Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde in groep 5 & 6

Transcriptie

1 Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde in groep 5 & 6 Voor deeltijdstudenten die het versnelde curriculum volgen. Leerlingen werd gevraagd: bereken = (Schrijf op hoe je gerekend hebt:) Deze zelfstudiecursus vindt plaats in blok 3 en blok 4 van het eerste jaar. De toetsing heeft de vorm van een dossier waarin de student laat zien de didactische kennis zelfstandig te hebben verwerkt en kan toepassen in de concrete stagepraktijk. De student bestudeert de theorie uit Veltman, A. & Heuvel-Panhuizen, M. van den. (2010). Rekenen met hele getallen op de basisschool. Houten: Noordhoff Uitgevers. Hoofdstuk 1, 5, 6, 7 en 8 de zelfstudiewijzer en maakt het dossier Rekenen in groep 567 gedurende blok 3 en blok 4. Dit dossier omvat de beschrijving van een onderzoek naar rekenmanieren op de stageschool en de uitvoering van 3 lessen rekenen in de bovenbouw. Het dossier Rekenen in groep 567 wordt in de toetsweek van blok 4 jaar 1 ingeleverd. Een voldoende resultaat levert 2 ec op. 0

2 Inhoudsopgave Inleiding:... 2 Doelen:... 3 Literatuur en benodigde materialen:... 4 Summatieve toetsing:... 4 Het dossier Rekenen in groep Beoordelingsformulier Dossier Rekenen in groep Het dossier Rekenen in groep Onderdeel 1 van het dossier Rekenen in groep 567: Onderzoek naar rekenmanieren Werkwijze en verslaglegging... 9 Onderdeel 2 van het dossier Rekenen in groep 567: Rekenles volgens het instructiemodel Realistisch Rekenen Onderdeel 2a van het dossier Rekenen in groep 567: Het ontwerp van een les met een schatprobleem Onderdeel 2b van het dossier Rekenen in groep 567: Het ontwerp van een werkblad ZRM Ondersteunend studie- en oefenmateriaal bij de doelen: Oefening herkennen en benoemen van rekenmanieren:...15 Oefening Progressief schematiseren...29 Oefening Standaardprocedures:...32 Formatieve toets Antwoorden formatieve toets Literatuurlijst Bijlage 1: Voorbereiding en studie voor onderzoek rekenmanieren: Bijlage 2: Oefeningen foutenanalyse Bijlage 3: Tabellen volgens APA-normen Bijlage 4: Theoretische achtergronden bij Realistisch Rekenen Bijlage 5: Het instructiemodel Realistisch Rekenen Bijlage 6: Schatten Bijlage 7: Notities bij ZRM in de basisschool Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 1

3 Inleiding: Bij rekenen in de bovenbouw komt heel wat kijken! Uw eigen vaardigheid zal op niveau moeten zijn om de rekenopgaven te kunnen uitleggen. En omdat niet elk kind hetzelfde rekent, zult U meerdere oplossingswijzen moeten doorzien en onder woorden moeten kunnen brengen. Vaak betreft het nieuwe manieren van rekenen die u wellicht zelf nooit hebt gebruikt. We gaan in deze cursus aan de slag met hoofdrekenen, schriftelijk rekenen (rijgen, splitsen, varia, kolomsgewijs rekenen en cijferen), schattend rekenen, de rekenmachine, getallen en getalrelaties en het instructiemodel Realistisch Rekenen. U bestudeert de theorie zelfstandig en oefent met behulp van de zelfstudiewijzer. Vervolgens staat de toepassing in de praktijk centraal. U zult meerdere oplossingswijzen onderzoeken en leren herkennen om de kinderen te begeleiden op hun eigen niveau en om in hun oplossingswijzen mee te gaan. Hierbij is het van belang dat U flexibel kunt omgaan met de getallenwereld en ook bij problemen met onvolledige gegevens verantwoord kunt schatten. U gaat oefenen met het maken van lesvoorbereidingen voor het rekenwiskundeonderwijs van de groepen 5 en/of 6 van de basisschool, aan de hand van het instructiemodel Realistisch Rekenen. U onderzoekt op de stageschool de diverse rekenmanieren bij kinderen. Verder ontwerpt U praktische opdrachten om leerlingen schattend te laten rekenen en voert dit ook uit op de stageschool. Tot slot verzamelt U (of ontwerpt U zelf) een aantal opgaven op diverse niveaus voor het gebruik van de zakrekenmachine en voert deze uit op de stageschool. Advies bij zelfstudie: Hoewel velen de verleiding niet zullen kunnen weerstaan om zo snel mogelijk aan het rekendossier te gaan werken, is het raadzaam om eerst zelf de theoretische achtergronden te bestuderen. Zowel het boek als deze zelfstudiewijzer geven veel inzicht in wat de mogelijkheden zijn, het hoe en het waarom. Voor sommigen zal eerst de eigen rekenvaardigheid op peil gebracht moeten worden. Voor het eigenschapsrekenen, het kolomsgewijs rekenen en het cijferen zal dit binnen de cursus Gecijferdheid 1 getraind zijn of kunnen worden. Voor de toepassing van diverse rekenmanieren zijn oefeningen in deze zelfstudiewijzer opgenomen. Ook voor het schatten zijn een aantal oefeningen opgenomen. Het boek (zie literatuur) geeft ook bij elk hoofdstuk oefeningen en leervragen. Tot slot is een formatieve toets opgenomen om zelf te checken of de diverse rekenmanieren en theoretische kennis voldoende wordt beheerst. Bij het beoordelen van het dossier wordt vooral ook gelet op het juist gebruik van termen en theorieën. Deze zelfstudiewijzer begint met de opsomming van de doelen, de benodigde literatuur en de toetsing. Vervolgens wordt allereerst alle benodigde informatie verstrekt ten behoeven van het dossier Rekenen in groep 567. Tot slot zijn er een aantal oefeningen toegevoegd die zoveel als mogelijk geordend zijn naar de doelstellingen van deze cursus. Wij wensen u veel succes en een leerzaam half jaar. De vakgroep Rekenen/Wiskunde Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 2

