STERRENKUNDE ASTROFYSICA (Stellar Structure and Evolution)

Transcriptie

1 STERRENKUNDE ASTROFYSICA (Stellar Structure and Evolution) Conny Aerts Katholieke Universiteit Leuven Universiteit Hasselt Bachelor Wetenschappen Master Sterrenkunde

2

3 Inhoudsopgave Ten geleide xi DEEL I: INLEIDING TOT DE STERRENKUNDE 1 1 Observationele omkadering van sterrenkunde Magnituden en kleurindices Spectrale typen en luminositeitsklassen De vorming van spectraallijnen in het sterspectrum Spectrale typen Luminositeitsklassen Steratmosfeermodellen Het Hertzsprung-Russell diagram Sterren in onze Melkweg Melkwegstelsels in het Heelal Vervolg van de cursus DEEL II: STERSTRUCTUUR 25 iii

4 2 Een eenvoudige toestandsfunctie: het ideaal gas met straling Inleiding tot de thermodynamica, toegepast op sterren Thermodynamisch evenwicht De eerste wet van de thermodynamica De entropie De soortelijke warmten Het ideaal gas met straling Het klassiek ideaal gas in sterren Het gemiddeld moleculair gewicht De inwendige energie van een ideaal gas De bijdrage van het fotonengas De mechanische basisvergelijkingen die de sterstructuur beschrijven Coördinaten Euleriaanse beschrijving Lagrangiaanse beschrijving De vergelijking van Poisson Behoud van impuls Hydrostatisch evenwicht Eenvoudige oplossingen De bewegingsvergelijking in het geval van sferische symmetrie Behoud van energie Het viriaaltheorema

5 3.4.2 Energiebehoud in sterren De verschillende tijdschalen Additionele relevante toestandsfuncties Polytropen Het ontaard elektronengas De limietmassa van Chandrasekhar Schematische weergave van de relevante toestandsfuncties Energietransport Transport door straling Gemiddelde vrije weglengte De temperatuursgradiënt De diffusiebenadering Het Rosseland gemiddelde van de opaciteit Transport door conductie Stabiliteitsanalyse Dynamische instabiliteit Vibrationele instabiliteit Transport door convectie De chemische samenstelling van de materie De relatieve massa abondanties Variaties van de chemische samenstelling van sterren tijdens hun leven

6 6.2.1 Variatie door kernreacties Variatie ten gevolge van convectie Werkzame doorsneden Verbrandingsmechanismen Basisbegrippen Big Bang nucleosynthese Waterstofverbranding Heliumverbranding Verbranding van de zwaardere elementen Numerieke bepaling van de sterstructuur Het volledige stel basisvergelijkingen Tijdschalen en vereenvoudigingen Randvoorwaarden Centrale randvoorwaarden Randvoorwaarden voor het oppervlak Een numerieke oplossingsmethode DEEL III: STEREVOLUTIE Stervorming Het interstellair medium Het Jeanscriterium Fragmentatie

7 8.4 De vorming van een protoster Hayashisporen in het HR diagram Evolutie van de protoster naar de nulhoofdreeks De hoofdreeks De nulhoofdreeks De massa-lichtkracht relatie Chemische evolutie op de hoofdreeks < 10 Evolutie van een ster met 9 M M < 15 M De Hertzsprung gap Heliumverbranding Latere evolutiefasen Verbrandingscycli Explosieve versus niet-explosieve evolutie Neutronensterren Supernova explosie De neutrinoflux en het r-proces Pulsars Evolutie van een ster met M < 9 M Post-hoofdreeks evolutie De heliumflits Evolutie na de heliumflits

8 11.4 AGB sterren Thermische pulsen, Hot Bottom Burning en 3de dredge-up Het s-proces in AGB sterren Post-AGB sterren Witte dwergen Evolutie van een ster met M > 15 M De spectra van hete zware sterren met massaverlies Basiseigenschappen van stralingsgedreven sterrenwinden Massaverlies en terminale windsnelheid Thomsonverstrooiing in de sterrenwind LBVs, WR sterren en de Eddington limiet Een realistische beschrijving van een lijngedreven sterrenwind: het CAK-model De gevolgen van massaverlies op de evolutie Voorbeeld: de evolutie van een ster met initiële massa 60 M Zwarte gaten Chemische evolutie van melkwegstelsels Chemische verrijking door sterevolutie Initiële massafunctie Globale verrijking van het Heelal A De stralingswetten van Planck 211 B Energietransport door convectie 215

9 C Waarden van fysische en astronomische constanten 219 D Wetenschappelijke bronnen voor dit vakgebied 221 ix

10 x

11 Ten geleide In de studie van het Heelal spelen de sterren de hoofdrol. Zij sturen de evolutie van het Heelal. Zij zijn het immers die verantwoordelijk zijn voor de productie van zo goed als alle chemische elementen. Alle sterren dragen hun steentje bij tot de chemische verrijking van hun melkwegstelsel, en zodoende ook van het Heelal zelf. Zij doen dat tijdens hun leven dankzij hun sterrenwind, die de producten van de nucleosynthese tot bij het interstellair midden voert, en de zwaarsten onder hen ook aan het eind van hun leven wanneer ze als supernova exploderen. Het is dank zij deze chemische verrijking dat het leven op Aarde zich heeft kunnen ontwikkelen. De bepaling van afstanden in het Heelal steunt in eerste instantie evenzeer op onze kennis van de sterren. Dit geldt ook voor de leeftijdsbepalingen van het Heelal. We kunnen niet anders dan vaststellen dat de modellen van de sterstructuur en sterevolutie een sleutelrol spelen in de meeste onderwerpen van de moderne astrofysica. Het is dan ook gepast en gewenst om een inleidend college sterrenkunde te laten handelen over de individuele bouwstenen van het Heelal, nl. de sterren. Hierbij werd bewust gekozen om geen beschrijvend informatiecollege te geven dat alle deeltakken van de sterrenkunde bedekt, zoals de studie van planeten, van het interstellair midden, van melkwegen, van kosmologie. Dit zou slechts toelaten enkel tipjes van de sluiers op te lichten voor elk van deze vele deeltakken. De geïnteresseerde Leuvense student kan voor zulk type overzicht terecht bij de keuzeleergang Wetenschap van de Kosmos. De berekeningen van sterevolutiemodellen steunen op kennis van de fysische eigenschappen van de materie in sterren. Door de berekende modellen te confronteren met de waarnemingen zijn we in staat om de gebruikte fysica te toetsen. Dit is de enige mogelijke toetsing, omdat de toestand in sterinwendigen zodanig extreme vormen aanneemt wat temperatuur, dichtheid en druk betreft, dat het onmogelijk is om laboratoriumtesten uit te voeren onder de gepaste omstandigheden. De structuur en evolutie van sterren worden vooral bepaald door de microscopische eigenschappen van het stermateriaal, meer bepaald de toestandsvergelijking van de materie, het energietransport en de kernreacties. De toestandsvergelijking bepaalt relaties tussen de verschillende thermodynamische eigenschappen zoals de temperatuur, de dichtheid en de druk van het gas waaruit de ster bestaat. Deze toestandsvergelijking is voor het sterinwendige uiterst eenvoudig vermits de hoge temperaturen die er heersen impliceren xi

12 dat de materie er veelal volledig geïoniseerd is. Er treden echter complicaties op, bijvoorbeeld omdat het stergas nog slechts partieel geïoniseerd is in de lagen nabij het steroppervlak. Hierdoor dienen we rekening te houden met de ionisatiegraad in deze regionen. Deze ionisatiegraad hangt af van de interactie tussen de verschillende gascomponenten. In de steratmosferen van koele sterren treden naast neutrale atomen ook moleculen op, en zij beïnvloeden de toestandsvergelijking. Anderzijds loopt de temperatuur in de kern van geëvolueerde massieve sterren zodanig hoog op dat energieverlies door de productie van neutrino s in rekening dient gebracht te worden. Eveneens kan de dichtheid zodanig oplopen dat de eigenschappen van het gas gedomineerd zullen worden door ontaarde elektronen of neutronen waardoor de ideale gaswet niet meer van toepassing is. Een zeer gedetailleerde beschrijving van de fysische toestand van sterinwendigen vereist diepgaande studie. Gelukkig is het mogelijk om een goede beschrijving van de theorie van sterstructuur en sterevolutie op te stellen en te interpreteren zonder op al te veel details te moeten ingaan. De hier behandelde theorie is elegant, heeft een indrukwekkende sterkte en combineert vele takken van de wis-, natuur- en scheikunde. Bovendien is deze theorie in staat om te voorspellen hoe de complexe interne sterstructuur verandert tijdens het leven van de ster en wat het ultieme levenseinde van de ster zal zijn: een witte dwerg, een neutronenster of een zwart gat. Het huidig college Sterrenkunde / Astrofysica heeft als doel een stimulerende inleiding over de fysica van sterren te geven aan studenten in de Wetenschappen of Ingenieurswetenschappen, zodat zij leren begrijpen hoe sterren ontstaan, leven en sterven, en wat het gevolg van deze cyclus is voor de evolutie van melkwegstelsels en het Heelal. Daar waar de inleidende bachelorcolleges fysica misschien de indruk hebben gewekt dat dit studiedomein is opgebouwd uit verscheidene losstaande deeltakken, zoals mechanica, thermodynamica, kernfysica, quantummechanica,..., komen deze onderdelen mooi en op natuurlijke wijze samen in dit college sterrenkunde. Dit college is dan ook bedoeld voor studenten die reeds basiskennis in wis- en natuurkunde hebben verworven, maar niet noodzakelijk voorkennis in sterrenkunde hebben. Er werd daarom getracht om specifiek vakjargon tot een minimum te beperken en een college samen te stellen voor alle studenten Wetenschappen en Ingenieurswetenschappen, ook diegenen die niet noodzakelijk een diepgaande specialisatie in de astrofysica nastreven. Dit college vormt tegelijkertijd de ideale voorbereiding op de Leuvense Masteropleiding Sterrenkunde, en valt dan ook, op een toepassing van Hoofdstuk 7 na, samen met het mastervak Stellar Structure and Evolution. Conny Aerts, februari xii

13 DEEL I: INLEIDING TOT DE STERRENKUNDE xiii

14

15 Hoofdstuk 1 Observationele omkadering van sterrenkunde Alle informatie die we over de sterren en andere hemellichamen hebben vergaard, werd afgeleid uit waarnemingen van hun electromagnetisch spectrum. De hoeveelheid licht uitgestraald door een ster wordt vooral bepaald door de grootte van haar oppervlak, haar temperatuur en haar chemische samenstelling aan het oppervlak. Het komt er dan ook op aan dit sterlicht te decoderen om informatie af te leiden die niet direct waarneembaar is, zoals de stellaire massa, leeftijd, inwendige temperatuur, druk, chemische samenstelling,... De helderheid of luminositeit L van een object is de hoeveelheid energie die het per seconde uitstraalt. Deze grootheid is een cruciale parameter voor het leven van een ster, evenals haar massa M. Geen van beide grootheden kunnen wij rechtstreeks meten. De hoeveelheid energie afkomstig van een ster die wij kunnen meten met een instrument, hangt nl. af van de afstand d tussen de ster en de waarnemer. Het is daarom duidelijk dat afstandsbepaling een belangrijk onderdeel is van de observationele sterrenkunde. Vaak zullen wij aannemen dat sterren in goede benadering zwarte stralers zijn, die voldoen aan de stralingswetten van Planck. Voor een korte beschrijving van deze wetten, en hun interpretatie, verwijzen we naar Bijlage A. Het verband tussen de temperatuur, de lichkracht en de straal wordt voor een zwarte straler gegeven door de wet van Stefan-Boltzman: L = 4πσR 2 T 4, (1.1) met σ een constante gedefinieerd als 2π 5 k 4 /15c 2 h 3 met k de constante van Boltzman, h de constante van Planck en c de lichtsnelheid. De effectieve temperatuur van een ster wordt dan gedefinieerd door een ster met straal R en lichtkracht L te vergelijken met een bolvormige zwarte straler die een straal heeft gelijk aan R: L = 4πR 2 σteff 4. De effectieve temperatuur is zodoende een maat voor de temperatuur die heerst in de fotosfeer van de ster. Dit is het gebied aan de buitenkant van de ster waaruit de straling ontsnapt. De Zon heeft een effectieve temperatuur van 5780 K. Een belangrijke eigenschap die we uit de stralingswetten van Planck kunnen afleiden is de verplaat- 1

16 singswet van Wien. Deze stelt dat de golflengte waarbij de maximale flux wordt uitgestraald volledig bepaald wordt door de temperatuur van het stralend lichaam, volgens λ max = (2.9/T)mm, waarbij de temperatuur in Kelvin dient uitgedrukt te worden. Hieruit volgt onmiddellijk dat de Zon maximaal straalt rond 500 nm. Mensen en planeten stralen in het infrarood bij golflengten rond 10µm, koud interstellair stof straalt vooral bij golflengten van submm en mm. De sterren hebben een bereik in effectieve temperatuur van ruwweg 3000 tot K. Zij stralen zodoende vooral in het UV en visueel licht. 1.1 Magnituden en kleurindices Een systeem van magnituden is een logaritmische schaal verbonden met de hoeveelheid stralingsenergie die van een sterrenkundige bron ontvangen wordt. Wanneer we twee bronnen beschouwen dan wordt het verschil in magnitude van bron 2 t.o.v. die van bron 1 gegeven door m 2 m 1 = 2.5 log S 2 S 1, (1.2) waarbij S de hoeveelheid ontvangen stralingsenergie per eenheid van tijd is. Uit deze betrekking leiden we af dat, indien we van bron 2 meer energie ontvangen dan van bron 1, de magnitude van bron 2 lager is dan de magnitude van bron 1. Het invoeren van de magnitude stamt af van de Griekse sterrenkundige Hipparchos. In de 2de eeuw voor Christus heeft Hipparchos alle sterren die voor hem zichtbaar waren met het blote oog ingedeeld in zes klassen, waarbij hij de helderste sterren klasse 1 toekende en de zwakste sterren klasse 6. Pas vorige eeuw heeft men dan de meer wiskundige definitie (1.2) ingevoerd en ervoor gezorgd dat deze zo goed als mogelijk aansloot bij de classificatie van Hipparchos. Hiervoor diende men het nulpunt van de magnitudeschaal op een welbepaalde manier vast te leggen. Herschrijven we (1.2) als m = (m log S 1 ) 2.5 log S = C 2.5 log S, (1.3) dan komt het vastleggen van de constante C neer op het bepalen van het nulpunt van de magnitudeschaal. Een ander aspect dat van belang is, is het golflengtegebied waarop het magnitudesysteem betrekking heeft. Een eerste extreme mogelijkheid is de bolometrische magnitude m bol. Deze is de magnitude van het object wanneer alle golflengten van het elektromagnetisch spectrum in rekening gebracht worden. Anderzijds is er de andere extreme mogelijkheid van monochromatische magnitude m λ waarbij men de magnitude bij slechts één bepaalde golflengte λ beschouwt. In de praktijk gebruiken we noch bolometrische noch monochromatische magnituden, maar magnituden die betrekking hebben op een beperkt gebied van golflengten. Dit gebied moet dan worden gespecifieerd. De hoeveelheid ontvangen stralingsenergie S die optreedt in definitie (1.3) kan als volgt omschreven worden. Definieer S λ als de hoeveelheid stralingsenergie die een waarnemer ontvangt bij golflengte λ door continuümstraling (zie verder). Een fractie η λ van de straling wordt opgeslorpt door de absorptielijnen. De ontvangen straling bij golflengte λ bedraagt dan S λ (1 η λ ). Stel de gevoeligheid en de efficiëntie van het 2

17 meettoestel om de stralingsenergie te meten voor door de functie ϕ(λ). We kunnen dan de hoeveelheid ontvangen stralingsenergie voorstellen als S = 0 S λ (1 η λ )ϕ(λ)dλ. (1.4) Als standaardsysteem voor het bepalen van magnituden gebruikt men het door Johnson en Morgan ontwikkelde UBV systeem. Het verloop van de functies ϕ U (λ), ϕ B (λ), ϕ V (λ) wordt bepaald door de gebruikte golflengtefilters. De functies hebben een maximum bij respectievelijk de golflengten 365, 440 en 548 nm. De definitie voor de visuele magnitude kan nu als volgt voluit geschreven worden: m V = C V 2.5 log 0 S λ (1 η λ )ϕ V (λ)dλ, (1.5) waarbij de constante C V zo bepaald wordt dat de visuele magnitude zo goed mogelijk aansluit met de magnitudeklassen ingevoerd door Hipparchos. Analoog aan (1.5) kan men de U en B magnituden definiëren. Het nulpunt van de magnitudeschaal werd zodanig gekozen dat m U = m B = m V = 0 voor de ster Wega. Zij heeft een spectraal type A0V (zie verder voor de definitie). Wanneer de magnituden gecorrigeerd zijn voor interstellaire absorptie en extinctie ten gevolge van de dampkring van de Aarde, dan wordt de magnitude bepaald door de hoeveelheid stralingsenergie die een bron per tijdseenheid uitzendt en de afstand van de bron tot de waarnemer. Om de invloed van de verschillen in afstand uit te schakelen plaatst men de bronnen fictief op een gelijke afstand van de Zon. Wanneer de bronnen zich op gelijke afstand bevinden zijn de verschillen in magnitude namelijk enkel bepaald door verschillen in de hoeveelheid stralingsenergie. Deze redenering ligt aan de basis van het invoeren van een absolute magnitudeschaal. Voor een bolvormige ster kan men het product S λ (1 η λ ) in (1.4) als volgt verbinden met de buitenwaartse stralingsflux F + λ : 4πR 2 F + λ = 4πd2 S λ (1 η λ ), (1.6) waarbij d de afstand van de waarnemer voorstelt en R de sterstraal. Aldus hebben we ( R S λ (1 η λ ) = d ) 2 F + λ. (1.7) De uitdrukking voor wat we vanaf nu de schijnbare magnitude noemen wordt dan [ (R ) 2 ] m = C 2.5 log F λ + d ϕ(λ)dλ. (1.8) De schijnbare magnitude wordt dus niet alleen bepaald door de hoeveelheid uitgestraalde energie maar evenzeer door de afstand van de ster tot de waarnemer. We voeren nu de absolute magnitude M van een ster in. Dit is de schijnbare magnitude die de ster zou hebben indien ze zich op een afstand van 10 parsec van de Zon zou bevinden. Het verschil tussen de absolute en schijnbare magnitude is dan 0 ( ) 10pc 2 M m = 2.5 log. (1.9) d 3

18 Dit kunnen we ook schrijven als M = m log d pc, (1.10) waarbij d pc de afstand in parsec voorstelt. Een parsec is ongeveer 3,26 lichtjaar, wat overeenkomt met km. Het verschil m M noemt men de afstandsmodulus. Tenslotte voeren we het begrip kleurindex in. Kleurindices van sterren zijn verschillen tussen magnituden van dezelfde ster. Met de drie magnituden U, B, V worden twee veel gebruikte kleurindices geconstrueerd: U B en B V. Door betrekking (1.10) toe te passen op twee verschillende magnituden van eenzelfde ster en lid aan lid af te trekken bekomen we M 2 M 1 = m 2 m 1. (1.11) Het verschil in schijnbare magnitude is een grootheid die gemakkelijk kan gemeten worden. De kleurindices zijn zodoende een maat voor een intrinsieke eigenschap van de ster. De index B V is een goede maat voor de effectieve temperatuur van de ster. 1.2 Spectrale typen en luminositeitsklassen In figuur 1.1 tonen we de sterflux als functie van de golflengte λ voor verschillende soorten sterren. Deze werden geordend van koud bovenaan naar heet onderaan. De heetste sterren zijn blauw en hun spectrum vertoont absorptielijnen van geïoniseerde atomen. Koude sterren, daarentegen, stralen vooral sterk bij rode golflengten en vertonen absorptielijnen van neutrale atomen en moleculen De vorming van spectraallijnen in het sterspectrum Spectra van astronomische objecten vertonen continua met daarop gesuperponeerd spectraallijnen. Deze laatsten kunnen zowel in absorptie als in emissie voorkomen ten opzichte van het lokale continuüm. We bespreken nu kort de vorming van continua en spectraallijnen. Voor een uitgebreidere beschrijving ervan verwijzen we naar de cursussen Radiative Processes in Astronomy en Stellar Atmospheres gedoceerd in de Leuvense Master Sterrenkunde. Spectraallijnen Spectraallijnen zijn het gevolg van discrete energieovergangen zoals de sprongen tussen gebonden niveaus van een electron in een atoom. Men spreekt van gebonden-gebonden overgangen of nog bb-overgangen (van bound-bound ). Excitatie naar een bovenliggend niveau kan enerzijds geschieden door opname van kinetische energie (botsingsexcitatie) of anderzijds door de absorptie van een foton (stralingsexcitatie). Analoog kan deëxcitatie naar een lager gelegen niveau veroorzaakt worden door een botsing (botsingsdeëxcitatie) of door emissie van een foton (stralingsdeëxcitatie). 4

19 Figuur 1.1: Optische stellaire spectra van hoofdreekssterren met ongeveer dezelfde chemische samenstelling maar met stijgende effectieve temperatuur van boven naar onder. 5

20 De energieuitwisseling die hoort bij een bb-overgang houdt steeds verband met een energieverschil hν = E mn, waarbij E mn = E m E n het energieverschil is tussen de niveaus m en n (m > n). De betrokken fotonen hebben de bijhorende specifieke golflengte λ = hc/ E mn. Spectraallijnen hangen altijd samen met discrete bb-processen. Het is echter niet zo dat emissielijnen steeds het gevolg zijn van stralingsdeëxcitatie of dat absorptielijnen altijd veroorzaakt worden door stralingsexcitatie. De oorzaak van de spectraallijn hangt steeds af van het stralingstransport doorheen het medium. Spectraallijnen zijn in het algemeen het gevolg van extra bb-processen die op de specifieke lijngolflengte in het medium kunnen optreden, naast de processen die het continue spectrum op die golflengte veroorzaken. Continua Continua zijn het gevolg van niet-discrete processen waarbij fotonen worden geabsorbeerd of geëmitteerd. Men heeft allereerst gebonden-vrij overgangen (of ook bf-overgangen van bound-free ) van atomen en ionen. Een electron wordt bijvoorbeeld vrijgemaakt uit een gebonden toestand n, door de absorptie van een foton met een energie groter of gelijk aan de ionisatie-energie E n = E E n vanuit dat niveau. In dat geval spreekt men van stralingsionisatie. Invanging van een vrij electron kan leiden tot een gebonden toestand. Hierbij wordt dan een foton uitgezonden (emissie) met een energie groter of gelijk aan E n. Men spreekt in dit geval van stralingsrecombinatie. Ionisatie en recombinatie kunnen tevens gebeuren door opname of afgifte van kinetische energie zonder dat er fotonen bij te pas komen. Men spreekt in deze gevallen van botsingsionisatie en botsingsrecombinatie. De vrije toestanden van de electronen boven de ionisatiegrens zijn niet discreet omdat het vrije electron een willekeurig grote kinetische energie m e v 2 /2 kan hebben, m.a.w. hν = E n + m e v 2 /2. Gebonden-gebonden excitatie en deëxcitatie evenals gebonden-vrij ionisatie en recombinatie kunnen geschieden door zowel opnemen dan wel vrijmaken van stralingsenergie in de vorm van fotonen als door opnemen dan wel vrijmaken van kinetische energie door een deeltjesbotsing. Verder treden ook vrij-vrij overgangen (of ff van free-free ) op. Men spreekt ook wel eens van remstraling. Dit is emissie of absorptie van fotonen ten gevolge van de versnelling of vertraging van een geladen deeltje in een Coulombveld, bijvoorbeeld bij een botsing tussen een ion en een electron. Fotoncreatie, fotondestructie, fotonverstrooiing We kunnen de bb-processen in drie paren samennemen : 1. botsingsexcitatie gevolgd door stralingsdeëxcitatie. Dit resulteert in de creatie van een foton. Er wordt in dit geval dus kinetische energie omgezet in straling. 2. stralingsexcitatie gevolgd door botsingdeëxcitatie. Dit geeft aanleiding tot de destructie van een foton; straling wordt in dit geval omgezet in kinetische energie. 6

21 3. stralingsexcitatie gevolgd door stralingsdeëxcitatie. Men spreekt van verstrooiing van het foton. Er gebeurt in dit geval enkel een herverdeling van straling. Bij fotonverstrooiing verandert minstens de richting tussen het inkomend en het verstrooid foton. Voor de lagere atomaire niveaus is fotonverstrooiing een belangrijk proces omdat de vervaltijd voor stralingsdeëxcitatie bijzonder kort is voor deze lage niveaus (typisch seconden). Wanneer er een lijnovergang door verstrooiing vanuit de grondtoestand optreedt, spreekt men van een resonantielijn. Het verstrooiingsproces wordt in dit geval aangeduid als resonante verstrooiing. Resonantielijnen representeren de laagst mogelijke energietransities vanuit de grondtoestand. Ze hebben bijgevolg een zeer korte levensduur, waardoor ze zeer veel kunnen voorkomen, zowel bij hoge als bij lage dichtheden (er bestaat altijd een zeer groot reservoir aan electronen in de grondtoestand die zitten wachten tot er een foton komt dat hen toelaat om een lijnovergang op basis van fotonverstrooiing te maken) Spectrale typen Sinds de opkomst van de spectrografie tijdens de tweede helft van de 19de eeuw, zijn sterrenkundigen de sterren gaan indelen in klassen volgens de sterkte van hun Balmerlijnen. Dit zijn de absorptielijnen van neutraal waterstof (HI, zie figuur 1.2) 1. Zo definieerde men de A sterren als diegenen met de sterkste Balmerlijnen, B sterren komen op de 2de plaats wat de sterkte van deze lijnen betreft en zo verder. Aan het eind van de 19de eeuw besefte de astronome Antonia Maury te Harvard dat de sterkte van alle spectraallijnen, niet alleen de Balmerlijnen, een mooie sequens volgde wanneer zij de klassen ordende volgens O B A F G K M. Dit wordt geïllustreerd in figuur 1.3. Op basis hiervan werd de eerste grootschalige sterspectrumclassificatie doorgevoerd aan Harvard College Observatory. Dit gebeurde dankzij financiële giften van Mw. Draper, die een mooie eeuwige herinnering wilde aan haar overleden echgenoot. Henry Draper was de eerste die ooit een sterspectrum fotografeerde. De classificatie werd doorgevoerd tussen 1886 en 1924 onder leiding van Annie Cannon 2. Bijna sterren werden opgenomen in de Henry Draper Catalogue (in ruil voor dollar van Mw. Draper). Tegenwoordig zijn dat er als we ook het supplement van de cataloog beschouwen. Vandaag de dag weten we dat de sequens van Maury er één is van dalende effectieve temperatuur en dat de lijnsterkte in de spectra bepaald wordt door de ionisatiewet van Saha en de Boltzmann waarschijnlijkheidsverdeling. Deze uiterst belangrijke interpretatie werd gedaan door Cecilia Payne-Gaposhkin (1925) 3 1 In de sterrenkunde schrijven we de ionen niet zoals in de fysica of in de scheikunde. Bijvoorbeeld, wanneer wij spreken van ijzer vier, dan bedoelen we het spectrum van een Fe 3+ deeltje, en noteren dit als Fe IV. HI betekent dus het spectrum van neutraal waterstof. 2 Het valt op te merken dat vrouwen niet toegelaten werden om zich te verdiepen in sterrenkunde, tenzij als hobby. Dit totdat classificatie van tienduizenden sterren diende doorgevoerd te worden. De idee en het plan om deze classificatie door te voeren waren niet alleen het werk van vrouwen, maar de uitvoering ervan vergde tevens zulk geduldig werk, tegen zeer lage wedde, dat de directeur Edward Pickering van het Harvard College geen mannen vond die bereid waren deze taak op zich te nemen. Zodoende deden vrouwen hun intrede in de hedendaagse professionele sterrenkunde tijdens de eerste helft van de 20ste eeuw. 3 Cecilia volgde een opleiding sterrenkunde te Cambridge, UK, bij Sir Arthur Eddington. Eddington vond echter dat vrouwen niet geschikt waren voor onderzoek in de sterrenkunde. Gebeten als ze was door de sterrenkunde-microbe, en verontwaardigd door de houding van Eddington, vertrok Cecilia dan maar naar Harvard, waar ze wel welkom was om haar werk verder te zetten. Ze 7

22 Figuur 1.2: Energieniveaus voor het waterstofatoom. De gebonden niveaus benaderen de ionisatiegrens bij ev. Voor elk van de vier eerste waterstofniveaus worden de gebonden toestanden aangeduid door verticale lijnen met hun naam en golflengte van de overeenkomende spectraallijn. De limiet van elke reeks is eveneens aangeduid. De Lyman lijnen bevinden zich in het UV, de Balmerlijnen in het visuele en de Paschen en Bracket lijnen in het infrarood. 8

23 Figuur 1.3: De spectrale sequens van Harvard. Deze voorbeeldspectra zijn afgedrukt zodanig dat de absorptielijnen donker zijn op de heldere achtergrond van de continuumstraling van de ster. De golflengtes worden, zoals de gewoonte is in de sterrenkunde, uitgedrukt in Ångstrom (1 Å= 0.1 nm = 10 8 cm). De helderste delen in het spectrum schuiven op van de vroeg-type sterren (O en B) naar de laat-type sterren (GKM). 9

24 in haar doctoraatswerk. Zij toonde tegelijkertijd aan dat de sterren vooral bestaan uit waterstof ( 70%), helium ( 28%) en verder slechts voor 2% uit zwaardere elementen (ook kortweg metalen genoemd) 4. Elk van de zeven klassen werd vervolgens nog ingedeeld in tien subklassen, van 0 voor de heetste tot 9 voor de koelste ster binnen een klasse. Dit schema is vandaag de dag nog steeds in gebruik (zodat Mw. Draper tevreden mag zijn). De Zon is een ster van spectraal type G2. Vrij recent werd nog een klasse L toegevoegd voor zeer koele sterren die ontdekt werden door infrarode waarnemingen. Men spreekt vaak van vroeg-type sterren voor de eerste paar klassen van hete sterren (OBA), en laat-type sterren voor klassen aan het eind van de classificatiereeks (GKML). De effectieve temperatuur van O sterren is hoger dan K. Hun sterkste spectraallijnen zijn diegene van éénmaal geïoniseerd helium (He II lijnen) en tweemaal geïoniseerd helium koolstof (CIII). Hun Balmerlijnen zijn zwak omdat bijna al het waterstof in de fotosfeer volledig geïoniseerd is bij zulke hoge temperatuur. De spectra van B sterren hebben wel sterke Balmerlijnen en tevens sterke lijnen van neutraal helium (HeI), hun temperatuur ligt tussen en K van B9 tot B0. De A sterren hebben temperaturen rond K en zijn koud genoeg om het waterstof in hun fotosfeer neutraal te houden. Naast heel sterke Balmerlijnen hebben zij ook vele lijnen van éénmaal geïoniseerde metalen, zoals calcium. Wat ook onmiddellijk opvalt in hun spectra is de zogenaamde Balmersprong bij 365 nm (3646Å, zie figuur 1.2). F sterren hebben zwakkere Balmerlijnen dan A sterren. In hun spectrum beginnen zich lijnen van neutrale metalen te vertonen. In G sterren zoals de Zon trekken de éénmaal geïoniseerde calciumlijnen (CaII) bij 4300Å de aandacht. Deze werden reeds in 1815 ontdekt door Fraunhofer. Hij gaf alle lijnen die hij kon ontdekken in het zonnespectrum een label, van A tot K van rode tot blauwe golflengten. De sterkste calcium lijnen noemt men zodoende ook nu nog de H en K lijn. De D lijn van neutraal natrium (NaI) valt ook op in G sterren. In de spectra van K sterren zien we vooral lijnen van neutrale metalen en van moleculen zoals TiO (titanium-oxide). M sterren zijn doorgaans kouder dan K aan hun oppervlak waardoor we diepe absorptiebanden van TiO en VO (vanadium oxide) zien, alsook lijnen van neutrale metalen. In de nog koelere L sterren vallen vooral de natrium D lijnen op, die er brede moleculaire banden veroorzaken Luminositeitsklassen De lijnen in een sterspectrum geven ons niet alleen informatie over de effectieve temperatuur en chemische samenstelling, maar ook over de waarde van de oppervlaktegraviteit. Deze grootheid is niets anders dan de deed dit met glans. 4 Hoewel men in andere wetenschapstakken koolstof, zuurstof, stikstof,... niet zou groeperen onder de naam metalen, is dat in de sterrenkunde toch erg zinvol. Dat komt omdat waterstof en helium (en een beetje lithium) gevormd werden binnen het half uur na de Big Bang, terwijl alle andere elementen nadien pas ontstaan zijn door nucleosynthese in sterinwendigen. 10

25 Figuur 1.4: Optische stellaire spectra van drie sterren van spectraal type A, maar behorende tot een verschillende luminositeitsklasse. gravitatieversnelling aan het oppervlak van de ster, nl. g GM/R 2 met M de stermassa 5. Meestal gebruikt men in de sterrenkunde de logaritme van de graviteit, en drukt men ze uit in cgs eenheden eerder dan SI eenheden 6. Dit levert waarden voor log g tussen 1 en 5 voor de meeste sterren, en log g van 6 tot 8 voor compacte stellaire resten. In figuur 1.4 tonen we de spectra van drie A sterren. De bovenste ster is een dwergster, zoals de Zon, de middelste ster is een reus en de onderste een superreus. Hun log g neemt dus af van boven naar onder omdat de straal fel toeneemt in die richting. Dus de dwergster is veel compacter dan de reus en superreus. Zodoende zitten de atomen in die ster veel meer opeengepakt dan in de reus en superreus. Dit heeft een effect op de spectraallijnen omdat zij onderhevig zijn aan het Stark drukverbredingseffect. Dit komt erop neer dat de breedte van een spectraallijn bij eenzelfde temperatuur vooral een functie is van de druk die de atomen, verantwoordelijk voor de lijn, ondervinden. Men deelt daarom de sterren niet alleen in in klassen volgens de temperatuur, maar evenzeer volgens hun graviteit. De meeste sterren zijn dwergsterren zoals de Zon. Dat men ze dwerg noemt, is nogal misleidend want de heetste dwergen zijn echt wel veel groter dan de Zon, met een straal van om en bij 10 R. Reuzen en superreuzen zijn veel groter, met stralen van respectievelijk een factor 10 tot 100, en een factor 5 Voor de massa en de absolute magnitude van een ster gebruikt men hetzelfde symbool. Uit de context is immers steeds duidelijk om welke grootheid het gaat. 6 In de sterrenkunde worden alle grootheden veelal nog uitgedrukt in het cgs stelsel, deels om historische redenen, deels omdat dit handige getallen oplevert voor enkele belangrijke observationele parameters die de sterren karakteriseren. We verwijzen naar Bijlage C voor de waarden van fysische en astronomische constanten, zowel in dit stelsel als in het SI stelsel. 11

26 100 tot 1000 groter dan die van de Zon. Zij hebben, volgens (1.1), een veel grotere lichkracht dan dwergsterren van dezelfde temperatuur. Bovendien bestaan er ook witte dwergen en dit zijn helemaal geen dwergen zoals de Zon. Het zijn eigenlijk geen sterren meer, maar wel compacte stellaire resten die overblijven aan het eind van de sterevolutie. Dit geldt ook voor neutronensterren. Zij hebben zo n grote dichtheid dat hun graviteit kan oplopen tot log g tussen 7 en 8 (in cgs). Dat komt omdat hun straal erg klein is, typisch 0.01 R (i.e. ongeveer een aardstraal) voor een witte dwerg en slechts enkele tientallen km voor een neutronenster. In de praktijk deelt men de sterren in in vijf luminositeitsklassen: V voor dwergen, IV voor subreuzen, III voor normale reuzen, II voor heldere reuzen, I voor superreuzen. Deze laatsten deelt men dan nog op in Ia en Ib volgens hun lichtkracht (Ia grootste L, Ib minder lichtkrachtig). Men voegt dan nog vaak kleine letters toe aan de luminositeitsklasse, op basis van het voorkomen van specifieke kenmerken van de spectraallijnen. Zo worden sterren waarvoor de Balmer lijnen in emissie worden waargenomen aangeduid met de kleine letter e toegevoegd aan de luminositeitsklasse, en hete sterren met NIII and HeII lijnen in emissie krijgen een f toegevoegd, enz Steratmosfeermodellen In de praktijk schat men de effectieve temperatuur en graviteit van een ster door haar spectrum te vergelijken met dat van andere sterren waarvan men deze grootheid reeds kent. Men maakt daarbij ook gebruik van zogenaamde modelatmosferen. Dit zijn computermodellen die uitrekenen hoe de straling zich voortplant doorheen een steratmosfeer met een gegeven effectieve temperatuur, log g en chemische samenstelling. Men calibreert dan de modelatmosferen aan de hand van sterren waarvan men hoge-kwaliteitsspectra heeft met een groot golflengtebereik, en waarvan men de effectieve temperatuur, graviteit en chemische samenstelling goed kent (zogenaamde standaardsterren of calibratiesterren). Bij wijze van de berekening van modelatmosferen kan men ook een abondantiebepaling doorvoeren. Dit heeft tot doel de hoeveelheid zware elementen af te leiden in de steratmosfeer. Men drukt deze hoeveelheid steeds uit t.o.v. diegene voor de Zon. Abondantiebepaling is van groot belang voor de interpretatie van sterspectra van geëvolueerde sterren, zoals duidelijk zal worden in Deel III van de cursus. De interpretatie van gemeten sterspectra komt uitvoerig aan bod in de Leuvense Master colleges Radiative Processes in Astronomy en Stellar Atmospheres. 1.3 Het Hertzsprung-Russell diagram Het Hertzsprung-Russell diagram (HR diagram, genoemd naar de Amerikaanse astronoom Henry Russell en de Deense astronoom Enjar Hertzsprung) geeft een belangrijke statistische relatie voor sterren in de vorm van een diagram. Het diagram wordt aanzien als de weergave van de evolutie van de sterren. Het diagram is daarom het basiskader voor de bespreking van sterevolutie. Een schematische voorstelling van het HR diagram volgens de spectrale types en luminositeitsklassen wordt gegeven in figuur

27 Figuur 1.5: Schematische voorstelling van het HR diagram, waarin de absolute visuele magnitude M V wordt uitgezet t.o.v. de kleurindex B V. De posities van de hoofdreeks, de rode reuzen, de superreuzen en de witte dwergen zijn aangeduid. De Zon is een hoofdreeksster van spectraal type G 2. 13

28 Russell bestudeerde voor het eerst de relatie tussen het spectraal type en de absolute magnitude M V van de sterren. Hij deed dit door een figuur te construeren waarin hij de absolute magnitude uitzette t.o.v. het spectraal type. Anderzijds merkte Hertzsprung een onderscheid op tussen dwergsterren en reuzensterren voor late spectrale types. Vaak wordt de kleurindex B V in abscis uitgezet in plaats van het spectraal type. Men spreekt daarom soms ook van het kleur-helderheidsdiagram (zie figuur 1.5). Het gebruik van de kleurindex heeft het voordeel dat deze observabele op een continue manier varieert in tegenstelling tot het spectraal type. Bovendien kan men op die manier veel zwakkere sterren in het diagram plaatsen, vermits men fotometrisch veel zwakkere sterren kan waarnemen dan spectroscopisch. Beschouwen we nu het schematische HR diagram getoond in figuur 1.5. We bemerken dat de sterren niet willekeurig verspreid zijn in het diagram. Bepaalde combinaties van kleurindex en absolute visuele magnitude komen veel frequenter voor dan andere. De grote meerderheid van de sterren behoort tot één van de volgende drie groepen: de hoofdreeks, de groep van rode reuzen en superreuzen, de groep van witte dwergen. De meeste sterren behoren tot de hoofdreeks, die zich uitstrekt van sterren met negatieve absolute visuele magnitude en lage kleurindex (blauwe superreuzen) tot sterren met grote absolute visuele magnitude en hoge kleurindex (rode dwergen). De Zon is een hoofdreeksster van spectraal type G2V met een absolute visuele magnitude M V = Vermits de absolute magnitude van een ster slechts gekend is als de visuele magnitude én de afstand ervan gekend zijn, is het bepalen van nauwkeurige afstanden belangrijk om de posities van de sterren in het HR diagram te kunnen afleiden. De satellietmissie HIPPARCOS van de Europese ruimte-organisatie ESA heeft tussen 1989 en 1992 voor zo n sterren in de omgeving van de Zon nauwkeurige afstanden bepaald. Hierdoor hebben de leden van het HIPPARCOS consortium een bijzonder nauwkeurig observationeel HR diagram kunnen opstellen voor de omgeving van de Zon. Wanneer we alle sterren gemeten door HIPPARCOS met een relatieve precisie op een maat voor de afstand beneden 10% beschouwen, bekomen we het HR diagram getoond in figuur 1.6. Hierin valt onmiddellijk een welbepaalde verdeling van de sterren op. De hoofdreeks en de groep van rode reuzen springt in het oog. HIPPARCOS was niet in staat om de afstanden van een groot aantal witte dwergen nauwkeurig te meten. Vandaar dat deze groep sterren niet dicht bevolkt is in het observationeel HIPPARCOS HR diagram. Dit is nog meer het geval voor de OBtype sterren van alle luminositeitsklassen. Deze staan ver van ons weg en hun afstand kan niet nauwkeurig bepaald worden. Een derde vorm van het HR diagram wordt vooral voor overwegingen van sterevolutie gebruikt. Men zet dan de logaritme van de lichtkracht uit t.o.v. de effectieve temperatuur van de ster. In abscis doet men dan de temperatuur toenemen van rechts naar links, terwijl de logaritme van de lichtkracht toeneemt van onder naar boven. Dit diagram werd reeds getoond op de voorpagina van deze cursusnota s. Het is dit diagram dat wij zullen gebruiken doorheen het college. 1.4 Sterren in onze Melkweg Onze Melkweg is een spiraalstelsel opgebouwd uit een centrale bult met een straal van enkele kpc en een uitgebreide platte schijf, met daarrond een halo van sterclusters (figuur 1.7). De Zon bevindt zich in de 14

