Impartiële spellen. Marie Beth van Egmond, Lisa Steverink. 12 juli Project wiskunde 2 Begeleiding: dr. Roland van der Veen

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Impartiële spellen. Marie Beth van Egmond, Lisa Steverink. 12 juli 2013. Project wiskunde 2 Begeleiding: dr. Roland van der Veen"

Transcriptie

1 Impartiële spellen Marie Beth van Egmond, Lisa Steverink 12 juli 2013 Project wiskunde 2 Begeleiding: dr. Roland van der Veen Korteweg-De Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam

2 Samenvatting Wiskundigen worden al eeuwen beziggehouden door spelletjes. Behalve een bron van ontspanning levert het ook een heleboel wiskundig onderzoek op. Dit onderzoek heeft als einddoel om een theorie over Dots and Boxes te vormen. Er is gekozen om het spel te benaderen via impartïele spellen. Dit zijn spellen waarvoor de normaal spel-regel geldt: de persoon die niet meer kan spelen verliest. Dots and Boxes is geen impartieel spel, maar laat zich wel goed benaderen door een impartiële versie ervan. Impartiële spellen zijn interessant omdat de stelling van Sprague en Grundy zegt dat alle impartiële spellen equivalent zijn aan het spel Nim. De theorie hierover is compleet, dus samen met deze equivalentie kunnen we een heleboel zeggen over impartiële spellen. Door het spel Dots and Boxes gedeeltelijk te zien als een impartieel spel, kunnen we strategieën bewijzen die gelden voor dit spel. Tot slot wordt er nog een open probleem, het zogenaamd 1 n Greenlandic Dots & Boxes, behandeld met de beschreven theorieën. Titel: Impartiële spellen Auteurs: Marie Beth van Egmond, Lisa Steverink, Begeleiding: dr. Roland van der Veen Einddatum: 12 juli 2013 Korteweg-De Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Science Park 904, 1098 XH Amsterdam 2

3 Inhoudsopgave 1. Inleiding 5 2. Definities Wat is een spel? Impartiële spellen Getallen zijn spellen Optellen van spellen Equivalentierelaties De groep impartiële spellen De stelling van Sprague en Grundy Inleiding Nimbers Verband mex-operatie en binaire optelling De stelling van Sprague en Grundy Equivalente spellen Inleiding Het spel Nim Winnende strategie Bewijs winnende strategie Poker Nim Silver Dollar Game Kayles Nimstring Dots and Boxes Inleiding Strings and Coins Strategie Dots and Boxes Bijzondere zetten The Long Chain Rule Typen ketens Benadering van Dots and Boxes met nimbers n Dots and Boxes Een open probleem n Greenlandic Nimstring Nimstring Kayles-ranken n Dots and Boxes

4 6.4. Kleine spellen Symmetrisch Dots and Boxes Even spellen Conclusie Project Populaire Samenvatting 44 A. Nimbers in Nimstring 46 Bibliografie 47 4

5 1. Inleiding Het gebied van de wiskundige spellen is een wondere wereld binnen de wiskunde. Wiskundigen houden zich al eeuwen bezig met schaak, maar om hier iets wiskundigs over te zeggen is bijna onmogelijk. Er zijn namelijk meer mogelijke mogelijke posities in een schaakspel dan dat er atomen op de wereld zijn. Schaak is echter een zogenaamd partijdig spel, wat betekent dat beide spelers verschillende mogelijkheden hebben. Ze mogen immers alleen met hun eigen stukken spelen. Tegenover de partijdige spellen staan de impartiële spellen. Dit zijn spellen de mogelijkheden tot zetten in een beurt niet afhangt van de speler die aan beurt is. Een van de simpelste impartiële spellen is het spel Nim. Nim is een eeuwenoud Chinees spel, dat overal met een paar kleine voorwerpen gespeeld kan worden. Het werkt als volgt: neem een eindig aantal stenen (lucifers, muntjes, stukjes papier) en verdeel ze in verschillende rijen. Nu mogen de twee spelers om de beurt zoveel stenen pakken als zij willen, maar wel maar van één stapel. Degene die de laatste steen pakt heeft gewonnen. Als je dit spel vaak speelt, kom je er misschien achter dat het uitmaakt of je begint of niet. In 1902 bevestigde wiskundige Bouton inderdaad dat het spel Nim volledig wiskundig kan worden beschreven en je gemakkelijk kunt uitrekenen of je al dan niet moet beginnen om te winnen [1]. Behalve dat Nim een leuk spelletje is en dat je je cafémaatjes ermee kunt imponeren, blijkt het ook een zeer belangrijke rol te spelen in het beschrijven van andere impartiële spellen.twee wiskundigen, Sprague (1935) [2] en Grundy (1939) [3] hebben beiden bewezen dat er een equivalentie bestaat tussen het spel Nim en elk willekeurig ander impartieel spel. Dit zou in theorie betekenen dat we dus van elk impartieel zouden kunnen uitrekenen of we moeten beginnen of niet om het spel te winnen. Dit blijkt echter niet altijd even makkelijk, omdat sommige impartiële spellen veel extra spelregels hebben waardoor ze nog weinig op Nim lijken. In dit verslag zal het spel Dots and Boxes (Kamertje Verhuren) geanalyseerd worden met behulp van impartiële spellen. Dots and Boxes is geen impartieel spel, want de speler met de meeste hokjes wint. De equivalentie tussen Nim en Dots and Boxes is dan ook nooit volledig beschreven, maar kan benaderd worden via een aantal tussenstappen in de vorm van simpelere spellen die ertussen staan. Ook kunnen er aan de hand hiervan tactieken bepaald worden voor het spel. In dit verslag zal eerst de wiskundige uitleg van impartiële spellen gegeven worden. Vervolgens zal de stelling van Sprague en Grundy worden bewezen. Daarna zullen er verschillende equivalenties beschreven worden die leiden tot een beter inzicht in het spel Dots and Boxes. Uiteindelijk zal er nog gekeken worden naar een bijzondere vorm van Dots and Boxes, dat een open probleem vormt binnen de theorie over impartiële spellen. Dit is de Dots and Boxes met 1 n hokjes. Dit lijkt een simpel spel, maar blijkt erg ingewikkeld. In dit verslag zal een poging worden gedaan meer inzicht te krijgen in dit specifieke spel door het te vergelijken met een wiskundig opgelost spel. Zo wordt bestaande kennis gebruikt om onbekende terreinen meer te doorgronden. 5

6 2. Definities 2.1. Wat is een spel? De filosoof Ludwig Wittgenstein was waarschijnlijk de eerste wetenschapper die een definitie probeerde te geven van een spel. In zijn Philosophische Untersuchungen [4] schrijft hij dat er voor alle elementen die je zou kunnen benoemen van een spel zoals, het heeft regels en er is een winnaar wel een uitzondering te vinden is. Hierdoor is er volgens hem geen sluitende definitie te geven voor een spel. Toch is er veel onderzoek naar spellen gedaan en blijft men zijn best doen om de definitie in te dammen.we kunnen een spel zien als een artificieel conflict waartoe spelers zich toeleggen. In de wiskunde zien we dit als een verzameling van zetten die spelers kunnen doen. We vergeten dan als het ware de speler en kijken bijvoorbeeld niet naar de psychologie achter een spel, maar slechts nog objectief naar de stappen die gezet kunnen worden. Een wiskundige definitie voor een spel met twee personen is, volgens Albert, Nowakowski en Wolfe (2007) [5] een paar van verzamelingen van zetten. Dit paar bestaat uit de zetten voor de eerste speler wat we schrijven als G L en de zetten van de tweede speler; G R. Definitie 2.1. Een spel G is {G L G R }. Elke speler heeft dus een verzameling van mogelijk zetten die hij kan doen. Definitie 2.2. Een verzameling van de k zetten van een speler is: G = {G 1, G 2,...G k }. Het verloop van een spel waaiert dus al snel uit tot een heleboel verschillende vervolgsituaties, omdat elke directe vervolgzet weer een verzameling is van de mogelijke secundaire vervolgzetten. We kunnen dit voor Boter-Kaas-en-Eieren weergeven in een onderstaande spelboom, waarin elke tak een mogelijke vervolgzet weergeeft. In Boter-Kaas-en-Eieren mag de eerste speler steeds één kruisje in een hokje zetten, en de tweede speler speelt met een rondje. De speler die als eerste een opeenvolgend rijtje van drie kruisjes òf drie rondjes heeft gevormd, heeft gewonnen. Zie Figuur 2.1, waarin symmetrisch gelijke zetten in dezelfde tak zijn opgenomen. Deze verzamelingstheoretische definitie van een spel is heel breed. In dit verslag beperken we ons tot de deelverzameling van de zogenaamde impartiële spellen Impartiële spellen In de wereld van wiskundige spellen met twee spelers kunnen we twee soorten spellen onderscheiden: de partijdige spellen (partisan games) en de impartiële spellen. Een impartieel spel definieren we als een spel waarbij de speler L dezelfde zetten heeft als speler R. Dit maakt de wiskundige definitie iets simpeler. Definitie 2.3. Voor een impartieel spel G geldt G L = G R. Definitie 2.4. Een impartieel spel G wordt gedefinieerd door zijn mogelijke zetten. G = {G 1, G 2,.., G k }. 6

