Lineaire Algebra: Speciaal Onderwerp 1. 1 Tomografie in Flatland
|
|
- Martina de Haan
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Lineaire Algebra: Speciaal Onderwerp 1 Tomografie in Flatland Jan Brandts 31 augustus Tomografie in Flatland Flatland is een tweedimensionale platte wereld waarin bewoners leven die driehoekig of vierkant of zelfs meerhoekig zijn. Als ultieme veelhoek schuifelen er zelfs cirkels in rond, zoals je hebt kunnen zien in Flatland The Movie. Deze tweedimensionale wereld leent zich prima voor het bestuderen van een vereenvoudigd model voor tomografie, al was het alleen maar omdat we van boven kunnen meekijken naar het inwendige van de bewoners. Dit is eigenlijk een beetje een merkwaardig idee, vooral omdat de Flatlanders zelf alleen maar elkaars buitenkant zien, oftewel, elkaars omtrek. Ze gruwelen bij het idee dat wij drie-dimensionale wezens zomaar hun inwendige zou kunnen bekijken. Je wilt waarschijnlijk zelf ook niet weten wat een vierdimensionaal wezen zou zien als hij op je neer kijkt vanuit de vierde dimensie! Toch zou dit voor medische toepassingen natuurlijk fantastisch zijn. Immers, er zou nooit meer iemand opengesneden hoeven te worden, noch om te kijken wat er aan de hand is, noch om bepaalde reparaties uit te voeren. Ook buiten de medische hoek zijn natuurlijk toepassingen te vinden, zoals bagage-controles op lucht- en andere havens. De perfecte bankoverval wordt ineens een reële optie. Niets, maar dan ook helemaal niets, kan nog verborgen blijven. Afbeelding 1. Doorsnedes van het inwendige verkregen middels medische tomografie. Helaas kunnen we geen gebruik maken van de vierde dimensie, en misschien is dat maar goed ook. Toch kunnen we middels wat lineaire algebra een heel eind komen om ons doel om een object van binnen te bekijken zonder het open te snijden, waar te maken. Achterliggend idee is dat je misschien wel heel vakkundig je handen zodanig kunt vouwen dat de schaduw ervan op de muur net een konijn is, maar als men met meerdere lampen vanuit verschillende richtingen 1
2 op die handen gaat schijnen en alle schaduwen worden bekeken, zal men toch concluderen dat het je handen zijn die worden beschenen, en zeker geen konijn. 1.1 Modelaannamen over anatomie en rookgedrag van Flatlanders We gaan ervan uit dat ook Flatlanders elkaar in hun donkere en barbaarse verleden al veelvuldig hebben opengesneden, zodat de anatomie van de diverse soorten Flatlanders goed bekend is. Daarnaast nemen we aan dat behoorlijk wat Flatlanders de dubieuze gewoonte hebben om (platte) sigaretten te roken. Zoals ook in andere dimensies, resulteert dit in verhoogde concentraties van roet in de diverse organen, en in de longen natuurlijk het meest. Tot slot nemen we aan dat de roetverzadiging binnen één en hetzelfde orgaan van een Flatlander gelijk is. Dus, ieder orgaan heeft zijn eigen, homogene roetverzadiging. Om deze concentraties te meten bestaat er in Flatland een soort straling met de volgende eigenschappen. Als je deze straling door een stukje weefsel van een Flatlander stuurt waar geen roet in zit, dan gaat het er ongehinderd doorheen. Is het stukje weefsel echter volledig verzadigd van roet, dan gaat er helemaal niets doorheen. Ligt de roetverzadiging echter tussen de nul en volledig in, dan hangt de hoeveelheid straling die door het weefsel heen gaat af van de lengte van de weg die de straling hierdoorheen moet afleggen. 1.2 Een wiskundig model We gieten dit als volgt in een wiskundig model. Eerste stap is dat we de roetverzadiging aan zullen duiden met een getal, bijvoorbeeld C, dat tussen de nul en de één ligt. Hierbij spreken we het volgende af. C = 0 is volledige verzadiging: zwart van het roet, er gaat niets doorheen; C = 1 staat voor helemaal geen roet, alles gaat erdoorheen; 0 < C < 1 staat voor tussenliggende waarden van roetverzadiging. Voor het gemak zullen we het hebben over zwart als C = 0, over wit als C = 1, en grijs als 0 < C < 1. Laat nu l de afstand zijn waarover de straling door een stukje weefsel gaat. Je kan je voorstellen dat hoe langer deze afstand, hoe minder straling er overblijft, tenzij C = 0. We beschrijven dit met de volgende formule, waarbij A de hoeveelheid