Systeemtheorie. De Brabanter Jos
|
|
- Christian Bosman
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Systeemtheorie De Brabanter Jos
2 Deel I Inleiding 1
3 Hoofdstuk 1 Signalen en Systemen 1.1 Signalen en classificatie van signalen Een signaal wordt mathematisch voorgesteld als een functie van een onafhankelijke variabele t.in deze curcus wordt een signaal aangeduid door x (t). (i) Continue tijdssignalen en discrete tijdssignalen: Een signaal x (t) is een continu tijdssignaal als t R. Als t Z, dan is x (t) een discreet tijdssignaal. Een discreet tijdssignaal wordt dikwijls voorgesteld als een rij van getallen, genoteerd als x[n], waarbij n Z. Een illustratie van een continu tijdssignaal x(t) en een discreet tijdssignaal x[n] wordt weergegeven in Figuur 1.1 Figuur 1.1: Grafische voorstelling van (a) een continu tijdssignaal en (b) een discreet tijdssignaal (ii) Analoog- en digitale signalen: indien een continu tijdssignaal x(t) elke waarde in het interval (, ) kan aannemen, dan noemen we het signaal x(t) analoog. Indien een discreet tijdssignaal x[n] enkel een eindig aantal verschillende waarden kan aannemen, noemen we het een digitaal signaal. (iii) Deterministische- en willekeurige signalen: Deterministische signalen zijn signalen waarvan de waarden compleet gespecifieerd zijn voor eender welk tijdstip. Dus, een deterministisch signaal kan gemodelleerd worden door een gekende functie van tijd t. Willekeurige signalen zijn signalen waarvan de waarden willekeurig zijn bij eender welke tijd en moeten statistisch gekarakteriseerd worden. Willekeurige signalen behoren niet tot het doel van deze cursus. 2
4 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 3 (iv) Even- en oneven signalen: x(t) of x[n] is een even signaal als x( t) = x(t) x[ n] = x[n] (1.1) Een signaal x(t) of x[n] is een oneven signaal als x( t) = x(t) x[ n] = x[n] (1.2) Voorbeelden van even en oneven signalen worden getoond in Figuur 1.2 Figuur 1.2: Voorbeelden van even signalen (a,b) en oneven signalen (c,d) (v) Periodische- en niet-periodische signalen: Een continu tijdssignaal x(t) wordt periodisch genoemd met periode T als er een T R + 0 bestaat waarvoor x(t + T ) = x(t) t (1.3) Een voorbeeld van een periodisch signaal wordt voorgesteld in Figuur 1.3(a). Uit (1.3) of Figuur 1.3(a) volgt dat x(t + mt ) = x(t) (1.4) t en m N. Elk continu signaal welke niet periodiek is, wordt niet-periodisch of aperiodiek genoemd. Periodieke discrete signalen worden op analoge manier gedefinieerd. Een discreet signaal x[n] wordt periodiek genoemd met periode N indien er een natuurlijk getal N bestaat waarvoor geldt dat x[n + N] = x[n] n. (1.5)
5 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 4 Figuur 1.3: Voorbeelden van periodieke signalen Een voorbeeld van een periodiek discreet signaal is weergegeven in Figuur 1.3(b). Uit (1.5) en Figuur 1.3(b) volgt dat x[n + mn] = x[n] voor alle n en elk natuurlijk getal m. De fundamentele periode N 0 van x[n] is het kleinste positieve geheel getal N uit (1.5). Elk discreet signaal welke niet periodiek is, wordt niet-periodiek of aperiodisch genoemd. (vi) Energie- en vermogensignalen: Zij v(t) het voltage over een weerstand R en i(t) de stroom door de weerstand. Het ogenblikkelijke vermogen p(t) per ohm is gedefinieerd als p(t) = v(t)i(t) = i 2 (t) (1.6) R De totale energie E en het gemiddeld vermogen P op een per-ohm basis zijn E = 1 P = lim T T i 2 (t) dt joules (1.7) T/2 T/2 i 2 (t) dt watt (1.8) Voor een willekeurig continu tijdssignaal x(t), wordt de genormaliseerde energie hoeveelheid E van x(t) gedefinieerd als E = x(t) 2 dt (1.9) Het genormaliseerd gemiddeld vermogen P van x(t) wordt gedefinieerd als 1 P = lim T T T/2 T/2 x(t) 2 dt (1.10)
6 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 5 Voor een discreet tijdssignaal x[n] wordt de genormaliseerde energie hoeveelheid E van x[n] gedefinieerd als E = x[n] 2 (1.11) n= Het genormaliseerd gemiddeld vermogen P van x[n] wordt gedefinieerd als 1 P = lim N 2N + 1 N n= N x[n] 2. (1.12) Gebaseerd op de definities (1.9) tot (1.12), kunnen we volgende klassen van signalen definiëren 1. x(t) (of x[n]) is een energie-signaal als en slechts als 0 < E < en dus P = 0 2. x(t) (of x[n]) is een vermogen-signaal als en slechts 0 < P < en hieruit volgt dat E = 3. Signalen welke niet voldoen aan voorgaande eigenschappen worden noch energiesignalen noch vermogen-signalen genoemd Merk wel op dat een periodiek signaal een vermogen-signaal is als de energie-inhoud per periode eindig is, en het gemiddelde vermogen van dit signaal moet enkel worden berekend over een periode. 1.2 Continue signalen De stapfunctie De stapfunctie u(t) of Heaviside unit functie, is gedefinieerd als u(t) = { 1, t > 0; 0, t < 0. (1.13) welke wordt voorgesteld in Figuur 1.4(a). Merk op dat de stapfunctie discontinu is bij t = 0 en dat de waarde bij t = 0 ongedefinieerd is. Gelijkaardig wordt de verschoven stapfunctie gedefinieerd als u(t t 0 ) = { 1, t > t0 ; 0, t < t 0. (1.14) welke wordt voorgesteld in Figuur 1.4(b) Hellingsfunctie De hellingsfunctie r(t) wordt gedefinieerd als r(t) = { t, t 0; 0, t < 0. (1.15)