7 Figuur 2.1.: Een deel van het mogelijke verloop van het spel Boter-Kaas-en-Eieren. Een voorbeeld van een partijdig spel is schaak. Bij schaak heeft iedere spelen eigen stukken en dus ook zijn eigen mogelijke zetten. Een gebeurtenis in een spel schaak hangt dus af van wie er aan de beurt is. Bij een impartieel spel hangt het hier niet vanaf, de spelers hebben beiden dezelfde mogelijkheden. Een impartieel spel hangt dus alleen af van de spelsituatie. Er zijn nog een paar eisen waar een impartieel spel in onze theorie aan moet voldoen. Dit zijn: I Perfecte informatie: Alle informatie is beschikbaar voor beide spelers. Er wordt geen informatie achtergehouden zoals bij bijvoorbeeld een kaartspel waarbij spelers niet van elkaar weten welke kaarten ze hebben. II Geen kans: Er zit geen kanselement in het spel. III Eindigheid: Het spel moet na een eindig aantal zetten afgelopen zijn. IV Normaal spel: Dit betekent dat degene die niet meer kan spelen maar wel aan de beurt is verliest. V Zetten onafhankelijk van beurt: Beide spelers kunnen precies dezelfde zetten doen. Het enige verschil tussen speler 1 en speler 2 is dat speler 1 begint. VI Optioneel: Om de beurt zetten. In sommige impartiële spellen ben je aan de beurt zodra de andere speler een zet heeft gedaan. In andere spellen mag je nog een keer zetten als je bijvoorbeeld een muntje hebt gepakt, zoals bij Nimstring. Opmerking. Een leuke manier om IV te onthouden is: het gaat niet om het winnen, het gaat om het meedoen. Dus als je niet meer mee kan doen heb je verloren. Opmerking. Als men niet normaal speelt, heet dit misèrespel. Hier wint juist de speler die geen zet meer kan doen. Het rekenen met deze spellen blijkt echter veel ingewikkelder. 7

8 In dit verslag worden vaak alle zetten geanalyseerd, maar er wordt ook regelmatig uitgegaan van perfect spel. Dit betekent dat beide spelers de optimale zet doen in elke beurt. Menselijke fouten worden dan uitgesloten. Als het bekend is van een speler dat hij of zij kan winnen, dan zal dit ook gebeuren. Voorbeeld 2.5. Een voorbeeld van een impartieel spel is het spel Nim. Nim is een spel dat wordt gespeeld met een eindig aantal stapels met een eindig aantal stenen. Om de beurt mogen de spelers zoveel stenen van één stapel pakken als ze willen. Een speler die aan zet is moet minstens één steen pakken. Degene die de laatste steen pakt, heeft gewonnen (de volgende speler kan immers niet meer spelen). Nim voldoet aan alle eisen van een impartieel spel. Iedereen weet hoeveel stenen er liggen, dus er is perfecte informatie. Er zit geen kans in het spel en er zijn een eindig aantal stenen dus het spel is in een eindig tijdsbestek afgelopen. Er geldt de regel van normaal spel en beide spelers hebben dezelfde opties. Ook geldt de optionele eis VI, de spelers spelen om de beurt. Het spel Nim blijkt een heel belangrijk impartieel spel te zijn, hier komen we in hoofdstuk 3 nog op terug Getallen zijn spellen J.H. Conway zet in zijn boek On Numbers and Games [6] volledig uiteen dat elk getal kan worden gezien als een spel. Hij begint met een citaat van Von Schiller: Whatever is not forbidden, is permitted. Vervolgens zet hij de regels uiteen van het spel dat de getallen vormen. We zullen dit nu laten zien voor de natuurlijke getallen. We kunnen een natuurlijk getal zien als de verzameling van zijn voorgangers, bijvoorbeeld 3 = {0, 1, 2}. In het algemeen geldt dus voor een getal n: n = {0,..., n 1}. Zo kunnen getallen recursief worden opgebouwd. We beschouwen nu een spel G met een stapel stenen die uit n stenen bestaat, waaruit je willekeurig veel stenen mag pakken. Je moet minimaal één steen pakken. Uit de definitie van een spel volgt nu dat G = {0,..., n 1}. We kunnen elk getal n dus zien als dit spel G. Ergo, elk natuurlijk getal is een spel! We kunnen spellen en getallen opbouwen vanuit het niets : de lege verzameling. We noemen het eindspel, dus het spel waarbij niet meer gespeeld kan worden, de lege verzameling. Er zijn immers geen zetten meer. Vanuit het spel met één steen is de enige zet de overgang naar de lege verzameling, dus 1 = { }. Vanuit een spel met twee stenen kun je naar een spel met één steen of naar het lege spel, dus 2 = {{ }, }. We kunnen breuken en negatieve getallen ook zien als spellen. Hiervoor verwijzen we naar Conways gedetailleerde boek [6] Optellen van spellen We hebben gezien dat we spellen kunnen zien als een verzameling. Nu kunnen we ook een optelling definiëren voor deze spellen. Het idee van het optellen van twee spellen is dat je deze spellen tegelijkertijd speelt, en iedere speler in zijn beurt kan kiezen of hij een zet doet in het ene spel of een zet in het andere spel. Als het ene spel afgelopen is, wordt er verder gespeeld in het andere spel. Degene die in het laatste spel wint, wint de optelling van het spel. Wie er in het andere spel gewonnen heeft doet er niet toe. Dit kan gedaan worden met elk spel, bijvoorbeeld met Schaak en Go, zoals weergegeven in Figuur 2.2. De optelling van een impartieel spel kan formeel als volgt gedefinieerd worden: 8

9 Figuur 2.2.: Het optellen van Schaak en Go. Definitie 2.6. Voor impartiële spellen G en H, G + H = {G + h voor h in H} {H + g voor g in G}. Deze optelling is commutatief en associatief, en de spellen vormen een groep. De impartiële spellen vormen een ondergroep van de spellen. De groepsaxioma s hiervan zullen hieronder bewezen worden. Opmerking. Omdat dit verslag slechts gaat over impartiële spellen, zal vanaf nu met een spel altijd een impartieel spel bedoeld worden, tenzij anders aangegeven Equivalentierelaties Spellen vormen een dus groep. Op deze groep kunnen we equivalentierelaties definiëren. Elk spel blijkt een uitkomstenklasse te hebben, dit betekent dat je kunt weten of de eerste of tweede speler zal winnen (we gaan immers uit van perfect spel). Uitkomstenklasse N- positie betekent dat de eerste speler zal winnen en uitkomstenklasse P-positie betekent dat de tweede speler zal winnen. Nu kunnen we een equivalentierelatie definiëren aan de hand van de uitkomstenklasse. Definitie 2.7. Voor spellen G en H, G H G en H dezelfde uitkomstenklasse (N-positie of P-positie) hebben. Deze equivalentierelatie vormt twee klassen en is dus een vrij zwakke equivalentieraltie. We kunnen ook een sterkere equivalentierelatie definiëren aan de hand van de optelling van spellen. Twee spellen G en H zijn equivalent dan en slechts dan als de spellen G + I en H + I voor een willekeurig spel I, dezelfde uitkomstenklasse hebben. Definitie 2.8. Voor spellen G en H, G H G en H G H dan en slechts dan als voor elk ander spel I geldt dat G + I H + I. Tot slot kunnen we een nog sterkere equivalentierelatie definiëren door te kijken naar de spelboom. Vanuit de definitie van een spel kunnen we dan eigenlijk zeggen dat twee spellen gelijk zijn, want ze hebben exact dezelfde verzameling van zetten. Definitie 2.9. Voor spellen G en H, G = H G en H dezelfde spelboom hebben. Voor deze drie equivalentierelaties geldt nu: Lemma G = H G H G H. 9

10 2.6. De groep impartiële spellen Spellen vormen dus een groep met als ondergroep de impartiële spellen. We zullen nu bewijzen dat de impariële spellen een groep vormen, hiervoor hebben we echter eerst twee lemma s nodig. Deze lemma s zullen later ook nog handig blijken bij het bewijzen van de stelling van Sprague en Grundy. Lemma Voor elk spel G en spel A, waarbij A is een P-positie, geldt A + G G. Bewijs. We zullen moeten aantonen dat G + H dezelfde uitkomstklasse heeft als G + A + H. We maken een gevalsonderscheid in de positie van G + H. Als G + H een P-positie is, dan is G + H + A ook een P-positie. De optelling van twee P-positie-spellen is namelijk altijd een P-positie. Doet de eerste speler namelijk een zet in het spel G + H, dan kan de tweede speler de winnende zet doen in hetzelfde spel en dan zijn er weer twee P-positie spellen. Dit geldt ook als de eerste speler een zet doet in het spel G + H + A. De tweede speler kan dus altijd de twee spellen P-positie laten en uiteindelijk is een van de spellen eerder afgelopen, dan kan dat andere spel nog worden afgerond en gewonnen door de tweede speler. Dus G + A + H is een P-positie als G + H een P-positie is. Als G + H een N-positie is, dan is er een winnende strategie voor de eerste speler in het spel G+H +A. Hij begint in het spel G+H +A namelijk met een winnende zet in het spel G+H, waardoor G + H een P-positie wordt. Dan is dus G + H + A ook een P-positie zoals hierboven beschreven. De eerste speler heeft dan dus het hele spel in een P-positie omgezet, en is vanaf dat moment zelf de previous player, dus zal het spel kunnen winnen. G + H + A is dan dus een N-positie. Lemma Voor impartiële spellen geldt dat G G G+G is een P-positie. Bewijs. Het spel G + G is een P-positie, want het is symmetrisch. De tweede speler kan dus steeds na-apen wat de eerste speler doet totdat het spel is afgelopen. Als G equivalent met G dan mag je aan beide kanten G optellen, wegens de equivalentierelatie. Dan is dus G + G G + G en G + G is een P-positie dus G + G is ook een P-positie. Als G + G een P-positie dan geldt: G G + (G + G ), we mogen immers altijd een P-positie spel erbij optellen volgens Lemma 6.6. Wegens associativiteit geldt G+(G+G ) (G+G)+G en omdat G + G een P-positie geldt nu (G + G) + G G. Stelling Impartiële spellen vormen een Abelse groep Imp onder de optelling van spellen + en de equivalentie. Bewijs. We zullen de groepsaxioma s afgaan. Geslotenheid: Neem G, H Imp dan geldt G + H Imp. G + H voldoet immers aan alle eisen van een impartieel spel, waaronder normaal spel. Degene die niet meer kan zetten in G + H heeft immers verloren. Associativiteit:: Neem G, H, F Imp. Dan moet gelden dat G+(H+F ) (G+H)+F. Het spel G + (H + F ) betekent dat je bij een zet mag kiezen of je een zet doet in G of in H + F. In het spel H + F mag je ook kiezen of je een zet doet in H of in F. Het spel G + (H + F ) betekent dus dat je een zet mag doen in G, H of F. Bij het spel (G + H) + F mag je kiezen of je een zet doet in F of in G + H, dus of je een zet doet in G,H of F. De spellen G + (H + F ) en (G + H) + F hebben dus dezelfde spelbomen. Wegens Lemma 2.10 geldt dus dat G + (H + F ) (G + H) + F. 10

