Voorwoord. Khalid Saleh. Delft, juni 2012 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 2

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Voorwoord. Khalid Saleh. Delft, juni 2012 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 2"

Transcriptie

1

2 Voorwoord Dit rapport is geschreven in het kader van het Bachelor eindwerk ter afsluiting van de bachelorfase van mijn studie Civiele Techniek aan de Technische Universiteit Delft. Tijdens dit eindwerk werd ik begeleid door ir. G.J.P Ravenshorst en ir. J.W. Welleman. Ook heb ik tijdens de laatste fase van mijn eindwerk begeleiding gekregen van ir. P.A. de Vries. Bij dezen zou ik mijn begeleiders hartelijk willen bedanken voor hun advies en begeleiding. Khalid Saleh Delft, juni 2012 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 2

3 Samenvatting In dit Bachelor eindwerk is onderzoek gedaan naar de effectieve kiplengte van liggers met rechthoekige doorsneden. In een voorgaand eindwerk is hier al onderzoek naar gedaan door Roeland van Straten. Daarom zijn er bepaalde delen uit het desbetreffende onderzoek overgenomen ter ondersteuning van dit eindwerk. Het gaat hierbij om de paragrafen 1.4 en 2.1. Tevens zijn er in paragraaf 2.2 delen gedeeltelijk overgenomen. Dat wil zeggen dat ze gebruikt zijn ter ondersteuning, maar zodanig aangepast dat ze beter in dit eindwerk pasten. Allereerst is er op analytische wijze een oplossing gevonden voor het kritieke kipmoment van een ligger, belast met een constant moment over de liggerlengte. Bij een moment ter grootte van zal de ligger gaan kippen. Aangezien er voor andere belastingsgevallen geen uitdrukking gevonden kan worden op deze wijze is gebruik gemaakt van energievergelijkingen om het kritieke kipmoment te berekenen. Deze energievergelijkingen zijn gebaseerd op het feit dat de totale energie in de ligger tijdens het kippen gelijk moet blijven. Zo bezit de ligger potentiële energie ten opzichte van een referentielijn gelijk aan, waarbij de massa in kg is, de valversnelling in en de hoogte boven deze referentielijn. Door het kippen buigt de ligger dichter naar de referentielijn toe zodat de potentiële energie afneemt, maar de vervormingsenergie is dan wel toegenomen. Aangezien men in de praktijk niet alleen te maken heeft met één enkele ligger maar met meerdere steunpunten is gekeken wat hier de invloed van is. Dit was van groot belang bij de berekening van de kritieke last bij het fysieke model. Daar is de proef op de som genomen en voor een aantal belastingsgevallen getest of het theoretische kipmoment overeen komt met het werkelijke kipmoment. 3 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

4 Inhoudsopgave VOORWOORD... 2 SAMENVATTING INLEIDING AANLEIDING DOEL TEKENAFSPRAKEN DIFFERENTIAALVERGELIJKING VOOR TOETSING OP KIPINSTABILITEIT... 8 Evenwichtsvergelijkingen Algemene DV voor kip OPLOSSING MET BEHULP VAN ENERGIEVERGELIJKINGEN THEORIE Totale energievergelijking Vormveranderingsenergie Arbeid verricht door de puntlast F Vinden van de equivalente momentfactor m VOORBEELDEN BELASTINGSSITUATIES Puntlast op Puntlast op afstand Verdeelde belasting q Twee puntlasten op en van de overspanning Benaderingsformule voor lineaire momenten Invloed van ongelijke negatieve eindmomenten op een ligger met een q-last Invloed van ongelijke negatieve eindmomenten op een ligger met een puntlast F Invloed van ongelijke negatieve eindmomenten op een ligger met puntlast F, op afstand al GRAFIEKEN VOOR MOMENTFACTOREN DUBBELE GAFFELINKLEMMING Oplossing met behulp van energievergelijking Oplossing met behulp van inklemmingsfactor BESCHRIJVING PROEFOPSTELLING FYSIEK MODEL BEPALING KRITIEKE BELASTING PROEFSTUK OPLEGCONDITIES AANBRENGEN BELASTING BEPALEN ELASTICITEITSMODULUS BEPALEN GLIJDINGSMODULUS BELASTINGSGEVAL VRIJ OPGELEGDE LIGGER BELASTINGSGEVAL CONSTANT MOMENT CONCLUSIES EN AANBEVELINGEN CONCLUSIES Analytische methode geeft alleen basisgeval Berekening equivalente momentfactor m.b.v. energievergelijkingen Toetsing fysiek model AANBEVELINGEN DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 4

5 5 LITERATUURLIJST BIJLAGE 1: EQUIVALENT UNIFORM MOMENT FACTORS BIJLAGE 2: DIN-FACTOREN BIJLAGE 3: MAPLE SCRIPTS A) PUNTLAST OP B) PUNTLAST OP C) VERDEELDE BELASTING D) PUNTLAST OP AFSTAND EN E) LINEAIRE MOMENTENLIJN F) VERDEELDE BELASTING MET ONGELIJKE EINDMOMENTEN G) PUNTLAST MET ONGELIJKE EINDMOMENTEN H) PUNTLAST OP AFSTAND MET ONGELIJKE EINDMOMENTEN BIJLAGE 4: TABEL MET VERSCHILLENDE MOMENTENCONFIGURATIES BIJLAGE 5: AFLEIDING MOMENTENLIJN MET TWEE VERSCHILLENDE EINDMOMENTEN I.C.M. PUNTLAST BIJLAGE 6: FOTO S EXPERIMENT DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

6 1 Inleiding Tijdens het kippen van een ligger zal de drukzone van de ligger onder invloed van buiging in de sterke as zijdelings gaan verplaatsen zoals weergegeven in Figuur. Figuur 1 Visualisatie van het kippen van een ligger 1.1 Aanleiding In de literatuur worden verschillende methoden aangereikt voor het toetsen van houtconstructies op kipinstabiliteit. Dit betekent niet dat de toetsing op kip nog erg onbekend is, maar is eerder het gevolg van de ontwikkeling van de Eurocode. Voor die tijd bestonden er verschillende methoden in de nationale normen. Deze zijn echter meestal beperkt te gebruiken voor een paar standaard belastingsgevallen en de herkomst ervan is soms onduidelijk. Dit is aanleiding om kipinstabiliteit van houten liggers nader te onderzoeken in dit Bachelor Eindwerk. 1.2 Doel Bij de toetsing in de Eurocode op kipinstabiliteit wordt gebruik gemaakt van de effectieve kiplengte. Het doel van dit eindwerk is het bepalen van de effectieve kiplengte voor verschillende belastingconfiguraties en deze te vergelijken met waarden uit de literatuur. Hier is al een goed begin gemaakt in een voorgaand Bachelor Eindwerk gemaakt door Roeland van Straten. Echter, er zijn een aantal belastingconfiguraties die nog niet zijn beschreven, waarbij sommigen zelfs een beperking hebben. Hiervoor zal op een andere manier de effectieve kiplengte worden bepaald. Daarnaast zal een fysiek model worden gemaakt om de kipinstabiliteit voor verschillende belastingconfiguraties te demonstreren. DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 6

7 1.3 Tekenafspraken In dit gehele rapport zal, tenzij expliciet anders vermeld, worden uitgegaan van een ligger belast op twee steunpunten in het in Figuur aangegeven assenstelsel. De ligger kan een verticale verplaatsing w en een horizontale verplaatsing u ondergaan. y z u w x Figuur 2 Ligger op twee steunpunten ondergaat een zakking w Tevens zullen de in Figuur 3, 4 en 5 aangegeven positieve momenten worden aangehouden. Let op: dit is afwijkend ten opzichte van de notaties in de houtnormen, daar wordt voor het moment M z de notatie M y gebruikt en andersom. De hier aangehouden notatie komt voort uit het mechanica onderwijs op de TU Delft. M z X M z Z Y Figuur 3 Buiging in het x-z vlak 7 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

8 M y X M y Z Y Figuur 4 Buiging in het x-y vlak M x X M x Y Z Figuur 5 Torsie 1.4 Differentiaalvergelijking voor toetsing op kipinstabiliteit In van Straten is de analytische methode beschreven voor de afleiding voor de differentiaalvergelijking. Er zal hier zeer kort op worden ingegaan waarna met behulp van de energievergelijkingen de equivalente momentfactoren zullen berekend. DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 8

9 Tijdens het kippen ontstaat er naast een verticale verplaatsing ook een laterale verplaatsing en een rotatie van de doorsnede. u y z w y z φ y ȳ x Figuur 7 Verplaatsing u Evenwichtsvergelijkingen In het gedraaide,, -assenstelsel wordt het evenwicht van de ligger bekeken. Voor buiging van de ligger in het - -vlak geldt er de volgende evenwichtsvergelijking: (1.1) Tevens geldt er voor de buiging in het - vlak de volgende vergelijking. (1.2) Voor de wringing in de verdraaide doorsnede kan in het mechanica 2 boek evenwicht worden gevonden dat moet gelden: tevens voor het 9 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

10 (1.3) Algemene DV voor kip Aangezien een rechthoekige doorsnede als uitgangspunt is genomen hoeft welving hierin niet meegenomen te worden. De volgende evenwichtsvergelijkingen gelden: (1.4) (1.5) (1.6) De eerste vergelijking blijft een losstaande differentiaalvergelijking die de zakking van de ligger in het x-z vlak beschrijft. De laatste twee zijn aan elkaar gekoppeld en zullen gecombineerd worden tot een enkele DV die het kipgedrag beschrijft: (1.7) Met deze DV kan alleen de kritische kipbelasting voor een ligger belast met een constant moment M 0 bepaald worden. Zie Figuur 8. Voor andere belastingssituaties is het moment M z afhankelijk van de plaats op de liggeras. De DV komt er dan anders uit te zien waardoor Maple een enorm lange algemene oplossing geeft waarvoor het kipmoment vervolgens niet meer oplosbaar is. M 0 M 0 M 0 M 0 Figuur 8 Ligger op twee steunpunten belast door een constant moment De DV kan vereenvoudigd worden tot: (1.9) De algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking heeft de volgende vorm: (1.10) DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 10

11 De ligger zal op beide uiteinden worden opgelegd met een gaffeloplegging, zodat deze niet kan roteren om de x-as. Zodoende kunnen de volgende randvoorwaarden worden opgesteld: (1.11) gaff l gaff l Figuur 9 Een gaffeloplegging Uitwerken levert: (1.12) (1.13) Ervan uitgaande dat moet gelden:, dit geldt alleen voor:. De kleinste waarde voor de kritieke belasting wordt gevonden door te kiezen voor en na invullen van geeft dat: (1.14) 11 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