7 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 6 Figuur 1.4: (a) stapfunctie; (b) verschoven stapfunctie welke wordt voorgesteld in Figuur 1.5. Merk op dat voor t 0 de richtingscoëfficiënt 1 is. De hellingsfunctie r(t) is gelijk aan de integraal van de stapfunctie u(t) r(t) = t u(λ) dλ Omgekeerd is de eerste afgeleide van r(t) naar de tijd gelijk aan u(t), behalve bij t = 0, waar de afgeleide van r(t) niet gedefinieerd is. Figuur 1.5: hellingsfunctie De impulsfunctie De eenheidimpulsfunctie of Dirac functie, is een mathematische onregelmatigheid. Dirac (1930), gebruikte de impulsfunctie eerst in zijn werk over quantum mechanica. Hij definieerde de delta functie δ (t) door volgende vergelijkingen welke is voorgesteld in Figuur 1.6. De belangrijkste eigenschap van de delta functie is δ (t) dt = 1 (1.16) δ (t) = 0 voor t 0. (1.17) f (t) δ (t) dt = f (0) (1.18) met f (t) een reguliere functie die continu is in t = 0. Merk op dat (1.18) een symbolische uitdrukking is en moet niet beschouwd worden als een gewone Riemann integraal. In deze context, δ (t) wordt dikwijls een gegeneraliseerde functie genoemd en f (t) is gekend als
8 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 7 Figuur 1.6: een testfunctie. Dirac noemde de delta functie een oneigelijke functie omdat in die tijd geen rigoreuze mathematische bewijsvorming bestond. In 1950 publiseerde Schwarts The theory of distributions, welke een mathematische basis bevatte voor de delta functie. Op gelijkaardige wijze wordt de verschoven delta functie δ(t t 0 ) gedefinieerd door f (t) δ (t t 0 ) dt = f (t 0 ) (1.19) met f (t) een reguliere functie die continu is in t = t 0. De functies δ (t) en δ (t t 0 ) worden grafisch weergegeven in Figuur 1.7. Figuur 1.7: (a) éénheidsimpulsfunctie;(b) verschoven éénheidsimpulsfunctie Enkele eigenschappen van δ (t) zijn δ (at) = 1 δ (t) (1.20) a als x (t) continu is in t = 0. δ ( t) = δ (t) (1.21) x (t) δ (t) = x (0) δ (t) (1.22) x (t) δ (t t 0 ) = x (t 0 ) δ (t t 0 ) (1.23)
9 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 8 als x (t) continu is in t = t 0. Gebruikmakend van (1.18) en (1.21), elk continu tijdsignaal x (t) kan geschreven worden als x (t) = Sinusoïdale signalen x (τ) δ (t τ) dτ. (1.24) Een continu sinussignaal kan worden geschreven als x(t) = A cos(ω 0 t + θ) (1.25) met A de amplitude, ω 0 de hoekfrequentie en θ de fasehoek. Het sinusoïdaal signaal wordt voorgesteld in Figuur 1.8. Een sinusoïdaal signaal is een voorbeeld van een periodiek signaal. Figuur 1.8: Continu sinusoïdaal tijdssignaal 1.3 Discrete basissignalen De éénheidstapsequentie De éénheidstapsequentie u[n] is gedefinieerd als u[n] = { 1 n 0 0 n < 0 (1.26) welke getoond wordt in Figuur 1.9(a). Merk op dat de waarde van u[n] bij n = 0 gedefinieerd is (de continue stapfunctie u(t) is niet gedefinieerd bijt = 0) en gelijk is aan de éénheid. Op een gelijkaardige wijze wordt de verschoven éénheidstapsequentie u[n k] gedefinieerd als u[n k] = { 1 n k 0 n < k (1.27) welke wordt voorgesteld in Figuur 1.9(b).
10 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 9 Figuur 1.9: (a) Eenheidstapsequentie; (b) verschoven éénheidstapsequentie De éénheidimpulssequentie De éénheidimpulssequentie δ[n] is gedefinieerd als δ[n] = { 1 n = 0 0 n 0 (1.28) welke wordt voorgesteld in Figuur 1.10(a). Op een gelijkaardige wijze wordt de verschoven Figuur 1.10: (a) Eenheidimpulssequentie; (b) verschoven éénheidsimpulssequentie éénheidimpulssequentie δ[n k] gedefinieerd als δ[n k] = { 1 n = k 0 n k (1.29) Dit wordt geïllustreerd in Figuur 1.10(b). Anders dan bij de continue impulsfunctie δ(t), is δ[n] gedefinieerd zonder mathematische moeilijkheden. De eigenschappen van δ[n] zijn analoog met (1.20) tot (1.23). 1.4 Systemen en classificatie van systemen Gegeven een ingangsignaal en een uitgangsignaal x en y. Een systeem is een mathematisch model van een fysisch proces dat y in functie van x weergeeft. Het systeem kan worden opgevat als een mapping en wordt voorgesteld door y = T [x] (1.30) waarbij T een operator is. Relatie (1.30) is weergegeven in Figuur Meervoudige ingangsignalen en/of uitgangsignalen zijn mogelijk en worden weergegeven in Figuur 1.11.
11 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 10 Figuur 1.11: Systeem met enkelvoudige of meervoudige ingang-uitgangsignalen Systemen kunnen worden ingedeeld op verschillende manieren, nl: (a) Lineaire- en niet-lineaire systemen Als de operator T in (1.30) voldoet aan de volgende twee voorwaarden, dan is T een lineaire operator en het systeem voorgesteld door de lineaire operator wordt dan een lineair systeem genoemd. (1) Additiviteit: Gegeven dat y 1 = T [x 1 ] en y 2 = T [x 2 ], dan voor alle signalen x 1 en x 2. (2) Homogeniciteit (schaling): y 1 + y 2 = T [x 1 + x 2 ] (1.31) αy = T [αx], α R (1.32) voor alle signalen x 1 en x 2. Elk systeem dat niet voldoet aan (1.31) en (1.32) wordt geclassificieerd als niet-lineair systeem. Vergelijkingen (1.31) en (1.32) kunnen geschreven worden als een voorwaarde, zoals α 1 y 1 + α 2 y 2 = T [α 1 x 1 + α 2 x 2 ], α 1, α 2 R. (1.33) Vergelijking (1.33) is gekend als de superpositie eigenschap. Een ander belangrijke eigenschap van een lineair systeem is dat een zero ingang een zero respons geeft (α = 0 in (1.32)). (b) Continue- en discrete tijdssystemen Als x, y R, dan wordt het systeem een continu systeem genoemd, zie Figuur 1.12 (a). Figuur 1.12: (a) continu tijdsysteem; (b) discreet tijdsysteem Als x, y Z, dan wordt het systeem een discreet systeem genoemd, Figuur 1.12 (b).