straling is bij aanvang, en M de hoeveelheid die overblijft na over een afstand l door weefsel met roetverzadiging C is gegaan. We zullen ervan uit gaan dat dan M = C l A. (1) Deze formule heeft een aantal realistische eigenschappen. Stel bijvoorbeeld dat je een hoeveelheid A aan straling over een afstand m door een stukje tissue met grijstint C stuurt, dan blijft er C m A. Stuur je deze overgebleven hoeveelheid vervolgens over een afstand k door nog een stukje weefsel met dezelfde waarde van C, dan blijft er C k (C m A) over. Omdat geldt dat C k (C m A) = C k+m A (2) is hetzelfde resultaat als wanneer je formule (1) gebruikt om te zien wat je overhoudt als je diezelfde straling in één keer over een afstand k + m door dit weefsel stuurt. Eén en ander is geïllustreerd in Afbeelding 2. 2
3 Afbeelding 2. Schematische voorstelling van sommige aspecten van het model Andere realistische eigenschappen van formule (1) zijn Als C = 0 dan C l = 0 voor alle positieve l. Dun of dik zwart maakt niet uit. Als C = 0 en l = 0, dan is C l = 0 0 = 1. Zwart met dikte nul is wit! Als C = 1 dan C l = 1 voor alle positieve l, én voor l = 0. Wit is wit, voor alle diktes. 1.3 Een uitgewerkt voorbeeld Zoals gezegd is de anatomie van Flatlanders bekend. Hiermee bedoelen we dat we precies weten waar de diverse organen zich in het lichaam bevinden, en welke ruimte ze innemen. Hieronder staan van een driehoekige en een vierkante Flatlander de indeling in drie en vier organen getekend. Afbeelding 3. Anatomie van een driehoek en een vierkant. We nemen de driehoek als voorbeeld. Deze is onderverdeeld in drie driehoeken, de drie organen, die alledrie een bepaalde grijstint hebben. Het is mogelijk om deze grijstinten te berekenen door op drie manieren een straal met intensiteit A = 1 door deze Flatlander te sturen, en te meten wat ervan overblijft. Dit is weergegeven in Afbeelding 4. 3
4 Afbeelding 4. Het sturen van drie stralen door een driehoekige Flatlander. De informatie die deze procedure oplevert is de volgende. Er gaat een straal met intensiteit A = 1 over een afstand van k door het orgaan met grijstint C die vervolgens over een afstand k door het orgaan met grijstint D gaat. Stel dat je met de daarvoor benodigde apparatuur meet dat van die A = 1 er M 1 aan intensiteit overblijft. Je weet dan op grond van het model dat blijkbaar C k D k = M 1. (3) Ondanks dat k bekend is, is dit niet voldoende om C en D afzonderlijk uit te rekenen. Echter, de andere twee stralen geven eveneens aanleiding tot meetgegevens M 2 en M 3 en we weten dat D k E k = M 2 en C k E k = M 3. (4) De laatste drie vergelijkingen bij elkaar zijn wel voldoende om te bepalen wat C, D en E zijn. Om dat in te zien is het nodig om je de volgende rekenregels voor logaritmes te herinneren, log(ab) = log(a) + log(b) en log(a p ) = p log(a), voor alle a, b > 0 en p R. (5) Door nu van de bovenstaande drie vergelijkingen links en rechts de logaritme te nemen, en de rekenregels correct toe te passen, volgt dat k log(c) + k log(d) = log(m 1 ) k log(d) + k log(e) = log(m 2 ) k log(c) + k log(e) = log(m 3 ) De onbekenden in deze vergelijkingen zijn log(c), log(d), en log(e). De meetgegevens en dus ook hun logaritmes, en de afstanden k zijn bekend. Als we voor het gemak x 1 = log(c), x 2 = log(d), x 3 = log(e) schrijven, staat in (6) niets anders dan kx 1 + kx 2 = log(m 1 ) kx 2 + kx 3 = log(m 2 ) kx 1 + kx 3 = log(m 3 ) Dit is een stelsel van drie lineaire vergelijkingen voor drie onbekenden x 1, x 2 en x 3. We kunnen x 1, x 2 en x 3 hieruit oplossen en daarna C, D en E bepalen, in termen van M 1, M 2, M 3 en k. (6) (7) 4