12 2 Oplossing met behulp van Energievergelijkingen In dit hoofdstuk zullen de equivalente momentfactoren worden berekend met behulp van energievergelijkingen en daarmee het theoretische kipmoment voor andere belastingsgevallen dan het basisgeval. Om te beginnen zal een methode worden uitgelegd waarmee de factoren bepaald kunnen worden. Vervolgens zal in een aantal voorbeelden de berekening van de equivalente momentfactoren worden uitgevoerd. 2.1 Theorie Een andere methode om de momentfactor voor een belastingsgeval te bepalen is door gebruik te maken van energievergelijkingen. Deze methode is gebaseerd op het feit dat de totale hoeveelheid energie aanwezig in en op het systeem gelijk moet blijven tijdens het kippen van de ligger. Om het principe uit te leggen zal worden gekeken naar een ligger belast met een puntlast F op het midden van de overspanning. F ½l Figuur 10 Belastingssituatie ½l Totale energievergelijking Doordat de ligger gaat buigen en torderen zal deze vervormen, de opgeslagen energie in de constructie door de vervorming wordt vervormingsenergie genoemd. Doordat de ligger gaat doorbuigen zullen de krachten op de ligger, in verticale zin, verplaatsen. De hoeveelheid potentiële energie van die kracht neemt dus af, de kracht verricht een zekere hoeveelheid arbeid. Deze arbeid moet gelijk staan aan de hoeveelheid vormveranderingsenergie die wordt opgeslagen in de constructie. Zodoende geldt er voor de vormveranderingsenergie en de potentiële energie tijdens belasten: Vormveranderingsenergie Voordat de ligger gaat kippen heeft deze al een zekere doorbuiging en heeft de kracht al een bepaalde hoeveelheid arbeid verricht. Dit is uiteraard volgens het principe van energievergelijkingen met elkaar in evenwicht. Na het kippen zal de ligger geroteerd zijn onder een hoek, welke als klein wordt aangenomen. Zodoende kan voor het moment wederom worden geschreven: (2.1) De verplaatsing ten gevolge van dit moment zal gelijk zijn aan, doordat de hoek (2.2) klein is geldt er: (2.3) DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 12

13 Is de verticale verplaatsing t.g.v. het moment. Dit is al gelijk aan de verplaatsing w die de ligger had voor het moment van kippen. Zodoende hoeft de buiging in het - -vlak van de ligger niet in de energievergelijkingen te worden meegenomen, de opgeslagen vormveranderingsenergie door buiging in de sterke as staat namelijk al gelijk aan de arbeid verricht door de puntlast F ten gevolge van de zakking van de ligger. Voor de vormveranderingsenergie door buiging in het - -vlak en torsie kan worden geschreven: (2.4) Met invulling van (1.3) en kan dit worden herschreven tot: (2.5) Uitwerken levert: (2.6) Deze vergelijking zal straks worden ingevuld in de totale energievergelijking. Er zal eerst worden gekeken naar de extra arbeid verricht door de puntlast F als gevolg van het kippen van de ligger. u 2 w 2 u M z M z w 1 w φm z u 1 φ φ Figuur 11A Relaties tussen de momenten in de geroteerde doorsnede Figuur 11B Ontbonden verplaatsingen en 13 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

14 2.1.3 Arbeid verricht door de puntlast F De hoeveelheid arbeid verricht door een puntlast F is gelijk aan de grootte van de kracht maal de afstand in de richting van die kracht. Zodoende kan voor de arbeid verricht door de puntlast op het midden van de overspanning worden geschreven: (2.7) De enige onbekende is de extra verticale verplaatsing ten gevolge van het kippen van de ligger. In de vorige paragraaf is al aangetoond dat deze extra verplaatsing alleen wordt veroorzaakt door buiging in het - -vlak. In dit vlak ontstaat een verplaatsing, deze kan berekend worden door gebruik te maken van de momentenvlakstellingen. Door de buiging van een klein mootje van de ligger ontstaat er op een afstand x van dat mootje een verplaatsing : Die verplaatsing kan worden ontbonden in een horizontale en een verticale component: en. Aangezien de verticale verplaatsing van belang is voor het bepalen van de hoeveelheid arbeid door de puntlast F, kijken we alleen naar de verplaatsing. Deze kan worden uitgedrukt in volgens: Invullen in (2.8) levert een verplaatsing op een afstand van een mootje van de ligger: Om de zakking halverwege met behulp van uitdrukking (2.10) te bepalen kan dezelfde aanpak worden gebruikt als bij de momentenvlakstellingen. Eerst wordt de rotatie om het oplegpunt A bepaald door de zakking ter plaatse van steunpunt B gelijk te stellen aan 0. (2.8) (2.9) (2.10) (2.11) Door het invullen van de bekende uitdrukking voor en het herschrijven van (2.11) kan de rotatie worden bepaald volgens: (2.12) Nu de rotatie bekend is kan de extra zakking halverwege de overspanning bepaald worden uit: (2.13) De arbeid verricht door de puntlast F kan vervolgens bepaald worden met (2.7) Vinden van de equivalente momentfactor m Nu de uitdrukkingen voor de vormveranderingsenergie (2.6) en de verrichtte arbeid door de puntlast F (2.6) bekend zijn kunnen deze worden ingevuld in de totale energievergelijking (2.1). Dit levert: (2.14) DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 14

15 Deze wordt herschreven tot: (2.15) Dit is voor elk belastingsgeval op te lossen, uitgaande van een benadering voor de rotatie over de lengte van de ligger. De rotatie kan worden beschreven met een sinus-reeks waarvan in dit eindwerk enkel de eerst term zal worden meegenomen: (2.16) Versimpeling van de energievergelijking voor het basisgeval Om het belastingsgeval direct te vergelijken met een constant moment over de ligger wordt gekeken naar de arbeid die verricht wordt door de momenten op de uiteinden van de ligger. Deze momenten leveren een hoeveelheid arbeid gelijk aan: Voor het bepalen van dit geval wordt eerst het oppervlak van het (2.17) kan wederom gebruik worden gemaakt van de momentenvlakstellingen. In en dus buiten de integraal is gehaald. Als uitgegaan wordt van een rotatie -vlak bepaald, waarbij de laatste term constant is in de vorm van, dan mag het gehele oppervlak van het -vlak worden vermenigvuldigd met de horizontale afstand tot het punt waarop de zakking (in dit geval) gelijk aan 0 moet zijn. Het -vlak is namelijk symmetrisch ten opzichte van de middendoorsnede van de ligger waardoor de totale hoekverdraaiing in de middendoorsnede gedacht kan worden. Dit levert: (2.18) l M EI yy M EI yy l φ dx Figuur 12 Visuele interpretatie van het uitrekenen van de hoekverdraaiing 15 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

16 Invullen van en in de totale energievergelijking en gebruik van (2.17) geeft: (2.19) Het linkerlid van de vergelijking is gelijk aan de vormveranderingsenergie door buiging in de zwakke as en torsie, het rechterlid is de arbeid verricht door de momenten op beide uiteinden van de ligger. Herschrijven levert: (2.20) Het rechterlid verder uitwerken geeft: (2.21) Doordat in zowel vergelijking (2.15) als (2.21) aan de rechterkant de term voor de vormveranderingsenergie voor torsie overblijft, kunnen deze aan elkaar gelijk worden gesteld: (2.22) Oplossen van deze vergelijking door voor de rotatie aan te nemen dat bij benadering geldt levert het equivalente constante moment over de ligger. Nu bekend is wordt de momentfactor gevonden door: (2.23) Waarin het maximale moment is in de ligger. 2.2 Voorbeelden belastingssituaties In deze paragraaf zullen voor een aantal standaard belastingsgevallen de equivalente momentfactoren worden berekend op basis van de methode die in de vorige paragraaf is aangereikt Puntlast op Als eerste zal worden gekeken naar een puntlast F op het midden van een overspanning. Eerst zal de extra zakking in het midden van de ligger worden bepaald ten gevolge van alleen het kippen. Vervolgens zal de vervormingsenergie worden bepaald, waarna de equivalente momentfactor wordt uitgerekend. DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 16

17 F ½l ½l Figuur 13 Belastingssituatie Volgens vergelijking (2.12) is de hoekverdraaiing ter plaatse van het linker steunpunt gelijk aan: (2.24) Aangezien de momentenlijn wiskundig gezien niet met één functie beschreven kan worden wordt deze opgedeeld in twee bijdragen. De vergelijking voor wordt hiermee: (2.25) Voor de momentenlijn kunnen de volgende wiskundige functies worden gebruikt: (2.26) (2.27) Invullen van de functies en voor de momentenlijn geeft: (2.28) Vervolgens kan de extra zakking ten gevolge van het kippen worden uitgerekend met: (2.29) De vervormingsenergie door buiging kan tevens worden beschreven door het opdelen van de integraal in 2 delen en kan worden geschreven als: 17 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

18 ( ( )) (2.30) Volgens (2.22) kan nu gesteld worden dat geldt: (2.31) Wederom wordt voor de rotatie aangenomen dat geldt:. Deze vergelijking is eenvoudig op te lossen met een programma als Maple. De uitkomst luidt: (2.32) De momentfactor m kan nu worden uitgerekend. Voor het maximale moment van een puntlast op geldt:. Zodoende geldt er voor : (2.33) Deze waarde komt goed overeen met de equivalente momentfactor voor belastingsgeval 4 uit bijlage 1. Het complete Maple-script is te vinden in bijlage 3B Puntlast op afstand Op vergelijkbare wijze kan de momentfactor worden bepaald voor een puntlast op een afstand vanaf het linker steunpunt. De belastingssituatie en momentenlijn zijn weergegeven in Figuur 14, het maximale moment op de ligger bedraagt. F al (1-a)l Fal(1-a) Figuur 14 Belastingssituatie DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 18

19 Op vergelijkbare wijze als voor een puntlast op de helft van de overspanning zal de momentfactor worden bepaald, het grote verschil is dat in dit geval alles afhankelijk is van de variabele a. Voor de rotatie valt af te leiden dat geldt: (2.34) Voor de momentenlijn kunnen de volgende wiskundige functies worden gebruikt: Linkerdeel: (2.35) Rechterdeel: (2.36) Invullen wordt aan de lezer overgelaten. Vervolgens kan de extra zakking ten gevolge van het kippen worden uitgerekend met: (2.37) De vervormingsenergie door buiging kan tevens worden beschreven door het opdelen van de integraal in 2 delen en kan worden geschreven als: (2.38) Volgens (2.22) kan nu gesteld worden dat geldt: (2.39) Wederom wordt de onbekende M 0 opgelost door aan te nemen dat voor de rotatie geldt:. Het equivalente moment is met maple dan eenvoudig op te lossen. Voor een puntlast op een kwart van de overspanning (voor ) levert dat een momentfactor, deze komt goed overeen met de equivalente momentfactor voor belastingsgeval 7 uit bijlage 1. Het complete script is gegeven in bijlage 3C. In N.S. Trahair wordt voor een ligger belast met een puntlast een formule aangereikt voor de equivalente momentfactor waarbij de puntlast verschuift over de ligger. Deze formule luidt als volgt: (2.40) 19 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