29 Figuur 1.6: Observationeel HR diagram geconstrueerd aan de hand van metingen uitgevoerd door de satelliet HIPPARCOS. Alle sterren waarvan de afstand met een relatieve nauwkeurigheid beter dan 10% gemeten werd, worden getoond. 15

30 Figuur 1.7: Overzicht van de bestanddelen van onze Melkweg. Voor een verklaring: zie tekst. 16

31 schijf op zowat 8 kpc van de bult. In de buurt van de Zon vinden we ongeveer één ster per 10 pc 3, dus de ruimte is vrij leeg. Dit interstellair midden bevat veelal gas en stof, wat efficient de sterstraling absorbeert en weer terug uitstraalt. Deze straling leert ons dat het interstellair midden vooral uit H, H en H 2 bestaat. Complexere moleculen, zoals O, HCN en CS komen ook voor. De schijf van de melkweg bestaat uit een dun gedeelte (300 tot 400 pc) waarin zich donkere gas- en stof wolken bevinden en waarin voortdurend nieuwe sterren gevormd worden. Anderzijds is er ook de dikke schijf (1000 tot 1500 pc) waarin stervorming vroeger in de geschiedenis van de melkweg heeft plaatsgehad. De sterren die daar gevormd zijn bevatten beduidend minder metalen. De bult bevat een dichte kern van zware sterren en een zwart gat met een massa rond een miljoen zonsmassa s. Zowel de schijf en de bult van de melkweg draaien rond. Sterren in de schijf bewegen op circulaire banen met een snelheid van 200 km/s, dus de Zon doet er zo n 250 miljoen jaar over vooraleer ze een volledige baan heeft voltooid. De sterren in de bult bewegen lukraak met snelheden van enkele tientallen km/s. De sterren in de metaalarme bolvormige sterclusters ondergaan geen globale rotatiebeweging rond de bult in het melkwegcentrum. Hun bewegingen zijn lukraak en hun banen vaak zeer excentrisch zodat ze het grootste gedeelte van de tijd ver boven de schijf doorbrengen maar er af en toe dwars doorheen vliegen. Op dat ogenblik verliezen ze hun gas, wat achterblijft in de schijf. De sterren worden algemeen opgedeeld in twee verschillende populaties, enerzijds volgens hun metaalgehalte en anderzijds volgens hun plaats en beweging in de melkweg (zie figuur 1.7). Populatie I sterren hebben een relatief hoge metalliciteit en zijn geconcentreerd rond het galactisch vlak. Zij volgen de rotatiebeweging van de melkweg. Populatie II sterren, daarentegen, hebben bijzonder lage metalliciteit. Zij bevinden zich op grote afstand van het galactisch vlak en bewegen lukraak in de ruimte. De interpretatie van deze opdeling in populaties is dat populatie II sterren gevormd werden vooraleer het materiaal in de melkweg ingestort is tot een schijf en dat populatie I sterren nadien geboren werden in de schijf. Vermits er een dikke en dunne schijf is, is de opdeling van sterren gevormd in de dikke schijf in termen van slechts twee populaties niet zo eenvoudig. We komen hierop terug aan het eind van de cursus wanneer we de chemische verrijking in melkwegstelsels beschrijven. De totale massa die zich in de melkweg bevindt bedraagt ongeveer M en de lichtkracht is ongeveer L. De massa in de halo bedraagt slechts 10 9 M. Echter, uit de beweging van clusters en sterren ver weg van de melkweg volgt dat de totale massa in onze melkweg veel meer moet zijn dan deze die we vinden op basis van de sterpopulatie. Men spreekt daarom van donkere materie en veronderstelt zonder grondige argumentatie dat deze zich vooral in een donkere halo zou bevinden. De zoektocht naar de ontbrekende donkere materie is een actief onderzoeksgebied in de huidige sterrenkunde. Voor een uitgebreide studie van ons melkwegstelsel verwijzen we naar het Leuvense Mastercollege The Milky Way Galaxy. 17

32 Figuur 1.8: Classificatieschema van melkwegstelsels. Voor een verklaring: zie tekst. 18

33 1.5 Melkwegstelsels in het Heelal Melkwegstelsels worden waargenomen als lichtwolkjes aan de hemel. Zij werden ontdekt in de jaren 1920 als nevels maar naarmate de telescopen beter in kwaliteit werden kon Edwin Hubble al gauw besluiten dat deze nevels uit individuele sterren bestaan. De diameter van een melkweg bedraagt typisch enkele duizenden lichtjaren. Elke melkweg bevat ruwweg tussen een miljoen en sterren. Bijna al het licht dat we van melkwegstelsels ontvangen wordt uitgezonden door hun sterren. Daarnaast bevatten melkwegstelsels ook gas en stofwolken. Melkwegstelsels worden ingedeeld volgens hun vorm in optisch licht. In figuur 1.8 tonen we het bekende classificatieschema van Hubble (aangepaste versie). Hoewel de grote melkwegen het meeste licht uitstralen, zijn de kleine dwergstelsels veruit dominant aanwezig in het Heelal. Elliptische melkwegstelsels E zijn egaal van vorm en vertonen weinig of geen structuren. Zij bevatten weinig koud gas waardoor er zich geen jonge blauwe sterren meer kunnen vormen. Hun helderste sterpopulatie bestaat vooral uit rode reuzen en AGB sterren. Zij komen vooral voor in grote clusters van melkwegstelsels en de grootsten onder hen, de cd stelsels, bevinden zich dan in de kern van de cluster. Hun sterren vertonen geen georganiseerde beweging, zoals rotatie, maar bewegen kris-kras door het stelsel. In minder heldere elliptische stelsels, echter, volgen de sterren een gezamelijke rotatiebeweging. De zwaksten van zulke stelsels splitst men op in twee groepen: dwergstelsels de en dwerg spheroïden dsph. Lenticulaire stelsels vertonen naast een centrale bult ook een roterende schijf. Zij worden aangeduid als SO en ze vormen de overgang tussen elliptische stelsels en spiraalstelsels. SOs hebben geen gas en stof maar wel een dunne en snelroterende schijf zoals de spiraalstelsels. Spiraalstelsels zijn goed waarneembaar dankzij hun straling bij blauwe golflengten afkomstig vanuit de spiraalarmen waarin zich O en B sterren bevinden tussen het gas en stof. Dit zijn gebieden waar efficiënt stervorming aan de gang is, nl. moleculaire wolken van H en H 2 zoals we reeds besproken hebben. Zowat de helft van de lenticulaire stelsels hebben een centrale balk. Men spreekt dan ook van de sequens van gebalkte systemen SBa,..., SBd parallel aan diegenen zonder balk. Deze rangschikt men dan nog van Sa tot Sd naar gelang de centrale bult meer of minder uitgesproken is t.o.v. de snelroterende schijf. Onze melkweg is van type Sc. De Sm en SBm stelsels, tenslotte, worden Magellaanse stelsels genoemd naar hun prototype, de Grote Magellaanse Wolk (LMC). De Magellaanse wolk zelf roteert met een gemiddelde snelheid van 80 km/s wat drie keer trager is dan onze eigen melkweg. Verder bestaan er ook kleine blauwe melkwegen zonder enige structuur. De kleinsten hieronder worden dwerg irregulairen genoemd. Zij verschillen van de dwerg spheroïden omdat ze jonge hete sterren en gas in zich hebben. In die zin zijn dwerg spheroïden dwerg irregulairen die hun gas reeds verloren hebben. Nog een ander type zijn de zogenaamde starburst melkwegen, waarin recente stervorming heeft plaatsgehad nadat gas werd uitgespuwd door supernova explosies. Het gas wordt vaak naar het centrum van de melkweg gezogen, waar vervolgens vele jonge sterren geboren worden en opeengestapeld zitten op een korte afstand (enkele pc). Zo ontstaan meervoudige episodes van efficiënte stervorming. Bij deze klasse beschouwt men ook de interagerende of samengesmolten melkwegen, waar de samenvoeging aanleiding kan zijn voor nieuwe stervormingsgebieden. 19

34 Het is duidelijk dat de melkwegen geen aparte eilandjes op zich zijn, maar dat ze elkaars evolutie beïnvloeden. De Lokale Groep, waartoe wij behoren, bestaat uit een veertigtal melkwegen gecentreerd rond de onze en Andromeda (onze dichtste zware buur) over een afstand van een megaparsec. Onze Melkweg heeft 11 gekende satellieten en Andromeda ongeveer evenveel. Verder bevinden er zich slechts één klein elliptisch stelsel en nog een aantal los bewegende stelsels in de Lokale Groep. De onderlinge gravitationele aantrekkingskracht binnen de Lokale Groep was duidelijk sterk genoeg om de globale expansie van het Heelal te overheersen. Zo naderen wij Andromeda met een snelheid van 120 km/s en bewegen de andere leden van de Groep met een snelheid die minder dan 60 km/s verschilt van de gezamelijke beweging van onze melkweg en Andromeda. Hierdoor hebben de melkwegen binnen de Lokale Groep een te lage kinetische energie om eruit te ontsnappen. Andere clusters van melkwegen in onze buurt zijn de Virgo en Coma clusters op respectievelijk 20 en 70 Mpc. Deze grote structuren vormen duidelijk grote complexen, terwijl het grootste gedeelte van het volume van het Heelal leeg is. Zowat de helft van alle stelsels bevinden zich in een cluster waarin de dichtheid groot genoeg is om de kosmologische expansie tegen te gaan. Het Heelal is inderdaad niet statisch maar expandeert: alle clusters van melkwegen bewegen weg van elkaar en dus ook weg van ons. Deze expansie is begonnen met de Big Bang. Deze vond vrij recent plaats, i.e. nog maar drie keer de leeftijd van de Aarde geleden. De classificatie van melkwegstelsels is op zich niet bijster interessant zonder daaraan een astrofysische studie te koppelen (net zoals sterclassficatie pas boeiend wordt wanneer blijkt dat deze classificaties een fysische betekenis hebben, zoals Cecilia Payne ze gevonden heeft). Wat de evolutie van melkwegstelsels betreft, is er enerzijds hun chemische evolutie, en anderzijds evolutie ten gevolge van hun dynamica. Wat het eerste betreft, de chemische evolutie wordt volledig gestuurd door de evolutie van de sterren die het stelsel uitmaken. Hier komen we uitvoerig op terug in Deel III van dit vak. Galactische dynamica van sterrenstelsels steunt op N-body simulaties en komt hier niet aan bod. We verwijzen hiervoor naar het Mastercollege Dynamics of Stellar Systems, wat gedoceerd wordt aan de Universiteit Gent en waartoe de Leuvense studenten uitgenodigd worden het daar te volgen in het kader van de Master in de Sterrenkunde van de K.U.Leuven. 1.6 Vervolg van de cursus Het hoofddoel van dit vak is om de evolutie van de objecten in het Heelal te begrijpen. We herhalen nogmaals dat deze evolutie vooral gestuurd wordt door de levensloop van de sterren. Daarom concentreren we ons in het vervolg van dit vak volledig op sterevolutie. Hierbij zullen we ons beperken tot enkelvoudige sterren. De evolutie van meervoudige sterren, in het bijzonder van dubbelsterren, verloopt anders wanneer het nauwe systemen betreft. Immers, getijdenkrachten beletten dan dat elk van de componenten evolueren alsof de begeleider er niet is en impliceren specifieke fenomenen zoals massa-overdracht tussen de componenten. Voor de beschrijving van de evolutie van meervoudige systemen moeten we voor vele fasen hoe dan ook teruggrijpen naar de evolutie van een enkelvoudige ster. De veralgemening van sterevolutie naar meervoudige systemen komt aan bod in het mastercollege Binary Stars. 20

35 Het theoretisch HR diagram wat de sterevolutie representeert werd reeds getoond op de voorpagina van de nota s. In abscis staat de effectieve temperatuur en in ordinaat vinden we de logaritme van de lichtkracht. De evolutiesporen voor sterren van verschillende massa zijn aangeduid. Het doel van de cursus is om de positie van de sterren en de evolutiesporen ervan, zoals aangeduid op de voorpagina, te begrijpen. Hiertoe dienen we eerst in te gaan op de inwendige structuur van sterren, wat het onderwerp is van Deel II van deze cursus. Eens we de basisbegrippen en -vergelijkingen die de sterstructuur beschrijven, behandeld hebben, zijn we in staat om de levensloop van een ster, weergegeven door de evolutiesporen in het HR diagram, te bestuderen zoals gebeurt voor sterren van verschillende massa in Deel III. 21

36 Op het World-Wide-Web zijn vele illustraties en foto s te vinden van sterren en melkwegstelsels in verschillende evolutiestadia. Deze illustraties verliezen veel van hun kwaliteit indien ze gecopieerd worden. Ik verwijs de lezer daarom naar het internet om deze illustraties op te zoeken en hun pracht te bewonderen. Enkele aanraders kan men vinden op : pictures.html Sommigen onder de professionele sterrenkundigen worden ook wel eens Archivaris van de Kosmos genoemd. De sterrenkunde is immers een vakgebied waarin erg veel belang gehecht wordt aan het documenteren en verzamelen van informatie en data in electronische vorm (zowel bekomen met telescopen en instrumenten vanop Aardse laboratoria als vanuit de ruimte met satellieten). Een must voor sterrenkundigen zijn de twee astronomische databases beschikbaar op het World-Wide-Web, met adressen service.html De eerste hiervan bevat alle internationaal gereviewde artikelen ooit gepubliceerd in de sterrenkunde en geeft links naar de tijdschriften. Men kan er zoeken op naam van een auteur, sternaam, tijdschrift, etc. De tweede is een database waarin men van elk gekend hemellichaam de bestaande gegevens kan raadplegen en eventueel opvragen. Wie zich verder wil specialiseren in de sterrenkunde, zal deze databases ongetwijfeld veel gaan gebruiken. Voor deze cursus is dat niet nodig, maar we willen de links toch al meegeven voor de nieuwsgierige student. 22

37 DEEL II : STERSTRUCTUUR 23

38

39 Hoofdstuk 2 Een eenvoudige toestandsfunctie: het ideaal gas met straling De beschrijving van de sterstructuur vereist de kennis over de eigenschappen van het stermateriaal. Dit hoofdstuk handelt over de thermodynamische eigenschappen van het stergas. De centrale onderstelling die we maken is dat in elk punt in de ster het gas zich in een toestand van thermodynamisch evenwicht bevindt. Het gevolg hiervan is dat we geen rekening hoeven te houden met de gedetailleerde reacties tussen de deeltjes, zoals de atomen, elektronen, ionen, fotonen,... welke de bouwstenen zijn van het gas. De gemiddelde eigenschappen van het gas kunnen hierdoor beschreven worden in termen van lokale toestandsvariabelen en de relaties tussen hen. Hierdoor zal het, bij gegeven temperatuur, dichtheid en chemische samenstelling, mogelijk zijn om alle andere toestandsvariabelen, zoals de druk en de inwendige energie, te bepalen. Het specifiëren van deze relaties omschrijft men als het bepalen van de toestandsfunctie van het gas. In dit hoofdstuk bespreken we één voorbeeld van een toestandsfunctie die bijzonder relevant is voor sterren. Andere realistische toestandsfuncties komen aan bod in Hoofdstuk 4. We halen nu eerst enkele basisbegrippen en basisrelaties van thermodynamica aan. 2.1 Inleiding tot de thermodynamica, toegepast op sterren De verandering van de toestand van het gas waaruit de ster is opgebouwd speelt een belangrijke rol tijdens de evolutie van de ster. De basisvergelijking die de verandering van de eigenschappen van het gas omschrijft is de eerste wet van de thermodynamica. We vatten nu de begrippen van de thermodynamica, die van belang zijn bij de bepaling van de inwendige structuur van sterren, samen. 25

40 2.1.1 Thermodynamisch evenwicht De klassieke thermodynamica heeft betrekking op systemen die een éénvormige temperatuur en scheikundige samenstelling hebben en die in mechanisch en thermodynamisch evenwicht zijn. Deze voorwaarden zijn over het algemeen niet voldaan in sterren. Onder mechanisch evenwicht verstaan we een toestand waarbij in elk punt de drukkracht gecompenseerd wordt door de som van alle agerende krachten. In de sterrenkunde spreken we in dit geval van hydrostatisch evenwicht. We beschouwen nu een volume bestaande uit straling en materie dat adiabatisch ingesloten is. Dit betekent dat er geen uitwisseling van warmte mogelijk is met de omgeving. Wanneer naast mechanisch evenwicht een éénvormige temperatuur in het volume heerst, spreken we van mechanisch en thermisch evenwicht. In het algemeen bestaat het systeem uit reagerende elementen waarvan de concentratie kan veranderen in de loop van de tijd door het optreden van scheikundige reacties. Wanneer de dichtheid en de temperatuur constant blijven, streven de relatieve concentraties van de deeltjes naar een evenwichtswaarde. Men spreekt in dat geval van scheikundig evenwicht. Wanneer zowel scheikundig als thermisch evenwicht bereikt is, ondergaat het systeem geen veranderingen meer. Men spreekt dan van thermodynamisch evenwicht. Alhoewel de klassieke thermodynamica niet strikt geldig is in sterren, kan ze toch gebruikt worden voor de beschrijving van de sterstructuur. De reden is dat de ster kan opgedeeld worden in een groot aantal lagen, die elk dun genoeg genomen worden opdat voldaan is aan de eigenschappen van evenwicht in de zin van de klassieke thermodynamica. Men spreekt in de sterrenkunde in dit geval van een toestand van lokaal thermodynamisch evenwicht, of LTE. Indien LTE een goede benadering is, dan zijn de basiswetten van de klassieke thermodynamica van toepassing in elke sterlaag, ondanks het feit dat de ster in haar geheel niet in thermodynamisch evenwicht is De eerste wet van de thermodynamica We beschouwen de arbeid die verbonden is met een volumeverandering van een systeem. Stel P gelijk aan de druk aan het oppervlak van het systeem. Het systeem ondergaat nu een oppervlaktevariatie. De arbeid verricht door de druk op een eenheidsoppervlak bedraagt dw = P dv. In de sterrenkunde gebruikt men de arbeid per eenheid van massa w, door invoering van het soortelijk volume v = 1/ρ. v is met andere woorden het volume ingenomen door één eenheidsmassa. We bekomen dan dw = Pdv. We beschouwen nu een infinitesimale thermodynamische transformatie van het systeem. Hiermee bedoelen we een infinitesimale variatie van de druk, de dichtheid en de temperatuur. Definieer dq als de hoeveelheid warmte die per eenheidsmassa opgeslorpt wordt door het systeem en dw de arbeid verricht per eenheidsmassa door het systeem. De eerste wet van de thermodynamica stelt dat de differentiaal du dq dw een totale differentiaal is. De eerste wet laat bijgevolg toe een functie u te definiëren, die we de 26

41 inwendige energie per eenheidsmassa van het systeem noemen. De inwendige energie van het systeem kan bijgevolg gewijzigd worden door arbeid te verrichten of door warmtetoevoer of -afvoer. Anders geformuleerd geeft de eerste wet van de thermodynamica het verband tussen de toegevoegde warmte dq, de inwendige energie u en het specifiek volume v = 1/ρ (elk gedefinieerd per eenheidsmassa): dq = du + Pdv. (2.1) Een adiabatisch proces is een proces dat zodanig plaatsgrijpt dat er geen warmte het systeem binnendringt of verlaat: dq = 0. Voor een adiabatisch proces is de verandering van de inwendige energie dus tegengesteld aan de arbeid verricht door het systeem. Wanneer dw negatief is, zoals bij een samendrukking, dan neemt de inwendige energie toe, wat meestal gepaard gaat met een temperatuurstoename. Anderzijds impliceert dw > 0 een afname van de inwendige energie, gepaard gaand met een temperatuursdaling. Wanneer een proces zoals samendrukking of uitzetting vlug verloopt zal het ongeveer adiabatisch zijn omdat de warmtetoevoer of -afname zeer traag verloopt. Wanneer bij een adiabatisch proces tevens geen arbeid geleverd wordt, dan verandert de inwendige energie van het systeem niet. Het is echter best mogelijk dat er zich wel wijzigingen in P, ρ, T voordoen De entropie Onderstel dat een systeem een opeenvolging van toestanden van thermodynamisch evenwicht doorloopt. Men spreekt dan van een quasi-statische transformatie. Zulk een quasi-statische transformatie noemt men een reversibele transformatie wanneer er gedurende de transformatie geen energie verloren gaat door effecten zoals wrijving. Een reversibele transformatie kan bijgevolg doorlopen worden in twee tegengestelde richtingen. We laten nu het systeem een reversibele cyclus doorlopen, eerst in de ene richting, dan in de tegengestelde richting. We kennen dan een toestandsfunctie s toe aan het systeem, gegeven door ds dq/t. s noemt men de entropie van het systeem, en is tevens gedefinieerd per eenheidsmassa. Uit de eerst wet volgt dat ds ook een totale differentiaal is, gegeven door du/t + P/Tdv. De entropie van een systeem is slechts gedefinieerd voor toestanden van thermodynamisch evenwicht. We kunnen bovendien uit de eerste wet slechts de variatie van de entropie bepalen. We benadrukken dat de betrekking du = Tds Pdv geen variatie in scheikundige samenstelling onderstelt De soortelijke warmten Vanuit wiskundig standpunt is het invoeren van algemene soortelijke warmten c α ( ) q T α (2.2) 27

42 zinvol. De betekenis van c α is de volgende: c α is de hoeveelheid warmte die een systeem moet opslorpen om de temperatuur één eenheid te doen stijgen. Vanuit fysisch standpunt werkt men slechts met twee soortelijke warmten: ( ) ( ) ( ) dq u v c P = + P, dt P T P T P ( ) ( ) (2.3) dq u c v =. dt v T v We zoeken nu een verband tussen c P en c v. Hiertoe beschouwen we algemene toestandsfuncties ρ = ρ(p, T) en u = u(ρ, T). In het algemeen hangen ρ en u ook af van de chemische samenstelling, maar die veronderstellen we hier constant. We definiëren vervolgens de afgeleiden: ( ) ( ) lnρ v α, δ lnp ( lnρ lnt De toestandsvergelijking kan dan geschreven worden als T ) = P v P = T v P ) ( v T T P. (2.4) dρ ρ = αdp P δdt T. (2.5) We gebruiken nu (2.1) en du = ( ) u dv + v T om de verandering ds = dq/t van de specifieke entropie te bepalen: ds = dq T = 1 T [( ) ] u + P dv + 1 v T T ( ) u dt (2.6) T v ( ) u dt. (2.7) T v Vermits ds een totale differentiaal is, geldt 2 s/ T v = 2 s/ v T. We passen dit toe op de vorige vergelijking en bekomen zo [ ( ) 1 u + P ] = 1 2 u T T v T T T T v. (2.8) Na het uitvoeren van de differentiatie in het linkerlid bekomen we ( ) ( ) u P = T P. (2.9) v T Deze relatie wordt de reciprociteitsrelatie genoemd. T Om c P c v te bekomen leiden we vervolgens eerst een uitdrukking af voor ( u/ T) P waarbij we P en T als onafhankelijk veranderlijken nemen. Uit (2.6) volgt dat ( ) du u dt = + T v 28 v ( ) u v T dv dt, (2.10)

43 en zodoende ( ) u T P = ( ) u + T v ( ) u ( ) v v T T P = ( ) ( ) [ ( ) ] u v P + T P, (2.11) T v T P T v waarbij we gebruik gemaakt hebben van (2.9). Dit laatste resultaat levert, samen met de definitie van de soortelijke warmten, volgend resultaat: c P c v = T Anderzijds kunnen we uit de definitie van α en δ volgend resultaat afleiden: ( ) P T v = ( ) ( ) v P. (2.12) T P T v ( ) v T ( ) P v P T Gebruik makend van T( v/ T) P = vδ = δ/ρ bekomen we tenslotte de basisrelatie = Pδ Tα. (2.13) c P c v = Pδ2 Tρα. (2.14) We stellen vast dat het verschil van de soortelijke warmten volledig te bepalen is uit afgeleiden van de toestandsfunctie. We wensen nu de eerste wet van de thermodynamica om te vormen in termen van de variatie van de druk en temperatuur. We schrijven daartoe eerst dq = du + Pdv = ( ) u dt + T v [( ) ] u + P dv. (2.15) v T Gebruik makend van achtereenvolgens (2.9), de definitie van v en (2.13) vinden we dan dq = ( ) ( ) ( ) u P P 1 dt + T dv = c v dt T T v T v T v ρ 2dρ = c vdt Pδ dρ ρα ρ, (2.16) wat op zijn beurt kan herschreven worden als dq = c v dt Pδ ( α dp ρα P δdt T ) ( = c v + Pδ2 Tρα ) dt δ dp. (2.17) ρ We bekomen dan tenslotte, via (2.14) dq = c P dt δ dp. (2.18) ρ Voor adiabatische transformaties blijft de entropie constant ds = dq/t = 0. We definiëren nu de adiabatische temperatuursgradiënt ad als volgt : ad ( ) lnt, (2.19) lnp s 29

44 waarbij de benedenindex s aanduidt dat de definitie geldt voor constante entropie. Uit (2.18) leiden we af dat (dt/dp) s = δ/ρc P. Hieruit volgt een uitdrukking voor ad : ( P ad = T ) dt = Pδ. (2.20) dp s Tρc P ad omschrijft de temperatuursvariatie die de deeltjes in een massa-element van een systeem ondervinden wanneer dit element een drukvariatie ondergaat ten gevolge van adiabatische expansie. Dit is een expansie waarbij geen warmte-uitwisseling met de omgeving optreedt. Wat er gebeurt is het volgende: massaelementen die diep in de ster verhit worden stijgen op omdat ze, door hun lagere dichtheid, lichter zijn dan diegenen in hun omgeving. Door dit opstijgen komen de massa-elementen in hogere lagen waar de dichtheid kleiner is en daardoor zetten ze uit. Door het uitzetten van de massa-elementen daalt de temperatuur van het gas. ad geeft weer wat de waarde is van deze temperatuursvariatie. Zowel de druk als de temperatuur nemen af naar buiten toe. De waarde van de afname van de druk volgt uit de vergelijking van hydrostatisch evenwicht (zie verder) en eens we die bepaald hebben kunnen we ad bepalen. 2.2 Het ideaal gas met straling Het klassiek ideaal gas in sterren De onderstelling van thermodynamisch evenwicht onderstelt impliciet dat de condities in het gas niet merkelijk veranderen over een gemiddelde vrije weglengte en gedurende de gemiddelde tijd tussen twee botsingen van de gasdeeltjes. Hierbij bedoelen we met een gasdeeltje niet enkel de materiaaldeeltjes zoals de atomen of elektronen, maar evenzeer de fotonen. De voorwaarde van thermodynamisch evenwicht is zeer goed voldaan in sterinwendigen, waar de dichtheid groot is. Ze is niet meer geldig in the steratmosfeer. Een aanzienlijke vereenvoudiging ontstaat wanneer we de hoge temperaturen in de sterinwendigen in rekening brengen. Immers, in de meeste sterren kan het gas beschouwd worden als volledig geïoniseerd, m.a.w. enkel bestaande uit kernen en vrije elektronen zonder interne vrijheidsgraden die niet met elkaar reageren. Zulk een gas noemt men een ideaal gas. De welgekende vorm van de ideale gaswet voor de gasdeeltjes van één bepaald type in een tank luidt : PV = NkT, (2.21) met P de druk in de tank, V het volume van de tank, N het aantal gasdeeltjes in de tank, T de temperatuur in de tank en k de constante van Boltzmann (zie Bijlage B), gegeven door R/N A met R de gasconstante en N A = g/m u (waarbij m u uitgedrukt dient te worden in gram) het getal van Avogadro. Omdat we in stermiddens moeilijk de hoeveelheid deeltjes in de tank kunnen specifiëren, verkiezen we om te werken met dichtheden. Wanneer we het aantal deeltjes per eenheid van volume voorstellen door n = N/V, dan kunnen we de ideale gaswet ook schrijven als P = n R N A T = nm u RT. (2.22) 30

45 We definiëren nu het moleculair gewicht µ als de deeltjesmassa uitgedrukt in m u (dimensieloze grootheid). De dichtheid van het stermateriaal is niets anders dan het product van het aantal deeltjes per eenheid van volume, met de massa van de deeltjes. We vinden zo de betrekking nm u = ρ/µ. Uiteindelijk bekomen we dan voor de ideale gaswet: P = R ρt. (2.23) µ Dit is de gebruikelijke vorm van de toestandsfunctie van een ideaal gas bestaande uit één type deeltjes in de sterrenkunde Het gemiddeld moleculair gewicht In het sterinwendige nabij de sterkern is alle materie geïoniseerd. Dit wil zeggen dat er per waterstofatoom één vrij elektron is en voor elk helium atoom twee vrije elektronen. We hebben dus in werkelijkheid een gasmengsel bestaande uit twee type deeltjes, de ionen (die op hun beurt bestaan uit verschillende componenten - protonen en neutronen) en de vrije elektronen. Dit mengsel is opnieuw een ideaal gas indien elk van de twee componenten voldoet aan de ideale gaswet. De samenstelling van sterren is uiterst eenvoudig in vergelijking met diegene van materialen op Aarde. Vanwege de hoge druk en temperatuur bestaat het sterinwendige bijna volledig uit geïoniseerde materie. In zulk een midden volstaat het om de verschillende typen kernen, die we voortaan deeltjes noemen, te beschrijven. Aan elk type deeltje kennen we een index i toe. Met X i duiden we de relatieve massa-abondantie van deeltjes van type i aan, d.w.z. de fractie van één eenheid van massa die bestaat uit deeltjes van type i. Hieruit volgt dat X i = 1. (2.24) i De chemische toestand van het gasmengsel bestaande uit volledig geïoniseerde kernen en vrije elektronen wordt beschreven door alle X i te specifiëren, welke een moleculair gewicht µ i en een lading Z i hebben. Voor n i deeltjes per volume met deeltjesdichtheid ρ i hebben we X i = ρ i /ρ en n i = ρ i = ρ X i. (2.25) µ i m u mu µ i We verwaarlozen de massa van de elektronen t.o.v. de massa van de ionen (consulteer Bijlage B voor de massa van beiden). De totale druk P van het gasmengsel is de som van de partiële drukken: P = P e + i P i = ( n e + i n i )kt, (2.26) waarbij P e de druk is van de vrije elektronen, P i de partiële druk is tengevolge van de deeltjes van type i en waarbij we gebruikten dat elk van de componenten een ideaal gas is. De bijdrage van één volledig 31

46 geïoniseerd atoom van type i tot het totaal aantal deeltjes (kern en Z i vrije elektronen) bedraagt 1 + Z i waaruit n = n e + n i = (1 + Z i )n i. (2.27) i i Deze uitdrukking geeft samen met (2.25) en (2.26) volgende nieuwe uitdrukking voor de totale druk P = R i X i (1 + Z i ) µ i ρt. (2.28) Dit resultaat kan in de eenvoudige vorm (2.23) gebracht worden wanneer we het gemiddeld moleculair gewicht ( ) 1 X i (1 + Z i ) µ (2.29) µ i i invoeren. Hierdoor kunnen we een gasmengsel bestaande uit componenten die zelf een ideaal gas zijn, behandelen als een uniform ideaal gas. We dienen hiervoor enkel het moleculair gewicht µ in (2.23) te vervangen door het gemiddeld moleculair gewicht µ. De definitie van het gemiddeld moleculair gewicht kan gemakkelijk aangepast worden voor een neutraal gas waarbij alle elektronen zich nog in de atomen bevinden. In dit geval vervangen we de factor 1+Z i simpelweg door 1. We kunnen met onze beschrijving dus alle situaties met volledig geïoniseerde materie of met niet-geïoniseerde materie behandelen. Het gemiddeld moleculair gewicht is afhankelijk van de chemische samenstelling. Beschouwen we een chemische samenstelling bestaande uit een fractie X aan waterstof, Y aan helium en Z aan zware elementen zodat X +Y +Z = 1. De fractie aan zware elementen is algemeen afkomstig van j verschillende elementen: Z = j Z j, welke massagetal A j hebben. Het gemiddeld aantal vrije elektronen dat vrijkomt wanneer deze zware elementen met fractie Z j volledig geïoniseerd zijn bedraagt A j /2. Wanneer alle atomen geïoniseerd zijn bekomen we voor het gemiddeld moleculair gewicht volgende uitdrukking: X(1 + 1) Y (1 + 2) µ = + + ( ) Zj (1 + A j /2) 1. (2.30) 1 4 A j j In de praktijk laat men alle termen Z j /A j wegvallen, omdat hun bijdrage verwaarloosbaar klein is (bedenk dat Z 2 3%). We bekomen dan ( µ = 2X + 3Y ) 1 ( 3X 2 (1 X Y ) = 2 + Y ) 1. (2.31) 2 In de centrale lagen van een pasgeboren ster zoals de Zon (X = 0.717, Y = 0.270, Z = 0.013) vinden we dan µ = In het geval van zuiver, volledig geïoniseerd waterstof vinden we µ = 1/2. Voor een volledig geïoniseerd heliumgas vinden we daarentegen µ = 4/3. Wanneer we te maken hebben met een neutraal gas, verkrijgen we µ = X 1 + Y 4 + j 32 1 Z j A j, (2.32)

47 wat zich herleidt tot µ = ( X + Y 4 ) 1 (2.33) wanneer opnieuw alle bijdragen Z j /A j verwaarloosd worden. Voor de buitenste sterlagen van de Zon vinden we zo µ = In de praktijk zal de buitenkant van de ster geen geïoniseerd gas bevatten. Anderzijds zullen alle atomen in de binnenlagen volledig geïoniseerd zijn. Er bestaat ergens in de ster een kritische laag waar zowel geïoniseerd als niet-geïoniseerd materiaal van een scheikundig element optreedt. Men spreekt van een partiële ionisatielaag. Zo vereist de ionisatie van waterstof 13.6 ev. De eerste ionisatie van helium vereist 24.6 ev. Hieruit leiden we af dat de eerste partiële ionisatielaag van helium dieper in de ster ligt dan de partiële ionisatielaag van waterstof. Analoog ligt de tweede partiële ionisatielaag van helium dieper in de ster dan de eerste partiële ionisatielaag. Wanneer de temperatuur hoger is dan ruwweg K is alle waterstof en helium volledig geïoniseerd. In het geval dat het stermateriaal partieel geïoniseerd is moeten we rekening houden met de verschillende ionisatiegraden bij de bepaling van µ en kunnen we deze grootheid niet meer analytisch uitrekenen. In het algemeen wordt de verhouding van het aantal deeltjes in de (r + 1)-de ionisatietoestand tot het aantal deeltjes in de r-de ionisatietoestand beschreven door de ionisatiewet van Saha: N r+1 = 1 ( ) 2U r+1 2πme kt 3/2 N r N e U r h 2 exp[ χ r /kt], (2.34) met N e de elektronendichtheid, m e the massa van het elektron, χ r de energie nodig om een deeltje in toestand r te ioniseren tot toestand r + 1, en U r+1 en U r de zogenaamde toestandssommen van de ionisatietoestanden r + 1 en r. Deze laatsten vinden we uit de Boltzmann verdeling: n r,s N r = g r,s U r exp[ χ r,s /kt], (2.35) met n r,s het aantal deeltjes per cm 3 in niveau s van ionisatietoestand r, g r,s het statistisch gewicht van dat niveau en χ r,s de excitatie energie van dat niveau gemeten vanaf de grondtoestand (r, 1), N r s n r,s de totale deeltjesdichtheid in alle niveaus van ionisatietoestand r, en U r : U r s g r,s exp[ χ r,s /kt]. (2.36) De excitatie-energie χ r,s is het energieverschil tussen het aangeslagen niveau (r, s) en de grondtoestand (r, 1). De statistische gewichten g r,s meten de ontaarding van de niveaus ten gevolge van magnetisch fijnsplitsing. Bij afwezigheid van een magneetveld zijn deze gelijk aan twee (spin up of down voor het proton of elektron). We merken nog op dat het gemiddeld moleculair gewicht verandert tijdens de evolutie van de ster, vermits de onderlinge fracties X, Y, Z veranderen ten gevolge van de kernreacties. Het gemiddeld moleculair gewicht verandert tijdens de evolutie laag per laag, omdat de snelheid van de kernreacties enorm temperatuursgevoelig is. Hierdoor bouwt de ster tijdens haar leven in haar diepste lagen een gradiënt van µ op. 33

48 We wensen tenslotte voor een latere toepassing het gemiddeld moleculair gewicht per vrij elektron µ e te bepalen. Voor een volledig geïoniseerd gas draagt elke kern i, Z i vrije elektronen bij en krijgen we ( ) 1 µ e = X i Z i /µ i. (2.37) i Vermits voor alle elementen zwaarder dan helium de benadering µ i /Z i 2 goed is vinden we µ e = ( X Y (1 X Y ) ) 1 = X. (2.38) De inwendige energie van een ideaal gas Uitdrukking (2.14) reduceert zich voor een ideaal gas (α = δ = 1) tot het welgekende resultaat c P c v = R/µ, waaruit we afleiden dat c P > c v. Merk op dat men in de klassieke thermodynamica voor een ideaal gas c P c V = R vindt. Dat wij hier een factor 1/µ vinden is een gevolg van het feit dat we in de sterrenkunde werken per eenheid van massa. Uit de reciprociteitsrelatie vinden we dat ( ) u v T = 0. (2.39) Hieruit leiden we af dat de inwendige energie van een ideaal gas alleen een functie van de temperatuur is. De verdeling van de snelheid v in een ideaal gas bestaande uit klassieke deeltjes (we verwaarlozen nu dus relativistische effecten) wordt gegeven door de Maxwell verdelingsfunctie : f(v) = 4πv 2 ( m 2πkT ) ) 3/2 exp ( mv2, (2.40) 2kT met m de massa van het deeltje. Deze verdelingsfunctie is zodanig gedefinieerd dat f(v)dv de kans voorstelt dat het deeltje een snelheid heeft gelegen tussen v en v + dv. De functie f is genormeerd zodat f(v)dv = 1. (2.41) 0 Het maximum van de verdeling, m.a.w. de meest waarschijnlijke snelheid, wordt gegeven door 2kT/m. Daarentegen is de gemiddelde snelheid gelijk aan < v >= 0 vf(v)dv = en de gemiddelde kwadratische snelheid wordt gegeven door < v 2 >= 0 ( ) 8kT 1/2 (2.42) πm v 2 f(v)dv = 3kT m. (2.43) 34

49 Uit deze vergelijking leiden we af dat de gemiddelde kinetische energie per deeltje gelijk is aan 3kT/2. De gemiddelde kinetische energiedichtheid, welke de gemiddelde hoeveelheid kinetische energie per eenheid van massa is, wordt zodoende gevonden door 3kT/2 te delen door de gemiddelde massa van een deeltje. Deze gemiddelde massa is niets anders dan µm u, zodat we een gemiddelde kinetische energiedichtheid gelijk aan 3kT/2µm u bekomen. Vermits k/m u = R vinden we uiteindelijk 3RT/2µ voor de gemiddelde kinetische energiedichtheid per eenheidsmassa. De inwendige energie van het ideaal gas wordt algemeen gegeven door de som van de kinetische energie van thermische beweging en de ionisatie-energie. Een volledig geïoniseerd gas of een volledig neutraal gas hebben geen ionisatie-energie. In dit geval bekomen we uiteindelijk dat de inwendige energie van het gas gegeven wordt door u = 3RT 2µ. (2.44) De gemiddelde inwendige energie per eenheidsmassa is dan gelijk aan 3P/2ρ in de limiet van een klassiek ideaal gas bestaande uit éénzelfde type deeltjes. Uit de uitdrukking voor u vinden we meteen ( ) u c v = = 3 R T v 2 µ. (2.45) Vervolgens levert c P c v = R/µ dan waaruit we afleiden dat c P = 5 R 2 µ, (2.46) γ c P c v = 5 3. (2.47) We vinden dan ad = 2/5 voor een ideaal gas dat volledig bestaat uit hetzij volledig geïoniseerde materie hetzij neutrale atomen. Dit betekent dat de temperatuursvariatie van een ideaal gas dat adiabatische compressie ondergaat verloopt volgens T P 2/5. Voor een ideaal gas kunnen we de druk-, volume- en dichtheidsvariaties als volgt met elkaar verbinden: dp P = c P c v dv v = γdv v = γdρ ρ, (2.48) wat ook als volgt kan geschreven worden ( ) ( ) lnp lnp = γ ; = γ ( ) lnt lnρ s lnt s γ 1 ; = γ 1. (2.49) lnρ s Deze uitdrukkingen zijn enkel geldig wanneer de beweging van de gasdeeltjes de enige bijdrage tot de interne energie leveren, zoals het geval is voor een volledig geïoniseerd of volledig neutraal ideaal gas. De uitdrukkingen zijn niet geldig onder meer algemene omstandigheden. Toch blijft het voor zulke meer algemene condities nuttig om de adiabatische variaties door gelijkaardige vergelijkingen te definiëren. Men voert daarom de volgende algemene adiabatische exponenten in : Γ 1 ( d lnp d lnρ ) s, ( Γ 2 d lnp Γ 2 1 d lnt 35 ) s, Γ 3 ( ) d lnt + 1, (2.50) d lnρ s