12 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 11 (c) Causale en niet-causale systemen Een systeem wordt causaal genoemd als voor elke tijd t 0 de uitgangrespons y (t 0 ), gegenereerd door ingang x (t), niet afhankelijk is van de ingang x (t) voor t > t 0. Dus in een causaal systeem is het niet mogelijk een uitgang te bekomen voordat er een ingang wordt aangelegd aan het systeem (verondersteld dat er geen initiële energie aanwezig is). Een systeem wordt niet-causaal genoemd als het niet causaal is. (d) Systemen met geheugen en zonder geheugen Een causaal systeem wordt geheugenloos genoemd als voor elke tijd t 0 de uitgang bij t 0 enkel afhankelijk is van de ingang bij tijd t 0. (e) Tijdsinvariante en tijdsveranderlijke systemen Een systeem wordt tijdsinvariant genoemd als een tijdsverschuiving in het ingangsignaal dezelfde tijdsvertraging veroorzaakt in het uitgangsignaal. Voor een continu systeem, het systeem is tijdsinvariant als y (t τ) = T [x (t τ)], τ R. (1.34) Voor een discreet systeem, het systeem is tijdsinvariant als y [n k] = T [x [n k]], k Z. (1.35) (f) Lineaire tijdsinvariante systemen Als het systeem lineair en tijdsinvariant is, dan wordt het een lineair tijdsinvariant (LTI) syteem genoemd. (g) Stabiele systemen Een systeen is begrensd-ingang/begrensd-uitgang (BIBO) stabiel als voor elk begrensde ingang x k 1 de overeenstemmende uitgang y ook begrensd is ( y k 2 ),waarbij k 1, k 2 R. Merk op dat er vele andere definities van stabiliteit zijn (zie volgende hoofdstukken). (h) Teruggekoppelde systemen Een teruggekoppeld systeem wordt voorgested in Figuur Figuur 1.13: Teruggekoppeld systeem Het uitgangsignaal wordt teruggekoppeld en opgeteld bij het ingangsignaal van het systeem.
13 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN Voorbeelden van continue systemen Auto op horizontaal vlak Beschouw een auto op een horizontaal vlak voorgesteld in Figuur Figuur 1.14: Auto met voorwaartse- of remkracht x(t) Zoals aangegeven, de uitgang y(t) is de positie van de auto in functie van tijd t t.o.v. een bepaalde referentie en de ingang x(t) is de kracht toegepast op de auto op tijdstip t. Volgens Newton s tweede wet van beweging, zijn y(t) en x(t) gerelateerd door volgende tweede orde vergelijking M d2 y(t) dt 2 + k w dy(t) dt = x(t) (1.36) waarbij M de massa van de auto en k w de wrijvingscoëfficiënt voorstellen. RC-netwerk Gegeven een RC-netwerk, Figuur De RC kring kan worden voorgesteld als een ingang-uitgang continu systeem met ingang x(t) gelijk aan de stroom i(t) en met uitgang y(t) gelijk aan de spanning v C (t) over de capaciteit. Figuur 1.15: RC circuit Door toepassing van Kirchoff s stroomwet De spanning-stroom relatie voor de capaciteit is i C (t) + i R (t) = i(t) (1.37) i C (t) = C dv C(t) dt (1.38)
14 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 13 en voor de weerstand i R (t) = 1 R v C(t) (1.39) Substitutie van (1.38) en (1.39) in (1.37) geeft de volgende lineaire differentiaalvergelijking C dy(t) dt + 1 y(t) = x(t) (1.40) R Mathematische slinger Beschouw een slinger van lengte L en massa M, zie Figuur (1.16). De ingang x(t) is de toegepaste kracht op de massa M rakend aan de bewegingsrichting van de massa, en Mg sin θ(t) is de kracht t.g.v. de gravitatie rakend aan de bewegingsrichting. De uitgang y(t) wordt gedefinieerd als de hoek θ(t) tussen de slinger en de verticale positie. Figuur 1.16: Mathematische slinger Volgens de wetten van de mechanica, de ingang en de uitgang zijn gerelateerd door volgende tweede orde differentiaalvergelijking I d2 θ(t) dt 2 + MgL sin θ(t) = Lx(t) (1.41) waarbij g de gravitatieconstante en I het traagheidsmoment is gegeven door I = ML 2. Door de aanwezigheid van de term sin θ(t) is de ingangs-uitgangs differentiaalvergelijking (1.41) een niet lineaire differentiaalvergelijking. Door deze niet lineariteit kan de differentiaalvergelijking niet in een expliciete uitdrukking y(t) in functie van x(t) worden bepaald. y(t) kan nu wel numeriek benaderd worden door numerieke technieken voor het oplossen van niet lineaire differentiaalvergelijkingen. Indien de grootte θ(t) van de hoek θ(t) klein is, kan de sin θ(t) worden benaderd door θ(t) zelf, de niet lineaire differentiaalvergelijking (1.41) wordt dan I d2 θ(t) dt 2 + MgLθ(t) = Lx(t) (1.42)
15 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN Voorbeelden van discrete systemen Terugbetaling banklening De terugbetaling van een banklening kan behandeld worden als een discreet tijdssysteem op volgende manier: Met n = 0, 1, 2,..., de ingang x[n] is de terugbetaling van de lening in de n-de maand, en de uitgang y[n] is de balans van de lening na de n-de maand. Hier is n de tijdsindex welke de maand voorstelt, de ingang x[n] en de uitgang y[n] zijn discrete tijdssignalen welk functie zijn van n. De beginvoorwaarde y[0] is het bedrag van de lening. Normaal zijn de terugbetalingen x[n] constant; dit is, x[n] = c, n = 0, 1, 2,..., waarbij c een constante is. In dit voorbeeld is x[n] toegelaten te variëren van maand tot maand (bv. de terugbetalingen kunnen niet gelijk zijn). De terugbetaling van de lening wordt beschreven door volgende verschilvergelijking ( y[n] 1 + I ) y[n 1] = x[n], n = 0, 1, 2,... (1.43) 12 waarbij I het jaarlijkse intrestpercentage bedraagt in decimale vorm. Stel dat het jaarlijkse intrestpercentage 10% bedraagt dan is I = 0.1. Vergelijking (1.43) is een eerste orde lineaire verschilvergelijking. Discrete tijdsbehandelig van analoge signalen De meeste discrete tijdssignalen worden monsters te nemen van continue tijdssignalen zoals spraak- en audiosignalen,... Het proces welke deze signalen converteert in een digitale vorm wordt analog-to-digital (A/D) conversie genoemd. Het omgekeerd proces dat het analoog signaal reconstrueert via zijn monsters is gekend als digital-to-analog (D/A) conversie. Figuur 1.17 bestaat uit een opeenvolging van een A/D convertor, een discreet tijdssysteem en een D/A convertor. Figuur 1.17: Behandelen van een analoog signaal gebruikmakend van een discreet tijdsysteem. C/D=continu/discreet en D/C=discreet/continu Het ingangsignaal x a (t) en het uitgangsignaal y a (t) zijn analoge signalen, T s is de bemonsteringsperiode, x[n] en y[n] zijn de respectievelijke discrete ingang- en uitgangsignaal en H(e (jω) ) is de systeemfunctie van het discreet systeem.