20 Waarbij met: op op Hieronder zijn twee grafieken te zien voor het belastingsgeval met een puntlast op verschillende afstanden. Figuur 15 Formule van Trahair Figuur 16 Formule op basis van energievergelijkingen In Figuur 15 is de formule van Trahair geplot. Te zien is dat deze goed overeenkomt met figuur 16. In Figuur 15 is voor a=0, m=0.73. In Figuur 16 is voor a=0.5, m=0.73. Het probleem is dat met behulp van de energievergelijking Maple geen fijne formule geeft om de equivalente momentfactor uit te drukken in de afstandsvariabele a Verdeelde belasting q Voor een verdeelde belasting kan dezelfde aanpak worden gevolgd als in de vorige voorbeelden. Enig verschil is dat de integralen nu niet opgesplitst hoeven te worden in 2 delen, aangezien de momentenlijn met één wiskundige functie te beschrijven is. q l 1/8ql 2 Figuur 17 Belastingssituatie DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 20

21 De momentenlijn is te beschrijven met: (2.41) Invullen van de functie voor het moment in vergelijkingen (2.12), (2.13)en (2.22) en oplossen met Maple geeft m=0.88. Dit is exact gelijk aan de equivalente momentfactor die gevonden wordt in bijlage 1. Het Maple-script is bijgevoegd in bijlage 3D Twee puntlasten op en van de overspanning Voor de belastingssituatie in Figuur 18 zal kort worden besproken hoe de momentfactor worden bepaald. kan F F al bl 1/4Fl(voor a=0.25, b=0.75) Figuur 18 Belastingssituatie In dit geval wordt de complete integraal opgedeeld in 3 delen welke te beschrijven zijn met de volgende momentfuncties: (2.42) (2.43) (2.44) Met (2.45) (2.46) en zijn de momenten op afstanden en. De momentenfuncties volgen uit de helling van de momentenlijn. De momentfactor wordt in dit geval bepaald door de arbeid die deze twee 21 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

22 puntlasten leveren mee te nemen in de energiebeschouwing. Zodoende kan de momentfactor uitgerekend worden met: (2.47) Hierin zijn w a en w b de extra zakkingen van de puntlasten op respectievelijk afstand en ten opzichte van het linker steunpunt. E is hierin de totale vervormingsenergie door buiging in de zwakke as, welke opgedeeld is in 3 delen doordat de momentenlijn met 3 functies beschreven wordt. Aangezien het maximale moment in de ligger optreedt op afstand of vanaf het linker steunpunt, volgt de momentfactor uit: (2.48) Het complete Maple script is gegeven in bijlage 3E. Voor een puntlast op een kwart en op driekwart van de overspanning ( en ) geeft dit een momentfactor, wat in overeenstemming is met bijlage 1. Voor een enkele puntlast op afstand al (dus, ) geeft dit de eerder gevonden momentfactor. Let op: in het Maple script is aangenomen dat Benaderingsformule voor lineaire momenten Nu blijkt dat vrijwel alle equivalente momentenfactoren af te leiden zijn met behulp van een energiebeschouwing zal worden gekeken of de benaderingsformule in (2) ook kan worden onderbouwd met deze methode. Er wordt uitgegaan van een lineair verdeelde momentenlijn met aan de linkerzijde een moment aan de rechterzijde een moment waarbij varieert tussen -1 en 1. en βm1 M1 -βm1 M1 Figuur 19 Lineair verdeelde momentenlijn Er is reeds bekend is dat een moment een hoeveelheid arbeid levert gelijk aan het moment maal de hoekverdraaiing. Zodoende zal hoekverdraaiing op beide uiteinden van de ligger eerst bepaald worden. Hiervoor is uit (2.12) bekend dat geldt: DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 22

23 (2.49) Enkel de functie voor het moment M z moet nog worden bepaald in deze vergelijking. Deze kan worden afgeleid uit Figuur 19: (2.50) Voor de hoekverdraaiing aan de rechterzijde van de ligger kan op vergelijkbare wijze als voor worden afgeleid dat geldt: (2.51) De afstand tot het rechter steunpunt is nu vervangen door de afstand tot het linker steunpunt. Nu de rotaties op beide uiteinden bekend zijn kan eenvoudig de arbeid die beide momenten leveren worden bepaald: (2.52) Vervolgens kan op vergelijkbare wijze als voor vergelijking (2.22) worden gevonden dat moet gelden: (2.53) Deze vergelijking kan op eenvoudige wijze met Maple worden opgelost, zie bijlage 3E. De functie voor de equivalente momentfactor afhankelijk van luidt: (2.54) Voor komt dit overeen met belastingsgeval 2, welke gelijk is aan. Figuur Equivalente momentfactor DE m EFFECTIEVE afhankelijk van KIPLENGTE β VAN HOUTEN LIGGERS

24 In {2} wordt een benaderingsformule gegeven waarmee de momentfactor bepaald kan worden voor een moment wat lineair verdeeld is over de lengte van de ligger. De benaderingsformule luidt: Een plot van de functie gegeven door Maple, evenals de benaderingsformule volgens {2}, zijn te zien in Figuur 20. De exacte oplossing is dus met behulp van een energiebeschouwing af te leiden en laat eveneens zien dat de benaderingsformule een veilige benadering is voor de oplossing, aangezien iets te hoge -factoren juist zorgen voor een iets te klein kipmoment, wat uiteraard aan de veilige kant is Invloed van ongelijke negatieve eindmomenten op een ligger met een q-last In deze paragraaf zal gekeken worden wat de invloed is van het toevoegen van twee verschillende negatieve eindmomenten en. De nieuwe belastingssituatie met bijbehorende momentenlijn is weergegeven in Figuur 21. q αql 2 l βql 2 -αql 2 1/8ql 2 -βql 2 Figuur 21 Belastingssituatie F ql 2 (½(α-β+½) 2 -α) Bij dit belastingsgeval kan het momentenvoorschrift niet meer op basis van symmetrie worden gevonden. Er zal moeten worden gekeken naar de statische betrekkingen voor een ligger belast met een q-last. De differentiaalvergelijking luidt dan: (2.55) (2.56) Na herhaald integreren vindt men: (2.57) (2.58) DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 24

25 Randvoorwaarden: (2.59) (2.60) Invullen van de randvoorwaarden in (2.58) volgt: (2.61) (2.62) (2.63) Het voorschrift wordt dan hiermee: (2.64) Om het maximale veldmoment te vinden wordt aan nul: gedifferentieerd en vervolgens gelijk gesteld (2.65) Hieruit volgt dat het maximale veldmoment een waarde heeft van: ( ) (2.66) Aangezien er twee koppels zijn, en, hebben deze beide een andere hoekverdraaiing Voor de hoekverdraaiing aan de rechterzijde van de ligger kan op vergelijkbare wijze als voor worden afgeleid dat geldt: (2.67) Evenals bij een constant moment over de ligger zal het moment arbeid verrichten, dit is gelijk aan: (2.68) 25 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

26 Dit zal worden toegevoegd in de energievergelijking. Vervolgens kan het equivalent kipmoment worden bepaald als functie van de factor, waarbij, het resultaat is te zien in Figuur 22a. Figuur 22a Het kipmoment als functie van β Figuur 22b equivalente momentfactor als functie van β De momentfactor wordt vervolgens bepaald door het kipmoment te delen door het maximale moment wat optreedt in de ligger. Het maximale moment in de ligger is afhankelijk van en kan worden beschreven met: ( ( ) (2.69) Vervolgens kan de equivalente momentfactor worden berekend doordat geldt ; het resultaat is te zien in Figuur b. Voor komt de equivalente momentfactor overeen met de eerder gevonden waarde voor een verdeelde belasting q op de ligger. De knik in de grafiek komt doordat de equivalente momentfactor afhankelijk is van vergelijking (2.69), met. Tevens is te zien dat de equivalente momentfactor voor gelijk is aan 0.39, wat overeenkomt met de waarde van belastingsgeval 9 uit bijlage 1. Voor een inklemming geldt immers dat het inklemmingsmoment gelijk is aan. Opmerkelijk is het wel dat dit niet overeenkomt met belastingsgeval 4.2 uit bijlage 2. Er is echter te zien dat als het moment in het midden van de ligger gebruikt wordt als maximaal moment de equivalente momentfactor te berekenen is met: (2.70) Wordt nu de equivalente momentfactor volgens (2.70) geplot dan wordt de grafiek in Figuur 23Figu gevonden. Te zien is dat voor een equivalente momentfactor wordt gevonden gelijk aan 0.77, wat overeenkomt met bijlage 2. DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 26

27 Figuur 23 Momentfactor als functie van β Het is kennelijk zo dat in de DIN het moment in de middendoorsnede gebruikt moet worden in de toetsing op kipinstabiliteit, echter staat dit niet zo aangegeven in de norm. Het zou ook goed kunnen zijn dat deze hoge waarde van de equivalente momentfactor met opzet gebruikt wordt, omdat een vergissing door de middendoorsnede te toetsen nu niet fataal is, en bij een momentfactor van 0.39 wel. Het complete Maple script is weergegeven in bijlage 3G Invloed van ongelijke negatieve eindmomenten op een ligger met een puntlast F Nu zal worden gekeken naar de invloed van twee negatieve eindmomenten en, aangrijpend op een ligger belast met een puntlast F, op de equivalente momentfactor. De belastingssituatie en de bijbehorende momentenlijn zijn weergegeven in Figuur 24. F αfl l -βfl -αfl 1/4Fl -βfl ½Fl(- α β+ ½) Figuur 24 Belastingssituatie F Voor de momentenlijn kunnen de volgende wiskundige functies worden gebruikt: 27 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

28 (2.71) (2.72) Ook hier wordt het negatieve eindmoment toegevoegd aan de functies die de momentenlijn beschrijven en wordt de arbeid verricht door de eindmomenten meegenomen in de energievergelijking. Het resultaat is een equivalente momentfactor zoals weergegeven in Figuur 25. Figuur 25 Momentfactor als functie van β De equivalente momentfactor is voor gevonden waarde van belastingsgeval A. Voor gelijk aan 0.73, wat overeenkomt met de eerste blijkt de equivalente momentfactor gelijk aan 0.58, wat overeenkomt met de waarde voor belastingsgeval 8 in bijlage 1. Voor een inklemming met een puntlast in het midden is het inklemmingsmoment immers gelijk aan script is weergegeven in bijlage 3H.. Het complete Maple Invloed van ongelijke negatieve eindmomenten op een ligger met puntlast F, op afstand. Tot slot zal er worden gekeken naar de invloed van een puntlast, op een afstand al van steunpunt A, met twee negatieve eindmomenten en. F αfl βfl al -αfl 1/4Fl -βfl Fal(α-β+1-a)-αFl Figuur 26 Puntlast op afstand al met twee DE EFFECTIEVE verschillende KIPLENGTE eindmomenten VAN HOUTEN LIGGERS 28