50 welke voldoen aan de relatie Γ 1 Γ 3 1 = Γ 2 Γ 2 1. (2.51) Deze definities steunen op geen enkele onderstelling wat de toestandsfunctie betreft. Voor een volledig geïoniseerd ideaal gas geldt uiteraard Γ 1 = Γ 2 = Γ 3 = 5/3. We definiëren tenslotte de isotherme geluidssnelheid a door a 2 R T. (2.52) µ In het geval van een isotherm ideaal gas kunnen we de ideale gaswet dus tevens als volgt formuleren: P = a 2 ρ, (2.53) waarbij a constant is. We zullen van deze formulering gebruik maken bij de beschrijving van het stervormingsproces (zie Deel III van de cursus) De bijdrage van het fotonengas Tengevolge van de hoge temperaturen in sterinwendigen dragen de fotonen aanzienlijk bij tot de druk en de inwendige energie van het gas. De druk in een ster bestaat daarom niet enkel uit de gasdruk maar heeft ook een component te wijten aan de druk van het fotonengas. Deze stralingsdruk bedraagt in de sterkern van alle sterren, en ook in de fotosfeer van hete zware sterren, zelfs een aanzienlijke fractie van de totale druk. De straling kan zeer goed benaderd worden door diegene geldig voor een zwarte straler. De energiedichtheid van een zwarte straler wordt beschreven door de stralingswet van Planck (zie ook Bijlage A): u ν (T) = 2hν3 c 2 (exp(hν/kt) 1) 1. (2.54) Vermits de fotonen een impuls met zich meedragen, heerst er een druk die verbonden is met de straling. Deze stralingsdruk wordt gegeven door P rad = at 4 /3 met a de stralingsconstante (zie Bijlage A). De energiedichtheid per eenheid van massa die overeenstemt met deze stralingsdruk bedraagt u = at 4 /ρ = 3P rad /ρ. We stellen dus vast dat de energiedichtheid per eenheidsmassa 3P/2ρ bedraagt voor een nietrelativistisch ideaal gas en 3P/ρ voor een relativistisch fotonengas. Volgens de wet (2.1) volgt dat voor een adiabatische variatie van een fotonengas ( ( ) ( ( 1 P = dq = du + Pdv = du + Pd = 3d + Pd = 4Pd + ρ) ρ ρ) ρ) 3 dp = 4P ρ ρ 2 dρ + 3 ρ dp. (2.55) Hieruit volgt Γ 1 = 4/3. Anderzijds vinden we 0 = dq = d ( ) at 4 ρ + 1 ( 1 3 at 4 d = ρ) 4aT 4 3ρ 36 4aT 3 dρ + dt, (2.56) 2 ρ

51 waaruit we afleiden dat Γ 3 = 4/3. Uit (2.51) vinden we dan tevens Γ 2 = 4/3. Wanneer het systeem bestaat uit een mengsel van deeltjes die zich gedragen als een ideaal gas en als straling, dan wordt de totale druk gegeven door P = P gas + P rad = R µ ρt + a 3 T 4. (2.57) Vaak definieert men een maat voor de bijdrage van de stralingsdruk door β P gas /P in te voeren, wat equivalent is met 1 β = P rad /P. Voor β = 0 is de gasdruk nul en voor β = 1 is de stralingsdruk nul. Het vastleggen van een waarde voor β komt dan overeen met het vastleggen van een onderling verband tussen de gas- en stralingsdruk. β verandert wanneer we van het sterinwendige naar het steroppervlak gaan. Voor sterren met M 10M is β 0 in de gehele ster, zelfs nabij het steroppervlak. Voor heel zware sterren is P gas zelfs te verwaarlozen ten opzichte van P rad. Anderzijds is P rad te verwaarlozen nabij het steroppervlak voor sterren zoals de Zon of koeler. 37

52 38

53 Hoofdstuk 3 De mechanische basisvergelijkingen die de sterstructuur beschrijven In dit hoofdstuk bespreken we de vergelijkingen die relevant zijn voor de kennis van de sterstructuur. Bij het afleiden en oplossen van deze vergelijkingen zullen we gebruik maken van enkele van de thermodynamische relaties besproken in het vorig hoofdstuk. 3.1 Coördinaten Euleriaanse beschrijving Beschouw een gasvormige enkelvoudige ster die traag roteert en geen magneetveld heeft. De krachten die heersen op een massa-element zijn dan enkel afkomstig van de druk en van de gravitatie. Alle functies zijn in dit geval constant in concentrische sferen en één ruimtelijke variabele volstaat om deze functies te beschrijven. De afstand r, gemeten vanaf het stercentrum, is een natuurlijke keuze voor deze ruimtelijke coördinaat. Deze afstand r kan variëren van r = 0 tot r = R, waarbij R de totale straal van de ster is. De onderstelling dat de ster geen magneetveld heeft is volledig gerechtvaardigd voor de studie van de sterevolutie. Daar waar magneetvelden aanleiding kunnen geven tot spectaculaire fenomenen aan het zonsoppervlak, zoals zonnevlammen en coronale massa-ejecties, spelen deze effecten geen rol voor het leven van het gros van de sterren, omdat ze geheel beperkt blijven tot het steroppervlak, daar waar de sterevolutie gedirigeerd wordt door de inwendige processen. We kunnen dus gerust de Lorentzkracht verwaarlozen voor de beschrijving van sterevolutie, behalve dan voor enkele uitzonderlijke sterren met een erg sterk magnetisch veld. Daar waar magnetische velden een rol spelen in sterevolutie, zullen we dit expliciet vermelden. De onderstelling dat de ster traag roteert is helaas veel minder te rechtvaardigen, omdat metingen ons tonen dat sommige sterren aan hun oppervlak ronddraaien met een grote fractie van hun kritische snelheid. In zulke 39

54 situatie kunnen de effecten van de Coriolis- en centrifugaalkrachten aanzienlijk zijn. In eerste instantie zullen wij deze effecten toch verwaarlozen. Dit brengt nl. een grote mathematische vereenvoudiging met zich mee, omdat we dan stermodellen kunnen beschouwen die slechts afhangen van één ruimte-coördinaat. Dit is niet langer het geval wanneer de sferische symmetrie van de ster niet meer bewaard blijft, i.e. wanneer de ster afgeplat is door rotatie. Een andere reden om rotatie in eerste instantie niet mee te nemen in de beschrijving van de sterstructuur, is dat we slechts heel geringe kennis hebben over de interne rotatiewet in sterren, terwijl het precies dat is wat van belang is voor het leven van de ster. Zoals aangetoond wordt in het college Asteroseismology is de onderstelling van starre rotatie in het diepste van de ster niet gerechtvaardigd voor alle sterren, maar wel voor de Zon. Vermits we geen goede stervormingstheorie voorhanden hebben die ons algemeen leert hoe het sterinwendige ronddraait bij de geboorte van een ster, verkiezen we om de rotatie niet in rekening te brengen, eerder dan dit te doen met een ad-hoc onderstelling. Voor de meeste sterren is deze benadering goed. De pientere student zal zich telkenmale de vraag stellen of een bekomen resultaat al dan niet robuust is t.o.v. de onderstelling van trage rotatie. Om de evolutie van de functies in de tijd te beschrijven roepen we de tijdcoördinaat t in. Maken we gebruik van de twee onafhankelijk veranderlijken r en t, dan gebruiken we de Euleriaanse beschrijvingswijze. Alle andere veranderlijken worden vervolgens bepaald in functie van r en t. Een voorbeeld is de dichtheid ρ = ρ(r, t). We wensen nu het effect van de massaverdeling in de ster op het gravitatieveld te beschrijven. Hiertoe definiëren we de functie m(r, t) als de massa bevat in een sfeer met straal r op tijdstip t. m varieert als volgt volgens r en t: dm = 4πr 2 ρdr 4πr 2 ρvdt. (3.1) De eerste term in het rechterlid van vergelijking (3.1) is de massa bevat in een sferische schil met dikte dr (zie figuur 3.1). Deze term drukt de variatie van m(r, t) uit ten gevolge van een variatie van r bij constante t: m r = 4πr2 ρ. (3.2) Vergelijking (3.2) is de eerste van de basisvergelijkingen die de sterstructuur bepalen in de Euleriaanse beschrijving. De tweede term in het rechterlid van vergelijking (3.1) geeft de sferisch symmetrische massastroom doorheen de sfeer met constante straal r weer, ten gevolge van een buitenwaarts gerichte radiale snelheid v in het tijdsinterval dt: m t = 4πr2 ρv. (3.3) Leiden we nu uitdrukking (3.2) af naar t en uitdrukking (3.3) naar r, en stellen we beide uitdrukkingen gelijk aan elkaar, dan bekomen we de welbekende continuïteitsvergelijking voor sferische symmetrie: ρ t = 1 (ρr 2 v) r 2. (3.4) r 40

55 Figuur 3.1: We gebruiken de massa binnen de sfeer met straal r als onafhankelijk veranderlijke bij de beschrijving van de vergelijkingen die de sterstructuur bepalen Lagrangiaanse beschrijving Zoals later zal blijken is het voor een sferisch symmetrische ster vaak handiger om met een Lagrangiaanse coördinaat te werken in plaats van de Euleriaanse coördinaat r. Deze ruimtelijke coördinaat is er dan één die verbonden is met een massa-element en die niet verandert in de loop van de tijd. We karakteriseren in deze beschrijving een massa-element door m, welke de massa is bevat in een concentrische sfeer op een gegeven ogenblik t 0. De nieuwe onafhankelijk veranderlijken zijn dan m en t en alle andere grootheden worden in termen van deze veranderlijken geschreven. Een voorbeeld is weerom de dichtheid ρ = ρ(m, t), en nu ook de afstand r van het massa-element tot het stercentrum: r = r(m, t). In het stercentrum hebben we m = 0 en aan het oppervlak m = M, de totale massa van de ster. Dit voorbeeld toont reeds een enorm voordeel van de Lagrangiaanse beschrijving: in tegenstelling tot de erg veranderende waarde van de straal R in de tijd tijdens het leven van de ster varieert de onafhankelijk veranderlijke m in goede benadering steeds over het constante interval [0, M]. Er bestaat een éénduidig verband tussen de coördinaten r en m. Voor de partiële afgeleiden naar beide veranderlijken bestaan de volgende formules: m = r m. r, ( ( ) r =. t) ( ) (3.5) t r +. t Passen we nu de eerste van deze afgeleiden toe op m, dan bekomen we m m 1 = m r. r m, 41 r

56 wat door invullen van betrekking (3.2) de volgende vergelijking oplevert: r m = 1 4πr 2 ρ. (3.6) Deze differentiaalvergelijking beschrijft het ruimtelijk gedrag van de functie r(m, t). Ze vervangt vergelijking (3.2) en is de eerste basisvergelijking in de Lagrangiaanse beschrijving. Tevens vinden we door substitutie van deze vergelijking in de bovenste betrekking van (3.5) het verband tussen de twee operatoren: m = 1 4πr 2 ρ r. (3.7) De tweede vergelijking van (3.5) is de hoofdreden om een Lagrangiaanse beschrijving te gebruiken. De tijdsafgeleide in het linkerlid ervan beschrijft de verandering van een functie in de tijd tijdens het volgen van een bepaald massa-element. De behoudswetten voor tijdsafhankelijke sferische sterren zijn enkel en alleen eenvoudige uitdrukkingen voor deze tijdsafgeleide. Indien we zouden werken in termen van de lokale tijdsafgeleide ( / t) r, dan zouden telkens termen met de snelheid ( r/ t) m expliciet optreden, wat niet het geval is in het Lagrangiaans formalisme. 3.2 De vergelijking van Poisson In een sferisch symmetrisch lichaam hangt de modulus van de gravitatieversnelling g op een afstand r van het centrum niet af van de massa-elementen die zich op een afstand groter dan r van het centrum bevinden. g = g is enkel afhankelijk van r en van de massa bevat in de concentrische sfeer met straal r, welke we m gedefinieerd hebben en wel op de volgende wijze: met G = m 3 /kg.s 2 de gravitatie constante. g = Gm r 2, (3.8) In het algemeen kan het gravitatieveld in een ster beschreven worden aan de hand van een gravitatiepotentiaal Φ, welke een oplossing is van de vergelijking van Poisson: 2 Φ = 4πGρ, (3.9) waarbij 2 de Laplace operator voorstelt. Voor sferisch symmetrische configuraties vereenvoudigt de vergelijking van Poisson tot ( 1 r 2 r 2 Φ ) = 4πGρ. (3.10) r r De gravitationele versnellingsvector g is naar het stercentrum toe gericht en wordt in sferische coördinaten geschreven als g = ( g, 0, 0) met g = g > 0. De vector g = g e r wordt afgeleid van de potentiaal Φ 42

57 Figuur 3.2: Het verloop van de gravitatiepotentiaal Φ vanaf het stercentrum. volgens de betrekking g = Φ. Voor een sferisch symmetrische ster is alleen de partiële afgeleide naar r verschillend van nul en krijgen we g = Φ r. (3.11) Gebruik makend van uitdrukkingen (3.11) en (3.8) bekomen we Φ r = Gm r 2. (3.12) Integratie van uitdrukking (3.12) levert Φ = r 0 Gm dr + constante. (3.13) r2 De integratieconstante wordt zodanig gekozen dat Φ verdwijnt voor r. Verder is Φ minimaal in het stercentrum. Een schematische voorstelling van Φ wordt gegeven in figuur

58 Figuur 3.3: Voorstelling van een toestand van hydrostatisch evenwicht: de buitenwaarts gerichte drukkracht moet precies de binnenwaarts gerichte gravitatiekracht compenseren. Dit kan alleen voldaan zijn wanneer de druk aan de binnenkant van de schil groter is dan aan de buitenkant ervan. 3.3 Behoud van impuls Hydrostatisch evenwicht We stellen vast dat we voor de meeste sterren geen evolutionaire veranderingen kunnen waarnemen. Dit impliceert dat het stermateriaal niet merkelijk versneld wordt, wat dan weer betekent dat alle krachten die inwerken op een massa-element elkaar moeten compenseren. Dit mechanisch evenwicht noemt men hydrostatisch evenwicht. In de onderstelling dat we te maken hebben met een gasvormige ster die niet roteert en geen magneetveld of een nauwe begeleider heeft, zijn de agerende krachten die optreden de gravitatiekracht en de drukkracht. Beschouw op een gegeven tijdstip t een dunne sferische massaschil met een infinitesimale dikte dr op een afstand r van het stercentrum. De massa per eenheidsoppervlak bedraagt ρdr en het gewicht van de schil is gρdr, welke de gravitatiekracht voorstelt die gericht is naar het stercentrum. Opdat de massa-elementen van de schil niet versneld zouden worden in de richting van het centrum moeten zij een netto kracht ten gevolge van de druk ondervinden die precies even groot is als de gravitatiekracht, maar buitenwaarts gericht. Dit impliceert dat de schil onderhevig is aan een grotere druk aan de binnenkant (P i ) dan aan haar buitenkant (P e ). We verwijzen naar figuur 3.3. De totale kracht per eenheid van oppervlak die de schil ondervindt ten gevolge van deze verschillende drukkracht bedraagt: P i P e = P dr. (3.14) r De som van de krachten ten gevolge van gravitatie en druk moet nul zijn, m.a.w. P r + ρg = 0. (3.15) 44

59 Deze vergelijking vormen we met behulp van uitdrukking (3.8) om tot de vergelijking van het hydrostatisch evenwicht: P r = Gm ρ. (3.16) r2 Het is de tweede basisvergelijking die de sterstructuur beschrijft in Euleriaanse vorm. Kiezen we echter m als onafhankelijk veranderlijke, dan bekomen we de Lagrangiaanse vorm van het hydrostatisch evenwicht door vergelijking (3.16) te vermenigvuldigen met r/ m = (4πr 2 ρ) 1 volgens vergelijking (3.6) en gebruik te maken van de eerste betrekking van (3.5): P m = Gm 4πr4. (3.17) Eenvoudige oplossingen Tot nu toe hebben we ons enkel geconcentreerd op het mechanisch probleem verbonden met het gravitatieveld en de drukstratificatie in de ster en leidden we twee basisvergelijkingen af, welke in het Lagrangiaans formalisme de volgende vorm aannemen: r m = 1 4πr 2 ρ, P m = Gm 4πr4. (3.18) We gaan nu na of we voorlopige oplossingen kunnen vinden voor dit systeem van differentiaalvergelijkingen. We zoeken een oplossing voor de drie onbekende functies r, P, ρ en dienen dus een verband tussen minstens twee van deze drie grootheden voorop te stellen. In sommige bijzondere situaties kunnen we de dichtheid ρ schrijven als een functie van r en P of van m en P. In dat geval hebben we te maken met gewone differentiaalvergelijkingen omdat de tijd niet expliciet optreedt. Een voorbeeld hiervan is een homogene sfeer waarvoor ρ = constante. Een fysisch realistischer voorbeeld wordt gegeven door de zogenaamde barotropische oplossingen waarvoor ρ = ρ(p), bijvoorbeeld een ideaal gas bij constante temperatuur. Een klasse van eenvoudige barytropische oplossingen die belangrijk is voor de studie van de sterstructuur zijn de polytropen. We komen later uitvoerig terug op deze bijzondere klasse van toestandsfuncties. In het algemeen, echter, is de dichtheid niet enkel een functie van de druk, maar hangt ze ook af van de temperatuur: ρ = ρ(p, T). Een welbekend voorbeeld is dat van een ideaal gas. Indien we te maken hebben met een toestandsvergelijking waarin de temperatuur optreedt wordt het veel moeilijker om de inwendige structuur van een zelfgraviterende gasbol te bepalen. De mechanische structuur is dan namelijk afhankelijk van de temperatuursstratificatie, welke op haar beurt gekoppeld is aan de productie en het transport van energie in de ster. Om deze situatie te beschrijven hebben we nood aan bijkomende vergelijkingen. 45

60 3.3.3 De bewegingsvergelijking in het geval van sferische symmetrie De vergelijking van hydrostatisch evenwicht (3.16) is een bijzonder geval van behoud van impuls. Wanneer versnelde bewegingen optreden in de sferisch symmetrische ster moeten we de inertia van de massa elementen in rekening brengen. We beperken ons hier tot een Lagrangiaanse beschrijving. Beschouwen we opnieuw een dunne schil met massa dm op een afstand r van het stercentrum. Deze schil ondervindt een kracht per eenheidsoppervlak f P ten gevolge van de drukgradiënt welke gegeven wordt door (3.14). Deze vergelijking kunnen we ook schrijven als f P = P.dm (3.19) m De gravitatiekracht per eenheid van oppervlak die inwerkt op de schil wordt gegeven door f g = g dm 4πr 2 = Gm dm r 2 4πr2, (3.20) waarbij we gebruik gemaakt hebben van (3.8). Als de som van de drukkracht en de gravitatiekracht niet nul is, dan zal de schil versneld worden volgens dm 4πr 2 2 r t 2 = f P + f g. (3.21) Hieruit bekomen we met behulp van (3.19) en (3.20) de bewegingsvergelijking: 1 2 r 4πr 2 t 2 = P m Gm 4πr4. (3.22) Indien de drukgradiënt alleen actief zou zijn zou dit resulteren in een buitenwaartse versnelling ( P/ m), de gravitatie alleen zou daarentegen een binnenwaartse versnelling veroorzaken. De bewegingsvergelijking zou herleid worden tot de vergelijking van hydrostatisch evenwicht wanneer alle massa-elementen in rust zijn of radiaal bewegen met constante snelheid. Wanneer de twee termen in het rechterlid van de bewegingsvergelijking elkaar compenseren is de voorwaarde van hydrostatisch evenwicht een goede benadering en zal de ster opeenvolgende quasi-evenwichtstoestanden doorlopen. Veronderstel nu dat er een afwijking van hydrostatisch evenwicht optreedt ten gevolge van het plotseling wegvallen van de drukterm. De inertiaalterm in het linkerlid van de bewegingsvergelijking dient dan de gravitatieterm in het rechterlid te compenseren. We definiëren nu een karakteristieke tijdschaal τ ff verbonden met het ineenstorten van de ster ten gevolge van het plots wegvallen van de druk: 2 r t 2 R τff 2, (3.23) waarbij R de straal van de ster voorstelt. Gebruik makend van de bewegingsvergelijking (3.22) kunnen we τ ff ook als volgt schrijven: ( ) R 1/2 τ ff. (3.24) g 46

61 τ ff is als het ware een gemiddelde waarde van de tijdschaal van vrije val over een afstand van de orde van de sterstraal ten gevolge van het plots wegvallen van de druk. Analoog kunnen we een karakteristieke tijdschaal τ expl definiëren die de explosie van de ster beschrijft ten gevolge van het wegvallen van de gravitatie: 2 r t 2 = R = 4πr 2 P m = P 1 r ρ P ρr, (3.25) τ 2 expl waarbij we P/ r vervangen hebben door P/R. We bekomen dan ( ) ρ 1/2 τ expl R. (3.26) P Vermits P/ρ een maat is voor de gemiddelde geluidssnelheid in het sterinwendige kunnen we τ expl beschouwen als de gemiddelde tijd die een geluidsgolf nodig heeft om van het stercentrum naar het steroppervlak te reizen. Wanneer de ster zich in een toestand nabij hydrostatisch evenwicht bevindt zijn de twee termen in het rechterlid van de bewegingsvergelijking zo goed als gelijk aan elkaar en hebben we τ ff τ expl. We spreken dan van de hydrostatische tijdschaal τ hydro welke de typische tijd is die de ster nodig heeft om na een kleine storing opnieuw het hydrostatisch evenwicht te herstellen. Gebruiken we g GM/R 2 dan bekomen we uit (3.24) ( ) R 3 1/2 τ hydro 1 GM 2 (Gρ) 1/2. (3.27) De aangehaalde vergelijkingen die de sterstructuur beschrijven zijn tot nu toe slechts bijzondere gevallen van de vergelijkingen gekend uit de hydrodynamica en geldig voor een sferisch symmetrisch lichaam. 3.4 Behoud van energie Het viriaaltheorema Het viriaaltheorema speelt voor de behandeling van de meeste fysische problemen geen belangrijke rol. Nochtans is het voor de studie van de sterstructuur van groot belang, vermits het twee belangrijke energiereservoirs met mekaar verbindt en het toelaat voorspellingen en interpretaties af te leiden voor bepaalde evolutionaire fasen in het leven van de ster. Vermenigvuldigen we het linkerlid van de Lagrangiaanse vorm van het hydrostatisch evenwicht (3.17) met 4πr 3 en integreren we over de massa in het interval [0, M] van het centrum tot het steroppervlak, dan bekomen we M 4πr 3 P [ ] M M 0 m dm = 4πr 3 P 12πr 2 r Pdm. (3.28) 0 0 m 47

62 De term tussen vierkante haken verdwijnt vermits r = 0 in het stercentrum en P = 0 aan het steroppervlak. Anderzijds kunnen we de integrand van de tweede term in het rechterlid met behulp van (3.6) reduceren tot 3P/ρ. Tenslotte bekomen we dan M 0 Gm r dm = 3 M 0 P dm, (3.29) ρ waar we het linkerlid van (3.29) bekomen hebben door het linkerlid van (3.17) te vervangen door het rechterlid ervan. Beide leden in vergelijking (3.29) hebben de dimensie van een energie. We definiëren de gravitationele energie E g door M E g 0 Gm dm. (3.30) r Beschouw nu een eenheidsmassa op een positie r. De potentiële energie van deze eenheidsmassa ten gevolge van het gravitatieveld van de massa m die zich binnen een straal r bevindt, bedraagt Gm/r. We zien dus dat E g de potentiële energie is van alle massa-elementen dm van de ster, welke genormeerd is als zijnde nul op oneindig. Een energie E g (> 0) is nodig om alle massa-elementen te expanderen tot het oneindige, terwijl dit bedrag aan energie vrijkomt wanneer er een samentrekking van een oneindige wolk tot een ster gebeurt. Wanneer alle massa-elementen binnenin de ster gezamelijk expanderen of contraheren, zal E g toenemen respectievelijk dalen. Ditzelfde moet dan gelden voor de integraal in het rechterlid van (3.29). We benadrukken dat de samentrekking of expansie op een tijdschaal dient te gebeuren die veel langer is dan τ hydr vermits vergelijking (3.29) anders niet opgaat. Om de betekenis van de term in het rechterlid van vergelijking (3.29) te achterhalen beschouwen we een ideaal gas: P ρ = R µ T = (c P c v )T = (γ 1)c v T. (3.31) Voor een mono-atomisch gas is γ = 5/3 en krijgen we P/ρ = 2/3 u met u = c v T de inwendige energie van het ideaal gas per eenheidsmassa. Definiëren we nu E i M 0 u dm (3.32) als de totale inwendige energie van de ster, dan bekomen we voor vergelijking (3.29) in het geval van een ideaal gas E g = 2E i. (3.33) Dit resultaat is het viriaaltheorema voor een mono-atomisch ideaal gas. Voor een algemene toestandsvergelijking definiëren we de grootheid ζ door middel van ζu 3 P ρ. (3.34) Voor een ideaal gas hebben we ζ = 3(γ 1). In het mono-atomisch geval (γ = 5/3) geeft dit ζ = 2. Voor een gas enkel bestaande uit fotonen hebben we daarentegen γ = 4/3, P = at 4 /3 en uρ = at 4 met 48

63 a de stralingsdichtheidsconstante, wat leidt tot ζ = 1. Wanneer ζ constant is in de ster leidt (3.29) tot het algemenere resultaat dat ζe i + E g = 0. (3.35) We definiëren nu de totale energie W van de ster als W E i + E g, waarvoor geldt dat W < 0 voor een gravitationeel gebonden systeem. Op basis van (3.35) krijgen we dan Hieruit leiden we af dat de totale energie nul is voor het fotonengas. W = (1 ζ)e i = ζ 1 E g. (3.36) ζ Als de ster expandeert of inkrimpt op zodanige wijze dat het hydrostatisch evenwicht bewaard blijft, dan zullen E g en E i variëren en zal de totale energie veranderen. Het gas zal dan energie uitstralen. Definiëren we het totale energieverlies door straling per tijdseenheid als de lichtkracht L van de ster, dan volgt uit het behoud van energie dat (dw/dt) + L = 0, wat via (3.36) impliceert dat L = (ζ 1) de i dt = ζ 1 ζ de g dt. (3.37) Wanneer alle massaschillen simultaan contraheren, dan zal de g /dt < 0 en krijgen we voor een monoatomisch ideaal gas L = de i /dt = 0.5dE g /dt > 0. Dit betekent dat de helft van de energie die vrijkomt ten gevolge van de contractie uitgestraald wordt en de andere helft wordt gebruikt voor de opwarming van de ster. Vergelijking (3.37) toont dat L van de orde van de g /dt is. Zodoende kunnen we een karakteristieke tijdschaal τ HK E g L E i (3.38) L definiëren, welke de Helmholtz-Kelvin tijdschaal genoemd wordt (naar de twee fysici die deze afleidden als de evolutionaire tijdschaal voor een contraherende of afkoelende ster). Een ruwe afschatting van E g is E g Gm2 r GM2 2R, (3.39) waarbij m en r de gemiddelde waarden voor m en r over de ster voorstellen (welke we vervangen hebben door M/2 en R/2). We bekomen zo τ HK GM2 2RL. (3.40) Gedurende bepaalde fasen in het leven van de ster is E g de voornaamste energiebron en evolueert de ster op een tijdschaal τ HK. Voor een gedetailleerde beschrijving van sterevolutie verwijzen we naar Deel III van de cursus, maar we halen nu toch reeds aan waarom het viriaaltheorema, samen met de energietransportvergelijking (zie Hoofdstuk 5), zo belangrijk is voor het leven van de ster. De ster heeft een temperatuursverloop waarbij de temperatuur van binnen naar buiten afneemt. Daardoor wordt er energie naar buiten getransporteerd en aan de rand van de ster uitgestraald. Dit betekent dat er aan het sterinwendige energie wordt onttrokken. Als er geen nucleaire bron meer is, bijvoorbeeld wanneer alle H in de sterkern is omgezet in He, dan kan de ster de energie alleen opleveren door te contraheren. De 49

64 contractie verloopt traag, zodat de ster op elk ogenblik in hydrostatisch evenwicht blijft. De ster trekt immers samen om, door krimpen, het energieverlies te dekken op een tijdschaal van Helmholtz-Kelvin. Daarentegen is de tijdschaal die nodig is om een drukverstoring te herstellen veel korter, nl. τ hydro. Dit betekent dus dat tijdens het langzaam inkrimpen van de ster quasi-instantaan een nieuw drukevenwicht kan ingesteld worden: tijdens het krimpen blijft aan het viriaaltheorema voldaan. Als de ster krimpt wordt zodoende de helft van de gewonnen potentiële energie uitgestraald, de andere helft wordt gebruikt voor verhitting. Door de temperatuursverhoging wordt de temperatuursgradiënt groter, waardoor er nog meer energie uitgestraald wordt en de ster nog meer moet krimpen. Door deze vicieuze cirkel blijft de kern van de ster krimpen en steeds heter worden totdat de temperatuur hoog genoeg geworden is voor een volgend fusieproces (bijvoorbeeld bij T=10 8 K kan heliumverbranding starten). Dan kan de ster weer een lange tijd zonder krimpen blijven stralen Energiebehoud in sterren We definiëren l(r) als de netto hoeveelheid energie, geïntegreerd over alle frequenties, die per seconde doorheen een sfeer met straal r straalt. We onderstellen dat er zich geen oneindig grote energiebron in het centrum van de ster bevindt. Zodoende is de functie l nul in het stercentrum. Ze is bovendien gelijk aan de totale lichtkracht L van de ster aan het steroppervlak. Tussen r = 0 en r = R is l een gecompliceerde functie die afhangt van de verdeling van alle energiebronnen die in de sterlagen optreden. Zo omvat l de energie getransporteerd door zowel straling, conductie en convectie. In het volgende hoofdstuk gaan we uitvoerig in op deze wijzen van energietransport, welke allemaal een temperatuursgradiënt vereisen. We houden in de functie l geen rekening met een eventuele energieflux ten gevolge van neutrino s. Deze hebben immers een verwaarloosbare interactie met het stermateriaal en we zullen de neutrinoflux, die geen temperatuursgradiënt vereist, steeds afzonderlijk behandelen. Lokaal energiebehoud Beschouw een sferisch symmetrische massaschil met straal r, dikte dr en massa dm. Stel de energie die per seconde de binnenkant van de schil binnentreedt voor door l en diegene die per seconde langs de buitenkant de schil verlaat door l + dl (zie figuur 3.4). Het surplus dl kan voorzien worden door kernreacties, door koeling, of door samendrukking of uitzetting van de schil. In een stationaire situatie is dl enkel het gevolg van het vrijgeven van energie ten gevolge van kernreacties. Stel de nucleaire energie vrijgegeven per eenheidsmassa en per eenheidstijd voor door ε, dan krijgen we dl = 4πr 2 ρεdr = εdm (3.41) of l = ε. (3.42) m De grootheid ε hangt in het algemeen af van de temperatuur, de dichtheid en de abondanties van de verschillende reagerende nucleaire deeltjes. 50

65 Figuur 3.4: Voorstelling van de grootheid l, welke de hoeveelheid energie die per seconde doorheen een sfeer met straal r straalt, voorstelt. Voor een niet-stationaire schil kan dl van nul verschillen, zelfs als er geen kernreacties plaatsgrijpen. Zulk een schil kan haar interne energie veranderen en ze kan bovendien mechanische arbeid uitwisselen met naburige schillen. In dit geval schrijven we in plaats van (3.42) ( dq = ε l ) dt, (3.43) m waarbij dq de warmte voorstelt die per eenheidsmassa wordt toegevoegd aan de schil. Vervangen we nu dq aan de hand van de eerste wet van de thermodynamica, dan verkrijgen we l m = ε u t P v t = ε u t + P ρ 2 ρ t. (3.44) Met behulp van de thermodynamische relatie (2.18) kunnen we deze uitdrukking schrijven in termen van de druk en de temperatuur: l m = ε c T P t + δ P ρ t. (3.45) Deze vergelijking is de derde vergelijking die de sterstructuur beschrijft. Vaak worden de termen die een tijdsafgeleide bevatten in vergelijking (3.45) samen genomen in een zogenaamde bronfunctie ε g : ε g T s t = c T P t + δ ( P 1 ρ t = c T PT T t ) ad P, (3.46) P t waar we gebruik gemaakt hebben van ds = dq/t en van uitdrukking (2.20) voor ad. Beschouwen we nu de energieverandering ten gevolge van neutrino s. Neutrino s kunnen in grote aantallen voorkomen als bijproduct van kernreacties (zie verder, beschrijving van de verschillende verbrandingscycli). Anderzijds bedraagt de gemiddelde vrije weglengte van een neutrino in een typisch stermidden zo n 100 parsec! In de sterkern van een hoofdreeksster hebben ze zelfs nog een gemiddelde vrije weglengte 51

66 van om en bij de 3000 R. Het stermateriaal is dus duidelijk transparant voor neutrino s en daardoor kunnen zij de energie die ze meedragen gemakkelijk tot aan het oppervlak transporteren (dit is niet meer waar in de laatste eindfasen van het leven van een ster!). Dit is de reden waarom we de invloed van neutrino s apart behandelen en niet samen met de energiefluxen die een temperatuursgradiënt nodig hebben. De enige massa-elementen die beïnvloed worden door de neutrino s zijn diegene waar de neutrino s gevormd worden. De neutrino s kunnen hier immers zorgen voor een daling van de energie. We definiëren ε ν (> 0) als de energie die per eenheid van massa en per tijdseenheid afgenomen wordt van het stermateriaal in de vorm van neutrino s. De totale vergelijking voor lokaal energiebehoud wordt dan l m = ε ε ν + ε g. (3.47) De energie die per seconde weggevoerd wordt door neutrino s wordt de neutrino lichtkracht genoemd en is gegeven door L ν M 0 ε ν dm. (3.48) Zoals reeds vermeld is l = 0 in de kern en l = L aan het steroppervlak. Voor een tussenwaarde van r is l niet noodzakelijk monotoon stijgend en kan zelfs groter worden dan L of negatief. Een voorbeeld hiervan is een uitdijende ster waarvoor L kleiner is dan de energie geproduceerd door de kernreacties in de centrale delen ten gevolge van het uitdijen (ε g < 0). Een sterk neutrinoverlies kan l < 0 induceren in sommige sterlagen. Vermits neutrino s na hun creatie bij talrijke kernreacties ongehinderd de ster kunnen verlaten, leveren ze rechtstreeks informatie over deze reacties. Omwille van hun zeer grote vrije weglengte is het helaas zeer moeilijk om neutrino s te detecteren. Het is wel mogelijk om neutrino s geproduceerd door de waterstofverbranding in de Zon op te vangen. In één van de succesvolle detecties worden de neutrino s ingevangen door de reactie ν e + 37 Cl e + 37 Ar. (3.49) De detector bestaat in dit geval uit een tank met liter C 2 Cl 4 (een standaard detergent). Ondanks deze gigantisch grote tank wordt slechts één neutrino om de twee dagen gedetecteerd. Dit is veel lager dan het aantal neutrino s dat volgens de zonnemodellen voorspeld wordt. Dit probleem was dertig jaar lang gekend als het zonne-neutrino-probleem. Bij een tweede experiment werd de verstrooiing van neutrino s aan elektronen in een tank van 680 ton water beschouwd. In tegenstelling tot het Cl experiment wordt hier de richting van de neutrino s gemeten, waaruit meteen kan afgeleid worden dat ze effectief afkomstig zijn van de Zon. Ook hier waren de detecties veel te laag in vergelijking met de theoretische voorspellingen. Een oplossing voor het probleem kwam er na het besef dat de detectoren ongevoelig waren voor de zeldzamere types van neutrino s. De Cl en elektronenexperimenten zijn inderdaad slechts gevoelig voor een kleine fractie van de totale neutrino produktie in de Zon, nl. enkel de hoog-energetische of ook elektronneutrino s genoemd. Er bestaan echter ook nog mu- en tau-neutrino s waar de bovenstaande experimenten niet gevoelig voor zijn. Twee additionele recentere experimenten zijn wel gevoelig voor een grotere meerderheid van de geproduceerde neutrino s. Zij steunen op een reactie van het neutrino met 71 Ga. Deze 52

67 gallium experimenten leverden resultaten die nauwer aansluiten bij de theoretische verwachtingen, maar er bleven toch nog aanzienlijke verschillen tot De oplossing kwam er dankzij honderden onderzoekers van het Sudbury Neutrino Observatory in Canada, die de nieuwste generatie neutrino detectoren ontwikkelden. Zij konden bevestigen dat een deel van de zonneneutrino s tegen de tijd dat ze op Aarde aankomen veranderd zijn van elektron-neutrino s in mu- of tau-neutrino s. Schattingen van de drie types neutrino s samen komen vrij nauwkeurig overeen met de huidige stermodellen van de Zon. Dit leverde voor een team van wetenschappers de Nobelprijs voor Natuurkunde op. Gezien de moeilijkheid om neutrino s afkomstig van de Zon op te vangen, is het quasi-onmogelijk om neutrino s van andere sterren te detecteren. Een uitzondering hierop vormen de neutrino s geproduceerd tijdens supernova explosies. Van SN 1987 A werden inderdaad 20 neutrino s gedetecteerd in twee verschillende detectoren in het noordelijke halfrond. Dit leverde een erg precieze toetsing van kernreacties tijdens supernova explosies (zie verder). Globaal energiebehoud Bij de beschrijving van het viriaaltheorema hebben we ons beperkt tot het in rekening brengen van de interne energie E i en de gravitationele energie E g. We negeerden zowel de nucleaire energie als de energie van de neutrino s en de kinetische energie van mogelijks op en neergaande beweging (vb. door steroscillaties). Herdefiniëren we nu de totale energie van de ster als W = E kin +E g +E i +E n met E n de nucleaire energieinhoud van de gehele ster, dan wordt de vergelijking die het globaal energiebehoud beschrijft gegeven door: d dt (E kin + E g + E i + E n ) + L + L ν = 0. (3.50) De verschillende tijdschalen Onderstel dat de lichtkracht van de ster enkel veroorzaakt wordt door het vrijkomen van nucleaire energie. Indien L constant is, kan dit energieverlies plaatsgrijpen gedurende de nucleaire tijdschaal gedefiniëerd door τ n E n L. (3.51) Hierbij stelt E n het energiereservoir voor waaruit energie kan geput worden voor de gegeven omstandigheden, waarmee we bedoelen dat de kernreacties die de energie vrijgeven mogelijk moeten zijn. De belangrijkste reactie is de fusie van vier 1 H kernen in één 4 He kern. Deze waterstofverbranding geeft een energie van erg g 1 vrij en komt overeen met een massadefect van 0.71%. De nucleaire tijdschaal geeft weer hoelang de totale levensduur van een ster kan bedragen. We zullen later tonen dat de lichtkracht van een ster een sterk stijgende functie van de stermassa is. Hierdoor daalt de nucleaire tijdschaal zeer snel met stijgende massa. Een ster met initiële massa van 30 M, bijvoorbeeld, kan slechts 5 miljoen jaar leven terwijl een ster met een halve zonsmassa nog nauwelijks tijd genoeg gekregen heeft om te evolueren in het huidige Heelal. 53

