Black-Scholes op de TI-83

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Black-Scholes op de TI-83"

Transcriptie

1 Een van e plenaire lezingen op NWD 007 ging over e Black-Scholeformule; een formule waarmee e waare van optie op aanelen bepaal kan woren. De lezing wer oor velen al bijzoner ingewikkel ervaren, waarchijnlijk omat e gemiele NWD-bezoeker niet in optie noch in aanelen hanelt... Maar Wout e Goee herinnere zich at hij van iezelfe formule lemateriaal ha gemaakt incluief imulatie op e TI-8. Black-Schole op e TI-8 Vooraf Een jaar of wat geleen tuure ik team tuenten naar cholen om in vijfe en zee klaen VWO (WB) iet te vertellen over e bètatuie. Zo n team gebruikte an één of meer leuren om e wikunetuie wat meer bekenhei te geven en in het kaer aarvan ha ik wat preentatie gemaakt over recent wikunig onerzoek, want e meete leerlingen kennen alleen e jaren- of zelf eeuwenoue choolwikune en vragen zich verbijter af wat er in wikunig onerzoek nu eigenlijk precie gebeurt. Omat e wikuneleraar alle weet, i met betrekking tot wikune alle immer al lang beken? Leerlingen zijn trouwen niet e enigen ie geen beel hebben van een wikunig onerzoeker: toen een bekene wikunige jaren geleen op televiie al chaotheoreticu optra, moet hij van e regieur van het programma peré een witte ja ragen; immer al wetenchapper moet je er toch op zijn mint uitzien al een oort profeor Sickbock? En een wikunig onerzoeker i toch ook een wetenchapper? De arme man perte zijn koloale lijf in een geleene witte ja ie hem veel te klein wa en bevetige zooene voor e kijker met zijn uiterlijk het tereotiepe beel van e wat vreeme figuur uit e wetenchap. Toen ik op e NWD vrijagmiag Svetlana Borovkova hoore preken over optie en e Black-Scholeformule, herinnere ik mij at ik e han-out van zo n preentatie voor leerlingen over ie formule, amen met een programmaatje voor e GR, nog ergen op e computer moet hebben taan. In e begintij van e GR haen e leerlingen nog geen eigen rekenmachine, maar e promotieteam namen een koffer met circa vijftien exemplaren van e TI-8 mee en e leerlingen konen aar an, eventueel in tweetallen, mee werken. Ineraa hoefe ik alleen maar op mijn computer te zoeken en e gevonen Latexfile om te zetten in een Worocument, e formule in MathType te tikken en e plaatje uit het bij e tex-file behorene vi-ocument te kopiëren (ik ben niet zo hanig in het tekenen in Wor, u it ging aanzienlijk neller) om één en aner naar e Nieuwe Wikrant te turen. Het programma at ik voor het practicum met e GR (TI- 8) ha gemaakt, ha ik, zoal gezeg, ook nog. Ik heb het met hulp van een tuent-aitent ie werkt voor het webplatform van e RuG op e ite wikune/informatievoor/ocenten/inex gezet, waar het egewent oor e liefhebber afgehaal kan woren. Jan Feitma i e naam van e aitent. Hij i al aarig ver met zijn wikunetuie gevorer en omat hij jaren bij mij in e kla heeft gezeten en ook nog een college bij mij heeft moeten lopen, heeft hij met veel plezier zijn oue wikuneocent volgen het expertmoel le gegeven en vertel hoe een en aner in zijn werk ging. Van enige zelfwerkzaamhei wa geen prake; ik mocht alleen mijn peroneelnummer en mijn wachtwoor intypen, om toegang te krijgen tot het bewerken van ie webite. De ret wer mij volkomen uit hanen genomen, ik hoefe alleen van tij tot tij intemmene geluien voort te brengen. Waar het om ging wa het volgene: De leerlingen konen een tijje een optiehanelpelletje tegen e Black- Scholeformule pelen, waarbij e aanelenkoer en e optiehanel woren geimuleer (zie figuur ): het betreft plaatje van het cherm van een TI-8 (gewoon van link naar recht te lezen; u e chermen op één rij komen, na een ruk op e ENTER-toet, achtereenvolgen tevoorchijn!) Natuurlijk ha ik het programma op e GR beveilig om te voorkomen at e rekenmachine volkomen in e war terugkwamen en tuk voor tuk gereet en weer gelaen moeten woren. Het informaticafreak - gehalte van e geïntereeere leerlingen wa namelijk nogal hoog en zij haen ientengevolge gewoonlijk razennel oor hoe je zo n programma moet eiten! Het praatje over e Black-Scholeformule wa een ucce. Dat je een formule, waarmee recentelijk e Nobelprij voor e Economie i gewonnen, vrijwel volleig kunt nappen met wat je in e bovenbouw van het VWO op at moment aan wikunige kenni in hui hebt en at je zelf, al je wat verer bent, met enige moeite zo n formule zelf zou kunnen afleien, i een echte eye-opener. Hier e output van het GR-programma: Nieuwe Wikrant 7-/ecember 007 5

2 Schole voor hun baanbreken werk op het gebie van e waarering van optie. Al ere naam hoort hier nog ie van Black bij, maar hij overlee twee jaar eerer. Hoogtepunt van hun theorie i e befaame Black-Schole(- Merton)formule voor e waare van een Europee call optie op een aaneel. Deze formule i at ln( K) + ( r + σ ) ( T t) ft (, ) = Φ σ T t Bij OPTIEPRIJS? wacht e GR tot je een getal hebt ingevoer, hier 5. Daarna vervolgt het programma met IK DENK: 7.0 en vervolgen zie je na elke keer 'ENTER' e volgene chermpje verchijnen. Ke rt ( t) ln( K) + ( r σ ) ( T t) Φ σ T t waarbij Φ e verelingfunctie van e tanaarnormale vereling i: Φ( z) z e x = x (e functie normalcf op e TI) π Weliwaar een inrukwekkene formule, maar in het volgene ga je nappen wat e ymbolen betekenen, een inruk krijgen hoe zo n formule tot tan komt en er ook nog wat mee werken. Daarbij komen geavanceere wikunige onerwerpen ter prake. fig. Black-Schole op e TI-8 Je ziet in it voorbeel at e optiehanel na een aantal keren pelen niet wintgeven bleek te zijn, maar at e Black-Scholeformule het wel beter ee an e natte vinger! De leerlingen kregen na e Powerpointpreentatie over het tukje wikunig onerzoek een han-out van at promopraatje (zoal we ie preentatie haen genoem), zoat e geïntereeere liefhebber een en aner nog een na kon lezen. Deze han-out van het promopraatje over e Black-Scholeformule i een tekt op toentertij leerlingniveau van een artikel beoel voor ocenten. Dat artikel van profeor Dehling i verchenen in Speeltuin van e wikune, een boekje at elke ocent zou moeten bezitten. De tekt van e han-out volgt hier: De wikune achter e Nobelprij voor Economie 997 Wat i een optie waar? Oorpronkelijke tekt van Herol Dehling. Inleiing In het najaar van 997 wer e Nobelprij voor Economie uitgereikt aan e Amerikaane hoogleraren Merton en Optie Het eenvouigte voorbeel van een optie i een Europee call optie op een bepaal aaneel, bijvoorbeel een aaneel Koninklijke Olie. Bij eze optie i vatgeleg e zogenaame trikeprij K en een uitoefenatum T. Op it tijtip T mag e houer van e optie an voor een berag K één aaneel Koninklijke Olie van e uitgever van e optie kopen. Sin e introuctie ervan in het jaar 97 heeft e hanel in optie een hoge vlucht genomen. Tegenwoorig wort veel meer in optie an in e onerliggene aanelen gehanel. Optie woren om uiteenlopene reenen gekocht. Een groep koper gebruikt optie om zich in te ekken tegen marktriico. Wie bijvoorbeel over een aantal maanen een zekere hoeveelhei ollar noig heeft, kan call optie op ollar aanchaffen en zo het riico van een koertijging van e ollar afkopen. Een tweee groep koper van optie i peculatief bezig en geïntereeer in het feit at je bij optie met een relatief kleine inzet grote winten kunt maken bijvoorbeel met een call optie al e aanelenkoer behoorlijk tijgt. Hier taat natuurlijk tegenover at je een groot riico loopt at e optie volleig waareloo wort al e aanelenkoer oner e uitoefenprij aalt. Veel terker an bij beleggingen in aanelen loop je u bij beleggingen in optie een for riico om je hele inleg kwijt te raken. Ieere optie geeft e houer een recht maar geen verplichting. Omgekeer legt het aan e uitgever een verplichting op waar geen recht tegenover taat. Het ligt u voor e han at e koper van een optie aarvoor een zeker berag zal moeten betalen. Maar wat zou een reelij- 6 Black-Schole op e TI-8