29 Hieronder volgt een beknopte uitwerking van het momentenvoorschrift. Eerst zal de som van de momenten genomen worden om punt A. (2.73) Hieruit volgt: (2.74) Op dezelfde manier kan ook worden gevonden: (2.75) Met behulp van de oplegreacties kan het moment op een afstand worden gevonden: (2.76) Nu zijn de op drie plaatsen de momenten bekend. Hiermee kan het momentenvoorschrift worden bepaald. De helling van tot en met is: (2.77) (2.78) (2.79) (2.80) Hieruit volgt: Evenzo vindt men de helling van tot en met : (2.81) ( ) (2.82) Invullen van om het momentenvoorschrift compleet te maken: ( ) (2.83) Controle van de momentenlijn: (2.84) 29 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

30 (2.85) (2.86) Voor en allebei gelijk aan en komt de momentfactor uit op wat in overeenstemming is met belastingsgeval 4 in bijlage 1. Voor en allebei gelijk aan en komt de momentfactor uit op. 2.3 Grafieken voor momentfactoren In en zijn voor een volledige inklemming de equivalente momentfactoren berekend. Maar het kan ook voorkomen dat deze inklemmingen De en variëren tussen 0 en een volledige inklemming. In dat geval kan men de equivalente momentfactoren halen uit de grafieken hieronder, waarbij telkens gelet moet worden wat het maximale moment is. Dit kan of het veldmoment of het steunpuntmoment zijn. De en stellen de momentfactoren voor. Tevens is de uitgezet tegen de momentfactor. Als controle wordt gekeken naar een ligger zonder eindmomenten,, waarbij het veldmoment dus maatgevend is. Hieruit volgt dat. Voor een volledig ingeklemde ligger met een puntlast, met, is. Dit is in beide grafieken te zien, aangezien bij het maximale moment even groot is bij zowel het steunpunt als in het veld. DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 30 Figuur 27 m-factoren voor verschillende α en β

31 Bovenstaande grafieken gelden voor waarden van en kleiner dan Echter, er kunnen zich ook gevallen voor doen waarbij deze veel groter kunnen worden. Bijvoorbeeld, een ligger op twee steunpunten met in het veld twee horizontale steunen(op gelijke afstanden), dan zullen voor het stuk tussen de steunen de waarden van en 1 zijn. Zie onderstaande ligger. q a a a ½q3a ½q3a Figuur 28 Ligger met horizontale steunen Gaffeloplegging Horizontale steunen Figuur 29 Bovenaanzicht ligger met horizontale steunen Als het gedeelte tussen de twee horizontale steunen eruit wordt gehaald dan wordt voor het moment gevonden: (2.87) 1/8al 2 a βal 2 a q βal 2 Figuur 30 Moment tussen twee horizontale steunen 31 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

32 Aangezien er wordt gekeken naar de belasting precies in het midden, is. Als er voor wordt gekozen komt dit uit op. Nu is het interessant om te weten waar deze waarde van m naartoe gaat voor steeds groter wordende en. Uit Figuur 31a valt te zien dat de functie m een horizontale asymptoot met heeft. Dit is ook het geval bij een puntlast. Vanaf dit punt wordt gekozen dat Figuur 31a Ligger met twee grote eindmomenten Figuur 31b Ligger met één groot eindmoment Dit is niet ook verwonderlijk. Als alsmaar groter wordt, dan kan de momentenlijn vrijwel als constant worden aangenomen, zie bijlage 1 belastingsgeval 1. Immers, de verhouding tussen het veldmoment is zodanig dat de invloed van (bij een q-last) vrijwel verwaarloosd mag worden. Dit is ook het geval bij een ligger met een puntlast, waarbij de waarde van vrijwel verwaarloosd mag worden. Bij het belastingsgeval waarbij en met de eis dat groot is, in combinatie met een puntlast of een q-last, kan de momentenlijn vrijwel als lineair beschouwd worden. Dit is dan weer in overeenstemming met bijlage 1 belastingsgeval 2 waarbij de m-factor gelijk is aan In Figuur 31b is te zien dat bij een steeds groter wordende de waarde m naar 0.53 nadert. Al deze belastingsgevallen zijn te zien in bijlage 4. en DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 32

33 2.4 Dubbele gaffelinklemming To u o zij all o fac or b r k d voor k l gaff li kl i g. Zie figuur 32a. Dit houdt in dat de ligger in het bovenaanzicht een zekere rotatie heeft bij de gaffelinklemming. Figuur 32a Enkele gaffelinklemming Figuur 32b Dubbel gaffelinklemming Ook met belastingsgeval 8 in bijlage 1 is er sprake van een inklemming zoals te zien in figuur 32a. Echter, het verschil tussen belastingsgeval 4 is dat deze niet kan roteren in het x-z vlak. Om te voorkomen dat deze ligger bij de gaffelinklemmingen kunnen roteren, kan men deze voorzien van een dubbele gaffel zoals te zien in Figuur 32b Oplossing met behulp van energievergelijking Tot voorheen zag de rotatie va ligg r k l gaff li kl i g er als volgt uit: (2.88) Een typische sinuscurve met periode en maximum. Zie ook figuur DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

34 Figuur 33 Uitbuigingsvorm enkele gaffelinklemming Nu zal gekeken worden naar het functievoorschrift voor horende knikvorm: bij een dubbele inklemming. De daarbij Figuur 34 Uitbuigingsvorm dubbele gaffelinklemming Dit is een verschoven sinuscurve met periode. Wanneer we als randvoorwaarden invoeren dat voor en en de tussenliggende als positief definiëren, hebben we te maken met een verschuiving in twee richtingen: de evenwichtsstand is een half maximum omhoog geschoven en de grafiek is naar rechts verschoven qua fase. Daar in fase de periode is, is in fase een kwart van de periode, dus de verschuiving is. Wanneer men er van uitgaat dat de beide knikvormen op schaal getekend zijn, is het maximum hier, zodat de verschuiving omhoog bedraagt. Zo komt men tot het functievoorschrift: ( ) (2.89) Nu de nieuwe uitbuigingsvorm bekend is zou op dezelfde manier als voorheen de equivalente momentfactor bepaald kunnen worden met behulp van de energievergelijking. Echter, het probleem is dat met de methode bij dat nu niet meer opgaat. Bij de versimpeling van de energievergelijking voor het basisgeval wordt gekeken naar de arbeid die verricht wordt door de momenten op de uiteinden van de ligger. Aangezien er nu wordt gekeken naar een dubbele inklemming dient het basisgeval ook te worden voorzien van een dubbele inklemming met aan weerszijde een constant moment. Zie Figuur 35. M 0 M 0 l Figuur 35 Volledige inklemming met twee uitwendige momenten DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 34

35 Maar in dit geval kunnen de momenten geen arbeid leveren. Bij de inklemming is er geen rotatie. De twee momenten M 0 zullen dus als h war v rdwij i d i kl i g. Er zal nu dus gekeken moeten worden naar een andere oplossingsstrategie Oplossing met behulp van inklemmingsfactor De formule voor het kritische kipmoment luidt als volgt: (2.90) u w u u u w w u In (2.90) zitten aandelen ten gevolge van welving en het aangrijpingspunt van de kracht. Aangezien een rechthoekige doorsnede als uitgangspunt is genomen hoeft welving hierin niet te worden meegenomen. Ook wordt er aangenomen dat de kracht aangrijpt in het dwarskrachtencentrum. Zodoende kan worden geconcludeerd dat (2.90) kan worden vereenvoudigd tot: (2.91) Het gedeelte tussen de en lijkt veel weg te hebben van de formule voor Eulerse knik:. Bij deze formule varieert de waarde van afhankelijk van het type inklemming. Bij een volledige inklemming aan weerszijden is de kniklengte gelijk aan. De waarde geeft de inklemmingsfactor weer. Deze is afhankelijk van een stijfheidsconstante die de rotatiestijfheid bij de inklemming weergeeft. In formulevorm: (2.92) 1.0 k DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS Figuur 36 Inklemmingsfactor k (α rl/ei)/(1+α rl/ei)

36 Voor twee uiterste gevallen zal deze formule gecontroleerd worden. Bij een enkele gaffelinklemming is de rotatiestijfheid gelijk aan 0. Dit levert een. Bij een dubbele gaffelinklemming is. Invullen in (2.92): (2.93) In Figuur 36 is k geplot tegen, waarbij een dimensieloze inklemmingsstijfheid voorstelt. Er is te zien dat k bijna lineair varieert van 1.0 tot 0.5. Dit houdt dus in dat als er sprake is van een vrije oplegging, dus een enkele gaffelinklemming, gelijk is aan 1.0. Bij een inklemming, dus een dubbele gaffelinklemming, is gelijk aan 0.5. In hoofdstuk 3 zal een belastingssituatie bekeken worden waarbij de tussen de 0.5 en 1.0 ligt Dubbele gaffelinklemming met puntlast In de DIN is voor het belastingsgeval met een puntlast in combinatie met een enkele gaffelinklemming een equivalente momentfactor gegeven ter waarde van, met. Met, kniklengte van en een komt men uit op voor een dubbele gaffelinklemming: (2.94) Dubbele gaffelinklemming met een q-last Bij de berekening van de equivalente momentfactor bij een q-last moet worden opgemerkt dat de DIN het moment in de doorsnede gebruikt voor de toetsing op kipinstabiliteit. De formule voor de equivalente momentfactor gaat uit van het maximale moment, en dat is bij een inklemming met een q-last bij de opleggingen. DIN: (2.95) Uitgaande van het maximale moment in het steunpunt: (2.96) DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 36

37 3 Beschrijving proefopstelling fysiek model In dit hoofdstuk zal worden gekeken naar het werkelijke kipgedrag van liggers. Hiervoor zal er een fysiek model worden gemaakt om het kipgedrag te demonstreren bij verschillende belastingconfiguraties. In dit hoofdstuk wordt een beschrijving gegeven van de hierbij gebruikte proefopstelling. Figuur 37 3D Model Opening voor belasting Gaffeloplegging Figuur 38 Bovenaanzicht 3.1 Bepaling kritieke belasting Met de beschikbare formules zou het goed mogelijk moeten zijn om vooraf de kritieke belasting te bepalen. Voor een ligger die wordt belast met een constant moment over de ligger en aan beide zijden een enkele gaffeloplegging heeft, geldt: (3.1) Tevens geldt dat, waarbij het maximale moment is dat optreedt in de ligger. Dit invullen in (3.1) geeft men: (3.2) Uitgaande van een ligger belast met een puntlast halverwege de ligger, zonder eindmoment, is. Hieruit volgt voor : 37 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