11 Eenheidselement: Het eenheidselement van Imp is het lege spel. Er moet dan gelden dat G + + G G. Nu hebben de spellen G en G + en + G dezelfde spelbomen, je kunt in de laatste twee spellen namelijk alleen zetten doen in G. Als ze allen dezelfde spelboom hebben geldt ook de gevraagde equivalentie volgens Lemma Invertibiliteit: Elk spel G Imp heeft een inverse, namelijk G. Er geldt moet dan gelden G+G. Hiervoor moeten we bewijzen dat G+G+H dezelfde uitkomstenklasse heeft als het spel H +. Dit doen we met behulp van de hiervoor bewezen lemma s. Lemma 2.12 zegt dat G + G P-positie is, immers G G. Dus geldt dat volgens Lemma 2.11 dat G+G+H H. Nu weten we dat het eenheidselement is, dus geldt H H +. Dus ook G + G + H H + Commutativiteit: Voor de spellen G en H geldt G + H H + G. In het spel G + H mag je een zet doen in G of H. In het spel H + G mag je een zet doen in het H of G. G + H en H + G hebben dus dezelfde spelboom, dus zeker G + H H + G. De verzameling Imp voldoet dus aan de groepaxioma s en is ook commutatief en is dus een Abelse groep. In het bijzonder is het een ondergroep van de groep van spellen, waarvan we de groepsaxioma s niet zullen bewijzen. Opmerking. De impartiële spellen vormen dus een Abelse groep, maar in het bijzonder vormen zij ook een lichaam. Er bestaat namelijk ook een vermenigvuldiging op de spellen. Dit wordt uitgebreid beschreven in het boek On Numbers and Games [6]. 11

12 3. De stelling van Sprague en Grundy 3.1. Inleiding We weten nu wat impartiële spellen zijn, hoe we er mee kunnen rekenen en welke equivalenties er zijn. Het is veel werk om van twee impartiële spellen uit te zoeken hoe de equivalentie er concreet uitziet, dus welke zetten equivalente zetten zijn. Gelukkig is hier in de eerste helft van de twintigste eeuw een sterke stelling over bewezen, de stelling van Sprague en Grundy: Stelling 3.1. Elk impartieel spel G is equivalent met een nimber. Dit geeft ons meteen het volgende prachtige resultaat: Gevolg 3.2. Alle impartiële spellen zijn equivalent aan Nim. Dit roept een hoop vragen op. Omdat Nim een simpel en volledig uitgewerkt spel is, geeft ons dit cruciale informatie over elk denkbaar impartieel spel. Hierbij merken we op dat deze stelling geldt voor de impartiële spellen die aan optionele voorwaarde VI voldoen (zie hoofdstuk 2). In hoofdstuk 4 wordt een aantal concrete equivalenties uitgeschreven aan de hand van winnende strategieën. In dit hoofdstuk zal eerst worden ingegaan op de definitie van een nimber. De rekenregels zullen uiteen worden gezet en worden bewezen. Tot slot zullen we aan de hand van een aantal lemma s de beroemde stelling van Sprague en Grundy bewijzen Nimbers Nimbers zijn gedefinieerd aan de hand van het spel Nim. We bekijken een simpel spel Nim dat uit één rij bestaat. Deze rij bestaat uit n aantal stenen. Dit spel G is volgens de verzamelingstheoretische definitie van een spel gedefinieerd als G = {G 1, G 2,...G n 1 } waarbij G 1 een rij is met één steen, G 2 een rij met twee stenen enzovoorts. We zeggen nu dat spel G nimber n heeft, genoteerd als n. We definiëren: Definitie 3.3. n = { 0, 1,..., (n 1)}. We zien dat de nimber van het spel G het kleinste getal is dat niet voorkomt in de verzameling van nimbers van zetten die vanuit G mogelijk zijn, die namelijk gelijk is aan { 0, 1, 2,.., (n 1)}. Volgens de stelling van Sprague en Grundy is ieder impartieel spel equivalent aan een nimber. Deze nimber kan worden bepaald door middel van de zogenaamde mex-operatie. Hierbij is de mex gedefinieerd als the minimal excluded number, dus het laagste natuurlijke getal dat niet in de verzameling zit, inclusief 0. Bijvoorbeeld: mex{0, 1, 2, 4, 158} = 3. De bepaling van een nimber wordt met het volgende lemma bewezen: Lemma 3.4. Neem een spel G = {G 1, G 2,...G k }. Dan geldt voor de nimber n van G en de nimbers n i van G i, met i {1,.., k} : n = mex{n 1, n 2,..., n k }. 12

13 Bewijs. Volgens de definities van een nimber en van een spel moet een speler vanuit een spel met nimber n kunnen zetten naar vervolgspellen met nimber i, i {0,..., n 1}. Als de nimber van een spel niet gelijk zou zijn aan de minimal excluded number van de verzameling van zijn vervolgspellen, dan zou er dus een nimber j zijn met j < n die je niet kan bereiken met een zet in het spel met nimber n. Dit spreekt de definitie van een nimber tegen. Dit bewijst het lemma. Door het definiëren van de mex volgen een aantal rekenregels ten aanzien van nimbers: Het lege spel heeft nimber 0. Nimbers kunnen we ook op een speciale manier optellen door gebruik te maken van de optelling in vectorruimte (Z/2Z) n oftewel de binaire optelling zonder overdracht:. De regels voor de binaire optelling zijn als volgt: 0 0 = 0, 0 1 = 1, 1 0 = 1, 1 1 = 0. Twee spellen met nimber n en m hebben de optelling m + n = (m n). Dit wordt in de volgende paragraaf bewezen. Een spel met 0 heeft altijd de uitkomstenklasse P-positie en een spel met n(n 0) is altijd een N-positie. Dit wordt bewezen in hoofdstuk 4. n n = 0, hieruit volgt direct dat symmetrische spellen altijd P-positie zijn. De nimbers zijn dus een handige manier om impartiële spellen en hun equivalentie te beschrijven. We zullen in hoofdstuk 4 uitgebreid ingaan op equivalente spellen Verband mex-operatie en binaire optelling Zoals gezegd kunnen we nimbers bepalen met behulp van de mex-operatie. Als we twee spellen optellen, kan het toepassen van de mex-operatie nogal ingewikkeld worden. Gelukkig blijkt het zo te zijn dat nimbers altijd opgeteld mogen worden met de veel simpelere binaire optelling zonder overdracht. We zullen nu bewijzen dat het optellen van nimbers volgens de mex-operatie altijd hetzelfde oplevert als het optellen van nimbers volgens deze binaire optelling. Stelling 3.5. a + b = mex{ a + k(k < b), l + b(l < a)} = a b. Bewijs. We zullen dit bewijzen door middel van inductie. We stellen ons een tabel voor met de binaire optelling. Basisstap: = mex{ 0 + 0} = mex{ + } = 0. Er geldt ook dat 0 0 = 0 dus de bassistap = 0 0 geldt. De inductiehypothese is dat alle cellen boven en links van (i,j) al ingevuld zijn door middel van de mex-operatie. Zie Figuur 1 voor een ingevulde nimbertabel. We willen dat i j gelijk is aan het kleinste gehele getal dat nog niet in dezelfde kolom of rij gebruikt is. Dus elke c < i j moet al gebruikt zijn. i j kan niet gelijk zijn aan i a of b j voor i a en j b, want is een groepsoperatie. Immers, de groepsaxioma s gelden: 1. Associativiteit: a b = b a want 0 1 = Gesloten onder de bewerking: a b is weer een geheel getal. 3. Eenheidselement: 0 a = a dus 0 is het eenheidselement. 4. Inverse: a a = 0 dus elk getal is zijn eigen inverse met de binaire optelling. 13

14 Beschouw de meest linker positie van de binaire weergave van c die verschilt van i j. Omdat c kleiner is dan i j moet gelden dat op deze positie in c een 0 staat, en in i j een 1. Deze 1 komt van i of van j. Zonder verlies van algemeenheid nemen we aan dat deze 1 in i zit. Door dat getal in een 0 te veranderen krijgen we een getal a 0 zodat a 0 j gelijk is aan c tot en met de eerste bitpositie die verschilt. De bitposities rechts daarvan kunnen we veranderen zodat we een a verkrijgen waarvoor a j = c. Er geldt a < i, omdat het eerste verschillende getal vanaf links een 1 is in i en een 0 is in a. Voor elke c < i j kan zo n a gevonden worden. Dus alle c < i j zijn gebruikt in de kolommen en rijen. Er moet nu, vanwege de inductiehypothese, gelden dat i j = mex{a +k(k < b), l +b(l < a)}. Immers, voor i (j + 1) moet ook weer gelden dat alle d < i (j + 1) gebruikt zijn. Figuur 3.1.: De eerste vijftien rijen en kolommen van de nimbertabel, die kunnen worden ingevuld door de mex-operatie toe te passen op de rijen en de kolommen die respectievelijk boven en links van het in te vullen getal staan De stelling van Sprague en Grundy Sprague en Grundy maken gebruik van de tweede equivalentierelatie. Ze stellen dus dat een spel (en zijn nimber) nog steeds allebei dezelfde uitkomstenklasse hebben als je er een willekeurig ander spel bij optelt. In het bewijs voor deze stelling maken we gebruik van Lemma 2.11 en Lemma 2.12, die zijn bewezen in Hoofdstuk 2. We merken nogmaals op dat deze stelling geldt voor impartiële spellen die aan optionele voorwaarde VI voldoen: de spelers 14