4 Doelen: 1. De student heeft kennis van de verschillende manieren waarop getallen in het dagelijks leven voorkomen en heeft kennis van de eigenschappen van bewerkingen 2. De student kan zelf schattend en cijferend rekenen en kan daarbij gebruik maken van correcte wiskundetaal. 3. De student heeft inzicht in de telrij, (structuur van) getallen en getalrelaties en kan leerlingen helpen in het ontwikkelen van getalbegrip. 4. De student heeft kennis die nodig is voor het onderwijzen van de standaardprocedures (grondvormen van hoofdrekenen, kolomsgewijs rekenen, progressief schematiseren en cijferen) en beheerst daarnaast en in relatie daarmee de opbouw van de verschillende leerlijnen, inclusief mogelijke variaties. 5. De student beheerst didactische kennis die het leren van de standaardprocedures op de basisschool op gang brengt, ondersteunt en stimuleert, zoals relevante betekenisverlenende contexten en toepassingssituaties, modellen en schema s en verkortingen. Deze kennis past hij toe om reken-wiskundeonderwijs te kunnen realiseren. Hij stimuleert kinderen om na te denken over de onderlinge relaties tussen verschillende aanpakken 6. De student beschikt over kennis van de voor- en nadelen van de rekenmachine. Hij kan beoordelen in welke gevallen de rekenmachine nodig is en waar dat van afhangt (bijvoorbeeld het netwerk van beheerste hoofdrekenstrategieën en kennis van rekenfeiten) en kan een concreet werkblad voor het werken met een ZRM ontwerpen en dit werkblad laten uitvoeren in de stageklas. 7. De student heeft kennis en vaardigheid die nodig is voor het oplossen van schatproblemen en het onderwijzen van schattend rekenen en beheerst daarnaast en in relatie daarmee de opbouw van de leerlijn. 8. De student beheerst didactische kennis die het leren van schattend rekenen op de basisschool op gang brengt ondersteunt en stimuleert (in het bijzonder het getal-, taal, meet- en rekenaspect), zoals relevante betekenisverlenende contexten en toepassingssituaties, modellen en schema s. Deze kennis past hij toe om rekenwiskunde onderwijs te kunnen realiseren. 9. De student kan bepalen welke vorm van rekenen het meest voor de hand ligt, effectief of snel is: hoofdrekenen, schattend rekenen, schriftelijk rekenen of gebruik maken van de rekenmachine. 10. De student kent het instructiemodel realistisch rekenen en de bijbehorende theorie en weet hoe dit in het onderwijs toegepast wordt. 11. De student kan rekenlessen voor groep 5 en 6 voorbereiden aan de hand van de rekenmethode van de stagegroep maar ook een zelfontworpen les geven met gebruik van het instructiemodel Realistisch Rekenen 12. De student kan in de beschrijving van zijn lesvoorbereiding en de reflectie op de uitvoering relevant verwijzen naar termen, begrippen en theorieën uit de literatuur van deze cursus (zie literatuur.) Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 3

5 Literatuur en benodigde materialen: Veltman, A. & Heuvel-Panhuizen, M. van den. (2010). Rekenen met hele getallen op de basisschool. Houten: Noordhoff Uitgevers. Hoofdstuk 1, 5, 6, 7 en 8 Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde in groep 5 & 6 Rekenmachine Rekenmethodes / methode stageschool krantenknipsels Summatieve toetsing: De cursus wordt afgesloten met het dossier Rekenen in groep 567. Als het Rekendossier met minimaal 6 is beoordeeld, dan verdien je 2 studiepunten. Het dossier wordt beoordeeld met behulp van een beoordelingsformulier dat ook in deze zelfstudiewijzer is opgenomen. In deze zelfstudiewijzer staan de eisen aan het Rekendossier uitgebreider geformuleerd en toegelicht, maar beknopt omvat het de volgende delen: 1. Onderzoek naar de rekenmanieren bij leerlingen op de stageschool. 2. Drie (3) lesverslagen van zelf gegeven rekenlessen in de stagegroep (eventueel uit de rekenmethode van de stageschool,) waarvan minimaal één les is voorbereid met behulp van het instructiemodel Realistisch Rekenen. Als bijlage zijn eventuele taken of werkbladen toegevoegd. Ergens binnen deze 3 lessen komen MINIMAAL de volgende activiteiten aan de orde: a. Oplossen van een eenvoudig schatprobleem-waar-gegevens-ontbreken b. Uitvoering zelfontworpen werkblad ZakRekenMachine (ZRM) Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 4

6 Het dossier Rekenen in groep 567 Opzet en criteria dossier Rekenen in groep 567 De zelfstudiecursus RekenenWiskunde in groep 5 en 6 wordt afgesloten met een portfolio, namelijk het dossier Rekenen in groep 567. De onderdelen van dit dossier staan in onderstaand schema beschreven, samen met de beoordelingscriteria. In de hoofdstukken erna zijn de opdrachten uitvoerig toegelicht. 1. Rekenonderzoek Onderdeel: De student maakt een werkblad voor de kinderen van groep 7 met 16 verschillende opgaven: 8 optellen en 8 vermenigvuldigen, waarbij per setje van 8 een opbouw naar moeilijkheidsgraad zit en waarin het mogelijk is om verschillende standaardprocedures (grondvormen rijgen, splitsen en varia) van hoofdrekenen te gebruiken. De student laat dit werkblad maken door tenminste 10 leerlingen uit groep 7. De student verzamelt door middel van het werkblad gegevens over de rekenstrategieën die door de leerlingen van groep 7 worden toegepast. De student maakt aan de hand van deze gegevens twee tabellen (volgens APA normen), waarin minimaal wordt weergegeven: - de goede antwoorden per vraag per leerling - de rekenstrategie per vraag per leerling. De student vergelijkt de rekenstrategieën die door de leerlingen van groep 7 worden toegepast op het werkblad met de rekenstrategieën die volgens de methode zijn aangeleerd en beschrijft overeenkomsten en verschillen. De student schrijft een conclusie over de resultaten van het rekenonderzoek, waarin wordt aangegeven welke rekenstrategie(en) het meest en het beste zijn toegepast. Hierin geeft de student ook aanbevelingen voor de mentor. Beoordelingscriteria: - werkblad met minimaal 16 opgaven - opgaven in opbouw naar moeilijkheid - opgaven bieden mogelijkheid om verschillende oplossingsstrategieën toe te passen - uitgevoerd door tenminste 10 leerlingen van groep 7 - eigen uitwerkingen bij de 16 opgaven (alle mogelijke manieren) - tabel goede antwoorden volgens APA - tabel rekenstrategieën volgens APA - Beschrijving methode en uitkomst onderzoek - Beschrijving overeenkomsten en verschillen tussen methode en uitkomst onderzoek - conclusie welke strategieën het meest voorkomen duidelijk beschreven - conclusie welke strategieën het beste worden toegepast duidelijk beschreven - conclusie hoe de uitslag van het onderzoek zich verhoudt tot de methode duidelijk beschreven - aanbevelingen voor de mentor duidelijk beschreven Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 5