5 1.4 Discussie en interpretatie van de lineaire algebra Dit uitgewerkte voorbeeld laat zien hoe een concreet probleem resulteert in lineaire algebra. In dit probleem staan de drie onbekende roetverzadigingen C, D, E centraal. Een manier om deze drie getallen te weten te komen, is ervoor te zorgen dat je er lineaire vergelijkingen voor afleidt. Iedere straal die je door de Flatlander stuurt zorgt voor zo n vergelijking. Opmerking 1: De logaritme van een meetwaarde is het inproduct tussen de vector van onbekende logaritmes van roetconcentraties in, en de vector van afgelegde afstanden door de drie organen. Bijvoorbeeld, de eerste vergelijking in (6) laat zich herschrijven als k log(c) log(m 1 ) = k log(c) + k log(d) + 0 log(e) = k, log(d). (8) 0 log(e) Ook bij andere modellen komt het voor dat je inproducten kunt uitrekenen met een onbekende vector, om op die manier de vergelijkingen op te stellen die de onbekende ontmaskeren. Opmerking 2: Het liefst zou je natuurlijk het inproduct nemen van bijvoorbeeld de vector met getallen 1, 0, 0 en de vector met onbekenden, omdat dat de direct oplosbare vergelijking C = M 1 zou opleveren. Helaas staat de geometrie (vorm) van de driehoekige Flatlander dat niet toe: het is onmogelijk om een rechte lijn door hem heen te tekenen die door precies één van zijn organen gaat. Bij de vierkante Flatlander uit Afbeelding 3 gaat dit overigens wel! Ieder orgaan moet minstens één straal door zich heen krijgen, omdat anders de corresponderende onbekende roetverzadiging in geen enkele vergelijking voorkomt, en je hem dus ook niet kunt uitrekenen. Echter, niet ieder drietal stralen is geschikt: Opmerking 3: Als je in Afbeelding 4 de straal door C en D een halve centimeter naar links of rechts zou verplaatsen evenwijdig aan de getekende straal, resulteert dit in vergelijking (??) vermenigvuldigd met een scalair, respectievelijk kleiner en groter dan één. Deze drie vergelijkingen corresponderen met één en hetzelfde vlak in R 3 en zijn dus niet voldoende om C, D en E te bepalen. Immers, de doorsnede van die drie vlakken is het vlak zelf. Gerelateerd hieraan zien we nu ook een alternatief voor de procedure gevolgd in Sectie??. Opmerking 4: Stuur behalve de eerste straal door C en D er een tweede doorheen die niet evenwijdig is aan de eerste, en die door C een lengte p aflegt ongelijk aan de lengte q door D. Als M de meetwaarde is bij deze straal, vinden we dat C p D q = M en dus p log(c) + q log(d) = log(m). (9) Door de bovenste vergelijking uit (6), behorend bij de eerste straal, hier p/k maal vanaf te trekken kunnen we log(d) en dus ook log(c) berekenen, al voordat we een straal door E hebben gestuurd! Zulke strategieën zijn in de tomografische praktijk helaas vrijwel onmogelijk te bepalen omdat ze voor ieder object weer anders zijn, zoals blijkt uit de verschillen tussen de twee Flatlanders uit Afbeelding 3, en al helemaal niet door het apparaat dat de straling uitzendt zelf. 1.5 Tot slot: de praktijk in medische tomografie In de praktijk is het meestal niet zo dat er van tevoren al bekend is in welke gebieden de roetverzadiging hetzelfde is, zoals we hier aannamen voor de organen van de Flatlanders. Om 5
6 dit probleem te omzeilen, wordt het object in denkbeeldige kleine kubusjes verdeeld en nemen we aan dat binnen ieder van die kubusjes het concentratie homogeen is. Dit is in de realiteit natuurlijk niet helemaal waar, dus we introduceren hier een modelleerfout. Door de kubusjes maar klein genoeg te kiezen zal deze fout kleiner en kleiner worden. Als je een menselijk hoofd van grofweg 30 bij 30 bij 30 centimeter echter in kubusjes van 1 bij 1 bij 1 millimeter verdeelt, heb je wel te maken met zo n 27 miljoen uit te rekenen onbekenden, waarvoor je dus ook minstens 27 miljoen vergelijkingen nodig hebt. Afbeelding 5. Opdelen in vakjes, een straal door ieder vakje. Dit verklaart waarom er wereldwijd nog steeds veel onderzoek plaatsvindt in het snel oplossen van grote stelsels vergelijkingen. Daarnaast zijn er methoden die genoegen nemen met een goede benadering van de oplossing, en hierdoor veel rekentijd uitsparen. Ook in Nederland wordt hier veel aan gewerkt. De bijdrage H.A. van der Vorst (1992). Bi-CGSTAB: a fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution of nonsymmetric linear systems. SIAM J. Sci. Statist. Comput. 13(2): van Prof. dr. Henk van der Vorst van de Universiteit Utrecht (inmiddels met emeritaat) over dit onderwerp is bekroond als het wereldwijd vaakst geciteerde wiskundige onderzoeksartikel gemeten over het decennium ! Merk op dat de snelheid van het oplossen van stelsels vergelijkingen vooral heel belangrijk wordt als je real-time wilt meekijken naar bepaalde processen binnen iemands schedel. Afbeelding 6. Real-time studie van de effecten van mobiele telefoons op de hersenen. 6