15 doen om de beurt een zet. Stelling 3.6. De Stelling van Sprague en Grundy: Elk impartieel spel G is equivalent met een nimber, dus voor elk spel G, G n. Bewijs. We beweren dus dat G m. We zullen dit bewijzen door gebruik te maken van inductie. Basisstap: Het lege spel is de basis, we moeten bewijzen dat G 0. De equivalentierelatie is gedefinieerd als G H G + I H + I voor een willekeurig spel I. Stel nu G is het lege spel. Dan geldt G + I = I dus ook G + I I, je kunt namelijk in beide spellen alleen maar zetten doen in het spel I, dus ze hebben dezelfde spelboom en dus ook dezelfde uitkomstenklasse. Verder weten we dat 0 uitkomstenklasse P-positie heeft. Volgens Lemma 2.11 geldt nu: 0+I I voor elk spel I. Dus voor het lege spel G geldt G+I I en 0+I I. Dus G + I 0 + I G 0.. Inductiehypothese: Voor elk spel G geldt G m. Inductiestap: We weten dat G = {G 1, G 2,..., G k }, de k vervolgzetten. We willen nu dus bewijzen dat als voor G 1, G 2,..., G k geldt dat G 1 n 1, G 2 n 2 enzovoorts, dan G m. Met m = mex{n 1, n 2,...n k }, zoals we hiervoor hebben gedefinieerd. We nemen een spel G = { n 1, n 2,..., n k }. Eerst bewijzen we G G. Hiervoor moeten we volgens Lemma 2.12 bewijzen dat G + G een P-positie is. Dit is makkelijk in te zien als je ziet dat het spel symmetrisch is. Doet de eerste speler een zet in G, waarbij hij de positie G j zet, dan kan de tweede speler een zet in G doen, waarbij hij gaat naar n j, en andersom. Het spel is dus symmetrisch en dus een P-positie. Er geldt dus: G G. Nu willen we laten zien dat G m. We hebben m gedefinieerd als m = mex(n 1, n 2,..., n k ). Volgens Lemma 2.12 moeten we nu bewijzen dat G + m een P-positie is. Dit kunnen we doen door een expliciete strategie te geven voor dit spel, waarbij de tweede speler altijd kan winnen. Dit kan hij doen door het spel altijd symmetrisch te maken. Dus door te zorgen dat wat de eerste speler ook doet, hij er weer twee gelijke spellen van maakt. Zo zal de tweede speler altijd eindigen. Dit gaat als volgt: Er zijn voor de eerste speler twee opties, of hij doet een zet in G of hij doet een zet in m. Stel de eerste speler doet een zet in m naar m. Stel m < m. Omdat m = mex(n 1, n 2,..., n k ) is er dus in het spel G zeker een n i waarvoor geldt n i = m. De tweede speler kan dus de spellen symmetrisch maken. Stel m < m. Dan kan de tweede speler in het spel m de nimber weer verlagen naar m en krijg je weer dezelfde spelsituatie. Dit kan overigens niet altijd want anders zou het spel oneindig zijn en dat is een impartieel spel nooit. Stel nu dat de eerste speler een zet doet in G, dan verplaatst hij dus naar een spel met nimber n i. Als n i < m dan kan de tweede speler in het spel m naar n i gaan, omdat m de mex is van alle n s, dus n i is zeker een optie. Stel nu dat m < n i dan kan de tweede speler in n i naar m verplaatsen. Dit kan omdat n i hier ook weer de mex is van al zijn opties, dus m is altijd een optie. De tweede speler kan dus het spel in alle gevallen symmetrisch maken. We kunnen dus concluderen dat G + m een P-positie is, dus geldt G m, en G G, dus G m. Dus elke spel G is equivalent met een nimber, en wel met de mex van de nimbers van zijn mogelijke vervolgspellen. We zullen nu een aantal equivalenties van andere impartiële spellen met Nim beschrijven, onder andere door nimbers expliciet uit te rekenen. Hiervoor definiëren we de functie G. Deze functie zal in het volgende hoofdstuk gebruikt worden. Definitie 3.7. G(G) = de nimber van G. 15

16 4. Equivalente spellen 4.1. Inleiding We hebben tot nu toe gezien dat er verschillende equivalentierelaties te definiëren zijn tussen spellen. De belangrijkste equivalentierelatie is 1, dus de equivalentie waarbij de spellen G en G equivalent zijn wanneer G+H en G +H dezelfde uitkomstenklasse (N-positie of P- positie) hebben. Op deze equivalentierelatie is ook de belangrijke stelling van Sprague en Grundy gebaseerd. Deze stelling zegt dat alle impartiële spellen equivalent zijn aan elkaar. Deze equivalentie kan het best beschreven worden met behulp van nimbers. Alle impartiële spellen zijn namelijk equivalent aan een nimber en daardoor ook equivalent aan elkaar. In dit hoofdstuk worden de expliciete equivalenties tussen Nim en een aantal andere impartiële spellen uitgeschreven. Elke paragraaf is gewijd aan een ander impartieel spel. We zullen elk spel eerst uitleggen, dan de equivalentie met nimbers beschrijven en tot slot de toepassing hiervan op het spel beschrijven in de vorm van een winnende strategie Het spel Nim Winnende strategie Het belangrijkste impartiële spel in de theorie van wiskundige spellen is het spel Nim, zoals beschreven in hoofdstuk 2. Van elk eindig spel Nim kan precies berekend worden of het P- of N-positie is. Hoe dit uitgerekend kan worden en welke zetten de winnende speler naar succes zullen brengen, zal nu behandeld en bewezen worden. Het algoritme voor het berekenen van de uitkomst van een Nim-spel maakt gebruik van binaire getallen. Zet de aantallen objecten van de stapels om in binaire getallen. Tel deze getallen bij elkaar op met de binaire optelling zoals gedefinieerd in hoofdstuk 3. Deze operatie noteren we met en noemen we vanaf nu ook wel de nim-som van twee getallen. Bij Nim heeft de eerste speler een winnende positie dan en slecht dan als de nim-som van de stapels ongelijk aan 0 is. Deze stelling zal later bewezen worden. De winnende strategie volgt uit deze stelling. Als de nim-som namelijk gelijk is aan 0, zal de tweede speler winnen. Daarom is de winnende strategie is om een spelpositie met nim-som 0 te creëren. Dit is altijd mogelijk als het spel een positie met nim-som ongelijk aan 0 heeft. Het bewijs voor deze winnende strategie volgt later. De strategie voor een spel met drie stapels gaat als volgt: Stap 1 Zet de grootte van de stapels A, B en C om in binaire getallen, noem deze a, b en c. Stap 2 Tel deze getallen met de binaire optelling zonder overdracht om tot de nim-som, die we X noemen. Stap 3 Tel nu X op bij a, b en c met behulp van dezelfde binaire optelling. Stap 4 Als je deze optellingen weer omzet in gewone getallen, zal er altijd minstens één stapel verlaagd zijn. De zet die je uiteindelijk moet doen is om deze stapel inderdaad terug 16

17 te brengen naar het getal i + X, met i = a, b of c. Als er meerdere stapels verlaagd zijn mag je kiezen. Dit algoritme zal nu worden toegelicht aan de hand van een voorbeeld. Voorbeeld 4.1. Het NIM-spel heeft drie stapels A, B en C met respectievelijke groottes 1, 3 en 4. Omgezet in binaire getallen geeft dit: Stapel A: 1 = = 001 = a Stapel B: 3 = = 011 = b Stapel C: 4 = = 100 = c De nim-som van de stapels is nu: = = 6 = X We nemen de nim-som van deze uitkomst en de groottes van de stapels: A : 1 6 = = 111 = 7 B : 3 6 = = 100 = 4 C : 4 6 = = 010 = 2 De zet die leidt naar winst is nu om stapel C terug te brengen naar twee stenen, stapel C is namelijk verlaagd. We pakken dus twee stenen uit stapel C. De nim-som van de stapels is nu inderdaad 0. Deze winnende strategie zal nu bewezen worden Bewijs winnende strategie Stelling 4.2. Bij Nim heeft de eerste speler een winnende positie dan en slechts dan als de nim-som van de stapels ongelijk aan 0 is. Hieruit volgt uiteraard dat de tweede speler een winnende positie heeft als de nim-som 0 is. Bewijs. De nim-som is een associatieve en commutatieve bewerking en er geldt x x = 0. Zij x 1,..., x n de waarden van de stapels voor de zet en y 1,..., y n de waarden van de stapels na de zet. Zij s = x 1... x n en t = y 1... y n. Als de zet in stapel k was, dan hebben we x i = y i voor alle i k en x k < y k. Je kunt een stapel namelijk alleen maar verlagen. Nu geldt er: t = 0 t = s s t = s (x 1... x n ) (y 1... y n ) = s (x k y k )... 0 = s x k y k Als s = 0, dus P-positie, dan geldt t = x k y k 0 want x k y k. Dus een P-positie verandert na de volgende zet altijd in een N-positie. 17