3 ke prij zijn? Met precie eze vraag hebben Black, Schole en Merton zich beziggehouen. Waarom zal op e optiemarkt alleen e hier berekene prij gelen en geen anere? Dit heeft te maken met het iee at er op een perfecte markt geen arbitragegelegen- De waare van een Europee call optie valt vrij gemakkelijk te bepalen op e uitoefenag T. Al je e waare van het aaneel op tijtip t noteert met (t), an betaan er op e uitoefenag twee mogelijkheen, namelijk T ( ) K of T ( ) > K. In het eerte geval i op het uitoefentijtip e prij van het aaneel op e beur kleiner an e trikeprij en u zou e houer wel gek zijn om zijn optie uit te oefenen. Daarmee wort in at geval e waare van e optie 0. In het tweee geval i het vertanig om e optie uit te oefenen. De houer van e optie zal u voor het berag K het aaneel kopen. Al hij it aaneel irect weer voor (T) op e beur verkoopt, heeft hij een wint van S T K gemaakt en at i u e waare van e optie op ag T. Samengevat: e waare van een Europee call optie op e uitoefenatum T kun je weergeven met e functie f T ( ) = max(, 0 K) al e koer van het aaneel op tijtip T gelijk i aan voor e waare van een Europee call optie op het uitoefentijtip T. De eentiële vraag van e optietheorie i nu: Wat i e waare van e optie op een willekeurig tijtip t < T? Binair één-perioe moel Zoal vaak bij grote wetenchappelijke ontekkingen, zit ook bij e Black-Schole-Mertontheorie e eentie in een heel eenvouige geachte; je moet er alleen maar op komen! Deze geachte valt ree bij een heel impel moel voor e ontwikkeling van aanelenprijzen in een gegeven perioe uit te leggen. Eert een getallenvoorbeel: 45 fig. Voorbeel van een één-perioe binair moel Bekijk een perioe met lengte, tuen e tijtippen t =0 en t =. Stel at e waare van een aaneel aan het begin van e perioe 45 i en at er lecht twee mogelijke cenario tuen nu en het eine van e perioe kunnen optreen, namelijk at e prij aalt naar 40 of at e prij tijgt naar 60. Kijk nu naar een Europee call optie met trikeprij K = 50. Je hebt eerer gezien at e waare van eze optie aan het eine van e perioe, u op het tijtip t =, gelijk aan 0 of 0 i, al naar gelang e aanelenkoer naar 40 aalt of naar 60 tijgt. Maar wat i e waare van e optie nu, at wil zeggen op tijtip t = 0? Stel je in e plaat van e uitgever van e optie. Je bent oor e verkoop van e optie een verplichting aangegaan en moet om aan ie verplichting te kunnen voloen aan het eine van e perioe het berag 0 of 0 ter bechikking hebben, afhankelijk van e ontwikkeling van e aanelenkoer. De eentiële geachte achter e theorie van Black, Schole en Merton i nu e volgene: aan het begin van e perioe tel je een aanelenportefeuille amen waarvan e waare aan het eine van e perioe gelijk moet zijn aan e waare van e optie, onafhankelijk van e koerontwikkeling van het aaneel. Dan heb je aan het eine van e perioe precie genoeg om e houer van e optie tevreen te tellen. Men zegt at eze portefeuille e optie upliceert en noemt het geheel een heging trategy. Door aanchaf van zo n uplicerene portefeuille ek je je in tegen het riico van e aangegane verplichting. Aan e aanchaf ervan zijn voor e uitgever koten verbonen en at i precie e waare van e optie. Stel at je alleen in aanelen of in gel kunt beleggen. Neem om e zaak nog eenvouiger te maken aan at e rente op gelleningen en op paarrekeningen 0 i het geval van poitieve rente i niet echt aner, maar zorgt wel voor latiger formule. Voor een beleggingtrategie moet je u kiezen voor het aantal aanelen (x) at je wilt houen en voor e hoeveelhei gel (y) ie je wilt lenen. Dan heb je aan het eine van e perioe in het geval van een alene koer 40x + y en in het anere geval 60x+ y. Voor een uplicatie van e optie moeten eze waaren gelijk zijn aan 0, repectievelijk 0 en at leit tot het volgene telel van twee eertegraa vergelijkingen met twee onbekenen: 60x+ y = 0 40x+ y = 0 De oploing van it telel i x = -- en y = 0. Je beleggingtrategie ziet er u al volgt uit: koop -- aaneel en leen 0. Ongeacht e koerontwikkeling van het aaneel heb je aan het eine van e perioe e waare van e optie: in het geval van een tijgene koer heeft je halve aaneel e waare 0, aarvan zijn 0 noig om e lening af te loen en blijven 0 over om e houer van e optie tevreen te tellen. In het geval van een alene koer, heb je 0 aan aanelen, it hele berag wort gebruikt ter afloing van e lening en vervolgen blijft er u niet over, maar at hoeft ook niet omat e optie nu e waare 0 heeft. De hier bechreven trategie kot in het begin gel: je koopt -- aaneel voor e prij van,50, aartoe leen je 0 bij e bank en je hebt u nog,50 extra noig. Dit berag zul je aan e koper voor e optie vragen en e waare van e optie i u aan het begin,50. Nieuwe Wikrant 7-/ecember 007 7

4 hei mag betaan, at wil zeggen een gelegenhei om zoner riico gel te verienen aner zou namelijk ieereen at kunnen oen en at zou e mogelijkhei om zeep helpen, immer waar moet it oor ieereen veriene gel an vanaan komen? Afwijkingen van e optieprij van e hier berekene,50 naar boven of beneen zullen een arbitragemogelijkhei openen. Stel namelijk at e prij hoger i an,50 nu i het voorelig om optie uit te geven. Voor,50 koop je e portefeuille ie e waare van e optie perfect reprouceert en an hou je nog gel over at je in eigen zak kunt teken! Omgekeer, al e prij van e optie beneen,50 ligt, wort het voorelig om optie te kopen. Je kunt an namelijk precie het omgekeere van e trategie van e uitgever oen en -- aaneel verkopen en 0 op je bankrekening zetten eze trategie levert je in het begin irect,50 op, meer an je voor e optie betaal hebt en u hou je weer iet over. Hoe tel je u e beginwaare van een optie vat? Kijk naar e einwaaren en naar e heging trategie ie noig i om geen riico te lopen. Binair één-perioe moel: algemene formule Wat in het voorgaane voor een getallenvoorbeel i geaan, kan zoner veel problemen ook algemeen. Neem nog tee e rente op e gelmarkt 0. Deze aanname maakt bij een eerte behaneling e formule eenvouiger. Aan e anere kant i het gemakkelijk om later naar het algemene geval over te gaan oor alle prijzen met e marktrente af te prijzen. Noteer met e huiige prij van het aaneel en met en u e twee mogelijke prijzen aan het ein van e perioe, waarbij < u. Van eze prijzen mag je verer aannemen at < < u, want aner zou er weer een arbitragemogelijkhei betaan. Stel je namelijk bijvoorbeel at en u beie groter zijn an, an i er een riicovrije trategie om gel te verienen: leen gel bij e bank en beleg in aanelen! fig. Algemeen één-perioe binair moel De waare van e optie aan het eine van e perioe zal f en f u zijn, afhankelijk van e ontwikkeling van e prij van het aaneel (zie figuur ). Nu e beleggingportefeuille ie e claim upliceert, ongeacht e waareontwikkeling van het aaneel. Met x aanelen en met y geleen gel krijg je e vergelijkingen: u f u f x + y = f u x + y = f u Dit telel heeft e oploing f u f f x = u f en y =. u u u De waare f van e portefeuille op tijtip 0 en u, volgen e eerere reeneringen, e huiige waare van e optie, i an: f f f f x+ y f = = + f u u u = u u = f u f u u De formule i met opzet in e vorm op e tweee regel gechreven: e huiige waare van e optie kun je nu herkennen al een gewogen gemiele van e toekomtige waaren. Stel namelijk u q = en q = u u Merk op at 0 q en at q + q =, zoat q = q. Je ziet at e huiige waare van e optie juit het gewogen gemiele i van e toekomtige waaren met e gewichten q en q. Je kunt q en q opvatten al kanen en e laatte formule zegt an at e huiige waare van e optie e verwachte toekomtige waare bij gebruik van eze kanen i. Het zal uielijk zijn at het hier om techniche kanen gaat ie in elk geval niet irect iet te maken hebben met kanverelingen op e aanelenmarkt. Maar eze manier om e huiige waare al verwachtingwaare van toekomtige waaren uit te rukken maakt het nu mogelijk om e rijke techniek van e kanrekening te gaan gebruiken. De gewichten q en q hebben ook een bijzoner verban met e prijzen van het aaneel. Je kunt gemakkelijk narekenen at = q + ( q) u, u at e huiige koer van het aaneel gelijk i aan het met e gewichten q en q gewogen gemiele van e koeren aan het eine van e perioe. Al je eze gewichten weer al kanen opvat, an betekent it at e huiige koer gelijk i aan e verwachtingwaare van e koer aan het eine van eze perioe. Een kanmoel met eze eigenchap heet in e kanrekening ook wel een martingaal. In termen van kanbomen i een martingaal een boom met uanige gewichten at alle takken in balan zijn. Oorpronkelijk weren martingalen betueer al moellen voor eerlijke pelen, at wil zeggen pelen waarbij e verwachte uitkering in ieere rone gelijk i aan e inzet. De aarbij ontwikkele martingaal-theorie heeft inmiel ingang gevonen in 8 Black-Schole op e TI-8