38 (3.3) Nu zijn alleen nog de balkgegevens nodig om de maximale belasting te bepalen. Hiervoor wordt het volgende aangehouden: (3.4) (3.5) (3.6) (3.7) 3.2 Proefstuk Er is gekozen om als proefstuk een lat van triplex, tegenwoordig wel multiplex genoemd, te gebruiken met een symmetrische doorsnede van 4 x 60 [mm]. 3.3 Oplegcondities De lat is aan weerszijden opgelegd op gaffels. Hierdoor wordt rotatie om de lengteas van het proefstuk verhinderd. Zie Figuur 39. Ook is er een schroef aangebracht in de gaffels zodat de ligger in de z-richting vrij kan roteren. Bij afwezigheid van een schroef zou de ligger min of meer ingeklemd zijn en zou belastingsgeval 8 (bijlage 1) optreden. Zie Figuur Schroef Figuur 39 Bovenaanzicht- Verhindering rotatie om lengteas Figuur 40 Gaffeloplegging voorzien van een schroef 3.4 Aanbrengen belasting Omdat er gekozen is voor een triplex plaat met een dikte van 4 [mm] is een horizontale vooruitbuiging niet vereist. Aangezien het een erg dunne plaat is, is het lastig om de belasting aan te brengen. Als oplossing is bedacht om een ijzeren schoentje midden tussen ondersteuningen aan te brengen waar de belasting dan op aangrijpt. Zie ook Figuur 41. DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 38

39 Ijzeren schoentje Figuur 41 Aanbrengen belasting Aangezien het proefstuk bestaat uit triplex is er sprake van verschillende E-moduli. In de berekening zal de laagste E-modulus meegenomen worden. Het proefstuk zal zodanig geplaatst worden zodat de belasting in de zwakste richting aangrijpt. Een lagere E-modulus betekent een lagere belasting waardoor het proefstuk eerder zal kippen. Zie ook figuur 42. F F Proefstuk A Proefstuk B Figuur 42a Belasten loodrecht op vezelrichting Figuur 42b Belasten evenwijdig aan vezelrichting 3.5 Bepalen elasticiteitsmodulus De elasticiteitsmodulus kan op eenvoudige wijze bepaald worden door middel van een doorbuigingsproef. Zie Figuur 43. De doorbuiging wordt opgemeten waarmee vervolgens met behulp van het vergeet-mij-nietje voor een aan een zijde ingeklemde ligger de elasticiteitsmodulus wordt bepaald. Aangezien het proefstuk van triplex is, dient te worden gekeken in welke vezelrichting het de laagste elasticiteitsmodulus geeft. Uit de doorbuigingsproef is gebleken dat bij dezelfde belasting proefstuk A een grotere doorbuiging heeft. 39 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

40 Figuur 43 Proefopstelling bepaling E-modulus De beide planken worden belast met hetzelfde gewicht en de doorbuiging wordt opgemeten. Het traagheidsmoment in de zwakke richting is: Vervolgens is met een vergeet-mij-nietje de E-modulus te bepalen: (3.8) (3.9) 3.6 Bepalen glijdingsmodulus ϕ S verschil 180mm F Figuur 44 Proefopstelling bepaling glijdingsmodulus Figuur 45 Bepaling Op dezelfde wijze als voor de bepaling van de elasticiteitsmodulus kan ook de glijdingsmodulus worden gevonden. Alleen in dit geval zal de belasting excentrisch worden aangebracht. De verticale zakking zal hetzelfde blijven alleen zal de ligger gaan torderen. Zie Figuur 45. Door het verschil in doorbuiging van beide uiteinden te meten, kan men de hoekverdraaiing ten gevolge van het torsiemoment (constant voor de ligger over de lengte) berekenen en daaruit volgt de. Het horizontale plaatje op het uiteinde dient ervoor om het lengteverschil beter te kunnen meten. DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 40

41 (3.10) (3.11) 3.7 Belastingsgeval vrij opgelegde ligger Gebruik makend van (3.3) kan voor verschillende belastingconfiguraties de kritieke last bepaald worden. Hier zal de kritieke belasting worden berekend voor een belasting in het middelste veld, waarbij de twee buitenste twee velden onbelast blijven. Men kan dan de ligger als vrij opgelegd beschouwen waarbij de momentfactor gelijk is aan bijlage 2 belastingsgeval 4. (3.12) Uit het experiment is gebleken dat bij een waarde van 140 N de ligger pas echt gaat kippen, zie ook bijlage 6. Dit is te verklaren door het volgende: De ligger is niet helemaal vrij opgelegd. Namelijk bij twee uiterste steunpunten A en B zorgen er voor dat ligger BC niet helemaal vrij opgelegd is. Steunpunten B en C hebben hierdoor een bepaalde inklemmingswaarde welke de rotatieveerstijfheid bij de steunpunten voorstelt. Deze kan eenvoudig bepaald worden met behulp van een vergeet-mij-nietje. Zie Figuur 46. θ B A B C D l l l θ B x y Figuur 46a Uitbuigingsvorm met puntlast in veld BC θ B A l B M B Figuur 46b Bepaling rotatieveerstijfheid α r Het vergeet-mij-nietje luidt als volgt:, met. Aangezien alle liggers dezelfde buigstijfheid en lengte hebben is de rotatiestijfheid bij beide steunpunten even groot. invullen in (2.91) krijgt men voor : (3.12) 41 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

42 De kritieke belasting wordt hiermee: (3.13) Deze waarde komt overeen met werkelijke kritieke belasting. Uitgaande van een situatie waarbij de ligger op de uiteinden vrij kan roteren is de factor gelijk aan 1.0. Hierdoor wordt de kritieke belasting een factor 1.6 keer zo klein waardoor. 3.8 Belastingsgeval constant moment Om het belastingsgeval met een constant moment te bepalen worden in de buitenste twee velden gewichten aangebracht. Hierdoor ontstaan er momenten op de middelste twee steunpunten. Om er voor te zorgen dat deze velden niet gaan kippen, zullen deze velden halverwege gesteund worden. Ook hier is er sprake van een gedeeltelijke inklemming bij de steunpunten B en C. De inklemmingsfactor dient ook hier meegenomen te worden. (3.14) Nu is bepaald kan de kritieke belasting worden bepaald. Zie Figuur 46. De equivalente momentfactor voor een ligger met een koppel is gelijk aan en de maximale belasting treedt op in het veld. Het maximale veldmoment is gelijk aan. (3.15) (3.16) Ook deze waarde komt goed overeen met de werkelijke kritieke belasting. F M 0 1/4Fl M 0 Figuur 46 Bepaling kritieke last voor constant moment DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 42

43 4 Conclusies en aanbevelingen 4.1 Conclusies Analytische methode geeft alleen basisgeval Op analytische wijze is aan te tonen dat voor het theoretische kopmoment van een ligger, belast met twee tegengestelde momenten op de uiteinden, opgelegd op een gaffeloplegging, geldt: Helaas kan met een programma als Maple geen analytische oplossing worden gevonden voor andere belastingsgevallen dan het basisgeval Berekening equivalente momentfactor m.b.v. energievergelijkingen Met behulp van energievergelijkingen is in van Straten 9 voor een groot aantal belastingsgevallen de equivalente momentfactor gevonden. Deze belastingsgevallen zijn in dit eindwerk grotendeels op dezelfde wijze afgeleid. De grootste verandering in deze vergelijking zijn de momentenvoorschriften. Gebleken is dat dit hetzelfde resultaat levert. Voor belastingsgevallen met steunpuntsmomenten die veel groter zijn dan het veldmoment blijkt dat de equivalente momentfactor vrijwel gelijk is aan 1. De belasting in het veld is vrijwel verwaarloosbaar waardoor men het belastingsgeval mag opvatten als een ligger met twee eindmomenten. Dit levert een constant moment over de hele ligger. In de DIN staat een speciaal belastingsgeval waarbij er sprake is van een dubbele gaffelinklemming(zie Figuur 32b en bijlage 2 belastingsgeval 3.1 en 3.2). Er is eerst geprobeerd om met behulp van de analogie van de energievergelijkingen voor dit belastingsgeval de equivalente momentfactor te vinden. Hiervoor is een ligger aangenomen met aan weerszijden een rotatieveer in het x-y vlak. Met behulp van de differentiaalvergelijking voor buiging is de uitbuigingsvorm benaderd en deze is ingevoerd in Maple. Het probleem was dat er teveel variabelen ontstonden en Maple er geen uitdrukking voor kon vinden. Het grootste probleem was dat de versimpeling van de energievergelijking voor het basisgeval ( ) niet meer opging. Daar is uitgegaan dat de ligger vrij opgelegd is waarbij de twee momenten aan weerszijden arbeid leveren. Maar bij een dubbele gaffelinklemming leveren deze momenten geen arbeid. In N.S. Trahair is een methode aangereikt waarmee met behulp van een inklemmingsfactor de equivalente momentfactor kan worden gevonden. Hiervan gebruik makend in de formule voor het kritische kipmoment gaf dit een uitkomst die zeer goed overeenkwam met de waarde in de DIN Toetsing fysiek model Voor de belastingconfiguraties in Figuur 27 zijn de equivalente momentfactoren gevonden. Echter, er was nergens een referentie om deze waarden mee te controleren. Met behulp van een fysiek model is voor een aantal belastingconfiguraties geprobeerd deze te controleren. Er moet opgemerkt worden dat er redelijk veel onnauwkeurigheden aanwezig waren tijdens deze proef waardoor het kipmoment soms te laag of te hoog uitviel. Het proefstuk heeft een initiële vooruitbuiging(niet ten gevolge van een horizontale belasting) waardoor deze eerder zal gaan kippen. Ook zullen er altijd onnauwkeurigheden zitten in het fysiek model. Om het belastingsgeval met een dubbele 43 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS

44 gaffelinklemming na te bootsen is gebruik gemaakt van houtklemmen. Bij het inklemmen zal het proefstuk al een beetje gaan vervormen wat weer invloed heeft op het kippen. Desalniettemin is gebleken dat de kritieke belasting vrij goed overeen komt met de voorafgaande berekening. 4.2 Aanbevelingen In eerste instantie verdient het aanbeveling om te onderzoeken of andere belastingsgevallen dan het constante moment op een analytische wijze gevonden kunnen worden. Dit kan bijvoorbeeld gedaan worden door benadering met een oneindige reeks. Verder is het interessant om de rotatiestijfheid verder te onderzoeken. Bijvoorbeeld bij een belastingssituatie met aan een zijde een volledige inklemming en aan de andere zijde een vrije oplegging. DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 44

Module 5 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 5 Uitwerkingen van de opdrachten Module 5 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 Deze oefening heeft als doel vertrouwd te raken met het integreren van de diverse betrekkingen die er bestaan tussen de belasting en uiteindelijk de verplaatsing:

Nadere informatie

Module 6 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 6 Uitwerkingen van de opdrachten 1 Module 6 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 De in figuur 6.1 gegeven constructie heeft vier punten waar deze is ondersteund. A B C D Figuur 6.1 De onbekende oplegreacties zijn: Moment in punt

Nadere informatie

Module 8 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 8 Uitwerkingen van de opdrachten Module 8 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 Analyse De constructie bestaat uit een drie keer geknikte staaf die bij A is ingeklemd en bij B in verticale richting is gesteund. De staafdelen waarvan

Nadere informatie

TU Delft. Stan Reinders 4079809. 1 e begeleider: Ir. G.J.P. Ravenshorst. 2 e begeleider: Ir. P.C.J. Hoogenboom

TU Delft. Stan Reinders 4079809. 1 e begeleider: Ir. G.J.P. Ravenshorst. 2 e begeleider: Ir. P.C.J. Hoogenboom 2013 TU Delft Stan Reinders 4079809 1 e begeleider: Ir. G.J.P. Ravenshorst 2 e begeleider: Ir. P.C.J. Hoogenboom EINDRAPPORT DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS Een onderzoek naar de invloed van

Nadere informatie

Buiging van een belaste balk

Buiging van een belaste balk Buiging van een belaste balk (Modelbouw III) G. van Delft Studienummer: 0480 E-mail: gerardvandelft@email.com Tel.: 06-49608704 4 juli 005 Doorbuigen van een balk Wanneer een men een balk op het uiteinde

Nadere informatie

M-V-N-lijnen Nadruk op de differentiaalvergelijking. Hans Welleman 1

M-V-N-lijnen Nadruk op de differentiaalvergelijking. Hans Welleman 1 M-V-N-lijnen Nadruk op de differentiaalvergelijking Hans Welleman 1 Uitwendige krachten 50 kn 120 kn 98,49 kn 40 kn 40 kn 30 kn 90 kn 4,0 m 2,0 m 2,0 m werklijnen van de reactiekrachten Hans Welleman 2

Nadere informatie

Module 7 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 7 Uitwerkingen van de opdrachten 1 Module 7 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 Het verschil in aanpak betreft het evenwicht in de verplaatste vervormde toestand. Tot nu toe werd bij een evenwichtsbeschouwing van een constructie

Nadere informatie

Module 4 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 4 Uitwerkingen van de opdrachten Module 4 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 Analyse Constructie bestaat uit scharnierend aan elkaar verbonden staven, rust op twee scharnieropleggingen: r 4, s 11 en k 8. 2k 3 13 11, dus niet vormvast.

Nadere informatie

Module 3 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 3 Uitwerkingen van de opdrachten Module 3 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 a De trekkracht volgt uit: F t A f s 10 100 235 235000 N 235 kn b De kracht kan als volgt worden bepaald: 1 l l l E l F E A F EA l 2,1 10 5 10 100 10/2000

Nadere informatie

Schuifspanningen loodrecht op een cilindrisch gat

Schuifspanningen loodrecht op een cilindrisch gat Schuifspanningen loodrecht op een cilindrisch gat Colin van Weelden CT3000 Bachelor Eindwerk Begeleiders: 1379550 TU Delft P.C.J. Hoogenboom Delft, Juni 2010 C.B.M. Blom Voorwoord Dit rapport is het eindresultaat

Nadere informatie

UITWERKING MET ANTWOORDEN

UITWERKING MET ANTWOORDEN Tentamen T0 onstructieechanica Januari 0 UITWERKING ET ANTWOORDEN Opgave a) Drie rekstrookjes b) Onder hoeken van 45 graden c) Tussen 0,5l en 0,7l (basisgevallen van Euler) d) () : Nee de vergrotingsfactor

Nadere informatie

TOEGEPASTE MECHANICA 6 1 e Jaar. Ir J.W. (Hans) Welleman Universitair docent TU-Delft, Civiele Techniek, Constructiemechanica

TOEGEPASTE MECHANICA 6 1 e Jaar. Ir J.W. (Hans) Welleman Universitair docent TU-Delft, Civiele Techniek, Constructiemechanica blad nr 1 TOEGEPASTE MECHANICA 6 1 e Jaar Docent : Ir J.W. (Hans) Welleman Universitair docent TU-Delft, Civiele Techniek, Constructiemechanica e-mail : j.w.welleman@hetnet.nl URL : http://go.to/jw-welleman

Nadere informatie

Mechanica - Sterkteleer - HWTK PROEFTOETS versie C - OPGAVEN en UITWERKINGEN.doc 1/16

Mechanica - Sterkteleer - HWTK PROEFTOETS versie C - OPGAVEN en UITWERKINGEN.doc 1/16 VAK: Mechanica - Sterkteleer HWTK Set Proeftoets 07-0 versie C Mechanica - Sterkteleer - HWTK PROEFTOETS- 07-0-versie C - OPGAVEN en UITWERKINGEN.doc 1/16 DIT EERST LEZEN EN VOORZIEN VAN NAAM EN LEERLINGNUMMER!

Nadere informatie

Productontwikkeling 3EM

Productontwikkeling 3EM Vragen Productontwikkeling 3EM Les 9 Sterkteleer (deel 2) Zijn er nog vragen over voorgaande lessen?? Paul Janssen 2 Inleiding Inleiding Sterkteberekening van liggers (en assen) Voorbeelden Berekening

Nadere informatie

Module 1 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 1 Uitwerkingen van de opdrachten 1 kn Module 1 en van de opdrachten F R Opdracht 1 Bepaal de resultante in horizontale en verticale richting: F H 0 6 4 kn dus naar rechts F V 0 4 1 kn dus omhoog De resultante wordt m.b.v. de stelling

Nadere informatie

Mechanica van Materialen: Voorbeeldoefeningen uit de cursus

Mechanica van Materialen: Voorbeeldoefeningen uit de cursus Mechanica van Materialen: Voorbeeldoefeningen uit de cursus Hoofdstuk 1 : Krachten, spanningen en rekken Voorbeeld 1.1 (p. 11) Gegeven is een vakwerk met twee steunpunten A en B. Bereken de reactiekrachten/momenten

Nadere informatie

Toetsingsregels voor kipstabiliteit verbeterd

Toetsingsregels voor kipstabiliteit verbeterd Kipstabiliteit op buiging belaste staven Toetsingsregels voor kipstabiliteit verbeterd Sinds het verschijnen van NEN 6770 en NEN 6771 begin jaren negentig is kipstabiliteit een regelmatig terugkerend onderwerp

Nadere informatie

Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450)

Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450) Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450) Datum: 3 juni 003 Tijd: 4:00 7:00 uur Locatie: Hal Matrixgebouw Dit tentamen bestaat uit drie opgaven. Het gebruik van het dictaat, oefeningenbundel en notebook

Nadere informatie

belastingen en combinaties

belastingen en combinaties Gebruikslicentie COMMERCIELE-versie tot 1-5-2013 printdatum : 06-12-2011 stalen ligger op 3 steunpunten met 2 q-lasten 1xprofiel 1: HE140A werk werk werknummer werknummer materiaal S235 klasse 3 flensdikte

Nadere informatie

STUDIEWIJZER ARBEID, ENERGIE EN INVLOEDSLIJNEN. ir J.W. Welleman

STUDIEWIJZER ARBEID, ENERGIE EN INVLOEDSLIJNEN. ir J.W. Welleman STUDIEWIJZER ARBEID, ENERGIE EN INVLOEDSLIJNEN ir J.W. Welleman Mei, 2007 I N H O U D S O P G A V E 1 INLEIDING... 1 1.1... 1 1.2 Leerdoelen...1 1.3 Opzet van deze studiewijzer... 1 1.4 Leermiddelen...

Nadere informatie

NIETJE NIET VERWIJDEREN

NIETJE NIET VERWIJDEREN NIETJE NIET VERWIJDEREN Faculteit Civiele Techniek en Geowetenschappen NAAM : Schriftelijk tentamen CTB1110 ConstructieMEchanica 1 Totaal aantal pagina s Datum en tijd Verantwoordelijk docent 21 pagina

Nadere informatie

kinematisch en statisch (on) bepaaldheid Noodzakelijk aantal opleggingen, graad van statisch onbepaaldheid Hans Welleman 1

kinematisch en statisch (on) bepaaldheid Noodzakelijk aantal opleggingen, graad van statisch onbepaaldheid Hans Welleman 1 kinematisch en statisch (on) bepaaldheid Noodzakelijk aantal opleggingen, graad van statisch onbepaaldheid Hans Welleman 1 PLAATSVASTE STARRE LICHAMEN Rotatie Centrum Horizontale roloplegging Verticale

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

BREEDBEELDPRESENTATIE

BREEDBEELDPRESENTATIE Constructieleer 1 BREEDBEELDPRESENTATIE Arie van Kuijk M.Arch berekening ligger op 2 steunpunten met q-lasten en puntlasten berekening ligger op 2 steunpunten met q-last & puntlasten Berekening van reactiekrachten,

Nadere informatie

Module 9 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 9 Uitwerkingen van de opdrachten 1 Module 9 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 Zie voor de gevraagde begrippen de tekst van dit onderdeel. Opdracht 2 De vormfactor wordt bepaald door: W p W De weerstandmomenten van de gegeven doorsneden

Nadere informatie

Het drie-reservoirs probleem

Het drie-reservoirs probleem Modelleren A WH01 Het drie-reservoirs probleem Michiel Schipperen (0751733) Stephan van den Berkmortel (077098) Begeleider: Arris Tijsseling juni 01 Inhoudsopgave 1 Samenvatting Inleiding.1 De probleemstelling.................................

Nadere informatie

Snelle glijbanen. Masterclass VWO-leerlingen juni Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde

Snelle glijbanen. Masterclass VWO-leerlingen juni Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde Masterclass VWO-leerlingen juni 2008 Snelle glijbanen Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD 2009 1 Technische Universiteit Delft Probleemstelling Gegeven: een punt A(0,a) en een punt B(b, 0) met a 0.