18 Als s 0, dan willen we dat er een zet mogelijk is die t = 0 als gevolg heeft, dit betekent namelijk dat je dan altijd naar een P-positie kan veranderen waardoor je dus wint (na je eigen zet ben je namelijk de previous player). Zij d de meest linker 1 in de binaire represenatie van s en kies k zodat de d-de bit van x k ook 1 is. Zo een k bestaat, want anders zou de d-de bit van s 0 zijn. We stellen nu y k = s x k. Alle bits links van d zijn 0 in zowel x k als y k, de stapel kan namelijk nooit verhogen, en bit d verandert van 1 in 0 (1 1 = 0), waardoor de waarde van y k met 2 d verlaagd wordt. Elke verandering in de andere bits van y k zal hoogstens een stijging van 2 d 1 opleveren. Er geldt dus y k < x k. Als de eerstvolgende speler nu x k y k objecten van stapel k pakt, dan geldt: t = s x k y k = s x k (s x k ) = 0. Dus er is in een spel met N-positie een zet mogelijk waarna het spel P-positie heeft. Dus de eerste speler heeft een winnende positie dan en slechts dan als de nim-som van de stapels ongelijk aan 0 is. Anders heeft de tweede speler een winnende positie Poker Nim Het spel Een subtiele variant op het spel Nim is het spel Poker Nim. Dit spel gaat hetzelfde als Nim, alleen is er als extra mogelijkheid bij een beurt om stenen uit een eindige extra zak te pakken en bij een stapel aan te leggen. De stenen die van een stapel af worden gehaald gaan echter niet terug in de zak. Het spel eindigt als de stapels op zijn en de zak leeg is. Dit spel voldoet aan onze definitie van een impartieel spel. Nimberequivalentie De nimbers van een spel Poker Nim zijn gelijk aan de nimbers van hetzelfde spel Nim zonder de zak. Dit zullen we nu bewijzen voor één stapel. Met inductie kan hetzelde dan bewezen worden voor meerdere stapels. Stel we hebben een spel P (n) Poker Nim met n muntjes. De Nimversie van dit spel heeft dus nimber n. Stel de nimber van het spel Poker Nim met n muntjes is G(P (n)) = m. We willen bewijzen dat m = n. Je hebt in Poker Nim twee verschillende opties, namelijk een zet doen zoals in het spel Nim of iets uit de zak pakken en toevoegen. Je mag de stapel niet constant houden. Stel dat er k muntjes in de zak zitten. Dan geldt dus dat G(P (n)) = mex{0,..., n 1,..., n + 1,..., n + k}, oftewel dat G(P (n)) = n. Dus de nimber van een spel Poker Nim met één stapel metn stenen is gelijk aan de nimber van het equivalente spel Nim met één stapel met n stenen. Met inductie geldt dan dat de nimbers van het spel Poker Nim gelijk zijn aan die van het Nimspel zonder zak. Strategie Om te zien of je moet beginnen om te winnen, moet je dus kijken naar de nimbers van het Nimspel zonder de zak. Als winnende speler speel je gewoon het spel Nim en leg je nooit stenen aan. Zodra je tegenstander wel stenen aanlegt, moet je deze weghalen in jouw beurt. Het spel is daarna weer zoals het was, alleen is de extra zak iets leger geworden. Uiteindelijk zal het Nimspel eindigen met jouw beurt en is alleen nog de zak over. Als de zak leeg is, heb je gewonnen. Zitten er nog stenen in de zak, zal je tegenstander deze nog moeten opleggen. Maar deze kun je natuurlijk dan steeds weer wegpakken, totdat ook de zak leeg is en het spel eindigt met jouw beurt. 18

19 4.4. Silver Dollar Game Het spel Een iets ingewikkeldere variant van Poker Nim is de Silver Dollar Game. Dit spel speel je op een strook met eindig veel vakjes, waarop muntjes liggen verspreid. Als je aan de beurt bent mag je een van de muntjes naar links verplaatsen. Je mag hierbij echter niet een ander muntje passeren noch op een vakje gaan liggen waar een ander muntje ligt. Omdat er eindig veel vakjes zijn en je de muntjes alleen naar links mag verplaatsen is dit spel eindig. Het spel is ook equivalent met Nim. Een voorbeeld van Silver Dollar Game is te vinden in Figuur 4.1. Figuur 4.1.: Een spel Silver Dollar Game dat uit veertien hokjes en vijf muntjes bestaat. Nimberequivalentie In Figuur 4.1 zouden we de ruimtes tussen muntjes als Nimstapels kunnen opvatten. We hebben dan een spel dat bestaat uit nimbers 1, 1, 3, 2 en 2. Dit levert echter een probleem op. Het verplaatsen van een muntje kan een Nimstapel verkleinen en tegelijkertijd de Nimstapel die er rechts van ligt vergroten. De subspellen zijn dus niet onafhankelijk. De oplossing voor dit probleem is om de ruimtes tussen de muntjes vanaf rechts te bekijken, en alleen de eerste, derde, vijfde (enzovoorts) ruimtes te bekijken. [7] De overige ruimtes kan je dan opvatten als stenen die bijgelegd kunnen worden uit een zakje, zoals in Poker Nim. In het voorbeeld hebben we dan nimbers 2, 3 en 1. Strategie Bekijk de oneven ruimtes tussen de muntjes als Nimstapels zoals hierboven beschreven. Nu zijn de zetten in Silver Dollar Game op de volgende manier equivalent aan zetten in Nim: het verplaatsen van het tweede muntje van links equivalent met het bijleggen van één muntje op de stapel met nimber 3. Het verplaatsen van het middelste muntje naar twee hokjes verderop is equivalent met het pakken van twee muntjes uit de stapel met nimber 3. Door het spel op deze manier te spelen kun je precies uitrekenen of en hoe je kan winnen Kayles Het spel Kayles begint met een rij kegels van willekeurig eindige lengte. Beide spelers gooien met een bowlingbal, zodanig dat ze altijd n kegel of twee aan elkaar grenzende kegels naar keuze perfect omgooien. De speler die geen kegel meer kan omgooien verliest. Kayles is een impartieel spel en volgens de stelling van Sprague-Grundy moet er dus een equivalentie bestaan tussen Kayles en Nim. Nimberequivalentie De equivalentie tussen Kayles en Nim kan worden beschreven door nimbers. De nimber van een spel Kayles met n kegels (notatie: K(n)) kan uitgerekend worden door de volgende formule [8]: G(K(n)) = mex{g(k(a)) G(K(b))} met a + b = n 1 of a + b = n 2. Immers, in een spel Kayles met n kegels mag je één of twee kegels omgooien. De vervolgspellen van het spel Kayles zullen dus altijd n 1 of n 2 kegels bevatten. We zien nu dat bijvoorbeeld het spel met vier kegels (K(4)) equivalent is aan nimber 1, 19

20 namelijk G(K(4)) = mex{g(k(0)) G(K(2)), G(K(0)) G(K(3)), G(K(1)) G(K(2)), G(K(1)) G(K(1))} = mex{ 2, 3, 0} = 1 We verkijgen op deze manier de volgende nimbertabel: n nimber = G(n) Elk moment in het spel kun je beschrijven aan de rijen kegels die er nog over zijn. Als we deze rijen met k kegels, nimber *n geven (zie Tabel 1), hebben we de equivalentie gevonden. Aan het begin van het spel, waar er n rij is met k kegels, is de nimber van het spel dus *n. Als de rij 0 kegels bevat, is de nimber *0 en is het spel dus P-positie. Dit klopt ook want als er 0 kegels zijn heeft de eerste speler verloren (hij kan immers niet spelen). Als de rij k 0 kegels bevat, heeft het spel dus nimber n 0 en is het spel dus N-positie. De eerste speler kan dan ook altijd winnen in Kayles, zoals bij de winnende strategie hieronder beschreven zal worden. We kunnen nu elke situatie gedurende het spel Kayles onderscheiden in twee mogelijkheden. De eerste mogelijkheid is een symmetrisch spel. Dit definiëren we als een spel waarin elke rij met k kegels in paren voorkomt. Als we dan in een symmetrisch spel elke rij beschrijven met een nimber *n, is de som van de nimbers altijd nul, immers *n+*n=*0. Een symmetrisch spel Kayles is dus altijd P-positie volgens de nimbers. Een asymmetrisch spel definiëren we nu als een spel waarbij voor tenminste één rij met k kegels, geen andere rij met k kegels voorkomt. De eerste speler kan het spel nu verdelen in paren van rijen met hetzelfde aantal kegels, waarbij de nimber van het spel vanwege symmetrie *0 wordt. Omdat de volgende speler maar één nimber mag veranderen, zal hij de som van de nimbers nooit *0 kunnen houden. Een asymmetrisch spel Kayles is dus altijd N-positie. Met toepassing van deze kennis kan de winnende strategie bepaald worden. Strategie Bij Kayles kan de eerste speler altijd winnen door de symmetriestrategie te gebruiken: hij of zij moet kegels zodanig omgooien dat de rij kegels in twee gelijke kleinere rijen opgedeeld wordt. De eerste speler gooit dus en kegel in het midden om als de beginrij een oneven lengte heeft, en twee kegels in het midden als de rij een even lengte heeft. Daarna kan de eerste speler de zet van de tweede speler altijd kopiren in de andere rij en zal zo de laatste kegel kunnen omgooien Nimstring Het spel Een impartieel spel dat veel te maken heeft met Dots and Boxes is het spel Nimstring. Het wordt op hetzelfde speelveld als Strings and Coins gespeeld, dus met muntjes die aan maximaal vier touwtjes vastzitten. Elke keer als je een muntje losknipt, moet je nog een touwtje doorknippen. De speler die aan zet is maar geen touwtje meer kan doorknippen heeft verloren. Het spel Nimstring is dus een impartieel spel net als Nim, met als extra regel dat je nog een keer mag als je een muntje hebt en dat je daardoor juist wil dat de andere speler het laatste muntje pakt. Het spel Nimstring zal ons helpen meer te begrijpen over Dots and Boxes, 20

21 doordat we een gedeelte van het spel Dots and Boxes kunnen opvatten als een spel Nimstring. Hier komen we in het hoofdstuk Dots and Boxes uitgebreid op terug. Equivalentie Volgens het lemma van Sprague en Grundy is elk spel Nimstring equivalent met een nimber. De extra mogelijkheid van meerdere zetten per beurt leidt tot een nieuwe nimber, namelijk de loony, Á, hier komen we later nog op terug. We beginnen met het kijken naar grijpbare muntjes. Dit zijn muntjes die nog aan één touwtje vastzitten. Als je een grijpbare munt hebt, heb je twee opties. Je kunt het muntje pakken en een andere zet doen in de rest van het spel, of je kunt het muntje niet pakken en meteen doorgaan in het spel. We kunnen de grijpbare Figuur 4.2.: Linksboven: grijpbaar muntje. Rechtsboven: Twee grijpbare muntjes. Linksonder en rechtsonder: je mag kiezen of je wel of juist niet in het spel in de wolk wil beginnen. Een touwtje dat aan de grond vastzit wordt als een pijltje weergegeven. muntjes opdelen in verschillende mogelijke situaties, zie Figuur 4.2. Het hangt van de situatie af wat de beste zet is. In de bovenste rij van Figuur 4.2 moet je in de wolk gaan beginnen, dus je kan de grijpbare muntjes net zo goed pakken. In de onderste rij ben je in een luxe positie: je mag bepalen of je in het spel in de wolk wil beginnen. Als het spel in de wolk een N-positie is, dan pak je de munten door touwtjes A en B door te knippen en begin je daarna in de wolk. 21

22 Als het spel in de wolk P-positie is, dan wil je dat de andere speler in de wolk begint. In de voorbeelden op de onderste rij in Figuur 4.2 moet je dan touwtje B doorknippen. Nu willen we graag nimbers koppelen aan Nimstringspellen en wel zo dat we de gebruikelijke mexregel voor de optelling kunnen gebruiken. De situaties in de onderste gevallen in Figuur 4.2 maken dit alleen iets minder eenvoudig. Zoals we gezien hebben kun je in deze situatie kiezen of je zelf wil beginnen in de wolk, of dat je de andere speler laat beginnen, afhankelijk van de spelsituatie in de wolk. Dit betekent dat welk spel je ook bij dit spel optelt, het is altijd N-positie. Je kunt immers altijd winnen. We weten dat een spel met N-positie equivalent is aan nimber n 0. Deze situaties moeten de deelspellen die bestaan uit de muntjes buiten de wolk een nimber x hebben waarvoor geldt: x + y 0. In het bijzonder: x + x 0. Tot nu toe hebben we geen nimber gezien die voldoet aan deze eisen. Daarom introduceren we de loony nimber, met waarde Á. De algemene regel voor de loony nimber is dus: Á+0 = Á+ 1 = Á+ 2 =... = Á+Á= Á Merk hierbij op dat we bij het gebruiken van de mexregel, de loony positie als kunnen beschouwen. Nu we de loony hebben geïntroduceerd, kunnen we verdergaan met het bepalen van de nimposities. Dit bepalen is een kwestie van stug doorwerken, in de appendix bevindt zich een uitwerking van vele nimposities uit Winning Ways 3. Met betrekking tot de grijpbare muntjes is er een aantal regels dat we kunnen definiëren: De waarde van een leeg Nimstringspel is 0. De nimbers van de spellen uit de bovenste voorbeelden in Figuur 4.2 zijn gelijk aan de nimbers van het spel in de wolk. Spellen met slechts grijpbare munten hebben dus nimber 0. De waarden van de onderste spellen in Figuur 4.2 zijn Á. De waarde van een spel zonder grijpbare muntjes kan worden bepaald met behulp van de mexregel. We zullen hier een aantal voorbeelden van geven. In Figuur 4.3 is de enige optie om het touwtje door te knippen. Je bent dan nog een keer aan de beurt omdat je een muntje kan pakken. Er kunnen geen zetten meer gedaan worden, dus je verliest. Dit spel is dus P-positie en heeft nimber 0. Vanuit Figuur 4.4 kun je naar de spelsituatie in Figuur 4.3. De mex geeft nu dus nimber 1 aan dit Nimstringspel. We zien zo dat we op dezelfde manier nimbers kunnen geven met de mexregel. De nieuwe nimber Á geeft zetten aan waarin de andere speler kan kiezen of hij muntjes pakt of zijn tegenstander dwingt om de muntjes te pakken. Zoals eerder gesteld telt deze nimber niet mee in de mexregel. We kunnen dus door stevig door te rekenen (of te tekenen) bepalen wat de nimbers zijn van elk spel Nimstring. Zie de Appendix voor een uitgebreid uitgewerkt voorbeeld. 22

23 Figuur 4.3.: P- positie Figuur 4.4.: N- positie Figuur 4.5.: Werken met de loony nimber Er is een specifiek soort Nimstringgraaf waarvan de nimber makkelijk te bepalen is. Deze zal later handig van pas komen bij de koppeling naar Dots and Boxes. Deze zogenaamde rank is een Nimstringgraaf zonder cykels of grijpbare munten waarin alle knooppunten (munten waaruit drie touwtjes lopen) op één pad liggen (de stam). Een keten die een eind (een touwtje dat aan de grond vastzit) verbindt met een knooppunt heet een twijg. Een Kayles-rank is een rank die aan een aantal specifieke voorwaarden voldoet. Ten eerste moet de afstand tussen twee niet aangrenzende stops (dit zijn eindes of knooppunten) lang zijn, dus er moeten minimaal drie munten tussen zitten. Bovendien moeten alle twijgjes kort zijn. Een voorbeeld van een Kayles-rank staat in Figuur 4.6. Figuur 4.6.: Een voorbeeld van een Kayles-rank. De afstand tussen niet aangrenzende eindes is lang. Zodra een Nimstringspel de vorm van een Kayles-rank heeft, is de nimber met gemak te bepalen. Kayles-ranken hebben namelijk dezelfde nimbers als het spel Kayles, waarbij het aantal knooppunten als het aantal kegels geteld wordt. In Figuur 4.6 hebben we drie knooppunten, dus de nimber van deze Nimstringgraaf is 3. Er is ook een extra optelregel voor deze Kayles-vines, namelijk: lange ketens knappen. Dat ziet er in een Figuur als volgt uit: Figuur 4.7.: Een lange afstand tussen twee knooppunten kan worden opgebroken in twee lange afstanden naar een einde. We kunnen een Nimstringgraaf (en in het bijzonder een Kayles-rank) waarin een lange afstand tussen twee knooppunten voorkomt dus opbreken in twee Nimstringgrafen waarvan we de nimber kunnen bepalen. De binaire optelling is dan gewoon weer van toepassing. Zoals we in hoofdstuk 3 gezien hebben, is Kayles een spel met een rij kegels waarvan je steeds één of twee kegels tegelijk moet omgooien. Van deze zetten zijn er equivalente versies in 23

Hoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen

Hoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1

Nadere informatie

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002 RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven

Nadere informatie

Geldwisselprobleem van Frobenius

Geldwisselprobleem van Frobenius Geldwisselprobleem van Frobenius Karin van de Meeberg en Dieuwertje Ewalts 12 december 2001 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Afspraken 3 3 Is er wel zo n g? 3 4 Eén waarde 4 5 Twee waarden 4 6 Lampenalgoritme

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Enkele valkuilen om te vermijden

Enkele valkuilen om te vermijden Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Oneindige spelen. Dion Coumans. Begeleider: dr. W. Veldman

Oneindige spelen. Dion Coumans. Begeleider: dr. W. Veldman Oneindige spelen ion Coumans Begeleider: dr. W. Veldman Inhoudsopgave 1 Voorwoord 3 2 efinities 4 3 A is aftelbaar 6 4 Gale-Stewart-stelling 7 5 Stelling van Wolfe 11 2 1 Voorwoord Banach, Mazur en Ulam

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van

Nadere informatie

Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen.

Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen. Hoofdstuk 7 Volledige inductie Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen we het volgende: (i) 0 V (ii) k N k V k + 1 V Dan is V = N. Men ziet dit als

Nadere informatie

Antwoorden. Magische vierkanten Vierkant voor Wiskunde Doeboek 8

Antwoorden. Magische vierkanten Vierkant voor Wiskunde Doeboek 8 Antwoorden Magische vierkanten Vierkant voor Wiskunde Doeboek 8 1 6 1 8 7 5 3 2 9 4 2 De getallen 1 tot en met 9. 3 15. 15 en 15. De som van de getallen van elke rij is 15. 4 15. De som van de getallen

Nadere informatie

Jijbent.nl: spelregels go-moku. Sjoerd Hemminga (sjoerdje) Copyright 2017 Jijbent.nl

Jijbent.nl: spelregels go-moku. Sjoerd Hemminga (sjoerdje) Copyright 2017 Jijbent.nl Jijbent.nl: spelregels go-moku Sjoerd Hemminga (sjoerdje) Copyright 2017 Jijbent.nl Inhoud Spelregels go-moku...1 Doel van het spel...1 Winstkansen...1 Strategie...3 i Spelregels go-moku Doel van het spel

Nadere informatie

Je kunt de kansen met wiskunde technieken berekenen (bijvoorbeeld boomdiagramman), maar je kunt ook deze door simulaties achterhalen.

Je kunt de kansen met wiskunde technieken berekenen (bijvoorbeeld boomdiagramman), maar je kunt ook deze door simulaties achterhalen. Spelen met Kansen Bij wiskunde A, havo en vwo In een heleboel gezelschapsspellen speelt het toeval een grote rol, bijvoorbeeld Patience, Ganzenbord, Thodi, Black Jack, Risk, Poker, Bridge. Deze spellen

Nadere informatie

De partitieformule van Euler

De partitieformule van Euler De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg

Nadere informatie

Getallensystemen, verzamelingen en relaties

Getallensystemen, verzamelingen en relaties Hoofdstuk 1 Getallensystemen, verzamelingen en relaties 1.1 Getallensystemen 1.1.1 De natuurlijke getallen N = {0, 1, 2, 3,...} N 0 = {1, 2, 3,...} 1.1.2 De gehele getallen Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1,

Nadere informatie

1 Rekenen in eindige precisie

1 Rekenen in eindige precisie Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen

Nadere informatie

5 VWO SPELEN OP EEN SLIMME MANIER

5 VWO SPELEN OP EEN SLIMME MANIER VWO SPELEN OP EEN SLIMME MANIER Deze praktische opdracht gaat over het slim spelen van spelletjes. Kun je zo slim spelen dat je altijd wint? Of dat je in ieder geval nooit verliest? Dit geldt natuurlijk

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

1 Binaire plaatjes en Japanse puzzels

1 Binaire plaatjes en Japanse puzzels Samenvatting Deze samenvatting is voor iedereen die graag wil weten waar mijn proefschrift over gaat, maar de wiskundige notatie in de andere hoofdstukken wat te veel van het goede vindt. Ga er even voor

Nadere informatie

Uitwerkingen Sum of Us

Uitwerkingen Sum of Us Instant Insanity Uitwerkingen Sum of Us Opgave A: - Opgave B: Voor elk van de vier kubussen kun je een graaf maken die correspondeert met de desbetreffende kubus. Elk van deze grafen bevat drie lijnen.

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal

Nadere informatie

Eigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.

Eigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element. Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Combinatoriek groep 1 & 2: Recursie

Combinatoriek groep 1 & 2: Recursie Combinatoriek groep 1 & : Recursie Trainingsweek juni 008 Inleiding Bij een recursieve definitie van een rij wordt elke volgende term berekend uit de vorige. Een voorbeeld van zo n recursieve definitie

Nadere informatie

1.3 Rekenen met pijlen

1.3 Rekenen met pijlen 14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij

Nadere informatie

3 De stelling van Kleene

3 De stelling van Kleene 18 3 De stelling van Kleene Definitie 3.1 Een formele taal heet regulier als hij wordt herkend door een deterministische eindige automaat. Talen van de vorm L(r) met r een reguliere expressie noemen we

Nadere informatie

Blind kwartetten. Niveau ooo

Blind kwartetten. Niveau ooo Niveau ooo Blind kwartetten Bij allerlei spellen kun je naast de gewone variant ook de zogeheten 'blinde' variant spelen: in plaats van met een speelbord of kaarten speel je het spel volledig in gedachten

Nadere informatie

Breukenpizza! Ga je mee om de wonderlijke wereld van de breuken te ontdekken? Bedacht en ontwikkeld door Linda van de Weerd. www.klasvanjuflinda.