5 bijna alle eelgebieen van e kanrekening. Je kunt tenlotte nog even kijken wat e algemene formule voor het concrete getallenvoorbeel van e vorige paragraaf oplevert. Om van e tak in figuur een martingaal te maken, moet je e gewichten q en q zo kiezen at 45 = q 60 + ( q)40, u moet q = -- en q = zijn. De waare van e optie aan het begin van e perioe i e verwachting van e waaren aan het eine, met eze getallen al kanen en u f -- = =, 50, zoal je 4 4 ook irect al gevonen ha. Even reumeren: hoe bepaal je e waare van een optie op tijtip t = 0? Kijk naar e waare van het aaneel op t = 0 en naar e beie mogelijke waaren op tijtip t =. Kie gewichten q en q lang e takken zo, at e beginwaare gelijk i aan het gewogen gemiele van e waaren bij e takken. De waare van e optie vin je oor ezelfe gewichten te gebruiken bij het wegen van e beie waaren van e optie op t =. Het i nu ook gemakkelijk om e bijbehorene heging trategie vat te leggen: e waareveranering Δf van e uplicerene portefeuille in een perioe kan alleen veroorzaakt woren oor een veranering in e aanelenkoer e waare van e belegging in contanten blijft namelijk onveraner. Al je x aanelen in portefeuille hebt en e aanelenkoer veranert met Δ, an veranert e waare van je portefeuille met Δf = x Δx. Hieruit volgt Δf x = Δ De heging proceure ie je zo krijgt wort ook wel een elta-hege genoem. Kijk nog even naar het voorbeel uit e vorige paragraaf. Hier i Δf = 7, 5 en Δ = 5 en u Δf x = = -- Δ Deze berekening krijg je lang e bovente tak, maar e anere tak levert hetzelfe reultaat. 5, = Het binaire één-perioemoel i natuurlijk geen realitich moel, zeker niet al het om een langere perioe gaat. Maar het i heel goe bruikbaar al bouwteen voor binaire bomen en met een voloene fijnmazige boom kom je al ichter bij e werkelijkhei, maar hoe krijg je een continu moel? En e vraag ie ook nog moet woren beantwoor i: hoe chat je toekomtige aanelenkoeren? Algemene binaire boom-moellen Een binaire boom moelleert e aanelenkoer geurene een aantal, zeg n, perioe. Binnen één perioe i het moel gewoon een binaire tak, at wil zeggen at er twee mogelijke ontwikkelingen van e aanelenkoer zijn. 45 / / fig. 4 Voorbeel van een twee-perioen binair moel Met behulp van e technieken uit e vorige paragraaf kun je ook e waare van een optie in een binaire boom bepalen. Om te beginnen, bereken je e gewichten ie van e boom een martingaal maken (zie figuur 4). Nu kun je e waare van e optie op ieere plaat in e boom recurief berekenen, beginnen bij het uitoefentijtip n. Het einreultaat, e waare van e optie op tijtip t = 0, kun je ook irect in één keer uitrekenen, namelijk al verwachte optiewaare op tijtip n waarbij e verwachtingen met betrekking tot e kanen lang e takken van e boom genomen woren. Concreet betekent it at je ieer pa van t = 0 naar t = n volgt en aaraan al kan het prouct van e gewichten lang it pa toekent. Het met eze kanen gewogen gemiele van e mogelijke optiewaaren op tijtip n i an e beginwaare van e optie. In figuur 4 i eze proceure voor een twee-perioen boom uitgewerkt. Omcirkel vin je e aanelenprijzen van het moel. Vervolgen zijn e martingaal-gewichten bereken. Al voorbeel i een Europee call optie met trikeprij K = 45 genomen, waarvan e waare op tijtip t = gelijk i aan max( 0, S 45). Deze getallen taan boven e cirkel. Vanhieruit bereken je an recurief e optieprijzen in e voorafgaane tijtippen. De heging trategie in it voorbeel kun je weer met e eltaregel vinen. In e eerte perioe i 5 x = = -- en u y = f x = = De trategie betaat u uit het aanchaffen van 5 aaneel en het lenen van 5. De trategie in e tweee perioe hangt af van e koerontwikkeling in e eerte perioe: al e koer naar 50 omhooggegaan i, an wort 5 5 x = = en y = 5 50 = 45 en in het anere geval, u al e koer in e eerte perioe omlaaggegaan i, wort x = -- en y =. -- Je ziet hier u at e portefeuille aan het eine van ieere perioe aan e koerontwikkeling in e voorafgaane perioe aangepat moet woren. Zoiet heet an ook een ynamiche heging trategie Cox-Ro-Rubintein binomiaal moel Een bijzoner geval van e binaire boom i een binomiale boom waarbij e tappen naar boven en beneen bij ieere tak volgen eenzelfe verhouing gaan. Dit moel, in 979 voorgetel oor Cox, Ro en Rubintein, leent / / /4 /4 Nieuwe Wikrant 7-/ecember 007 9

6 zich vooral voor e limietovergang al je e boom tee fijner laat woren. fig. 5 Binomiale boom volgen het Cox-Ro-Rubintein moel In het binomiale moel heb je in ieere perioe twee mogelijkheen voor e ontwikkeling van e aanelenprij: eze kan van naar u tijgen of naar alen. De factoren u en zijn voor alle takken hetzelfe en voloen aan < < u, want aner zou er een mogelijkhei voor arbitrage zijn. De boom ie je op eze takken opbouwt recombineert, at wil zeggen at takken weer amenkomen, maar at maakt voor e verere analye weinig uit (zie figuur 5). Om e waare van een optie in het binomiale moel te kunnen berekenen, heb je e gewichten q en - q noig ie van e boom een martingaal maken. Daarvoor moet q u + ( q) = gelen, of ook qu + ( q) =. Dit heeft al oploing: u q = en q = u u Merk op at je overal in e boom ezelfe gewichten q en q tegenkomt; it wort natuurlijk oor e bijzonere tructuur van e binomiale boom veroorzaakt. De waare van een optie kan vervolgen recurief bereken woren, beginnen met e waare f T ( ) op het uitoefentijtip T. Door nu gebruik te maken van een aantal reultaten uit e kanrekening, oner meer het benaeren van kanverelingen met een normale vereling, i op eze manier e Black-Scholeformule voor t = 0 en r = 0 vinen. Een continu moel voor e koerontwikkeling van een aaneel in het tijinterval [0, T] krijg je oor it interval in tee kleinere perioe van lengte Δt op te pliten en zo een rij van binomiale bomen met tee ichtere vertakkingen te contrueren. Het continue moel i e limiet van it proce al je Δt naar 0 laat gaan. Al je e perioe tee korter laat woren, zullen ook e groeifactoren u en aangepat moeten woren. Al eze contant zouen zijn, exploeert namelijk het hele prijproce en aar komt geen zinnige limiet uit tevoorchijn. De prijtappen zullen kleiner woren al Δt afneemt. Door nu eze moelparameter litig te kiezen, kun je ervoor zorgen at er niet mi gaat bij e limietovergang. Het blijkt at e keuze = a Δt en u = + b Δt het oet. Let wel even op: e rie parameter a, b en q zijn niet onafhankelijk van elkaar, want q i een functie van u en en u van a en b. Precie zit e zaak al volgt in elkaar: q a Δt a = = = u ( a + b) Δt a + b b en u q = a + b De groothei σ uit e Black-Scholeformule taat voor ab en heet e volatiliteit van e aanelenprij. Deze geeft grofweg weer hoe grillig e aanelenkoer in e tij verloopt. Hoe groter a en b, hoe groter e bewegingen op e aanelenmarkt. Je hebt nu e wel eenvouigte toegang tot e waarering van Europee optie gezien. Ook in e praktijk gebruikt men veelal boommoellen, bijvoorbeel om prijzen voor ingewikkele optie numeriek te bepalen. Kijk nu nog een naar e Black-Scholeformule: f(t, )i e waare van e optie op tijtip t, terwijl e aaneelkoer op at moment i. Je krijgt eze waare al volgt: vermenigvulig e huiige koer met een kan Φ, ie afhangt van en e trikeprij K, e marktrente r, e volatiliteit σ en e reterene looptij T t. De volatiliteit moet je chatten uit het verloop van e koer van het aaneel in het recente verleen. Vervolgen verminer je it getal met e trikeprij K, vermenigvulig met een factor ie afhangt van e marktrente r en e reterene looptij T t en met een kan Φ ie van ezelfe grootheen afhangt al e eerte, maar wat kleiner i. Noten Wout e Goee Faculteit Wikune en Natuurwetenchappen, Univeriteit Groningen [] Prof. Dr. Herol Dehling Ruhr-Univerität Bochum, Bochum, Deutchlan. [] Dehling, H. (999). De wikune achter e Nobelprij voor Economie 997. In: B. e Smit, J. Top (re.) Speeltuin van e wikune. Diemen: Veen Magazine. Literatuur Black, F. & M. Schole (97). The pricing of Option an Corporate Liabilitie. Journal of Political Economy 8, Cox, J.C., S.A. Ro & M. Rubintein (979). Option Pricing: A Simplifie Approach. Journal of Financial Economic 7, 9-6. Hull, J.C. (997). Option, Future an Other Derivative. Prentice Hall International. 0 Black-Schole op e TI-8