Nadere informatie

DOORBUIGING VAN BETONCONSTRUCTIES

DOORBUIGING VAN BETONCONSTRUCTIES DOORBUIGING VAN BETONCONSTRUCTIES 1. De buigstijfheid EI 1.1 Inleiding 1.2 De relatie tussen moment en kromming: EI 1.3 Tension Stiffening 1.4 M-κ diagrammen voor de UGT en de BGT 1.4.1 Berekening van

Nadere informatie

Avans Hogeschool. Sander Bastiaansen en Koen Bazelmans. Brugconstructies. .2012 - Academie voor Bouw en Infra Avans Hogeschool

Avans Hogeschool. Sander Bastiaansen en Koen Bazelmans. Brugconstructies. .2012 - Academie voor Bouw en Infra Avans Hogeschool Avans Hogeschool Sander Bastiaansen en Koen Bazelmans Brugconstructies.2012 - Academie voor Bouw en Infra Avans Hogeschool Inleiding Beste HAVO-leerlingen, Het profielwerkstuk is één van de belangrijkste

Nadere informatie

HE200A. prismatische op buiging en druk belaste staven volgens art S235

HE200A. prismatische op buiging en druk belaste staven volgens art S235 Gebruikslicentie COMMERCIELE-versie tot 1-5-2013 printdatum : 06-12-2011 prismatische op buiging en druk belaste staven volgens art. 6.3.3 HE200A werk = werk werknummer = werknummer materiaal S235 onderdeel

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 20 mei uur

Examen HAVO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 20 mei uur Examen HAVO 2008 tijdvak 1 dinsdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B1,2 Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Faculteit der Civiele Techniek en Geowetenschappen. De effectieve kiplengte van houten liggers

Technische Universiteit Delft Faculteit der Civiele Techniek en Geowetenschappen. De effectieve kiplengte van houten liggers Technische Universiteit Deft Facuteit der Civiee Techniek en Geowetenschappen De effectieve kipengte van houten iggers Roeand van Straten November 1 Technische Universiteit Deft Facuteit der Civiee Techniek

Nadere informatie

Belastingproeven PVC stellingkasten

Belastingproeven PVC stellingkasten TNO-rapport TNO-034-DTM-2010-04905 Belastingproeven PVC stellingkasten Van Mourik Broekmanweg P.O. Box 49 2600 AA Delft The Netherlands www.tno.nl T +31 88 866 30 00 F +31 88 866 30 10 wegwijzer@tno.nl

Nadere informatie

Het modelleren van een onvolkomen put met een meerlagenmodel

Het modelleren van een onvolkomen put met een meerlagenmodel Het modelleren van een onvolkomen put met een meerlagenmodel Mark Bakker i Een onvolkomen put kan gemodelleerd worden met een meerlagenmodel door het watervoerend pakket op te delen in drie lagen gescheiden

Nadere informatie

Draagconstructies in staal, hout en beton Module ribbc024z Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek 5 e semester deeltijd

Draagconstructies in staal, hout en beton Module ribbc024z Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek 5 e semester deeltijd Week 04 Theorie: Staal - liggers Toetsing doorbuiging, dwarskracht en combinatie 1 van 22 M.J.Roos 17-12-2006 2 van 22 M.J.Roos 17-12-2006 3 van 22 M.J.Roos 17-12-2006 4 van 22 M.J.Roos 17-12-2006 5 van

Nadere informatie

Controle: Bekijk nu of aan het evenwicht wordt voldaan voor het deel BC, daarvoor zijn immers alle scharnierkracten bekend

Controle: Bekijk nu of aan het evenwicht wordt voldaan voor het deel BC, daarvoor zijn immers alle scharnierkracten bekend Hints/procedures voor het examen 4Q130 dd 25-11-99 ( Aan het einde van dit document staan antwoorden) Opgave 1 Beschouwing vooraf: De constructie bestaat uit twee delen; elk deel afzonderlijk vrijgemaakt

Nadere informatie

Bachelor eindwerk Ontwerpformules voor ruimtelijke vakwerken

Bachelor eindwerk Ontwerpformules voor ruimtelijke vakwerken Bachelor eindwerk s voor ruimtelijke vakwerken Eduard van der Stap 4153537 TU Delft Faculteit Civiele Techniek en Geowetenschappen Eerste begeleider: Ir. J.W. Welleman Tweede begeleider: Dr. Ir. P.C.J.

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Maandag 27 mei 1.0 16.0 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.

Nadere informatie

SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN VAN SNIJDENDE KRACHTEN

SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN VAN SNIJDENDE KRACHTEN II - 1 HOODSTUK SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN VAN SNIJDENDE KRACHTEN Snijdende (of samenlopende) krachten zijn krachten waarvan de werklijnen door één punt gaan..1. Resultante van twee snijdende krachten Het

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores. M π 35,5 en dit geeft M 3959 ) (cm 2 ) 1 ( ) 2. 93 (2642 4 3959 2642) ) 1 De inhoud van de ton is dus 327 (liter) 1

Vraag Antwoord Scores. M π 35,5 en dit geeft M 3959 ) (cm 2 ) 1 ( ) 2. 93 (2642 4 3959 2642) ) 1 De inhoud van de ton is dus 327 (liter) 1 Eindexamen wiskunde B havo 0 - II Beoordelingsmodel Tonregel van Kepler maximumscore 6 G = B = π 9 ( 64) (cm ) Voor de cirkel op halve hoogte geldt: πr = (met r de straal van de cirkel in cm) Hieruit volgt

Nadere informatie

STIJFHEIDSMATRIX VAN ASYMMETRISCHE

STIJFHEIDSMATRIX VAN ASYMMETRISCHE STIJFHEIDSMATRIX VAN ASYMMETRISCHE PROFIELEN Eindrapport Bachelor Eindwerk Naam J.R.van Noort Studienummer 1274082 Begeleiders dr. ir. P.C.J. Hoogenboom ir. R. Abspoel Datum 21-10-2009 VOORWOORD Dit rapport

Nadere informatie

STERKTE BEPALING. Opdracht 1 : Onderzoek aluminium constructiedeel

STERKTE BEPALING. Opdracht 1 : Onderzoek aluminium constructiedeel STERKTE BEPALING In de lessen sterkteleer heb je een berekeningsmethode gezien om de spanningen in een materiaal te bepalen en hieruit de nodige afmetingen te berekenen. In solid edge kan dit op een soepele

Nadere informatie

Vraag 1. F G = 18500 N F M = 1000 N k 1 = 100 kn/m k 2 = 77 kn/m

Vraag 1. F G = 18500 N F M = 1000 N k 1 = 100 kn/m k 2 = 77 kn/m Vraag 1 Beschouw onderstaande pickup truck met de afmetingen in mm zoals gegeven. F G is de massa van de wagen en bedraagt 18,5 kn. De volledige combinatie van wielen, banden en vering vooraan wordt voorgesteld

Nadere informatie

2.1 Lineaire functies [1]

2.1 Lineaire functies [1] 2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

Examen Klassieke Mechanica

Examen Klassieke Mechanica Examen Klassieke Mechanica Herbert De Gersem, Eef Temmerman 2de bachelor burgerlijk ingenieur en bio-ingenieur 14 januari 2008, academiejaar 07-08 NAAM: RICHTING: vraag 1 (/3) vraag 2 (/5) vraag 3 (/5)

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Mechanica - Sterkteleer - HWTK PROEFTOETS versie C - OPGAVEN.doc 1/7

Mechanica - Sterkteleer - HWTK PROEFTOETS versie C - OPGAVEN.doc 1/7 VAK: Mechanica - Sterkteleer HWTK Set Proeftoets 07-02 versie C Mechanica - Sterkteleer - HWTK PROEFTOETS- 07-02-versie C - OPGAVEN.doc 1/7 DIT EERST LEZEN EN VOORZIEN VAN NAAM EN LEERLINGNUMMER! Beschikbare

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 2012 tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.. Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2008-I

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2008-I Steeds meer vlees In wordt voor de periode 1960-1996 zowel de graanproductie als de vleesproductie per hoofd van de wereldbevolking weergegeven. Hiervoor worden twee verticale assen gebruikt. De ronde

Nadere informatie

Solico. Brugdekpaneel 500x40. Solutions in composites. Mechanische eigenschappen. Versie : 2. Datum : 16 januari 2013

Solico. Brugdekpaneel 500x40. Solutions in composites. Mechanische eigenschappen. Versie : 2. Datum : 16 januari 2013 Solico B.V. Everdenberg 5A NL-4902 TT Oosterhout The Netherlands Tel.: +31-162-462280 - Fax: +31-162-462707 E-mail: composites@solico.nl Bankrelatie: Rabobank Oosterhout Rek.nr. 13.95.51.743 K.v.K. Breda

Nadere informatie

Willem van Ravenstein 2007

Willem van Ravenstein 2007 Inhoud van ruimtelijke figuren Inhoud van omwentelingslichamen Lengte van een kromme Differentiaalvergelijkingen Richtingsvelden Standaardtypen differentiaalvergelijkingen Losse eindjes, tips & truuks

Nadere informatie

POST STUDIEWIJZER. POST HBO-OPLEIDINGEN Betonconstructeur BV Staalconstructeur BmS. Professional master of structural engineering

POST STUDIEWIJZER. POST HBO-OPLEIDINGEN Betonconstructeur BV Staalconstructeur BmS. Professional master of structural engineering POST HBO-OPLEIDINGEN Betonconstructeur BV Staalconstructeur BmS Professional master of structural engineering Toegepaste mechanica 6 Mechanica van gebouw- en constructiesystemen ir J.W. Welleman STUDIEWIJZER

Nadere informatie

Advanced Creative Engineering Skills

Advanced Creative Engineering Skills Les 2 September 2015 Theaterschool OTT-2 1 Terugblik buiging Zuivere buiging belasting door buigend moment Neutrale laag Buigingsformule M b = σ b W b W b is weerstandsmoment [mm 3 ] Afhankelijk van vorm

Nadere informatie

ConstructieMechanica 3

ConstructieMechanica 3 CTB10 COLLEGE 9 ConstructieMechanica 3 7-17 Stabiliteit van het evenwicht Inleiding Starre staaf (systeem met één vrijheidsgraad) Systemen met meer dan één vrijheidsgraad Buigzame staaf (oneindig veel

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

De Optimale Koepel Kris Riemens

De Optimale Koepel Kris Riemens Eindverslag ti Kris Riemens 1365924 CT 3000-09 Bachelor Eindwerk 21-10-2011 Begeleiders: Dr. Ir. P.C.J. Hoogenboom Ir. S. Pasterkamp 2 Inhoudsopgave 1. Voorwoord... 4 2. Inleiding... 5 3. Een stukje geschiedenis...

Nadere informatie

BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing

BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing 1 ste jaar Bachelor BIOMEDISCHE WETENSCHAPPEN Academiejaar 006-007 BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing 1 Opgave 1 Een blokje met massa 0, kg heeft onder aan een vlakke helling een snelheid van 7,

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen 1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING Veel fysische systemen, van groot tot klein, mechanisch en elektrisch, kunnen trillingen uitvoeren. Daarom is in de natuurkunde het bestuderen van trillingen van groot

Nadere informatie

4. NUMERIEKE INTEGRATIE

4. NUMERIEKE INTEGRATIE 4. NUMERIEKE INTEGRATIE Uit het voorgaande is gebleken dat oppervlakken, volumina, zwaartepunten, statische momenten etc. een belangrijke rol spelen in de beschouwingen aangaande het evenwicht van drijvende

Nadere informatie

Elk vermoeden van fraude wordt gemeld bij de examencommissie.