16 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN Matlab en Signaal Analyse Een continu signaal x (t) gegeven in een analytische vorm kan gedefinieerd en afgebeeld worden gebruikmakend van het software pakket Matlab. Om het gebruik te illustreren beschouwen we het volgende signaal ( ) 2 x (t) = exp ( 0.1t) sin 3 t. (1.44) Een plot van x (t) versus t voor verschillende waarden van t kan gegenereerd worden met Matlab. Bijvoorbeeld, voor t variërend van 0 tot 30 in stappen van 0.1 seconden, de Matlab commando s voor het genereren van x (t) zijn Algoritme 1.1 Een continu signaal x (t). t = 0:0.1:30; x = exp(-0.1*t).*sin(2/3*t); plot(t,x) axis([ ]); grid ylabel( x(t) ) xlabel( Time (sec) ) De resulterende plot van x (t) wordt getoond in Figuur(1.18). In contrast met een continu x(t) Time (sec) Figuur 1.18: Matlab plot van het signaal x (t) = exp ( 0, 1t) sin ( 2 3 t). signaal x (t), het discreet signaal voorgesteld door x [n] wordt in Matlab afgebeeld in een
17 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 16 stem plot. De waarden van x [n] worden gemerkt in de plot door gesloten cirkels welke met lijnen verbonden zijn met de tijd-as. Bijvoorbeeld, veronderstel dat het discreet signaal x [n] wordt gegeven door x [ 2] = 0, x [ 1] = 0, x [0] = 1, x [1] = 2, x [2] = 1, x [3] = 0, (1.45) x [4] = 1, x [5] = 0, x [6] = 0 De stem plot van x [n] is weergegeven in Figuur (1.19). Een plot van dit signaal kan worden gegenereerd gebruikmakend van volgende Matlab commando s Algoritme 1.2 Een discreet signaal x [n]. n = -2:6; x=[ ]; stem(n,x); xlabel( n ) ylabel( x[n] ) x[n] n Figuur 1.19: Matlab plot voor x [n].
18 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 17 Verschillende elementaire functies (eenheidstapfunctie, hellingfunctie en impulsfunctie) worden gedefinieerd in Matlab als volgt function u = step_function(t) u = 0.5*(sign(t + eps) + 1); % Functie voor het genereren van de hellingfunctie % function r = ramp_function(t) r = 0.5*t.*(sign(t) + 1); %Functie voor het genereren van de eenheidimpuls % function impuls = impuls_function(t, delta) impuls = ( step_function(t+delta/2) - (step_function(t-delta/2))/delta; Om het gebruik van deze functies te demonstreren genereren we volgende functies. Het resultaat (zie Figuur 1.20) en de programma s worden hieronder weergegeven. 1. een stapfunctie met beginpunt t = 2 naar rechts gaande. 2. Een hellingsfunctie met helling 2 vertrekkende vanaf t = Een éénheidimpuls voortkomend bij t = 3.5. Algoritme 1.3 Construeren van een Stap-, helling- en impulsfunctie t = -10 : : 10; x = step_function(t-2); y = 2*ramp_function(4+t); z = impuls_function(t+3.5, 0.05); subplot(3,1,1) plot(t,x) axis([ ]) xlabel( t ) ylabel( u(t-2) ) subplot(3,1,2) plot(t,y) xlabel( t ) ylabel( 2r(4+t) ) subplot(3,1,3) plot(t,z) axis([ ]) xlabel( t ) ylabel( delta(t+3) )
19 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN u(t 2) t 30 2r(4+t) delta(t+3) t t Figuur 1.20: Verschillende elementaire signalen bepaald en geplot met Matlab. Verdere voorbeelden van elementaire signalen en het bouwen van meer complexe signalen worden nu besproken. Bijvoorbeeld, het construeren van s (t) = 4u (t 1) + ( 4)u(t 2). (1.46) De plot van s (t) is weergegeven in Figuur (1.21). Een plot van dit signaal kan worden gegenereerd gebruikmakend van volgende Matlab commando s Algoritme 1.4 Construeren van een rechthoekige puls t = -10 : : 10; x =4*step_function(t-1)+(-4)*step_function(t-2); plot(t,x) axis([ ]) xlabel( t ) ylabel( s(t) ) Een eenvoudige manier om een rechthoekige pulstrein te construeren is gebruikmaken van de eigenschap dat de stapfunctie gelijk is aan 0 wanneer zijn argument negatief is. De functie ( ( )) πt s (t) = u sin (1.47) T is nul wanneer sin ( ) πt T negatief is. De plot is weergegeven in Figuur (1.22). Een plot van dit signaal kan worden gegenereerd gebruikmakend van volgende Matlab commando s
20 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN s(t) t Figuur 1.21: Constructie van een rechthoekige puls met een stapfunctie. Algoritme 1.5 Construeren van een rechthoekige puls trein. t = -0.2 : : 6; T=1; x = step_function(sin(pi*t/t)); plot(t,x) axis([ ]) xlabel( t ) ylabel( s(t) ) Als laatste voorbeeld, beschouw een puls zoals voorgesteld in Figuur(blz 33, Network analyse and synthese). Deze puls kan met de elementaire functies als volgt worden geschreven: 1. Voor dalende t, de eerste van nul verschillende component is de functie 2 (t 1) u (t 1). 2. Bij t = 2, het stijgen van de rechte lijn wordt gestopt met de term 2 (t 2) u (t 2) 3. Het niveau wordt op nul gebracht met 2u (t 2). Dit wordt samengevat in Figuur (blz 33, Network analyse and synthese). De plot is weergegeven in Figuur (1.23). Een plot van dit signaal kan worden gegenereerd gebruikmakend van volgende Matlab commando s
21 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN s(t) t Figuur 1.22: Het signaal u ( sin ( )) πt T met Matlab. Algoritme 1.6 Construeren van een driehoekpuls. t = 0: : 5; x=2*ramp_function(t-1).*step_function(t-1)-2*ramp_function(t-2).* step_function(t-2)-2*step_function(t-2); plot(t,x) axis([ ]) xlabel( t ) ylabel( s(t) )
22 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN s(t) t 1.8 Oefeningen Signalen en classificatie van signalen Figuur 1.23: Driehoekpuls met Matlab. Oefening 1.1 Gegeven een continu tijdssignaal x(t), zie Figuur Teken elk van de volgende signalen (a) x(t 2), Figuur 1.25(a) (b) x(2t), Figuur 1.25(b) (c) x( t ), Figuur 1.25(c) 2 (d) x( t), Figuur 1.25(d)
23 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 22 Figuur 1.24: Oplossing Figuur 1.25:
24 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 23 Oefening 1.2 Gegeven twee discrete tijdssignalen x 1 [n] en x 2 [n], zie Figuur Stel volgende signalen op een grafiek voor (a) y 1 [n] = x 1 [n] + x 2 [n], Figuur 1.27(a) (b) y 2 [n] = 2x 1 [n], Figuur 1.27(b) (c) y 3 [n] = x 1 [n]x 2 [n], Figuur 1.27(c) Oplossing Figuur 1.26: Figuur 1.27:
25 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 24 Oefening 1.3 Gegeven een continu tijdssignaal x(t), Figuur Teken de volgende signalen (a) x(t)u(1 t) (b) x(t)[u(t) u(t 1)] (c) x(t)δ(t 3 2 ) Figuur 1.28: Oplossing (a) Volgens de definitie van de stapfunctie geldt u(1 t) = { 1, t < 1; 0, t > 1. en x(t)u(1 t) is voorgesteld in Figuur 1.29(a) (b) Volgens de definitie van de stap u(t) u(t 1) = { 1, 0 < t 1; 0, anders. en x(t)[u(t) u(t 1)] is voorgesteld in Figuur 1.29(b) (c) Volgens (1.23) ( x(t)δ t 3 ) = x 2 ( ) ( 3 δ t 3 ) ( = 2δ t 3 ) wordt voorgesteld in Figuur 1.29(c)
26 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 25 Figuur 1.29: Oefening 1.4 Bereken volgende integralen (a) 1 1 (3t2 + 1)δ(t) dt (b) 2 1 (3t2 + 1)δ(t) dt (c) (t2 + cos πt)δ(t 1) dt (d) e t δ(2t 2) dt Oplossing (a) Volgens vergelijking (1.18), met a = 1 en b = 1 geldt 1 1 (3t 2 + 1)δ(t) dt = (3t 2 + 1) t=0 = 1 (b) Volgens vergelijking (1.18), met a = 1 en b = 2 geldt (c) Volgens vergelijking (1.19) 2 1 (3t 2 + 1)δ(t) dt = 0 (t 2 + cos πt)δ(t 1) dt = (t 2 + cos πt) t=1 = 1 + cos π = 1 1 = 0
27 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 26 (d) Gebruikmakend van vergelijkingen (1.19) en (1.20) e t δ(2t 2) dt = = e t δ[2(t 1)] dt e t 1 δ(t 1) dt 2 = 1 2 e t t=1 = 1 2e
28 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 27 Oefening 1.5 Beschouw de condensator in Figuur 1.30 (a) Bepaal de ingang-uitgang relatie (b) Bepaal of het systeem (i) geheugenloos, (ii) causaal, (iii) lineair of (iv) tijdsinvariant is. Figuur 1.30: Oplossing (a) Indien we aannemen dat de capaciteit C constant is, dan bestaat er volgend verband tussen het uitgangsvoltage y(t) over de condensator en de ingangsstroom x(t) y(t) = T {x(t)} = 1 C t x(τ) dτ (1.48) (b) (i) Uit vergelijking (1.48) kunnen we zien dat de uitgang y(t) van vorige en huidige waarde van de ingang afhangt. Dus het systeem is niet geheugenloos (ii) aangezien de uitgang y(t) dus niet afhankelijk is van toekomstige waarden van de ingang is het systeem causaal (iii) Stel x(t) = α 1 x 1 (t) + α 2 x 2 (t). Dan is t y(t) = T {x(t)} = 1 [α 1 x 1 (τ) + α 2 x 2 (τ)] dτ C [ 1 t ] [ 1 t ] = α 1 x 1 (τ) dτ + α 2 x 2 (τ) dτ C C = α 1 y 1 (t) + α 2 y 2 (t) of m.a.w. het systeem is lineair (iv) Stel y 1 (t) is de uitgang afkomstig van de verschoven ingangsstroom in de tijd x 1 (t) = x(t t 0 ). Er geldt y 1 (t) = T {x(t t 0 )} = 1 C = 1 C t t0 Het systeem is dus tijdsinvariant t x(λ) dλ = y(t t 0 ) x(τ t 0 ) dτ
29 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 28 Oefening 1.6 Het discrete tijdssysteem, Figuur 1.31, is bekend als The Unit Delay Element. Bepaal of het systeem (a) geheugenloos, (b) causaal, (c) lineair of (d) tijdsinvariant is. Figuur 1.31: Unit Delay element Oplossing (a) De ingang-uitgangsrelatie wordt gegeven door y[n] = T {x[n]} = x[n 1] (1.49) Aangezien de uitgangswaarden bij n afhankelijk zijn van de ingangswaarden bij n 1, zal het systeem niet geheugenloos zijn. (b) Aangezien de uitgang niet afhangt van toekomstige ingangswaarden, zal het systeem causaal zijn. (c) Stel x[n] = α 1 x 1 [n] + α 2 x 2 [n]. Dan geldt y[n] = T {α 1 x 1 [n] + α 2 x 2 [n]} = α 1 x 1 [n 1] + α 2 x 2 [n 1] Het systeem is dus lineair = α 1 y 1 [n] + α 2 y 2 [n] (d) Stel y 1 [n] is de respons op x 1 [n] = x[n n 0 ]. Bijgevolg zal y 1 [n] = T {x 1 [n]} = x 1 [n 1] = x[n 1 n 0 ] en y[n n 0 ] = x[n n 0 1] = x[n 1 n 0 ] = y 1 [n] Het systeem is tijdsinvariant.
30 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 29 Oefening 1.7 Gegeven de ingang-uitgang relatie y = T [x] = x 2. Toon aan dat het systeem niet-lineair is. oplossing T [x 1 + x 2 ] = (x 1 + x 2 ) 2 = x x 1 x 2 + x 2 2 (1.50) T [x 1 ] + T [x 2 ] = x x 2 2 (1.51) (1.50) (1.51), dus het systeem is niet-lineair. Oefening 1.8 Gegeven de ingang-uitgang relatie y = T [x] = ax + b. Toon aan dat het systeem nietlineair is oplossing T [x 1 + x 2 ] = a (x 1 + x 2 ) + b (1.52) T [x 1 ] + T [x 2 ] = ax 1 + b + ax 2 + b = a (x 1 + x 2 ) + 2b (1.53) (1.52) (1.53), dus het systeem is niet-lineair. Oefening 1.9 Laat T een continu LTI systeem voorstellen. Toon aan dat T [exp (st)] = λ exp (st), s is een complexe variabele en λ C. bewijs Laat y (t) de uitgang van het systeem zijn met als ingang x (t) = exp (st). Dan Daar het systeem tijdsinvariant is, hebben we T [exp (st)] = y (t). (1.54) T [exp (s (t + t 0 ))] = y (t + t 0 ) (1.55) voor een willekeurige t 0. Het systeem is lineair, en we kunnen (1.55) schrijven als T [exp (s (t + t 0 ))] = T [exp (st) exp (st 0 )] = exp (st 0 ) T [exp (st)] = exp (st 0 ) y (t). (1.56) Uit (1.54) en (1.56) Stel t = 0 en we verkrijgen y (t + t 0 ) = exp (st 0 ) y (t). (1.57) y (t 0 ) = exp (st 0 ) y (0). (1.58)
31 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 30 Daar t 0 is willekeurig, vervangen van t 0 door t, kunnen we (1.58) herschrijven als y (t) = exp (st) y (0) = λ exp (st) (1.59) of T [exp (st)] = λ exp (st), (1.60) waarbij λ = y (0). Een functie x ( ) dat voldoet aan de vergelijking T [x ( )] = λx ( ) (1.61) wordt een eigenfunctie (of karakteristieke functie) van de operator T genoemd, en de constante λ is de eigenwaarde.