68 De relatie tussen de verschillende tijdschalen luidt voor de Zon (zie oefeningen) : τ n > τ HK > τ hydr. (3.52) Deze relatie is geldig voor alle sterren waarvoor waterstof- of heliumverbranding de belangrijkste energiebron is. Het verband tussen deze tijdschalen laat toe om de vergelijking die het energiebehoud uitdrukt te vereenvoudigen. Beschouw hiertoe de vier termen die optreden in (3.45) voor een ster waarvan de eigenschappen aanzienlijk veranderen op een tijdschaal τ, welke klein of groot kan zijn t.o.v. τ HK. Een oorzaak van die verandering is bijvoorbeeld de uitputting van een bepaalde nucleaire brandstof. Voor een ideaal gas kunnen we de termen in (3.45) gemakkelijk benaderen: l m L M ε L M = E n Mτ n c T P t c PT τ, δ P ρ t R µ E i τ HK M, T τ c PT τ E i τ HK M, E i τm. (3.53) In het geval τ > τ HK zijn de waarden van de laatste twee uitdrukkingen gegeven in (3.53) veel kleiner dan de waarden van de twee eerste uitdrukkingen en kunnen we de tijdsafhankelijke termen in de energievergelijking verwaarlozen ( ε g < ε). De energievergelijking reduceert zich dan tot l/ m = ε zoals in (3.42). Deze benadering is goed wanneer de verbranding van waterstof of helium de sterevolutie stuurt (τ = τ n ) en impliceert een enorme vereenvoudiging bij het berekenen van stermodellen. Men spreekt van modellen in volledig mechanisch en thermisch evenwicht. Is daarentegen τ < τ HK, dan zijn de waarden van de rechterleden van de twee laatste vergelijkingen gegeven in (3.53) groot t.o.v. die van de eerste twee vergelijkingen. Dit betekent dat de tijdsafhankelijke termen in de energievergelijking elkaar in zeer goede benadering opheffen, wat impliceert dat dq/dt 0. In dit geval hebben we te maken met een quasi-adiabatische verandering. Een voorbeeld hiervan is een ster die pulseert op een tijdschaal τ < τ HK. De variabele lichtkracht van een pulserende ster is het gevolg van variaties in ε g en niet in ε. Voor een uitvoerige observationele studie van pulserende sterren verwijzen we naar de cursus Asteroseismology in de Leuvense Master Sterrenkunde. Zoals wellicht reeds duidelijk geworden is steunt de bepaling van de tijdschalen op enige willekeur. Immers, we konden bijvoorbeeld evengoed als gemiddelde afstand R of R/10 genomen hebben in plaats van R/2 en dezelfde opmerking geldt voor de gemiddelde massa. Het is echter niet de bedoeling om precieze waarden voor de tijdschalen te bekomen maar eerder een gevoel te krijgen voor de orden-van-grootte ervan. Bij het afleiden van de relatie tussen de verschillende tijdschalen hebben we bovendien steeds ondersteld dat de ster uniform verandert. Wanneer echter enkel sommige delen van de ster moeten beschouwd worden omwille van niet-uniforme variaties zijn bovenstaande redeneringen niet meer nauwkeurig omdat met lokale tijdschalen moet gewerkt worden. 54

69 Hoofdstuk 4 Additionele relevante toestandsfuncties De temperatuur treedt niet op in vergelijkingen (3.18). Dit laat voor bepaalde toestandsfuncties toe om deze twee vergelijkingen af te scheiden van de thermo-energetische vergelijkingen die tevens nodig zijn om de sterstructuur te bepalen. We bespreken nu nog twee van zulke toestandsfuncties die belangrijk zijn in het leven van een ster. 4.1 Polytropen We beschouwen een ster in hydrostatisch evenwicht en gebruiken de Euleriaanse beschrijvingswijze. Voor een tijdsonafhankelijk stermodel dient de gravitatiepotentiaal te voldoen aan de volgende twee vergelijkingen: dp dr = ρdφ dr, 1 d r 2 dr ( r 2dΦ dr ) = 4πGρ. Wanneer ρ niet afhangt van T : ρ = ρ(p), dan kan deze relatie ingevuld worden in (4.1), welke dan een systeem van twee vergelijkingen voor de twee onbekenden P en Φ vormt. Deze vergelijkingen kunnen opgelost worden zonder beroep te moeten doen op de vergelijking die het energietransport beschrijft (zie volgend hoofdstuk). We veronderstellen nu dat we een eenvoudige relatie hebben tussen de druk en de dichtheid die van volgende vorm is: P = Kρ γ = Kρ 1+ 1 n, (4.2) waarbij K, γ en n constanten zijn. Een toestandsfunctie van de vorm (4.2) noemt men een polytroop. K is de polytropische constante en γ de polytropische exponent. In de plaats van γ gebruikt men ook vaak de polytropische index n, welke gedefinieerd is als n 1/(γ 1). 55 (4.1)

70 In het algemeen is K constant voor één welbepaalde ster, maar ze neemt wel verschillende waarden voor verschillende sterren aan. Voor een isotherm ideaal gas kan de toestandsfunctie geschreven worden als P = (RT 0 /µ)ρ zodat we in dit geval te maken hebben met een polytroop waarvoor K = RT 0 /µ, γ = 1, n =. Voor een ideaal mono-atomisch gas waarvoor de stralingsdruk kan verwaarloosd worden is ad = 2/5, wat betekent dat T P 2/5. Bovendien is in dit geval µ =constant, waardoor T P/ρ en bekomen we uiteindelijk P ρ 5/3. Dit is opnieuw een polytroop, dit keer met γ = 5/3, n = 3/2. Een homogene gasvormige sfeer kan eveneens aanzien worden als een speciaal geval van (4.2) voor γ =, n = 0. We zien dus dat polytropen inderdaad kunnen optreden, zowel bij eenvoudige toestandsfuncties die reeds van de vorm (4.2) zijn als voor een ideaal gas wanneer er een extra relatie tussen de temperatuur en de druk kan afgeleid worden. De eerste vergelijking van het stelsel (4.1) kan voor een polytropische relatie (4.2) omgevormd worden tot dφ dr = γkργ 2dρ dr. (4.3) Voor γ 1 kan deze vergelijking geïntegreerd worden tot ( ) Φ n ρ =, (4.4) (n + 1)K waarbij we de definitie van n gebruikt hebben en de integratieconstante zodanig gekozen werd dat Φ = 0 aan het steroppervlak. Wanneer we (4.4) invullen in de tweede vergelijking van (4.1), dan bekomen we een gewone differentiaalvergelijking voor Φ: d 2 Φ dr ( ) dφ r dr = 4πG Φ n. (4.5) (n + 1)K We definiëren nu de dimensieloze veranderlijken z en w door z = Ar met A 2 = 4πG (n + 1) n K n( Φ c) n 1 = 4πG (n + 1)K ρ n 1 n c, (4.6) w = Φ ( ) ρ 1/n =, Φ c ρc waar de benedenindex c het stercentrum aanduidt. In het centrum hebben we r = z = 0, Φ = Φ c, ρ = ρ c en dus w = 1. Met de ingevoerde veranderlijken wordt (4.5) wat vervolgens kan omgevormd worden tot d 2 w dz dw z dz + wn = 0, (4.7) ( 1 d z 2 dz z 2dw dz ) + w n = 0. (4.8) Vergelijking (4.8) is de Lane-Emden vergelijking. We wensen oplossingen van deze vergelijking te zoeken die eindig blijven in het stercentrum. Dit is voldaan wanneer dw/dz(0) = 0. In het algemeen moeten we 56

71 Figuur 4.1: De oplossingen van de Lane-Emden vergelijking (4.8) voor n = 3/2 en n = 3. oplossingen van de Lane-Emden vergelijking numeriek bepalen, vermits er enkel voor n = 0, 1, 5 analytische oplossingen bestaan. De functie w wordt in figuur 4.1 voorgesteld voor de twee gevallen n = 3 en n = 3/2. Stel dat we een oplossing w(z) gevonden hebben van de Lane-Emden vergelijking waarvoor w(0) = 1 en dw/dz(0) = 0. Volgens (4.6) wordt de radiale afhankelijkheid van de dichtheid dan gegeven door [ ] Φ n c ρ(r) = w n (Ar). (4.9) (n + 1)K Voor de druk vinden we dan, volgens (4.2) en de definitie van γ, P(r) = P c w n+1 (Ar) met P c = Kρ γ c. Tenslotte leiden we een uitdrukking af voor de massa binnen de sfeer met straal r: m(r) = r 0 r 4πρr 2 dr = 4πρ c w n r 2 r 3 dr = 4πρ c 0 z 3 z 0 w n z 2 dz, (4.10) waar we gebruikt gemaakt hebben van (4.6). Volgens de Lane-Emden vergelijking is de integrand w n z 2 een afgeleide en deze kan bijgevolg onmiddellijk geïntegreerd worden met als resultaat z 2 dw/dz. We bekomen dan voor de massa m(r) = 4πρ c r 3 ( 1 z ) dw. (4.11) dz 4.2 Het ontaard elektronengas Als een gas een zeer hoge dichtheid bereikt, kan het niet meer met de ideale gaswet beschreven worden. Bij hoge dichtheden doen quantummechanische effecten zich gelden en we noemen een gas waarin dit merkbaar is een ontaard gas. Een schematische vergelijking tussen gewone en ontaarde materie in een neutraal gas 57

72 Figuur 4.2: Een schematische voorstelling van het verschil tussen gewone (a) en ontaarde (b) materie voor een neutraal gas. Bij gewone materie zijn de binnenste elektronenschillen nog intact. In ontaarde materie zitten de atoomkernen dichter bij elkaar dan de helft van de diameter van de kleinst mogelijke stabiele elektronenschil. De elektronen kunnen daarom geen schillen meer vormen maar bewegen zich vrij tussen de kernen door en vormen zo een gas. Dit elektronengas oefent een grote druk uit. wordt gegeven in figuur 4.2. In geval a bewegen de elektronen op normale wijze in hun schillen rondom de atoomkernen, in geval b is de onderlinge afstand tussen de atoomkernen zodanig klein dat de elektronen niet meer op hun schillen kunnen bewegen en een gas vormen dat tussen de atoomkernen beweegt. De quantummechanica gebiedt dan geen twee identieke deeltjes dezelfde plaats én snelheid kunnen hebben, binnen de nauwkeurigheid waarmee deze volgens de onzekerheidsrelatie van Heisenberg gemeten kunnen worden. Deze wet noemt men het uitsluitingsprincipe van Pauli. Met andere woorden: als twee elektronen zich heel dicht bij elkaar bevinden, kunnen ze niet precies dezelfde snelheid hebben. In een ijl gas wordt de gemiddelde snelheid van de deeltjes bepaald door de temperatuur. Als de temperatuur hoog is, is de gemiddelde snelheid van de deeltjes groot. De gasdruk hangt vervolgens van de snelheid van de deeltjes af. Omdat de afstand tussen de deeltjes groot is, is de beperking die het uitsluitingsprincipe oplegt aan de snelheden van de deeltjes niet merkbaar. Een gas waarvoor dit geldt noemt men dan een ideaal gas (zie Hoofdstuk 2). De situatie is anders voor een gas dat is samengeperst tot hoge dichtheid: dan zijn alle mogelijke lage snelheden bezet, zodat vele deeltjes gedwongen worden om hoge snelheden aan te nemen. Deze snelheden zijn veel hoger dan diegene die de deeltjes zouden hebben wanneer ze zich in een ijl gas met dezelfde temperatuur zouden bevinden. Als de dichtheid van een ontaard gas extreem hoog wordt, komen de snelheden waartoe de deeltjes gedwongen worden in de buurt van de lichtsnelheid. Zo n gas noemen we een relativistisch ontaard gas. Doordat de onzekerheidsrelatie het product van de massa en de snelheid bevat, raken de lichtste deeltjes het eerst ontaard. In een normaal gas zijn dat de elektronen. 58

73 We beschouwen een gas met een voldoende hoge dichtheid zodat druk-ionisatie optreedt. Dit effect doet zich voor wanneer er geen gebonden atomen voorkomen doordat de orbitale straal a van de elektronen vergelijkbaar of groter wordt dan de helft van de afstand d tussen twee atomen. In het geval van neutraal waterstof worden a en d gegeven door ( ) 3 1/3 a = a 0 ν 2, d, (4.12) 4πn H met a 0 = cm de Bohrstraal, ν het hoofdkwantumgetal en n H het aantal waterstofdeeltjes per volume-eenheid. Een gas zal geen druk-ionisatie ondergaan zolang a < d/2, wat volgende voorwaarde voor het hoofdquantumgetal impliceert: ( ) 3 1/3 ν 2 1 <. (4.13) 4πn H 2a 0 In het centrum van de Zon hebben we ρ c 170 g/cm 3, n H cm 3 en dus wordt de voorwaarde opdat druk-ionisatie niet zou optreden gegeven door ν 2 < Dit betekent dat de grondtoestand van het waterstofatoom niet kan optreden en dat alle waterstofatomen in het centrum van de Zon geïoniseerd moeten zijn. In stercentra hebben we steeds te maken met druk-geïoniseerde gassen. Hiervan raken de elektronen eerst ontaard en pas daarna de kernen. We bestuderen nu vrije elektronen die zich in een druk-geïoniseerd gas bevinden. In de lokale ruimte van impuls p x, p y, p z wordt elk elektron voorgesteld als een sferisch symmetrische wolk rond de oorsprong. Wanneer we de absolute waarde van de impuls voorstellen door p (met p 2 = p 2 x + p 2 y + p 2 z), dan wordt in termen van de klassieke mechanica de verdelingsfunctie van de impuls van de elektronen beschreven door de Maxwell-verdelingsfunctie (2.40), welke we nu beschouwen in termen van de impuls: f(p) = 4πp 2 exp (2πm e kt) 3/2 ( p2 2m e kt ). (4.14) Het maximum van deze verdelingsfunctie treedt op bij p max = (2m e kt) 1/2. Wanneer er een daling van de temperatuur T optreedt, dan verschuift het maximum naar kleinere p-waarde en de waarde van het maximum van f(p) wordt groter (zie figuur 4.3). Het aantal vrije elektronen met deeltjesdichtheid n e die zich in een volume dv van het druk-geïoniseerd gas bevinden en die een impuls hebben in het interval [p, p + dp], wordt bekomen door de waarschijnlijkheidsverdeling te vermenigvuldigen met n e dv en wordt dus gegeven door de zogenaamde Boltzmann verdelingsfunctie: 4πp 2 ( ) n e f(p)dpdv = n e exp p2 dpdv. (4.15) (2πm e kt) 3/2 2m e kt Stappen we nu even af van de klassieke mechanica en beschouwen we de volgende quantummechanische overwegingen. Vermits de elektronen moeten voldoen aan het Pauli principe is er een beperking op het aantal elektronen die in een bepaalde toestand kunnen voorkomen. Elke quantumcel van de zes dimensionale faseruimte (x, y, z, p x, p y, p z ) kan slechts twee elektronen bevatten. Het volume van zulk een quantum cel bedraagt dp x dp y dp z dv = h 3, met h de constante van Planck. In de schil [p, p + dp] van de ruimte van impuls zijn er 4πp 2 dpdv/h 3 quantumcellen, die slechts 8πp 2 dpdv/h 3 elektronen kunnen bevatten. Deze quantummechanische overwegingen geven dus een bovenlimiet op het aantal elektronen: f(p)dpdv 8πp 2 dpdv/h 3. (4.16) 59

74 Figuur 4.3: Maxwell-verdelingsfuncties f(p) worden getoond in functie van de impuls p (dunne lijnen) voor een elektronengas met dichtheid n e = cm 3 (wat overeenkomt met een dichtheid ρ = g cm 3 voor µ e = 1) voor verschillende temperaturen. De dikke lijn duidt de bovenlimiet aan, opgelegd door het Pauli principe. 60

75 Deze bovenlimiet is aangeduid als de parabool in figuur 4.3 en levert een bovengrens voor f(p). We stellen vast dat de Boltzmann verdeling voor n e =constant in tegenspraak is met de quantummechanische bovenlimiet voor voldoende lage temperaturen. Hetzelfde resultaat geldt voor T =constant en voldoende hoge dichtheden vermits de Boltzmann verdeling evenredig is met n e. We moeten daarom afstappen van het klassieke beeld en quantummechanische effecten in rekening brengen wanneer de temperatuur van het gas te laag is of de elektronendichtheid te hoog. In dat geval overschrijdt de distributiefunctie namelijk haar bovenlimiet opgelegd door het Pauli principe. Beschouwen we nu een elektronengas waarvoor de elektronen de laagst mogelijke energie hebben (T = 0 K). De toestand waarin al deze elektronen een zo laag mogelijke energie hebben en nog voldoen aan het Pauli principe is diegene waarin alle fasecellen tot een zekere impuls p F bevolkt zijn met twee elektronen, terwijl alle andere cellen leeg zijn: f(p) = 8πp2 h 3 voor p p F, f(p) = 0 voor p > p F. (4.17) Deze verdelingsfunctie wordt getoond in figuur 4.4. Het totaal aantal elektronen in het volume dv wordt dan gegeven door pf 8πp 2 8π n e dv = dv dp = h3 3h 3p3 FdV. (4.18) 0 Voor gegeven elektronendichtheid vinden we zo de Fermi-impuls p F n 1/3 e. Voor niet-relativistische elektronen is de Fermi-energie E F = p 2 F /2m e n 2/3 e. We zien dat, hoewel de temperatuur van het elektronengas nul is, de elektronen een energie verschillend van nul hebben die kan oplopen tot E F. Wanneer de elektronendichtheid zeer hoog is, kunnen de snelheden van de snelste elektronen een aanzienlijke fractie van de lichtsnelheid bedragen. We dienen daarom de uitdrukkingen voor de totale energie en de impuls afgeleid volgens de speciale relativiteitstheorie te gebruiken: p = E tot = m e v 1 v 2 /c 2, m e c 2 1 v 2 /c = m ec p2 2 m 2 ec 2, (4.19) met m e de rustmassa van het elektron. De kinetische energie van het elektron is verbonden met de totale energie door E = E tot m e c 2. Om een toestandsfunctie voor het ontaard elektronengas af te leiden moeten we een uitdrukking zoeken voor de druk, welke per definitie de flux van impuls doorheen een eenheidsoppervlak per eenheid van tijd is. Beschouw hiertoe een eenheid van oppervlak dσ met normaalvector n (zie figuur 4.5). Een willekeurige vector s definieert dan de hoek θ ingesloten door n en s. We bepalen nu het aantal elektronen die per seconde doorheen dσ bewegen binnen de ruimtehoek dω s omheen de richting s. We beperken ons tot elektronen met een impuls in het interval [p, p + dp]. Op de positie van het oppervlakte element zijn er f(p)dpdω s /(4π) elektronen per eenheidsvolume en per eenheid van ruimtehoek die de gepaste impuls hebben. Er zullen dus f(p)dpdω s v(p)cos θdσ/(4π) elektronen per seconde doorheen het oppervlak dσ binnen de ruimtehoek dω s 61

76 Figuur 4.4: De verdelingsfunctie f(p) in functie van de impuls p voor een volledig ontaard elektronengas met temperatuur het absolute nulpunt en dichtheid n e = cm 3. bewegen. Hierbij is v(p) de snelheid gedefinieerd door (4.19). Elk elektron draagt een impuls met absolute waarde p en met richting s. De component hiervan in de richting van n bedraagt p cos θ. We bekomen dan de totale flux van impuls in de richting n door te integreren over alle richtingen s van een sfeer en over alle absolute waarden p. We vinden zo een elektronendruk P e P e = f(p)v(p)p cos 2 θdpdω s /(4π) = 8π pf 3h 3 p 3 v(p)dp, (4.20) 0 Ω 0 waarbij we f(p) vervangen hebben door (4.17). Aan de hand van de uitdrukking voor p gegeven in (4.19) vinden we dan P e = 8πc pf 3h 3 0 p 3 p/m e c [1 + p 2 /(m 2 ec 2 )] 1/2dp = 8πc5 m 4 e 3h 3 x 0 ξ 4 dξ (1 + ξ 2 ) 1/2, (4.21) waarbij we de nieuwe veranderlijken ξ p/(m e c), x p F /(m e c) ingevoerd hebben. Men kan tonen dat de integraal in het rechterlid van deze uitdrukking gegeven wordt door [ 1 ( )( x 2x x 2) ] 1/2 + 3 sinh 1 x = x ( )( ) [ 1/2 2x 2 3 x 2 3 ( ln x x 2) 1/2 ] 1 8 g(x) zodat P e = πm4 ec 5 3h 3 g(x). (4.22) Tenslotte schrijven we met behulp van de definitie van x het aantal elektronen als n e = ρ = 8πm3 ec 3 µ e m u 3h 3 x 3. (4.23) 62

77 Figuur 4.5: Een oppervlakte element dσ met normaalvector n en een willekeurige eenheidsvector s, welke de as is van de ruimtehoek dω s. Deze laatste twee vergelijkingen definiëren de functie P e (n e ). Om een uitdrukking voor de toestandsfunctie P e (ρ) te vinden, leiden we eerst het asymptotisch gedrag van de functie g(x) af. Hiertoe schrijven we x als x = p F m e c = v F /c (1 v 2 F /c2 ) 1/2 of v 2 F c 2 = x2 1 + x2, (4.24) waarbij v F de snelheid van de elektronen met een impuls p = p F voorstelt. Wanneer x 1, dan is v F /c 1 en bewegen de elektronen merkelijk trager dan de lichtsnelheid (niet-relativistische limiet). Anderzijds impliceert x 1 dat v F /c 1. Hoe groter x hoe meer elektronen relativistisch bewegen en voor heel grote x bewegen nagenoeg alle elektronen relativistisch. De functie g(x) heeft volgend asymptotisch gedrag: x 0 : g(x) 8 5 x5, x : g(x) 2x 4. (4.25) Wanneer x 1 kunnen relativistische effecten verwaarloosd worden. (4.22) levert in deze limiet P e = 8πm4 ec 5 15h 3 x 5. (4.26) Substitueren we hierin de uitdrukking voor x gegeven in (4.23), dan bekomen we P e = 1 20 ( 3 π) 2/3 h 2 m e n 5/3 e = 1 20 ( 3 π) 2/3 h 2 m e ( ρ µ e m u ) 5/3, (4.27) waar we in de laatste stap gebruikt hebben dat ρ = n e µ e m u. We merken op dat deze toestandsfunctie de vorm van een polytroop heeft met γ = 5/3, n = 3/2. Voor x 1 bevinden we ons in de extreem relativistische limiet en vinden we voor de elektronendruk P e = 2πm4 ec 5 3h 3 x 4. (4.28) 63

78 Opnieuw x substitueren op basis van (4.23) levert in dit geval ( ) 3 1/3 ( ) hc 3 1/3 ( ) hc ρ 4/3 P e = π 8 n4/3 e =. (4.29) π 8 µ e m u We vinden dus opnieuw een polytroop, ditmaal met γ = 4/3, n = 3. Voor beide extremen van het volledig ontaard elektronengas vinden we een polytropische toestandsfunctie (waarvan het verloop van de functie w geschetst werd in figuur 4.1) waarbij de constante K enkel bepaald wordt door natuurconstanten. Dit is in tegenstelling met de voorbeelden in vorige sectie waar K een vrije constante was die voor elke ster kan verschillen. Wanneer de temperatuur niet nul is zullen niet alle elektronen dicht op mekaar gestapeld zijn in cellen met een zo laag mogelijke impuls. Voor voldoende hoge temperaturen zullen de elektronen wel voldoen aan de Boltzmann statistiek. Er bestaat een continue overgang van een toestand van volledige ontaarding naar een toestand van een niet-ontaard gas. Men spreekt dan van partiële ontaarding. De verdeling van de fasecellen volgt dan een zogenaamde Fermi-Dirac statistiek, die een ontaardingsparameter ψ [, ] bevat. Deze parameter geeft aan welke fractie van de cellen opgevuld is en is afhankelijk van n e en T. In dit geval kan de toestandsfunctie niet meer als een eenvoudige analytische relatie tussen de elektronendruk en de dichtheid geschreven worden. Voor ψ vinden we in het geval van het niet-relativistische partieel ontaard elektronengas een elektronendruk die dezelfde is als diegene voor het ideaal gas: P e = n e kt. Voor een niet-relativistisch partieel ontaard gas met ψ 1 (grote graad van ontaarding) vinden we de toestandsfunctie (4.27) terug. Voor de relativistische limiet van sterke ontaarding (ψ + ) vinden we de toestandsfunctie (4.29) terug. Een belangrijke grafiek is diegene waar men de temperatuur uitzet t.o.v. de dichtheid en vervolgens de gebieden waarin verschillende benaderingen voor de toestandsvergelijking geldig zijn aanduidt. Voor het opstellen van zulk een grafiek verwijzen we naar de oefeningen. 4.3 De limietmassa van Chandrasekhar We beschouwen nu een polytropisch model waarin de druk verbonden is met een niet-relativistisch ontaard elektronengas. De centrale dichtheid en gemiddelde dichtheid stijgt in zulk een medium met stijgende stermassa. Echter, wanneer de dichtheid stijgt wordt het elektronengas meer en meer relativistisch. We kunnen ons dan voorstellen dat we evolueren naar een ster met een relativistische kern waarin de druk beschreven wordt door een polytroop met n = 3 (zie 4.29) en een niet-relativistische enveloppe met een druk gegeven door een polytroop met n = 3/2 (zie 4.27). Er moet dan een overgangsgebied zijn waarin de druk continue varieert en een waarde aanneemt tussen beide uitdrukkingen (4.27) en (4.29). Het was de fysicus Chandrasekhar die voor het eerst zulke modellen beschouwde om de zogenaamde witte dwergen (zie voorlaatste hoofdstuk) te begrijpen. De vraag rijst dan hoe zulk een model varieert met stijgende massa. Bij kleine M blijft het hele model niet-relativistisch en geeft een polytroop met n = 3/2 een goede beschrijving. Wanneer de centrale 64

79 dichtheid hoog genoeg is zal een steeds groter gedeelte van de sterkern relativistisch worden. We verwachten dat de ster uiteindelijk evolueert naar een toestand waarbij alle deeltjes relativistisch bewegen en de druk wordt beschreven door een polytroop met polytropische index n = 3. Deze zienswijze stuit echter op het volgend probleem. Uit de definitie van de veranderlijke z vinden we waardoor uit M ρ c R 3 volgt dat R ρ 1 n 2n c, (4.30) M ρ 3 n 2n c. (4.31) We stellen dus vast dat de massa van een polytroop met n = 3 niet afhangt van de centrale dichtheid: M =constante. Er is dus maar één toegestane massa voor een volledig ontaard relativistisch elektronengas die voldoet aan een polytroop met n = 3. Deze massa wordt volledig bepaald door natuurconstanten en de waarde van de functies z en w in het nulpunt van de polytroop met n = 3. De numerieke limietwaarde van de enige toegelaten massa bedraagt M Ch = µ 2 M. (4.32) e Oefening : Ga dit na door de centrale druk af te schatten. Men noemt (4.32) de limietmassa van Chandrasekhar. Ze duidt het eindpunt aan van het convergentieproces van modellen met stijgende centrale dichtheid. De limietmassa (4.32) is zeer laag als men bedenkt dat er zoveel sterren zijn die duidelijk veel zwaarder zijn. Echter, alle sterren die nog niet aan de ultieme eindfase van hun leven begonnen zijn, hebben een toestandsfunctie die ver afwijkt van een ontaard elektronengas en de beperking op de massa is voor hen dus absoluut niet van toepassing. Voor witte dwergen, echter, treedt effectief een ontaard elektronengas op zoals we zullen bespreken in het voorlaatste hoofdstuk. Voor deze sterren is µ e = 2 een goede benadering en vinden we de voorwaarde M < M Ch = 1.46 M. (4.33) Ondanks het feit dat we de limietmassa bepaald hebben aan de hand van een polytropisch model blijft het resultaat ook nagenoeg geldig voor een meer realistische toestandsfunctie, precies omdat voor extreem hoge dichtheden de druk van het elektronengas convergeert naar de polytropische druk met γ = 4/3, n = 3. Wanneer we werken met een meer realistisch, niet-polytropisch model vinden we M Ch = 1.44 M. Er is tot nu toe inderdaad nog geen enkele witte dwerg gevonden met een massa die M Ch overschrijdt. Voor zijn studie van witte dwergen heeft Chandrasekhar de Nobelprijs voor Natuurkunde gekregen. 4.4 Schematische weergave van de relevante toestandsfuncties In figuur 4.6 geven we een ruwe schets van de verschillende toestandsfuncties van het gas weer in een (temperatuur, dichtheid)-diagram. Boven de puntjeslijn overheerst de stralingsdruk. Onder de volle lijn zijn 65

80 Figuur 4.6: Toestand van het stergas als functie van de temperatuur (uitgedrukt in K) en de dichtheid (uitgedrukt in g/cm 3 ). de elektronen ontaard, hetzij relativistisch (rechts van de streepjeslijn), hetzij niet relativistisch (links van de streepjeslijn). De dikke streepjeslijn duidt een model voor de Zon aan. Oefening : Verklaar figuur 4.6 aan de hand van de beschrijving van de verschillende toestandsfuncties die behandeld werden. Tot nu toe hebben we de interactie tussen de ionen verwaarloosd. Dit is niet langer gerechtvaardigd voor hoge dichtheden en lage temperaturen, omdat hun Coulomb interactie dan begint mee te spelen. Eerder dan vrij te bewegen zullen de ionen zich, in de gepaste omstandigheden, ordenen in een rooster zodat hun energie minimaal is. Men kan op basis van kristallisatietheorie uitrekenen voor welke combinaties van temperatuur en dichtheid deze effecten beginnen domineren. Dit kristallisatiedomein wordt aangegeven door de puntstreepjeslijn in figuur 4.6. In het inwendige van sterren zijn de dichtheden wel hoog, maar de temperatuur evenzeer. Voor sterren is het kristallisatiedomein daarom niet van belang. Afkoelende witte dwergen, echter, komen weldegelijk in dit domein terecht, vermits hun dichtheid essentieel gelijk blijft maar zij neerdalen in het HR diagram langs het koelingsspoor (zie verder). Zij verkrijgen op den duur een gekristalliseerde kern van koolstof en zuurstof. Koude witte dwergen zijn dus in feite reuzediamanten; ze zijn massaal aanwezig in het Heelal! 66

81 Hoofdstuk 5 Energietransport De energie die een ster straalt doorheen haar oppervlak is afkomstig van de hete centrale delen. Dit betekent dat er transport van energie plaatsgrijpt doorheen het stermateriaal. Dit energietransport is mogelijk dank zij het bestaan van een temperatuursgradiënt. Afhankelijk van de omstandigheden gebeurt het transport door straling, conductie of convectie. De deeltjes (fotonen, atomen, elektronen) worden continu uitgewisseld tussen warmere en koelere regionen. Hun reisweg en het temperatuursverschil met de omgeving bepalen hoe het energietransport gebeurt. In dit hoofdstuk bespreken we de vergelijking die het energietransport beschrijft. Deze vergelijking vormt de volgende basisvergelijking voor de sterstructuur. 5.1 Transport door straling We starten met enkele ruwe afschattingen van cruciale grootheden die het radiatief transport kenmerken. Deze zullen ons toelaten het formalisme enorm te vereenvoudigen Gemiddelde vrije weglengte Een eerste afschatting betreft de gemiddelde vrije weglengte l f van een foton dat zich in een punt in een ster bevindt waar een dichtheid ρ heerst: l f = 1 κρ, (5.1) met κ de gemiddelde absorptiecoëfficiënt of opaciteit, waarmee we de microscopische radiatieve werkzame doorsnede per eenheidsmassa, gemiddeld over alle frequenties, bedoelen. We lichten eerst de betekenis van een werkzame doorsnede en de gemiddelde vrije weglengte toe, welke begrippen zijn die ingevoerd worden in de algemene context van botsingswaarschijnlijkheden. 67

82 De vraag die we ons stellen is onder welke voorwaarde twee deeltjes een botsing zullen ondergaan. Wanneer we twee sferisch symmetrische deeltjes A en B beschouwen, met respectievelijke stralen r a en r b, dan botsen ze met elkaar als de onderlinge afstand d tussen hun centra kleiner of gelijk wordt aan de som van de stralen: d r a + r b. Deze voorwaarde kan eveneens uitgedrukt worden door te zeggen dat het centrum van het deeltje B (het projectiel) moet vallen binnen of op de cirkel met middelpunt A en straal r = r a + r b. Men kan bijgevolg de botsing opvatten als een botsing van een stationair deeltje met straal r a +r b en een puntvormig invallend deeltje. Het sferisch stationair deeltje kan verder nog vervangen worden door een cirkelvormige schietschijf loodrecht op de invalsrichting. De oppervlakte van deze schijf wordt de microscopische werkzame doorsnede κ genoemd en is gelijk aan κ = π(r a + r b ) 2. We beschouwen nu een balkvormige planparallelle sterlaag met afmetingen l l dx, waarbij de dikte van de laag dx zodanig klein is dat in de richting evenwijdig met dx de schietschijven elkaar niet bedekken en waarbij de invalsrichting van de projectielen evenwijdig is met dx. We veronderstellen dat in de planparallelle laag een dichtheid ρ heerst. In totaal bevat de laag dan ρl 2 dx schietschijfjes. Deze hebben een totale werkzame doorsnede gegeven door κρl 2 dx. De waarschijnlijkheid dat een invallend deeltje een botsing zal ondergaan wordt gedefinieerd door de verhouding van de oppervlakte ingenomen door een eenheidsmassa van schietschijfjes tot de totale oppervlakte van de laag en is bijgevolg gelijk aan κρl 2 dx/l 2 = ρκdx. Het product κρ noemt men de macroscopische werkzame doorsnede per eenheidsmassa. Deze heeft de dimensie van een reciproke lengte. Indien de waarschijnlijkheid voor een botsing p is voor één invallend deeltje, dan betekent dit dat men gemiddeld 1/p deeltjes zal moeten afsturen op de planparallelle laag om één botsing te laten plaatsgrijpen. In het beschouwde geval moet men dus gemiddeld 1/ρκdx deeltjes in een eenheidsmassa van de planparallelle laag zenden om een botsing teweeg te brengen over de afstand dx. De gemiddelde afstand die het deeltje zal afleggen vooraleer een botsing te ondergaan is dan 1/ρκdx/dx = 1/ρκ per eenheidsmassa. Deze gemiddelde afstand noemt men de gemiddelde vrije weglengte. In het geval de projectielen fotonen zijn, noteren we de gemiddelde vrije weglengte als l f. De opaciteit hangt af van de interactie van straling en materie, met name van de gedetailleerde verdeling van de atomen in het gas, van de bezetting van de energieniveaus, van de ionisatiegraden en van de toestandsfunctie van het gas. Het weze duidelijk dat de berekening van κ een gigantisch werk is, waar wetenschappers van verschillende grote internationale teams aan werken. Het resultaat van zulke activiteit is het opstellen van zogenaamde opaciteitstabellen, waarin de waarden van κ beschreven staan in functie van de dichtheid, de temperatuur en de chemische samenstelling. Er bestaan enkele eenvoudige benaderingen voor de opaciteit, die een idee geven van de afhankelijkheid ervan van de thermodynamische toestand van het gas beschreven door ρ en T. De benadering van Kramers is de best gekende: κ = κ 0 ρ T 3.5, (5.2) waarbij κ 0 een constante is die afhangt van de chemische samenstelling. Deze dichtheids- en temperatuursafhankelijkheid van de opaciteit is nauwkeurig in het sterinwendige van laagmassieve sterren, waar de temperatuur vrij laag blijft. In de stercentra van zware sterren domineert de verstrooiing aan vrije elektronen (Thomson verstrooiing) de opaciteit, welke hierdoor onafhankelijk van de dichtheid en de temperatuur wordt. Dit laatste geldt eveneens algemeen wanneer een gas volledig geïoniseerd is. In dat geval vormt 68

83 κ e = 0.2(1 + X) 0.4 cm 2 /g een goede benadering voor de opaciteit. Dit is meteen een benedenlimiet voor κ, vermits gebonden-gebonden overgangen in partieel geïoniseerde atomen veel bijdragen tot de opaciteit. Bij temperaturen beneden K domineert de absorptie van fotonen door het negatief waterstofion (het waterstof atoom met een extra elektron) H de opaciteit. Deze situatie treedt op in de atmosfeer van sterren met massa beneden één zonsmassa. De extra elektronen worden hier geleverd door de ionisatie van metalen. De opaciteit is in dit geval evenredig met de deeltjesdichtheid van H en dus met de dichtheid van de elektronen. Anders gezegd: de opaciteit wordt volledig bepaald door de graad van ionisatie en zij stijgt met stijgende temperatuur, in tegenstelling tot in uitdrukking (5.2) welke geldig is in sterinwendigen. Als typische waarden voor κ in een ster kunnen we het geval van geïoniseerd waterstof in de sterkern beschouwen: κ 1 cm 2 /g. Voor de gemiddelde dichtheid van de Zon, ρ = 3M /4πR 3 = 1.4 g/cm 3, bekomen we aan de hand van κ e een bovenlimiet voor de gemiddelde vrije weglengte van de fotonen gegeven door l f 2 cm! Fotonen ondergaan vele botsingen vooraleer ze van hun plaats van creatie (het stercentrum) het steroppervlak bereiken. Dit betekent dat stermateriaal in het algemeen zeer opaak is. Dit is niet meer geldig in de fotosfeer van een ster of in rode reuzen, waar de gemiddelde vrije weglengte van een foton veel groter is De temperatuursgradiënt Een typische waarde voor de temperatuursgradiënt in een ster zoals de Zon kan bekomen worden door gemiddelden voor de temperatuur en de afstand tussen het stercentrum (T C 10 7 K) en het steroppervlak (T O 10 4 K) te nemen: T r T C T O Kcm 1, (5.3) R m.a.w. 14 K per kilometer. Het stralingsveld in een gegeven punt wordt bepaald door een klein, zo goed als isotherm gebied, dat het punt omgeeft. Immers, het verschil in temperatuur in dit gebied bedraagt ongeveer T = l f (dt/dr) K. De relatieve anisotropie van de straling in een punt met temperatuur T = 10 7 K wordt veroorzaakt door T/T Deze getalwaarde toont dat de toestand in het sterinwendige van de Zon inderdaad zeer dicht bij thermisch evenwicht moet zijn en dat straling zeer goed kan benaderd worden door die van een zwarte straler, waarvoor de energiedichtheid T 4 en dus de relatieve anisotropie van de straling bedraagt. Ondanks het feit dat de anisotropie zeer klein is, is ze toch verantwoordelijk voor de enorme lichtkracht van de ster. Een fractie van van de flux uitgestraald door 1 cm 2 van een zwarte straler met een temperatuur van 10 7 K is nog steeds 1000 keer groter dan de flux die we ontvangen van het zonsoppervlak! De diffusiebenadering Het radiatief energietransport in een ster treedt op omwille van een surplus aan buitenwaartse straling (gestraald vanuit heter materiaal dichter bij de kern) t.o.v. de binnenwaarts gerichte straling (gestraald vanuit 69

84 koelere buitenlagen). De afschattingen hierboven beschreven tonen dat de gemiddelde vrije weglengte van de transporterende deeltjes (fotonen) bijzonder klein is t.o.v. de karakteristieke lengte waarover het transport gebeurt (de sterstraal): l f /R In dit geval mogen we het energietransport behandelen als een diffusieproces, wat een enorme vereenvoudiging van het formalisme met zich meebrengt. We herhalen dat deze benadering niet goed is in de fotosfeer van de ster. Algemene beschrijving We herhalen eerst de diffusievergelijking in algemene natuurkundige termen. In het algemeen wordt de diffusieve flux f van deeltjes per eenheid van oppervlak, per eenheid van tijd, gemiddeld over alle frequenties, tussen gebieden van verschillende deeltjesdichtheid n (uitgedrukt per eenheid van volume) gegeven door f = D n. (5.4) Hierbij wordt de diffusiecoëfficiënt D bepaald door enerzijds de snelheid v van de deeltjes en anderzijds hun gemiddelde vrije weglengte l d : D = 1 3 vl d. (5.5) Deze vorm van de diffusievergelijking is algemeen. We geven even een korte toelichting hoe ze tot stand komt. Onderstel dat in een gaslaag de beweging van deeltjes in één richting gebeurt, nl. langs de x-as. Stel dat we de stroom van deeltjes doorheen een fictief oppervlak loodrecht op de x-as wensen te bepalen. Het aantal deeltjes per eenheid van volume links van het vlak noteren we als n, die rechts van het vlak als n +. Om in een tijdsinterval t doorheen het vlak te kunnen bewegen, mogen de deeltjes zich maximaal op een afstand v x t bevinden, waarbij v x hun snelheid in de x-richting is. De helft van de deeltjes op afstand v x t zal zich in de richting van het vlak verplaatsen, de andere helft beweegt weg van het vlak. De netto stroom van deeltjes doorheen het vlak per eenheid van tijd bedraagt dan: f x = n v x t 2 t n +v x t 2 t = (n n + ) v x. (5.6) 2 Voor de betekenis van n en n + redeneren we als volgt: elk van de deeltjes kan zich maximaal over een afstand l x bewegen alvorens te interageren met een ander deeltje. We kunnen zodoende het verschil in deeltjesdichtheid links en rechts van het vlak verbinden met de gemiddelde vrije weglengte op volgende wijze: n + n = dn dn x = dx dx 2l x. (5.7) De flux in de x-richting wordt dan: f x = l x v x dn dx. (5.8) We nemen aan dat er geen voorkeursrichting bestaat. Gemiddeld kunnen we dan de snelheid van de deeltjes in de 3 ruimtelijke richtingen even groot nemen. In dat geval schrijven we de snelheid in de x-richting als 70