Elk vermoeden van fraude wordt gemeld bij de examencommissie. Faculteit Civiele Techniek en Geowetenschappen Schriftelijk tentamen CTB1110 ConstructieMEchanica 1 Totaal aantal pagina s Datum en tijd Verantwoordelijk docent 5 pagina s excl voorblad 02-11-2015 van

Nadere informatie

Een kogel die van een helling afrolt, ondervindt een constante versnelling. Deze versnelling kan berekend worden met de formule:

Een kogel die van een helling afrolt, ondervindt een constante versnelling. Deze versnelling kan berekend worden met de formule: Voorbeeldmeetrapport (eenparig versnelde beweging stopwatch en meetlat) Eenparig versnelde beweging stopwatch en meetlat. Doel van de proef Een kogel die van een helling afrolt, voert een eenparig versnelde

Nadere informatie

Elk vermoeden van fraude wordt gemeld bij de examencommissie.

Elk vermoeden van fraude wordt gemeld bij de examencommissie. Faculteit Civiele Techniek en Geowetenschappen Schriftelijk tentamen CTB1110 ConstructieMEchanica 1 Totaal aantal pagina s Datum en tijd Verantwoordelijk docent 18 pagina s excl voorblad 02-11-2015 van

Nadere informatie

Phydrostatisch = gh (6)

Phydrostatisch = gh (6) Proefopstellingen: Bernoulli-opstelling De Bernoulli-vergelijking (2) kan goed worden bestudeerd met een opstelling zoals in figuur 4. In de figuur staat de luchtdruk aangegeven met P0. Uiterst links staat

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 f () = g () = sin h() = k () = log p () = m () = n () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k

Nadere informatie

Bewerkingen met krachten

Bewerkingen met krachten 21 Bewerkingen met krachten Opgeloste Vraagstukken 2.1. Bepaal het moment van de kracht van 2N uir Fig. 2-3 rond het punt O. Laat de loodrechte OD neer vanuit O op de rechte waarlangs de kracht van 2N

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4

Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4 Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4 1. Lineair verband. 1a. na 1 min 36 cm, na min. 3 cm, daling 4 cm per minuut. b. h = 40 4t h in cm en t per minuut b. k: rc = -3 m: rc = 0.5 p: rc

Nadere informatie

= onderdeel. materiaalgegevens, balkafmeting, diverse factoren en belastingen

= onderdeel. materiaalgegevens, balkafmeting, diverse factoren en belastingen Gebruikslicentie COMMERCIELE-versie tot 1-5-2013 printdatum : 12-12-2011 houten hoekkeper piramidedak belast door eg+sneeuw werk = werk werknummer = werknummer = 71 x 271 naaldhout C18 toegepaste norm

Nadere informatie

Verrassende uitkomsten in stromingen

Verrassende uitkomsten in stromingen Verrassende uitkomsten in stromingen Deel 2 G.A. Bruggeman De wiskundige theorie van de grondwaterstroming biedt nu en dan uitkomsten die opvallen door hun eenvoud of anderszins door hun bijzonder structuur,

Nadere informatie

THEMA IS BEZWIJKEN HET BEREIKEN VAN DE VLOEIGRENS?

THEMA IS BEZWIJKEN HET BEREIKEN VAN DE VLOEIGRENS? CT309 : PLASTICITEITSLEER THEMA IS BEZWIJKEN HET BEREIKEN VAN DE VLOEIGRENS? M M - N N + + σ = σ = + f f BUIGING EXTENSIE Ir J.W. Welleman bladnr 0 kn Gebruiksfase met relatief geringe belasting WAT GEBEURT

Nadere informatie

Wisnet-HBO. update maart. 2010

Wisnet-HBO. update maart. 2010 Wat is Differentiëren? 1 Wat is differentiëren? Wisnet-HBO update maart. 2010 Differentiëren is eigenlijk het differentiaalquotient bepalen. Je begint met het delen van uiterst kleine verschillen op elkaar.

Nadere informatie

2.1 Lineaire formules [1]

2.1 Lineaire formules [1] 2.1 Lineaire formules [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B havo II

Eindexamen wiskunde B havo II Tonregel van Kepler In het verleden gebruikte men vaak een ton voor het opslaan en vervoeren van goederen. Tonnen worden ook nu nog gebruikt voor bijvoorbeeld de opslag van wijn. Zie de foto. foto Voor

Nadere informatie

Examen Klassieke Mechanica

Examen Klassieke Mechanica Examen Klassieke Mechanica Herbert De Gersem, Eef Temmerman 23 januari 2009, academiejaar 08-09 IW2 en BIW2 NAAM: RICHTING: vraag 1 (/4) vraag 2 (/4) vraag 3 (/5) vraag 4 (/4) vraag 5 (/3) TOTAAL (/20)

Nadere informatie

Productontwikkeling 3EM

Productontwikkeling 3EM Vragen Productontwikkeling 3EM Les 10 Sterkteleer (deel 3) Zijn er nog vragen over voorgaande lessen?? Paul Janssen 2 Schuifspanning Schuifspanning Schuifspanning (afschuiving) Dwarskrachten of afschuifkrachten

Nadere informatie

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van

Nadere informatie

belastingen en combinaties

belastingen en combinaties stalen ligger op 2 steunpunten met twee F-lasten 1xprofiel 1: HE140A en een q-last over de gehele lengte werk werk werknummer werknummer materiaal S235 klasse 3 flensdikte

Nadere informatie

Tentamen io1031 Product in werking (vragen) vrijdag 26 augustus 2011; 14:00 17:00 uur

Tentamen io1031 Product in werking (vragen) vrijdag 26 augustus 2011; 14:00 17:00 uur Tentamen io1031 Product in werking (vragen) vrijdag 26 augustus 2011; 14:00 17:00 uur Mededelingen Dit tentamen bestaat uit 4 bladzijden. De LAATSTE zes vragen (samen maximaal 5 punten) zijn zogenaamde

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

5.1 Lineaire formules [1]

5.1 Lineaire formules [1] 5.1 Lineaire formules [1] Voorbeeld : Teken de grafiek van y = 1½x - 3 Stap 1: Maak een tabel met twee coördinaten van deze lijn: x 0 2 y -3 0 Stap 2: Teken de twee punten en de grafiek: 1 5.1 Lineaire

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast

Nadere informatie

Wiskundige vaardigheden

Wiskundige vaardigheden Inleiding Bij het vak natuurkunde ga je veel rekenstappen zetten. Het is noodzakelijk dat je deze rekenstappen goed en snel kunt uitvoeren. In deze presentatie behandelen we de belangrijkste wiskundige

Nadere informatie

Theory Dutch (Netherlands) Lees eerst de algemene instructies uit de aparte enveloppe voordat je begint met deze opgave.

Theory Dutch (Netherlands) Lees eerst de algemene instructies uit de aparte enveloppe voordat je begint met deze opgave. Q1-1 Twee problemen uit de Mechanica (10 punten) Lees eerst de algemene instructies uit de aparte enveloppe voordat je begint met deze opgave. Deel A. De verborgen schijf (3.5 punten) We beschouwen een

Nadere informatie

belastingen en combinaties

belastingen en combinaties stalen ligger op 2 steunpunten met een overstek 1xprofiel 1: HE160A werk werk werknummer werknummer materiaal S235 klasse 3 flensdikte

Nadere informatie

Lang leve invnorm op de TI-83 grafische rekenmachine

Lang leve invnorm op de TI-83 grafische rekenmachine Bij de kansrekening op HAVO en VWO wordt ruimschoots aandacht besteed aan de normale verdeling. In de schoolboeken staan talrijke variaties, waarvan we de volgende beschouwen: Geef van een normaal verdeelde

Nadere informatie

uitkragende stalen ligger met een variabele EI 1xprofiel 1: HE140A een trapeziumbelasting en een puntlast

uitkragende stalen ligger met een variabele EI 1xprofiel 1: HE140A een trapeziumbelasting en een puntlast uitkragende stalen ligger met een variabele EI 1xprofiel 1: HE140A een trapeziumbelasting en een puntlast werk werk werknummer werknummer materiaal S235 klasse 3 flensdikte

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B (oude stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B (oude stijl) Wiskunde B (oude stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Maandag 27 mei 1330 1630 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 90 punten te behalen; het examen bestaat uit 18 vragen

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 20 tijdvak 2 woensdag 22 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

m C Trillingen Harmonische trilling Wiskundig intermezzo

m C Trillingen Harmonische trilling Wiskundig intermezzo rillingen http://nl.wikipedia.org/wiki/bestand:simple_harmonic_oscillator.gif http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/simple_harmonic_motion_animation.gif Samenvatting bladzijde 110: rilling

Nadere informatie

Het versterken en verstijven van bestaande constructies

Het versterken en verstijven van bestaande constructies Het versterken en verstijven van bestaande constructies ir.m.w. Kamerling, m.m.v. ir.j.c. Daane 02-02-2015 Onderstempeling voor de renovatie van een kozijn in een gemetselde gevel, Woerden 1 Inhoudopgave

Nadere informatie

Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2)

Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2) Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2) Snelheid en gemiddelde snelheid Met de grootheid snelheid geef je aan welke afstand een voorwerp in een bepaalde tijd aflegt. Over een langere periode is de snelheid

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B havo I (oude stijl)

Eindexamen wiskunde B havo I (oude stijl) Twee functies en hun som In figuur 1 zijn de grafieken getekend van de functies f ( x) = 2x + 12 en g ( x) = x 1 figuur 1 y Q f g O x De grafiek van f snijdt de x-as in en de y-as in Q 4p 1 Bereken de

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 2

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 2 Paragraaf 8 De klokvorm Opgave 1 a De top van de grafiek van de PvdA ligt bij 30 %. Dus voor de PvdA wordt 30% voorspeld. b De grafiek loopt van ongeveer 27 tot 33, dus het percentage ligt met grote waarschijnlijkheid

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II Pompen of... Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm 3 ). figuur 1 4p 1 Bereken de diameter van het vat. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.

Nadere informatie

Beproevingen casco. Leren van het SVB-proefproject (1) thema

Beproevingen casco. Leren van het SVB-proefproject (1) thema thema 1 Leren van het SVB-proefproject (1) Beproevingen casco Behalve in bedrijfsvloeren wordt staalvezelbeton (SVB) in Nederland nog niet of nauwelijks toegepast. Dat komt door het gevestigde idee dat

Nadere informatie

VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN

VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN VIDEO 1 VIDEO 2 VIDEO 3 VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN De modulus (ook wel absolute waarde) is de afstand van een punt op de getallenlijn tot nul. De modulus van zowel -5 als 5 is dus 5, omdat -5 ook

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen HAV 0 tijdvak woensdag 0 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage.. Dit eamen bestaat uit 0 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie