Vakantiecursus Tel uit je winst wiskunde in geld en spelen

Transcriptie

1 Vakantiecursus 2009 Voor leraren in de exacte vakken aan vwo, havo, hbo leerlingen en andere belangstellenden organiseert het Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) in 2009 een vakantiecursus met als thema: Tel uit je winst wiskunde in geld en spelen Ook dit jaar betreft het een tweedaagse cursus, die zowel in Eindhoven als in Amsterdam wordt gehouden en wel op vrijdag 21 augustus en zaterdag 22 augustus bij het CWI, Science Park 123 (voorheen Kruislaan 413) te Amsterdam, (zie de routebeschrijving) en op vrijdag 28 augustus en zaterdag 29 augustus in het Auditorium van de Technische Universiteit Eindhoven, Den Dolech te Eindhoven. De cursus is voor wiskundedocenten van elk niveau toegankelijk. De deelnemers ontvangen bij de aanvang van de cursus een boekje met teksten van de voordrachten. Het cursusgeld bedraagt 75. Voor studenten van lerarenopleidingen is het cursusgeld slechts 25. Bij de cursus is inbegrepen een warme maaltijd op vrijdag en een lunch op zaterdag. Aanmelding Aanmelding voor deelname aan de cursus kan: door het aanmeldingsformulier achter in deze brochure in te vullen en vóór 10 augustus 2009 op te sturen aan het CWI; via de website waar een online registratieformulier ingevuld en opgestuurd kan worden, eveneens vóór 10 augustus Deze cursus geldt als nascholingsactiviteit. Voor geïnteresseerden is een nascholingscertificaat beschikbaar. Degene die daar prijs op stelt, gelieve het betreffende formulier in te vullen of dit via het elektronische registratieformulier aan te geven. Deze cursus werd mede mogelijk gemaakt door een subsidie van de Nederlandse Organisatie voor Wetenschappelijk Onderzoek (NWO). 1

2 vrijdag 21 augustus Programma Amsterdam 21 augustus en 22 augustus Ontvangst, koffie Tel uit je winst de wiskunde van geld en spelen Prof.dr. J.M. Aarts Social Software in Vier Voorbeelden Prof.dr. J. van Eijck Pauze :30 Smeergeld Dr. B. Windels Warme maaltijd Een introductie in financiële producten en markten Prof.dr.ir. C.W. Oosterlee Pauze Spelen met groepentheorie Prof.dr. P. Stevenhagen zaterdag 22 augustus De wiskundige onmogelijkheid van democratie Drs. Vincent van der Noort Pauze De binomiale boom Dr. J.A.M. van der Weide Lunch Wiskunde en Sport Prof.dr. G. Sierksma Pauze Tijd baart rozen: lijfrentes in Nederland in de 17e en 18e eeuw Prof.dr. J.P. Hogendijk Sluiting 2

3 vrijdag 28 augustus Programma Eindhoven 28 augustus en 29 augustus Ontvangst, koffie Tel uit je winst de wiskunde van geld en spelen Prof.dr. J.M. Aarts Social Software in Vier Voorbeelden Prof.dr. J. van Eijck Pauze :30 Smeergeld Dr. B. Windels Warme maaltijd Een introductie in financiële producten en markten Prof.dr.ir. C.W. Oosterlee Pauze Spelen met groepentheorie Prof.dr. P. Stevenhagen zaterdag 29 augustus De wiskundige onmogelijkheid van democratie Drs. Vincent van der Noort Pauze De binomiale boom Dr. J.A.M. van der Weide Lunch Wiskunde en Sport Prof.dr. G. Sierksma Pauze Tijd baart rozen: lijfrentes in Nederland in de 17e en 18e eeuw Prof.dr. J. P. Hogendijk Sluiting 3