7 2. Rekenlessen Onderdeel: De student ontwerpt 3 rekenlessen (uit de methode van de basisschool of zelf ontworpen) waarbij minimaal één les aan de hand van het instructiemodel Realistisch Rekenen. De student voert deze lessen uit in de stage. Één van de lessen betreft een schatprobleem-waargegevens-ontbreken en één van de lessen betreft het verwerken van een zelfontworpen werkblad zakrekenmachine De student schrijft bij elke les een lesverslag, waaruit blijkt dat verschillende instructie- en werkvormen zijn toegepast. De student maakt bij elke les een eigen lesreflectie, waaruit blijkt dat de student reflecteert op: het op gang brengen, ondersteunen en stimuleren van de standaardprocedures op de basisschool en het stimuleren van kinderen om na te denken over de onderlinge relaties tussen verschillende aanpakken. 2a. Eén van de 3 lessen, nl Schattend rekenen Onderdeel: Student selecteert een geschikte context (bijvoorbeeld een krantenknipsel of advertentie) om de leerlingen uit de stagegroep schattend te laten rekenen (liever groep 7 dan groep 5) met een schatprobleem-waar-gegevens-ontbreken. Student analyseert daartoe eerst de beginsituatie (hebben ze al vaker geschat? Hebben ze extra aandacht nodig op terrein van taalniveau? Welke maatreferenties kun je al verwachten? Etc.) Is het mogelijk (wel wenselijk) op de leerlingen in groepjes te laten werken? Beoordelingscriteria: Voor alle lessen zijn minimaal 5 aspecten van onderwijs beschreven, de didactische route is beschreven en voor minimaal één les is het instructiemodel Realistisch Rekenen herkenbaar. - een objectieve beschrijving van de les - de toepassing van verschillende instructie- en werkvormen is duidelijk terug te lezen in de lesvoorbereiding - reflectie op het op gang brengen, ondersteunen en stimuleren van de standaardprocedures - reflectie op het stimuleren om na te denken over onderlinge relaties tussen verschillende aanpakken Beoordelingscriteria: - Korte rapportage van de analyse van de beginsituatie Student ontwerpt bij de geselecteerde context één of twee zinvolle vragen die zullen leiden tot mooi schattend rekenen. Student werkt zelf de vragen uit tot een modelantwoord en analyseert daarbij welke gegevens je nodig hebt om een goed antwoord te kunnen geven. welke gegevens ontbreken en welke aannames je daarvoor gaat maken (kun je die verdedigen?). Met welke ronde getallen kan gerekend worden en probeer een hoogstens / - De eigen uuitwerking van het schatprobleem, waarbij in ieder geval wordt verantwoord: welke aannames, welke rekenfeiten, welke afrondingen, welk resultaat Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 6

8 minstens antwoord te vinden. (handig rekenen, gebruik geen rekenmachiner!) Welke extra informatie of instructie zal nodig zijn voor jouw stageleerlingen? - In de lesvoorbereiding staat concrete welke instructie wordt gegeven Student laat de opdracht uitvoeren door de stagegroep - Zie 2. Criteria Rekenlessen 2b. Eén van de rekenlessen, nl het werkblad zakrekenmachine Onderdeel: Beoordelingscriteria: De student ontwerpt met behulp van eerder opgedane - werkblad op niveau van eind groep (didactische) kennis van functies van een 6 zakrekenmachine (ZRM) een werkblad ZRM op het - minimaal twee verschillende niveau van eind groep 6, voornamelijk gericht op het manieren van ZRM als object van gebruik van een ZRM als object van onderzoek en onderzoek als didactisch hulpmiddel. Deze twee manieren van - minimaal twee verschillende gebruik komen beide op minimaal twee verschillende manieren van ZRM als didactisch manieren aan bod. hulpmiddel De student maakt een antwoordenblad bij dit werkblad. Hierin worden verschillende soorten goede antwoorden gegeven en uitgelegd waarom het antwoord goed is. Student laat dit werkblad uitvoeren door de stagegroep - antwoordenblad - verschillende goede antwoorden per vraag (indien mogelijk) - verantwoording van goede antwoorden - Zie 2. Criteria Rekenlessen Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 7

9 Beoordelingsformulier Dossier Rekenen in groep 567 Alle onderdelen moeten aanwezig zijn. (Combinaties van) onderdelen worden op kwaliteit beoordeeld met: O (of <6), V (of 6), G (of 8) of U (of 10). Elk onderdeel moet met minimaal een voldoende worden beoordeeld voor een voldoende eindcijfer. Het eindcijfer is het gemiddelde van de beoordelingen, afgerond op een heel cijfer. Student: Klas: Studentnummer: Docent: Aanbieding: Hoofdstuk Verslag verplichte onderdelen Beoordeling Opmaak van het verslag Rekenonderzoek Rekenles volgens lesmodel realistisch rekenen Les Schattend rekenen Les Zakrekenmachine Eindcijfer A/NA O V G U Voorblad, inhoudsopgave, paginanummering correct taalgebruik en spelling (zie Studiegids > taalbeleid) opgaven met verschil in moeilijkheid en in strategieën bronvermelding en tabellen volgens APA norm diepgang analyse en conclusies werkblad rekenstrategieën eigen uitwerkingen tabellen vergelijking met methode bespreking resultaten met mentor conclusie en aanbevelingen een kopie van de rekentaak lesvoorbereidingsformulier uitgebreid, verhalend verslag met foto s en/of video over de wiskunde in de les feedback van de mentor lesreflectie Korte rapportage van de analyse van de beginsituatie De eigen uitwerking van het schatprobleem, waarbij wordt verantwoord: welke aannames, welke rekenfeiten, welke afrondingen, welk resultaat een kopie van de rekentaak lesvoorbereidingsformulier uitgebreid, verhalend verslag met foto s en/of video over de wiskunde in de les feedback van de mentor lesreflectie werkblad zakrekenmachine + antwoorden antwoordenblad zakrekenmachine lesvoorbereidingsformulier uitgebreid, verhalend verslag met foto s en/of feedback video van over de de mentor wiskunde in de les lesreflectie instructiemodel Realistisch Rekenen is gebruikt in lesbeschrijving toepassing van verschillende werkvormen in lesverslag verantwoording aannames, rekenfeiten, afrondingen, resultaten object van onderzoek en didactisch hulpmiddel Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 8

10 Het dossier Rekenen in groep 567 Onderdeel 1 van het dossier Rekenen in groep 567: Onderzoek naar rekenmanieren Werkwijze en verslaglegging Stap 0: bestudeer H1, 5 en 6 van Veltman, A. & Heuvel-Panhuizen, M. van den. (2010). Rekenen met hele getallen op de basisschool. Stap 1: Inventariseer de aanpakken van het optellen en vermenigvuldigen met getallen in het getallengebied tot 1000 in de rekenmethode van de stageschool. Analyseer hierbij: Hoe is de opbouw van het onderwerp in de rekenmethode? (leerlijn) Welke rekenaanpakken kun je volgens de methode verwachten? Let op: maak gebruik van bronvermelding volgens APA normering, bij het opnemen van dit onderdeel in je verslag. Stap 2: bestudeer de oefeningen in bijlagen 1 en 2 Stap 3: Maak een schriftelijk werk met 16 kale sommen voor de kinderen, waarin een opbouw naar moeilijkheidsgraad zit en waarin het mogelijk is de verschillende aangeleerde rekenstrategieën te gebruiken. Ontwerp 8 optelsommen waarvan minimaal 2 gemakkelijk met eigenschapsrekenen opgelost kunnen worden en ontwerp 8 vermenigvuldigsommen waarvan minimaal 2 gemakkelijk met eigenschapsrekenen opgelost kunnen worden. Zorg bij elk setje van 8 opgaven voor een opbouw in moeilijkheidsgraad. Geef op het opgavenblad bij de sommen ruimte om de tussenstappen op te schrijven en vraag de kinderen nadrukkelijk om dit te doen. Stap 4: Maak de 16 opgaven zelf op alle mogelijke manieren. Geef hierbij aan wat volgens jou de meest logische rekenstrategie is. Stap 5: Laat de opgaven maken door tenminste 10 leerlingen van groep 7 van je stageschool. Stap 6: Kijk het werk na en inventariseer de gebruikte oplossingsstrategieën. Houd met kinderen die niet duidelijk hun tussenstappen genoteerd hebben een individueel gesprekje over het rekenwerk en de manier van rekenen. Stap 7: Orden de resultaten en maak twee tabellen: Maak in een tabel een duidelijk overzicht van de goede en foute antwoorden per leerling volgens de APA normen (zie voorbeeld in bijlage 3) Maak in een tweede tabel een duidelijk overzicht van de gehanteerde aanpak per opgave, per leerling volgens de APA normen (zie voorbeeld in bijlage 3). Stap 8: Vergelijk de manieren van rekenen van de kinderen met de leerlijn in de methode, zoals je die bij stap 1 hebt beschreven. Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 9