85 v x v/ 3. Een analoge redenering geldt voor de gemiddelde vrije weglengte: l x = l/ 3. We vinden zo uiteindelijk f x = 1 3 lvdn dx, (5.9) waarvan de veralgemening naar drie dimensies de vergelijkingen gegeven in (5.4) en (5.5) oplevert. Toepassing op het stergas Om de overeenkomstige radiatieve energieflux in een ster, gemiddeld over alle frequenties, f te bekomen, vervangen we achtereenvolgens n door de energiedichtheid (ditmaal per eenheid van volume om de klassieke vorm van de diffusievergelijking handig te kunnen overnemen) van een zwarte straler u = at 4, v door de lichtsnelheid c en l d door l f gegeven in (5.1). Door de sferische symmetrie van de configuratie heeft f slechts een radiale component f r = f = f en reduceert u zich tot de afgeleide in de radiale richting: u r = 4aT 3 T r. (5.10) Tot nu toe werkten we bij de afleiding van de sterstructuurvergelijkingen echter steeds per eenheid van massa en in dat geval krijgen we dus uiteindelijk: f = 4ac T 3 T 3 κρ r. (5.11) We kunnen deze vergelijking formeel beschouwen als een vergelijking voor warmteconductie door ze te schrijven als f = k rad T, (5.12) met k rad 4ac T 3 3 κρ (5.13) de conductiecoëfficiënt voor het radiatief transport. Wanneer we vergelijking (5.11) oplossen naar de temperatuursgradiënt en f vervangen door de lokale lichtkracht l = 4πr 2 f bekomen we T r = 3 16πac κρl r 2 T 3. (5.14) Tenslotte bekomen we, na transformatie naar de onafhankelijk veranderlijke m, de basisvergelijking voor het radiatief energietransport: T m = 3 κl 64π 2 ac r 4 T 3. (5.15) Deze vergelijking wordt de Eddington vergelijking voor het energietransport door straling genoemd. We benadrukken dat deze eenvoudige vergelijking niet geldig is dicht bij het steroppervlak omdat de gemiddelde vrije weglengte daar, ten gevolge van de kleine dichtheid, vergelijkbaar wordt met de nog resterende afstand tot het steroppervlak. Hierdoor geldt de diffusiebenadering niet meer in de steratmosfeer 71

86 en dient daar een veel gecompliceerdere differentiaalvergelijking opgelost te worden om het energietransport te beschrijven. We beperken ons in deze cursus tot het gebied in de ster waar de diffusiebenadering gerechtvaardigd is. Voor een beschrijving van het energietransport in de steratmosfeer verwijzen we naar de cursussen Radiative Processes in Astronomy en Stellar Atmospheres in de Leuvense Master Sterrenkunde Het Rosseland gemiddelde van de opaciteit De bovenstaande vergelijkingen zijn onafhankelijk van de frequentie ν vermits f, l en κ gedefinieerd werden als gemiddelden over alle frequenties. We bespreken nu een handige en nauwkeurige methode om dit gemiddelde voor de opaciteit κ te bepalen. We noteren het feit dat κ afhangt van de frequentie ν door een benedenindex ν toe te voegen. We doen dit voor alle relevante grootheden die frequentie-afhankelijk zijn: κ ν, l ν, D ν, u ν en zo verder. Voor de diffusieve stralingsflux f ν in het frequentie interval [ν, ν+dν] schrijven we nu f ν = D ν uν met D ν = 1 3 cl ν = c 3κ ν ρ. (5.16) De energiedichtheid in het frequentie interval [ν, ν + dν] wordt gegeven door u ν (T) = 4π c B ν(t) = 8πh c 3 ν 3 exp(hν/kt) 1, (5.17) waarbij B ν (T) en u ν (t) de Planck functie voor respectievelijk de intensiteit en de energiedichtheid van een zwarte straler voorstellen (zie Bijlage A). We verkrijgen zo u ν = 4π c B T T. (5.18) Deze laatste uitdrukking levert, samen met (5.16), volgende uitdrukking voor de totale, over alle frequenties geïntegreerde flux f: ( 4π ) 1 B f = f ν dν = 0 3ρ 0 κ ν T dν T. (5.19) We bekomen zo terug een vergelijking van de vorm (5.12), maar nu met k rad = 4π 3ρ 0 1 B dν. (5.20) κ ν T Als we deze uitdrukking voor k rad vergelijken met deze gegeven in (5.13), dan bekomen we een goede methode voor het uitmiddelen van de absorptiecoëfficiënt: 1 κ π act 3 Dit is het zogenaamde Rosseland gemiddelde van de opaciteit. Vermits 0 0 B act 3 dν = T π 1 B dν. (5.21) κ ν T (5.22) is het Rosseland gemiddelde een harmonisch gemiddelde met gewichtsfunctie B/ T. Het is eenvoudig te bepalen eens de functie κ ν gekend is in de vorm van de opaciteitstabellen hierboven besproken. 72

87 Om de fysische interpretatie van het Rosseland gemiddelde te achterhalen herschrijven we f ν = D ν uν met behulp van uitdrukkingen (5.16), (5.17) en (5.18): ( ) 1 B 4π f ν = T. κν T 3ρ (5.23) Dit resultaat toont dat, voor een gegeven punt in de ster (gegeven ρ en T ), de integrand in uitdrukking (5.21) voor alle frequenties evenredig is met de netto energieflux f ν. Het Rosseland gemiddelde is dus zodanig geconstrueerd dat het grootste belang wordt gegeven aan de frequenties met maximale energieflux. In die zin kan men stellen dat een gemiddelde transparantie, eerder dan opaciteit, wordt berekend. Een nadeel van het ingevoerde Rosseland gemiddelde is dat de opaciteit κ van een mengsel van twee verschillende gassen met opaciteiten κ 1 en κ 2, niet gelijk is aan de som van de opaciteiten: κ κ 1 + κ 2. Daarom is het niet voldoende om het Rosseland gemiddelde van twee verschillende gassen, die samen in een gasmengsel optreden, te kennen voor de bepaling van het Rosseland gemiddelde van het gasmensel. Indien het gas bijvoorbeeld bestaat uit een fractie X aan waterstof en een fractie Y aan helium, dan moet het Rosseland gemiddelde berekend worden voor κ ν = Xκ ν(h) + Y κ ν(he). Telkens de abondantie X/Y verandert, zal eerst κ ν opnieuw moeten bepaald worden vooraleer het Rosseland gemiddelde met behulp van uitdrukking (5.21) kan berekend worden. Tot nu toe hebben we ondersteld dat de energieflux enkel een gevolg is van een diffusieproces waaraan de fotonen deelnemen. In de volgende secties zullen we echter nog twee andere wijzen van energietransport bespreken. Daarom duiden we van nu af aan alle grootheden die verband houden met het radiatief energietransport aan met subindex rad, bijvoorbeeld κ rad, f rad, enz. 5.2 Transport door conductie Energietransport door warmte conductie treedt op door botsingen ten gevolge van de thermische beweging van deeltjes zoals elektronen en kernen in geïoniseerde materie en atomen en moleculen in niet-geïoniseerde materie. In het doorsnee stermateriaal is warmte conductie geen belangrijke vorm van energietransport. De werkzame doorsnede voor botsingen van de deeltjes is wel vrij laag in het sterinwendige (ongeveer cm 2 per deeltje), maar de grote dichtheid zorgt ervoor dat de gemiddelde vrije weglengte verschillende grootte-orden kleiner is dan diegene voor de fotonen. Bovendien bedragen de snelheden van de deeltjes slechts een kleine fractie van de lichtsnelheid c. Hierdoor is de diffusiecoëfficiënt D veel kleiner dan diegene voor radiatief transport door fotonen. Deze situatie verandert echter wanneer we te maken krijgen met de sterkernen van geëvolueerde sterren waarin het elektronengas ontaard is. De dichtheid in een ontaard elektronengas is enorm groot: 10 6 g cm 3, maar anderzijds bereiken de elektronen snelheden die een grote fractie van c bedragen. De ontaarding doet bovendien de gemiddelde vrije weglengte aanzienlijk stijgen. Hierdoor wordt de diffusiecoëfficiënt groot, wat resulteert in een belangrijk energietransport door warmteconductie. Deze vorm van energietransport overheerst dan het radiatief transport. 73

88 De energieflux ten gevolge van warmteconductie f cd kunnen we eveneens schrijven als f cd = k cd T. De som van de radiatieve en conductieve flux schrijven we dan als f = f rad + f cd = (k rad + k cd ) T. (5.24) Analoog als in (5.13) kunnen we de conductiecoëfficiënt k cd formeel schrijven als k cd = 4ac 3 T 3 κ cd ρ, (5.25) waarbij we de conductieve opaciteit κ cd ingevoerd hebben. De totale energieflux wordt dan f = 4ac T 3 ( ) T. (5.26) 3 ρ κ rad κ cd Deze vergelijking toont dat we formeel dezelfde vergelijking bekomen als in de zuivere radiatieve situatie (5.11), indien we 1/κ daar vervangen door 1/κ rad +1/κ cd. Het transportmechanisme dat domineert (dat de grootste transparantie heeft) zal op deze wijze de som domineren. Vergelijking (5.15) met aangepaste κ geldt zowel voor radiatief als conductief transport. We zullen deze vergelijking nu herschrijven in een vorm die later handig zal blijken. In de onderstelling van hydrostatisch evenwicht delen we (5.15) door (3.17) en bekomen zo ( T/ m) ( P/ m) = 3 16πacG κl mt 3. (5.27) We definiëren dan de verhouding van de partiële afgeleiden in het linkerlid als (dt/dp) rad : de variatie van T met de diepte waarbij de diepte wordt uitgedrukt in termen van de druk, welke monotoon stijgt naar de sterkern toe. Voor een ster in hydrostatisch evenwicht die energie transporteert via straling en conductie heeft (dt/dp) rad de betekenis van een gradiënt die de temperatuursvariatie met de diepte beschrijft. Voeren we de gebruikelijke afkorting ( ) d lnt rad (5.28) d lnp rad in, dan bekomen we voor (5.27) 3 κlp rad = 16πacG mt 4, (5.29) waarbij κ steeds duidt op de gecombineerde opaciteit ten gevolge van zowel conductief als radiatief transport. rad noemt men de radiatieve temperatuursgradiënt. Het is een lokale logaritmische afgeleide van de temperatuur naar de druk die nodig zou zijn indien de lichtkracht volledig zou moeten worden getransporteerd door straling. We merken op dat rad en ad verschillend gedefinieerd zijn en naast een verschillende numerieke waarde ook een andere fysische betekenis hebben. rad duidt op een lokale afgeleide die P en T verbindt in twee naburige massa-elementen terwijl ad een thermodynamische afgeleide is, die de thermische variatie van één bepaald massa-element beschrijft gedurende zijn adiabatische compressie. Opnieuw kunnen we een karakteristieke tijdschaal definiëren aan de hand van vergelijking (5.29), namelijk de thermische tijdschaal of ook de tijdschaal van thermische aanpassing τ th. Men kan tonen dat 74

89 τ th τ HK wanneer we een gemiddelde waarde van deze tijdschalen over de gehele ster beschouwen. Dit betekent dat de Helmholtz-Kelvin tijdschaal kan beschouwd worden als de tijd die een thermische fluctuatie nodig heeft om van de sterkern naar het steroppervlak te reizen. Ondanks de equivalentie tussen de twee tijdschalen is het best om ze apart te gebruiken. Het is immers zo dat de Helmholtz-Kelvin tijdschaal meestal gebruikt wordt voor de gehele ster terwijl de tijdschaal van thermische aanpassing vaak gebruikt wordt voor bepaalde lokale lagen in de ster en dat deze waarden fel verschillen van laag tot laag. 5.3 Stabiliteitsanalyse Tot nu toe hebben we onze behandeling gebaseerd op de onderstelling van strikte sferische symmetrie. We onderstellen dus dat alle functies constant zijn over concentrische sferen. In de praktijk treden er kleine fluctuaties op, bijvoorbeeld de thermische beweging van de gasdeeltjes. Zulke lokale storingen kunnen verwaarloosd worden, op voorwaarde dat ze nooit uitgroeien tot macroscopische niet-sferische lokale bewegingen. Dit betekent dat we de onderstelling van sferische symmetrie in de basisvergelijkingen mogen bewaren indien we de veranderlijken beschouwen als nauwkeurige gemiddelde waarden over de concentrische sferen. De microscopische bewegingen kunnen echter een grote invloed op de sterstructuur hebben. Zo kunnen ze het stermateriaal vermengen ( mixing ) en bovendien energie transporteren. Dit laatste omdat hete gasbellen zullen stijgen terwijl koelere gasbellen dieper zinken. We spreken dan van energietransport ten gevolge van convectie. Het feit of convectie al dan niet optreedt in bepaalde sterlagen hangt af van het antwoord op de vraag of kleine optredende fluctuaties klein blijven dan wel kunnen uitgroeien. We hebben hier dus te maken met een vraag van stabiliteit. Daarom zullen we eerst criteria afleiden voor de stabiliteit t.o.v. lokale niet-sferisch symmetrische storingen alvorens convectief energietransport te behandelen Dynamische instabiliteit Het behandelen van dynamische instabiliteit steunt op de onderstelling dat de bewegende massa-elementen niet voldoende tijd hebben om een aanzienlijke fractie van hun warmte uit te wisselen met hun omgeving. Ze bewegen m.a.w. adiabatisch 1. Beschouw de situatie waarbij de fysische grootheden zoals temperatuur, dichtheid enz., de mogelijkheid hebben om niet exact constant te zijn aan de rand van een concentrische sfeer maar dat ze kleine fluctuaties kunnen ondergaan. Bij de behandeling van het globale probleem van de sterstructuur nemen we dan aan dat de functies die in vorige delen bepaald werden goede gemiddelden over de concentrische sferen zijn. Voor de lokale beschrijving zullen we een fluctuatie voorstellen door een massa-element (met benedenindex e ) te beschouwen waarin de functies een lichtjes andere waarde aannemen dan diegenen in de 1 Wanneer de massa-elementen wel voldoende tijd hebben om een aanzienlijke fractie van hun warmte uit te wisselen, bewegen ze diabatisch; men spreekt in de sterrenkunde in dit geval echter van een niet-adiabatische beweging, wat dus een dubbele negatie is. 75

90 Figuur 5.1: Het element e met oorspronkelijke positie r wordt door een fluctuatie opgetild naar positie r + r. naburige omgeving, aangeduid met benedenindex o (omgeving). Voor een grootheid A definiëren we het verschil DA tussen het element en de omgeving als DA A e A o. Onderstel nu een kleine temperatuursfluctuatie, bijvoorbeeld het voorkomen van een iets heter element met DT > 0. We zouden dan in eerste instantie een exces aan druk DP kunnen verwachten. Wat er echter zal gebeuren is dat het element zal uitzetten tot het drukevenwicht met de omgeving hersteld is. Deze expansie zal optreden met de geluidssnelheid en is bijgevolg veel sneller dan eender welke beweging die het element kan ondergaan. Daarom kunnen we onderstellen dat het element altijd in evenwicht blijft met zijn omgeving wat de druk betreft: DP = 0. Voor een ideaal gas met ρ P/T heeft het exces aan temperatuur DT dus tot gevolg dat Dρ < 0, m.a.w. het element wordt lichter dan diegenen in zijn omgeving en daardoor zal de stuwkracht van Archimedes, gegeven door g ρ, ervoor zorgen dat het element opgetild wordt. Temperatuursfluctuaties gaan dus gepaard met bewegingen van elementen in de radiale richting. Voor het testen van de stabiliteit van de laag kunnen we dus evenzeer een radiale verplaatsing r > 0 van de elementen als initiële perturbatie nemen. Beschouw dus een element dat volledig in evenwicht was met zijn omgeving op zijn originele positie r maar dat door een fluctuatie wordt opgetild naar de positie r + r (zie figuur 5.1). Het dichtheidsverschil tussen het element en zijn omgeving op positie r + r bedraagt Dρ = [( dρ dr ) e ( dρ dr ) o ] r, (5.30) waarbij (dρ/dr) e staat voor de verandering van de dichtheid van het element ten gevolge van het stijgen en de andere afgeleide een analoge betekenis heeft voor de dichtheid van de omgeving. Dρ geeft aanleiding tot een radiale component K r = gdρ/ρ van een kracht K per eenheidsmassa. Men noemt deze de stuwkracht van Archimedes. Wanneer Dρ < 0 is het element lichter dan die in de omgeving en is K r > 0, m.a.w. K is opwaarts gericht. Deze toestand is onstabiel vermits het element nog verder zal opgetild worden. Anderzijds 76

91 is K r < 0 bij Dρ > 0. In dit geval is K dus neerwaarts gericht. Het element is dan zwaarder dan die in de nieuwe omgeving waar het zich bevindt en als gevolg wordt het element terug naar beneden getrokken, wordt het evenwicht hersteld en blijft de laag stabiel. Als voorwaarde voor stabiliteit bekomen we dus ( ) dρ dr e ( ) dρ > 0. (5.31) dr 0 Dit criterium is jammer genoeg niet practisch toe te passen omdat het steunt op de kennis van de dichtheidsgradiënt, een grootheid die niet optreedt in de basisvergelijkingen van de sterstructuur. Het zou veel handiger zijn indien we een criterium konden afleiden dat gebaseerd is op de temperatuursgradiënt, vermits deze optreedt in de vergelijking die het (radiatief en conductief) energietransport beschrijft. Om (dρ/dr) e correct uit te rekenen moeten we in principe de energie uitwisseling tussen het element en zijn omgeving bepalen. We maken hier de benadering dat er geen warmte uitwisseling is, m.a.w. dat het element zich adiabatisch verplaatst. Voor gebieden niet te ver van het sterinwendige is dit een goede benadering. Om nu de afgeleide van de dichtheid om te zetten naar een afgeleide van de temperatuur beschouwen we de toestandsfunctie ρ = ρ(p, T, µ) in de volgende differentiaalvorm: dρ ρ = αdp P δdt T + ϕdµ µ. (5.32) Definities van α en δ werden reeds ingevoerd. In betrekking (5.32) hebben we tevens een verandering in chemische samenstelling, welke gekenmerkt wordt door het moleculair gewicht µ, toegelaten. We onderstellen hierbij dat dµ = 0 voor het element dat zijn chemische samenstelling met zich meedraagt, maar dµ 0 voor de omgeving indien het element terechtkomt in een laag met andere chemische samenstelling. Hiertoe voeren we naar analogie met α en δ, welke nu moeten geëvalueerd worden voor constante T, µ respectievelijk P, µ, de volgende afgeleide in: ( ) lnρ ϕ. (5.33) lnµ P,T Voor een ideaal mono-atomische gas hebben we ρ P µ/t en dus α = δ = ϕ = 1. Het stabiliteitscriterium (5.31) kan nu met behulp van (5.32) geschreven worden in de vorm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α dp δ dt α dp δ dt ϕ dµ + > 0. (5.34) P dr e T dr e P dr o T dr o µ dr o De som van de twee termen die de drukgradiënt bevatten zijn nul omwille van de onderstelling DP = 0. We voeren nu een schaalhoogte van druk H P in: H P dr d lnp = P dr dp. (5.35) Vermits P daalt met stijgende r is H P > 0. Geschreven in termen van H P is de voorwaarde voor hydrostatisch evenwicht: H P = P/ρg. H P heeft de dimensie van een lengte. Het is nl. de lengte die de radiale variatie van P karakteriseert. Typische waarden zijn H P = cm in de fotosfeer van de Zon en ongeveer cm op een diepte gelijk aan R /2. Dicht bij het stercentrum wordt H P oneindig lang. 77

92 Wanneer we nu alle termen van (5.34) vermenigvuldigen met H P > 0 en rekening houden met δ > 0 wordt de voorwaarde voor stabiliteit omgevormd tot ( ) ( ) d lnt d lnt < + ϕ ( ) d lnµ. (5.36) d lnp o d lnp e δ d lnp o Analoog aan de grootheden rad en ad definiëren we nu drie nieuwe afgeleiden: ( ) ( ) ( ) d lnt d lnt d lnµ, e, µ. (5.37) d lnp d lnp d lnp o en µ zijn ruimtelijke afgeleiden, die geëvalueerd dienen te worden in de nieuwe omgeving van het massa-element. In de gedefinieerde afgeleiden wordt de variatie van T en µ met de diepte beschouwd, waarbij P als een maat voor de diepte optreedt. e beschrijft de variatie van T in het element tijdens zijn beweging, waarbij de positie van het element eveneens uitgedrukt wordt in termen van de druk P. e en ad zijn gelijkaardig gedefinieerd, vermits beiden de temperatuursvariatie van het gas in een massa-element, dat een drukverandering ondergaat, beschrijven. Daarentegen beschrijven rad en µ de ruimtelijke variatie van T en µ in de omgeving. Wanneer = rad gebeurt al het energietransport door straling. Is daarentegen < rad dan gebeurt een gedeelte van het energietransport door convectie. De voorwaarde voor stabiliteit wordt nu: e < e + ϕ δ µ. (5.38) In een laag waarin het energietransport enkel gebeurt door straling hebben we = rad. We onderzoeken nu de stabiliteit van zulk een laag in de onderstelling dat de elementen adiabatisch bewegen ( e = ad ). De voorwaarde voor stabiliteit luidt nu rad < ad + ϕ δ µ. (5.39) Deze stabiliteitsvoorwaarde staat bekend als het criterium van Ledoux voor dynamische stabiliteit. In een gebied met een homogene samenstelling bekomen we het Schwarzschild criterium voor dynamische stabiliteit: rad < ad. (5.40) Wanneer in de twee criteria het linkerlid groter is dan het rechterlid, is de laag dynamisch instabiel. Dit betekent dat het energietransport door straling een te grote temperatuursgradiënt zou opleggen, waardoor moet overgegaan worden tot convectie om de energie af te voeren. Wanneer beide leden gelijk zijn spreken we van marginale stabiliteit. Het verschil tussen de twee criteria is alleen van belang voor lagen waarin de chemische samenstelling verandert in de radiale richting. Dit treedt op in lagen dicht bij de kern van geëvolueerde sterren, waar de zwaardere elementen dieper in de ster geproduceerd worden dan de lichtere elementen zodat µ fel verandert naar binnen toe. De laatste term in het rechterlid van het Ledoux criterium heeft dan een stabiliserende werking vermits een element dan zwaarder materiaal zal doen optillen naar een omgeving met lichter materiaal. De stuwkracht van Archimedes zal het zwaardere element dan terug naar beneden brengen totdat het zijn oorspronkelijke plaats terug inneemt. Wanneer de criteria van Ledoux of Schwarzschild voldaan zijn, dan gebeurt het energietransport uitsluitend radiatief en hebben we = rad. Er treden enkel convectieve bewegingen op in een ster wanneer de criteria van Ledoux of Schwarzschild niet voldaan zijn. Dit gebeurt wanneer : 78 o

93 l(r)/m(r) groot is, m.a.w. wanneer de energieproductie binnen een straal r bijzonder groot is. Dit treedt op in zware sterren, waardoor deze een convectieve kern zullen hebben. de opaciteit κ groot is. Dit treedt op in (de buitenste lagen van) sterren met lage (oppervlakte-) temperaturen. ad klein is. Dit treedt vooral op in de partiële ionisatiezones van waterstof, in de buitenlagen van koele sterren omdat c P daar bijzonder groot wordt (de warmte die wordt opgeslorpt wordt vooral gebruikt om de materie verder te ioniseren, niet om ze op te warmen). In dat geval zullen kleine storingen uitgroeien tot een grote amplitude totdat het hele gebied kookt van convectieve bellen die een deel van de energieflux vervoeren. Het energietransport moet dan behandeld worden zoals beschreven in de volgende sectie. Hieruit voorspellen we dus dat convectie optreedt in de binnenste regionen van zware sterren en verder in de buitenlagen van koele sterren. De verschillende ingevoerde temperatuursgradiënten voor de huidige Zon worden voorgesteld in figuur 5.2. Zoals reeds aangehaald wordt rad bijzonder groot in de buitenlagen van de Zon ten gevolge van de felle toename in de opaciteit. Verder daalt fel beneden 2/5 in de ionisatiezones van waterstof en helium. In het gebied dat convectief stabiel is geldt = rad en wordt de energie uitsluitend door straling afgevoerd. In bijna de gehele convectieve zone is slechts een weinig groter dan ad, behalve in een zeer dunne laag aan het bovenste gedeelte van de convectiezone. We merken nog op dat de criteria voor stabiliteit lokale criteria zijn. Hierdoor kunnen ze gemakkelijk geëvalueerd worden voor een bepaalde laag wanneer daar de lokale grootheden P, T en ρ gekend zijn, zonder dat we informatie over de andere delen van de ster nodig hebben. Anderzijds is het duidelijk dat de convectieve bewegingen niet enkel kunnen afhangen van lokale krachten (zoals ondersteld bij de afleiding van de criteria). Convectieve bewegingen kunnen een invloed hebben op de gehele sterstructuur, vermits ze in realiteit gekoppeld zijn aan alle naburige lagen via de basisvergelijkingen. Voor sommige doeleinden moet de reactie van de gehele ster t.o.v. convectie beschouwd worden. Een voorbeeld hiervan is de preciese bepaling van de grenzen van een convectieve zone, waar massa-elementen die elders versneld werden overschieten tot hun beweging gestopt wordt. Het is nog steeds niet duidelijk hoe belangrijk het overschieten is, terwijl dit effect van groot belang is bij het bepalen van evolutiemodellen. We komen hier verder op terug, maar dienen voor een gedetailleerde discussie eerst een bespreking te maken van convectief energietransport Vibrationele instabiliteit In een dynamisch stabiele laag wordt een verplaatst massa-element teruggehaald ten gevolge van de stuwkracht van Archimedes. Hierdoor heeft het echter impuls gewonnen, zal het overschieten en zodoende beginnen oscilleren. Indien in zulk een laag ook nog bepaalde niet-adiabatische effecten optreden, waarbij het element warmte afgeeft aan zijn omgeving door straling bij het uitzetten en warmte opneemt bij het krimpen, en bovendien de laag niet homogeen is in chemische samenstelling, kan nog een andere soort in- 79

94 Figuur 5.2: De verschillende temperatuursgradiënten in de huidige Zon. De volle lijn toont de effectieve temperatuursgradiënt. De puntjeslijn stelt de adiabatische temperatuursgradiënt ad voor. De streepjeslijn, tenslotte, stelt de radiatieve temperatuursgradiënt rad voor. Het bovenste paneel toont het gehele model en het onderste paneel slechts een zeer klein gebied nabij het zonsoppervlak. In het radiatieve gebied, wat zich ongeveer uitstrekt tot r 0.72R, geldt = rad en vallen de volle en streepjeslijn samen. In de convectiezone is zo goed als gelijk aan ad en vallen de volle en puntjeslijn samen, behalve uiterst dicht bij het oppervlak, waar de straling geen moeite meer heeft om snel te ontsnappen. 80

95 stabiliteit optreden. Dit gebeurt in een laag met een temperatuursgradiënt waarin enkel het criterium van Ledoux voldaan is, maar niet dat van Schwarzschild: ad < rad < ad + ϕ δ µ. (5.41) In dit geval is de laag dynamisch stabiel maar kan er een vibrationele instabiliteit optreden. Zulke vibrationele instabiliteit is verantwoordelijk voor de pulsaties die in sterren optreden. We verwijzen naar de mastercolleges Asteroseismology en Theory of Stellar Oscillations voor een nauwkeurige omschrijving van de voorwaarden en gevolgen van het optreden en aangroeien van vibrationele instabiliteit. 5.4 Transport door convectie Wanneer de opaciteit of de hoeveelheid te transporteren energie te groot wordt, kan stralingstransport niet langer op een stabiele wijze instaan voor het efficiënt afvoeren van de energie. Convectie neemt dan de taak van energie-afvoerder over. Onder convectief energietransport verstaan we een uitwisseling van energie tussen hetere en koelere lagen in een dynamisch instabiele laag door middel van het uitwisselen van macroscopische massa-elementen. Hierbij bewegen de hetere convectieve cellen naar boven terwijl de koelere dieper zinken. De bewegende cellen zullen oplossen in hun nieuwe omgeving en op die manier hun teveel of tekort aan warmte afstaan. Vermits de dichtheid nabij de sterkern zeer hoog is, kan convectie een enorm efficiënte wijze zijn om energie te transporteren. Een gedetailleerde theoretische behandeling van convectieve bewegingen in sterren is uiterst moeilijk en daardoor nog niet voorhanden. Dit is niet verwonderlijk, want zelfs convectieve bewegingen in een ketel met kokend water geven aanleiding tot zulk een complexe hydrodynamische bewegingen dat zelfs deze laatsten niet begrepen zijn. Het oplossen van de hydrodynamische vergelijkingen voor sterren waarbij convectie in rekening gebracht wordt, is tot nu toe enkel gebeurd voor vereenvoudigde situaties die uitgetest konden worden in laboratoria. Convectie in sterren gebeurt echter in extreme omstandigheden waarbij turbulente bewegingen enorm grote hoeveelheden energie transporteren in een zeer samendrukbaar gas, welk op zijn beurt een druk, dichtheid, temperatuur en graviteit heeft die vele grootte-orden van elkaar verschillen in verschillende lagen. Er zijn vele pogingen ondernomen om convectie zo nauwkeurig mogelijk in rekening te brengen. We beperken ons hier tot de beschrijving van de reeds lang ontwikkelde en eenvoudigste methode: de mixing length theorie. Deze theorie staat toe om convectie lokaal te behandelen op een relatief eenvoudige wijze. Bovendien is deze benadering de beste die tot nu toe voorhanden is voor gebieden nabij het sterinwendige. We zullen bovendien alleen sterren in hydrostatisch evenwicht beschouwen en we onderstellen ook dat de convectie tijdsonafhankelijk is. De mixing length theorie onderstelt dat convectie kan vergeleken worden met warmtetransport door moleculen. De transporterende deeltjes zijn dan echter macroscopische bellen in plaats van moleculen en hun gemiddelde vrije weglengte ( mixing length ) is de afstand waarover de bellen bewegen alvorens ze oplossen in hun nieuwe omgeving. De totale energieflux l/4πr 2 in een gegeven punt bestaat nu uit de 81

96 som van de radiatieve flux f rad (waarin we de eventuele bijdrage van conductie opnemen) en de convectieve flux f con. We hebben in (5.29) rad gedefinieerd als de gradiënt die nodig zou zijn om de totale energieflux te transporteren met behulp van straling. Een gedeelte van de flux wordt nu echter getransporteerd door convectie, waardoor de onbekende eigenlijke radiatieve gradiënt van de laag kleiner zal zijn: f rad + f con = 4acG 3 T 4 m κpr 2 rad (5.42) en f rad = 4acG T 4 m. (5.43) 3 κpr2 Hierbij is een nieuwe te bepalen onbekende. Hiervoor hebben we een uitdrukking voor f con nodig. Men onderstelt dan dat het convectief element zich radiaal beweegt over een afstand l m met een snelheid v en vervolgens terechtkomt in een omgeving waartegenover het een temperatuursexces DT heeft. Het lost daar op en geeft zijn surplus aan inwendige energie af. Omwille van de onderstelling dat het element in drukevenwicht blijft: DP = 0, bedraagt de afgegeven warmte c P DT. De lokale convectieve energieflux corresponderend met deze warmte-afgave bedraagt daarom f con = ρvc P DT. Men maakt dan een hele reeks onderstellingen om f con effectief uit te rekenen, o.a. over de hoeveelheid arbeid geleverd door de bel alvorens ze oplost in haar nieuwe omgeving, over de fractie van deze arbeid die wordt omgezet in kinetische energie van de bel en van de omringende massa-elementen, over het stralingsenergieverlies van de bel (doordat ze terechtkomt in een koelere omgeving), etc. Op die manier slaagt men erin te schatten. We laten hier deze complexe berekeningen achterwege, maar geven ze weer in Bijlage B. Het zwakke punt van de theorie van de mixing length (of eender welke variant ervan) is dat we geen fysische grondslag hebben die toelaat een waarde te berekenen voor l m. Daarom wordt de mixing length steeds als een vrije parameter genomen en uitgedrukt in schaalhoogte van druk: l m = αh P. Om een plausibele waarde te kiezen onderstelt men dat het belangrijkste gedeelte van het convectief energietransport gebeurt door de grootste bellen en dat deze geen merkelijk langere weg kunnen afleggen dan hun eigen diameter vooraleer ze hun identiteit verliezen. Voor de Zon vindt men α 1.75 omdat dit stermodellen oplevert die het best in overeenstemming zijn met waarnemingen van velerlei aard (o.a. de zonsoscillaties). Men neemt dan aan dat het energietransport in alle andere sterren ongeveer dezelfde eigenschappen heeft als voor de Zon en beschouwt daarom veelal α [1.5, 2.0] bij de berekening van het convectief transport in stermodellen. Bovendien, en dit is een veel grotere tekortkoming, is het zeer moeilijk om de precieze locatie te bepalen van de overgangslaag tussen een radiatieve en een convectieve zone. Dit komt omdat deze locatie afhangt van het zogenaamde fenomeen van convectief overschieten. Deze term wordt gebruikt om aan te duiden dat de convectieve bellen niet abrupt stoppen wanneer ze de radiatieve zone binnentreden, omwille van hun inertie. Hun beweging gaat nog even verder. In technische termen drukt men dit uit door nog een vrije parameter in te voeren, die men de overschiet-parameter α ov noemt. Deze is evenzeer gedefinieerd als een dimensieloze parameter uitgedrukt in schaalhoogte van druk. De bellen bewegen dus nog verder over een afstand α ov H P wanneer ze een radiatieve zone binnendringen. Een waarde voor α ov is nauwelijks gekend, en zou best wel eens heel verschillend kunnen zijn voor de convectiezones in sterren van verschillende 82

97 massa. Men beschouwt meestal α ov [0.0, 0.5] in moderne sterstructuurmodellen. Dit impliceert dan dat de convectieve zone uitloopt over een afstand α ov H P in een gebied waarin ook reeds stralingstransport gebeurt. Het is tot op heden niet duidelijk hoe het energietransport in deze overgangszone gebeurt, i.e. of men er best rad of ad gebruikt. Eén van de grote doelstellingen in het onderzoek naar sterstructuur is een observationele bepaling realiseren van α ov voor verschillende soorten sterren, met name diegenen met M > 2 M waarvoor de uitgebreidheid van de convectieve zone rondom de kern rechtstreeks de hoeveelheid stermateriaal bepaalt dat deelneemt aan de kernfusie. In die zin is de onbekende parameter α ov een cruciale onbekende in de theorie van de sterstructuur. Onafhankelijke methodes om α ov observationeel te bepalen worden behandeld in de cursussen Asteroseismology en Binary Stars. Naast het zopas besproken convectief energietransport heeft convectie nog een belangrijk effect voor het leven van de ster. Convectie is namelijk verantwoordelijk voor het vermengen van het stermateriaal en het doet dit op een tijdschaal die veel korter is dan de andere relevante tijdschalen die we tot nu toe behandelden. Daarom onderstelt men instantane vermenging in de hele convectieve zone. Hoe efficiënt de vermenging in de overschiet-zone gebeurt, is momenteel niet duidelijk. Op die manier levert de convectie dus ook een belangrijke bijdrage tot de chemische geschiedenis van de ster. We komen hierop terug in het volgende hoofdstuk. Dan tenslotte nog een opmerking i.v.m. het verwaarlozen van de interne rotatie, en dus van de Coriolisen centrifugaalkracht bij de bepaling van de sterstructuur. Het voornaamste effect van niet-starre interne rotatie is dat het, evenals convectie, efficiënte vermenging van het stermateriaal met zich meebrengt. In die zin is onze verwaarlozing van rotatie geen drama, omdat de vermenging van het stermateriaal algemeen wordt beschreven door α ov mee te nemen in de berekeningen. Een gedeelte van de waarde van α ov kan te wijten zijn aan convectief overschieten, een ander gedeelte aan rotationele vermenging. Het netto effect van beiden op sterevolutie valt niet te onderscheiden en in die zin hebben we het voornaamste effect van de interne rotatie in feite toch wel in rekening gebracht, zij het in geparametriseerde vorm. 83

98 84

99 Hoofdstuk 6 De chemische samenstelling van de materie 6.1 De relatieve massa abondanties De chemische samenstelling van het stermateriaal is uitermate belangrijk omdat het de basiseigenschappen zoals straling en energieproductie door kernreacties bepaalt. Deze reacties veranderen op hun beurt de chemische samenstelling. Het zijn de kernreacties die het leven van de ster vastleggen. De chemische samenstelling van de ster op het tijdstip t wordt beschreven door de functies X i = X i (m, t) met m [0, M]. Om de chemische samenstelling te beschrijven is het voordelig om m als onafhankelijk veranderlijke te nemen. Immers, zouden we een beschrijving in termen van r voorstellen, dan zouden alle functies X i (r, t), en tevens alle functies die afhangen van de chemische samenstelling, veranderen bij een kleine expansie of contractie met massabehoud. Vaak gebruikt men ook het deeltjesaantal per volume n i voor deeltjes met massa m i : X i = m i n i /ρ. Meestal hoeft men niet veel verschillende X i s te definiëren omdat de meeste deeltjes ofwel te zeldzaam zijn, ofwel een verwaarloosbare rol spelen, ofwel een constante abondantie in de loop van de tijd hebben. Voor de meeste doeleinden volstaat het om enkel de massafracties van waterstof, helium en alle andere elementen (ook de zware elementen genoemd) samen te specifiëren. We gebruiken hierdoor de notatie X X H, Y X He, Z 1 X Y. (6.1) Voor een gemiddelde ster ligt X nu in het interval [0.70,0.73]. Anderzijds varieert de massaabondantie van de zware elementen sterk, van Z = 10 6 tot ongeveer Z = Dit heeft belangrijke gevolgen voor onze kennis over de chemische evolutie van het Heelal. Tijdens de Big Bang werden vooral waterstof en helium, en zo goed als geen andere elementen (behalve een beetje lithium), gevormd (zie verder). Dit verklaart de relatief constante abondanties X, Y. Alle zwaardere elementen worden gevormd door de nucleosynthese in de sterren. Tijdens de late evolutiefasen van sterren verliezen deze een grote fractie van hun massa aan het interstellair medium, hetzij door een sterke sterrenwind op de asymptotische reuzentak, hetzij tijdens een supernova explosie (zie Deel III). Zodoende wordt het interstellair medium verrijkt 85

100 met zware elementen, welke dan vervolgens opgenomen worden in de nieuwe sterren die uit dit medium geboren worden. Hieruit volgt dat het brede gamma aan Z-waarden geïnterpreteerd moet worden als een brede waaier aan leeftijden van sterren. De sterren met lage Z zijn eerste-generatie sterren welke gevormd zijn nog vóór er een significante chemische verrijking van het interstellair midden heeft plaatsgehad. De kernreacties zullen uiteraard de oorspronkelijke samenstelling X, Y, Z veranderen en dit eenvoudige beeld ingewikkelder maken. Voor sommige doeleinden, bijvoorbeeld als men verhoudingen van isotopen (zie verder) wil bestuderen, zal de beschrijving in termen van slechts drie typen X i niet volstaan. Op de relatieve verdeling van de deeltjes binnen de Z groep, in het bijzonder de verdeling van C,N,O welke van belang zijn voor de waterstofverbranding, komen we later terug. 6.2 Variaties van de chemische samenstelling van sterren tijdens hun leven Variatie door kernreacties Veronderstel dat de X i enkel kunnen veranderen door het optreden van kernreacties, welke kernen van type i veranderen binnen een massa-element. De frequentie van een bepaalde reactie wordt gegeven door de reactiesnelheid r lm. Deze is gelijk aan het aantal reacties per eenheidsmassa en per eenheid van tijd die deeltjes van type l omzet in deeltjes van type m. In het algemeen kan een deeltje van type i door verschillende reacties beïnvloed worden, waarvan sommigen het deeltje zullen vernietigen (r ik ) en anderen het deeltje zullen creëren (r ji ). De reacties geven de verandering van n i per seconde. Vermits X i = m i n i /ρ hebben we: X i = m i r ji r ik, i = 1,...,I (6.2) t j k voor alle elementen van type 1,...,I die betrokken zijn in de reacties. Wanneer meer dan één kerndeeltje van type i gevormd of vernietigd wordt per reactie, dan kan dit in rekening gebracht worden door de corresponderende term in de som te vermenigvuldigen met een factor die gelijk is aan het aantal deeltjes i die betrokken zijn bij de reactie. De reactie p q die een deeltje van type p transformeert is verbonden met een winst of verlies aan energie e pq. In de vergelijking die het behoud van energie uitdrukt, hebben we de energieproductie ε per eenheidsmassa en per eenheid van tijd ingevoerd. ε bevat bijdragen van verschillende reacties en kan geschreven worden in termen van de reactiesnelheden: ε = ε pq = r pq e pq. (6.3) p,q p,q We voeren nu de energie in die gegenereerd wordt wanneer een eenheidsmassa van louter deeltjes van type p worden omgezet naar deeltjes van type q: q pq = e pq /m p. Voor eenvoudige gevallen is het handig om (6.2) te herschrijven in termen van ε vermits deze grootheid reeds optreedt in de vergelijking van 86

101 energiebehoud. Wanneer alle reacties een positieve bijdrage leveren tot ε kunnen we (6.2) omvormen tot X i = m i ε ji ε ik. (6.4) t m j j q ji q k ik Wanneer I verschillende type deeltjes gelijktijdig deelnemen aan de kernreacties vormen (6.2) of (6.4) een stel van I differentiaalvergelijkingen. Vermits één daarvan kan vervangen worden met behulp van de normeringsvoorwaarde (2.24) hebben we nog I 1 reactievergelijkingen nodig om het stel basisvergelijkingen die de sterstructuur bepalen te vervolledigen. In eenvoudige situaties kan het volstaan om slechts één reactievergelijking toe te voegen. Dit is het geval als waterstofverbranding de enige oorzaak van kernreacties is die relevant is voor de energieproductie. Stellen we de energieproductie van alle typen waterstofverbranding voor door ε H, dan is de enige vergelijking die moet beschouwd worden X t = ε H, (6.5) q H met Y/ t = X/ t waarbij q H de energiewinst per eenheidsmassa is wanneer waterstof wordt omgezet in helium. We voerden eerder reeds een algemene nucleaire tijdschaal τ n in gedefinieerd door τ n = E n /L. Voor elk type van verbranding kan men een nucleaire tijdschaal τ n,i definiëren. Dit is de tijdsspanne waarop uitputting van een bepaald type deeltje i ten gevolge van verbranding optreedt Variatie ten gevolge van convectie Het proces van vermenging van stermateriaal ten gevolge van turbulente convectieve bewegingen is een proces dat op zeer korte tijd actief is in vergelijking met de zeer trage variatie in chemische samenstelling veroorzaakt door kernreacties. Het is daarom een goede benadering om de chemische samenstelling van een convectieve laag als constant te beschouwen: X i / m = 0, m.a.w. de laag homogeen te onderstellen. Onderstel dat er zich een convectieve zone uitstrekt van massaschil m 1 tot massaschil m 2 (zie figuur 6.1). Binnen dat massa-interval zijn alle X i = X i constant. Aan de randen van de convectielaag kan in het algemeen een discontinuïteit optreden: de buitengrenzen X i1 en X i2 zijn dan verschillend van de binnenwaarde X i. Nu is het zo dat, naast de abondanties van de deeltjes van type i ook m 1 en m 2 kunnen veranderen in de loop van de tijd. De abondanties in een convectieve zone veranderen daarom volgens X i t 1 = m 2 m 1 (bewijs wordt achterwege gelaten). ( m2 m 1 X i t dm + m ) 2 (X i2 X i m ( ) ) 1 X i1 X i (6.6) t t Uitdrukking (6.6) toont dat de chemische samenstelling in een convectiezone gemakkelijk kan veranderen, zelfs indien er geen kernreacties plaatsvinden ( X i / t = 0) in deze zone. Dit gebeurt namelijk wanneer de grens van de convectieve zone binnendringt in een gebied met een andere, niet-homogene chemische samenstelling. Op deze manier kunnen de sporen van vroegere kernreacties naar het steroppervlak 87

102 Figuur 6.1: De chemische samenstelling in de convectieve zone, welke zich uitstrekt van massaschil m 1 tot massaschil m 2, is constant. Aan de randen van de convectielaag treedt een discontinuïteit in de X i op. getransporteerd worden, kan verse brandstof binnengebracht worden in een zone waarin verbranding optreedt of kunnen discontinuïteiten optreden die de sterevolutie drastisch veranderen. 6.3 Werkzame doorsneden De reactie tussen deeltjes wordt grotendeels veroorzaakt door de sterke wisselwerking, welke optreedt tussen de nucleonen (protonen en neutronen). Het bereik van de sterke wisselwerking wordt bepaald door de uitgebreidheid van het desbetreffende deeltje. De Coulomb potentiaal van het deeltje bepaalt of de nucleaire aantrekkingskracht of de Coulomb afstoting domineert. De overgang tussen beiden gebeurt nagenoeg op een afstand r 0 gelijk aan de straal van het deeltje, welke typisch van de orde van cm is (zie figuur 6.2). Opdat een reactie zou plaatsgrijpen moeten de verschillende deeltjes zodanig dicht bij elkaar gebracht worden dat de Coulomb afstoting overwonnen wordt. In de praktijk betekent dit dat de deeltjes elkaar nagenoeg moeten raken. Men kan gemakkelijk aantonen dat de diepte van de Coulomb-potentiaalput vooral bepaald wordt door de lading van de deeltjes en dat de waarde ervan van de orde van MeV is. Dit toont meteen aan hoe moeilijk het is om een reactie te laten plaatsgrijpen, vermits de gemiddelde kinetische energie van de deeltjes gegeven wordt door 3kT/2, wat typisch van de orde van 10 3 ev is. De gemiddelde kinetische energie is dus drie orden van grootte te klein om de Coulomb potentiaal te overbruggen en zodoende reacties te doen plaatsgrijpen. In termen van de klassieke mechanica vinden we dus dat kernreacties niet optreden. Dit verklaart waarom men er tijdens het eerste kwart van de 20ste eeuw van overtuigd was dat kernreacties niet de reden van de lichtkracht van sterren konden zijn. Waarom zijn kernreacties dan toch mogelijk? Dit heeft alles te maken met quantummechanische effecten. Uit de quantummechanica weten we dat er een kans verschillend van nul is dat deeltjes de Coulomb potentiaal kunnen overwinnen en zodoende kunnen reageren. Omwille van de uitgebreidheid van de Coulomb 88

103 Figuur 6.2: Schematische voorstelling van de Coulomb potentiaal van een deeltje. Voor r < r 0 domineert de nucleaire aantrekkingskracht; voor r > r 0 overheerst de Coulomb afstoting. potentiaal (zie figuur 6.2) is deze kans klein en daarom is het optreden van kernreacties in sterinwendigen een traag proces. De zeer lage energieën zorgen ervoor dat het uiterst moeilijk is om de werkzame doorsnede van een reactie, m.a.w. de kans dat de reactie zal plaatsgrijpen, te bepalen in relevante condities die optreden in sterinwendigen. De werkzame doorsnede hangt af van de snelheid waarmee de deeltjes elkaar naderen. Deze snelheid wordt op haar beurt bepaald door de temperatuur en de relatieve energie van de kernen. Tevens is zij afhankelijk van de aanwezigheid van de andere deeltjes in het gas, die gedeeltijk de lading van de kernen kunnen afschermen en dus de reactiesnelheden kunnen beïnvloeden, afhankelijk van de thermodynamische toestand van het gas. In principe kunnen deze werkzame doorsneden experimenteel bepaald worden. Echter, de laboratoriumexperimenten gebeuren in omstandigheden die te verschillend zijn van sterinwendigen om de resultaten te extrapoleren. Gamow heeft pionierswerk verricht en voor het eerst uitdrukkingen afgeleid voor de werkzame doorsneden voor sterinwendigen. We gaan hier niet in detail op in, maar vermelden dat de werkzame doorsnede sterk afhankelijk is van de ladingen van de deeltjes die in de reactie betrokken zijn, omdat het deze ladingen zijn die de vorm van de Coulomb potentiaal bepalen. Anderzijds is er ook een sterke temperatuursafhankelijkheid, omdat deze vooral de kinetische energie van de deeltjes bepaalt. Gamov vond dat de werkzame doorsnede exp( πz i Z j e 2 /ε 0 hν)exp( mv 2 /2kT), waarbij ε 0 de permittiviteit voorstelt. De eerste exponent stijgt met stijgende snelheid v, terwijl de tweede daalt. Zodoende vinden we een maximale waarschijnlijkheid opdat de reactie zou plaatsvinden. Deze staat bekend als de Gamow piek en treedt op bij de snelheid v = (πz i Z j e 2 kt/ε 0 hm) 1/3. Om de reactiesnelheid te berekenen, moeten we deze werkzame 89

104 doorsnede integreren over alle mogelijke snelheden. Men kan echter tonen dat ze evenredig is met de waarde van de Gamow piek (we gaan hier niet op in). We leiden hieruit af dat reacties tussen deeltjes met kleinere ladingen sneller gebeuren en ook nog kunnen plaatsgrijpen bij lagere temperaturen. Bovendien vinden we dat reacties van zwaardere deeltjes hogere temperaturen vereist. Het bepalen van werkzame doorsneden is een actief domein binnen de nucleaire astrofysica. Stilaan slaagt men erin om experimenten uit te voeren voor temperaturen die in de buurt komen van diegenen die heersen in sterinwendigen. We verwijzen naar het college Nuclear Astrophysics gedoceerd aan de ULB en aangeboden aan de Leuvense studenten in de Masteropleiding Sterrenkunde, voor meer details en beperken ons hier verder tot de essentiële resultaten. 6.4 Verbrandingsmechanismen Het leven van de sterren wordt gedirigeerd door thermonucleaire fusie, welke dus geïnduceerd wordt door thermische beweging en quantummechanische effecten. Hierbij fuseren verschillende lichtere kerndeeltjes tot een zwaarder element. Bij de bespreking van de energieproductie in sterren ten gevolge van kernreacties beperken we ons tot een ruwe samenvatting van de belangrijkste reacties. In plaats van thermonucleaire fusie van een bepaald element spreekt men van de verbranding van dat element. De verschillende typen verbranding treden op bij aanzienlijk verschillende temperaturen. Wanneer de ster evolueert op een tijdschaal die vergelijkbaar is met de reactiesnelheden, dan moeten we een netwerk van kernreacties in rekening brengen om een nauwkeurige benadering van de energieproductie te kunnen afleiden. De totale ε is dan de som over alle mogelijke reacties en de boekhouding van alle veranderende abondanties moet strikt bijgehouden worden. Zeer vaak, echter, volstaat het om een veel eenvoudigere procedure te volgen om ε te bepalen. We bespreken in de volgende delen de voornaamste verbrandingsmechanismen die optreden in sterren, maar gaan eerst wat dieper in op enkele basisbegrippen Basisbegrippen In figuur 6.3 tonen we verschillende vormen van de eenvoudigste elementen in de natuur, namelijk waterstof en helium. De bovenste rij geeft de verschillende ionisatietoestanden van de waterstof- en heliumatomen weer, terwijl de onderste rij de verschillende isotopen weergeeft. Dikke cirkels stellen protonen voor en dunne cirkels neutronen. Het waterstofatoom bestaat uit een proton en een elektron (zie figuur 6.4). Elke kern bestaat uit een aantal protonen, aangeduid door het atoomgetal Z, en een aantal neutronen N. Het massagetal A wordt gegeven door de som van beiden: A = N + Z. Niet alle (N, Z) combinaties zijn toegelaten in een kern. De stabiele (N, Z) combinaties beslaan een nauwe strook in een (N, Z) diagram, de stabiliteitsvallei genoemd. Dit drukt uit dat zowel neutronrijke als protonrijke kernen instabiel zijn. De reden hiervoor is dat neutronrijke kernen onderhevig zijn aan het β verval, terwijl protonrijke kernen β + verval ondergaan. Het β + en β verval zijn beiden manifestaties van de zwakke wisselwerking. Bij het β + verval verandert een proton in een neutron door het uitzenden van een neutrino en een positron (het positief geladen 90

105 Figuur 6.3: De opbouw van de atomen, geïllustreerd aan de hand van waterstof en helium. De cirkels met dikke randen stellen protonen voor en de dunne cirkels neutronen. De elektronen worden schematisch voorgesteld in hun baan en aangeduid met e. Waterstof heeft één mogelijk positief ion, H +, wat ontstaat wanneer het elektron wordt weggehaald van het H atoom. Helium heeft twee mogelijke ionen. De onderste rij toont verschillende isotopen welke telkens een verschillend aantal neutronen hebben. Figuur 6.4: Schematische opbouw van het waterstof- en het heliumatoom. 91

106 antideeltje van een elektron). Anderzijds geeft het β verval aanleiding tot het omvormen van een neutron in een proton door het uitzenden van een antineutrino en een elektron. Een gegeven aantal protonen Z kan slechts combineren met een beperkt aantal verschillende neutronenaantallen N. Zo kunnen 12 protonen bijvoorbeeld enkel een stabiele kern vormen met 12, 13 of 14 neutronen. De kernen met eenzelfde aantal protonen, doch een verschillend aantal neutronen, noemt men de isotopen van een element. Een isotoop noteert men met A X, waarbij X het element is en A het massagetal. Kerndeeltjes kunnen, net zoals elektronen, slechts welbepaalde energieniveaus bezetten en vertonen een schilstructuur. Een kern is bijzonder stabiel wanneer er een protonen- of neutronenschil volledig bezet is (naar analogie van de edelgassen waarvoor de buitenste elektronenschillen volledig bezet is). Dit fenomeen doet zich voor bij de zogenaamde magische getallen van N of Z: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Deze aantallen zullen later van belang zijn bij de bespreking van het s-proces (zie voorlaatste Hoofdstuk). Bovendien zijn kernen met een even aantal protonen stabieler dan kernen met een oneven aantal. Hetzelfde geldt voor de neutronen. Dit komt omdat paren neutronen of protonen met tegengestelde spin stabieler zijn dan ongepaarde neutronen of protonen. We zullen de kernreacties als volgt voorstellen. Stel dat α een projectiel voorstelt (bijvoorbeeld een proton) en X het doel en dat deze beiden reageren om de uiteindelijke eindproducten β en Y op te leveren. We noteren deze reactie dan als volgt: α + X Y + β, (6.7) of korter X(α, β)y. De meeste kernreacties die in sterren optreden zijn exotherm. Dit wil zeggen dat ze energie vrijgeven. Voor de reactie beschreven in (6.7) hebben we een energiebalans m α c 2 + m X c 2 = m β c 2 + m Y c 2 + Q, (6.8) waarbij Q de geproduceerde energie voorstelt die per reactie toegevoegd wordt aan het systeem. Q is van de orde MeV. Voor het fusieproces hebben de betrokken deeltjes j een totale massa M j, die verschilt van de massa M y van het product dat zal gevormd worden. Het massa defect bedraagt M = j M j M y (6.9) en correspondeert met een energie gegeven door E = Mc 2. Deze energie wordt dus beschikbaar gesteld om de energiebalans van de ster te onderhouden. Een voorbeeld is de waterstofverbranding (zie verder) waarbij vier 1 H kernen met een totale massa van m u worden omgezet in één 4 He kern met massa m u. Eén m u ( atomic mass unit ) is gelijk aan 1/12 van de massa van een 12 C isotoop. Voor de waarde ervan verwijzen we naar Bijlage A. Bij de verbranding van waterstof is dus per gevormde 4 He kern een massa van m u verdwenen, wat overeenkomt met 0.7% van de oorspronkelijke massa. De energie die hiermee overeenstemt bedraagt zo n 26.5 MeV (waarbij 1 ev = erg). De huidige lichtkracht van de Zon komt overeen met een massaverlies van L /c 2 = g s 1. Wanneer we onderstellen dat er in totaal 1 M waterstof zal omgezet worden in helium, dan wordt er 0.7% van M omgezet in energie. Met haar huidige waargenomen lichtkracht kan de Zon op die manier s, of jaar leven. In de praktijk, echter, komt slechts 10% van de totale massa van de Zon in aanmerking 92

107 Figuur 6.5: Het verloop van de fractionele bindingsenergie f = E B /A wordt getoond ten opzichte van het massagetal A. De kromme werd glad gemaakt doorheen de schommelingen die optreden ten gevolge van de schilstructuren van de kernen. voor kernfusie, dus duurt het leven van de Zon slechts jaar. Momenteel heeft de Zon zowat de helft van dit energiereservoir opgebruikt. Het massadefect is verbonden met het feit dat de betrokken kernen een verschillende bindingsenergie E B hebben. Deze bindingsenergie is de energie die nodig is om de kern op te delen in zijn protonen en neutronen. Anders uitgedrukt: E B is de energie die gewonnen wordt wanneer een bepaald aantal vrije protonen en neutronen vanop oneindig samengebracht worden om een kerndeeltje uit te maken. Beschouw een kern met massa M k en massagetal A die bestaat uit Z protonen met massa m p en uit A Z neutronen met massa m n. De bindingsenergie E B wordt dan gegeven door E B = [(A Z) m n + Zm p M k ] c 2. (6.10) Wanneer we verschillende kernen met elkaar willen vergelijken is het beter om te werken met de gemiddelde bindingsenergie per kerndeeltje: f = E B /A, welke ook de bindingsfractie genoemd wordt. Met uitzondering van waterstof blijken alle elementen een bindingsfractie van ongeveer 8 MeV te hebben. Dit toont aan dat de nucleaire aantrekkingskrachten enkel de kernen in de onmiddellijke omgeving treft. Een ruwe schets van f in functie van A wordt getoond in figuur 6.5. We merken dat f scherp stijgt met stijgende A vanaf waterstof totdat er een maximum bereikt wordt van 8.5 MeV bij A = 56 ( 56 Fe). Daarna daalt f terug. 56 Fe is dus de sterkst gebonden, of meest stabiele, kern. Figuur 6.5 toont dat de kernfusie die lichtere elementen omzet in stabielere zwaardere elementen energie oplevert. Echter, elke kernreactie die 56 Fe zal omzetten in een zwaarder element is verlieslatend in energie. Op die manier is de creatie van 56 Fe een natuurlijk eindpunt van de kernfusie in sterren. In wat volgt zullen de grootheden ε en ρ uitgedrukt worden in respectievelijk de eenheden erg g 1 s 1 en g cm 3 en de temperatuur T zal in dimensieloze vorm T n = T/10 n K gegeven worden. 93

108 6.4.2 Big Bang nucleosynthese Vooraleer we de voornaamste processen van nucleosynthese in sterren bespreken, is het interessant even stil te staan bij de productie van de elementen in het prilste begin van het Heelal. Het gros van de huidige hoeveelheid helium in het Heelal is ontstaan door nucleosynthese tijdens de eerste paar minuten na de Big Bang. Men spreekt dan ook van Big Bang nucleosynthese, hoewel dit ook de productie van enkele andere lichtere elementen naast helium betreft. We beschouwen het prille Heelal, op het ogenblik dat het is afgekoeld tot zowat K. De enige kernen die bestonden bij deze temperaturen waren protonen en neutronen. In normale omstandigheden ondergaat een neutron na 15 minuten een β verval. Echter, bij de hoge temperaturen en dichtheden die heersten bij het prille begin van het Heelal transformeerden de protonen en neutronen zich voortdurend in elkaar: ν e + n e + p en ν e + p e + + n. (6.11) Omdat de neutronen zwaarder zijn dan protonen, vereiste het meer energie om een neutron te maken dan een proton. De verhouding van neutronen tot protonen volgt uit de Boltzmann factor: N [ ] n = exp m c 2 /kt, (6.12) N p waarbij we hier met m het massaverschil tussen een neutron en proton aangeven. Dit massaverschil komt overeen met 1.3 MeV/c 2. De Boltzmann factor in vergelijking (6.12) impliceert dat de verhouding neutronen tot protonen snel daalde wanneer de temperatuur afnam ten gevolge van de expansie van het Heelal. Zulke afname had tot gevolg dat de reacties in (6.11) minder frequent gebeurden, totdat ze simpelweg onmogelijk werden door een te felle temperatuursdaling met T < K. Op dat ogenblik was de verhouding van neutronen tot protonen ongeveer 1/5. Vijftien minuten later bedroeg ze 1/7 door β verval en was het Heelal genoeg afgekoeld om reacties tussen twee deeltjes mogelijk te maken. Bij een temperatuur van 10 9 K werd primordiaal deuterium gevormd, alsook 3 He. Deze kernen werden vervolgens omgevormd tot alfa deeltjes. Vermits 4 He veruit de stabielste van deze verschillende kernen is, werden zo goed als alle neutronen die toen voorhanden waren in het Heelal ondergebracht in alfa deeltjes. Bovendien zorgde de afwezigheid van stabiele kernen met massagetal tussen 5 en 8 ervoor dat zwaardere kernen niet konden vormen, behalve dan 7 Li. Zodoende zorgde de Big Bang nucleosynthese voor een oersoep van deuterium, 3 He, 4 He en 7 Li waarin alle neutronen gevangen zaten, en daarbij nog een groot overschot aan protonen. We kunnen hieruit eenvoudig de hoeveelheid primordiaal helium schatten, omdat dit rechtstreeks volgt uit de neutron over proton verhouding van 1/7. Neem vb. 2 neutronen, dan komt dit overeen met 14 protonen. Dit geheel kan dan één 4 He kern vormen, waarbij er nog 12 protonen overblijven. Met andere woorden, 16 m u aan protonen en neutronen produceren één heliumkern met 4 m u. De fractie van de massa omgezet in helium bedraagt dan 4/16 of 25%. Big Bang nucleosynthese heeft dus gezorgd voor een Heelal waarin 25% van de massa vervat zit in helium en de overige 75% in waterstof. Dit was het materiaal waaruit de allereerste sterren gevormd werden. 94

109 6.4.3 Waterstofverbranding Het resultaat van waterstofverbranding is de fusie van vier 1 H kernen in één 4 He kern. Het verschil in bindingsenergie bedraagt MeV, wat overeenkomt met een relatief massadefect van 0.71%. De energie die op die manier vrijkomt is ruwweg een factor 10 groter dan bij elk ander fusieproces dat in de ster kan optreden. Er bestaan verschillende fusieketens, die in het algemeen tegelijk optreden in de ster. Voor de waterstofverbranding spreken we van de proton-proton keten (of pp keten) en de koolstof-stikstof-zuurstof cyclus of CNO cyclus. We gaan nu op elk ervan wat dieper in. De proton-proton keten De pp keten dankt haar naam aan de eerste reactie in de keten waarbij twee protonen omgezet worden in een deuteriumkern 2 H (wat ook vaak als 2 D genoteerd wordt), welke op zijn beurt met een volgend proton reageert om 3 He te vormen: 1 H + 1 H 2 H + e + + ν e, 2 H + 1 H 3 He + γ. (6.13) Hierbij stelt e + een positron voor en ν e een neutrino. De eerste van deze reacties (de pp reactie) is ongewoon in vergelijking met andere fusieprocessen omdat de protonen een β + verval moeten ondergaan bij hun dichtste nadering opdat een proton zou worden omgezet in een neutron. Het β + verval is een proces dat veroorzaakt wordt door de zwakke wisselwerking en is daarom weinig waarschijnlijk (het heeft m.a.w. een kleine werkzame doorsnede). Het is onmogelijk om deze reactie na te bootsen in een laboratorium. Het vervolledigen van de pp keten tot de vorming van een α deeltje of 4 He kern kan gebeuren d.m.v. drie takken pp1, pp2, pp3, welke allen starten met 3 He en als eindproduct 4 He hebben op basis van 4 protonen: 1 H + 1 H 2 H + e + + ν e pp1 : 2 H + 1 H 3 He + γ (6.14) 3 He + 3 He 4 He + 1 H + 1 H, 3 He + 4 He 7 Be + γ pp2 : 7 Be + e 7 Li + ν e (+γ) (6.15) 7 Li + 1 H 4 He + 4 He, 7 Be + 1 H 8 B + γ pp3 : 8 B 8 Be + e + + ν e (6.16) 8 Be 4 He + 4 He. Hierbij staat γ voor een foton en e voor een elektron. De rangnummers 1,2 en 3 duiden het belang van de deelketen aan naarmate de temperatuur stijgt. Zo vereist pp1 dat T 6 5, pp2 dat T en pp3 dat T In de Zon gebeurt 69% van de pp keten via pp1, 31% via pp2 en 0.3% via pp3. De verschillende reacties in de pp keten gebeuren met een zeer verschillend tempo. De pp reactie zelf is veruit de traagste (ongeveer een factor trager dan de anderen). Opdat pp1 tot een goed einde zou komen moeten de twee 95

110 eerste reacties beschreven in (6.13) minstens twee keer plaatsgevonden hebben. De reactie 2 H(p, γ) 3 He in de pp1 keten is zo snel dat de abondantie van deuterium zeer laag gehouden wordt. De laatste reactie van pp1 is weerom trager dan de tweede, maar nog steeds veel sneller dan de pp reactie zelf. Wanneer de temperatuur stijgt, dan daalt de abondantie van 3 He waardoor de eerste reactie van pp2 aan belang wint (vanaf T 7 1 2). De pp2 keten vervolgt met een elektronenvangst door 7 Be, welke in vergelijking met de protonenvangst in pp3 zo goed als onafhankelijk is van de temperatuur. De alternatieve reactie in pp3 is protonenvangst door 7 Be. 7 Be(p, γ) 8 B krijgt de bovenhand over 7 Be(e, ν) 7 Li bij T De 8 B kern geproduceerd door de protoninvanging is instabiel t.o.v. positronverval met een halfwaardetijd van 0.8 s. Zowel het overeenkomende neutrino als datgene wat vrijkomt bij de elektronenvangst door 7 Be worden gedetecteerd in zonne-neutrino experimenten. De laatste reactie in de pp3 keten is het verval van 8 Be in twee α deeltjes. Deze reactie is niet enkel van belang omdat ze de pp3 keten tot een goed einde brengt, maar ook omdat haar omgekeerde reactie overbepalend is voor He verbranding (zie verder). Omwille van de verschillende hoeveelheid energie weggevoerd in de vorm van neutrino s is de vrijgegeven energie verschillend voor de drie deelketens. Hij bedraagt Q = 26.2, 25.7, 19.2 MeV per geproduceerd α deeltje voor respectievelijk pp1, pp2, pp3. We kunnen hieruit een effectieve Q eff bepalen die een goed gemiddelde voor de drie pp ketens voorstelt. Hieruit kan men dan ten slotte de vrijgegeven nucleaire energie ten gevolge van de pp ketens schatten: ε pp = r ppq eff ρ ρx 2 ( (T 9 ) 2/3 exp 3.380/(T 9 ) 1/3) (in erg g 1 s 1 ). (6.17) De temperatuursafhankelijkheid van de reactiesnelheid van de pp keten daalt van T 6 voor T 6 = 5 tot T 3.5 voor T De koolstof-stikstof-zuurstof cyclus De CNO cyclus omschrijft de tweede reeks reacties die kunnen optreden bij waterstofverbranding. Opdat deze cyclus kan werken is het nodig dat bepaalde isotopen van koolstof, stikstof en zuurstof aanwezig zijn. De reacties die optreden bij temperaturen typisch voor sterinwendigen zijn: 12 C + 1 H 13 N 13 C + 1 H 14 N + 1 H 15 O 15 N + 1 H of 15 N + 1 H 16 O + 1 H 17 F 17 O + 1 H 13 N + γ (6.18) 13 C + e + + ν e 14 N + γ 15 O + γ 15 N + e + + ν e 12 C + 4 He 16 O + γ (6.19) 17 F + γ 17 O + e + + ν e 14 N + 4 He 96

111 De algemene structuur van de CNO cyclus bestaat uit een reeks protonenvangsten door isotopen van C, N of O, afgewisseld met β + verval welke ongeveer allemaal een vervaltijd hebben van s. De cyclus eindigt steeds met een protonvangst die aanleiding geeft tot de vorming van een α deeltje. Het eerste stel reacties gegeven in (6.18) noemt men de CN cyclus omdat enkel de isotopen van C en N optreden als catalysatoren. De volledige CNO cyclus treedt op wanneer 16 O reeds abondant aanwezig is of wanneer er al voldoende gereageerd is zodat de reactie 15 N(p, γ) 16 O al de nodige zuurstofisotoop gecreëerd heeft. Het optreden van de volledige CNO cyclus is 1000 keer minder waarschijnlijk dan het voorkomen van de CN cyclus. Het eindproduct van de volledige CNO cyclus is niet alleen een α deeltje, maar ook een 14 N isotoop die de CN cyclus opnieuw kan voeden. Een nauwkeurige beschrijving van de verbranding door de CNO cyclus is uiterst moeilijk omdat er heel wat isotopen op cyclische wijze bij betrokken zijn. Zowel de energieproductie als de gedetailleerde abondanties van alle isotopen hangen af van de beginconcentraties van de catalysatoren, van de reactietijden, van de temperatuur en van de leeftijd van de ster. We zullen hier niet ingaan op een gedetailleerde beschrijving van alle reacties in de cycli. Eerder bespreken we de gevolgen van de belangrijkste schakel in de CNO cyclus. De sleutelreactie van de CNO cyclus is 14 N(p,γ) 15 O. Deze reactie is namelijk relatief traag en steunt op de 14 N isotoop van stikstof die in beide cycli voorkomt. Zoals bij de pp keten is het de traagste reactie die de belangrijkste is. Wanneer de temperatuur hoog genoeg is om waterstofverbranding gedurende een aanzienlijke tijd via de CNO cyclus te activeren, m.a.w. wanneer de cyclus in evenwicht gebeurt, dan is één van de belangrijkste gevolgen hiervan dat zo goed als alle beschikbare C, N en O zal omgezet worden in de 14 N isotoop, zodat deze veruit de meest abondante kern zal worden. De energieproductie wordt eveneens bepaald door de traagste reactie 14 N(p, γ) 15 O. ε CNO wordt vooral bepaald door de energieproductie van deze reactie. Een goede schatting hiervan is MeV. De vrijgegeven nucleaire energie ten gevolge van de gemiddelde Q eff, bepaald voor alle reacties die optreden in de CNO cyclus, kan als volgt berekend worden: ε CNO ρxz ( (T 9 ) 2/3 exp /(T 9 ) 1/3) (in erg g 1 s 1 ). (6.20) De temperatuursafhankelijkheid van de reactiesnelheid van de CNO cyclus is veel groter dan diegene voor de pp keten en bedraagt ongeveer T 18 voor T In figuur 6.6 tonen we de bijdrage van de CNO cyclus tot de totale energieproductie ten gevolge van waterstofverbranding voor sterren met een massa tussen 1 en 3 M als functie van de positie in de ster (weergegeven als l/l). Het is duidelijk dat de CNO cyclus de dominante energiebron is voor sterren zwaarder dan 2 M. 97

112 Figuur 6.6: De fractie van de totale energie geproduceerd door de CNO cyclus doorheen de ster voor sterren op de nulhoofdreeks (ZAMS zie verder voor definitie) met massa tussen 1 en 3 M Heliumverbranding De kernreacties waarbij helium verbrand wordt bestaat uit de graduele fusie van verscheidene α deeltjes met als resultaat de isotopen 12 C, 16 O,.... Deze reacties treden slechts op bij temperaturen die veel hoger zijn dan de temperaturen voor waterstofverbranding. Een typische voorwaarde is T 8 > 1. De eerste en belangrijkste reactie is diegene waarbij 12 C gevormd wordt uit drie α deeltjes: de trippel alfa reactie. Deze reactie gebeurt in twee stappen, vermits een dichte nadering van drie deeltjes te onwaarschijnlijk is: 4 He + 4 He 8 Be (6.21) 8 Be + 4 He 12 C + γ. In de eerste stap wordt 8 Be tijdelijk gevormd ten koste van twee α deeltjes. De grondtoestand van dit isotoop heeft een energie die zowat 100 kev hoger is dan die van de twee α deeltjes en daarom vervalt de isotoop in de korte tijdsspanne van s terug tot twee α deeltjes. Dit lijkt een zeer korte vervaltijd, maar de hoge dichtheid in het sterinwendige verzekert toch de mogelijkheid van een verdere α invanging om 12 C te vormen. De energieproductie per eenheidsmassa van de reacties gegeven in (6.21) is een factor 10 lager dan in het geval van de CNO cyclus. De reactie is tevens enorm temperatuursgevoelig: voor T 8 = 1 bedraagt de exponent van de temperatuursfactor in de reactiesnelheid 40! Eens er voldoende 12 C gevormd zijn door de trippel α reactie kunnen verdere invangingen van α deeltjes gebeuren zodat kernen van 16 O, 20 Ne, enz. geproduceerd worden: 12 C + 4 He 16 O + γ (6.22) 16 O + 4 He 20 Ne + γ... De energie die vrijkomt bij de reactie 12 C(α, γ) 16 O bedraagt 7.16 MeV en die bij 16 O(α, γ) 20 Ne 4.73 MeV. 98

113 Tijdens heliumverbranding treden de reacties beschreven in (6.21) en (6.22) simultaan op en de totale energieproductie ε He bestaat essentieel uit drie bijdragen Verbranding van de zwaardere elementen Koolstofverbranding Na helium verbranding bestaat de centrale kern voornamelijk uit een mengsel van 12 C en 16 O. Indien de temperatuur op dat ogenblik hoog genoeg is, zeg van de orde T , dan start het proces van koolstofverbranding. Voor dit type van verbranding, net zoals alle volgende typen, is de situatie zo complex dat berekeningen steunen op zeer ruwe benaderingen. Een eerste moeilijkheid is dat de eerste reactie in de koolstofverbranding, 12 C+ 12 C, resulteert in een 24 Mg isotoop, welke op zeer veel verschillende wijzen terug vervalt: 12 C + 12 C 24 Mg + γ Mg + n Na + p Ne + α 4.62 (6.23) 16 O + 2α 0.11 waarbij we telkens Q in MeV gegeven hebben in de laatste kolom. Merk op dat de tweede en laatste reacties endotherm zijn. De relatieve frequentie van de verschillende vervalwijzen hangt af van de temperatuur en is zeer verschillend. De meest waarschijnlijke wijzen zijn diegenen die resulteren in 23 Na+p en 20 Ne+α. Deze treden ongeveer even frequent op voor niet te hoge temperaturen (T 9 < 3). Een volgende moeilijkheid is dat de geproduceerde protonen en α deeltjes zulk een hoge temperaturen ondervinden dat waterstof- en heliumverbranding niet mogelijk zijn en daardoor ontstaan er heel ingewikkelde reactieketens. Een voorbeeld hiervan is 12 C(p, γ) 13 N(e + ν) 13 C(α, n) 16 O, welke o.a. een neutron oplevert. Alle details van zulke ketens moeten effectief in rekening gebracht worden indien het doel is een gemiddelde energieproductie te bepalen. Als ruwe schatting neemt men meestal een gemiddelde Q van 13 MeV per 12 C+ 12 C reactie met alle daaropvolgende ketens. De eindproducten van koolstofverbranding zijn vooral 16 O, 20 Ne, 24 Mg en 28 Si. Zuurstofverbranding enz. Opdat de reactie 16 O+ 16 O zou kunnen plaatsgrijpen is reeds een temperatuur van T 9 > 1 vereist. Omwille van de hoge temperaturen reageren de protonen en de α deeltjes met andere kernen in het gas. Tevens reageren de neutronen met andere deeltjes, vermits ze niet onderhevig zijn aan de Coulomb potentiaal. Net 99

114 zoals bij koolstofverbranding kunnen de reacties verdergezet worden via verschillende kanalen : 16 O + 16 O 32 S + γ 31 P + p 31 S + n 28 Si + α (6.24) 24 Mg + 2α. Er volgt tevens weer een heel gamma van kettingreacties die naast Al, Mg en Ne grote hoeveelheden vrije neutronen, protonen en α deeltjes opleveren. Deze zullen op hun beurt reageren met de 28 Si isotopen om geleidelijk aan zwaardere elementen te vormen. Wanneer zuurstof opgebrand is, start een nieuwe fase van contractie en verhitting. Men zou kunnen verwachten dat een volgende verbrandingscyclus, nl. de verbranding van magnesium, zal starten. Echter, vooraleer de temperatuur hoog genoeg is voor deze verbranding ontstaat een ander type reactie. Immers, met de stijgende temperatuur is de thermische energie van de fotonen ondertussen sterk toegenomen. Bij een temperatuur van ongeveer 10 9 K heeft een aanzienlijke fractie van de fotonen een energie van de grootteorde MeV. Zulke energetische fotonen kunnen foto-dissociatie veroorzaken in de kernen van het gas. Fotodissociatie is het proces waarbij straling wordt omgezet in massa (in tegenstelling tot de verbrandingscycli die we tot nu toe tegenkwamen en die allemaal massa wisten om te zetten in straling). Het proces ontstaat wanneer een hoog-energetisch foton omgezet wordt in een elektron-positron paar wanneer het een energie hν heeft die de energie van de rustmassa van een elektron-positron paar overschreidt: hν > 2m e c 2. Een voorbeeld van het optreden van foto-dissociatie is 32 S + γ 28 Si + 4 He. (6.25) Het optreden van de dubbele pijl ontstaat omdat, na de vorming van het α deeltje, dit opnieuw kan reageren met andere kernen, zoals 28 Si, waardoor tevens de inverse reactie kan plaatsgrijpen. Er zijn nog vele analoge reacties door foto-dissociatie die plaatsgrijpen en die opeenvolgende kernen betreffen, zoals 32 S, 36 Ar, 40 Ca, 52 Fe en 56 Ni. Aan al deze reacties dient men nog de absorptie van protonen en neutronen toe te voegen, en ook verval van onstabiele kernen. Op die manier ontstaan werkelijk zeer complexe reactieketens, welke uiteindelijk leiden tot de vorming van zwaardere kernen. Dit hele gebeuren duidt men een beetje misleidend aan met siliciumverbranding. Dit proces wordt verder gezet en wanneer er voldoende tijd voorhanden is zal de vorming van 56 Fe voltooid worden. Vermits de 56 Fe isotoop zo sterk gebonden is (zie figuur 6.5) is het de enige overlevende in de kookpot. Wanneer er echter niet voldoende tijd is om 56 Fe te vormen zal 56 Ni het meest abondante element zijn als resultaat van de siliciumverbranding. Deze situatie treedt op bij supernova-explosies (zie Deel III van de cursus). 100

115 Hoofdstuk 7 Numerieke bepaling van de sterstructuur We geven in dit hoofdstuk een samenvatting van het volledig stel basisvergelijkingen die we in de vorige hoofdstukken hebben afgeleid. Vervolgens bespreken we de randvoorwaarden waaraan een goed stermodel moet voldoen en geven we aan hoe de modellen kunnen opgebouwd worden. Op die manier kan de volledige sterstructuur bepaald worden. 7.1 Het volledige stel basisvergelijkingen Wanneer we alle relevante afgeleide vergelijkingen voor een sferisch symmetrische ster samenvoegen, verkrijgen we het volgend stelsel differentiaalvergelijkingen : r m = 1 4πr 2 ρ, P m = Gm 4πr r 4πr 2 t 2, l m = ε T n ε ν c P t + δ P ρ t, T m = GmT 4πr 4 P, X i = m i r ji t j k r ik, i = 1,...,I. De laatste vergelijking is in feite een stelsel van I vergelijkingen waarvan er een kan vervangen worden door de normeringsvoorwaarde i X i = 1. Deze vergelijkingen beschrijven de variatie van de massa fracties X i van de relevante deeltjes i = 1,...,I met massa m i. De extra vergelijking (6.6) beschrijft (7.1) 101

116 de vermenging van de chemische samenstelling ten gevolge van convectieve bewegingen. In het algemeen staat voor d lnt/d lnp, maar wanneer het energietransport enkel gebeurt door straling (en conductie) wordt vervangen door rad, welke gedefinieerd werd in (5.29). Wanneer convectief energietransport belangrijk is moet in de vierde vergelijking vervangen worden door een waarde afgeleid van een goede (nog niet beschikbare) theorie van convectie. In het sterinwendige kunnen we hiervoor ad nemen. De vierde vergelijking onderstelt dat de ster in hydrostatisch evenwicht is. In het stelsel (7.1) van differentiaalvergelijkingen kunnen we deelstelsels opmerken. Zo beschrijven de eerste twee vergelijkingen het mechanisch gedeelte, welk enkel via de dichtheid, die op haar beurt afhangt van de temperatuur, gekoppeld is aan het thermonucleaire gedeelte. Wanneer de dichtheid niet gekoppeld is aan de temperatuur, dan kunnen we de eerste twee vergelijkingen oplossen zonder rekening te houden met de andere drie. We bekomen dan de mechanische structuur uitgedrukt als r(m) en P(m). Een voorbeeld hiervan zijn de polytropische oplossingen. Het laatste stel vergelijkingen in (7.1) beschrijft het chemisch aspect van het probleem. Zij kunnen ontkoppeld worden van de andere vier vergelijkingen die de structuur van de ster geven voor een gegeven tijdstip en een gegeven chemische samenstelling X i (m). Deze opsplitsing is enkel toegestaan wanneer de chemische samenstelling verandert op een tijdschaal die veel langer is dan diegene die de variatie van de druk en temperatuur beschrijft. De vergelijkingen in het stelsel (7.1) bevatten functies die de eigenschappen van het stermateriaal beschrijven, zoals ρ, ε n, ε ν, κ, c P, ad, δ en de reactiesnelheden r ij. We gaan ervan uit dat deze materiaalfuncties gekend zijn in functie van P, T en de chemische samenstelling beschreven door de functies X i (m, t). We onderstellen m.a.w. dat we de toestandsfunctie kennen, net zoals het Rosseland gemiddelde van de opaciteit, de vergelijkingen voor de andere thermodynamische eigenschappen van het stermateriaal, de nucleaire reactiesnelheden, de energieproductie en het energieverlies door neutrino s : ρ = ρ(p, T, X i ) κ = κ(p, T, X i ) (7.2) c P = c P (P, T, X i ) δ = δ(p, T, X i ) ad = ad (P, T, X i ) r jk = r jk (P, T, X i ) ε n = ε n (P, T, X i ) ε ν = ε ν (P, T, X i ) Definities voor c P, δ en ad werden gegeven in Hoofdstuk 2. Om deze effectief uit te rekenen hebben we meer informatie nodig, nl. de gebruikte toestandsfunctie. Hiervan hebben we drie voorbeelden besproken. Zoals reeds vermeld is het Rosseland gemiddelde κ een goede benadering voor de opaciteit, behalve voor de buitenste sterlagen. Dat de atmosfeer een bijzondere aanpak van het energietransport vraagt, komt omdat de gemiddelde vrije weglengte van de fotonen niet meer voldoet aan de voorwaarde die wij hier gesteld hebben, nl. dat deze weglengte aanzienlijk korter is dan de af te leggen weg. We herhalen dat de diffusiebenadering dan niet geldig is. Hierdoor moet men in de steratmosfeer een veel gecompliceerdere energietransportvergelijking oplossen. Hierop ingaan in deze cursus zou ons te ver leiden. We verwijzen naar de cursus Stellar Atmospheres in de Leuvense Master Sterrenkunde. We maken nu een balans op van het aantal vergelijkingen en het aantal onbekenden, rekening houdend met (7.2). Alle materiaalfuncties beschreven in (7.2) kunnen dus vervangen worden door functies van P, T en X i. Voor I verschillende type deeltjes vormen (7.1) dan een stel van I + 4 differentiaalvergelijkingen 102