4 Ten geleide J.M. Aarts Technische Universiteit Delft De vakantiecursus wordt georganiseerd door het CWI (Centrum Wiskunde & Informatica), in samenwerking met de NVvW (de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren) onder auspicieën van NWO (de Nederlandse Organisatie voor Wetenschappelijk Onderzoek. Dit jaar wordt de cursus voor de 63e keer georganiseerd. Of het nu gaat om de tactiek bij sport en spel of om de strategie bij onderhandelingen op financiële markten en meer algemeen bij intermenselijke activiteiten, of het nu gaat om de echte knikkers of om de spreekwoordelijke, overal speelt de wiskunde een grote rol. Het doel van de cursus is om dat duidelijk over het voetlicht te brengen. De sprekers zijn niet alleen experts op hun vakgebied, maar ook goede vertellers. Verzekeringen (in het bijzonder pensioenen) zijn heel belangrijk en spelen een grote rol in s mensen leven. Dat is al heel lang het geval, zoals Prof.dr. J.P. Hogendijk ons zal vertellen in Tijd baart rozen: lijfrentes in Nederland in de 17e en 18e eeuw. In de moderne wereld van het geld wordt u ingeleid door Prof.dr.ir. C.W. Oosterlee in de lezing Introductie in financiële produkten en markten en Dr. J.A.M. Van der Weide met een betoog over De binomiale boom. Waar moeten we nu de intrigerende titel Smeergeld van Dr. B. Windels plaatsen? De wiskunde die komt kijken bij het samenstellen van het meest productieve voetbalteam komt aan de orde in Wiskunde en Sport van Prof.dr. G. Sierksma. Dat ook een abstract vak als algebra veel heeft van een spelletje leert ons Prof. dr. P. Stevenhagen. Dat er verrassend veel wiskunde aan de orde komt bij meer algemene intermenselijke activiteiten leren ons de lezingen Social Software in Vier Voorbeelden van Prof.dr. J. van Eijck en De wiskundige onmogelijkheid van democratie van Drs. Vincent van Noort. 4

5 Social Software in Vier Voorbeelden Prof.dr. J. van Eijck Centrum Wiskunde & Informatica Social software is een paraplu-term voor algoritmen die de intermenselijke omgang proberen te regelen. Dit soort algoritmen heeft de laatste tijd de aandacht getrokken van logici en informatici. We geven een inleiding in het onderwerp aan de hand van vier voorbeelden. Elk voorbeeld wordt geïllustreerd met een tekening van Marco Swaen. Voorbeeld 1: Het Salomonsoordeel Voorbeeld 2: Het probleem van de gecoördineerde actie 5

6 Voorbeeld 3: Het ontstaan van kennis en geloof in groepsverband Voorbeeld 4: De tragedie van het gezamenlijk erfgoed De tekeningen zijn uit het boek Discourses on Social Software, Jan van Eijck en Rineke Verbrugge (eds.), Texts in Logic and Games 5, Amsterdam University Press

7 Smeergeld Dr. B Windels Karel de Grote-Hogeschool Bart.Windels@telenet.be In de lespraktijk stellen we vast dat de som 7-13 = 6 voor veel leerlingen moeilijker is dan het bepalen hoeveel geld je tekort komt als je 7 bij je hebt en 13 moet betalen. Beide situaties zijn nochtans wiskundig equivalent. Geld maakt, zo blijkt, een aantal onderwerpen visueler, duidelijker, makkelijker of beter verteerbaar. In deze voordracht illustreren we aan de hand van een aantal concrete voorbeelden hoe geld kan worden gebruikt als pedagogisch motivator of als didactisch glijmiddel. In het bijzonder zullen we bekijken welke nare financiële paradox Nederland vermijdt door géén federaal land te zijn. 7

8 Een introductie in financiële producten en markten Prof.dr.ir. C.W. Oosterlee Centrum Wiskunde & Informatica Als je een financiële instelling goed bekijkt blijkt er een grote behoefte te zijn aan medewerkers met een toegepast wiskundig inzicht. Financial Engineers worden ze genoemd, of ook wel Quants (quantitative analysts) en Rocket Scientists on Wall Street is veel voorkomende kreet. Naast de handelsafdelingen met de handelaars zijn er ook groepen binnen banken die zich met het valideren van wiskundige modellen bezighouden en met het opstellen van modellen voor nieuwe produkten. In deze les bespreken we de wiskundige modellering van een aantal financiële basisprodukten, zoals het aandeel en de optie. Een basisinstrument is het aandeel. Het representeert een klein stukje van een firma. De prijs van een aandeel wordt bepaald door de huidige waarde van een firma en de verwachtingen van de winst van die firma in de toekomst. De toekomstige waarde van een aandeel is dus onzeker. Omdat aandeelprijzen een random component bevatten zijn wiskundige modellen voor aandeelprijzen gebaseerd op stochastische differentiaalvergelijkingen. Er zijn verschillende modellen in omloop die allen interessante wiskundige aspecten bevatten. Vanzelfsprekend worden deze getoetst aan gegevens uit het verleden. Een ander belangrijk financieel instrument is de optie. Opties zijn contracten tussen twee partijen om in de toekomst aandelen te kopen of verkopen tegen een afgesproken prijs. De twee partijen heten houder (holder) van de optie en uitgever (writer) van de optie. Er hangt een prijskaartje aan een optiecontract, een bedrag dat de holder aan de writer betalen moet. Het bepalen van een faire prijs voor een optie, in afhankelijkheid van een gekozen aandelenmodel, is de wiskundige opgave waar wij ons mee bezighouden. Pas op 26 april 1973 werden opties voor het eerst verhandeld op een beurs. Toen begon men op The Chicago Board Options Exchange met standaard beursgenoteerde opties. Nu worden er wereldwijd op meer dan 50 beurzen standaard opties verhandeld. In Nederland is dat bij de Euronext optiebeurs op Beursplein 5 in Amsterdam. Naast de standaard opties, die op de beurzen worden verhandeld, stellen banken ook niet-standaard optiecontracten ( exotics ) op voor bedrijven met speciale wensen. Deze opties moeten ook geprijsd worden. Hier volgt een korte beschrijving van een standaard optie, de koopoptie of call. De houder van deze optie mag in de toekomst aandelen kopen voor een afgesproken prijs. De andere partij (schrijver) moet aandelen verkopen, als de houder wil kopen. De schrijver ontvangt de optieprijs, maar heeft een verplichting 8

9 in de toekomst: hij levert de aandelen tegen de van tevoren afgesproken prijs. Dit kan een groot risico opleveren. Als aandelen bijvoorbeeld veel meer waard geworden zijn dan die afgesproken prijs moet de writer ze eventueel duur kopen en tegen de goedkopere prijs aan de holder doorverkopen. Die holder verkoopt de aandelen dan direct op de aandelenmarkt voor de hogere marktprijs en kan een flinke winst maken. Schrijvers gebruiken opties echter als een soort verzekering tegen de invloed van onverwachte bewegingen in de aandelenmarkt. Er zijn opties die voor een writer meer waard worden als aandeelprijzen dalen, en er zijn opties die minder waard worden als aandeelprijzen stijgen. Met een slimme combinatie van aandelen en opties in een portefeuille, kan de portefeuille voor korte tijd risicovrij gemaakt worden. Een reductie van risico, bijvoorbeeld door aandelen en opties te combineren, heet hedgen. Als een writer een optie kan verkopen voor iets meer dan hij volgens een model waard is, en vervolgens steeds zijn portefeuille perfect (risicovrij) aanpast tot de uitoefendatum van de optie, maakt hij een risicovrije winst. De waarde van een aandeel wordt dus als een stochastische differentiaalvergelijking gemodelleerd. Op basis daarvan zal voor een eenvoudige zogenaamde Europese optie een partiële differentiaalvergelijking opgelost dienen te worden. Voor deze contracten bestaat er een analytische oplossing. Oplossingen zijn hier in het algemeen de prijzen van deze produkten op het tijdstip t=0. Voor vele andere produkten is het niet meer mogelijk om analytische oplossingen te vinden voor de bijbehorende prijzen en moet toevlucht genomen worden tot technieken uit de numerieke wiskunde. Tevens geven we aan in welke richtingen de financiële markten geëvalueerd zijn en hoe zij steeds complexere producten zijn gaan definiëren. Ook bespreken we welke impact dit heeft op de wiskundige modellen en de oplossingen. 9

10 Spelen met groepentheorie Prof.dr. P. Stevenhagen Universiteit Leiden Er zijn veel draai- en schuifpuzzeltjes waarvan men met hulpmiddelen uit de groepentheorie de (on)oplosbaarheid kan bestuderen. Men kan hier denken aan het klassieke 15-puzzeltje van Sam Loyd of aan gecompliceerdere voorbeelden als de kubus van Rubik. Ik zal laten zien hoe de taal van de groepentheorie hier op natuurlijke wijze naar voren komt, en aanleiding geeft tot allerlei vragen en antwoorden. 10