11 Stap 9: Bespreek en evalueer de gevonden resultaten met de mentor van de groep. Stap 10: maak een analyse en formuleer conclusies. Beschrijf hier de informatie die je uit de tabellen haalt: welke aanpak is het meest gebruikt, welke aanpak is het minst gebruikt, welke aanpak levert verhoudingsgewijs de meeste goede antwoorden op, welke aanpakken worden door leerlingen met veel goede antwoorden gebruikt, etc. Beschrijf mogelijke verklaringen voor je bevindingen. Beschrijf welke conclusies er te trekken zijn en wat je naar aanleiding van het onderzoek met deze klas zou gaan doen; hoe zou je de resultaten van het onderzoek met de leerlingen bespreken? In je dossier Rekenen in groep 567 neem je een verslag van je onderzoek op, waarin de punten 1, 3, 4, 7, 8, 9, 10 beschreven zijn. Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 10

12 Onderdeel 2 van het dossier Rekenen in groep 567: Rekenles volgens het instructiemodel Realistisch Rekenen Wij gaan er vanuit dat je tijdens je stage veel rekenlessen geeft volgens het instructiemodel Realistisch Rekenen. In je dossier neem je het verslag van drie gegeven rekenlessen op, waarbij minstens één les is uitgevoerd volgens het instructiemodel Realistisch Rekenen. Stap 0: bestudeer de theoretische achtergronden van de visies op rekenen. (bijlage 4) Stap 1: bestudeer de opbouw van het instructiemodel Realistisch Rekenen (bijlage 5) Stap 2: oriënteer je op een te geven rekenles in de stagegroep Stap 3: Maak voorafgaand aan de les een uitgebreide schriftelijke voorbereiding. Gebruik hiervoor het lesvoorbereidingsformulier in combinatie met het lnstructiemodel Realistisch Rekenen. Pas verschillende instructie- en werkvormen toe. Stap 4: Vraag (vooraf!) schriftelijke feedback op de lesvoorbereiding aan je mentor. Stap 5: Geef de les. Het maken van foto s en/of video wordt aangeraden. Stap 6: Maak een uitgebreid chronologisch beschrijvend en verhalend verslag van de les, waarin in het bijzonder de rekenkundige inbreng van de leerlingen veel aandacht krijgt. In je dossier Rekenen in groep 567 neem je het verslag van je rekenlessen op, wat bestaat uit: Inleiding Informatie uit de klas welke school, welke groep, wie is de mentor, hoe worden de rekenlessen in de klas over het algemeen georganiseerd, zijn er opvallende rekenaars in de groep, hoe worden kladblaadjes gebruikt, etc. Lesverslag 1.1 Kopie van de taak uit de rekenmethode 1.2 Lesvoorbereidingsformulier 1.3 Verhalend lesverslag met in het bijzonder veel aandacht voor de rekeninhoudelijke kant van de les, de rekeninhouden van de interactie met de kinderen en het gebruik van de kladblaadjes Het gebruik van foto s en/of video wordt hierbij aangeraden. 1.4 Feedback van de mentor 1.5 Eigen reflectie op de les, waarbij je aandacht besteedt aan de lesdoelen die je voor jezelf en voor de leerlingen had gesteld. Daarnaast reflecteer je op je eigen leerkrachtgedrag: wat heb je goed gedaan en wat zou je een volgende keer anders aanpakken. Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 11

13 Onderdeel 2a van het dossier Rekenen in groep 567: Het ontwerp van een les met een schatprobleem-waar-gegevens-ontbreken Stap 0: Bestudeer eerst hoofdstuk 6 uit Rekenen met hele getallen op de basisschool. Begrijp de verschillende type schatvaardigheden zoals het in hoofdstuk 6 wordt beschreven. Voor de stageopdracht gaat het om een complex probleem waar gegevens ontbreken, dus waar ook realistische aannames moeten worden gedaan. In dergelijke problemen komen veel aspecten en vaardigheden aan bod (handig afronden, handig rekenen, kritsch compenseren en beschikbaarheid van referentiematen.) Stap 1: Maak eerst de schatopgaven Schatten aan de hand van krantenknipsels in bijlage 6. Deze oefeningen zijn bedoeld voor uzelf om uw schatvaardigheden te trainen. Kies voor de stagegroep een andere pakkende tekst en op het juiste niveau! Precies cijferen is echt verboden! (en niet nodig). Neem bijvoorbeeld 25 uur in een dag en 50 minuten in een uur, of neem een oppervlakte van 10 bij 10 cm i.p.v. 12,4 bij 8,3. Analyseer na afloop bij elke opgave op de 4 aspecten: 1 Getalaspect (Getallen rond of mooi maken; Van rond gemaakte getallen zeggen hoe groot het getal geweest kan zijn). 2.Taalaspect (Gebruiken van de informele taal die past bij schatsituaties die zich in het dagelijks leven voordoen; Hanteren van het formele reken-wiskundige taalgebruik dat hoort bij het afronden en schattend rekenen (bijv.. circa, ruim, een berg, etc.) 3 Meetaspect (Gebruik van maatkennis; Relaties leggen met referentiegegevens; Gebruik maken van verhoudingen. In de cursus gecijferdheid 2 wordt het ontwikkelen van referentiematen geleerd) 4.Rekenaspect (Bewerkingen handig uitvoeren door gebruik te maken van Eigenschapsrekenen, bijvoorbeeld vraag: hoeveel dagen zijn 1700 uur? Antwoord: 1700 : 24 is ong : 25 (kritisch afronden namelijk beide getallen omhoog (GOK) is 8000 : 100 = (GOK eigenschap nl alles x 4) dus 80 dagen. ) Stap 2: Selecteer een geschikte context (bijvoorbeeld een krantenknipsel of advertentie) om de leerlingen uit jouw stagegroep schattend te laten rekenen (liever groep 7 dan groep 5). Analyseer daartoe eerst de beginsituatie (hebben ze al vaker geschat? Hebben ze extra aandacht nodig op terrein van taalniveau? Welke maatreferenties kun je al verwachten? Etc.) Is het mogelijk (wel wenselijk) op de leerlingen in groepjes te laten werken? Ontwerp bij de geselecteerde context één of twee zinvolle vragen die zullen leiden tot mooi schattend rekenen. Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 12

