3. Structuren in de taal
|
|
- Matthias Vink
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 3. Structuren in de taal In dit hoofdstuk behandelen we de belangrijkst econtrolestructuren die in de algoritmiek gebruikt worden. Dit zijn o.a. de opeenvolging, selectie en lussen (herhaling). Vóór we deze controle-structuren behandelen, vertellen we iets over variabelen. Ingewikkelder vormen van variabelen komen later in het hoofdstuk ter sprake in de vorm van de gegevenstructuren vector en matrix. Alle behandelde structuren zijn te gebruiken in de pseudotaal (zie ook het overzicht van de pseudotaal in hoofdstuk 11 van deze syllabus). Zoals we in hoofdstuk 2 hebben uitgelegd moeten we, om algoritmen in de pseudotaal te kunnen beschrijven, afspraken maken over syntax en semantiek van die taal. De eerste stap die we zetten in die richting heeft betrekking op zg controle structuren. De eenvoudigste structuur in een taal is de opeenvolging. Al iets ingewikkelder worden de herhalingen en de uitzonderingen (selecties). Structuur in een algoritme is erg belangrijk, niet alleen om de computer ons te laten begrijpen, maar ook om zelf inzicht te krijgen in wat er eigenlijk gebeurt. Ook als je andere mensen je algoritme wilt geven, is een goede structuur noodzakelijk. Hierdoor begrijpen de mensen eerder wat je bedoelt en zullen ze meer vertrouwen in de resultaten van je algoritme hebben. 3.4 Lussen In deze paragraaf behandelen we de lus-structuren. De volgende contructies worden uitgelegd: Voor..Tot, Zolang...Doe, Herhaal...Totdat. Verder zullen we vertellen hoe je de ene constructie in de andere kunt omschrijven. Tot slot komen de geneste lussen ter sprake. Bij de opeenvolging en de selectie worden opdrachten nooit meer dan één keer uitgevoerd (bij selectie soms zelfs nooit). Toch kan het heel vaak voorkomen dat een opdracht meerdere keren uitgevoerd moet worden. Om te voorkomen dat je dezelfde opdracht voor iedere keer dat hij uitgevoerd moet worden opnieuw moet intypen zijn lussen bedacht.
2 pagina Voor..Tot we een opdracht meer dan eens willen uitvoeren kunnen we de Voor..Tot constructie gebruiken. Bijvoorbeeld: Voor A := 1 Tot 10 SCHRIJF 'A is met 1 verhoogd' SCHRIJF 'A is nu gelijk aan,plak A Eindvoor Bij deze constructie wordt A eerst gelijk aan 1, daarna wordt de schrijf-opdracht uitgevoerd. Nu gaat A met stapjes van 1 naar de waarde 10, en elke keer als A 1 verhoogd is wordt de schrijfopdracht uitgevoerd. Na uitvoering van het algoritme staat er dus 10 keer A is met 1 verhoogd A is nu gelijk aan op het scherm. Bij de Voor-constructie wordt een variabele met stapgrootte 1 verhoogd van een bepaalde beginwaarde tot een bepaalde eindwaarde. De opdrachten die binnen de Voor en Eindvoor staan worden dan elke keer uitgevoerd. De Voor-constructie is dus: Voor variabele := beginwaarde Tot eindwaarde opdrachten Eindvoor Het aantal keren dat de opdracht binnen de lus moet worden uitgevoerd staat dus van te voren vast! Het is niet aan een voorwaarde gebonden. Voorbeeld: Een voedsel-regulatie model Veel technologische feedbacksystemen worden gecontroleerd door een mechanisme dat een proces start of stopt. De thermostaat van een verwarming is hier een goed voorbeeld van. Wanneer het in een kamer te koud wordt dan zorgt de thermostaat ervoor dat de verwarming aanslaat. Wanneer het in een kamer te warm wordt dan zorgt de thermostaat dat de verwarming uit gaat. Een biologisch voorbeeld van een dergelijk controlesysteem is het voedingsgedrag van ratten. In een sterk vereenvoudigd model is in het voedsel systeem een regelmechanisme ingebouwd dat een 'switch' op aan zet als de rat gaat eten en de switch op uit zet als de rat niet eet. Van dit probleem is onderstaand diagram gemaakt. De darm dient in dit model als voedsel opslagplaats. Via de darmwand vindt energie toevoer naar het lichaam plaats. De snelheid van energie transport naar het lichaam is evenredig met het oppervlak van de darmwand. In dit model nemen we aan dat dit evenredig is met de wortel van de darm inhoud: M = k m D
3 pagina Voedsel Voedsel Opname Darm Energie Regelmechanisme Hier is M de snelheid van energie overdracht van de darm naar het lichaam, k m is de opnamecoëfficiënt en D is de hoeveelheid energie van het voedsel in de darmen. k m kan gedurende een etmaal variëren. Omdat de rat een nachtdier is zal de coëfficiënt 's nachts hoger zijn dan overdag. Opname van voedsel vindt snel plaats, terwijl energieverbruik langzaam gaat. De snelheid van voedselopname, F, wordt berekend door: F = ei waarbij I de eetsnelheid is en e de feedback coëfficiënt (het regel mechanisme). de rat eet, is e gelijk aan 1. De darm stroomt dan met snelheid I vol. de rat niet eet is e gelijk aan 0. In ons model wordt het regelmechanisme aan- en uitgezet door de hoeveelheid energie M. M onder een bepaald niveau komt, M l, dan zal de rat gaan eten. M boven een maximum komt, M h, dan stopt de rat met eten en wordt e op 0 gezet. In dit model wordt aangenomen dat het gewicht van de rat constant blijft. De energie kan niet worden opgeslagen, alleen energie uit de darmen wordt gebruikt. Voedsel is ten alle tijden aanwezig. De uiteindelijke formule voor het systeem is: D(t) = D(t-1) + F - M We maken een algoritme waarin we 24 uur (1440 minuten) van de rat simuleren. We gebruiken tijdstapjes van 5 minuten. Gegeven zijn de volgende startwaarden: Om de 8 uur verandert de k m van de rat (variërend van 1 naar 2 naar 3), afhankelijk van ochtend, dag, of nacht Variabelen en hun startwaarden: M l = 18 cal/min M h = 60 cal/min I = 500 cal/min D = 4000 cal Begintijd is 7 uur 's ochtends Dit levert ons het volgende algoritme: PROGRAM VoedselRegulatie I := 500 Ml := 18 Mh := 60 D := 4000 km := 1 { km op 'ochtendstand' } e := 0 M := km MAAL WORTEL D Voor tijd:=1 Tot 288 { Doe 288 tijdstappen } M KLEINER DAN Ml Hoofdstuk 3.4
4 pagina e := 1 { zet eetsysteem aan } M GROTER DAN Mh e:= 0 { zet eetsysteem uit } F := e MAAL I { snelheid van darm-vullen } D := D PLUS F MIN M { bereken darminhoud } M := km MAAL WORTEL D { energie overdracht } SCHRIJF F, D, M tijd IS 96 { om de 8 uur veranderd km } km := 2 { km op 'dagstand' } t IS 192 km := 3 { km op 'nachtstand' } Eindvoor Prachtig hoor, zul je zeggen, maar hoe kom ik hier nu aan als ik het algoritme zelf moet schrijven?. Geef eens wat richtlijnen! Hoe bouwen we het algoritme op? De beginregel is het eenvoudigst. Dat is de programma-definitie regel. Op die regel wordt de naam van het programma vastgelegd en, als daarom is gevraagd, ook de mogelijkheid om input (= parameters) mee te geven (zie Hoofdstuk 5) In dit geval wordt er niet gevraagd om parameters over te kunnen dragen. Dat betekent dat onze programma definitie regel er als volgt uit moet zien: PROGRAM 'programmanaam De volgende stap is de initialisatie-fase, en bestaat er uit dat we ons afvragen hoeveel variabelen er in het probleem dat we moeten oplossen een rol spelen, van welk type ('getal' of 'teken') ze zijn, als ze het type 'getal' hebben welke vorm (dimensie) ze moeten hebben (scalair, vector, of matrix: zie paragraaf 3.6 over gegevens-structuren), en welke startwaarde de variabelen bij het begin van het programma moeten krijgen. In dit geval wordt het aantal variabelen bepaald door de formule waarmee we de toestand van het metabolisme per tijdstap uitrekenen. In die formule spelen een zevental variabelen een rol. In de eerste plaats de eetsnelheid I, vervolgens de snelheid van energie overdracht M, het minimum- en maximum niveau, Ml en Mh, daarvan, de opname coëfficient km, de hoeveelheid energie D van het voedsel in de darm, en tot slot de feedback coëfficient e. Daarmee is het lijstje van variabelen kompleet. Alle zeven hebben ze aan het begin een startwaarde nodig; ze moeten worden geinitialiseerd anders kunnen we er verder op in het programma niet mee rekenen. Verder moeten we er rekening mee houden dat de waarde van de variabele M niet direct bekend is maar afhankelijk is van de waarde van km en D. M kan dus pas worden uitgerekend nadat km en D hun waarde hebben gekregen! Het initialisatie blok komt er dan als volgt uit te zien: I := 500 {eetsnelheid} Ml := 18 {minimum energie overdracht} Mh := 60 {maximum energie overdracht} D := 4000 {energie in voedsel in darm} km := 1 {km op 'ochtendstand'} e := 0 {feedback}
5 M := km MAAL WORTEL D {hoeveelheid energie overdracht} pagina OK, de voorbereidende stappen zijn achter de rug en we zijn nu aan het echte werk toe. Wat is het probleem? We moeten voor een vaststaande periode (24 uur met 1440 minuten) in een bepaalde regelmaat (om de 5 minuten) volgens bepaalde formules de waarden van variabelen bepalen. De kern van het programma moet dus een lus bevatten, want we moeten om de 5 minuten steeds dezelfde formules toepassen. En aangezien we precies weten hoeveell blokjes van 5 minuten er in 24 uur gaan (288) ligt het soort lus ook vast, nl de voor-lus! De structuur van een voorlus is als volgt: Voor tijdstip := 1 Tot totaalaantaltijdstippen Opdrachten Eindvoor We weten ook wat we in moeten vullen voor het blokje Opdrachten, namelijk de tot pseudotaal omgeschreven formules! Dat ziet er als volgt uit: F := e MAAL I { snelheid van darm-vullen } D := D PLUS F MIN M { bereken darminhoud } M := km MAAL WORTEL D { energie overdracht } Eenmaal uitgerekend moet de gebruiker van het programma worden verteld wat nu de waarden van de verschillende variabelen is geworden. Dat kunnen we doen door die waarden naar het scherm te schrijven met een SCHRIJF opdracht: SCHRIJF F, D, M Daarmee is de kous nog niet af! De waarde van een aantal van de variabelen is namelijk niet afhankelijk van de formule maar van het tijdstip van de dag (km) of van een bepaalde limiet overschrijding (e). Dat betekent dat we nog een aantal voorwaardelijke opdrachten moeten formuleren waarin die wisselende omstandigheden tot uitdrukking worden gebracht. De eerste serie voorwaarden betreffen de snelheid van energie overdracht. Zodra we voor de eerste keer M hebben uitgerekend (in het initialisatie blok) moeten we controleren of de minimum waarde Ml dan wel de maximum waarde Mh van M is overschreden. In die gevallen moeten we namelijk de waarde van de feedback coëfficient e wijzigen. Direct na het begin van de voorlus, maar nog voor het formule blok, komen deze voorwaarden te staan: M KLEINER DAN Ml e := 1 { zet eetsysteem aan } M GROTER DAN Mh e:= 0 { zet eetsysteem uit } De andere variabele die voorwaardelijk verandert is km, de opnamecoëfficient. Deze verandert afhankelijk van het tijdstip. We weten dat we de simulatie om 7 uur s ochtends beginnen, en dus weten we de begin toestand van km, nl de ochtendstand. Maar km moet veranderen zodra we 8 uur verder zijn, en weer een keer na nog eens 8 uur. Die voorwaardelijke veranderingen in de waarde van km komen na het formule blok. (maakt dat wat uit, of we km voor of na het formule blok controleren?): tijd IS 96 { om de 8 uur veranderd km } km := 2 { km op 'dagstand' } t IS 192 km := 3 { km op 'nachtstand' } Hoofdstuk 3.4
6 pagina Hiermee zijn de bouwstenen van het algoritme kompleet. Nu alles nog in de goede volgorde zetten Zolang...Doe Bij de Voor-constructie moet je altijd van te voren al weten hoe vaak de opdrachten binnen de lus uitgevoerd moeten worden. Het kan echter ook voorkomen dat je niet weet hoe vaak de opdrachten herhaald moeten worden, bijvoorbeeld als een bepaalde opdracht uitgevoerd moet worden zolang de temperatuur onder de 15 o C is. Hiervoor kun je de Zolangconstructie gebruiken. Bijvoorbeeld: Zolang temperatuur is kleiner dan 15 Doe verwarm de buis in de gasvlam. In het algemeen: na de Zolang staat een conditie. Zolang deze conditie waar is worden de opdrachten na de Doe uitgevoerd. Ook dit statement moet afgesloten worden. We gebruiken hiervoor Eindzolang. de conditie niet (meer) waar is, gaat het algoritme verder met de opdrachten na de Eindzolang. Bekijk het volgende algoritme: PROGRAM TestZolang A:=5 Zolang A>0 Doe A:=A-1 SCHRIJF 'A wordt met één verlaagd' SCHRIJF De waarde van A is nu: PLAK A Eindzolang SCHRIJF 'A is nul' In dit algoritme wordt A eerst 5. In de volgende regel wordt gecontroleerd of A groter dan 0 is, dit is het geval en dus worden de volgende twee regels uitgevoerd. Nu is A 4 geworden, dit is nog steeds groter dan 0 en de twee regels worden nogmaals uitgevoerd. Dit gaat zo door totdat A 0 is. het algoritme dan bij de conditie komt is deze niet waar: de laatste regel van het algoritme wordt nu uitgevoerd. Op het scherm staat nu dus 5 keer de tekst: 'A wordt met één verlaagd' en één keer 'A is nu nul'. De Zolang-constructie is: Zolang
7 conditie Doe opdrachten Eindzolang Ook hier wordt de structuur aangegeven met inspringen. Voorbeeld: Speltheorie pagina Bij ratten zijn er twee verschillende strategieën om aan voedsel te komen. Ten eerste zijn er de 'dominanten'. Deze vechten altijd totdat hun tegenstander verdreven of gewond is. Bij dit vechten lopen ze de kans gewond raken of dat ze zelf gedood worden. Ten tweede zijn er de 'recessieven'. Deze proberen de tegenstander wel te intimideren, maar gaan geen gevecht aan. Met deze ratten kan een evolutionair spel gespeeld worden waarbij fitness in punten weergegeven wordt. De punten verdelen we als volgt: De winnaar van een conflict krijgt 80 punten De verliezer van een conflict krijgt 50 punten je bij een gevecht gewond raakt krijg je 0 punten Intimideren kost 10 punten. We gaan er van uit dat het aantal nakomelingen van de ratten overeen komt met de behaalde fitness punten. Er zijn nu drie mogelijke situaties: 1) een dominant tegen een dominant vecht heeft elk van de dominanten een kans van 0.5 om te winnen en een kans van 0.5 om gewond te raken. Het gemiddeld behaalde aantal fitness punten bedraagt dan 0.5 x x 0 = 40. 2) een dominant een recessief tegenkomt dan wint de dominant altijd (de recessief vlucht namelijk zodra hij aangevallen wordt), en krijgt 80 punten. De recessief verliest en krijgt 50 punten. 3) een recessief een recessief ontmoet, dan intimideren de beesten elkaar totdat een van de twee beesten weggaat. Voor beide kost dit 10 punten en voor beide is er een kans van 0.5 op winnen en een kans van 0.5 op verliezen, gemiddeld levert dit: 0.5(80-10)+0.5 x (50-10) = 55 punten. In tabelvorm: Dominant Recessief Dominant Recessief Wanneer er nu een populatie is met alleen maar recessieven dan is de fitness voor iedereen 55. er in deze populatie een dominant komt, dan heeft deze een fitness van 80 en kan zich snel vermenigvuldigen. Wanneer een populatie uit alleen maar dominanten bestaat dan is de fitness voor iedereen 40. Een recessief zou in deze populatie een fitness van 50 hebben en heeft dan een hogere fitness dan de anderen. Hij kan zich dus snel vermenigvuldigen. De verwachting is dat zich na verloop van tijd een evenwicht in zal stellen tussen recessieven en dominanten (check: stopt het algoritme?). Op basis van dit model kan een stelsel van vergelijkingen afgeleid worden: ➂ Eerst moet de fitness van de oude generatie berekend worden. De fitness van een dominant is het aantal punten dat hij scoort wanneer hij een dominant individu tegen komt maal het aantal dominanten + het aantal punten dat hij scoort wanneer hij een recessief individu tegenkomt maal het aantal recesieven. Hoofdstuk 3.4
8 pagina FD(t) = (D(t-1)x 40) + R(t-1) x 80 Voor de recessieven geldt een soortgelijk verhaal. FR(t) = (D(t-1)x 50) + R(t-1) x 55 Vervolgens kan dan de verhouding van de nieuwe generatie berekend worden. Dit gebeurt door het aantal dominanten en recessieven met de relatieve fitness te vermenigvuldigen. VD = D(t-1) x FD/(FR+FD) VR = R(t-1) x FR/(FR+FD) Het enige wat nu nog gedaan moet worden is deze verhoudingsgetallen omzetten in ware aantallen. We nemen aan dat het aantal individuen in de populatie constant blijft en de waarde 'totaal' heeft. D(t) = totaal x VD/(VD+VR) R(t) = totaal x VR/(VD+VR) FD is de gemiddelde fitness van de dominanten; FR is de gemiddelde fitness van de recessieven; D(t) is het aantal dominanten en R(t) is het aantal recessieven; VD is het verhoudingsgetal voor de nieuwe generatie dominanten; VR is het verhoudingsgetal voor de nieuwe recessieven. We kunnen nu een algoritme maken dat met het stelsel van vergelijkingen het evenwicht tussen de dominanten en recessieven berekent. We beginnen het algoritme met een generatie waarbij 50 recessieven aanwezig zijn en 50 dominanten en we laten de computer rekenen zolang het aantal recessieven nog veranderd. Om het evenwicht te bepalen onthouden we elke keer het oude aantal recessieven, en als de oude waarde min de nieuwe waarde 0 is stoppen we het algoritme. Dit geeft ons het volgende algoritme: PROGRAM VoedselSpel {Simulatie van speltheoretisch model voor voedselacquisitie} D := 50 {aantal dominanten} R_oud := 0 R := 50 {aantal recessieven} Totaal := 100 Zolang NIET (R_oud MIN R) IS 0 Doe R_oud := R { onthou deze R } FD := (D MAAL 40) PLUS { R bereken MAAL fitness 80 dominanten } FR := (D MAAL 50) PLUS { R bereken MAAL fitness 55 recessieven } VD := (D MAAL FD) GEDEELD DOOR FD PLUS FR {verh. domin. } VR := (R MAAL FR) GEDEELD DOOR FD PLUS FR {verh. recess.} D := Totaal MAAL VD GEDEELD DOOR {nieuw VR aantal PLUS VD domin. } R := Totaal MAAL VR GEDEELD DOOR VR PLUS VD{nieuw aantal R } SCHRIJF D,R Eindzolang Je ziet in dit algoritme dat we niet weten hoe vaak de opdrachten uitgevoerd gaan worden. Pas als R niet meer verandert stopt het algoritme. Bij de Voor-constructie moeten we wel altijd al aangeven hoe vaak de opdrachten gedaan moeten worden. Dit is het belangrijkste verschil tussen de
9 pagina Voor- en de Zolang-constructie. het aantal keer dat de opdrachten uitgevoerd moeten worden bekend is, kan een Zolang-lus altijd in een Voor-lus omgeschreven worden (en andersom) Herhaal...Totdat Een derde lus-structuur is de Herhaal...Totdat constructie. Deze constructie lijkt erg op de Zolang-constructie. Ook hier weten we niet hoe vaak de opdrachten uitgevoerd worden. Het grote verschil tussen de Herhaal en de Zolang is de plaats van de conditie. We hebben gezien dat bij de Zolang-constructie de conditie vooraan staat ( pre-tested loop ), bij de Herhaalconstructie staat de conditie juist achteraan ( post-tested loop ). Een Herhaal lus bestaat uit een aantal opdrachten waarbij als laatste opdracht gekeken wordt of de opdrachten nogmaals uitgevoerd moeten worden. Het belangrijkste gevolg hiervan is dat de opdrachten in een Herhaal-lus altijd minstens één keer uitgevoerd worden. Bekijk bijvoorbeeld de volgende twee algoritmen: A:= 0 Zolang A GROTER DAN 0 Doe A:= A MIN 1 SCHRIJF A Eindzolang A:= 0 Herhaal A:=A MIN 1 SCHRIJF A Totdat A KLEINER DAN 0 Eindherhaal Het eerste verschil dat opvalt is dat de conditie precies omgekeerd is; bij de Zolang wordt doorgegaan zolang A groter is dan nul, bij de Herhaal wordt doorgegaan totdat A kleiner is dan nul. Verder worden de opdrachten binnen de lus in het eerste algoritme niet uitgevoerd (want als de Zolang-lus begint is A gelijk aan nul en dus wordt de lus overgeslagen), terwijl in het tweede algoritme de opdrachten binnen de lus wél één keer uitgevoerd worden. Aan het eind van het eerste algoritme is A nog steeds nul, aan het eind van het tweede algoritme is A min 1 geworden. In het algemeen is de Herhaal-constructie: Hoofdstuk 3.4
10 pagina Herhaal opdrachten Totdat conditie Eindherhaal Een Zolang-lus is altijd om te schrijven in een Herhaal-lus en andersom. Je moet dan wel goed opletten dat je de conditie omdraait en dat de opdrachten niet opeens één keer te veel (of te weinig) uitgevoerd worden. Bijvoorbeeld in de volgende gedeeltes van een algoritme: (we gaan er vanuit dat A 0 en een geheel getal is) Zolang A IS_ONGELIJK 0 Doe A:=A MIN 1 Eindzolang Herhaal A:= A MIN 1 Totdat A IS 0 Eindherhaal Dit gaat meestal goed, behalve als A nul is! In het eerste algoritme is er dan geen probleem, we slaan de lus gewoon over. In het tweede algoritme beginnen we echter wel aan de opdrachten in de lus en dus wordt er van A één afgetrokken. we dan bij de conditie komen is A gelijk aan -1 en dus beginnen we weer vooraan de lus. Het gevolg is dat A nooit meer 0 wordt en dat we dus altijd door gaan met van A één aftrekken! In dit geval zeggen we dat we in een oneindige lus zitten. Je moet dus altijd controleren of de eindconditie wel kan optreden! Voorbeeld: Simulatie van mutaties Hoewel mutaties niet veel voorkomen zijn ze de bron van genetische variabiliteit in een populatie. Een puntmutatie is eigenlijk een chemisch proces waarbij een base in de DNA-code wordt vervangen door een andere base. Dit veroorzaakt een verandering in de genetische informatie op een bepaalde locus. Dit chemische proces is ook omkeerbaar. In dit voorbeeld zullen we mutaties bekijken waar, door een puntmutatie, een heel allel verandert. Veronderstel dat allel A met een bepaalde mutatiesnelheid in allel a muteert en vice versa. Schematisch weer gegeven door: u A a v
11 pagina Waarbij u de mutatiesnelheid van A naar a is en v de mutatiesnelheid van a naar A. het systeem zich in evenwicht bevindt dan wordt net zoveel van A naar a gemuteerd als er van a naar A gemuteerd wordt. Dit evenwicht kan worden beschreven door de volgende vergelijkingen: vq = up p = (1-q) Waarbij q de frequentie van allel a is en p de frequentie van allel A. Voor elke willekeurige generatie kan de verandering in frequentie van a worden gevonden door de formule: Dq = -vq + up = -vq + u(1-q) we aannemen dat er geen verschil in fitness is tussen A en a dan geldt voor elke generatie: q(t) = q(t-1) + q(t-1) We maken een algoritme dat de frequenties q en p in het evenwichtspunt berekent. Hierbij nemen we aan dat u=10-8 en v=10-7 en dat het evenwicht gevonden is als q < Het algoritme voor simulatie van mutaties wordt: PROGRAM SimulMutatie {Simuleer mutaties} q:=0.5 p:=0.5 u:= v:= e:= Herhaal dq := (-v MAAL q) PLUS u MAAL (1 MIN q) { bereken verandering in freq. } q := q PLUS dq { bereken nieuwe frequentie van allel} Totdat dq KLEINER DAN e { tot evenwicht gevonden } Eindherhaal p := 1 MIN q SCHRIJF p,q Lussen in lussen Bij sommige problemen zijn meerdere lussen nodig. Een tweede lus kan ook binnen een andere lus zitten. We noemen dit geneste lussen (ook wel lussen in lussen). Een voorbeeld hiervan zien we in het volgende algoritme: PROGRAM Klok {Boots een klok na} uren := 0 minuten := 0 Herhaal uren := uren PLUS 1 Herhaal SCHRIJF uren,minuten minuten := minuten PLUS 1 Totdat minuten IS 60 Eindherhaal minuten := 0 Hoofdstuk 3.4
12 pagina Totdat uren IS 12 Eindherhaal Dit algoritme simuleert een klok, eerst worden de uren en minuten op nul gezet, daarna gaan we de eerste Herhaal-lus in. Hierin wordt uren met 1 verhoogd, dan komen we in de tweede Herhaal-lus. De opdrachten van de tweede lus worden uitgevoerd totdat minuten 60 geworden is, dan gaan we uit de lus en wordt minuten weer gelijk aan nul. Omdat uren nu 1 is zijn we nog niet klaar met de eerste Herhaal-lus, we beginnen dus weer bovenaan en tellen 1 bij de uren op. komen we wéér in de tweede Herhaal-lus, omdat minuten ondertussen weer op nul gezet is, worden de opdrachten binnen de tweede lus weer 60 keer uitgevoerd. Op het scherm zien we het volgende: : : : : : We kunnen de lussen zo diep nesten als we willen (d.w.z. we kunnen binnen de lus-in-de-lus ook weer een lus zetten en daarbinnen nog een, enz., enz.). We kunnen alle soorten lussen nesten, een lus binnen een andere lus hoeft niet van het zelfde soort te zijn als de 'omvattende' lus. Een uitgebreide versie van het 'klok'-programma kan bijvoorbeeld zijn: PROGRAM KlokExt {Uitgebreide klok} uren := 0 minuten := 0 Herhaal Zolang minuten KLEINER DAN 60 Doe Voor seconden := 0 Tot 59 SCHRIJF uren,minuten,seconden Eindvoor minuten := minuten PLUS 1 Eindzolang minuten := 0 uren := uren PLUS 1 Totdat uren IS 12
13 Eindherhaal pagina Voorbeeld: Epidemie Het verloop van een epidemie is sterk afhankelijk van een aantal factoren. In dit voorbeeld komen een aantal van deze factoren ter sprake en gaan we kijken hoe het verloop van een epidemie afhangt van de grootte van een populatie. In een populatie (mensen, zeehonden, varkens) kan een epidemie ontstaan door 1 besmettelijk individu in een populatie met allemaal vatbare individuen te plaatsen. Het verwachte aantal individuen dat het zieke individu tijdens zijn ziekte besmet noemen we R. Na verloop van tijd wordt de zieke weer beter en is immuun voor de ziekte geworden. Voor elk individu dat besmet wordt door het zieke individu geldt ook weer dat hij R andere individuen kan besmetten. Bij dit laatste gaan we ervan uit dat de vermindering van de vatbare populatie met R individuen niet noemenswaardig is. Hieruit volgt dat als: R>1 dan ontstaat er een epidemie. (elk individu besmet zelf meer dan 1 individu, het aantal zieken neemt dus toe) R<1 dan sterft de ziekte uit (elk individu besmet zelf minder dan 1 individu, het aantal zieken neemt dus af) De grootte van R is afhankelijk van 3 factoren: S: Het aantal vatbare individuen in de populatie we aannemen dat een ziek individu na verloop van tijd weer beter wordt en dan immuun is voor de ziekte, dan neemt het aantal vatbare individuen af door 'gewone' sterfte en besmetting door de ziekte. Het aantal vatbare individuen neemt toe door geboorte. b: De kans per dag dat een vatbaar individu besmet wordt. c: De kans per dag dat de een ziek individu geneest (het verwachte aantal dagen dat een individu ziek is, is dan 1/c, dus wanneer de kans op genezing 1/7 is dan is een individu gemiddeld 7 dagen ziek). Met deze drie factoren kunnen we R berekenen: R = b.s.(1/c) = (b.s)/c Stel: P: is het totaal aantal individuen van de populatie (constant) Z: is het aantal zieken g: is de fractie van de populatie die een kind krijgt d: is de fractie van de populatie die sterft dan kunnen we het volgend stelsel van vergelijkingen opstellen (tijdseenheid = 1 dag): S(t) = S(t-1) + ((P.g) - (S(t-1).d)) - Z(t-1).R(t).c Z(t) = Z(t-1) + Z(t-1).R(t).c - Z(t-1).c R(t) = b.s(t-1)/c We nemen aan dat b en c gedurende de hele epidemie constant blijven. Met dit stelsel van vergelijkingen kunnen we op elk tijdstip zien hoeveel individuen er ziek zijn en hoeveel er vatbaar zijn. Uit de hierboven gegeven vergelijkingen blijkt dat R afhankelijk is van het aantal vatbaren en dat het aantal vatbaren afhankelijk is van de populatiegrootte. Wat we nu willen weten is: hoe verandert het verloop van de epidemie met de populatiegrootte. Hoofdstuk 3.4
14 pagina We willen voor 20 populatiegrootten weten (van 2 miljoen tot 40 miljoen), na hoeveel dagen de epidemie is afgelopen (de epidemie hoeft niet te stoppen, de ziekte kan ook resident aanwezig blijven. R is dan ongeveer 1). Het volgende algoritme: - brengt bij elk van de 20 populatiegrootten 1 ziek individu in de populatie - simuleert de epidemie - stopt na 3 jaar, of stopt wanneer het aantal zieken (Z(t)) 0 is. Per populatiegrootte schrijven we op hoelang de epidemie heeft geduurd (als er na 3 jaar nog zieken waren, dan wordt het aantal zieken opgeschreven). We nemen aan dat: g = d = c = 1/(8.5) b = 1/(2 x P) PROGRAM Epidemie {Simuleer het verloop van een epidemie} g := {fractie van de populatie wat kind krijgt} d := {fractie van de populatie wat sterft} c := 1 GEDEELD DOOR 8.5 P := 0 Voor pop:=1 Tot 20 {doe voor 20 populatiegrootten } P := P PLUS { nieuwe populatiegrootte } b := 1 GEDEELD DOOR (2 MAAL P) {besmettingskans} S := P {aantal vatbare individuene} Z := 1 {aantal zieken} t := 0 Herhaal { herhaal tot epidemie afgelopen of tijd om } R := (b MAAL {aantal S) GEDEELD besmette DOOR personen} S := S PLUS (P MAAL g) MIN (S MAAL d) PLUS Z MAAL R MAAL c Z := Z PLUS (Z MAAL R MAAL c) MIN Z MAAL c t := t PLUS 1 SCHRIJF t,r,s,z Totdat (Z KLEINER DAN 0) OF (Z IS 0) OF ( t IS 1095) Eindherhaal t IS 1095 SCHRIJF 'na 1095 dagen was het aantal zieken ' PLAK Z Anders SCHRIJF 'De epidemie is na ' PLAK t PLAK ' dagen afgelopen.' Eindvoor Een al heel oud algoritme is dat van Euclides voor het vinden van de grootste gemene deler van twee getallen. Het is een voorbeeld van een algoritme met een conditie in een lus. PROGRAM GGD {Euclides algoritme voor Grootste Gemene Deler} LEES A LEES B Zolang A IS_ONGELIJK B Doe A GROTER DAN B
15 A:=A MIN B Anders B:=B MIN A Eindzolang SCHRIJF Grootste gemene deler is:, PLAK A pagina Hoofdstuk 3.4
16 pagina
3. Structuren in de taal
3. Structuren in de taal In dit hoofdstuk behandelen we de belangrijkst econtrolestructuren die in de algoritmiek gebruikt worden. Dit zijn o.a. de opeenvolging, selectie en lussen (herhaling). Vóór we
Nadere informatie3. Structuren in de taal
3. Structuren in de taal In dit hoofdstuk behandelen we de belangrijkst econtrolestructuren die in de algoritmiek gebruikt worden. Dit zijn o.a. de opeenvolging, selectie en lussen (herhaling). Vóór we
Nadere informatieUitleg: In de bovenstaande oefening zie je in het eerste blokje een LEES en een SCHRIJF opdracht. Dit is nog lesstof uit het tweede trimester.
In onderstaande oefeningen zijn kleuren gebruikt. Deze dienen aleen om de structuren makkelijker terug te kunnen herkennen. Ze worden niet standaard zo gebruikt. De dunne rood/roze balken zijn ook geen
Nadere informatieHet warmteverlies van het lichaamsoppervlak aan de wordt gegeven door de volgende formule:
Opgave 1. (4 punten) Inleiding: Een vleermuis is een warmbloedig zoogdier. Dat wil zeggen dat hij zijn lichaamstemperatuur op een konstante waarde moet zien te houden. Als de omgeving kouder is dan de
Nadere informatieHet SIR-model voor griep in Nederland
Het SIR-model voor griep in Nederland S.P. van Noort Universiteit Utrecht Rijksinstituut voor de Volksgezondheid en Milieu 5 november 2003 Via wiskundige modellen kan de verspreiding van een besmettelijke
Nadere informatieOpgave 1. (4 punten) Inleiding: Vraag: Hints: (maximaal 2 bonuspunten) Tentamen Algoritmiek voor Biologen
Opgave 1. (4 punten) Elk jaar verliest een boom al z'n bladeren. Een boom begint op dag D met B bladeren. Op de eerste dag is voor elk blad dat aan de boom zit de kans op afvallen 0.03. Voor elke volgende
Nadere informatieDan is de waarde van het recessieve allel q dus 0,87, vanwege het feit dat p + q = 1.
Opgave 1: Wet van Hardy-Weinberg Een populatie van 10.000 individuen voldoet wat betreft de onderlinge voortplanting aan de voorwaarden, genoemd in de wet van Hardy-Weinberg. Van deze populatie is bekend
Nadere informatie9. Strategieën en oplossingsmethoden
9. Strategieën en oplossingsmethoden In dit hoofdstuk wordt nog even terug gekeken naar alle voorgaande hoofdstukken. We herhalen globaal de structuren en geven enkele richtlijnen voor het ontwerpen van
Nadere informatie4. Schematechnieken. In dit hoofdstuk worden drie schematechnieken behandeld:
4. Schematechnieken In dit hoofdstuk worden drie schematechnieken behandeld: aktie-diagrammen, stroomschema's en Nassi-Shneidermandiagrammen. Een schema is een goed hulpmiddel om (vooral wat ingewikkeldere
Nadere informatieCompex wiskunde A1-2 vwo 2003-I
Epidemie Men spreekt van een epidemie als in korte tijd minstens 2% van de bevolking een besmettelijke ziekte oploopt. Een voorbeeld van zo n ziekte is griep. Rond 930 hebben twee Schotse wiskundigen,
Nadere informatie1.3 Rekenen met pijlen
14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij
Nadere informatieDe waarde van een plaats in een getal.
Komma getallen. Toen je net op school leerde rekenen, wist je niet beter dan dat getallen heel waren. Dus een taart was een taart, een appel een appel en een peer een peer. Langzaam maar zeker werd dit
Nadere informatieRekenen aan wortels Werkblad =
Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen ( 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatieGeldwisselprobleem van Frobenius
Geldwisselprobleem van Frobenius Karin van de Meeberg en Dieuwertje Ewalts 12 december 2001 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Afspraken 3 3 Is er wel zo n g? 3 4 Eén waarde 4 5 Twee waarden 4 6 Lampenalgoritme
Nadere informatieProgrammeren A. Genetisch Programma voor het Partitie Probleem. begeleiding:
Programmeren A Genetisch Programma voor het Partitie Probleem begeleiding: Inleiding Het Partitie Probleem luidt als volgt: Gegeven een verzameling van n positieve integers, vindt twee disjuncte deelverzamelingen
Nadere informatiePSD. Reeksen van logische procedures om problemen op te lossen in een eindig aantal stappen.
Inleiding Computers en andere digitale apparatuur is tegenwoordig niet meer weg te denken in de huidige samenleving. Zonder programma s zijn deze apparaten echter niets waard. Het zijn de programma s die
Nadere informatie4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]
4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats
Nadere informatiex (n+1) = a.x (n). e -x(n)
Opgave 1. Inleiding Het Ricker model wordt o.a. gebruikt in de visserijbiologie, voor het modelleren van populaties met dichtheids-afhankelijke juveniele sterfte. Dergelijke sterfte komt bijvoorbeeld voor
Nadere informatie2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
Nadere informatieSmall Basic Programmeren Text Console 2
Oefening 1: Hoogste getal Je leest een reeks positieve gehele getallen in totdat je het getal 0 (nul) invoert. Daarna stopt de invoer en druk je een regel af met het hoogste getal uit de reeks. Voorbeeld:
Nadere informatieHoofdstuk 1 Beweging in beeld. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal
Hoofdstuk 1 Beweging in beeld Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal 1.1 Beweging vastleggen Het verschil tussen afstand en verplaatsing De verplaatsing (x) is de netto verplaatsing en de
Nadere informatie1.Tijdsduur. maanden:
1.Tijdsduur 1 etmaal = 24 uur 1 uur = 60 minuten 1 minuut = 60 seconden 1 uur = 3600 seconden 1 jaar = 12 maanden 1 jaar = 52 weken 1 jaar = 365 (of 366 in schrikkeljaar) dagen 1 jaar = 4 kwartalen 1 kwartaal
Nadere informatie8. Complexiteit van algoritmen:
8. Complexiteit van algoritmen: Voorbeeld: Een gevaarlijk spel 1 Spelboom voor het wespenspel 2 8.1 Complexiteit 4 8.2 NP-problemen 6 8.3 De oplossing 7 8.4 Een vuistregel 8 In dit hoofdstuk wordt het
Nadere informatie3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?
In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.
Nadere informatie1. REGELS VAN DEELBAARHEID.
REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden
Nadere informatieGetallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Nadere informatie5.327 703 x 15.981 3.728.900 + 3.744.881. 2.160 3.007 x 15.120 6.480.000 + 6.495.120. 2.160 3.007 x 15.120 00.000 0 00.000 6.480.000 + 6.495.
Bij vermenigvuldigen van twee grote getallen onder elkaar staan de rijen onder de streep elk voor een tussenstap. De eerste rij staat voor het vermenigvuldigen met het cijfer dat de eenheden van het onderste
Nadere informatieGriepepidemie. Modelleren B. Javiér Sijen. Janine Sinke
Javiér Sijen Janine Sinke Griepepidemie Modelleren B Om de uitbraak van een epidemie te voorspellen, wordt de verspreiding van een griepvirus gemodelleerd. Hierbij wordt zowel een detailbenadering als
Nadere informatieOP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl
OP WEG NAAR WISKUNDE Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl Voor kinderen die iets meer willen weten en begrijpen van wiskunde, bijvoorbeeld als voorbereiding op de middelbare
Nadere informatieOEFENINGEN PYTHON REEKS 6
OEFENINGEN PYTHON REEKS 6 1. A) Schrijf een functie die een getal x en een getal y meekrijgt. De functie geeft de uitkomst van volgende bewerking als returnwaarde terug: x y x als x y x y y als x < y B)
Nadere informatiePOD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding
POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 2/59 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding Stijn Lievens (Stijn.Lievens@hogent.be) Noemie Slaats (Noemie.Slaats@hogent.be) Lieven Smits (Lieven.Smits@hogent.be) Martine Van Der Weeen
Nadere informatieV6 Oefenopgaven oktober 2009
V6 Oefenopgaven oktober 2009 Fitness Met fitness wordt in de biologie bedoeld het vermogen van genotypen om hun allelen naar de volgende generatie over te dragen. De fitness wordt uitgedrukt in een getal
Nadere informatie2. Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken
1. Wat is een breuk? Een breuk Een breuk is een verhoudingsgetal. Een breuk geeft aan hoe groot een deel is van een geheel. Stel een taart is verdeeld in stukken. Je neemt 2 stukken van de taart. Je hebt
Nadere informatieHoofdstuk 1 Beweging in beeld. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal
Hoofdstuk 1 Beweging in beeld Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal 1.4/1.5 Significantie en wiskundige vaardigheden Omrekenen van grootheden moet je kunnen. Onderstaande schema moet je
Nadere informatiePraktische toepassing van functies
Excellerend Heemraadweg 21 2741 NC Waddinxveen 06 5115 97 46 richard@excellerend.nl BTW: NL0021459225 ABN/AMRO: NL72ABNA0536825491 KVK: 24389967 Praktische toepassing van functies De laatste twee functies
Nadere informatieEPIDEMIOLOGIE - LEERLING. SuccesformulesVoorkant_Opmaak :08 Pagina 1 EPIDEMIOLOGIE. Naam: Klas: Datum:
EPIDEMIOLOGIE - LEERLING SuccesformulesVoorkant_Opmaak 1 06-10-14 10:08 Pagina 1 EPIDEMIOLOGIE 1 anigap 80:01 41-01-60 1 kaampo_tnakroovselumrofseccus Naam: Klas: Datum: INLEIDING Wiskunde speelt een belangrijk
Nadere informatieMijn project noemt Het Wari-spel. De doelgroep van mijn programma is iedereen die houdt van strategische spelen.
Voorstel project Mijn project noemt Het Wari-spel. De doelgroep van mijn programma is iedereen die houdt van strategische spelen. Het doel van mijn project is de spelers een ontspannende, plezierige en
Nadere informatieSyllabus Leren Modelleren
Syllabus Leren Modelleren Januari / februari 2014 Hervormd Lyceum Zuid Klas B1B SCHRIJF HIER JE NAAM: LES 1 Syllabus Modelleren; Les 1: Zoekproblemen Klas B1B Inleiding In de lessen voor de kerstvakantie
Nadere informatieBovenstaande computer is ontworpen voor elliptical trainers en wordt geïntroduceerd met de volgende functies:
Infiniti ST-890 Computerhandleiding Bovenstaande computer is ontworpen voor elliptical trainers en wordt geïntroduceerd met de volgende functies: Knopfuncties Schermen Werkingsreikwijdten Wat u zou moeten
Nadere informatieOnafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms
Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms Giso Dal (0752975) Pagina s 5 7 1 Deelverzameling Representatie
Nadere informatieDe teller geeft hoeveel stukken er zijn en de noemer zegt wat de 5. naam is van die stukken: 6 taart geeft dus aan dat de taart in 6
Breuken Breuk betekent dat er iets gebroken is. Het is niet meer heel. Als je een meloen doormidden snijdt, is die niet meer heel, maar verdeeld in twee stukken. Eén zo n stuk is dan een halve meloen,
Nadere informatieDe bouwstenen van het programmeren 1
De bouwstenen van het programmeren 1 I DE BOUWSTENEN VAN HET PROGRAMMEREN. Een programma is een beschrijving van acties (operaties, opdrachten) die moeten uitgevoerd worden. Deze acties spelen in op bepaalde
Nadere informatieMachten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
Nadere informatie5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde.
5.0 Voorkennis Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen is eponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige
Nadere informatie3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625.
3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625. Absolute verandering = Aantal 2004 Aantal 1994 = 1625 3070 = -1445 Relatieve verandering = Nieuw Oud Aantal
Nadere informatieOPDRACHT Opdracht 2.1 Beschrijf in eigen woorden wat het bovenstaande PSD doet.
Les C-02: Werken met Programma Structuur Diagrammen 2.0 Inleiding In deze lesbrief bekijken we een methode om een algoritme zodanig structuur te geven dat er gemakkelijk programmacode bij te schrijven
Nadere informatieHoofdstuk 20: Wiskundige functies
Hoofdstuk 20: Wiskundige functies 20.0 Introductie Er is een uitgebreid aanbod aan wiskundige functies in Excel, variërend van het simpele + teken tot de esoterische statistiek functies voor een correlatie
Nadere informatieREKENVAARDIGHEID BRUGKLAS
REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS Schooljaar 008/009 Inhoud Uitleg bij het boekje Weektaak voor e week: optellen en aftrekken Weektaak voor e week: vermenigvuldigen Weektaak voor e week: delen en de staartdeling
Nadere informatieDe dynamica van een hertenpopulatie. Verslag 1 Modellen en Simulatie
De dynamica van een hertenpopulatie Verslag Modellen en Simulatie 8 februari 04 Inleiding Om de groei van een populatie te beschrijven, kunnen vele verschillende modellen worden gebruikt, en welke meer
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde A1,2 Compex. Vragen 11 tot en met 17. In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt.
Examen VWO 2008 tijdvak 1 maandag 19 mei totale examentijd 3 uur wiskunde A1,2 Compex Vragen 11 tot en met 17 In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt. Bij dit
Nadere informatieMonitoraatssessie Wiskunde
Monitoraatssessie Wiskunde 1 Overzicht van de cursus Er zijn drie grote blokken, telkens voorafgegaan door de rekentechnieken die voor dat deel nodig zullen zijn. Exponentiële en logaritmische functies;
Nadere informatieDe computerhandleiding bestaat uit de onderdelen: Knopfuncties De schermen Het selecteren en instellen van de programma s -1-
Computerhandleiding De computerhandleiding bestaat uit de onderdelen: Knopfuncties De schermen Het selecteren en instellen van de programma s -1- Knopfuncties Er zijn in totaal 6 toetsen aanwezig, namelijk
Nadere informatieJava Les 3 Theorie Herhaal structuren
Java Les 3 Theorie Herhaal structuren Algemeen Een herhaal structuur een is programmeertechniek waarbij bepaalde Java instructies worden herhaald net zo lang tot een bepaalde voorwaarde is bereikt. Een
Nadere informatieControle structuren. Keuze. Herhaling. Het if statement. even1.c : testen of getal even of oneven is. statement1 statement2
Controle structuren De algemene vorm: 1 bloks door middel van indentatie Keuze Herhaling if expressie :...... In de volgende vorm is het else gedeelte weggelaten: if expressie :... Het if keuze- of conditioneel
Nadere informatieRekenen met cijfers en letters
Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieHoofdstuk 26: Modelleren in Excel
Hoofdstuk 26: Modelleren in Excel 26.0 Inleiding In dit hoofdstuk leer je een aantal technieken die je kunnen helpen bij het voorbereiden van bedrijfsmodellen in Excel (zie hoofdstuk 25 voor wat bedoeld
Nadere informatieMemoriseren: Een getal is deelbaar door 10 als het laatste cijfer een 0 is. Of: Een getal is deelbaar door 10 als het eindigt op 0.
REKENEN VIJFDE KLAS en/of ZESDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Luc Cielen: Regels van deelbaarheid, grootste gemene deler en kleinste gemeen veelvoud 1 Deelbaarheid door 10, 100, 1000. Door
Nadere informatieUitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatie6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden
6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2
Nadere informatieModelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3
Modelleren C Appels Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both 2 april 2010 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Probleembeschrijving 2 3 Data 3 4 Aanpak 3 5 Data-analyse 4 5.1 Data-analyse: per product.............................
Nadere informatieOpdracht bevolkingsgroei
Opdracht bevolkingsgroei Soms moet je bij het vak Aardrijkskunde een beetje kunnen rekenen. In de eerste klas heb je schaalberekeningen gemaakt. In de tweede klas komen bevolkingsberekeningen aan de orde.
Nadere informatiePHP herhaalt: for en while
PHP herhaalt: for en while Huub de Beer Eindhoven, 4 juni 2011 Iteratie, repetitie en loops PHP herhaalt Een voor een de elementen van een array doorlopen? Gebruik foreach-statement Tellen van een beginwaarde
Nadere informatieOpdrachtenblad COACH - UITWERKINGEN
Opdrachtenblad COACH - UITWERKINGEN 1 Introductie In deze activiteit leer je hoe je de verspreiding van een virus kunt analyseren met een grafisch Coach model. We beginnen met een eenvoudig versie van
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde A1,2 Compex. Vragen 10 tot en met 17. In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt.
Examen VWO 29 tijdvak 1 maandag 25 mei totale examentijd 3 uur wiskunde A1,2 Compex Vragen 1 tot en met 17 In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt. Het gehele
Nadere informatieParagraaf 4.1 : Kwadratische formules
Hoofdstuk 4 Werken met formules H4 Wis B) Pagina 1 van 10 Paragraaf 41 : Kwadratische formules Les 1 : Verschillende vormen Er zijn verschillende vormen van kwadratische vergelijkingen die vaak terugkomen
Nadere informatieWerkblad 3 Bewegen antwoorden- Thema 14 (NIVEAU BETA)
Werkblad 3 Bewegen antwoorden- Thema 14 (NIVEAU BETA) Theorie In werkblad 1 heb je geleerd dat krachten een snelheid willen veranderen. Je kunt het ook omdraaien, als er geen kracht werkt, dan verandert
Nadere informatieSEQUENTIE-STRUCTUUR. Oefening: Dichtheid
SEQUETIE-STRUCTUUR Oefening: Dichtheid geef diameter vd bol(m) //Declaratie input variabelen double diameter; double soortmassa; //Declaratie variabelen voor tussenresultaten double volume; diameter //Declaratie
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde A1,2
wiskunde A1,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 21 juni 13.30 16.30 uur 20 06 Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen; het examen bestaat uit 20 vragen.
Nadere informatie3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]
3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5-3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 3 = -15 Voorbeeld 4: -5 3 9 2
Nadere informatieDifferentiëren. Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden
Differentiëren Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 Voorkennis Repeteer de standaardafgeleiden en de rekenregels voor differentiëren. Draai eventueel het
Nadere informatieEindexamen wiskunde A1-2 compex vwo I
Eindexamen wiskunde A1-2 compex vwo 29 - I Tijdens dit examen werk je in Excel. Door in het openingsscherm op Excel werkbladen te klikken start Excel automatisch op. Je komt dan meteen in het eerste werkblad
Nadere informatieGetaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatietoelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld.
Wiskunde juli 2009 Laatste aanpassing: 29 juli 2009. Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Vraag 1 Wat is de top van deze parabool 2 2. Vraag
Nadere informatieWiskundige vaardigheden
Inleiding Bij het vak natuurkunde ga je veel rekenstappen zetten. Het is noodzakelijk dat je deze rekenstappen goed en snel kunt uitvoeren. In deze presentatie behandelen we de belangrijkste wiskundige
Nadere informatieInfo-books. Toegepaste Informatica. Deel 20 : Algoritmen en programmeren in Access en Excel (Basis) AL20. Jos Gils Erik Goossens
Info-books AL20 Toegepaste Informatica Deel 20 : Algoritmen en programmeren in Access en Excel (Basis) Jos Gils Erik Goossens Hoofdstuk 6 Lusstructuren of iteraties 6.1 Probleemstelling Het gebeurt dikwijls
Nadere informatieTheorie: Snelheid (Herhaling klas 2)
Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2) Snelheid en gemiddelde snelheid Met de grootheid snelheid geef je aan welke afstand een voorwerp in een bepaalde tijd aflegt. Over een langere periode is de snelheid
Nadere informatieRelativiteitstheorie met de computer
Relativiteitstheorie met de computer Jan Mooij Mendelcollege Haarlem Met een serie eenvoudige grafiekjes wordt de (speciale) relativiteitstheorie verduidelijkt. In vijf stappen naar de tweelingparadox!
Nadere informatieGebruiksaanwijzing. E-820P Crosstrainer. Gemaakt door: -1-
Gebruiksaanwijzing E-820P Crosstrainer Gemaakt door: -1- Het opstarten van de computer De computer werkt met behulp van een adapter. Plaats de stekker van de adapter in het stopcontact en plug de pin van
Nadere informatieGebruiksaanwijzing E-820P -1-
Gebruiksaanwijzing E-820P -1- Knopfuncties RESET Houd de RESET knop ingedrukt om alle gegevens te wissen. Alle iconen op het scherm zullen oplichten en de computer keert vervolgens terug naar het standaardscherm.
Nadere informatieGaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:
Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van
Nadere informatie2.0 Voorkennis. Rekenregels machten: 5) a 0 = 1. p p q p q a p q q. p q pq p p p. Willem-Jan van der Zanden
2.0 Voorkennis Voorbeeld: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = (a +b)(a2 + 2ab + b2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b +2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Rekenregels machten: p p q pq a pq 1) a a
Nadere informatieVoorkennis : Breuken en letters
Hoofdstuk 1 Getallen en Variabelen (V4 Wis A) Pagina 1 van 13 Voorkennis : Breuken en letters Les 1 : Breuken Bereken : a. 4 2 3 b. x 5 = c. 12 3 x a. 4 2 3 = 8 3 = 2 2 3 b. x 5 = 1 5 x c. 12 3 x = 12
Nadere informatieBijzondere kettingbreuken
Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar
Nadere informatieDe computerhandleiding bestaat uit de volgende hoofdstukken:
Computerhandleiding Proteus PEC-4975 De computerhandleiding bestaat uit de volgende hoofdstukken: Knopfuncties De schermen Besturingsgetallen Zaken die u dient weten alvorens te trainen Werkingsinstructies
Nadere informatieJe gaat leren programmeren en een spel bouwen met de programmeertaal Python. Websites zoals YouTube en Instagram zijn gebouwd met Python.
1 Je gaat leren programmeren en een spel bouwen met de programmeertaal Python. Websites zoals YouTube en Instagram zijn gebouwd met Python. Voordat je leert programmeren, moet je jouw pc zo instellen dat
Nadere informatieIn het standaardscherm kunt u op de UP knop drukken om langs de. CONTROL, USER en WATT CONTROL te lopen om vervolgens een programma te selecteren.
Computerhandleiding Computerhandleiding Computerknoppen A. ENTER Met de ENTER knop kunt u een programmakeuze en de ingestelde waarden van functies zoals TIME (tijd), DISTANCE (afstand) en CALORIES (calorieën)
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B1
wiskunde B Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak Donderdag 3 juni 3.30 6.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 8 punten te behalen; het examen bestaat uit 2 vragen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieExamen HAVO. biologie Compex. Vragen 32 tot en met 46. In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt.
Examen HAVO 2007 tijdvak 1 vrijdag 25 mei totale examentijd 3,5 uur biologie Compex Vragen 32 tot en met 46 In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt. Bij dit examen
Nadere informatieMeten met de ultrasoon afstandsensor:
Meten met de ultrasoon afstandsensor: Belangrijk!!!!!! 1. Om zo goed mogelijk met de sensor te kunnen meten moeten de ultrasoon geluiden (de klikjes die je hoort) zo goed mogelijk worden weerkaatst. Wij
Nadere informatie11. Eenvoudige programma s schrijven in Maxima
11. Eenvoudige programma s schrijven in Maxima We zullen in dit hoofdstuk een aantal eenvoudige Maxima programma s laten zien. 11.1. Aantal wortels van een vierkantsvergelijking Het onderstaande programma
Nadere informatieSEMESTER 1, BLOK B SIMULATIE
INLEIDING In deze workshop gaan we met behulp van Excel een simulatie uitvoeren die betrekking heeft op chemische omzettingen en het schoonspoelen van een reactorsysteem. We bekijken dan wat er gebeurt
Nadere informatieBasistechnieken Microsoft Excel in 15 minuten
Basistechnieken Microsoft Excel in 15 minuten Microsoft Excel is een rekenprogramma. Je kan het echter ook heel goed gebruiken voor het maken van overzichten, grafieken, planningen, lijsten en scenario's.
Nadere informatieVoorkennis : Breuken en letters
Hoofdstuk 1 Rekenregels en Verhoudingen (H4 Wis A) Pagina 1 van 11 Voorkennis : Breuken en letters Les 1 : Breuken Bereken : a. 4 2 3 b. x 5 = c. 12 3 x a. 4 2 3 = 8 3 = 2 2 3 b. x 5 = 1 5 x c. 12 3 x
Nadere informatie4. Wanneer zal de woningbehoefte even hard groeien als de woningvoorraad? Antwoord. Na 6 jaar.
Onderwerpen Onderwerp 1. Ruimtelijke ordening In een gemeente met 30 000 inwoners staan 10 000 woningen. De gemeente schat dat het gemiddeld aantal bewoners per woning gelijk blijft aan drie, en bouwt
Nadere informatie14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]
4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )
Nadere informatie