11 De wiskundige onmogelijkheid van democratie Drs. Vincent van der Noort Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Bij de Britse lagerhuisverkiezingen op 5 mei won Labour 55% van de zetels met slechts 35% van de stemmen. In 2000 won Bush de Amerikaanse presidentsverkiezingen met stemmen minder dan Gore. Bij veel referenda is het voor voor -stemmers beter om thuis te blijven dan om te gaan stemmen. Fraude? Omkoperij? Intimidatie? Nee, nog erger: simpele wiskunde. Rare verschijnselen zoals hierboven worden in de wiskunde verkiezingsparadoxen genoemd. Door de manier waarop de verkiezingen georganiseerd zijn, kan de uitkomst van de verkiezingen anders zijn dan je logischerwijze zou verwachten. In het geval van Groot-Brittannië en Amerika is de oorzaak het districtenstelsel. Het is geen groot nieuws dat dit soort stelsels tot verkiezingsparadoxen kunnen leiden. Schokkender is het dat in ieder kiessysteem dit soort paradoxen kunnen voorkomen. In 1951 bewees ene Kenneth Arrow dat geen enkel kiessysteem helemaal eerlijk is, en dat volmaakte democratie dus wiskundig onmogelijk is. Dit schokkende feit was goed voor een Nobelprijs economie. Zeker met alle veranderingen in de organisatie van de EU die voor de deur staan, is het interessant om te kijken wat voor paradoxen er zoal mogelijk zijn. Daarom in dit artikel een groot aantal (vereenvoudigde) voorbeelden. Ook zal ik uitleggen wat Kenneth Arrow bedoelt met volmaakte democratie. Wie meer wil weten over het bewijs dat dit een onhaalbare kaart is of over de kiessystemen zoals die in de Europese grondwet staan, zie links onderaan het artikel in de syllabus. Speciaal voor scholieren/docenten is er een verkorte versie van dit artikel beschikbaar met vragen en opdrachten. 11

12 De binomiale boom Dr. J.A.M. van der Weide Instituut van Toegepaste Wiskunde, Faculteit EWI, Technische Universiteit Delft De financiële markten staan meer in de belangstelling dan ooit. Een aantal kranten heeft zelfs een economisch katern. De crisis waar de economie nu in verkeert heeft daar ook zeker mee te maken. Inmiddels is ook iedereen er zich van bewust dat het handelen op beurzen niet voorbehouden is aan de zeer rijken die daar komen voor een gezonde gok. Via pensioenfondsen en via onze hypotheek zijn we allemaal betrokken bij het gebeuren op de beurs. Wat wordt er dan zoal verhandeld op financiële markten? Behalve aandelen waarmee je deel-eigenaar wordt van een bedrijf, is er een veelheid aan afgeleide producten. Wij willen in deze zomercursus ingaan op de vraag hoe prijzen bepaald worden van derivaten en we zullen dit doen aan de hand van een simpel, maar zeer krachtig wiskundig model, de binomiale boom. Dit model is de basis voor veel kwantitatieve afdelingen van banken en financiële instellingen om de prijs te bepalen van derivaten. De prijs speelt een belangrijke rol bij het hedgen van een contract, waarmee financiële risico's kunnen worden afgedekt. Figuur 1. Huis van de familie van der Beurse, Brugge. De binomiale boom kan eenvoudig geïmplementeerd worden in bijvoorbeeld EXCEL. Voor een applet die een illustratie geeft van de binomiale boom verwijzen we bijvoorbeeld naar de site, zie het webadres hierboven. De crisis waar we nu in zitten leert dat de afdekking van risico's in het recente verleden niet overal goed gelukt is. Figuur 2. Binomiale Boom 12