Breukenpizza! Ga je mee om de wonderlijke wereld van de breuken te ontdekken? Bedacht en ontwikkeld door Linda van de Weerd. www.klasvanjuflinda. Breukenpizza! Ga je mee om de wonderlijke wereld van de breuken te ontdekken? Bedacht en ontwikkeld door Linda van de Weerd. www.klasvanjuflinda.nl Breukenpizza! 1. Knijpkaart 2. Decimalen 3. Domino 4.

Nadere informatie

Combinatoriek groep 1

Combinatoriek groep 1 Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in

Nadere informatie

Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos

Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos Wobien Doyer Lieke de Rooij Volgens de titel is deze puzzel zonder doel, dus zonder bekende toepassing. Het doel is echter nul en dat is zeker in de wiskunde niet niks.

Nadere informatie

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Naam: Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.

Nadere informatie

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde

Nadere informatie

Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen

Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen (29/01/15) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Als het regent word ik

Nadere informatie

Afbeelding 12-1: Een voorbeeld van een schaakbord met een zwart paard op a4 en een wit paard op e6.

Afbeelding 12-1: Een voorbeeld van een schaakbord met een zwart paard op a4 en een wit paard op e6. Hoofdstuk 12 Cartesische coördinaten 157 Hoofdstuk 12 CARTESISCHE COÖRDINATEN In dit hoofdstuk behandelen we: Het Cartesisch coördinatenstelsel De X-as en de Y-as De commutatieve eigenschap van optellen

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een

Nadere informatie

3.2 Vectoren and matrices

3.2 Vectoren and matrices we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,

Nadere informatie

PRIME Hackenbush Jens Bossaert 15 oktober 2013

PRIME Hackenbush Jens Bossaert 15 oktober 2013 PRIME Hackenbush Jens Bossaert 15 oktober 2013 Introductie Winning Ways for your Mathematical Plays Elwyn Berlekamp John Conway Richard Guy Hackenbush On Numbers and Games John Conway Surreal Numbers:

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

Opgave 1 - Uitwerking

Opgave 1 - Uitwerking Opgave 1 - Uitwerking Om dit probleem op te lossen moeten we een zogenaamd stelsel van vergelijkingen oplossen. We zetten eerst even de tips van de begeleider onder elkaar: 1. De zak snoep weegt precies

Nadere informatie

Verzamelingen deel 3. Derde college

Verzamelingen deel 3. Derde college 1 Verzamelingen deel 3 Derde college rekenregels Een bewerking op A heet commutatief als voor alle x en y in A geldt dat x y = y x. Een bewerking op A heet associatief als voor alle x, y en z in A geldt

Nadere informatie

Bewijs door inductie

Bewijs door inductie Bewijs door inductie 1 Bewijs door inductie Vaak bestaat een probleem erin aan te tonen dat een bepaalde eigenschap geldt voor elk natuurlijk getal. Als je wilt weten of iets waar is voor alle natuurlijke

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015 Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Tentamenset A. 2. Welke van de volgende beweringen is waar? c. N R N d. R Z R

Tentamenset A. 2. Welke van de volgende beweringen is waar? c. N R N d. R Z R Tentamenset A. Gegeven de volgende verzamelingen A en B. A is de verzameling van alle gehele getallen tussen de 0 en 0 die deelbaar zijn door, en B is de verzameling gehele positieve getallen deelbaar

Nadere informatie

Eerste ronde Nederlandse Wiskunde Olympiade

Eerste ronde Nederlandse Wiskunde Olympiade Eerste ronde Nederlandse Wiskunde Olympiade 23 januari 2 februari 2017 Uitwerkingen A1. C) donderdag In de eerste vier weken van augustus komt elke dag van de week precies viermaal voor. De laatste 31

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE 2011 Uitwerkingen

WISKUNDE-ESTAFETTE 2011 Uitwerkingen WISKUNDE-ESTAFETTE 2011 Uitwerkingen 1 C D O A O B Omdat driehoek ACD gelijkbenig is, is CAD = ACD en daarmee zien we dat 2 CAD+ ADC = 180. Maar we weten ook dat 180 = ADC + ADB. Dus ADB = 2 CAD. Driehoek

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Afspraken en notaties

Hoofdstuk 1. Afspraken en notaties Hoofdstuk 1 Afspraken en notaties In deze tekst onderzoeken we een eenvoudig dobbelspel: twee spelers hebben een dobbelsteen, gooien deze, en wie het hoogst aantal ogen gooit wint. Er blijken setjes dobbelstenen

Nadere informatie

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07 Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.

Nadere informatie

Opdrachten Toeval Opdrachten Toeval Opdracht 1.1 (Bestaat toeval) Opdracht 1.2(toeval in de natuur)

Opdrachten Toeval Opdrachten Toeval Opdracht 1.1 (Bestaat toeval) Opdracht 1.2(toeval in de natuur) Opdrachten Toeval 1 1 Opdrachten Toeval Opdracht 1.1 (Bestaat toeval) a) Bestaat toeval volgens jou? b) Wat is toeval volgens jou? c) Vraag aan je ouders of zij in hun leven ooit iets heel onwaarschijnlijks

Nadere informatie

1 Inleiding in Functioneel Programmeren

1 Inleiding in Functioneel Programmeren 1 Inleiding in Functioneel Programmeren door Elroy Jumpertz 1.1 Inleiding Aangezien Informatica een populaire minor is voor wiskundestudenten, leek het mij nuttig om een stukje te schrijven over een onderwerp

Nadere informatie

rekentrainer jaargroep 5 Timo loopt steeds verder weg. Teken Timo bij de kruisjes op de weg en maak de tekening af. Zwijsen naam:

rekentrainer jaargroep 5 Timo loopt steeds verder weg. Teken Timo bij de kruisjes op de weg en maak de tekening af. Zwijsen naam: Zwijsen jaargroep naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs rekentrainer Timo loopt steeds verder weg. Teken Timo bij de kruisjes op de weg en maak de tekening af. Vul in. Groep blad 1 0 + 10

Nadere informatie

PRIME CLIMB. Speeltijd Ongeveer 10 minuten per speler.

PRIME CLIMB. Speeltijd Ongeveer 10 minuten per speler. PRIME CLIMB Het mooie, kleurrijke wiskundige spel Prime Climb is een strategisch bordspel voor 2-4 spelers van leeftijd 10. Speeltijd Ongeveer 10 minuten per speler. Inhoud Prime Climb spelbord Vermenigvuldigingstafel

Nadere informatie

Het duivenhokprincipe

Het duivenhokprincipe Tijdens de sneeuwstormen van 5 november j.l. hebben duizenden leerlingen zich gebogen over de opdracht in het kader van de wiskunde B-dag. Op het Jac P Thijsse College worden de werkstukken beoordeeld

Nadere informatie

Uitwerking tentamen Algoritmiek 10 juni :00 13:00

Uitwerking tentamen Algoritmiek 10 juni :00 13:00 Uitwerking tentamen Algoritmiek 10 juni 2014 10:00 13:00 1. Dominono s a. Toestanden: n x n bord met in elk hokje een O, een X of een -. Hierbij is het aantal X gelijk aan het aantal O of hooguit één hoger.

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen HAVO Wiskunde A Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Supersize me Opgave 1. De formule voor de dagelijkse energiebehoefte is E b = 33,6 G. Als

Nadere informatie

Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen

Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

Radboud Universiteit Nijmegen

Radboud Universiteit Nijmegen Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica L(,1)-labeling van grafen Naam: Studentnummer: Studie: Begeleider: Myrte klein Brink 4166140 Bachelor Wiskunde Dr.

Nadere informatie

Opgave 1b: Toon ook aan dat meer algemeen geldt: Als het lukt met n = a munten in w keer wegen, dan lukt het voor a < n 2a in w + 1 keer wegen.

Opgave 1b: Toon ook aan dat meer algemeen geldt: Als het lukt met n = a munten in w keer wegen, dan lukt het voor a < n 2a in w + 1 keer wegen. Uitwerking Puzzel 92-7 Allemaal gelijk? Wobien Doyer Lieke de Rooij Er zijn veel puzzels over het opsporen van één valse munt tussen een aantal goede munten met hulp van een balans. Bij deze puzzel is

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 6 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 6 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 6 Tips bij werkboekje A Puzzelvierkanten Werkblad 1 Vierkant linksboven Zoek eerst uit hoeveel één hartje waard is. Daarna kun je ook berekenen hoeveel een rondje waard is. Vierkant

Nadere informatie

Uitwerking tentamen Algoritmiek 9 juli :00 13:00

Uitwerking tentamen Algoritmiek 9 juli :00 13:00 Uitwerking tentamen Algoritmiek 9 juli 0 0:00 :00. (N,M)-game a. Toestanden: Een geheel getal g, waarvoor geldt g N én wie er aan de beurt is (Tristan of Isolde) b. c. Acties: Het noemen van een geheel

Nadere informatie

rekentrainer jaargroep 5 Timo loopt steeds verder weg. Teken Timo bij de kruisjes op de weg en maak de tekening af. Zwijsen naam:

rekentrainer jaargroep 5 Timo loopt steeds verder weg. Teken Timo bij de kruisjes op de weg en maak de tekening af. Zwijsen naam: Zwijsen jaargroep naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs rekentrainer Timo loopt steeds verder weg. Teken Timo bij de kruisjes op de weg en maak de tekening af. Groep blad Vul in. 0 0 7 70

Nadere informatie

Bijzondere kettingbreuken

Bijzondere kettingbreuken Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar

Nadere informatie

Spelregels IK BOX spel (3 of 4 personen)

Spelregels IK BOX spel (3 of 4 personen) IK BOX spelregels Spelregels IK BOX spel (3 of 4 personen) Spelmateriaal 1 spelbord (binnenkant van de IK BOX) met aan de zijkanten de grote ZaaiGoedkaarten. 4 pionnen (Tess, Mo, Max en Kate). 4 bakjes.

Nadere informatie

Praktische opdracht Wiskunde A Patience

Praktische opdracht Wiskunde A Patience Praktische opdracht Wiskunde A Patience Praktische-opdracht door een scholier 1365 woorden 23 januari 2005 5,2 8 keer beoordeeld Vak Wiskunde A Patience Inleiding Dit is een spel voor één speler. Hij heeft

Nadere informatie

Eindige Fourier-Analyse in de Additieve Combinatoriek

Eindige Fourier-Analyse in de Additieve Combinatoriek Eindige Fourier-Analyse in de Additieve Combinatoriek Sam van Gool 22 juni 2007 Bachelorscriptie Begeleiding: prof. dr. T. H. Koornwinder KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,

Nadere informatie

Combinatorische Algoritmen: Binary Decision Diagrams, Deel III

Combinatorische Algoritmen: Binary Decision Diagrams, Deel III Combinatorische Algoritmen: Binary Decision Diagrams, Deel III Sjoerd van Egmond LIACS, Leiden University, The Netherlands svegmond@liacs.nl 2 juni 2010 Samenvatting Deze notitie beschrijft een nederlandse

Nadere informatie

Calcudoku. Vakantie Puzzelboek. door Patrick Min

Calcudoku. Vakantie Puzzelboek. door Patrick Min Calcudoku Vakantie Puzzelboek door Patrick Min Calcudoku, Vakantie Puzzelboek c 2016 Patrick Min. Alle rechten voorbehouden. ISBN 978-9-4021-4740-7 Inhoud 1 Inleiding 5 1.1 Regels........................................

Nadere informatie

Mastermind met acht kleuren

Mastermind met acht kleuren Geschreven voor het vak: Wiskunde gedoceerd door H. Mommaerts Onderzoekscompetentie Mastermind met acht kleuren Auteurs: Tom Demeulemeester Pieter Van Walleghem Thibaut Winters 6LWIi 22 april 2014 1 Inleiding

Nadere informatie

Praktische opdracht Wiskunde som van de ogen van drie dobbelstenen

Praktische opdracht Wiskunde som van de ogen van drie dobbelstenen Praktische opdracht Wiskunde som van de ogen van drie dobbelstenen Praktische-opdracht door een scholier 918 woorden 17 maart 2002 4,9 60 keer beoordeeld Vak Wiskunde Inleiding Wij hebben gekozen voor

Nadere informatie

5.327 703 x 15.981 3.728.900 + 3.744.881. 2.160 3.007 x 15.120 6.480.000 + 6.495.120. 2.160 3.007 x 15.120 00.000 0 00.000 6.480.000 + 6.495.

5.327 703 x 15.981 3.728.900 + 3.744.881. 2.160 3.007 x 15.120 6.480.000 + 6.495.120. 2.160 3.007 x 15.120 00.000 0 00.000 6.480.000 + 6.495. Bij vermenigvuldigen van twee grote getallen onder elkaar staan de rijen onder de streep elk voor een tussenstap. De eerste rij staat voor het vermenigvuldigen met het cijfer dat de eenheden van het onderste

Nadere informatie

Magidoku s en verborgen symmetrieën

Magidoku s en verborgen symmetrieën Uitwerking Puzzel 92-6 Magidoku s en verborgen symmetrieën Wobien Doyer Lieke de Rooij Een Latijns vierkant van orde n, is een vierkante matrix, gevuld met n verschillende symbolen waarvan elk precies

Nadere informatie

Basistechnieken Microsoft Excel in 15 minuten

Basistechnieken Microsoft Excel in 15 minuten Basistechnieken Microsoft Excel in 15 minuten Microsoft Excel is een rekenprogramma. Je kan het echter ook heel goed gebruiken voor het maken van overzichten, grafieken, planningen, lijsten en scenario's.

Nadere informatie

Definitie 1.1. Een partitie van een natuurlijk getal n is een niet stijgende rij positieve natuurlijke getallen met som n

Definitie 1.1. Een partitie van een natuurlijk getal n is een niet stijgende rij positieve natuurlijke getallen met som n Hoofdstuk 1 Inleidende begrippen 1.1 Definities Definitie 1.1. Een partitie van een natuurlijk getal n is een niet stijgende rij positieve natuurlijke getallen met som n Voor het tellen van het aantal

Nadere informatie

Optellen van twee getallen onder de 10

Optellen van twee getallen onder de 10 Splitsen tot 0 uit het hoofd 2 Optellen 2 7 6 2 5 3 4 Splitsen tot 20 3 2 8 7 2 6 3 5 4 4 4 3 2 2 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 2 3 0 9 2 8 3 7 4 6 5 5 6 5 2 4 3 3 Bij een aantal iets erbij doen heet optellen. Je

Nadere informatie

HANDLEIDING HET IJSBERENSPEL

HANDLEIDING HET IJSBERENSPEL HANDLEIDING HET IJSBERENSPEL Pagina 1 van 7 1.! Artikelen behorende bij het spel... 1! 2.! Doel... 1! 3.! Spel klaar zetten... 1! 4.! Aantal deelnemers... 2! 5.! Meer informatie... 2! 6.! Speluitleg...

Nadere informatie

De kleur op zich maakt niet uit voor elk van die paren, maar er is wel verschil in waarde tussen ongelijke/gelijke

De kleur op zich maakt niet uit voor elk van die paren, maar er is wel verschil in waarde tussen ongelijke/gelijke Om goed te kunnen pokeren, is psychologisch inzicht natuurlijk belangrijk. Een speler moet inschatten of zijn tegenstander bluft en zijn eigen strategie zo goed mogelijk verbergen. Je zou zeggen dat geluk

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

Uitwerking vierde serie inleveropgaven

Uitwerking vierde serie inleveropgaven Uitwerking vierde serie inleveropgaven Opgave 1. Gegeven is dat G een permutatiegroep is; a is een willekeurig element. St(a) is de deelverzameling van G die alle permutaties π bevat waarvoor geldt π(a)

Nadere informatie

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Ter inleiding: tellen Turven, maar: onhandig bij grote aantallen. Romeinse cijfers: speciale symbolen voor

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2016 2017, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele

Nadere informatie

Spelsystemen sjoelen. Combinatie-IV (First Loss)... 9 Combinatie-V... 9 Libre One Hundred And Eighty Moyenne Moyenne-2...

Spelsystemen sjoelen. Combinatie-IV (First Loss)... 9 Combinatie-V... 9 Libre One Hundred And Eighty Moyenne Moyenne-2... Inleiding Het Spelreglement van de A.N.S. is van toepassing. De uitzonderingen op dit spelreglement bij de spelsystemen worden aangegeven. Het aantal schijven waarmee wordt gesjoeld kan anders zijn. De

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 februari 2009 INDUCTIE & RECURSIE Paragrafen 4.3-4.6 Discrete Structuren Week 3:

Nadere informatie

Mijn project noemt Het Wari-spel. De doelgroep van mijn programma is iedereen die houdt van strategische spelen.

Mijn project noemt Het Wari-spel. De doelgroep van mijn programma is iedereen die houdt van strategische spelen. Voorstel project Mijn project noemt Het Wari-spel. De doelgroep van mijn programma is iedereen die houdt van strategische spelen. Het doel van mijn project is de spelers een ontspannende, plezierige en

Nadere informatie

Phil Orbanes. De snelle NIEUWE spelvariant. Spelregels

Phil Orbanes. De snelle NIEUWE spelvariant. Spelregels Phil Orbanes De snelle NIEUWE spelvariant Spelregels Phil Orbanes MONOPOLY Het Kaartspel De snelle NIEUWE spelvariant Voor 2-6 spelers vanaf 8 jaar. Inhoud 28 Eigendomsbewijzen 14 Huis- en 2 Hotel-kaarten

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang?

Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang? 4. tellen & kansen 4.1 Tellen Herkennen Je kunt een vraag over telproblemen herkennen aan signaalwoorden: - hoeveel mogelijkheden, manieren, routes, volgordes etc. zijn er?, - bereken het aantal mogelijkheden/manieren

Nadere informatie

DEEL 5 Wedstrijdformulier

DEEL 5 Wedstrijdformulier DEEL 5 Wedstrijdformulier 1 VOOR DE WEDSTRIJD De teller moet controleren dat de regels en vakken van de wedstrijd, die wordt gespeeld, juist zijn ingevuld. Is dit niet het geval, dan moeten deze als volgt

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Het stappenplan om snel en goed iets nieuws in te studeren

Het stappenplan om snel en goed iets nieuws in te studeren Studieschema voor goed en zelfverzekerd spelen Page 1 of 5 Het stappenplan om snel en goed iets nieuws in te studeren Taak Een nieuw stuk leren zonder instrument Noten instuderen Opname beluisteren Notenbeeld

Nadere informatie

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013 Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers

Nadere informatie

D-dag 2014 Vrijeschool Zutphen VO. D -DAG 13 februari 2014: 1+ 1 = 2. (en hoe nu verder?) 1 = 2en hoe nu verder?

D-dag 2014 Vrijeschool Zutphen VO. D -DAG 13 februari 2014: 1+ 1 = 2. (en hoe nu verder?) 1 = 2en hoe nu verder? D -DAG 13 februari 2014: 1+ 1 = 2 (en hoe nu verder?) 1 = 2en hoe nu verder? 1 Inleiding Snel machtsverheffen Stel je voor dat je 7 25 moet uitrekenen. Je weet dat machtsverheffen herhaald vermenigvuldigen

Nadere informatie

Modellen en Simulatie Speltheorie

Modellen en Simulatie Speltheorie Utrecht, 20 juni 2012 Modellen en Simulatie Speltheorie Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Program Optimaliseren Nul-som matrix spel Spel strategie Gemengde

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei Eindexamen VWO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei Eindexamen VWO Wiskunde A. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde A Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Schroefas Opgave 1. In de figuur trekken we een lijn tussen 2600 tpm op de linkerschaal en

Nadere informatie