Voorkennis + lijst met standaardintegralen

Voorkennis + lijst met standaardintegralen Scheien van variabelen een oplosmethoe voor eerste ore-ifferentiaalvergelijkingen WISNET-HBO NHL upate mei 2009 Inleiing Het met pen en papier berekenen van e analytische oplossing van een eerste ore ifferentiaalverglijking

Nadere informatie

15 Financiële reorganisatie

15 Financiële reorganisatie 15 Finaniële reorganisatie hoofstuk 15.1 A 15.2 C 15.3 A 15.4 B 15.5 C 15.6 D 15.7 D 15.8 A 15.9 C 15.10 D 15.11 B 3.000.000 + 4.000.000 3.000.000 = 4.000.000 15.12 C 15.13 C ((3.000 + 2.000 4.000) / 3.000)

Nadere informatie

Locatienieuws. BSO Giekerk Januari 2016. Beste ouders/verzorgers,

Locatienieuws. BSO Giekerk Januari 2016. Beste ouders/verzorgers, Locatienieuws BSO Giekerk Januari 2016 Beste ouers/verzorgers, Allereerst wensen we ieereen vanuit e BSO een goe en gelukkig 2016! Na Sinterklaas en Kerst achten we vanaf 4 januari weer van start te gaan

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken Hoofstuk 6 - Nieuwe grafieken Voorkennis V-a Van lijn k is het hellingsgetal en het startgetal en e formule is = +. Van lijn l is het hellingsgetal en het startgetal en e

Nadere informatie

1 Functies die aan verandering onderhevig zijn

1 Functies die aan verandering onderhevig zijn Veraneringsprocessen in e tij (eerste ore) upate april 2009 copyright WISNET-NHL Lees eerst aanachtig e inleiing 0 Inleiing In eze les, ie niet beslist van begin tot ein oorgewerkt hoeft te woren, vin

Nadere informatie

Adres: Kerkstraat 26 Postcode en plaats: 3286 AK Klaaswaal Telefoonnummer: 0187-480 447. Datum start: 15 december 2012 Datum goedgekeurd:

Adres: Kerkstraat 26 Postcode en plaats: 3286 AK Klaaswaal Telefoonnummer: 0187-480 447. Datum start: 15 december 2012 Datum goedgekeurd: Plan van aanpak Huisartsenpost 't Hellegat Ares: Kerkstraat 26 Postcoe en plaats: 3286 AK Klaaswaal Telefoonnummer: 0187-480 447 E-mailares: Scope van eze RIE: Gebruikte inventarisatievragenlijst: info@haphellegat.nl

Nadere informatie

Afgeleiden berekenen met DERIVE

Afgeleiden berekenen met DERIVE /09/007 Afgeleien met DERIVE.fw 18:48:0 Afgeleien berekenen met DERIVE In DERIVE zijn alle regels ingebouw waarmee je ook op papier afgeleien berekent: lineariteit, prouct- en quotiëntregel, kettingregel.

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 4 Voorkennis V-1 a De oörinaten zijn A( 2, 1), B(2, 3) en C(5, 4 Qw ). V-2 a Per stap van 1 naar rehts gaat e lijn Qw omhoog. Vanuit C ga je 7 stappen naar rehts en us 7 Qw = 3 Qw omhoog. Omat 4 Qw + 3

Nadere informatie

Huishoudelijk Reglement van. Uitvaartvereniging De Laatste Eer Ursem-Schermer. statutair gevestigd Ursem

Huishoudelijk Reglement van. Uitvaartvereniging De Laatste Eer Ursem-Schermer. statutair gevestigd Ursem Huishouelijk Reglement van Uitvaartvereniging De Laatste Eer Ursem-Schermer statutair gevestig Ursem 1 Inhousopgave huishouelijk reglement Blazije 2 Blazije 3 Blazije 4 Blazije 5 Blazije 6 Inhousopgave

Nadere informatie

Locatienieuws. Het Zonnetje Januari 2016. Beste ouders/verzorgers,

Locatienieuws. Het Zonnetje Januari 2016. Beste ouders/verzorgers, Locatienieuws Het Zonnetje Januari 2016 Beste ouers/verzorgers, Allereerst wensen we ieereen een goe en gelukkig 2016! Na e Kerstvakantie achten we vanaf 4 januari weer van start te gaan met gewone werkweken,

Nadere informatie

Locatienieuws. t Protternêst Februari 2016. Beste ouders/verzorgers,

Locatienieuws. t Protternêst Februari 2016. Beste ouders/verzorgers, Locatienieuws t Protternêst Februari 2016 Beste ouers/verzorgers, Allereerst wensen wij ieereen een goe en gelukkig 2016! Na Sinterklaas en Kerst achten we vanaf 4 januari weer van start te gaan met gewone

Nadere informatie

VAN DER LOUW GRAFISCH CENTRUM

VAN DER LOUW GRAFISCH CENTRUM Op onze Special Projects af - eling woren innovatieve promotieartikelen en verpakkingen ontworpen ie aan al uw wensen voloen. Heeft u zelf een goe iee, an werken wij at verer uit. Heeft u zelf géén iee,

Nadere informatie

risico beheersen maakt het verschil cfo van senior living group over performance management in de zorgsector aart de zitter jerry de brie

risico beheersen maakt het verschil cfo van senior living group over performance management in de zorgsector aart de zitter jerry de brie controlling CFO BAROMETER ata riven cfo De CFO Barometer is een onafhankelijk research initiatief van e reactie van CFO Magazine in samenwerking met EY. Bij een representatief staal van om en bij e tweehoner

Nadere informatie

Locatienieuws. BSO de Reinbôge Januari 2016. Beste ouders/verzorgers, Even voorstellen

Locatienieuws. BSO de Reinbôge Januari 2016. Beste ouders/verzorgers, Even voorstellen Locatienieuws BSO e Reinbôge Januari 2016 Beste ouers/verzorgers, Allereerst wensen we ieereen vanuit e BSO een goe en gelukkig 2016! Na Sinterklaas en Kerst achten we vanaf 4 januari weer van start te

Nadere informatie

Locatienieuws. KDV Mearkelân Februari 2016. Beste ouders/verzorgers, Welkom! Prietpraatje

Locatienieuws. KDV Mearkelân Februari 2016. Beste ouders/verzorgers, Welkom! Prietpraatje Locatienieuws KDV Mearkelân Februari 2016 Beste ouers/verzorgers, Allereerst wensen wij ieereen een goe en gelukkig 2016! Na Sinterklaas en Kerst achten we vanaf 4 januari weer van start te gaan met gewone

Nadere informatie

Stoommachineromantiek voor wiskundigen

Stoommachineromantiek voor wiskundigen Stoomlocomotieven rijen ankzij hun stoomschuif. Van een stoomschuif kun je een Zeuneriagram tekenen en aar kan an vervolgens e loop van e locomotief geoptimaliseer woren. Het spoor bijster? Niet meer na

Nadere informatie

Optimising work environments. www.sirksekuur.be. www.idewe.be

Optimising work environments. www.sirksekuur.be. www.idewe.be 2012 Optimising work environments www.iewe.be Fluiten mag bij veilig gerag 2012 Januari m 2 9 16 23 30 3 10 17 24 31 w 4 11 18 25 5 12 19 26 v 6 13 20 27 7 14 21 28 1 8 15 22 29 www.iewe.be Optimising

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 - Statistiek

Hoofdstuk 3 - Statistiek V-1a e Voorkennis Bij e rehter tael is het zinvol een lijniagram te tekenen, want aar zit een ontwikkeling in e tij in. De linker tael estaat uit los van elkaar staane merken en typen. aantal auto s aantal