13 Wiskunde en Sport Prof.dr. G. Sierksma Rijksuniversiteit Groningen, Faculteit Economie en Bedrijfskunde Er is een wereld van verschil tussen sport en wiskunde, maar beide hebben in toenemende mate met elkaar te maken gekregen. Beslissingen over een efficiënt gebruik van haar belangrijkste kapitaal, de atleten, worden steeds minder genomen op basis van intuïtie en gezond verstand alleen, maar meer en meer door ook gebruik te maken van geavanceerde computersystemen. De Rijksuniversiteit Groningen ontwikkelt in samenwerking met het bedrijf ORTEC/TeamSupport- Systems systemen die trainers, coaches en atleten ondersteunen. Centraal in deze systemen staat de vraag hoe de atleet zich ontwikkelt en hoe hij/zij presteert in vergelijking tot zijn collega s. Voor de voetballerij zijn twee systemen ontwikkeld en op de markt gebracht, namelijk Coach & Scout Assistant (C&SA) en Effectivity in Action (EiA). C&SA is een systeem waarmee de toegevoerde waarde van gescoute spelers wordt berekend en hun optimale veldpositie. EiA meet prestaties van spelers gedurende de wedstrijd en berekent grafieken van de koers van de effectiviteit van beide teams. De gebruikte algoritmen zijn gebaseerd op methoden uit de operations research en de optimaliseringswiskunde. De systemen zijn, naast voetbal, ook geschikt gemaakt voor andere teamsporten, zoals volleybal en basketbal. 13

14 Tijd baart rozen: levensverzekeringen en lijfrenten in Nederland in de achttiende eeuw Prof.dr. J.P. Hogendijk Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht en Leiden In de achttiende eeuw was Nederland wiskundig gezien een achtergebleven gebied, behalve in de theorie van de levensverzekeringen en de lijfrenten. We zullen beginnen met het bespreken van enkele coryfeeën op dit gebied en hun ruzies. We beginnen met Nicolaas Struyck ( ) en Willem Kerssenboom ( ) en eindigen bij Jan Hendrik van Swinden ( ). Daarna zullen we een paar leuke concrete voorbeelden behandelen. De wiskunde is niet heel moeilijk en het materiaal kan ook geschikt zijn voor gebruik in de klas. Het plaatje is verschenen in 1749 ter gelegenheid van het het oprichten van vele weduwenbeurzen in dat jaar. Het jonge getrouwde stel komt zich bij de beurs inschrijven: tegen betaling van een jaarlijkse contributie zal het fonds na het overlijden van de man een pensioen aan de vrouw uitkeren. 14

15 Cursusgeld Het cursusgeld bedraagt 75, voor Eindhoven en voor Amsterdam, waarbij de syllabus en de maaltijden zijn inbegrepen. Voor studenten aan lerarenopleidingen bedraagt het cursusgeld 25. Aanmelding Bij Minnie Middelberg per via de website: of per post door het aanmeldingsformulier achterin de brochure in te vullen en op te sturen naar: Centrum Wiskunde & Informatica t.a.v. Minnie Middelberg Postbus GB Amsterdam Tegelijkertijd dient men het cursusgeld over te maken op bankrekening van de Stichting Wiskunde & Informatica Conferenties bij de RABObank te Amsterdam onder vermelding van uw naam en VC2009. Onze buitenlandse gasten kunnen voor betaling gebruik maken van onderstaande gegevens. BIC RABONL2U IBAN NL76RABO NB. Deze cursus geldt als nascholingsactiviteit. Voor geïnteresseerden is een nascholingscertificaat beschikbaar. Degene die daarop prijs stelt, gelieve dit bij aanmelding te laten weten door invulling en toezending van het formulier op pagina 20. Plaats Amsterdam: CWI, Science Park 123, Turingzaal. Eindhoven: Auditorium TU Eindhoven, Den Dolech. Syllabus De syllabus zal worden uitgereikt bij aankomst op de cursus. Informatie Voor nadere informatie over de Vakantiecursus kunt u zich wenden tot Minnie Middelberg, tel , Minnie.Middelberg@cwi.nl Voor informatie over overnachtingen in Eindhoven kunt u contact opnemen met de VVV aldaar via het telefoonnummer of via de beschikbare website 15

16 Contacten Centrum Wiskunde & Informatica Minnie Middelberg, Centrum Wiskunde & Informatica, Science Park 123, 1098 XG, Postbus 94079, 1090 GB Amsterdam, ; Annette Kik, voorlichter, ; Docenten Prof.dr. J.M. Aarts, Faculteit EWI, Technische Universiteit Delft, Postbus 5031, 2600 GA Delft, Prof.dr. J. van Eijck, CWI, Postbus 94079, 1090 GB Amsterdam, Dr. B. Windels, Karel de Grote-Hogeschool, Pothoekstraat 125, B-2060, Antwerpen, Prof.dr.ir. E.C.W. Oosterlee, CWI, Postbus 94079, 1090 GB Amsterdam, Prof.dr. P. Stevenhagen, Universiteit Leiden, Postbus 9512, 2300 RA Leiden, Drs. Vincent van der Noort, Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht, Budapestlaan 6, 3584 CD Utrecht Dr. J.A.M. van der Weide, Faculteit EWI, TUD, Postbus 5013, 2600 GA, Delft, Prof.dr. G. Sierksma, Rijksuniversiteit Groningen, Faculteit Economie en Bedrijfskunde, Postbus 800, 9700 AV Groningen, Prof.dr. J.P. Hogendijk, Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht en Universiteit Leiden, Postbus , 3508 TA, Utrecht, 16

