder gezien dat vector x in een twee dimensionale ruimte kan worden geschreven als een unieke cominatie van twee willekeurige onafhankelijke vectoren u en v u a v x a x + x In een n-dimensionale ruimte kan iedere vector x in als een cominatie van n willekeurige onafhankelijke vectoren 9

51 vooreeld: Gegeven zijn de vectoren x 5, u waarden a en zodat x a u + v Oplossing: a u + 5 a 5 a + a 9 a a en v Bepaal de Dus x u + v Als een transformatie in n dimensies weergegeven door matrix A n verschillende eigenwaarden λ, λ,, λ n, dan zijn er n ijehorende onafhankelijke eigenvectoren v, v,, v n Een vector x in deze ruimte kan dan worden geschreven als een cominatie van deze eigenvectoren: x c v + c v + c n v n Stelling: Zonder ewijs: Als je herhaald n keer de zelfde matrix A toepast op een eginpunt x waarvoor geldt dat x a v waarin v een eigenvector is, dan is het eindresultaat de vector Q A n P A A P aλ n P Opdracht: Bewijs deze stelling Conclusie: Omdat iedere vector x in een n dimensionale ruimte kan worden geschreven als een cominatie van de eigenvectoren x x c v + c v + c n v n van een matrix A is eindresultaat de vector x m A m x A A x Σ m ic i λ n i v i Opdracht: Bewijs deze conclusie Vooreeld: Bepaal de directe formule Q n voor de reeks Q n AQ n met Q P waarin A en P Oplossing: Merk eerst op dat het hier om een meetkundige reeks gaat Dus 5

52 Q n A n P De matrix is in een eerder vooreeld geanalyseerd en heeft eigenwaarden λ en λ met eigenvectoren v en v In dit geval is het eenvoudig in te zien dat P v + v De gevraagde directe formule is dus Q n n v + n v + n Conclusie: Voor n naar oneindig komt Q voor willekeurige P steeds dichter ij de ruimte te liggen die wordt opgespannen door de eigenvector waarvoor λ het grootst is Als voor alle eigenwaarden van matrix A geldt λ Dan gaat A n P voor n Opdracht: Bewijs deze conclusie lineaire recurrente etrekking van de eerste orde Figure 7: Lineaire recurrente etrekking van de eerste orde Open ejs/transdandverphtml 5

53 Gegeven is reeks u n A u n + Het evenwicht van deze reeks wordt als volgt verkregen: u A u + u A u I A u u I A Dit evenwicht kan alleen estaan als deti A Het evenwicht is staiel als voor alle eigenwaarden van matrix A geldt λ Als dit niet het geval is dan is het evenwicht niet staiel vooreeld: Gegeven is de reeks u gegeven door de recursieve formule u n A u n + met u, en A Bepaal exact het evenwicht en de stailiteit van dit evenwicht Oplossing: Dit geeft de karak- De eigenwaarden voor A komen uit deta λi teristieke vergelijking: λ λ 8 Deze heeft als oplossingen λ en λ De asolute waarden van deze eigenwaarden zijn kleiner dan dus een eventueel evenwicht is staiel I A I A Het evenwicht is dan u 5 5

54 De lineaire eerste orde differentie vergelijking in een dimensie u n a u n + met u u is om te zetten tot de directe formule u n u a n + a an zie oa mathall voor een afleiding Dit zelfde kunnen we doen voor lineaire eerste orde differentie vergelijking in hogere dimensie Opdracht: Druk de eerste 5 termen van de reeks uit in u, A en We herhalen de opdracht met een willekeurige u, A en voor de reeks u n A u n + : u u u A u + u A u + A u + A + u A u + A u + A + A + u n A n u + A n + A + A n u + Σ n i Ai De som Σ n i Ai is de som van de eerste n termen van de meetkundige rij v n A v n met v Opgaven: Bepaal het evenwicht en de stailiteit van dit evenwicht en geef de directe formule voor de volgende reeksen: 6 u n 5 + met u u n + met u 5 8 Verzin een opgave inclusief uitwerking en geef die aan je docent en medeleerlingen 5