Nadere informatie

BSO Giekerk locatie nieuws

BSO Giekerk locatie nieuws BSO Giekerk locatie nieuws Oktober 2015 Beste ouers/verzorgers, Wij vinen het fijn at we u oor miel van een nieuwsbrief e sfeer kunnen laten proeven van e Kinerwou groep/locatie van uw kin(eren). Leuke

Nadere informatie

Locatienieuws. POV 't Healtsje BSO de Beamhutte Februari 2016. Beste ouders/verzorgers,

Locatienieuws. POV 't Healtsje BSO de Beamhutte Februari 2016. Beste ouders/verzorgers, Locatienieuws POV 't Healtsje BSO e Beamhutte Februari 2016 Beste ouers/verzorgers, Allereerst wensen we ieereen vanuit e POV en BSO een goe en gelukkig 2016! Na Sinterklaas en Kerst achten we vanaf 4

Nadere informatie

Locatienieuws. POV Protternêst Januari 2016. Beste ouders/verzorgers,

Locatienieuws. POV Protternêst Januari 2016. Beste ouders/verzorgers, Locatienieuws POV Protternêst Januari 2016 Beste ouers/verzorgers, Allereerst wensen wij ieereen een goe en gelukkig 2016! Na Sinterklaas en Kerst achten we vanaf 4 januari weer van start te gaan met gewone

Nadere informatie

Energienota gemeente Emmen

Energienota gemeente Emmen RIS.5449 Energienota gemeente Emmen Deel 2: Werken aan groene groei Energieprogramma 2012-2015 November 2011 Inhousopgave pagina 1. Inleiing 3 2. Big Five 3 3. Green Deal Noor-Neerlan 4 4. De opgave 5

Nadere informatie

Hoofdstuk 11A - Rekenen

Hoofdstuk 11A - Rekenen Voorkennis V- aantal grammen 000 00 aantal euro s 6,0 0,006, Je moet e, etalen. V-a aantal m 00 aantal euro s 4 000 6 V-a Hij moet e 6.,- etalen. aantal m 00 0,00 aantal euro s 4 000 6 6 Hij krijgt m mortel

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 0 Voorkennis: Differentiëren en rekenregels lazije 0 V-a h ( ) 0 f () t 6 t + t 0 t + t n () t t t 7 t 6t e k ( p) p p + 0 0p 7 p g ( ) + 08 V-a f( ) ( + ) 6 f ( ) 6 h ( ) ( + 9) 8 gt () tt ( + t ) t +

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 110 Voorkennis V-1a Isaa maakt e zoetste limonae, want hij oet het minste water ij e siroop. Bij elk glas siroop oet hij 3,5 glazen water. Henk maakt e minst zoete limonae. Bij elk glas siroop oet hij

Nadere informatie

Beleidsnota inzake Planologische afwijkingsmogelijkheden volgens artikel 4 bijlage II van het Besluit omgevingsrecht, 3 e herziening.

Beleidsnota inzake Planologische afwijkingsmogelijkheden volgens artikel 4 bijlage II van het Besluit omgevingsrecht, 3 e herziening. Beleisnota inzake Planologische afwijkingsmogelijkheen volgens artikel 4 bijlage II van het Besluit omgevingsrecht, 3 e herziening. Op 22 november 2014 is e Beleisnota inzake Planologische afwijkingsmogelijkheen

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 - Overgangsmatrices

Hoofdstuk 9 - Overgangsmatrices lazije 232 1a Er zijn 497 auto s e Eenweg ie via het plein e Gansstraat gaan. De som e eerste kolom geeft het aantal auto s e Eenweg, us 900. De som alle getallen in e matrix is 4000, het aantal auto s

Nadere informatie

( ) 1. G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 1/13 = =

( ) 1. G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 1/13 = = C von Schwartzenberg 1/1 1a 1b 1c 1 1 1 4 5 4 6 4 4 5 f ( ) 6 + 6 6 + 6 6 f '( ) 4 + + 4 4 + + 4 g( ) 5 8 g '( ) 5 1 5 Onthou: y y '( ) 1 8 8 1 1 1 h + + + h'( ) 1 1 7 6 6 k ( ) ( 1) + 8 k '( ) 1( 1 )

Nadere informatie

Experimentele voorschriften voor de dimensionering van de ballast voor zonnepanelen op platte daken

Experimentele voorschriften voor de dimensionering van de ballast voor zonnepanelen op platte daken Experimentele voorschriften voor e imensionering van e ballast voor zonnepanelen op platte aken Wij vestigen uw aanacht op e auteursrechten ie van toepassing zijn op it werk. In it kaer is elke reprouctie,

Nadere informatie

Aanpak geweld Peelland

Aanpak geweld Peelland Aanpak gewel Peellan Waarom gewel? We willen at ieereen zich veilig kan voelen in zijn of haar woning, in e buurt, en in het orp of e sta. Ook moeten mensen zich veilig kunnen voelen tijens e uitvoer van

Nadere informatie

ZMC is een van de grootste Europese producenten op het gebied van transportkettingen. Het bedrijf is opgericht in 1955.

ZMC is een van de grootste Europese producenten op het gebied van transportkettingen. Het bedrijf is opgericht in 1955. ZMC Transportketting ZMC is een van e grootste Europese proucenten op het gebie van transportkettingen. Het berijf is opgericht in 1955. ZMC prouceert genormaliseere transportkettingen volgens DIN 8181,

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 Meten en kijken

Hoofdstuk 7 Meten en kijken Opstap Hoeken, shaal en aanzihten O-1 /A = 48, /B = 125, /C = 85 en /D = 118 O-2a 20 80 135 167 O-3a 10 km = 10 000 m 4500 m = 4,5 km 560 m = 5600 m e 12 000 m = 120 m 2,9 m = 0,29 m f 1300 m = 13 m O-4

Nadere informatie

Algemene voorwaarden. Artikel Definities 1 Doel van de verzekering 2 Grondslag van de verzekering 3. 4 Arbeidsongeschiktheid

Algemene voorwaarden. Artikel Definities 1 Doel van de verzekering 2 Grondslag van de verzekering 3. 4 Arbeidsongeschiktheid REAAL UNIM Plus Arbeisongeschiktheisverzekering 0510 Algemene voorwaaren 36 12 27 11-06 Inhou Artikel Definities 1 Doel van e verzekering 2 Gronslag van e verzekering 3 Arbeisongeschikthei 4 Vaststelling

Nadere informatie

Wijken voor bewoners Asset-Based Community Development in Nederland

Wijken voor bewoners Asset-Based Community Development in Nederland AB Wijken voor bewoners Asset-Base Community Development in Neerlan AB Wat is e ABCD-aanpak? De Asset-Base Community Development (ABCD)-benaering is een van oorsprong Amerikaanse methoe, ie lokale talenten

Nadere informatie

Blok 2 - Vaardigheden

Blok 2 - Vaardigheden Blok - Vaarigheen lazije a Het startgetal is en het hellingsgetal is De formule ie ij e lijn ast is y x De lijn k heeft het zelfe hellingsgetal als e lijn l, us De formule is y x+ 7 e Het hellingsgetal

Nadere informatie

Doorstromen of op tijd rijden? Of allebei? De besturing van knelpunten in het spoorwegnet

Doorstromen of op tijd rijden? Of allebei? De besturing van knelpunten in het spoorwegnet 1 Doorstromen of op tij rijen? Of allebei? De besturing van knelpunten in het spoorwegnet Alfons Schaafsma 1 Bijrage aan het Colloquium Vervoerplanologisch Speurwerk 2006 http://www.vervoersplanologischspeurwerk.nl

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Rekenen. Opstap Rekenen. Voor 825 gram kaas moet je 6,60 betalen.

Hoofdstuk 6 Rekenen. Opstap Rekenen. Voor 825 gram kaas moet je 6,60 betalen. Opstap Rekenen O-1a gewiht in grammen 150 1 650 erag in euro s 1,20... 5,20 Juith moet voor 650 gram kaas 5,20 etalen. gewiht in grammen 150 1 825 erag in euro s 1,20... 6,60 Voor 825 gram kaas moet je

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a 4 Hoofstuk - Ruimtefiguren Voorkennis De verpakking heeft rie vershillene vormen. De ovenkant en e onerkant heen ezelfe vorm. Hetzelfe gelt voor e voorkant en e ahterkant en voor e twee zijkanten.

Nadere informatie

Christelijk-sociaal over GOA-program

Christelijk-sociaal over GOA-program Commentaar uit het Wetenschappelijk /nstituut Christelijk-sociaal over GOA-program f Het antwerp-program van het COA heeft heel wat reacties uit e sociale organisaties opgeroepen. Enerzijs zijn er tweemaal

Nadere informatie

Bijlage A bij hoofdstuk 1 1 Het kostprijsmodel van Dienst Regelingen 2 Tariefnota Bestuursraad

Bijlage A bij hoofdstuk 1 1 Het kostprijsmodel van Dienst Regelingen 2 Tariefnota Bestuursraad Bijlagen Bijlage A bij hoofstuk 1 1 Het kostprijsmoel van Dienst Regelingen 2 Tariefnota Bestuursraa Bijlage B bij hoofstuk 3 Begrotings- en jaarplancyclus Bijlage C bij hoofstuk 4 1 Verantwooring 2 Begrippen

Nadere informatie

Evenredigheden en gelijkvormige figuren

Evenredigheden en gelijkvormige figuren 3 Evenreigheen en gelijkvormige figuren Dit kun je al 1 een reuk herkennen als verhouing 2 rekenen met (gelijke) reuken 3 vraagstukken oplossen met ehulp van een vergelijking 4 een grafiek aflezen 5 rekenen

Nadere informatie

Grondwater, wie. doet wat?

Grondwater, wie. doet wat? Gronwater, wie oet wat? Gronwater, wie oet wat? Inhou 1 Wat is gronwater? 3 2 Wat kunt u zelf oen? 3 3 Wat kan e gemeente voor u betekenen? 4 4 Wat is e rol van van het waterschap? 6 5 Wat oet e provincie?

Nadere informatie

Blok 3 - Vaardigheden

Blok 3 - Vaardigheden Moerne wiskune 9e eitie Havo A eel Blok 3 - Vaarigheen lazije 19 1a 1, 3 3000 = 8900 = 8310, 0, 07 000000 = 8000 = 810, 300 1700 = 6870000 = 6910, 8 0, 000 0, 007 = 0, 000001 = 1, 10 6 e 6344, 1 781, 98

Nadere informatie

Auteurs: Renaud, De Keijzer isbn: 978-90-01-78886-5

Auteurs: Renaud, De Keijzer isbn: 978-90-01-78886-5 Hoofstuk 11 Opgve 1 An Het Finnieele Dgl vn zterg 16 pril 2011 zijn onerstne optienoteringen ontleen: Klsse Cll/Put Serie (flooptum) Uitoefenprijs Slotkoers Looptij Rente jrsis ING Cll April 2011 8,60

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Grafieken en vergelijkingen

Hoofdstuk 1 Grafieken en vergelijkingen Hoofstuk 1 Grafieken en vergelijkingen Opstap Formule, grafiek en vergelijking O-1a Om uur staat het water 6 6 mm hoog in e regenmeter. aantal uren h... h 6 hoogte water aantal uren v :... v 6 hoogte water

Nadere informatie

Standaardisatie en z-scores

Standaardisatie en z-scores Prof. dr. Herman Callaert Inhoudtafel 1 Standaardiatie bij concreet cijfermateriaal... 1 1.1 Een eerte voorbeeld: de punten van Pol... 1 1.1.1 De ruwe core... 1 1.1.2 Vergelijken met het klagemiddelde...

Nadere informatie

- II.20 - Johan Baeten

- II.20 - Johan Baeten 8 8.1 Inleiene principes bieen als vooreel een mechanisch eenvouige constructie en een hoge gevoelighei. Ze vragen echter ook een compleere elektronica om het bekomen uitgangssignaal achteraf lineair te

Nadere informatie

VerzuimZorgPakket. verzekeringen. uw (financiële) klappenvangers. Goes, Bergen op Zoom, Middelburg, Spijkenisse, Terneuzen, Zierikzee.

VerzuimZorgPakket. verzekeringen. uw (financiële) klappenvangers. Goes, Bergen op Zoom, Middelburg, Spijkenisse, Terneuzen, Zierikzee. VerzuimPakket uw (financiële) klappenvangers verzekeringen Goes, Bergen op Zoom, Mielburg, Spijkenisse, Terneuzen, Zierikzee. De exclusieve totaaloplossing van zorg en verzuim voor e onernemers in Zuiwest-

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a / V-2a e Voorkennis Zie e figuur hieroner. Zie e figuur hieroner. De lijn n en het punt P kunnen ook aan e anere kant van lijn l liggen. Zie e figuur hieroner. P Zie e figuur hieroven. In vierhoek

Nadere informatie

It Protternest locatienieuws

It Protternest locatienieuws It Protternest locatienieuws juni 2015 Beste ouers/verzorgers, Het mooie weer wacht op ons, e zomervakantie staat voor eur En at betekent at wij met het nieuwe thema Zomerlab aan e slag gaan! Kineren onerzoeken

Nadere informatie

Hoofdstuk 12B - Breuken en functies

Hoofdstuk 12B - Breuken en functies Hoofstuk B - Breuken en funties Voorkennis V-a g V-a h 0 0 i 9 j 0 0 0 9 0 9 e k 0 f l 9 9 Elk stukje wort : 0 0, meter. a 0 0 0 00 L 0, 0, 0,0 0,0 0,0 De lengte van elk stukje wort an twee keer zo klein.

Nadere informatie

De kleur van. In dit nummer o.a.: Denktank Staatsliedenbuurt Wooninitiatief TaDaiMah Actieve bewonerscommissies Uw huurcontract opzeggen

De kleur van. In dit nummer o.a.: Denktank Staatsliedenbuurt Wooninitiatief TaDaiMah Actieve bewonerscommissies Uw huurcontract opzeggen Bewonersmagazine van Tablis Wonen Verschijnt rie keer per jaar Jaargang 1, nummer 03 ecember 2012 wonen De kleur van In it nummer o.a.: Nieuwe voorzitter aan e slag Werken aan kwaliteit Een (bran)veilige

Nadere informatie

Bezopen wiskunde. Enkele wiskundige modellen. Widmark model

Bezopen wiskunde. Enkele wiskundige modellen. Widmark model Bezopen wiskune In het artikel Doorzakken in Moelomgeving uit Signaal 17 (1997 pp. 21-22) i is te lezen hoe e moelomgeving van IP-Coach 4 gebruikt kon woren om alcoholafbraak in het menselijk lichaam te

Nadere informatie

Zorgkosten van ongezond gedrag

Zorgkosten van ongezond gedrag Zorgkosten van ongezon gerag Kosten van ziekten notities 2012-2 Marjanne in t Panhuis - Plasmans Guus Luijben Ruolf Hoogenveen A. van Leeuwenhoeklaan 9 3721 MA Bilthoven Postbus 1 3720 BA Bilthoven www.rivm.nl

Nadere informatie

Tentamen Signalen en Systemen 2: 3BB32, 10 maart 2009

Tentamen Signalen en Systemen 2: 3BB32, 10 maart 2009 Tentamen Signalen en Systemen : 3BB3, 10 maart 009 Omerkingen ij het tentamen - O het tentamen mag een (grafisch) rekenaaraat geruikt woren - Geruik van aner materiaal zoals oeken, aantekeningen of lato

Nadere informatie

Handleiding voor het maken van Papierarchitectuur, PA.

Handleiding voor het maken van Papierarchitectuur, PA. Hnleiing voor het mken vn Ppierrhitetuur, PA. Inleiing PA is het mken vn 3D ojeten uit een plt stuk ppier of krton. Eerst wort een ontwerp gemkt op ppier of krton. Door het snijen en vouwen vn het ontwerp

Nadere informatie

Wat is een optie waard?

Wat is een optie waard? Hoofdstuk III Wat is een optie waard? Herold Dehling 1. Inleiding In het najaar van 1997 werd de Nobelprijs voor Economie uitgereikt aan de Amerikaanse hoogleraren Robert C. Merton en Myron S. Scholes

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Blok - Vaarigheen lazije 0 a g h, p, p i p 0 p e q q q q q f 0 a a 0a a t t t t t t a Per weken is e groeifator,, 9 Een kwartaal heeft : weken. De groeifator per kwartaal is us, 990,. Een ag is -week,

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a 4 Voorkennis De eerste us vanuit Eer vertrekt om 7.03 uur. aantal 12 1 7 perentage 100 8,33 58,33 7 van e 12 is ongeveer 58,33%. Dat is e snelus, ie stopt niet ij elke halte. In it shema stoppen 2

Nadere informatie

Verzekeringsvoorwaarden

Verzekeringsvoorwaarden ARAG ProRechtPolis Particulier Verzekeringsvoorwaaren Inhousopgave zie Artikel Inleiing 1 Algemene regels voor e verzekering 2 Hoe oet u een beroep op e polis? 3 In w elke gevallen bestaat geen aanspraak

Nadere informatie

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af.

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af. Opgve 1 Vn twee korte en twee lnge luifers is een rehthoek geleg. Omt je geen fmetingen weet hngt e omtrek vn eze rehthoek f vn twee vrielen, nmelijk lengtekorteluif er en lengtelngeluif er. Welke formule

Nadere informatie

EEN SUCCCESVOLLE WEIDEVERNIEUWING BEGINT MET EEN BEWUSTE MENGSELKEUZE Deel A

EEN SUCCCESVOLLE WEIDEVERNIEUWING BEGINT MET EEN BEWUSTE MENGSELKEUZE Deel A EEN SUCCCESVOLLE WEIDEVERNIEUWING BEGINT MET EEN BEWUSTE MENGSELKEUZE Deel A Auteurs Alex De Vliegher ILVO Plant, Teelt en Omgeving Dirk Martens LTC Waaslan An Schellekens Gert Van e Ven Hooibeekhoeve

Nadere informatie

Locatienieuws. Het Mierennest Februari Beste ouders/verzorgers, Landelijke wetswijziging Van Peuterspeelzaal naar Peuteropvang

Locatienieuws. Het Mierennest Februari Beste ouders/verzorgers, Landelijke wetswijziging Van Peuterspeelzaal naar Peuteropvang Locatienieuws Het Mierennest Februari 2016 Beste ouers/verzorgers, Allereerst wensen we ieereen een goe en gelukkig 2016! Na Sinterklaas en Kerst achten we vanaf 4 januari weer van start te gaan met gewone

Nadere informatie

30/06/2005. Theoretische Inleiding bij de Fresnelproef

30/06/2005. Theoretische Inleiding bij de Fresnelproef 30/06/005 Theoretische Inleiing ij e Fresnelproef I Zichtaar maken van een Interferentiepatroon Licht kan eschreven woren als een elektromagnetische golf. Algemeen gelt voor een golf (us.v. ook voor een

Nadere informatie

11.1 Straling van sterren

11.1 Straling van sterren . Straling van sterren Opgave a De afstan ie het liht in een jaar aflegt, ereken je met e formule voor e snelhei. Geruik hierij e nauwkeurige waare voor e omlooptij van e aare om e in BINAS tael. s = v

Nadere informatie

4.1 Optische eigenschappen

4.1 Optische eigenschappen 4. Optische eigenschappen Opgave a De auto heeft een kleinere massa. Kunststof is flexiel: je krijgt niet gemakkelijk een euk. De auto roest niet. De kunststoffen moeten tegen e hoge temperaturen in e

Nadere informatie

REACTIE VAN DE NEDERLANDSCHE BANK INZAKE DE CONSULTATIE VAN HET WETSVOORSTEL TER IMPLEMENTATIE VAN DE CAPITAL REQUIREMENTS DIRECTIVE (CRD IV)

REACTIE VAN DE NEDERLANDSCHE BANK INZAKE DE CONSULTATIE VAN HET WETSVOORSTEL TER IMPLEMENTATIE VAN DE CAPITAL REQUIREMENTS DIRECTIVE (CRD IV) REACTIE VAN DE NEDERLANDSCHE BANK INZAKE DE CONSULTATIE VAN HET WETSVOORSTEL TER IMPLEMENTATIE VAN DE CAPITAL REQUIREMENTS DIRECTIVE (CRD IV) Deze reactie is oor De Neerlansche Bank aangeboen via e internet

Nadere informatie

Georg Fischer N.V. Prijslijst uitgave juni 2015. Vlinderklep type 578

Georg Fischer N.V. Prijslijst uitgave juni 2015. Vlinderklep type 578 Georg Fischer N.V. Prijslijst uitgave juni 2015 Vlinerklep 578 Complete leiingsystemen afgestem op uw toepassing water- en gasistributie Oplossingen voor water- en gasbeheer, oor nieuwe en gerenoveere

Nadere informatie

Tentamen Natuurkunde I 09.00 uur - 12.00 uur woensdag 7 januari 2009 docent drs.j.b. Vrijdaghs

Tentamen Natuurkunde I 09.00 uur - 12.00 uur woensdag 7 januari 2009 docent drs.j.b. Vrijdaghs Tentamen Natuurkune 9. uur -. uur woensag 7 januari 9 ocent rs.j.. Vrijaghs Aanwijzingen: Dit tentamen omvat 5 opgaven met totaal 5 eelvragen Maak elke opgave op een apart vel voorzien van naam, nummer

Nadere informatie

Auteur(s): M. Berger, P. Hollander Titel: Voortstuwing tijdens zwemmen Jaargang: 15 Jaartal: 1997 Nummer: 5 Oorspronkelijke paginanummers: 223-233

Auteur(s): M. Berger, P. Hollander Titel: Voortstuwing tijdens zwemmen Jaargang: 15 Jaartal: 1997 Nummer: 5 Oorspronkelijke paginanummers: 223-233 Auteur(s): M. Berger,. Hollaner Titel: Voortstuwing tijens zwemmen Jaargang: 15 Jaartal: 1997 Nummer: 5 Oorspronkelijke paginanummers: 223-233 Deze online uitgave mag, oner uielijke bronvermeling, vrij

Nadere informatie

Welke keuzes heb je op de verschillende beslismomenten? Benoem de fasen, toestanden, beslissingen en de

Welke keuzes heb je op de verschillende beslismomenten? Benoem de fasen, toestanden, beslissingen en de 2009 I 2008 I 2007 I 2006 II Opgve 1 R vn fortuin Z.Eiler verkoopt een boot Sjonnie verkoopt een uto Jn brengt pkjes ron in e bergen Benoem e fsen, toestnen en e beslissingen in bovenstne formulering.

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 Rekenen. Opstap Getallen en maten

Hoofdstuk 5 Rekenen. Opstap Getallen en maten Hoofstuk 5 Rekenen Opstap Getallen en maten O-1a Bij elkaar horen 10 2 en honer 10 4 en tienuizen 10 5 en honeruizen 10 6 en één miljoen 10 7 en 10 000 000 10 8 en honermiljoen 10 9 en één miljar 1000

Nadere informatie

H15 GELIJKVORMIGHEID VWO

H15 GELIJKVORMIGHEID VWO Hoofstuk 5 Gelijkvormighei VWO 5 Vergroten en verkleinen a 5 a 9 riehoekjes, zie plaatje: a 0,5:,9, en :, ij 9 inh 7 0,5,57 m ij 7 5 5,9 5,95 m 6,9 0,7 m 9 e 6 a a Die van ij Die van 0 ij 0, ie van 8 ij

Nadere informatie

jim stolze Binnenwerk Uitverkocht! (Herdruk).indd 1 10-06-11 11:19

jim stolze Binnenwerk Uitverkocht! (Herdruk).indd 1 10-06-11 11:19 jim stolze UITVERKOCHT! WELKOM IN DE AANDACHTSECONOMIE Binnenwerk Uitverkocht! (Herruk).in 1 10-06-11 11:19 UITVERKOCHT! 2011 Jim Stolze 2011 A.W. Bruna Uitgevers B.V., Utrecht Concept en ontwerp SILO

Nadere informatie

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde Oppervlkte vn riehoeken Verkennen Opgve 1 Je ziet hier twee riehoeken op een m-rooster. Beie riehoeken zijn omgeven oor eenzelfe rehthoek. nme: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg file: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg Hoeveel

Nadere informatie

CT5520. Juni 2006. Udo Ouwerkerk, 1040995 Floor van den Berg, 1093568

CT5520. Juni 2006. Udo Ouwerkerk, 1040995 Floor van den Berg, 1093568 CT550 Juni 006 Uo Ouwerkerk, 1040995 Floor van en Berg, 1093568 Voorwoor Dit rapport is gemaakt in het kaer van het ontwerp voor een breiing van een bestaane rinkwaterzuivering voor het vak CT550: Drinkwaterbereiing.

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-1a De punten op een afstan van 3 m van lijn l liggen op twee lijnen evenwijig aan l. De punten op een afstan van 5 m van punt liggen op een irkel met straal 5 en mielpunt. De vier snijpunten

Nadere informatie

INTENTIEVERKLARING AS HUURDER STUDENTEN HUISVESTINGS COMPLEX BLUE GRAY AMSTERDAM

INTENTIEVERKLARING AS HUURDER STUDENTEN HUISVESTINGS COMPLEX BLUE GRAY AMSTERDAM INTENTIEVERKLARING AS HUURDER STUDENTEN HUISVESTINGS COMPLEX BLUE GRAY AMSTERDAM Algemene informatie m.b.t. project en Veruurer/eigenaar: Het project Blue Gray is een initiatief van een particuliere partij

Nadere informatie

Hoofdstuk 11. Personeelsbeleid Leiden

Hoofdstuk 11. Personeelsbeleid Leiden Hoofstuk 11. Personeelsbelei Leien Samenvatting Als Leienaren gevraag wort aan wat voor soort werk zij enken als het gaat over een baan/werken bij e gemeente Leien, an heeft vier op e tien hier wel een

Nadere informatie

Het eerste standaard lager programma voor extreme toepassingen, dat uit voorraad geleverd kan worden. SNR - Industry

Het eerste standaard lager programma voor extreme toepassingen, dat uit voorraad geleverd kan worden. SNR - Industry Het eerste stanaar lager programma voor extreme toepassingen, at uit voorraa gelever kan woren. SNR - Inustry I N U S T R Y TN21NLa:TN21NLa 4/12/08 14:56 Page 2 Een speciaal kogellager programma voor e

Nadere informatie

Nieuwsbrief 1401 Januari 2014

Nieuwsbrief 1401 Januari 2014 Nieuwsbrief 1401 Januari 2014 Zomeractiviteit 29 juni 2013 I Pagina 3 Inhousopgave Voorwoor Even voorstellen: Ellen Hermans De Zomeractiviteit in twee verhalen Marion Suijker, een Gouwenaar aan het woor

Nadere informatie

Allemaal naar de peuterspeelzaal. Een planmatige aanpak van werving en toeleiding naar voor- en vroegschoolse educatie.

Allemaal naar de peuterspeelzaal. Een planmatige aanpak van werving en toeleiding naar voor- en vroegschoolse educatie. Allemaal naar e peuterspeelzaal Een planmatige aanpak van werving en toeleiing naar voor- en vroegschoolse eucatie Allemaal naar e peuterspeelzaal Een planmatige aanpak van werving en toeleiing naar voor-

Nadere informatie

Krommenie. Bristolrood Vurehout. Guishuis. Krommenie. Bristolrood Vurehout. Guishuis. Krommenie. Bristolrood Vurehout. Guishuis

Krommenie. Bristolrood Vurehout. Guishuis. Krommenie. Bristolrood Vurehout. Guishuis. Krommenie. Bristolrood Vurehout. Guishuis Tabellenboek gezonheismonitor 0-12 jarigen regio Toelichting: In e eerste kolommen staan e resultaten voor e Cj's in. De laatste kolommen geven het resultaat voor en. Wanneer het percentage van en/of ikgerukt

Nadere informatie

Proeftentamen Onderhoudsmanagement B-M / OHT richttijd: 90 minuten

Proeftentamen Onderhoudsmanagement B-M / OHT richttijd: 90 minuten 1. Wat is e efinitie van een organisatiestrutuur? a. De taakomshrijving van afelingen en meewerkers, alsmee e ingeouwe ommuniatiekanalen waaroor afelingen en meewerkers met elkaar in verining staan.. Een

Nadere informatie

De invloed van relationship quality op de brand equity in de business-to-businessmarketing: een case study bij TNO

De invloed van relationship quality op de brand equity in de business-to-businessmarketing: een case study bij TNO De invloe van relationship quality op e bran equity in e businesstobusinessmarketing: een case stuy bij TNO Martin Mol, Mei 2008 Universiteit Twente, Enschee Samenvatting Met name in e businesstobusinessmarketing

Nadere informatie

Een dag in het opleidingscentrum en het hoofdkwartier van de FBI Moordende concurrentie voor job bij FBI

Een dag in het opleidingscentrum en het hoofdkwartier van de FBI Moordende concurrentie voor job bij FBI 030_GPV1QU_20080614_VMGBI 12-06-2008 20:27 Pagina 30 30 Vacature zaterag 14 juni 2008 Een ag in het opleiingscentru en het hoofkwartier van e FBI Moorene concurrentie voor job bij FBI tekst Evy Ballegeer

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 - Statistische verwerking

Hoofdstuk 7 - Statistische verwerking lazije 191 V-1 De totale evolking in Latijns-Amerika omvatte ron 1880 19,6 miljoen mensen. Hiervan ehooren 76, 0% 45% tot e inianen. 16, 9 De ijehorene setorhoek is an 045, 360 16. Op soortgelijke manier

Nadere informatie

Het dichtsbijliggende tiental is 860. interval

Het dichtsbijliggende tiental is 860. interval Rekenen Nooro Uitevers v. Aronen Bij et satten van rooteen (lente, ewit, tijsuur, ) eruik je etallen, ie een enaerin zijn van e werkelijke waare en ie ani zijn om te ontouen o om mee te rekenen. Dit zijn

Nadere informatie

Gids voor het instellen van klassen

Gids voor het instellen van klassen Gid voor het intellen van klaen Viion ME - Gid voor het intellen van klaen Inhoud 1. Inleiding...2 2. Klaen toevoegen...4 3. Lemateriaal toevoegen...5 4. Aanbevolen werkwijzen...7 4.1. Lemateriaal ordenen...7

Nadere informatie

Ajodakt. Rekenen. Grote getallen. Hoofdrekenen. Hoofdrekenen groep 8 Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Colofon. Zelfstandig werken

Ajodakt. Rekenen. Grote getallen. Hoofdrekenen. Hoofdrekenen groep 8 Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Colofon. Zelfstandig werken Ajokt Hoofrekenen Grote getllen Rekenen Hoofrekenen groep 8 Optellen, ftrekken, vermenigvuligen en elen Colofon Vormgeving Vn Wermeskerken, Apeloorn innenwerk Ziner, Utreht omslg Antwooren Opmk PrePressMeiPrtners,

Nadere informatie

DE STICHTING ADMINISTRATIEKANTOOR

DE STICHTING ADMINISTRATIEKANTOOR k h h b S 4 n o g a g n DE STICHTING ADMINISTRATIEKANTOOR Onerbelcht ntrument van goe betuur n het famleberijf Een tchtng amntratekantoor (STAK) voor famleberijven een flexbele maner om e zeggenchap over

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 - Integreren

Hoofdstuk 4 - Integreren Hoofstuk - Integreren Moerne wiskune 9e eitie vwo B eel Voorkennis: Oppervlakten lazije 98 V-a BC Oppervlakte ABC Driehoek ABC is gelijkvormig met riehoek ADB us AC AB waaruit volgt at BC BD us BD BD c

Nadere informatie

ONTMOET DE BUGABOO DONKEY

ONTMOET DE BUGABOO DONKEY ONTMOET DE BUGABOO DONKEY De convertible kinerwagen voor kin, kineren én bagage. MONO DUO MONO De Bugaboo Donkey kan eenvouig - in rie clicks - veranert woren van een complete mono- naar een volwaarige

Nadere informatie

Locatienieuws. De Bijenkorf Januari 2016. Beste ouders/verzorgers,

Locatienieuws. De Bijenkorf Januari 2016. Beste ouders/verzorgers, Locatienieuws De Bijenkorf Januari 2016 Beste ouers/verzorgers, Een nieuw jaar voor e boeg, us allereerst e beste wensen! De eerste week van het nieuwe jaar begon hectisch met ijzel. Maar e opvang was

Nadere informatie

steun prijs 0,20 Zaterdag normale werkdag volgens PostNL

steun prijs 0,20 Zaterdag normale werkdag volgens PostNL steun prijs 0,20 Post in beweging 27-2-2014 - Uitgave Roe Morgen Amsteram CAO PostNL Confrontatie voorbereien hebben vaak te weinig uren om ron te kunnen komen en zij hebben e TOT har noig om nog iets

Nadere informatie

WATERWERKBLAD. LEIDINGMATERIALEN Koperen buizen, hulpstukken en verbindingen

WATERWERKBLAD. LEIDINGMATERIALEN Koperen buizen, hulpstukken en verbindingen WATERWERKBLAD LEIDINGMATERIALEN Koperen buizen, hulpstukken en verbiningen WB 2.2 A DATUM: JUNI 2004 Auteursrechten voorbehouen 1. Titels van e vermele norm en anere publicaties NEN 1006 Algemene voorschriften

Nadere informatie

Verluchtings. roosters. Traditionele roosters Toezichtluiken voor bad Plafondluiken Doorkijkluiken K attenluikje voor huisdieren

Verluchtings. roosters. Traditionele roosters Toezichtluiken voor bad Plafondluiken Doorkijkluiken K attenluikje voor huisdieren Verluchtings roosters Traitionele roosters Toezichtluiken voor ba Plafonluiken Doorkijkluiken K attenluikje voor huisieren 5 10 3 6 4 1 7 9 2 Verluchtingsroosters Inhou 1 2 3 De Nicoll service 4 De speciale

Nadere informatie

ZELF AAN DE SLAG VOOR DE NATUUR!

ZELF AAN DE SLAG VOOR DE NATUUR! ZELF AAN DE SLAG VOOR DE NATUUR! woorzoeker beer olfijn esperanza glasbak gorilla greenpeace greenteam hamerhaai ijsschots krokoil leew lipaar nijlpaar noorzee octops orka opapier platvis regenwo schilpa

Nadere informatie

Meetkunde 2 - Omtrek 2 - Cirkels. Versie 2a - donderdag 29 maart 2007

Meetkunde 2 - Omtrek 2 - Cirkels. Versie 2a - donderdag 29 maart 2007 eetkune 2 - Omtrek 2 - Cirkels Versie 2a - onerag 29 maart 2007 De cirkel is een verzameling punten op een vaste afstan van één punt (het mielpunt ). Je kunt een cirkel tekenen met een passer. De afstan

Nadere informatie