14 Werk nu eerst zelf de vragen uit tot een modelantwoord en analyseer/bespreek daarbij welke gegevens je nodig hebt om een goed antwoord te kunnen geven. welke gegevens ontbreken en welke aannames je daarvoor gaat maken (kun je die verdedigen?). Met welke ronde getallen kan gerekend worden en probeer een hoogstens / minstens antwoord te vinden. Gebruik geen rekenmachine, maar reken handig. Welke extra informatie of instructie zal nodig zijn voor jouw stageleerlingen? Ontwerp vervolgens de concrete opdracht die je de leerlingen gaat geven. Stap 3: Laat de leerlingen in jouw stageklas dit werkblad uitvoeren. Stap 4: Beschrijf in je lesverslag je ervaringen en resultaten Deze uiteindelijke opdracht plus correcte uitwerkingen lever je in als bijlage bij je betreffende les in je dossier Rekenen in groep 567. (zie kopje summatieve toetsing ) Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 13

15 Onderdeel 2b van het dossier Rekenen in groep 567: Het ontwerp van een werkblad ZRM Stap 0: Bestudeer eerst Hoofdstuk 7 uit Rekenen met hele getallen op de basisschool. Begrijp de 3 verschillende functies/aspecten van het gebruik van de rekenmachine op de basischool zoals het in hoofdstuk 7 wordt beschreven: De ZRM als object van onderzoek: het maakt de kinderen nieuwsgierig, ze ontdekken de werking van de verschillende knoppen en verkennen de bijzonderheden van het display (woorden maken!), maar ook 3 x 6 6 x 3 =? Wat antwoordt de ZRM? De ZRM als didactisch hulpmiddel: de kennis van eigenschappen en relaties van bewerkingen wordt versterkt. Het is een manier om kinderen meer inzicht in getalstructuren en bewerkingen te laten krijgen. Bijv. toets in: +6 en vervolgens steeds het = teken (herhaald optellen) De ZRM als rekenhulp voor lastig rekenwerk (Rekenslaafje): organisatie van de berekening, notatie in een rekenschema en weten hoe de ZRM rekent, gebruik van cijferknoppen, procenten, geheugen, schattend meerekenen en tot slot interpreteren van het antwoord (vooral bij delen met rest.) Stap 1: Lees eerst de tekst notities bij ZRM in de basisschool (bijlage 7) Stap 2: Ontwerp of verzamel diverse opdrachten voor het werken met de ZRM met betrekking tot de 3 verschillende functies/aspecten. Verzamel gerust ook ideeen van anderen (internet!). Inventariseer op je stageschool welke groep kinderen (groep 5 of groep 6) uw werkblad gaan uitvoeren en ontwerp voor hen nu een werkblad voor het werken met een ZRM. Controleer of het werkblad klopt (test uit op iemand anders!) en formuleer zelf eerst de juiste voorbeelduitwerkingen. (maak een antwoordblad.) Let op! In groep 567 wordt de ZRM vooral ingezet als object van onderzoek en als didactisch hulpmiddel. Dus richt het werkblad op die eerste twee aspecten. Stap 3: Laat minstens 15 leerlingen uit groep 56 of 7 dit werkblad uitvoeren. Stap 4 Beschrijf in je lesverslag je ervaringen en resultaten Voeg het originele werkblad plus eigen correcte uitwerkingen toe als bijlage bij de betreffende les in uw dossier Rekenen groep 567. (zie kopje summatieve toetsing ) Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 14

16 Ondersteunend studie- en oefenmateriaal bij de doelen: (De cursus gecijferdheid 1 is geschikt voor eigenvaardigheid Eigenschapsrekenen, Kolomsgewijs rekenen en Cijferen) Doelen: De student heeft kennis van de verschillende manieren waarop getallen in het dagelijks leven voorkomen en heeft kennis van de eigenschappen van bewerkingen (doel 1) De student heeft inzicht in de telrij, (structuur van) getallen en getalrelaties en kan leerlingen helpen in het ontwikkelen van getalbegrip. (doel 3) De student heeft kennis die nodig is voor het onderwijzen van de standaardprocedures (grondvormen van hoofdrekenen, kolomsgewijs rekenen, progressief schematiseren en cijferen) en beheerst daarnaast en in relatie daarmee de opbouw van de verschillende leerlijnen, inclusief mogelijke variaties. (doel 4) Oefening herkennen en benoemen van rekenmanieren: Bekijk het filmpje 5 rekenmanieren op n@tschool en probeer onderstaande tabel correct in te vullen (zie je rijgen? Kolomsgewijs? Winkelmethode? Cijferen? Termen veranderen? Compenseren? Andere manieren?): Lesfragment (van cd-rom behorend bij TAL, kinderen leren reken): in groep 6. Berekening van Aanpak Emma Marieke Joyce Melvin Jasper Oriëntatie in de rekenmethode Bestudeer onderstaande bladzijden uit Alles telt en Rekenrijk groep 5 & 6 en probeer de diverse opgaven en plaatjes te koppelen aan wat je geleerd hebt uit Veltman, A. & Heuvel- Panhuizen, M. van den. (2010). Rekenen met hele getallen op de basisschool. Houten: Noordhoff Uitgevers. Hoofdstuk 1, 5 en 6 Herken je de eigenschappen van bewerkingen? Herken je de basisaanpakken rijgen, splitsen en varia? Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 15

17 Alles telt, 5A Alles telt, 5A Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 16

18 Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 17

19 Alles telt, 5B Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 18

20 Alles telt, 6B Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 19

21 Rekenrijk, 6A Rekenrijk, 6B Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 20

22 Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 21

23 Oefening bij 3 grondvormen rijgen, splitsen, varia Varia is onder te verdelen in een aantal verschillende manieren van handig rekenen. Iedere manier heeft zijn eigen naam. Hieronder staan voorbeeldsommen met de benaming(en) ervan. Vervolgens staan de verschillende manieren uitgewerkt en is er oefenmateriaal opgenomen. Optellen en aftrekken A = Termen veranderen Tribune som Transformeren C = = = = compenseren E = wisselen Vermenigvuldigen en delen G. 5 x 7 = 7 x 5 wisselen I. G. 4 x 36 = 4 x x 6 84 : 7 = 70 : : 7 splitsen verdelen K. 12 x 15 = 6 x : 4 = 64 : 2 transformeren groter en kleiner (x) groter of kleiner (:) B = Termen veranderen Weegschaal som Transformeren D = 3, want = 62 inverse relatie aanvullen F = = schakelen H. 5 x 9 x 8 = 5 x 8 x 9 = 40 x 9 schakelen J. 4 x 36 = 4 x 40 4 x : 7 = 140 : 7 7 : 7 compenseren L. 37 x x 65 = ( ) x 65 = 60 x 65 = 55 : 7-20 : 7 = (55-20) : 7 = 35 : 7 = 5 Samen nemen A. Termen veranderen, Tribune som, Transformeren Hoeveel kinderen samen? Leg termen veranderen bij een + som uit m.b.v. context: tribune Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 22