32 HOOFDSTUK 1. SIGNALEN EN SYSTEMEN 31 Oefening 1.10 Bepaal de ingang-uitgang relatie van het teruggekoppelde systeem voorgesteld in Figuur Figuur 1.32: oplossing De ingang van de eenheid vertragingselement is x [n] y [n]. Dus de uitgang y [n] van het vertragingselement is y [n] = x [n 1] y [n 1]. (1.62) Herschikken van (1.62) geeft y [n] + y [n 1] = x [n 1]. (1.63) De ingang-uitgang relatie van het systeem kan geschreven worden als een eerste-orde verschilvergelijking met constante coëfficiënten.
1. Gegeven een Lineair Stationair Systeem in continue-tijd. Als aan het systeem het ingangssignaal
. Gegeven een Lineair Stationair Systeem in continue-tijd. Als aan het systeem het ingangssignaal { 0 t u(t) = 0 elders aangelegd wordt, dan is het corresponderende uitgangssignaal t 0 t y(t) = 2 t t 2
Nadere informatie1. Gegeven x Y, waaraan is de fouriergetransformeerde gelijk? f g 1
1. Gegeven x Y, waaraan is de fouriergetransformeerde gelijk? (a) X ỹ (b) x Y 2π (c) 2π X ỹ (d) X y Vanwege Volgt er Of dus antwoord (1a). x X 2π x f g 1 2π F G x Y X ỹ 2. 4 personen lenen eenzelfde bedrag
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Inleiding Signalen (2Y490) op 15 augustus 2003
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Inleiding Signalen (Y49) op 5 augustus 3 VGF: Bij de vraagstukken zullen ook Veel Gemaakte Fouten (VGF) worden
Nadere informatieInleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Evenwichtspunt.x 0 ; y 0 ; u 0 / heet een evenwichtspunt
Nadere informatieTRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES
Nadere informatieHOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse
HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse 1. Netwerkanalyse situering analyseren van het netwerk = achterhalen van werking, gegeven de opbouw 2 methoden manuele methode = reductie tot Thévenin- of Norton-circuit zeer
Nadere informatieAntwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen
1. Rekenen met complexe getallen 1.1 a. 9 b. 9 c. 16 d. i e. 1 1. a. 1 b. 3 c. 1 d. 4 3 e. 3 4 1.3 a. 3 i b. 3 i c. i d. 5 i e. 15 i 1.4 a. 33 i b. 7 i c. 4 3 i d. 3 5 i e. 5 3 i 1.5 a. 1 ± i b. ± i c.
Nadere informatieHoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit
Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieDigitale systemen. Hoofdstuk 6. 6.1 De digitale regelaar
Hoofdstuk 6 Digitale systemen Doelstellingen 1. Weten dat digitale systemen andere stabiliteitsvoorwaarden hebben In deze tijd van digitalisatie is het gebruik van computers in regelkringen alom.denk maar
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
Nadere informatieComplexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Nadere informatieUitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f
Nadere informatieTOELATINGSEXAMEN ANALYSE BURGERLIJK INGENIEUR EN BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - 3 JULI 2003 BLZ 1/8
BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - 3 JULI 2003 BLZ 1/8 1. De functie f(x) = e kx + ax + b met a, b en k R en k < 0 heeft een schuine asymptoot y = x voor x + en voldoet aan de vergelijking Bepaal a, b en
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatie1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen
1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1.1 Algemene begrippen Een (gewone) differentiaalvergelijking heeft naast de onafhankelijke veranderlijke (bijvoorbeeld genoteerd als x), eveneens een onbekende functie
Nadere informatieDe parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor
Nadere informatieStelsels lineaire differentiaalvergelijkingen (homogeen)
Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen (homogeen) Voorbeeld Voorbeeld ( 7., Opgave 22) Op t = 0 bevatten de vaten respectievelijk 25 en 5 oz (ounces) zout. 3 september 206 Onderzoeken we hoeveel
Nadere informatieSamenvatting Systeem & Signaal Analyse
Samenvatting Systeem & Signaal Analyse Wieland Wuyts AJ 2008-2009 Inhoud H1. Signalen en Systemen... 4 De correlatiefunctie... 4 H2. Lineaire Systemen: het toestandsmodel... 5 Discrete stap systemen...
Nadere informatieInhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft
Nadere informatie1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen
1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING Veel fysische systemen, van groot tot klein, mechanisch en elektrisch, kunnen trillingen uitvoeren. Daarom is in de natuurkunde het bestuderen van trillingen van groot
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je
Nadere informatie7. Hamiltoniaanse systemen
7. Hamiltoniaanse systemen In de moleculaire dynamica, maar ook in andere gebieden zoals de hemelmechanica of klassieke mechanica, worden oplossingen gezocht van het Hamiltoniaanse systeem van differentiaalvergelijkingen
Nadere informatie2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen?
Vraag Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V liter zuiver water. Tijdens de eerste faze stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van k kilogram per liter, de tank binnen
Nadere informatiex(t + T ) = x(t) Voorbeeld 1. Beschouw het niet-lineaire autonome stelsel . (1) y x + y y(x 2 + y 2 )
97 Periodieke oplossingen en limit ccles We beschouwen weer autonome stelsels van de vorm x (t) = f(x(t)), waarbij het rechterlid dus niet expliciet van t afhangt We gaan onderzoeken wanneer er periodieke
Nadere informatieDoe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.
De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.
Nadere informatieAanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen
de Bachelor EIT 2de en de Bachelor Wiskunde Academiejaar 215-216 1ste semester 26 januari 216 Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen 1. Gegeven een homogene lineaire partiële
Nadere informatieOvergangsverschijnselen
Hoofdstuk 5 Overgangsverschijnselen Doelstellingen 1. Overgangsverschijnselen van RC en RL ketens kunnen uitleggen waarbij de wiskundige afleiding van ondergeschikt belang is Als we een condensator of
Nadere informatieExamen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica
Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:
Nadere informatieopgave 1. (2 pt) kies het juiste antwoord; motiveer kort je antwoord s b) de overdrachtsfunctie van een systeem is H( s) =
ECHNISCHE UNIVERSIEI EINDHOVEN FAC. BIOMEDISCHE ECHNOLOGIE Schriftelijk tentamen Signaal en Systeemanalyse (8E8) gehouden op maandag 3 oktober van 9:-: (4 opgaven) - Je mag bij dit tentamen gebruik maken
Nadere informatiex 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt).