17 Routebeschrijving CWI Met openbaar vervoer: Zowel vanaf station Amsterdam-Amstel als vanaf station Amsterdam Muiderpoort gaat bus 40 naar het Science Park Amsterdam. Deze bus rijdt ook op zaterdag. Sinds kort gaat er ook een bus 240 vanaf het Amstelstation deze rijdt alleen vanaf Amstelstation en terug en niet op zaterdag. Vanaf station Amsterdam-Centraal: een stoptrein of metro naar Amsterdam- Amstel. Vandaar: zie hierboven. Een alternatief is tram 9 naar het kruispunt Middenweg-Kruislaan en vandaar lopend over de Kruislaan naar het Science Park Amsterdam (ongeveer 1 km). Met de auto: Alle autowegen naar Amsterdam komen uit op de rondweg rond Amsterdam: de ring (A10). Wanneer u uit de richting Amersfoort komt, neemt u de ring richting Utrecht/Den Haag. Wanneer u uit de richting Utrecht/Den Haag/Schiphol/Haarlem of Zaandam komt, neemt u de ring richting Amersfoort. Op de ring neemt u de afslag Watergraafsmeer/S113 (ring Oost). Aan het eind van de afrit volgt u de richting Science Park/Watergraafsmeer. U rijdt dan op de Middenweg. Bij de eerste kruising met stoplichten gaat u naar rechts: de Kruislaan. Na circa 1 km ligt het Science Park Amsterdam aan de linkerkant van de weg. Sinds 1 januari 2009 heeft het CWI een nieuw adres gekregen, Science Park 123. Aan cursisten die gebruik maken van een navigatiesysteem of via Google een routebeschrijving opvragen, wordt aangeraden om het adres Kruislaan 413 in te voeren. Technische Universiteit Eindhoven Auditorium Met openbaar vervoer: Alle universiteitsgebouwen liggen vlakbij het NS-station Eindhoven. U gaat de perrontrap af, dan rechtsaf en via de uitgang aan de noordzijde naar het busstation. U ziet de universiteitsgebouwen schuin rechts liggen op enkele minuten loopafstand. Op het TUE-terrein borden volgen naar Auditorium. Met de auto: U rijdt Eindhoven binnen richting Centrum. Borden Technische Universiteit volgen. U komt dan op de campus. Hier volgt u de borden Auditorium. 17

18 18

19 Ondergetekende, Naam: Functie: Adres: Postcode: Woonplaats: Telefoon: AANMELDINGSFORMULIER VAKANTIECURSUS 2009 Tel uit je winst wiskunde in geld en spelen wenst deel te nemen aan de Vakantiecursus 2009, die zal worden gehouden te Amsterdam op vr. 21 en za. 22 augustus 2009 [ ] Eindhoven op vr. 28 augustus en za. 29 augustus 2009 [ ] en heeft het verschuldigde bedrag van 75,- (dan wel 25,-) overgemaakt (voor rekeningnummers zie pagina 15). Mijn voorkeur gaat uit naar vegetarisch eten [ ] Nascholingscertificaat [ ] Indien van toepassing, hier het adres van de onderwijsinstelling vermelden:.. Gelieve dit formulier vóór maandag 10 augustus 2009 te sturen naar: Centrum Wiskunde & Informatica t.a.v. Minnie Middelberg Postbus GB Amsterdam 19

20 NASCHOLINGSCERTIFICAAT VAKANTIECURSUS 2009 Tel uit je winst wiskunde in geld en spelen Naam: Voornamen (zonder afkortingen): Geboortedatum: Geboorteplaats: Gelieve dit formulier vóór 10 augustus 2009 te sturen naar: Centrum Wiskunde & Informatica t.a.v. Minnie Middelberg Postbus GB Amsterdam 20