24 B. Termen veranderen, Weegschaal probleem, Transformeren. Amy wil het verschil in gewicht berekenen, door te rekenen met een rond getal. Wat is het gewicht van de dozen? Leg termen veranderen bij een +-som uit m.b.v. context: weegschaal C. Compenseren Berekenen met een rond getal: compenseren op de getallenlijn = = 65 1 = = = = 38 Leg compenseren uit met behulp van een getallenlijn: Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 23

25 F. G. en H. Schakelen Kies een handige volgorde: Optelling met 2 termen: = = Maak twee sommen bij ieder plaatjes Vermenigvuldiging met twee factoren: 4 x 5 = 5 x 4 65 x 8 = 8 x 65 I. en J. Splitsen of verdelen en compenseren. Hoe laat je de eigenschap verdelen zien m.b.v. een roostermodel? Hoe laat je compenseren zien bij x sommen m.b.v. een roostermodel? Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 24

26 K. Transformeren, groter en kleiner en groter of kleiner Hoe laat je zien met een roostermodel hoe je een vermenigvuldiging op lost met transformeren, groter en kleiner? Groter en kleiner:16 x 15 = 8 x 30 Hoe laat je zien met een model hoe je een vermenigvuldiging op lost met transformeren, groter en kleiner? Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 25

27 Oefening Toepassen rekenmanieren: (zie ook Gecijferdheid 1!) Los de volgende sommen op door gebruik te maken van een handige strategie Eigenschapsrekenen. Schrijf steeds je tussenstappen op = = 3 12 x 17 x 25 = 4 5 x 234 = = = 7 18,2 4,88 = 8 35,8 + 6,99 = 9 18 x 54,5 = ,15 = Welke strategie is gebruikt bij de volgende sommen? 11 4,8 + 6,9 = 5 + 6,7 = 11,7 12 6, = 6,45 4 = 2, x 28 = 6 x 30 6 x 2 = = ,8 4 = ,8 4 = 6 + 0,2 = 6, = = = x 15,5 = 16 x 31 = 8 x 62 = 8 x x 2 = = x 53 = 8 x x 3 = = ,56 + 5,4 + 5,44 = (23,56 + 5,44) + 5,4 = ,4 = 34,4 19 2,87 0,07 = = = = ,5 15,8 = 34, ,2 = 18,5 + 0,2 = 18,7 Strategie Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 26

28 Oefening kolomsgewijs rekenen & Cijferen Bereken op twee manieren, namelijk eerst kolomsgewijs en daarna cijferend: = = 8 x 372 = 2712 : 6 = = = 24 x 65 = 422 : 12 = Oefening rekenmanieren: Los de opgave op volgens de verschillende aanpakken. Aanpakken Bereken = Rijgen Splitsend rekenen /kolomsgewijs rekenen Cijferen Handig rekenen Termen veranderen Handig rekenen Compenseren Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 27

29 Aanpakken Bereken = Rijgen Rijgen de winkelmethode / aanrijgen. Splitsend rekenen /kolomsgewijs rekenen Cijferen Handig rekenen Termen veranderen Handig rekenen Compenseren Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 28

30 Oefening Progressief schematiseren Progressief schematiseren is het proces waarbij kinderen via kolomsgewijs rekenen, leren cijferen. Je kunt hierin grofweg drie fases onderscheiden: - handelen met materiaal om de som op te lossen - schematisch weergeven van de som - werken met kale getallen Er wordt met behulp van materiaal en modellen gewerkt van concreet naar abstract. Hieronder zie je hiervan een voorbeeld. De verschillende fasen staan niet op de juiste volgorde. Bepaal zelf wat de logische volgorde is. Lees eerst de diverse manieren A t/m H en zet daarna in de tabel de juiste volgorde: A B Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 29

31 C D E F G Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 30

32 H De juiste volgorde is: rekenfase Vul de juiste letter in: Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 31

33 Oefening Standaardprocedures: De student beheerst didactische kennis die het leren van de standaardprocedures op de basisschool op gang brengt, ondersteunt en stimuleert, zoals relevante betekenisverlenende contexten en toepassingssituaties, modellen en schema s en verkortingen. Deze kennis past hij toe om reken-wiskundeonderwijs te kunnen realiseren. Hij stimuleert kinderen om na te denken over de onderlinge relaties tussen verschillende aanpakken (doel 5) A Al lange tijd worden vraagtekens gezet bij het (maatschappelijk) nut van cijferend rekenen, vooral als het gaat om grote getallen (Zijlstra, 1890; Turkstra & Timmer, 1953; Van Gelder, 1969; Uittenbogaard, 2007). Met de komst van de rekenmachine is het maatschappelijk nut van cijferen verder afgenomen (Gravemeijer, 2001).³ Eén van de doelen van deze cursus is, dat je als student de voor- en nadelen kent van de verschillende standaardprocedures. Uiteraard is dit dus onderdeel van de toetsing. Onder deze standaardprocedures (ook wel algoritmes genoemd) vallen de grondvormen van hoofdrekenen (rijgen, splitsen en varia), kolomsgewijs rekenen, progressief schematiseren en cijferen. 1 In de kennisbasis staan de voor- en nadelen opgesomd. Hieronder kun je ze lezen. Onder elk voor- of nadeel staan vragen en opdrachten, die je helpen om de stof goed te begrijpen. 1. Wat was vroeger het maatschappelijk nut van cijferend rekenen? Geef een voorbeeld. 2. Wanneer cijfer jij in het dagelijks leven? 3. Wat zou er verstaan worden onder grote getallen? 4. Van welk van onderstaande sommen vind je dat je ze zonder rekenmachine zou moeten kunnen oplossen? o = o = o = o 23 x 78 = o 631 x 1295 = o 1014 : 13 = o : 53 = B Als algoritmes niet-inzichtelijk worden aangeleerd, worden ze makkelijk vergeten of worden er makkelijk fouten in gemaakt (Erlwanger, 1973).³ 1 Zanten, M. van, F. Barth, J. Faarts, A. van Gool & R. Keijzer (2009). Kennisbasis Rekenen-Wiskunde voor de lerarenopleiding basisonderwijs. Den Haag: HBO-raad. Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 32

34 Hiermee wordt bedoeld dat je een kind best een trucje kunt leren, zoals hoe je een som cijferend onder elkaar kunt uitrekenen. Als het kind echter alleen weet dat hij iets moet lenen, maar niet waarom en hoe, dan gaat het sneller mis en wordt sneller vergeten hoe het ook alweer moest. 1. Wat is een synoniem voor algoritme? 2. Welk algoritme ken jij? Geef een voorbeeld. 3. Schrijf op wat het verschil is tussen iets inzichtelijk aanleren en niet-inzichtelijk aanleren. 4. Bekijk de twee sommen hierboven. Twee leerlingen hebben uitgerekend. Wat valt je op aan de antwoorden? 5. Wat voor uitleg zou je geven aan de leerling die een fout maakt? 6. Welk materiaal zou je daarbij kunnen gebruiken? C Bij procedures die zonder inzicht worden uitgevoerd, worden sneller fouten gemaakt, bijvoorbeeld wanneer er nullen in de getallen zitten bij het cijferend delen (Hoogland, 2008b). Inzichtelijk aangeleerde algoritmes kunnen met behulp van de inzichtelijke basis weer gereconstrueerd worden (vergelijk Vermeulen, 2005).³ In dit argument wordt aangegeven dat kinderen die rekenen zonder te begrijpen wat ze doen, sneller fouten maken. Bijvoorbeeld bij het plaatsen van nullen in het antwoord bij een deling. Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 33