76 Complexe eigenwaarden Ook dit hebben we reeds gezien bij Lineaire Algebra Zie: Lay, 57 Als xt ve rt een oplossing is van de homogene differentiaalvergelijking x t Axt, dan moet r een eigenwaarde van
Nadere informatieEXAMENFOLDER maandag 26 januari 2015 OPLOSSINGEN. Vraag 1: Een gelijkstroomnetwerk (20 minuten - 2 punten)
Universiteit Gent naam: Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur voornaam: de Bachelor Ingenieurswetenschappen richting: Opties C,, TN en W prof. Kristiaan Neyts Academiejaar 4-5 erste xamenperiode
Nadere informatie1e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari y = u sin(vt) dt. wordt voorgesteld door de matrix
e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari 9. Opgave: Bereken dt ( q) als p = (, ), q = (, ) en p u+v x = e t dt T : (u, v) (x, y) : u y = u sin(vt) dt Oplossing:
Nadere informatieBIOFYSICA: WERKZITTING 08 en 09 (Oplossingen) ELEKTRISCHE KRINGEN
1ste Kandidatuur ARTS of TANDARTS Academiejaar 2002-2003 Oefening 11 (p29) BIOFYSICA: WERKZITTING 08 en 09 (Oplossingen) ELEKTRISCHE KRINGEN Bereken de stromen in de verschillende takken van het netwerk
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Nadere informatie2de bach HIR. Optica. Smvt - Peremans. uickprinter Koningstraat Antwerpen EUR
2de bach HIR Optica Smvt - Peremans Q uickprinter Koningstraat 13 2000 Antwerpen www.quickprinter.be 231 3.00 EUR Trillingen 1. Eenparige harmonische beweging Trilling =een ladingsdeeltje beweegt herhaaldelijk
Nadere informatieDe studie van vlakke krommen gegeven in parametervorm. Lieve Lemmens en Andy Snoecx
De studie van vlakke krommen gegeven in parametervorm Doelstellingen Lieve Lemmens en An Snoecx Deze tekst stelt een voorbeeld van de analyse van een kromme met de Texas TI-NSpire (en/of computersoftware)
Nadere informatieTentamen Inleiding Meten en Modelleren Vakcode 8C120 7 april 2010, uur. Het gebruik van een (grafische) rekenmachine is toegestaan.
Tentamen Inleiding Meten en Modelleren Vakcode 8C1 7 april 1, 9. - 1. uur Dit tentamen bestaat uit 4 opgaven. Indien u een opgave niet kunt maken, geeft u dan aan hoe u de opgave zou maken. Dat kan een
Nadere informatieOF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0
Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x,
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van de
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2018: algemene feedback
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica september 8 - reeks - p. IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 8: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen
Nadere informatie= a x(au)y(at au)du. = a(ts a x TS a y) 2. Gegeven x Y, waaraan is de fouriergetransformeerde gelijk? f g 1
1. TS a (x y is gelijk aan (a a(x TS a (y (b x TS a(y a (c TS a x TS a y (d a(ts a x TS a y Het gevraagde uitwerken levert TS a (x y = x(τy(at τdτ = a x(auy(at audu = a(ts a x TS a y. Gegeven x Y, waaraan
Nadere informatieHoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen
Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n)
Nadere informatieGetallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Nadere informatieTentamen Mechanica ( )
Tentamen Mechanica (20-12-2006) Achter iedere opgave is een indicatie van de tijdsbesteding in minuten gegeven. correspondeert ook met de te behalen punten, in totaal 150. Gebruik van rekenapparaat en
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks 4 - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling
Nadere informatieSignalen en Transformaties
Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Complexe getallen z D a C bi We definiëren de complex
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 2018: feedback deel wiskunde
IJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 8: feedback deel wiskunde Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen 5 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur-architect
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 2018: feedback deel wiskunde
IJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 8: feedback deel wiskunde Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen 5 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur-architect
Nadere informatieResultaten IJkingstoets Bio-ingenieur 1 september Nummer vragenreeks: 1
Resultaten IJkingstoets Bio-ingenieur september 8 Nummer vragenreeks: Resultaten IJkingstoets Bio-ingenieur september 8 - p. / Aan de KU Leuven namen in totaal 8 aspirant-studenten deel aan de ijkingstoets
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatieDe Laplace-transformatie
De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie is een instrument dat functies omzet in andere functies. Deze omzetting, de transformatie, heeft nette wiskundige eigenschappen. Zowel in de kansrekening
Nadere informatie2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatie(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a
Samenvatting wiskunde h4 hoofdstuk 3 en 6, h5 hoofdstuk 4 en 6 Hoofdstuk 3 Voorkennis Bij het rekenen met machten gelden de volgende rekenregels: - Bij een vermenigvuldiging van twee machten met hetzelfde
Nadere informatie5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm
5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm x y + xy + (x ν )y = met ν R (1) heet een Bessel (differentiaal)vergelijking. De waarde van ν noemt men ook wel de orde
Nadere informatieTentamen Systeemanalyse (113117)
Systeemanalyse (113117) 1/6 Vooraf Tentamen Systeemanalyse (113117) 17 augustus 2010, 8:45 12:15 uur Dit is een open boek tentamen, hetgeen betekent dat gebruik mag worden gemaakt van het dictaat Systeemanalyse
Nadere informatieHoofdstuk 1: Inleiding
Hoofdstuk 1: Inleiding 1.1. Richtingsvelden. Zie Stewart, 9.2. 1.2. Oplossingen van enkele differentiaalvergelijkingen. Zelf doorlezen. 1.3. Classificatie van differentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Definitie Betekenis van de afgeleide 1 2 Standaardafgeleiden
Nadere informatieDEC SDR DSP project 2017 (2)
DEC SDR DSP project 2017 (2) Inhoud: DSP software en rekenen Effect van type getallen (integer, float) Fundamenten onder DSP Lezen van eenvoudige DSP formules x[n] Lineariteit ( x functie y dus k maal
Nadere informatieSystemen en signalen 6SP: 21 augustus 2018 Permutatiecode 6
Sstemen en signalen 6SP: 1 agsts 018 Permtatiecode 6 Opmerkingen bij deze opgavenbndel Controleer of je opgavenbndel 0 vragen bevat. Schrijf naam, voornaam en stdentennmmer onderaan deze pagina. Ho de
Nadere informatieRegeltechniek. Les 2: Signaaltransformaties. Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot
Regeltechniek Les 2: Signaaltransformaties Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Regeltechniek: Tijdschema
Nadere informatieMachten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
Nadere informatieP is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).
Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie
Nadere informatieHoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen
Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen De inhoud van hoofdstuk 3 zou grotendeels bekende stof moeten zijn. Deze stof is terug te vinden in Stewart, hoofdstuk 17. Daar staat alles
Nadere informatieWiskunde Vraag 1. Vraag 2. Vraag 3. Vraag 4 21/12/2008
Wiskunde 007- //008 Vraag Veronderstel dat de concentraties in het bloed van stof A en van stof B omgekeerd evenredig zijn en positief. Als de concentratie van stof A met p % toeneemt, dan zal de concentratie
Nadere informatieVOORBLAD SCHRIFTELIJKE TOETSEN
VOORBLAD SCHRIFTELIJKE TOETSEN OPLEIDING : MECHATRONICA TOETSCODE : UITWERKINGEN MECH5-T GROEP : MEH2 TOETSDATUM : 4 APRIL 206 TIJD : :00 2:30 AANTAL PAGINA S (incl. voorblad) : 9 DEZE TOETS BESTAAT UIT
Nadere informatieAanvullingen van de Wiskunde
3de Bachelor EIT - de Bachelor Fysica Academiejaar 014-015 1ste semester 7 januari 015 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven is een lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde 1: a 1 (x 1,,
Nadere informatie2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax
00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten
Nadere informatieWetenschappelijk Rekenen
Wetenschappelijk Rekenen Eamen - Bacheloropleiding informatica Oefeningen 10 juni 2014 1. In de oefeninglessen hebben we gezien dat we de machine-epsilon bekomen bij het berekenen van ( 4 1) 1. Beschouw
Nadere informatieToets 1 IEEE, Modules 1 en 2, Versie 1
Toets 1 IEEE, Modules 1 en 2, Versie 1 Datum: 16 september 2009 Tijd: 10:45 12:45 (120 minuten) Het gebruik van een rekenmachine is niet toegestaan. Deze toets telt 8 opgaven en een bonusopgave Werk systematisch
Nadere informatieGrafieken van veeltermfuncties
(HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken
Nadere informatieInleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni Nummer vragenreeks: 1
IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni 206 Nummer vragenreeks: IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 29 juni 206 - reeks - p. /0 Oefening Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag
Nadere informatieExamen Analyse 2 : Theorie (zonder Maple). (7 januari 2014)
Examen Analyse 2 : Theorie (zonder Maple). (7 januari 204). Maclaurin reeksen. Geef met bewijs de Maclaurin reeksontwikkeling van de logaritmische functie ln( + x). Geef ook het convergentie-interval van
Nadere informatieIjkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback
IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur
Nadere informatie8. Differentiaal- en integraalrekening
Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,
Nadere informatieTentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Nadere informatiedx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π
Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)
Nadere informatie4051CALC1Y Calculus 1
4051CALC1Y Calculus 1 College 23 23 oktober 2014 1 Programma Vanmiddag Trillingen (8.7) 2 Herhaling 2 e orde homogene lineaire differentiaal vergelijking De algemene oplossing voor ay + by + cy = 0 wordt
Nadere informatieNetwerkanalyse, Vak code Toets 2
Netwerkanalyse, Vak code 11005 Toets Datum : Vrijdag 30 januari 009 Plaats : Spiegel Tijd : 9:00h - 1:00h Algemeen Denk eraan je naam op ieder blad in te vullen! Voorzie, indien van toepassing, je uitwerking
Nadere informatieDeel 2. Basiskennis wiskunde
Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de functie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de functie f in het punt 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D)
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1
Les Talor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatieMonte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2
1 INLEIDING 1 Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 Volg stap voor stap de tekst en los de vragen op. Bedoeling is dat je op het einde van de rit een verzorgd verslag afgeeft
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieDossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra
Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2
Nadere informatieDerde serie opdrachten systeemtheorie
Derde serie opdrachten systeemtheorie Opdracht 1. We bekijken een helicopter die ongeveer stilhangt in de lucht. Bij benadering kan zo n helicopter beschreven worden door het volgende stelsel vergelijkingen
Nadere informatieHet oplossen van vergelijkingen Voor het benaderen van oplossingen van vergelijkingen van de vorm F(x)=0 bespreken we een aantal methoden:
Hoofdstuk 4 Programmeren met de GR Toevoegen: een inleiding op het programmeren met de GR Hoofdstuk 5 - Numerieke methoden Numerieke wiskunde is een deelgebied van de wiskunde waarin algoritmes voor problemen
Nadere informatieVlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk
Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en
Nadere informatieLineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten
Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten 1 Differentiaalvergelijkingen Als we een functie y : t y(t) expliciet, in formulevorm, kennen, dan is het niet zo moeilijk hiervan de afgeleide
Nadere informatieIjkingstoets industrieel ingenieur UGent/VUB, september 2015
IJkingstoets 4 september 05 - reeks - p. /0 Ijkingstoets industrieel ingenieur UGent/VUB, september 05 Oefening De evolutie van een bepaalde radioactieve stof in de tijd volgt het wiskundig model N (t)
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2002-I
Uit de kust Een kustlijn bestaat uit drie rechte stukken AB, BC en CD, die hoeken van 90 met elkaar maken. De lengte van elk recht stuk is 4 kilometer. Zie figuur. In de figuur zijn twee stippellijnen
Nadere informatie5 Lineaire differentiaalvergelijkingen
5 Lineaire differentiaalvergelijkingen In veel toepassingen in de techniek en de exacte wetenschappen wordt gewerkt met differentiaalvergelijkingen om continue processen te modelleren. Het gaat dan meestal
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid
Nadere informatieBIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing
1 ste jaar Bachelor BIOMEDISCHE WETENSCHAPPEN Academiejaar 006-007 BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing 1 Opgave 1 Een blokje met massa 0, kg heeft onder aan een vlakke helling een snelheid van 7,
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2
wiskunde B1,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatieInleiding MATLAB (2) november 2001
Inleiding MATLAB (2) Stefan Becuwe Johan Vervloet november 2 Octave gratis MATLAB kloon Min of meer MATLAB compatibel http://www.octave.org/ % Script PlotVb % % Plot regelmatige driehoek t/m tienhoek PlotVb.m
Nadere informatieDSP Labo 3&4: Fourier
DSP Labo 3&4: Fourier 24 januari 25 Inhoudsopgave Inleiding 3 2 Analyse 3 2. Fourierreeks 3 2.. Complex 3 2..2 Som van sinussen en cosinussen 3 2..3 Verband tussen beide vormen 4 2.2 Fourierreeks van enkele
Nadere informatie