117 voor de I + 4 onbekenden r, P, T, l, X 1,...,X I. De onafhankelijk veranderlijken zijn m en t. Indien we onderstellen dat de totale massa van de ster niet verandert in de tijd (dus we veronderstellen dat er geen massaverlies optreedt), en als we het begintijdstip van het leven van de ster aanduiden met t 0, dan zoeken we oplossingen in de intervallen 0 m M, t t 0. We dienen nu een stelsel van niet-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen op te lossen. We zullen enkel fysisch relevante oplossingen bekomen indien we de nodige randvoorwaarden opleggen voor m = 0 en m = M en indien we beginwaarden voor de ongekende functies kennen. Om in te zien voor welke functies we beginwaarden moeten kennen vervangen we in de derde vergelijking van (7.1) de tijdsafgeleiden van P en T door de tijdsafgeleide van de entropie s, T s/ t, steunende op vergelijking (3.46). We stellen dan vast dat we het volledig stelsel (7.1) kunnen oplossen indien we beginwaarden hebben voor de functies r(m, t 0 ), ṙ(m, t 0 ), s(m, t 0 ) en X i (m, t 0 ). Nadat geschikte beginwaarden gevonden zijn en fysisch verantwoorde randvoorwaarden geformuleerd werden komt het erop aan het stelsel (7.1), voor gegeven materiaalfuncties, op te lossen. Een oplossing r(m), P(m), T(m), l(m), X i (m) voor een gegeven tijdstip t noemt men een stermodel. 7.2 Tijdschalen en vereenvoudigingen Er treden drie typen tijdsafgeleiden op in het stelsel (7.1). Elk van hen is verbonden met een karakteristieke tijdschaal. De term met 2 r/ t 2 werd gebruikt om de hydrostatische tijdschaal τ hydr in te voeren, de tijdsafgeleiden in de derde vergelijking gaven aanleiding tot de definitie van de Helmholtz-Kelvin tijdschaal τ HK en de tijdsafgeleiden in de laatste vergelijking leidden tot de nucleaire tijdschaal τ n. We hebben reeds vroeger getoond dat de inertieterm in de tweede vergelijking van (7.1) kan verwaarloosd worden als de ster traag evolueert t.o.v. de hydrostatische tijdschaal. We kunnen daarom, wanneer de evolutie van de ster geregeerd wordt door thermische aanpassing van kernreacties, deze tweede vergelijking vervangen door de vergelijking van hydrostatisch evenwicht vermits zowel de Helmholtz-Kelvin tijdschaal als de nucleaire tijdschaal veel langer zijn dan de hydrostatische tijdschaal. We dienen in dit geval enkel initiële waarden voor de functies s(m, t 0 ) en X i (m, t 0 ) te kennen om het probleem op te lossen. Wanneer de ster bovendien evolueert op een nucleaire tijdschaal die veel langer is dan de Helmholtz- Kelvin tijdschaal is de ster in volledig mechanisch en thermisch evenwicht (zie sectie 3.4.3). In volledig evenwicht splits het stelsel (7.1) zich in twee delen. De eerste vier vergelijkingen zijn de structuurvergelijkingen die enkel ruimtelijke afgeleiden bevatten in hun vereenvoudigde vorm. De laatste vergelijking staat voor het stel chemische vergelijkingen, welke nu enkel nog tijdsafhankelijk zijn en waarvoor dus nog initiële waarden nodig zijn: X i (m, t 0 ). De structuurvergelijkingen vormen nu een stelsel van vier gewone differentiaalvergelijkingen. Volledig evenwicht is een goede onderstelling voor hoofdreekssterren (voor een beschrijving van de hoofdreeks, zie deel III). 103

118 7.3 Randvoorwaarden De randvoorwaarden opstellen voor het stelsel vergelijkingen (7.1) vormt een belangrijk onderdeel van het totale probleem. Dit is te meer zo omdat de invloed van de gekozen randvoorwaarden op de oplossingen moeilijk te achterhalen is. De reden hiervoor is dat de randvoorwaarden voor de sterstructuur niet beperkt kunnen worden tot één uiteinde van het massa interval [0, M], maar moeten opgesplitst worden in voorwaarden voor het stercentrum en voor het steroppervlak. De randvoorwaarden in het stercentrum zijn vrij eenvoudig in tegenstelling tot diegenen voor het steroppervlak. Deze laatsten moeten immers gerelateerd zijn met observationele grootheden en steunen op een veel ingewikkeldere energietransfertvergelijking. We beperken ons hier tot een ster in volledig evenwicht Centrale randvoorwaarden We gaan op zoek naar centrale waarden voor de onbekenden r, l, P, T. We kunnen onmiddellijk twee randvoorwaarden voor het stercentrum (m = 0) opstellen. Vermits de dichtheid eindig moet blijven moet r = 0 en vermits de energiebronnen ook eindig blijven moet tevens l = 0. Er zijn echter geen voorwaarden die we kunnen opleggen om waarden voor de centrale druk P C en de centrale temperatuur T C te achterhalen. We hebben dus maar twee randvoorwaarden en moeten telkens met een twee-parameter oplossing voor een gegeven T C en P C werken. Het is daarom nuttig om het gedrag van de vier functies nabij het stercentrum m 0 te kennen op een bepaald tijdstip t = t 0. De eerste vergelijking van het stelstel (7.1) kunnen we schrijven als d (r 3) = 3 dm. (7.3) 4πρ Voor een constante dichtheid ρ = ρ c (dus voor kleine waarden van m) kunnen we deze vergelijking integreren. Dit resulteert in ( ) 3 1/3 r = m 1/3, (7.4) 4πρ C waarbij de integratieconstante nul genomen werd om te voldoen aan de eis r(m = 0) = 0. We kunnen dit resultaat beschouwen als de eerste term van een reeksontwikkeling voor r rond m = 0. Een gelijkaardige integratie van de energievergelijking met als voorwaarde l(m = 0) = 0 levert l = (ε n ε ν + ε g ) C m. (7.5) Wanneer we nu (7.4) substitueren in de vergelijking van het hydrostatisch evenwicht bekomen we voor kleine waarden van m: dp dm = G ( ) 4/3 4πρC m 1/3, (7.6) 4π 3 wat opnieuw kan geïntegreerd worden tot P P C = 3G 8π ( ) 4/3 4πρC m 2/3. (7.7) 3 104

119 Verder moet de drukgradiënt verdwijnen in het stercentrum zoals volgt uit de vergelijking van hydrostatisch evenwicht dp/dr m/r 2 r 3 /r 2 0. Voor de variatie van de temperatuur dicht bij het centrum beperken we ons tot het radiatieve geval, waarvoor dt dm = 3 κl 64π 2 ac r 4 T 3. (7.8) Voor P P C en T T C zal de opaciteit convergeren naar een welbepaalde waarde κ C. Wanneer we dan l vervangen door (7.5) en r door (7.4) dan kunnen we (7.8) voor kleine m-waarden integreren. We bekomen zo T 4 TC 4 = 1 ( ) 3 2/3 κ C (ε n ε ν + ε g ) 2ac 4π C ρ 4/3 C m2/3 (7.9) wanneer het energietransport in de kern radiatief gebeurt Randvoorwaarden voor het oppervlak Nauwkeurige randvoorwaarden voor het oppervlak afleiden is uiterst gecompliceerd. Als zeer ruwe benadering zouden we dus in eerste instantie de naïeve voorwaarden P 0 en T 0 voor m M kunnen nemen. Deze drukken inderdaad uit dat P en T aan het steroppervlak zeer kleine waarden aannemen t.o.v. de waarden in het sterinwendige, maar uiteindelijk zijn de temperatuur en de druk op het steroppervlak niet nul. De volgende stap is overgaan naar de sfeer die we het oppervlak van de ster kunnen noemen en die de sterstraal r = R definieert. In de studie van de steratmosfeer maakt men gebruik van de fotosfeer, welke men definieert als die sfeer waar de optische diepte, gedefinieerd als τ R κρdr = κ fot ρdr, (7.10) gelijk is aan 2/3. Hierbij stelt κ fot een gemiddelde opaciteit voor de fotosfeer voor. In hydrostatisch evenwicht wordt de druk in die fotosfeer bepaald door het gewicht van de materie erboven. De graviteit kunnen we in dit gebied constant g = GM/R 2 nemen, omdat de fotosfeer een dunne schil is die weinig materie bevat. We bekomen dan met behulp van (3.15) en (7.10) voor τ = 2/3 P r=r = R gρdr = GM R 2 R R ρdr = GM 2 1 R 2. (7.11) 3 κ fot De temperatuur in de fotosfeer wordt in goede benadering gegeven door de effectieve temperatuur van de ster. De fotosferische randvoorwaarden afgeleid voor T r=r en P r=r geven twee verbanden tussen de oppervlaktewaarden voor de functies P, T, l, r die zeker een verbetering zijn t.o.v. de naïve randvoorwaarden P 0 en T 0. Het zwakste punt bij hun gebruik is dat de ster op basis van de randvoorwaarden reikt tot een gebied waar de basisonderstelling voor het energietransport, nl. dat de gemiddelde vrije weglengte van een foton veel kleiner is dan de af te leggen weg, niet meer opgaat. In feite moet men in de fotosfeer 105

120 een veel gecompliceerdere energietransportvergelijking gebruiken. We verwijzen hiervoor opniew naar de cursus Steratmosferen. In de praktijk zal de overgang van de oplossingen die gelden aan de binnenkant van de atmosfeer naar diegenen die gelden aan de buitenkant ervan gebeuren door een fitpunt m f te kiezen waarin beide oplossingen aan mekaar zullen gekoppeld worden. m f dient ver genoeg in het sterinwendige te liggen opdat de afgeleide vergelijkingen er nog zouden gelden. We bekomen dan oplossingen van deze vergelijkingen in het fitpunt: rf in, Pf in, Tf in, lf in. Anderzijds moet m f ook dicht genoeg bij M liggen zodat we de vereenvoudiging van een buitenlaag in thermisch evenwicht waarin l = L kan genomen worden mogen gebruiken. Hoe kleiner M m f, hoe minder energie er in de buitenlaag kan opgestapeld of vrijgegeven worden. In de studie van steratmosferen berekent men oplossingen voor de vier onbekende functies r uit, P uit, T uit, lf uit. Men kan tonen dat deze oplossingen functies zijn van de parameters R en L. Als randvoorwaarden eisen we dan dat de vier oplossingen die geconstrueerd worden voor de binnenkant moeten gelijk zijn aan diegenen die berekend worden voor de atmosfeer: r in f = rf uit, Pf in = Pf uit, Tf in = Tf uit, lf in = lf uit. (7.12) Deze vier voorwaarden kunnen in principe vervuld worden omdat we genoeg vrijheidsgraden hebben: T C en P C voor de inwendige oplossingen en R en L voor de uitwendige oplossingen. Voor numerieke toepassingen (zie volgende sectie) gebruikt men de volgende werkwijze. In het punt m f bekomen we oplossingen voor de buitenkant van de atmosfeer: rf uit (R, L), Pf uit (R, L), Tf uit (R, L), lf uit (R, L) door numerieke integratie van de vergelijkingen die relevant zijn in de atmosfeer. De laatste functie is zeer eenvoudig: lf uit = L. De eerste kan zonder problemen geïnverteerd worden wat leidt tot R = R(rf uit, L). Deze uitdrukking wordt nu gebruikt om de R-afhankelijkheid van de andere twee functies uit te drukken: Pf uit (R(rf uit, L), L) π(rf uit, L) en Tf uit (R(rf uit, L), L) θ(rf uit, L), waarbij π en θ nu gekende functies zijn van rf uit en lf uit = L. We vervangen nu de variabelen voor de buitenkant door hun equivalenten aan de binnenkant, rekening houdend met de fitvoorwaarden (7.12): P in f = π(rf in, L), Tf in = θ(rf in, L). (7.13) Dit zijn nu de twee randvoorwaarden voor de inwendige oplossingen. Ze werden zodanig geconstrueerd dat, wanneer er een goede inwendige oplossing gevonden wordt, deze steeds op een continue wijze kan gekoppeld worden aan een uitwendige oplossing. f f f 7.4 Een numerieke oplossingsmethode Voor realistische materiaalfuncties is een analytische oplossing van het stelsel (7.1) niet mogelijk. We zijn dus aangewezen op het zoeken van numerieke oplossingen voor het probleem. Omwille van de computationele eisen is het berekenen van oplossingen voor het volledig stelsel slechts kunnen op gang komen in de laatste 30 jaar. Voorheen diende men gebruik te maken van eenvoudige stermodellen, zoals polytropen. Eén van de numerieke methode die gebruikt wordt om het stelsel (7.1) op te lossen is de Henyey methode, welke we nu zullen bespreken. 106

121 De Henyey methode is een zeer practische methode om randvoorwaardenproblemen met randvoorwaarden aan beide uiteinden van het oplossingsinterval op te lossen. Een eerste ruwe startoplossing wordt voorgesteld en geëvalueerd. Bij wijze van een iteratieproces wordt de startoplossing gradueel verbeterd tot een geschikte oplossing bereikt wordt die voldoet aan een vooraf bepaalde nauwkeurigheid. Bij elke iteratiestap worden correcties aangebracht aan alle variabelen en in alle gridpunten zodat het effect van deze variaties op de gehele oplossing, inclusief op de randvoorwaarden, in rekening gebracht wordt. Voor sferische sterren in hydrostatisch evenwicht moeten we het stelsel (7.1) oplossen, waarbij de tweede vergelijking vervangen wordt door P/ m = Gm/4πr 4, met de bijbehorende randvoorwaarden besproken in de vorige sectie. De algemene structuur van de vergelijkingen is zodanig dat we twee gescheiden deelsystemen kunnen oplossen. Eerst lossen we het ruimtelijk systeem op voor gegeven X i (m) en vervolgens passen we het laatste stel vergelijkingen van (7.1) toe voor een kleine tijdstap t. Hierna lossen we weer het eerste deelstelsel op voor de nieuwe X i (m), enzoverder. We beschrijven nu in detail het oplossen van het ruimtelijk systeem. We beperken ons tot het oplossen van modellen in volledig evenwicht: r = P = T = 0. We dienen dan enkel initiële waarden te geven voor X i (m), welke we als gekende parameters kunnen beschouwen voor elk punt. De materiaalfuncties gegeven in (7.2) kunnen in het op te lossen stelsel vervangen worden door hun afhankelijkheden van P en T. We dienen dan vier gewone differentiaalvergelijkingen op te lossen voor de vier onbekende functies r, P, T, l in het interval [0, M] waarbij M verondersteld wordt gegeven te zijn. We schrijven deze vier vergelijkingen symbolisch als dy i dm = f i(y 1,...,y 4 ), i = 1,...,4, (7.14) waarbij we de afkortingen y 1 = r, y 2 = P, y 3 = T, y 4 = l ingevoerd hebben. De volgende stap is discretisatie van de vergelijkingen (7.14), door deze te vervangen door differentievergelijkingen voor een eindig massa-interval [m j, m j+1 ]. We duiden de waarden van de variabelen aan elk uiteinde van het massa-interval [m j, m j+1 ] aan met bovenindices: y j 1, yj+1 1,...,y j 4, yj+1 4. De functies f i in het rechterlid van (7.14) moeten nu geëvalueerd worden in een gemiddeld argument, wat we aanduiden met y j+1/2 i. Een logische keuze voor deze argumenten is bijvoorbeeld het rekenkundig of geometrisch gemiddelde van y j i en yj+1 i. Definiëren we nu de vier functies dan vervangen de differentievergelijkingen A j i yj i yj+1 ( i m j m j+1 f i y j+1/2 1,...,y j+1/2 ) 4, i = 1,...,4, (7.15) A j i = 0, i = 1,...,4 (7.16) de differentiaalvergelijkingen (7.14) die we dienen op te lossen. De twee randvoorwaarden aan de buitenkant van de atmosfeer afgeleid in vorige sectie worden opgelegd in een fitpunt m f. We kiezen dit punt als datgene met bovenindex j = 1. Deze twee randvoorwaarden geven een verband tussen de vier veranderlijken y 1 1,...,y1 4 in het punt m1 = m f. Met de definities B 1 y 1 2 π(y 1 1, y 1 4), B 2 y 1 3 θ(y 1 1, y 1 4) (7.17) 107

122 worden de randvoorwaarden (7.13) gegeven door B i = 0, i = 1, 2. (7.18) We beschouwen nu het gehele interval in m, gaande van m K = 0 tot aan het fitpunt m 1 = m f. We verdelen dit gebied in K 1 deelintervallen door K gridpunten te kiezen, welke niet equidistant hoeven te zijn. In het binnenste interval voor m, tussen het centrale punt m K = 0 en m K 1 gebruiken we de reeksontwikkelingen (7.4), (7.5), (7.7) en (7.9) voor de vier veranderlijken. Deze vier vergelijkingen zijn van de vorm ( ) C i y1 K 1,...,y4 K 1, y2 K, y3 K = 0, i = 1,...,4, (7.19) waarin de eis y K 1 = yk 4 = 0 (r = l = 0 in het centrum) reeds verwerkt is. In de K gridpunten hebben we 4K 2 onbekende veranderlijken, vermits y1 K = y4 K = 0. Deze onbekenden moeten voldoen aan (7.18) voor het eerste punt, aan (7.16) voor alle intervallen behalve het laatste (j = 1,...,K 2) en aan (7.19) voor het laatste interval. In totaal hebben we dus 2 + 4(K 2) + 4 vergelijkingen, die we schematisch kunnen schrijven als B i = 0, i = 1, 2 A j i = 0, i = 1,...,4, j = 1,...,K 2 (7.20) C i = 0, i = 1,...,4. We zoeken een oplossing voor gegeven M en X i (m), welke als parameters optreden in de vergelijkingen. Wat we eveneens nodig hebben is een eerste ruwe gok voor de waarde van de onbekenden: y j i ( ) ( ) voor 1 i = 1,...,4; j = 1,...,K. Vermits de y j i slechts benaderingen zijn, zullen ze niet voldoen aan (7.20): waar we met (1) de eerste benadering als argumenten bedoelen. 1 B i (1) 0, A j i (1) 0, C i(1) 0, (7.21) We gaan nu op ( zoek naar ( correcties ) δy j i voor alle veranderlijken in alle gridpunten zodanig dat de tweede benadering y j i )2 = y j i + 1 δyj i van de argumenten de functies B i, A j i en C i weldegelijk doet verdwijnen. De correcties δy j i van de argumenten veroorzaken correcties δb i, δa j i, δc i van de functies. We eisen dus dat B i (1) + δb i = 0, A j i (1) + δaj i = 0, C i(1) + δc i = 0. (7.22) Voor correcties die klein genoeg zijn mogen we δb i, δa j i, δc i in reeks ontwikkelen voor toenemende machten van δy j i en enkel de lineaire termen van deze reeks behouden. Voor B 1 wordt dit bijvoorbeeld δb 1 B 1 y 1 1 δy B 1 y 1 2 δy B 1 y 1 3 δy3 1 + B 1 y4 1 δy4. 1 (7.23) 108

123 Dank zij deze linearisatieprocedure worden de voorwaarden gegeven in (7.22) nu : B i y 1 1 A j i y j 1 δy B i y4 1 δy4 1 = B i, δy j Aj i y j 4 δy j 4 + Aj i y j+1 1 δy j Aj i y j+1 4 δy j+1 4 = A j i, (7.24) C i y K 1 1 δy K C i y4 K 1 δy4 K 1 + C i y2 K δy2 K + C i y3 K δy3 K = C i, waarbij de indices i en j dezelfde waarden kunnen aannemen als in (7.20). We beschikken dus opnieuw over 4K 2 (lineaire inhomogene) vergelijkingen voor evenveel onbekende correcties δy j i (vermits δyk 1 = δy4 K = 0 omwille van de randvoorwaarden). Bij het berekenen van (7.22) moeten ( alle ) functies B i, A j i, C i en al hun afgeleiden berekend worden met als argumenten de eerste benaderingen y j i. Het op te lossen 1 schema (7.24) kan veel korter in matrixvorm genoteerd worden: H δy δy3 K B 1. =.. (7.25). C 4 Hierbij staat H voor de Henyey matrix, wiens elementen de afgeleiden in het linkerlid van (7.24) zijn. Wanneer H een determinant verschillend van nul heeft kunnen we het stelsel lineaire vergelijkingen oplossen en de correcties ( δy j i) berekenen. Deze geven op hun beurt aanleiding tot een betere, tweede benadering van de onbekenden y j i. Wanneer we deze als argumenten voor de op te lossen vergelijkingen (7.20) 2 doorgeven zullen we nog steeds vinden dat B i (2) 0, A j i (2) 0, C i(2) 0, (7.26) vermits we enkel in de lineaire benadering gewerkt hebben en er bovendien numerieke onnauwkeurigheden in het spel zijn. Daarom voeren we een tweede iteratiestap door ( waarin ( we) op dezelfde wijze nieuwe correcties bepalen waarmee we een derde benadering bepalen: y j i )3 = y j i + 2 δyj i. We zetten deze iteratieprocedure verder totdat de benaderende oplossing voldoende dicht bij de gezochte oplossing ligt volgens een vooraf bepaald nauwkeurigheidscriterium. Op deze wijze hebben we de gehele sterstructuur, gegeven de massa en de chemische samenstelling in de verschillende lagen, bepaald voor een ster in volledig evenwicht. In de figuren tonen we het verloop van de functies m(r), P(r), ρ(r), T(r) en l(r) (logaritmische schaal), bekomen op basis van de Henyey methode hierboven beschreven, voor een ster met een initiële massa 1 M (linkse panelen) en met 15 M (rechtse panelen) die zopas op de hoofdreeks is aangekomen. 109

124 Figuur 7.1: Het verloop van de massa m(r) als functie van de positie in de ster voor een ster met 1 M (links) en met 15 M (rechts) De chemische samenstelling die ondersteld werd in de gehele ster bedraagt X = 0.74, Y = 0.24, Z = Verder onderstelden we een ideaal gas met straling waarin ionisatie-effecten verrekend werden. Voor de energieproductie werden de pp keten en de CNO cyclus gebruikt. Convectief energietransport werd eveneens in rekening gebracht d.m.v. de mixing-length theorie zoals beschreven in de tekst. Uit figuur 7.1 leiden we af dat de massa sterk geconcentreerd is nabij het stercentrum: ongeveer 80% van de massa van de Zon bevindt zich binnen een bol met r = 0.4 R, dus binnen een fractie van het totale volume van de Zon! Voor een ster met 15 M bevindt 80% van de massa zich in een straal van 0.5 de sterstraal, wat overeenkomt met een fractie van van het totale volume. We stellen dus vast dat de massa meer naar het sterinwendige geconcentreerd is naarmate de ster lichter is. De buitenste lagen van de ster hebben bijna geen invloed op de totale stermassa. De lichtkracht is nog meer geconcentreerd dan de massa (zie figuur 7.5): 90% van de lichtkracht wordt opgewekt binnen r = 0.2 R, dus binnen een fractie van het volume van de ster. Het is in die centrale kern dat de kernfusie optreedt. In alle lagen daaromheen wordt de energie alleen maar naar buiten getransporteerd; daar is l(r) = L =constant. Voor de Zon is de dichtheid zeer sterk gepiekt in het centrum en ze is op r = 0.5 R al een factor 100 gedaald. Het verloop van de druk volgt het verloop van de dichtheid. Voor een zware ster is de afname van de dichtheid en druk veel geleidelijker. De temperatuur in de Zon verloopt vrij geleidelijk en is op r = 0.5 R met slechts een factor 3 gedaald. De temperatuur valt plotseling zeer sterk af aan de rand van de ster, omdat de straling daar vlot kan ontsnappen. De modellen voor de huidige Zon (leeftijd ongeveer jaar) worden gekenmerkt door een chemische samenstelling X 0.35, Y 0.63, Z = in de sterkern, terwijl de oorspronkelijke chemische samenstelling X = 0.717, Y = 0.270, Z = nog steeds geldt voor de gebieden met r > 0.2 R. Het verloop van de massa, dichtheid, druk, temperatuur en lichtkracht zijn nauwelijks veranderd. 110

125 Figuur 7.2: Het verloop van de druk P(r) als functie van de positie in de ster voor een ster met 1 M (links) en met 15 M (rechts) Figuur 7.3: Het verloop van de dichtheid ρ(r) als functie van de positie in de ster voor een ster met 1 M (links) en met 15 M (rechts) 111

126 Figuur 7.4: Het verloop van de temperatuur T(r) als functie van de positie in de ster voor een ster met 1 M (links) en met 15 M (rechts) Figuur 7.5: Het verloop van de lichtkracht l(r) als functie van de positie in de ster voor een ster met 1 M (links) en met 15 M (rechts) 112

127 DEEL III: STEREVOLUTIE 113

128

129 Hoofdstuk 8 Stervorming 8.1 Het interstellair medium Het bestaan van interstellaire materie werd zowat een eeuw geleden voor het eerst aangetoond aan de hand van de dubbelster δ Orionis. Ten gevolge van de beweging van twee componenten in een dubbelstersysteem zien we de spectraallijnen van elk van de sterren heen en weer bewegen in golflengte volgens de baanbeweging. Metingen van de spectraallijnen van δ Orionis vertoonden een absorptielijn van Calcium die niet met de andere lijnen meebeweegt. Hieruit concludeerde Hartman in 1904 terecht dat deze absorptielijn veroorzaakt moet worden door materiaal dat zich tussen δ Orionis en de Aarde bevindt. Een andere aanwijzing voor het bestaan van materie tussen de sterren leveren de donkere gebieden in de Melkweg. Aanvankelijk dacht men dat deze gebieden, waar we veel minder sterrren zien, ster-arme omgevingen waren. Maar in werkelijkheid gaat het om gebieden waar concentraties van stof het sterlicht tegenhouden. In de richting van zulke donkere wolken kunnen we alleen de sterren zien die vóór de wolk staan, waardoor we er in die richting minder in aantal zien. Interstellair stof heeft een typische temperatuur tussen 10 en 100 K. Naast interstellair stof treedt overal in de ruimte ook interstellair gas op. Het wordt waargenomen in de vorm van zeer smalle absorptielijnen in de spectra van sterren. Het gas heeft dezelfde samenstelling als deze van jonge sterren. De gemiddelde dichtheid van het gas is uiterst gering, ongeveer 1 atoom per cm 3 en de temperatuur bedraagt ongeveer 1000 K. Het bestaat dan ook voornamelijk uit neutrale atomen, overwegend H. In de buurt van hete sterren is het gas door de UV straling geïoniseerd en kan het verhitten tot ongeveer K. Immers, de neutrale H atomen kunnen de UV fotonen absorberen. Diegenen met een energie E > 13.6 ev geven zo een energieverschil E 13.6 ev mee als kinetische energie met het elektron dat vrijkomt. Door de botsingen met andere elektronen en protonen wordt deze kinetische energie verdeeld over het gas. De interstellaire materie is niet homogeen verdeeld in de ruimte, maar is geconcentreerd in het melk- 115

130 wegvlak, meer bepaald in de spiraalarmen. Bovendien komen lokale concentraties voor: interstellaire wolken. Deze hebben een diameter van enkele tientallen parsec, een temperatuur tussen 10 en 200 K en een dichtheid van ruwweg 10 tot 1000 atomen per kubieke cm. De interstellaire wolken zijn kouder dan het ijle gas omdat de straling die voor verhitting zorgt er niet in kan doordringen. In dichte interstellaire wolken kunnen eveneens moleculen voorkomen, vooral H 2 en in veel mindere mate ook complexere moleculen zoals CH 3 OH en H 2 CO. Men spreekt dan van moleculaire wolken. Uit gedetailleerde studies van de absorptie-eigenschappen van het interstellair stof blijkt dat dit bestaat uit minuscule koolstofkorreltjes (roet) of silicaatkorrels (zand) met een diameter van ongeveer 1 µm en omgeven door een dun laagje ijs (H 2 O). De massa van de interstellaire wolken ligt tussen 100 en 10 5 M, maar de stofdeeltjes maken daar slechts een kleine fractie van uit (slechts 1%). De andere 99% bestaat uit neutraal H of H 2 moleculen en He atomen. Sterren worden gevormd op basis van materiaal in moleculaire wolken. Dit gebeurt wanneer zulk een wolk gravitationeel instabiel wordt en ineenstort. Deze wolken zijn ondoorzichtig voor visuele straling. Daarom is het precieze verloop van de vorming van jonge sterren slecht gekend. In de nabije toekomst zullen steeds betere infrarood- en mm-detectoren in gebruik genomen worden. Wellicht zal hierdoor onze kennis over stervorming snel toenemen. We leiden nu eerst een criterium af waaraan moet voldaan zijn opdat zulk een ineenstorting kan plaatsgrijpen. Vervolgens bespreken we de verschillende stadia tussen de ineenstorting en de geboorte van een nieuwe ster. 8.2 Het Jeanscriterium Beschouwen we in eerste instantie een oneindig uitgestrekt homogeen gas in rust. De dichtheid, temperatuur en gravitatiepotentiaal zijn dan overal constant. Dit is echter geen stabiele evenwichtstoestand omdat de vergelijking van Poisson, 2 Φ = 4πGρ dan oplegt dat ρ = 0. Toch beschouwen we voorlopig deze evenwichtstoestand met een dichtheid die verschilt van nul. Zelfs voor een realistischere evenwichtsconfiguratie wijkt het resultaat niet af van hetgeen we hier bekomen. Passen we nu een storing toe op het medium in rust. Deze storing kan bijvoorbeeld veroorzaakt worden door een supernova explosie in de buurt of door de passage van een dichtheidsgolf, welke de spiraalarmen in de melkweg veroorzaken. Het gas moet dan voldoen aan de bewegingsvergelijking van de hydrodynamica d v dt = v t + ( v. ) v = 1 ρ P Φ (8.1) en aan de continuïteitsvergelijking ρ t + v. ρ + ρ. v = 0. (8.2) Bovendien moet voldaan zijn aan de vergelijking van Poisson en onderstellen we dat de toestandsvergelijking voor een ideaal isotherm gas geldig is : P = a 2 ρ, (8.3) 116

131 met a de isotherme geluidssnelheid, zie uitdrukkingen (2.52) en (2.53). In evenwicht hebben we ρ = ρ 0 =constant, T = T 0 =constant en v 0 = 0. Φ 0 wordt bepaald uit de voorwaarde 2 Φ 0 = 4πGρ 0. We verstoren nu het evenwicht en bepalen het effect van deze storing op de grootheden. Hierbij beschouwen we enkel een kleine storing zodat we niet-lineaire effecten van de storing mogen verwaarlozen. De grootheden worden nu geschreven als ρ = ρ 0 + ρ 1, P = P 0 + P 1, Φ = Φ 0 + Φ 1, v = v 1, (8.4) waarbij de functies met benedenindex 1 nu een ruimtelijke en tijdsafhankelijkheid hebben. Vervangen we nu (8.4) in de vergelijkingen waaraan moet voldaan blijven, dan vinden we het volgend stelsel differentiaalvergelijkingen: ( v 1 t = ρ 1 t + ρ 0. v 1 = 0, 2 Φ 1 = 4πGρ 1. Φ 1 + a 2ρ 1 ρ 0 Hierbij hebben we ondersteld dat de verstoring isotherm gebeurt. Deze benadering is goed zolang de wolk in staat is om de vrijgekomen gravitationele energie efficiënt uit te stralen. Het stelsel (8.5) is een stelsel van lineaire homogene partiële differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten. We kunnen daarom oplossingen vinden die evenredig zijn met exp[i(kx + ωt)] zodat x = ik, ), (8.5) y = z = 0, = iω. (8.6) t Met v 1x = v 1, v 1y = v 1z = 0 vinden we op basis van het stelsel (8.5) de volgende vergelijkingen: ωv 1 + ka2 ρ 1 + kφ 1 = 0, ρ 0 kρ 0 v 1 + ωρ 1 = 0, 4πGρ 1 + k 2 Φ 1 = 0. Dit homogeen lineair stelsel van drie vergelijkingen voor de drie onbekenden v 1, ρ 1, Φ 1 heeft enkel oplossingen verschillend van nul indien de determinant ka 2 ω k ρ 0 kρ 0 ω 0 0 4πG k 2 nul is. Voor k 0 impliceert dit de voorwaarde (8.7) ω 2 = k 2 a 2 4πGρ 0. (8.8) Voor voldoende grote golfgetallen k is het rechterlid van deze vergelijking positief zodat we storingen hebben die periodiek variëren in de tijd (reële eigenwaarde ω). Vermits de amplitude niet toeneemt is de 117

132 evenwichtstoestand stabiel t.o.v. deze storingen. In de limiet voor oneindig grote k is de tweede term in het rechterlid van (8.8) te verwaarlozen, zodat ω 2 = k 2 a 2, welke de dispersievergelijking voor isotherme geluidsgolven is. Het is inderdaad zo dat voor zeer korte golven de invloed van de gravitatie kan verwaarloosd worden. Elke vorm van samendrukking zal in dit geval hersteld worden door een verhoogde druk en de storingen reizen met de geluidssnelheid door het medium. Wanneer k 2 < 4πGρ 0 /a 2 is de waarde ω van de vorm ±iξ met ξ een reëel getal. Er treden dan storingen op exp(±ξt) die exponentieel groeien of uitdoven in de tijd zodat het evenwicht verbroken wordt. We definiëren nu een karakteristiek golfgetal k J en een karakteristieke golflengte λ J : kj 2 4πGρ 0 a 2, λ J 2π. (8.9) k J De storingen met golfgetal k < k J (of golflengte λ > λ J ) veroorzaken een instabiliteit. Er treedt dus een instabiliteit op wanneer ( ) π 1/2 λ > λ J met λ J = a. (8.10) Gρ 0 Voorwaarde (8.10) noemt men het Jeans criterium, genoemd naar J. Jeans die dit criterium afleidde in Fysisch gebeurt het volgende: na een kleine samendrukking van een stel plan-parallelle lagen overwint de gravitatie de invloed van de druk en worden de lagen samengedrukt tot zeer dunne zones. Het tempo waarmee deze samendrukking gebeurt kunnen we schatten door in (8.8) enkel rekening te houden met de op dat ogenblik overheersende invloed van de gravitatie. We hebben dan iω Gρ 0 en de overeenkomende tijdschaal bedraagt τ 1/ Gρ 0. Deze komt overeen met de vroeger gedefinieerde tijdschaal voor vrije val (3.24). Daarentegen is de tijdschaal voor thermische aanpassing veel korter, op voorwaarde dat er efficiënte cooling agents aanwezig zijn in de wolk. Water- en koolstofmonoxide moleculen, waarin op verschillende wijzen rotationele en vibrationele overgangen kunnen plaatsgrijpen, slagen er inderdaad in voldoende warmte afvoeren en zorgen zo voor een snelle koeling. Deze bedraagt enkele honderden jaren voor interstellaire wolken. Dit betekent dat bij goede benadering de ineenstorting isotherm gebeurt zolang deze moleculen aanwezig zijn. Men kan tonen dat het Jeans criterium nog steeds geldt voor realistischere configuraties, zoals een sferisch symmetrische gaswolk. Afhankelijk van de veronderstelde geometrie zullen de factoren in de uitdrukking (8.9) van λ J dan een weinig veranderen. Voor een gegeven evenwichtstoestand bestaat er een kritische massa, de Jeans massa. Gaswolken met massa groter dan de Jeans massa zijn gravitationeel instabiel en zullen bij een kleine samendrukking 118

133 instorten. We kunnen de Jeans massa als volgt afschatten: M J = 4π 3 ρ 0λ 3 J = 4π ( ) π 3/2 ( RT 3 ρ 0 Gρ 0 µ = 4π ( ) Rπ 3/2 T 3/2 ρ 1/2 0 3 Gµ M ( T 100K ) 3/2 ) 3/2 ( ) ρ 1/ gcm 3 µ 3/2, (8.11) waarbij we gebruikt hebben dat a 2 = RT/µ. Typische waarden voor interstellaire wolken bestaande uit neutraal waterstof zijn: ρ 0 = g cm 3, T = 100 K, en µ = 1. Hiermee bekomen we voor de Jeans massa M J M. Dit betekent dat enkel massa s die aanzienlijk groter zijn dan stellaire massa s kunnen ineenstorten ten gevolge van het Jeans criterium. 8.3 Fragmentatie Hoe worden nu sterren gevormd uit een gaswolk die gravitationeel ineenstort? Men neemt aan dat een wolk met massa groter dan de Jeans massa die ineenstort onderhevig is aan een proces van fragmentatie. Hiermee bedoelen we dat er tijdens de ineenstorting fragmenten ontstaan die zelf instabiel worden en die aan een hoger tempo dan de wolk zelf in mekaar storten. Indien dit proces inderdaad optreedt, impliceert dit dat kleinere deelmassa s uit de wolk kunnen condenseren. Zoals reeds eerder opgemerkt gebeurt de ineenstorting isotherm. Hieruit volgt dat de Jeans massa daalt als ρ 1/2 tijdens de samentrekking, m.a.w. de Jeans massa wordt kleiner dan de oorspronkelijke massa van de gaswolk. Wanneer de Jeans massa dan kleiner geworden is dan de helft van de oorspronkelijke massa, kan de wolk zich fragmenteren in twee deelwolken die elk ineenstorten. Zulke fragmentatie kan zich verder zetten zolang de ineenstorting isotherm blijft verlopen. We merken wel op dat het Jeans criterium afgeleid werd voor een medium in evenwicht en de theorie dus niet strikt toepasbaar is voor een wolk die reeds aan het samentrekken is. Vraag is nu wat de eindproducten zijn van het fragmentatieproces? Een oplossing zoeken op basis van de vergelijkingen van de hydrodynamica en thermodynamica voor zulk een samentrekkende wolk zou ons veel te ver leiden. We beperken onze redenering daarom tot het uitzoeken op welk ogenblik de tijdschaal van thermische aanpassing vergelijkbaar wordt met de tijdschaal van vrije val. Op dat ogenblik zal de ineenstorting niet meer isotherm, maar wel adiabatisch gebeuren. Voor een mono-atomisch ideaal gas hebben we dat ad = 2/5, zodat T P 2/5 en vermits P ρt verandert de temperatuur dan als T ρ 2/3. De Jeans massa is dan evenredig met T 3/2 ρ 1/2 ρ 1/2. We vinden dus dat de Jeans massa toeneemt tijdens een adiabatische ineenstorting. Hierdoor zullen de reeds ontstane deelwolken niet verder opsplitsen en zal de fragmentatie stoppen. 119

134 De karakteristieke tijdschaal voor vrije val van een fragment bedraagt (Gρ) 1/2. Anderzijds is de totale energie die dient uitgestraald te worden om een constante temperatuur te kunnen bewaren van de orde van de gravitationele potentiële energie E g GM 2 /R, waarbij M en R de massa en de straal van het fragment zijn. Er dient dus een energie A van de orde ( ) A GM2 3 1/2 G 3/2 M 5/2 R (Gρ)1/2 = 4π R 5/2 (8.12) per tijdseenheid uitgestraald te worden opdat de fragmentatie isotherm zou verlopen. Onderstellen we nu thermisch evenwicht, wat een goede benadering is aan het eind van het fragmentatieproces omdat de materie dan opaak begint te worden. Dan echter, kan het fragment niet meer energie uitstralen dan een zwarte straler met dezelfde temperatuur. Het fragment straalt dus een energie uit gegeven door B = 4πfσT 4 R 2, met σ de constante van Stefan-Boltzmann (zie Bijlage A) en f een getal tussen 0 en 1 waarmee we in rekening brengen dat er minder energie wordt uitgestraald dan voor een zwarte straler. De voorwaarde voor isotherme ineenstorting is A B en de overgang naar adiabatische samentrekking zal gebeuren bij A B. Deze laatste voorwaarde is voldaan bij M 5 = 64π3 σ 2 f 2 T 8 R 9 3 G 3. (8.13) We kunnen dus aannemen dan de fragmentatie stopt wanneer de Jeans massa gelijk is aan de massa gegeven in (8.13). We vervangen daarom M in (8.13) door M J, R door (3M J /4πρ) 1/3 en elimineren ρ met behulp van uitdrukking (8.11). We bekomen zo de Jeans massa op het eind van de fragmentatie: M J,einde = ( 4 6 π ) 1/4 ( ) 1 R 9/4 (σg 3 ) 1/2 f 1/2 T 1/4 T 1/4 = 0.17 M, (8.14) µ f1/2 waarbij we µ = 1 genomen hebben. Nemen we nu een typische temperatuur van K voor de temperatuur van de kleinste fragmenten. Veronderstellen we vervolgens dat afwijkingen van een isotherme toestand optreden voor f = 0.1, dus wanneer het energieverlies 10% bedraagt van het maximaal mogelijke energieverlies. We bekomen dan een Jeans massa aan het eind van het fragmentatieproces die gelijk is aan 3 M. Dit resultaat verandert niet veel wanneer we de temperatuur en f-waarde laten variëren binnen de toegelaten grenzen. We besluiten dus dat fragmentatie ophoudt op het ogenblik dat de fragmenten een massa hebben van de orde van één zonsmassa, niet van de orde van een planeet en ook niet van de orde van een stercluster. 8.4 De vorming van een protoster Het Jeans criterium dat we hebben afgeleid is gebaseerd op een eerste-orde storingsmethode en geeft de voorwaarden waaronder een storing van een evenwichtstoestand exponentieel groeit. Deze theorie geeft echter geen informatie over het eindproduct van de ineenstorting. We overlopen nu de verschillende stadia vanaf de ineenstorting tot de geboorte van de ster. Wanneer het fragmentatieproces beëindigd wordt blijven de verschillende fragmenten verder gravitationeel ineenstorten. De gravitatie heeft nog steeds de bovenhand en de drukgradiënt kan in eerste instantie verwaarloosd worden. We kunnen deze ineenstorting dan benaderen als een vrije val van een homogene 120