35 1. Wat wordt bedoeld met procedures uitvoeren? 2. Wat wordt bedoeld met reconstrueren? 3. Bekijk de twee sommen hierboven. Twee leerlingen hebben 4240 : 8 = uitgerekend. Wat valt je op aan de antwoorden? 4. Wat voor uitleg zou je geven aan de leerling die een fout maakt? Kun je dit doen door te reconstrueren? 5. Welk materiaal zou je daarbij kunnen gebruiken? D Cijferen aanleren bestaat alleen uit procedurele aanwijzingen (aanwijzingen over welke vaste stappen je moet zetten), die bij verschillende getallen eigenlijk steeds anders moeten zijn (vanwege bijvoorbeeld lenen en inwisselen). Procedurele aanwijzingen zijn daardoor maar beperkt generaliseerbaar (niet in alle gevallen geldig) en maken bovendien niet zichtbaar waarom de procedure werkt (Ball e.a., 2008)³ Hier wordt bedoeld, dat als je kinderen leert cijferen, je daarvoor vaste stappen met ze doorloopt. Je leert ze bij een plussom bijvoorbeeld aan welke kant ze moeten beginnen (rechts) en dat ze de cijfers die boven elkaar staan moeten optellen. Wat daarna komt, is echter niet in alle gevallen hetzelfde. Kijk maar naar onderstaande sommen: Bij de eerste som schrijf je het antwoord (8) netjes onder de 2 en de 6. Bij de tweede som, schrijf je een deel van het antwoord op (7) en moet je de 1, die eigenlijk een 10 is, onthouden. De stappen die je doorloopt in de procedure, zijn dus afhankelijk van de getallen waar je mee te maken hebt. Bovendien wordt bij deze procedure niet duidelijk waarom je doet wat je doet. Die 1 onthouden is voor veel kinderen een trucje, zonder dat ze weten dat ze eigenlijk een 10 erbij plaatsen in de kolom van de tientallen. 1. Schrijf stap voor stap op wat je moet doen om bovenstaande twee sommen cijferend uit te rekenen. 2. Doe dit nogmaals, maar dan kolomsgewijs. 3. Wat valt je op? Zijn de stappen bij de vier sommen generaliseerbaar (gelden de stappen ook voor andere sommen)? 4. Wat is makkelijker te reconstrueren: cijferen of kolomsgewijs rekenen? Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 34

36 E Een aanpak als kolomsgewijs rekenen gaat uit van inzichtelijk handelen. De waarde van getallen blijft zichtbaar en de procedure sluit aan op het splitsend hoofdrekenen, dat leerlingen al eerder geleerd hebben. Als leerlingen echter niet tot verkorting komen, blijven ze veel deelstappen zetten bij het maken van een som. Vooral zwakkere rekenaars komen minder snel tot verkorting en juist zij hebben bij veel deelstappen meer kans op fouten in het uitvoeren van de procedure. Sommigen wijzen er op dat het goed is om juist zwakkere leerlingen alleen de standaardprocedures aan te leren(huitema, 2009) terwijl anderen juist zeggen dat deze leerlingen wel verschillende strategieën kunnen aanleren (Boswinkel & Moerlands, 2001). Ook wordt er op gewezen dat kolomsgewijs rekenen alleen geschikt is voor kleine getallen (Van de Craats, 2007).³ In dit argument wordt een aantal dingen gezegd. Ten eerste dat kolomsgewijs rekenen inzichtelijker is dan cijferen, omdat je werkt met getallen in plaats van cijfers. Bovendien sluit het beter aan bij het hoofdrekenen dat de kinderen al eerder geleerd hebben. In bovenstaande twee sommen zie je het werk van twee leerlingen die de som uitrekenen. Hierbij zijn ze op weg naar kolomsgewijs rekenen. 1. Hoe zie je het splitsend hoofdrekenen terug in deze uitwerkingen? 2. Welke leerling is al verder in zijn ontwikkeling bij deze som? 3. Hoe help je deze kinderen naar het onder elkaar, kolomsgewijs rekenen? Het volgende dat gezegd wordt in het argument hierboven is dat zwakkere rekenaars vaak veel tussenstappen blijven gebruiken. Hierdoor overzien ze hun werk minder goed en zullen ze meer fouten maken. Hieronder zie je nogmaals leerlingwerk bij de som 4240 : 8 =. Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 35

37 4. Bekijk goed wat beide leerlingen doen. Zie je waar ze een fout maken? 5. Wat wordt bedoeld met niet tot verkorting komen? 6. Wat voor tips zou je de leerlingen geven om hun werk te verbeteren? Daarna wordt aangegeven dat sommige mensen vinden dat zwakkere leerlingen beter één standaardprocedure kunnen leren. Anderen zeggen echter dat ook zwakkere leerlingen best meerdere manieren naast elkaar kunnen gebruiken. 7. Wat doe jij zelf? Gebruik je altijd dezelfde manier om een som uit te rekenen? Denk hierbij terug aan jouw rekenwerk van de laatste tijd. Tot slot wordt er verteld dat kolomsgewijs rekenen alleen geschikt is voor opgaven met kleine getallen. 8. Is dat waar? Werk de som 784 x 2592 zowel kolomsgewijs als cijferend uit. Op welke manier ben je sneller klaar? 9. Wat kan er nog? Geef voor + - x en : aan wat jij kolomsgewijs nog acceptabel vindt. Maak bij allemaal een voorbeeldsom. F Verkorting bij progressief schematiseren en kolomsgewijs vermenigvuldigen en delen is noodzakelijk. Kinderen zullen niet altijd uit zichzelf de meest efficiënte (meest handige) strategie ontdekken. Kinderen die sommen altijd oplossen met heel veel tussenstappen moeten gestimuleerd worden tot verkortingen (Uittenbogaard, 2009).³ Dit sluit aan bij wat in het vorige argument al verteld werd. Sommige kinderen zullen heel veel tussenstappen blijven gebruiken, zeker bij een deelsom. Je kunt in heel veel kleine hapjes toewerken naar een antwoord. Hierdoor lopen ze wel het risico om meer fouten te maken. Deze kinderen moeten geholpen worden om grotere stappen te zetten (verkorting), zodat ze makkelijker bij het eindantwoord komen. Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 36

38 1. Leg eens uit waarom een kind meer fouten kan maken als het kleine hapjes gebruikt bij een deelsom. 2. Schrijf eens de deelsom 645 : 15 op met optimale happen en daarnaast dezelfde som met een staartdeling. Waarin zit het verschil? G Welke standaardprocedure het meest efficiënt (meest handig) is en kan worden beschouwd als einddoel voor de basisschool, kan verschillen per kind. De verschillen in effectiviteit (de kans om tot een goed antwoord te komen) tussen cijferen en kolomsgewijs rekenen zijn voor de meeste leerlingen niet erg groot. De effectiviteit van uitwerkingen wordt (veel) meer beïnvloed door het wel of niet opschrijven van de uitwerking op papier. Voor leerlingen met een gemiddeld rekenniveau, lijkt het dat cijferprocedures effectiever zijn (Van Putten & Hickendorff 2009).³ Hier kom je terecht in de discussie tussen twee visies op rekenonderwijs: mechanistisch en realistisch rekenen. Sommige mensen in Nederland vinden dat het voldoende is als een kind goed inzichtelijk kan rekenen, anderen vinden het belangrijk dat kinderen snel de meest verkorte rekenmanier aanleren. Bijna alle rekenmethodes die gebruikt worden in Nederland gaan uit van realistisch rekenen. Daarin leren de kinderen inzichtelijk rekenen (bijvoorbeeld kolomsgewijs) en daarna wordt dat, tot op zekere hoogte, uitgebreid met verkortingen (bijvoorbeeld cijferen). Er zijn rekenmethodes in opkomst die het cijferen op de voorgrond plaatsen en meer mechanistisch werken, zoals Reken Zeker. In dit argument wordt aangegeven dat het einddoel niet voor ieder kind hetzelfde hoeft te zijn. Het is belangrijker dat een kind een methode aanleert die bij hem past en die hij vlot toe kan passen. Daarnaast maken kinderen minder fouten, wanneer ze hun berekening opschrijven. Daarbij maakt het niet uit of ze kolomsgewijs rekenen, cijferen of hoofdrekenen (met het opschrijven van tussenstappen). Hieronder zie je twee sommen die kinderen hebben uitgerekend, zonder het opschrijven van tussenstappen. 1. Bekijk bovenstaande opgaven. Wat denk je dat er fout is gegaan? 2. Wat voor tips zou je de leerlingen geven om hun werk te verbeteren? 3. Hoe goed ben je zelf in uit het hoofd rekenen? Vind je het prettig om kladpapier te gebruiken? Tot slot: Je hebt nu een heleboel geleerd over de voor- en nadelen van de verschillende standaardprocedures. Je zult gemerkt hebben dat er argumenten zijn voor en tegen en dat er niet altijd gezegd kan worden wat de waarheid is. Nu leer je vooral van de mening van anderen. In de loop van de tijd zul je je eigen mening ontwikkelen en deze visie leren onderbouwen. Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 37

39 Uit De Volkskrant: Staartdeling komt niet meer terug Rekenmethoden vroeger en nu ZO ZIT HET, Van onze verslaggever Robin Gerrits gepubliceerd op 04 april :00, bijgewerkt op 20 september :42 AMSTERDAM - Het rekenen is op de basisschool niet meer wat het geweest is. Het niveau van de leerlingen is achteruit gehold, blijkt uit onderzoek. Maar het ging toch juist zo goed? Nog in 1994 leken de prestaties steeds beter te worden. Waar ging het mis? Waar is het misgegaan? In 1994 concludeerde CITO-onderzoeker Joop Bokhove van de PPON (Periodieke Peiling van het Onderwijs Niveau) nog tevreden dat leerlingen van groep 8 het op bijna alle terreinen van het rekenen beter waren gaan doen. Alleen het cijferen bleef achter. Maar 'cijferen is een hogelijk overgewaardeerd onderdeel van het rekenen ', zei Bokhove in de Volkskrant, 'daar zijn apparaten voor en je doet het buiten de schoolmuren nauwelijks.' Belangrijker was, betoogde Bokhove, dat kinderen goed 'schattend' leerden rekenen, om bijvoorbeeld snel controles uit te voeren van wat de calculator voor ze doet. Dat schattend rekenen, dat in twintig jaar steeds meer ingang gevonden heeft, is ook de laatste jaren nog Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 38

40 verbeterd. Maar het lijkt er soms op, stelt het PPON-rapport dat begin dit jaar uitkwam, dat kinderen alle opgaven uit het hoofd willen uitrekenen, ook als ze een som op papier kunnen uitrekenen. Omdat ze het niet kunnen, het niet precies weten, of er te weinig mee geoefend hebben. Daar staat tegenover dat de kinderen zich duidelijk hebben verbeterd in de beheersing van getallen en getalsrelaties, en in het schattend rekenen. Toch is de conclusie van een door de onderzoekers geraadpleegd panel van deskundigen (docenten, pabo -leerkrachten, leerlingbegeleiders) vernietigend: slechts 50 procent van de leerlingen haalt het gewenste niveau op de meeste onderdelen (13 van de 22). Voor het cijferen is dat zelfs minder dan 30 procent. Het schattend rekenen en de realistische of kolomsgewijze oplossingsbenadering voor bewerkingen, waarbij de som wordt uitgesplitst in deelsommen tot herkenbare grootheden ontstaan, verkleint kennelijk de kans op foutloosheid. 'Bij getallen die gemakkelijk af te ronden zijn, doen ze het daarbij nog wel goed', zegt onderzoeker Jan Janssen van het Cito, een van de samenstellers van het rapport. 'Maar bij ingewikkelder en grotere getallen kunnen ze niet meer terugvallen op de oude cijfermethoden, en rollen er vaak verkeerde uitkomsten uit.' Zorgwekkend, vindt Janssen: 'Een aantal resultaten geeft aanleiding ons te bezinnen op de strategieën die leerlingen krijgen aangeleerd voor bewerkingen op papier.' Ofwel, zoals het PPON-verslag Balans van het reken-wiskundeonderwijs constateert: scholieren zien door de bomen het bos niet meer. Ze krijgen zoveel methoden aangeleerd, dat ze die soms door elkaar halen. 'Persoonlijk zou ik ervoor zijn', zegt Janssen, 'kinderen weer één oplossingsstrategie aan te reiken, en daarmee goed oefenen.' Ook hoogleraar Koeno Gravemeijer, verbonden aan het Freudenthal Instituut voor reken- en wiskundeonderwijs, vindt dat knopen moeten worden doorgehakt in het rekenonderwijs, maar ziet weinig in meer training in cijferen. Integendeel: 'Je moet het onderwijs inrichten op wat kinderen er later mee gaan doen. Het niet handig veel tijd te steken in foutloos leren cijferen als je daarvoor later toch die rekenmachine gebruikt.' Gravemeijer vindt het investeren in inzicht in hoe berekeningen en getallen in elkaar zitten, zoals met het schattend rekenen en de kolomsgewijze benadering gebeurt, terecht. 'Als je een opgave zelf kunt ontrafelen in deelproblemen, brengt dat meer inzicht. Maar je moet wel het overzicht behouden.' Daarom moeten kinderen er weer toe worden aangezet hun deeloplossingen en tussenstapjes ook op te schrijven. Bij cijferen hoeft dat niet: daar gaat alles op schrift, en leidt de aanpak van de som automatisch naar het juiste antwoord, zonder dat je erover hoeft na te denken waarom je die stapjes neemt. Toch ziet Gravemeijer de staartdeling niet meer terugkomen. 'Hoogstens als intellectuele oefening. We kunnen beter investeren in methodes die misschien niet altijd voor iedereen foutloos werken, maar wel het inzicht verschaffen.' Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6 Pagina 39