135 sfeer. De tijdschaal waarop de vrije val plaatsvindt is zeer vergelijkbaar met de tijdschaal die men vindt wanneer we het plots wegvallen van de drukkracht beschouwen in de bewegingsvergelijking en bedraagt ongeveer 10 7 jaar. Deze tijdschaal is niet meer nauwkeurig nabij het centrum van het fragment, vermits de druk daar belangrijk wordt, waardoor de ineenstorting stopt. Volgen we nu het proces van ineenstorting voor een homogene wolk met een massa van 1 M nadat het fragmentatieproces beëindigd werd. In goede benadering houdt de instabiliteit de buitenlagen van de sfeer op een quasi-constante straal terwijl de binnenste materie een vrije val kan ondergaan. Hierdoor stijgt de dichtheid in de centrale gedeelten enorm snel, terwijl de dichtheid nauwelijks varieert in de buitenste regionen van het fragment. Eens een kleine centrale concentratie ontstaan is zal ze onherroepelijk aangroeien en is een irreversibel proces gestart. De vrije-val tijd voor de sfeer binnen straal r is van de orde [Gρ(r)] 1/2 waarbij ρ staat voor de gemiddelde dichtheid binnen de sfeer met straal r. Wanneer ρ toeneemt naar het centrum toe daalt de vrije-val tijd in die richting. Daarom zullen de binnenste sferen veel sneller invallen dan de buitenste lagen en wordt het dichtheidsverschil nog meer uitgesproken. Uiteindelijk zal het fragment evolueren van een dichtheidsverdeling ρ =constant naar ρ r 2. De ineenstorting van het centrale deel gebeurt in vrije val zolang het materiaal de gravitationele energie kan kwijtspelen. Een deel van deze energie wordt uitgestraald in het infrarood. Een ander gedeelte wordt opgeslagen onder de vorm van differentiële rotatie. Materiaal met een klein impulsmoment zal een dynamische ineenstorting blijven ondergaan op de tijdschaal van vrije val. Daarentegen zal de materie aan de buitenkant van het fragment een veel groter impulsmoment hebben. Het kan hierdoor niet invallen en begeeft zich in een schijf omheen de ster in wording (zie figuur 8.1). Een verdere toename van de dichtheid zal een adiabatische stijging van de temperatuur veroorzaken. Hierdoor zal de druk stijgen totdat de vrije val gestopt wordt. Hierdoor ontstaat een centrale kern in hydrostatisch evenwicht omgeven door een nog steeds ineenstortende enveloppe. Op dit moment bedraagt de massa van de kern ongeveer 1/200 M, de straal is ongeveer 1000 R. Typische waarden voor de centrale dichtheid en temperatuur zijn ρ c = g cm 3, T c = 170 K. De snelheid van vrije val aan de rand van de kern bedraagt zo n 75 km/s. Wanneer de massa van de kern blijft stijgen en de straal ervan dalen, dan zal deze snelheid de geluidssnelheid in de kern overstijgen. Er zal zodoende een schokgolf gevormd worden die het hydrostatisch inwendige scheidt van de supersonische regen op de kern. In dit schokfront komt het invallend materiaal tot stilstand en geeft het zijn kinetische energie af aan de kern. Op die manier verwarmt de accreterende kern. In de kern bestaat het gas hoofdzakelijk uit waterstof in moleculaire vorm. Wanneer, echter, de temperatuur stijgt tot zo n K, zullen de H 2 moleculen dissociëren. We krijgen dan een mengsel van atomair en moleculair waterstof, waarin de opaciteit zeer groot is en het afkoelingsmechanisme aan efficiëntie inboet. Bij de aanvang van dit dissociatieproces zal het grootste gedeelte van de energie die via de schokgolf geïnjecteerd wordt in de kern gebruikt worden om alle waterstof verder te dissociëren. De schokgolf sterft hierdoor snel uit, vooraleer de buitenste lagen van het fragment te bereiken. Op het ogenblik van sterke dissociatie wordt vervolgens het hydrostatisch evenwicht in de kern verbroken, waardoor deze laatste opnieuw begint te contraheren. Dit gebeurt op het ogenblik dat de massa van de kern ongeveer verdubbeld is en de straal ervan gehalveerd. Deze tweede ineenstorting duurt verder zolang het gas partieel gedissocieerd is. Wanneer alle waterstof omgevormd is tot atomaire vorm heeft er zich een dynamisch stabiele deelkern 121

136 CLASS AU Log νfν Log νfν Log ν Fν Log ν Fν Core Active disk CLASS II Passive disk CLASS III CLASS I Protostar Star zz 500 AU 50 AU 5 AU -9 Remnant disk Star Log ν (Hz) Figuur 8.1: De verschillende fasen van het stervormingsproces in een plaatje (rechts) en de spectrale energieverdeling die we erbij verwachten (links). Voor details: zie tekst. 122

137 in de ster-in-wording gevormd. Deze deelkern heeft een massa van ongeveer M en een straal van 1.3 R. De centrale dichtheid is nu gestegen tot ongeveer g cm 3 en de centrale temperatuur bedraagt zo n K. Opnieuw vormt zich aan de rand van de deelkern een schokfront. Dit front is veel energetischer dan het eerste en reikt nu wel tot het oppervlak van het fragment: de vroege protoster vertoont nu een lichtkracht. Een schematische voorstelling van het ontstaan van de twee schokfronten is gegeven in figuur 8.2. De evolutie van de kern van een fragment met massa 1 M, startende van de originele Jeans instabiliteit, wordt schematisch weergegeven in figuur 8.3. De evolutie start links met een isotherme ineenstorting. Nadat het materiaal opaak wordt, stijgt de temperatuur adiabatisch. De temperatuursstijging wordt afgevlakt door de dissociatie van H 2. De centrale compressie verloopt adiabatisch zolang de accretietijdschaal van de kern (of van de deelkern indien die reeds bestaat) kort blijft in vergelijking met de tijdschaal van Helmholtz-Kelvin. Hoe meer uitputting van moleculair waterstof er optreedt in de enveloppe, hoe langer de accretietijdschaal wordt. Op een gegeven moment zal deze de Helmholtz-Kelvin tijdschaal overschrijden en zal de accretie stilaan ophouden: een protoster is geboren en deze heeft nu een zo goed als constante massa. We maken eerst even een zijsprong om te kunnen antwoorden op de vraag wat er met een protoster zal gebeuren alvorens ze aanleiding zal geven tot de geboorte van een ster. 8.5 Hayashisporen in het HR diagram We beschouwen nu even het limietgeval van volledig convectieve sterren. Dit zijn sterren waarvoor de convectieve zone zich uitstrekt van de sterkern tot aan de fotosfeer terwijl enkel de steratmosfeer radiatief blijft. Het Hayashi spoor is die plaats in het HR diagram waar volledig convectieve sterren voor een gegeven massa en chemische samenstelling voorkomen. Er bestaat een apart Hayashi spoor voor elke massa en chemische samenstelling. De Hayashisporen zijn rechts in het HR diagram gesitueerd, bij effectieve temperaturen tussen en K. Een goede benadering voor de Hayashi sporen in het HR diagram is log T eff = 0.05 log L log M + constante. (8.15) De helling van een Hayashi spoor is log L/ log T eff = 20. Dit toont dat alle Hayashi sporen een zeer steile helling hebben. De waarde van log T eff / log M = 0.2 impliceert dat een Hayashi spoor voor bepaalde massa naar links in het HR diagram verschuift wanneer de massa stijgt. De exacte bepaling van de Hayashi sporen hangt niet alleen af van de massa en chemische samenstelling van de ster, maar evenzeer van de details van de gebruikte convectietheorie. We tonen in figuur 8.4 Hayashi sporen voor stermassa s gaande van 0.5 tot 10M. We stellen vast dat de sporen inderdaad een steile helling hebben. Hun preciese lokatie hangt af van de lichtkracht van de ster. De Hayashi sporen zijn zeer ver van de hoofdreeks gelegen voor hoge stellaire massa s en naderen de hoofdreeks bij lage massa s. Voor massa s beneden 0.25 M treden volledig convectieve hoofdreekssterren op. Voor deze lage massa s snijdt het Hayashispoor inderdaad de hoofdreeks. 123

138 Figuur 8.2: De ineenstorting van een gaswolk met massa 1 M. (a) Na zo n seconden heeft de wolk een dichte opake kern gevormd. De ineenstorting stopt aan de rand van die kern en er ontwikkelt zich een schokfront tussen de kern, welke in hydrostatisch evenwicht is, en de enveloppe die nog steeds vrije val ondergaat. (b) Wanneer de kern dynamisch instabiel wordt door H 2 dissociatie ontstaat een tweede ineenstorting van de kern, waardoor ook een tweede schokfront zich ontwikkelt, maar nu bij veel kleinere r. (c) Het verloop van de snelheidsmodulus v (in cm s 1 ) en de dichtheid ρ (in g cm 3 ) t.o.v. r (in cm). De gebieden van de schokgolven worden gekarakteriseerd door grote variaties in het verloop van de snelheidskromme. 124

139 Figuur 8.3: De centrale evolutie van een wolk met massa 1 M vanaf de isotherme ineenstorting tot de ontbranding van waterstof. De centrale temperatuur T c (in Kelvin) wordt getoond als functie van de centrale dichtheid ρ c (in g cm 3 ). De puntjeslijn is een extrapolatie welke aanduidt dat de fase van thermische aanpassing, die volgt na de adiabatische samendrukking, uitmondt in de ontbranding van waterstof in de kern. Het Hayashi spoor duidt een grens aan tussen een toegelaten en verboden gebied in het HR diagram. Posities rechts van het Hayashi spoor kunnen niet voorkomen voor een ster in hydrostatisch evenwicht die tevens in convectief evenwicht is. Met dit laatste bedoelen we dat de variaties van grootheden verbonden met convectieve cellen zo traag verlopen dat de convectie voldoende tijd heeft gehad om zich aan te passen aan de nieuwe situatie. Vermits hydrostatisch en convectief evenwicht zich zeer snel herstelt, kunnen sterren zich slechts gedurende zeer korte tijd rechts van het Hayashi spoor bevinden. Tijdens sommige fasen van de sterevolutie kunnen de sterren zeer dicht naderen tot, of zelfs samenvallen met het Hayashi spoor. De ligging van de Hayashisporen beïnvloedt dan ook de sterevolutie. 8.6 Evolutie van de protoster naar de nulhoofdreeks Na de dynamische instortingsfase beschreven in sectie 8.4 bereikt de protoster een quasi-hydrostatisch evenwicht. Zolang de protoster nog een centrale temperatuur heeft beneden diegene nodig voor het initiëren van waterstofverbranding, kan ze alleen contractie aanroepen als energiebron om de gravitationele aantrekkingskracht tegen te gaan en is ze nog niet in thermisch evenwicht. Ze contraheert nu traag op de tijdschaal van Helmholtz-Kelvin terwijl ze nog de laatste resten materie blijft accreteren. Men kan tonen dat in deze levensfase, τ HK M 2.5 een goede benadering is voor deze contractietijdschaal. Uit het viriaaltheorema weten we dat een gedeelte van de gravitationele contractie-energie wordt omgezet naar inwendige energie en dat een ander gedeelte verantwoordelijk is voor de lichtkracht van de ster. De opaciteit binnenin de protoster blijft ontzettend groot zolang de materie niet geïoniseerd is, zodat convectie de enige manier is om de 125

140 Figuur 8.4: De positie van de Hayashisporen voor sterren met massa tussen 0.5 en 10 M, voor een chemische samenstelling X = 0.739, Y = 0.24, Z = De hoofdreeks is eveneens aangeduid ter vergelijking. 126

141 energie af te voeren. De protoster bevindt zich dan ook op haar Hayashi spoor. Tijdens haar contractie behoudt de protoster nagenoeg haar effectieve temperatuur, maar daalt haar straal, en dus ook haar lichtkracht (volgens 1/R 2 ). Zodoende beweegt ze zo goed als verticaal neerwaarts op haar Hayashispoor in het HR diagram. Vermits de interne temperatuur in de kern van de protoster gestaag blijft stijgen, bereikt het gas daar een geïoniseerde toestand. Hierdoor daalt de opaciteit in de kern en begint de convectieve zone daar weg te trekken vanuit de kern naar buiten toe. Dit impliceert dat de protoster haar Hayashi spoor zal verlaten, omdat ze dan niet meer volledig convectief is. Ze zal haar weg vervolgen met een radiatieve contractie van de kern en beweegt op de zogenaamde Henyey sporen verder naar links in het HR diagram. Vermits de contractie in de protosterkern in een steeds transparanter milieu gebeurt door de stijgende temperatuur, buigt de protoster haar neerwaartse trend in het HR diagram (door de dalende lichtkracht) om in een stijgende, waarbij haar lichtkracht begint toe te nemen. De ster is nu een pre-hoofdreeksster geworden. Terwijl de pre-hoofdreeksster haar weg vervolgt langsheen het Henyey spoor naar links in het HR diagram, bereikt haar centrale temperatuur op een gegeven moment diegene nodig voor het initiëren van de proton-proton reactie (ongeveer een miljoen graden). We herhalen dat deze reactie H omzet in 2 H (deuterium). Deze verse deuterium wordt onmiddellijk verder verbrand tot 3 He. Hoe lichter de protoster, hoe groter de temperatuursstijging in haar centrum en dus hoe dichter ze zich nog tegen het Hayashispoor bevindt wanneer deze eerste kernreacties plaatsvinden (de primordiale deuterium en 3 He branden ook mee op). De volledige pp ketens kunnen echter nog niet doorlopen worden, omdat de verbranding van 3 He tot een alfa deeltje een iets hogere temperatuur vereist (typisch K). Hierdoor kan de 3 He niet tot zijn evenwichtsconcentratie komen die er zou moeten zijn om de volledige waterstofverbranding in evenwicht te laten gebeuren. De temperatuursgevoeligheid van de kernreacties is hierdoor veel hoger (typische een factor drie) dan wanneer de pp ketens wel in evenwicht zouden gebeuren. Dit impliceert dat de pre-hoofdreeksster een convectieve kern ontwikkelt. In pre-hoofdreekssterren met een massa kleiner dan ongeveer 1.1 M zal deze convectieve kern verdwijnen van zodra de pp ketens, met al hun bijhorende chemische tussenstappen, in evenwicht kunnen gebeuren. Zwaardere sterren zullen echter zeer snel overstappen op waterstofverbranding via de CNO cyclus. Deze vorm van verbranding is echter veel temperatuursgevoeliger dan de pp ketens. Zodoende zullen deze sterren hun convectieve kern behouden tijdens de gehele centrale waterstofverbrandingsfase. De accretie is ondertussen blijven verder gaan gedurende nagenoeg de hele pre-hoofdreeksfase, en wel op een tijdschaal van Helmholtz-Kelvin. Protosterren met een massa boven een 9-tal M bewegen zodanig snel van hun Hayashispoor naar de ZAMS dat ze onzichtbaar blijven tijdens hun pre-hoofdreeksfase, vermits ze ingebed blijven in een dikke circumstellaire enveloppe van invallend materiaal. De zwaarste sterren lichten zodoende pas op in het HR diagram als ze de ZAMS al bereikt hebben. De inval van materie stopt dan door de felle buitenwaartse straling. Hierdoor geven ze niet veel informatie prijs over hun vormingsproces. Pre-hoofdreekssterren met massa s tussen 1.6 en 9 M beëindigen hun accretie reeds voor ze aan de ZAMS zijn. Zulke pre-hoofdreekssterren worden Herbig Ae/Be sterren genoemd. Pre-hoofdreekssterren met massa beneden 1.6 M worden T Tauri sterren genoemd. Vanuit observationeel standpunt is het inderdaad zo dat het HR diagram van jonge sterclusters (bijvoorbeeld de Pleiaden of h en χ Persei) toont dat de zware sterren reeds op de hoofdreeks beland zijn, terwijl de lichtere sterren zich nog in hun contractiefase bevinden, vermits ze duidelijk rechts van de hoofdreeks gele- 127

142 gen zijn. Vele van deze sterren blijken inderdaad T Tauri sterren te zijn. Waarnemingen van Herbig Ae/Be sterren en T Tauri sterren tonen aan dat beide groepen onderhevig zijn aan actieve oppervlaktefenomenen en differentiële rotatie. De combinatie van deze rotatie met de convectie in de buitenlagen, wekt wellicht een chaotisch magneetveld op. Dit zorgt voor de afvoer van het beschikbare impulsmoment via een sterrenwind. Deze wind ontsnapt langs de poolas omwille van de gevormde schijf in het equatorvlak. Zo ontstaat een bipolaire uitstroom die het accretieproces doet stoppen alvorens de ZAMS bereikt wordt (figuur 8.1). De stofschijf omheen de T Tauri en Herbig Ae/Be sterren verdwijnt tijdens hun pre-hoofdreeksfase. Het is vooralsnog niet helemaal duidelijk op welke manier dit gebeurt. De vorming van een planetenstelsel is één van de mogelijke scenario s. Het is ook nog niet geweten of de vorming van een planetensysteem in dergelijke schijven een normaal dan wel een uitzonderlijk fenomeen is. Voor meer details omtrent planeetvorming verwijs ik naar het mastercollege Star and Planetary System Formation. Eens de waterstofverbranding in evenwicht kan gebeuren, en volledig de energieproductie domineert, bereikt de ster een toestand van thermisch evenwicht en stopt de contractie. Op dat ogenblik is de ster aangekomen op de zogenaamde nulhoofdreeks (ZAMS: zero-age main-sequence). Men zegt dat de ster nu geboren is. Het ogenblik waarop de energie geput uit contractie niet meer dan slechts enkele procenten bijdraagt is inderdaad een belangrijk moment in het leven van de ster, aangezien de inwendige structuur van het object op dat moment een reorganisatie vereist. Dit is het gevolg van het feit dat er nu twee energiebronnen in belang omgewisseld worden, nl. de gravitationele en nucleaire energie, met elk een totaal verschillende impact op de sterstructuur. Zo is de gravitationele energieproductie ε g T terwijl de processen van waterstofverbranding veel meer geconcentreerd zijn naar het stercentrum toe met temperatuursafhankelijkheden gegeven door ε pp T 5 en ε CNO T 18. De nucleaire energie neemt dus al gauw de bovenhand en de evolutie van de ster wordt vanaf dat moment helemaal geregeerd door de waterstofverbranding. Op dat ogenblik doet de voorgeschiedenis van de ster er niet meer toe. De sterstructuur zal zich aanpassen en thermisch evenwicht bereiken na een Helmholtz-Kelvin tijd. Vermits de tijdsduur die de ster zal doorbrengen op de hoofdreeks vele orden van grootte langer is, vestigt de ster zich vrij onafhankelijk van haar verleden op de nulhoofdreeks. In figuur 8.5 tonen we de evolutiesterren van protosterren tot aan de nulhoofdreeks voor verschillende massa s. Tabel 8.1 geeft de overeenkomstige evolutionaire leeftijden van de modellen, volgens de labels aangeduid in figuur 8.5. Het starttijdstip van de berekening komt overeen met het instellen van hydrostatisch evenwicht in de protoster. We merken tenslotte nog op dat een contraherende sfeer met een massa beneden een bepaalde limietmassa nooit een centrale temperatuur van waterstofverbranding zal bereiken. Protosterren met een massa beneden 0.08 M ontsteken nooit waterstof en geraken dus nooit op de nulhoofdreeks. De reden hiervoor is dat deze sterren volledig convectief worden tijdens de contractiefase. Immers, de contractie moet zorgen voor de te produceren lichtkracht zolang er geen kernreacties plaatsgrijpen. Er ontstaat zo een alsmaar stijgende dichtheid, die bij een ster met initiële massa beneden 0.08 M leidt tot ontaarding alvorens waterstof ontsteekt. Deze ontaarding belet een verdere toename van de temperatuur, zodat deze laatste nooit hoog genoeg kan worden opdat waterstofverbranding plaats kan grijpen. Zulke objecten noemt men bruine dwergen. Een ster in wording is dus gedoemd om een bruine dwerg te worden wanneer haar massa niet hoog genoeg is om waterstofverbranding te ontsteken vooraleer ontaarding optreedt. Bruine dwergen worden soms verantwoordelijk geacht voor de zogenaamde ontbrekende massa in het 128

143 Figuur 8.5: Evolutiesporen van pre-hoofdreekssterren in het HR diagram voor stermodellen met massa tussen 0.5 en 15 M. De onderstelde chemische samenstelling bedraagt X = 0.708, Z = De tijdsduur om de aangeduide punten te bereiken wordt voor sommige modellen gegeven in Tabel

144 punt Tabel 8.1: Evolutionaire leeftijden (in jaren uitgedrukt) voor sommige van de modellen met aangegeven massa s getoond in figuur 8.5. De tabel geeft de tijdsduur die nodig is om de aangeduide punten te bereiken, vanaf het ogenblik dat hydrostatisch evenwicht zich instelt in de protoster tot aan de aankomst op de nulhoofdreeks. Heelal. Omwille van hun lage lichtkracht is het zeer moeilijk om zulke objecten waar te nemen. Zodoende zou een aanzienlijke fractie van de massa in het Heelal aan de waarnemingen kunnen ontsnappen. Een nauwkeurige schatting van de massa die aanwezig is in het Heelal is van groot belang voor het opstellen van kosmologische modellen (zie Leuvense Mastercollege Introduction to Cosmology). In die zin is de zoektocht naar bruine dwergen zeer actueel. 130

145 Hoofdstuk 9 De hoofdreeks 9.1 De nulhoofdreeks We beschouwen nu een reeks van stermodellen in mechanisch en thermisch evenwicht met dezelfde chemische samenstelling maar met verschillende massa. De sterren zijn aangekomen op de nulhoofdreeks zoals geschetst in vorig hoofdstuk en ondergaan waterstofverbranding in hun kern. Deze waterstofverbranding is hun energiebron gedurende zeer lange tijd en de sterren veranderen bijgevolg slechts op de tijdschaal τ n. In de veel kortere tijdspanne τ HK vergeet de ster haar vormingsgeschiedenis. De consumptie van waterstof in de kern gebeurt zodanig traag dat de ster bijna haar gehele levensloop doorbrengt op de hoofdreeks. Daarom dat we de meeste sterren vinden tijdens hun hoofdreeksfase. De leeftijd van de ster wordt steeds weergegeven t.o.v. de nulhoofdreeks (i.e. t = 0 komt overeen met de ZAMS). We herhalen nogmaals dat deze gedefinieerd wordt als het ogenblik waarop de centrale waterstofverbranding volledig in evenwicht gebeurt en daardoor veruit de dominante energiebron is (i.e. wanneer de contractie-energie nog slechts enkele procenten van de totale energieproductie op zich neemt). Evenwichtsmodellen van hoofdreekssterren in de fase van centrale waterstofverbranding kunnen bepaald worden aan de hand van het schema besproken in Hoofdstuk 7. In figuur 9.1 tonen we de positie van de sterren in het HR diagram voor een reeks in massa gaande van 0.1M tot 22M voor een chemische samenstelling X = 0.685, Y = De lichtkracht en effectieve temperatuur stijgt met stijgende massa. We verkrijgen zo de gehele ZAMS. Zoals reeds blijkt uit figuur 9.1 bestaan er welbepaalde verbanden tussen de oppervlaktewaarden voor de massa, de straal, de effectieve temperatuur en de lichtkracht voor de berekende modellen. We gaan hier nu wat dieper op in. 131

146 Figuur 9.1: De nulhoofdreeks (ZAMS) in het Hertzsprung-Russell diagram voor stermodellen met X = en Y = De posities van de modellen voor verschillende massa s tussen 0.1 en 22 M worden aangeduid onderaan de ZAMS. 132

147 Figuur 9.2: De volle lijn duidt de massa-lichtkracht relatie aan voor de hoofdreeksmodellen getoond in figuur 9.1. Een vergelijking wordt gemaakt met componenten van dubbelsterren waarvan de massa s nauwkeurig bepaald werden. Driehoekjes: visuele dubbelsterren, puntjes: gescheiden dubbelsterren. 9.2 De massa-lichtkracht relatie De massa-lichtkracht relatie voor de nulhoofdreeksmodellen getoond in figuur 9.1 wordt weergegeven als een volle lijn in figuur 9.2. We stellen vast dat de lichtkracht fel toeneemt voor stijgende massa s. Met het oog op een interpolatie over een beperkt massa-interval kunnen we de massa-lichtkracht relatie schrijven in de vorm L M η. (9.1) De waarde van η hangt af van het beschouwde massa-interval. Wanneer we het gehele massa-interval beschouwen vinden we als beste benadering η 3.2. De helling van de volle lijn in figuur 9.2 verandert echter in functie van de massa. Zo vinden we bijvoorbeeld als beste waarde voor het massa-interval M [1, 10]M η Vraag is nu hoe de theoretisch bepaalde massa-lichtkracht relatie aansluit bij de observationele versie van deze relatie. Om deze vraag te kunnen beantwoorden moeten we beschikken over een reeks sterren waarvan de massa en de lichtkracht (en dus de straal en de effectieve temperatuur) goed gekend zijn. De meest nauwkeurige massa- en straalbepaling die voorhanden is, gebeurt aan de hand van dubbelsterren. Onder een dubbelster verstaan we een systeem van twee sterren die fysisch met elkaar verbonden zijn. Beide componenten bevinden zich dus op dezelfde afstand van ons. Verscheidene studies tonen aan dat minstens de helft van alle sterren behoren tot een meervoudig systeem. De binariteit heeft voor nauwe dubbelsterren belangrijke gevolgen voor de evolutie van de componenten. De invloed van deze binariteit op de evolutie en het bepalen van massa s wordt bestudeerd in het Leuvense Mastercollege Binary Stars. We bespreken nu de confrontatie van de theoretisch voorspelde en de waargenomen massa-lichtkracht relatie voor hoofdreekssterren. In de literatuur vinden we overzichten van de dubbelsterren op de hoofdreeks waarvan de massa s het nauwkeurigst afgeleid konden worden. Deze lijsten werd gebruikt om de theore- 133

148 Figuur 9.3: De volle lijn duidt de massa-straal relatie aan voor de hoofdreeksmodellen getoond in figuur 9.1. Een vergelijking wordt gemaakt met componenten van dubbelsterren waarvan de massa s nauwkeurig bepaald werden. De symbolen hebben dezelfde betekenis als in figuur 9.2. tisch geconstrueerde massa-lichtkracht relatie te toetsen. De observationeel vastgestelde massa-lichtkracht relatie wordt eveneens weergegeven in figuur 9.2. De driehoekjes verwijzen naar visuele (lage-massa) dubbelsterren terwijl de bolletjes de zwaardere dubbelsterren met duidelijk gescheiden componenten ( detached binaries ) aanduiden. We zien een zeer goede overeenkomst tussen de waargenomen dubbelsterren en de theoretisch gevonden relatie. Vermits we hier een vergelijking maken tussen ZAMS modellen en echte sterren die reeds lang op de hoofdreeks kunnen verblijven is de overeenkomst bijzonder goed, zeker als men de bedenking maakt dat we te maken hebben met een bijzonder grote interval waarbinnen de massa en lichtkracht kunnen variëren: een factor van om en bij de 200 in massa en zowat 10 8 in lichtkracht! Een ander verband dat we kunnen beschouwen is de massa-straal relatie voor nulhoofdreekssterren. We kunnen daarom een soortgelijk verband R M ξ (9.2) beschouwen. Voor de sterren met massa s lager dan die van de Zon vinden we ruwweg ξ 0.8 terwijl voor de zwaardere sterren ξ De massa-straal relatie wordt voor de theoretisch berekende modellen opnieuw voorgesteld als een volle lijn in figuur 9.3. De confrontatie met de straal bepaald voor de dubbelsterren toont weerom een goede overeenkomst. De waarnemingen zijn opnieuw weergegeven door middel van dezelfde symbolen als in figuur 9.2. Er is een duidelijke knik in de massa-straal relatie rond M = 1 M. De reden is dat sterren met een effectieve temperatuur lager dan die van de Zon plots een veel uitgebreidere convectiezone hebben nabij het steroppervlak, welke ondermeer voor een stijging van de straal zorgt, waardoor de massa-straal relatie plots steiler wordt. 134

149 9.3 Chemische evolutie op de hoofdreeks Tijdens de hoofdreeksfase wordt het energieverlies aan het steroppervlak gecompenseerd door de energieproductie ten gevolge van waterstofverbranding. Deze chemische evolutie van de ster heeft vooral betrekking op het gebied in de onmiddellijke omgeving van de sterkern vermits de energieproductie sterk afhankelijk is van de temperatuur. Het centrale deel van de ster waarin de waterstoffusie plaatsvindt beslaat 20 tot 30% van de stermassa. Wanneer convectie optreedt, echter, zorgen de turbulente bewegingen voor een efficiënte vermenging van het stermateriaal en wordt een groter volume beïnvloed. In figuur 9.4 tonen we de situering van de convectiezones in functie van de stermassa. We zien dat er geen convectieve gebieden optreden rond de sterkern voor massa s beneden een zonsmassa en dat de uitgebreidheid van de centrale convectieve kern toeneemt met stijgende massa. Een andere, ruwere verdeling van de situering van de convectiezones volgens de stermassa wordt gegeven in figuur 9.5, waarbij de linkse schets geldt voor sterren met M > 2 M, de middelste voor 1 M < M < 2 M en de rechtse voor M < 1 M. Voor sterren met massa tussen 0.1 en 1 M met een radiatieve kern is de verandering van de waterstofinhoud ten gevolge van de waterstofverbranding vrij gemakkelijk te bepalen. De variatie van X voor een bepaald massa element is evenredig met de lokale waarde van ε H wanneer er geen vermenging optreedt. Dit betekent dat de verandering van de waterstofconcentratie na een tijdsinterval t gegeven wordt door X ε H t. Op die manier is de chemische evolutie eenvoudig te volgen gedurende de waterstofverbranding. Aan het eind van de hoofdreeksfase gaat X 0 in het stercentrum. De effectieve temperatuur van deze sterren verandert nauwelijks tijdens de hoofdreeks. Voor zwaardere sterren is de heliumproductie veel meer geconcentreerd naar het centrum toe vermits er een veel grotere temperatuursafhankelijkheid optreedt. Echter, de convectie in de centrale delen is daar zo efficiënt en snel dat de kern op elk tijdstip als homogeen kan beschouwd worden. Binnenin de kern krijgen we dus X ε H t, waarbij ε H een gemiddelde waarde voor de energieproductiesnelheid over de gehele sterkern voorstelt. De evolutie van de grootte van de convectieve kern tijdens de hoofdreeks voor sterren met M > 1 M hangt af van de stermassa. Voor sterren met M > 1.6 M verandert rad vooral door de variatie in opaciteit, en in de kern is κ (1 + X) waardoor de opaciteit er daalt. Daarom zal voor deze sterren de convectieve kern krimpen wanneer ze evolueren van de ZAMS naar het eind van de hoofdreeks. Hierdoor blijft er een gebied achter rond de convectieve kern waarin de producten van de nucleosynthese aanwezig zijn. Zij krijgen hierdoor tevens een iets grotere radiatieve buitenzone, waarin de temperatuur sneller afneemt dan in een convectieve zone, en dus wordt de ster een weinig koeler aan haar buitenzijde, wat een beweging naar rechts in het HR diagram tot gevolg heeft. Voor M < 1.6 M, echter, verandert rad vooral door de bijdrage l(r)/m(r) = ε. Vermits ε pp X 2 en ε CNO XZ stijgt het relatieve belang van de CNO cyclus in de energieproductie t.o.v. de pp ketens. Deze ketens hebben het hierdoor moeilijk om in evenwicht te blijven verlopen, en zijn uit evenwicht veel temperatuursgevoeliger. Vermits de CNO verbranding veel meer geconcentreerd is in een kleinere kernomgeving, stijgt l(r)/m(r). Deze stijging overheerst over de daling van de opaciteit, waardoor de radiatieve temperatuursgradiënt stijgt wanneer de ster evolueert tijdens de hoofdreeks. Hierdoor groeit de convectieve kern. In werkelijkheid veranderen de opaciteit en energieproductie natuurlijk samen en moet hun gecombineerd effect op rad beschouwd worden. In sterren met M < 1.3 M blijven de pp ketens dominant als energiebron. Hun effectieve temperatuur wordt vooral bepaald door de 135

150 Figuur 9.4: De waarden van de massaverdeling m/m van het centrum tot het oppervlak wordt getekend t.o.v. de totale stermassa voor de ZAMS modellen getoond in figuur 9.1. Gebieden aangeduid door wolkjes zijn de zones in de ster waarin het energietransport door convectie gebeurt. De twee volle lijnen geven de m-waarden aan waarvoor r gelijk is aan 1/4 en 1/2 van de totale straal R. De streepjeslijnen duiden de massaschillen aan waarbinnen 50% en 90% van de totale lichtkracht L wordt geproduceerd. 136

151 Figuur 9.5: Ruwe indeling van de ZAMS sterren naargelang hun convectieve zones. Links: sterren met massa groter dan 2 M, midden: sterren met massa tussen 1 en 2 M, rechts: sterren met massa kleiner dan 1 M. grote buitenste convectieve zone en verandert nauwelijks door de iets grotere convectieve kern. In sterren met 1.3 M < M < 1.6 M was de CNO cyclus hoe dan ook al dominant in de kern (zie figuur 6.6), en is de buitenste convectielaag zeer dun. Zij bewegen daardoor ook naar rechts tijdens de hoofdreeksevolutie. De tijd die een ster doorbrengt op de hoofdreeks hangt af van haar massa vermits de lichtkracht enorm afhankelijk van de massa is. Stellen we de energievoorraad die beschikbaar is door waterstofverbranding voor door E H, dan kan de ster gedurende τ H E H /L op de hoofdreeks blijven. Als ruwe benadering kunnen we aannemen dat één vaste fractie van de voorhanden massa van waterstof M H beschikbaar is voor de waterstofverbranding. In deze onderstelling is E H M H M. De lichtkracht L verandert nauwelijks tijdens de hoofdreeksfase en we kunnen dus de massa-lichtkracht relatie voor ZAMS modellen gebruiken om τ H af te schatten. We vinden zo de volgende afhankelijkheid van de hoofdreekstijdsduur als functie van de stermassa: τ H (M) M L M1 η. (9.3) Voor de gemiddelde exponent η = 3.5 van de massa-lichtkracht relatie vinden we dan dat τ H (M) M 2.5 : de hoofdreeksleeftijd neemt snel af met toenemende massa. Een typische waarde is jaar voor een ster met massa 5 M en jaar voor de Zon. De snellere hoofdreeksevolutie voor zwaardere sterren wordt mooi bevestigd door de observationele studie van het HR diagram van sterclusters, welke concentraties van sterren aan de hemel zijn die zich zo dicht bij elkaar bevinden dat ze fysisch verbonden moeten zijn. Er zijn twee types sterclusters. Galactische of open clusters bestaan uit sterren van populatie I en zijn geconcentreerd in de schijf van de melkweg. Zij bevatten typisch enkele honderden sterren. Daarentegen bestaan bolvormige sterrenhopen ( globular clusters ) uit miljoenen sterren van populatie II. Zij worden op grote afstand van het galactisch vlak gevonden. Alle sterren van een cluster bevinden zich ongeveer op dezelfde afstand, waardoor het verschil tussen de 137

152 absolute en schijnbare magnitude steeds dezelfde is voor alle leden zie vergelijking (1.10). Hierdoor vertoont een grafiek van de schijnbare magnitude t.o.v. de kleur dezelfde vorm als een grafiek van de absolute magnitude t.o.v. de kleur. Alle sterren die zich in een cluster bevinden zijn min of meer tegelijk geboren en hebben dus dezelfde leeftijd τ cluster. Hierdoor zullen alle sterren met massa groter dan een bepaalde limietmassa M limiet de hoofdreeks reeds verlaten hebben, terwijl sterren met een kleinere massa M < M limiet zich nog steeds in de fase van waterstofverbranding in de kern bevinden. Waarnemingen van sterren in clusters bevestigen dit scenario. In figuur 9.6 tonen we het contrast in HR diagram van een jonge cluster en een oude cluster. In het onderste paneel tonen we het HR diagram van de jonge dubbelcluster h en χ Persei, waarvan de minder zware sterren nog naar de ZAMS toe aan het bewegen zijn terwijl de zwaardere sterren al op de ZAMS verblijven en de allerzwaarste sterren al in het super-reus stadium zijn. Bovenaan zien we het HR diagram van de oude stercluster M 5 waarin de zwaarste sterren al duidelijk van de hoofdreeks zijn weggeëvolueerd, terwijl de sterren met lage massa nog op de hoofdreeks leven. De horizontale tak (zie verder) is zeer goed zichtbaar voor de oude cluster. In figuur 9.7 is de evolutie van galactische clusters weergegeven als zwarte stroken. Het verschil in hoofdreeksleeftijd in functie van de oorspronkelijke massa heeft volgende belangrijke toepassing voor sterclusters. De limietmassa die aangeeft of een ster uit een cluster zich al dan niet nog op de hoofdreeks bevindt wordt gegeven door de voorwaarde τ cluster = τ H (M limiet ). Deze voorwaarde vormt de basis van de leeftijdsbepaling van sterclusters. Het keerpunt ( turn-off point ) bepaalt de leeftijd van de cluster, welke rechts op de figuur aangegeven wordt. Hoe ouder de cluster, hoe lager het snijpunt tussen de hoofdreeks en de reuzentak van de cluster (zie figuur 9.7). Het voorbeeld van h en χ Persei (zie figuur 9.6) toont dat de lage-massa sterren in extreem jonge clusters de hoofdreeks nog niet bereikt hebben. De studie van zulke sterren is op haar beurt enorm belangrijk om de details van de evolutie van protosterren naar de hoofdreeks toe beter te begrijpen. We merken hier terloops ook het belang op van de scheikundige samenstelling wat de sterevolutie betreft. In figuur 9.7 zien we dat het snijpunt van de hoofdreeks en de reuzentak voor de bolvormige sterrenhoop M 3 (weergegeven als stippellijn) hoger ligt dan voor de galactische cluster M 67 die veel jonger is. Dit is schijnbaar in tegenspraak met de zopas afgeleide conclusie over de ligging van het keerpunt. De reden hiervoor is dat bolvormige sterrenhopen enkel sterren van populatie II bevatten, welke veel metaalarmer zijn en dus een lagere opaciteit hebben dan de populatie I sterren in het galactisch vlak. Hierdoor zijn de sterren in een bolvormige sterrenhoop heter en helderder. De scheikundige samenstelling heeft dus weldegelijk een invloed op de positie van een ster in het HR diagram. De leeftijdsbepaling van bolvormige sterrenhopen wordt gebruikt als leeftijdslimiet van het Heelal en is daarom van groot kosmologisch belang. De positievariatie van een hoofdreeksster in het HR diagram wordt voor een ster met massa 7 M weergegeven in het linkse paneel van figuur 9.8. Vanuit het punt A op de hoofdreeks beweegt de ster zich naar rechts en naar boven, op weg naar het punt B. De stijging van de lichtkracht is toe te schrijven aan de toename van het gemiddeld moleculair gewicht door de omzetting van waterstof naar helium zie uitdrukking (2.31). Immers, P T/µ en L T 4. Wanneer alle waterstof bijna opgebruikt is (X = 5%) wordt een minimale effectieve temperatuur vastgesteld (punt B). Men duidt deze fase aan als de terminal age main sequence of TAMS. De ster wordt zich bewust dat ze weldra zal terechtkomen in een energiecrisis en wil hier iets aan doen. Vermits de centale temperatuur veel te laag is om heliumverbranding op gang te brengen, 138

153 Figuur 9.6: Het kleur-magnitude diagram voor een typische bolvormige sterrenhoop (M 5) bestaande uit populatie II (oude) sterren (bovenaan), en een jonge galactische dubbele sterrencluster h&χ Persei bestaande uit populatie I sterren (onderaan). 139