7 Je zou dan de oplossing van zo n stelsel met 27 miljoen onbekenden in een fractie van een seconde uit willen rekenen. Ondanks dat computers steeds sterker worden en de oplosmethoden steeds ingenieuzer, zijn dit soort uitdagingen nog steeds niet doeltreffend afgehandeld. Opmerking: Als je een computer leert om Gauss-eliminatie toe te passen op stelsels vergelijkingen, neem de benodigde rekentijd toe met de derde macht van het aantal onbekenden. Dus duurt het acht keer zolang om een stelsel met twee keer zoveel onbekenden op te lossen. Ga na: om een stelsel van 27 miljoen onbekenden in één seconde op te kunnen lossen zou je een stelsel van twee onbekenden in een onmogelijk korte tijd op moeten kunnen lossen. Natuurlijk is er ook aandacht voor het reduceren van het aantal benodigde stralen door met betere modellen te werken. Immers, niet iedere patient verdraagt tientallen miljoenen verschillend gerichte doses straling. Duidelijk is dat tomografie vele interessante multi-disciplinaire vragen opwerpt, waarvan de wiskundige vragen zeker niet het onbelangrijkst zijn! 2 Opgaven en vooruitblik Met onderstaande opgaven oefen je je vaardigheden in het opstellen van vergelijkingen voor een gegeven aantal onbekenden. Ze laten zien dat er verschillende vergelijkingen mogelijk zijn die allemaal dezelfde oplossing hebben. Sommige vergelijkingen laten zich echter veel gemakkelijker oplossen dan andere, en het kan enorm lonen hier goed over na te denken. Opgave 1: Een vierkante Flatlander met afwijkende anatomie In Afbeelding 3 zagen we de anatomie van een vierkante Flatlander. Omdat het mogelijk is om door ieder orgaan precies één straal te sturen, zijn de vergelijkingen voor de vier onbekenden wel heel gemakkelijk op te lossen. Ze zijn namelijk ontkoppeld. Echter, er zijn ook vierkante Flatlanders met de volgende anatomie: Afbeelding 7. Vier metingen aan een vierkante Flatlander met afwijkende anatomie. Neem voor het gemak aan dat de zijden van het vierkant lengte twee hebben. (a) Stel de vergelijkingen op die resulteren uit de stralen zoals aangegeven in Afbeelding 7. (b) Los deze vergelijkingen op: druk iedere C j uit in termen van M 1 t/m M 4. (c) Geef een alternatief voor de vier getekende stralen gebaseerd op Sectie 1.4, Opmerking 4. 7
8 Opgave 2: De n-hoekige Flatlander met n driehoekige organen Bekijk nu een n-hoekige Flatlander met n gelijke hoeken, en met n driehoekige organen. De drie hoekpunten van zo n orgaan zijn gelijk aan het middelpunt van de Flatlander, en twee opéénvolgende hoekpunten van de Flatlander zelf. De driehoek uit Afbeelding 3 en het vierkant uit Afbeelding 7 zijn hier voorbeelden van. Afbeelding 8. n-hoekige Flatlanders met een eenvoudige, regelmatige anatomie. Ontwikkel voor algemene waarden van n een strategie om de onbekende roetgehaltes in deze organen zo gemakkelijk mogelijk op te kunnen lossen. Opgave 3: De 5-hoekige Flatlander met 11 organen Onderstaande vijfhoekige Flatlander heeft een wat ingewikkeldere anatomie, hij bestaat uit maar liefst elf organen. Afbeelding 9. Vijfhoekige Flatlander met een ingewikkeldere anatomie Stel, je bent aleen geïnteresseerd in het roetgehalte van de inwendige vijfhoek. Bedenk een geschikte strategie om deze zo eenvoudig mogelijk te bepalen. 2.1 Aansluitend projectwerk bij Simuleren en Programmeren Bij het vak Simuleren en Programmeren in het voorjaarssemester is het mogelijk om dit onderwerp te kiezen voor projectwerk. Hierbij zal je dan in een groep van drie of vier personen strategieën ontwikkelen voor het algemene geval van een in n n hokjes opgedeeld vierkant, waarbij n erg groot kan worden. De berekening van bijvoorbeeld de afstand die een straal door een hokje aflegt (en dus van de coëfficiënten van de lineaire vergelijkingen ) en de berekening van de oplossing, alsmede de visualisering ervan in zwart-wit of zelfs in kleur (rood-groenblauw tinten) laat je dan zoveel mogelijk over aan de computer middels een zelfgeschreven computerprogramma. Hierbij leer je onder andere over de zgn. kleinste kwadraten methode. 8
Tomografie in Flatland. Jan Brandts. Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam. Amsterdam, 9 september 2008
Tomografie in Flatland Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Amsterdam, 9 september 2008 Tomografie Tomografie is de kunst van het bekijken van het inwendige
Nadere informatieHet metriek stelsel. Grootheden en eenheden.
Het metriek stelsel. Metriek komt van meten. Bij het metriek stelsel gaat het om maten, zoals lengte, breedte, hoogte, maar ook om gewicht of inhoud. Er zijn verschillende maten die je moet kennen en die
Nadere informatieRekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A
Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk
Nadere informatieFLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Nadere informatieLeve de Wiskunde! 2011 W I N G O! Uw Wingo-master van vandaag: Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam
Leve de Wiskunde! 2011 W I N G O! Uw Wingo-master van vandaag: Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam W I N G O = W I S K U N D E - B I N G O W I N G O 17 15 π
Nadere informatieSMART-finale 2016 Ronde 1: 5-keuzevragen
SMART-finale 2016 Ronde 1: 5-keuzevragen Ronde 1 bestaat uit 16 5-keuzevragen. Bij elke vraag is precies één van de vijf antwoorden juist. Geef op het antwoordformulier duidelijk jouw keuze aan, door per
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - I
Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 005-006: tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het oplossen van sommige vragen 1,1 3 1,731 5,361 π 3,116 1 Als a 1 3 a 1 3 a m = a met a R + \{0, 1}, dan
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde
Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer punten, een blanco antwoord bezorgt
Nadere informatie1 Binaire plaatjes en Japanse puzzels
Samenvatting Deze samenvatting is voor iedereen die graag wil weten waar mijn proefschrift over gaat, maar de wiskundige notatie in de andere hoofdstukken wat te veel van het goede vindt. Ga er even voor
Nadere informatieSum of Us 2014: Topologische oppervlakken
Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Inleiding: topologische oppervlakken en origami Een topologisch oppervlak is, ruwweg gesproken, een tweedimensionaal meetkundig object. We zullen in deze tekst
Nadere informatie1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209.
1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2009, probleem 1; Kangoeroewedstrijd
Nadere informatieEstafette. 26 e Wiskundetoernooi
6 e Wiskundetoernooi Estafette 07 Opgave rnoud is geboren tussen 900 en 980. Het getal dat wordt gevormd door de laatste twee cijfers van het geboortejaar van rnoud is een kwadraat. Toen rnoud in 07 jarig
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde
Vlaamse Wiskunde Olympiade 2003-2004: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1997-1998: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt
Nadere informatieSTART WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600.
START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600. Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 580 punten) Vier bij vier. In een schema van vier maal
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde
1 Junior Wiskunde Olympiade 005-006: tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het oplossen van sommige vragen 1,1 1,71 5,61 π,116 1 ls a a 17 a m = a 006, met a R + \{0, 1}, dan is m gelijk
Nadere informatieZESDE KLAS MEETKUNDE
ZESDE KLAS MEETKUNDE maandag 1. Het vierkant. Eigenschappen. 2. Vierkanten tekenen met passer en lat vanuit zeshoek 3. Vierkanten tekenen met passer en lat binnen cirkel 4. Vierkanten tekenen met passer
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde
1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1. Het quotiënt 28 is gelijk aan 82 (A) 2 0 () 2 1 (C) 2 2 (D) 2 3 (E) 2 4 2. Het resultaat van de vermenigvuldiging 1 3 5 7 9 2011 eindigt op het cijfer
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-II
ier tappen ij het tappen van bier treden verschillen op in de hoeveelheid bier per glas. Uit onderzoek blijkt dat de hoeveelheid bier die per glas getapt wordt bij benadering normaal verdeeld is met een
Nadere informatieOok de volledige spiraal van de stroken van lengte 1, 3, 5,, 99 past precies in een rechthoek.
Een spiraal In deze opgave bekijken we rechthoekige stroken van breedte en oneven lengte:, 3, 5,..., 99. Door deze stroken op een bepaalde manier aan elkaar te leggen, maken we een spiraal. In figuur is
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatieExponentiële Functie: Toepassingen
Exponentiële Functie: Toepassingen 1 Overgang tussen exponentiële functies en lineaire functies Wanneer we werken met de exponentiële functie is deze niet altijd gemakkelijk te herkennen. Daarom proberen
Nadere informatieBij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken.
Rood-wit-blauw werkblad 1 Bij het hele werkblad: Alle rode getallen zijn deelbaar door hetzelfde getal. Elk wit getal is gelijk aan een rood getal + 1, elk blauw getal aan een rood getal + 2 Russisch vermenigvuldigen
Nadere informatieOpgave 1 - Uitwerking
Opgave 1 - Uitwerking Om dit probleem op te lossen moeten we een zogenaamd stelsel van vergelijkingen oplossen. We zetten eerst even de tips van de begeleider onder elkaar: 1. De zak snoep weegt precies
Nadere informatie5 10 20 50 100 200 500 Nederland 1% 1% 20% 62% 11% 2% 3% Europa 1% 4% 44% 36% 12% 2% 1%
Valse euro s In de tabel hieronder kun je aflezen hoe de aantallen in beslag genomen vervalsingen in het jaar 2006 zijn verdeeld over de verschillende biljetten in Nederland en Europa. 5 10 20 50 100 200
Nadere informatiesfeerlichthouders. Daarnaast staat een tekening van het bovenaanzicht van deze figuur.
SFEERLICHT Op de foto hieronder zie je een houder waarin een sfeerlichtje zit Deze sfeerlichthouder heeft de vorm van een prisma met een gelijkzijdige driehoek als grondvlak 2p 1 Op de foto hieronder zie
Nadere informatieEfficientie in de ruimte - leerlingmateriaal
Junior College Utrecht Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal Versie 2 September 2012 Een project (ruimte-)meetkunde voor vwo-leerlingen Geschreven voor het Koningin Wilhelmina College Culemborg
Nadere informatieBal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2.
Bal in de sloot Een bal met een straal van cm komt in een figuur sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt van de bal bevindt zich h cm onder het wateroppervlak. In figuur zie je een doorsnede
Nadere informatieTweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen
Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat
Nadere informatie3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?
In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.
Nadere informatieExamenopgaven VMBO-GL en TL 2003
Examenopgaven VMBO-GL en TL 2003 tijdvak 1 donderdag 22 mei 13.30-1.30 uur WISKUNDE CSE GL EN TL WISKUNDE VBO-MAVO-D Bij dit examen hoort een uitwerkboekje. Dit examen bestaat uit 26 vragen. Voor dit examen
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500
WISKUNDE-ESTFETTE 2014 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 00 1 (20 punten) Gegeven zijn drie aan elkaar rakende cirkels met straal 1. Hoe groot is de (donkergrijze) oppervlakte
Nadere informatieHet leek ons wel een interessante opdracht, een uitdaging en een leuke aanvulling bij het hoofdstuk.
Praktische-opdracht door een scholier 2910 woorden 3 mei 2000 5,2 46 keer beoordeeld Vak Wiskunde Wiskunde A1 - Praktische Opdracht Hoofdstuk 2 1. Inleiding We hebben de opdracht gekregen een praktische
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade 2006-2007: eerste ronde
1 Junior Wiskunde Olympiade 2006-2007: eerste ronde 1 Welke ongelijkheid is juist? (A) 3 5 < 2 6 (C) 5 6 < 3 (B) 3 7 < 2 (D) 5 7 < 2 10 (E) 5 < 6 7 2 Hoeveel vierkante meter is 1600 vierkante centimeter?
Nadere informatieEindexamen vmbo gl/tl wiskunde 2011 - I
OVERZICHT FORMULES: omtrek cirkel = diameter oppervlakte cirkel = straal 2 inhoud prisma = oppervlakte grondvlak hoogte inhoud cilinder = oppervlakte grondvlak hoogte inhoud kegel = 1 3 oppervlakte grondvlak
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieNumerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.
Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk
Nadere informatieAan de gang. Wiskunde B-dag 2015, vrijdag 13 november, 9:00u-16:00u
Aan de gang Wiskunde B-dag 2015, vrijdag 13 november, 9:00u-16:00u Verkenning 1 (Piano) Je moet een zware piano verschuiven door een 1 meter brede gang met een rechte hoek er in. In de figuur hierboven
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Examen VMBO-GL en TL 2011 tijdvak 1 maandag 23 mei 13.30-15.30 uur wiskunde CSE GL en TL Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde
1 Junior Wiskunde Olympiade 200-2005: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Nadere informatieModulewijzer InfPbs00DT
Modulewijzer InfPbs00DT W. Oele 0 juli 008 Inhoudsopgave Inleiding 3 Waarom wiskunde? 3. Efficiëntie van computerprogramma s............... 3. 3D-engines en vectoranalyse................... 3.3 Bewijsvoering
Nadere informatieUitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009
Departement Wiskunde, Faculteit Bètawetenschappen, UU. In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. Het college WISB werd in 9- gegeven door Prof. Dr. F. Beukers. Uitwerking
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieOefentoets Versie A. Vak: Wiskunde Onderwerp: Meetkunde Leerjaar: 1 (2017/2018) Periode: 3
Oefentoets Versie A Vak: Wiskunde Onderwerp: Meetkunde Leerjaar: 1 (017/018) Periode: 3 Opmerkingen vooraf: Het gebruik van een rekenmachine en een tabellenboekje is toegestaan. Geef je antwoord alljd
Nadere informatieOpgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000
Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 VBO en MAVO Klas 3 en 4 Vragen 1 t/m 10: voor elk goed antwoord +3 punten, voor elk fout antwoord -¾ punt. 1. Hiernaast zie je drie aanzichten (voor, boven, links)
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2003 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500
WISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2003 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Gekleurde sokken Op de planeet Swift B6 wonen de Houyhnhnms. Ze lijken sprekend op paarden;
Nadere informatie2.5 Regelmatige veelhoeken
Regelmatige veelhoeken 81 2.5 Regelmatige veelhoeken Een regelmatige veelhoek is een figuur met zijden die allemaal even lang en hoekendieallemaalevengrootzijn. Wezijneraleenpaartegengekomen: de regelmatige
Nadere informatiehttp://www.kidzlab.nl/index2.php?option=com_content&task=vi...
Veelvlakken De perfecte vorm Plato was een grote denker in de tijd van de Oude Grieken. Hij was een van de eerste die de regelmatige veelvlakken heel bijzonder vond. Hij hield ervan omdat ze zulke mooie,
Nadere informatieExamen VMBO-GL en TL. wiskunde CSE GL en TL. tijdvak 2 dinsdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VMBO-GL en TL 2011 tijdvak 2 dinsdag 21 juni 13.30-15.30 uur wiskunde CSE GL en TL Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 25 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 75 punten
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 007 tijdvak woensdag 0 juni 13.30-16.30 uur wiskunde 1, ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 81 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatie2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16
Inhoud Voorwoord v Het metrieke stelsel vii Inhoud ix Trefwoordenlijst x 1 Basis 1.1 1.1 Veel voorkomende berekeningen 1.1 1.2 Van punt tot vlak 1.4 1.3 Oppervlakten berekenen 1.12 1.4 Zelf tekenen 1.16
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500
WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Viervlakken. Op een tafel vóór je staan vier viervlakken V 1, V 2, V 3 en V 4. Op elk grensvlak
Nadere informatieNiet-euclidische meetkunde
Keuzeonderdeel Wiskunde D Hans van Ballegooij Maaslandcollege, Oss Dictaat Versie: 20 februari 2013 Hans van Ballegooij Maaslandcollege Oss Inhoudsopgave 1 De elementen van Euclides 1 2 Niet-euclidische
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Junior Wiskunde Olympiade 2008-2009: eerste ronde 1 Hoeveel is 2 5 7? (A) 10 21 (B) 25 7 (C) 7 10 (D) 1 15 (E) 29 21 2 Welke van volgende sommen is gelijk aan 10? (A), + 5,555 (B) 2,222 + 6,666 (C),
Nadere informatieV Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R. IV.0 Inleiding
V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R IV.0 Inleiding V. Homogene kwadratische vormen Een vorm als H (, ) = 5 4 + 8 heet een homogene kwadratische vorm naar de twee variabelen en. Een vorm als K (,
Nadere informatieThema: Omtrek en oppervlakte vmbo-kgt12
Auteur VO-content Laatst gewijzigd 20 May 2016 Licentie CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie Webadres http://maken.wikiwijs.nl/57126 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijsleermiddelenplein.
Nadere informatieJe moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel
Nadere informatieVlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde
Vlaamse Wiskunde Olympiade 00-0: eerste ronde. e uitdrukking a b 4 is gelijk aan () ab () ab () ab 6 () ab 8 (E) ab 6. e uitdrukking (a b) is gelijk aan () a b () (b a) () a + b ab () a + b + ab (E) (a
Nadere informatieA. B. C. D. Opgave 3. In een groot vierkant is een kleiner vierkant getekend. Wat is de oppervlakte van het kleine vierkant? A. B. C. D.
FAJALOBI 2015 Opgave 1 Het getal heet een palindroom. Dat is een getal dat als je het van achter naar voren leest het hetzelfde is als van voor naar achter. Een palindroom begint niet met een nul. Wat
Nadere informatieTrillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude
Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE 2011 Uitwerkingen
WISKUNDE-ESTAFETTE 2011 Uitwerkingen 1 C D O A O B Omdat driehoek ACD gelijkbenig is, is CAD = ACD en daarmee zien we dat 2 CAD+ ADC = 180. Maar we weten ook dat 180 = ADC + ADB. Dus ADB = 2 CAD. Driehoek
Nadere informatieSmall Sample Emission Computer Tomography. G.P. Leendertse. ECN-Energie Engineering
Small Sample Emission Computer Tomography G.P. Leendertse ECN-Energie Engineering Maart 1994 Chapter 1 Inleiding Bij de borium therapie is het van belang om vast te stellen hoe de concentratieverdeling
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale
Nadere informatieExamen VMBO-GL en TL. wiskunde CSE GL en TL. tijdvak 2 maandag 17 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VMBO-GL en TL 2019 tijdvak 2 maandag 17 juni 13.30-15.30 uur wiskunde CSE GL en TL Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 25 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 70 punten
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1 vwo 2007-II
Bier tappen Rob neemt elke vrijdagmiddag, voor hij naar huis gaat, één glas bier in zijn stamcafé. Dan kiest hij óf een glas witbier óf een glas pils. Omdat hij moeilijk kan kiezen, gooit hij met twee
Nadere informatievandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen
Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2002 Uitwerkingen
WISKUNDE-ESTAFETTE KUN 00 Uitwerkingen 1 Omdat de totale waarde van het geld in je zak niet zou veranderen als elke van de vijfthalermunten drie thaler minder waard zou worden en elke van de eenthalermunten
Nadere informatieToelichting op de werkwijzer
Toelichting op de werkwijzer NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Birgit van Dalen, Quintijn Puite De opgaven voor de training komen uit het boekje De Nederlandse Wiskunde Olympiade 100 opgaven met hints,
Nadere informatieTrillingen en geluid wiskundig
Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Radialen 3 Uitwijking van een harmonische trilling 4 Macht en logaritme 5 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Sinus van een hoek
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1
wiskunde B Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.3 6.3 uur 5 Voor dit eamen zijn maimaal 87 punten te behalen; het eamen bestaat uit vragen. Voor elk vraagnummer is
Nadere informatieVerbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500
WISKUNDE-ESTAFETTE 2015 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Gegeven zijn drie verschillende gehele getallen a, b en c, die elk groter dan 0 en kleiner dan
Nadere informatie2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax
00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten
Nadere informatieAanvullende tekst bij hoofdstuk 1
Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Wortels uit willekeurige getallen In paragraaf 1.3.5 hebben we het worteltrekalgoritme besproken. Dat deden we aan de hand van de relatie tussen de (van tevoren gegeven)
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 havo 2003-II
Eindeamen wiskunde 1- havo 00-II Lichaam met zeven vlakken In figuur 1 is een balk D.EFGH getekend. Het grondvlak D is een vierkant met een zijde van cm. De ribbe G is cm lang. Door uit de balk de twee
Nadere informatie1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
Nadere informatieExamen VMBO-GL en TL 2008 wiskunde CSE GL en TL tijdvak 1 donderdag 22 mei 13.30-15.30 uur
Examen VMBO-GL en TL 2008 wiskunde CSE GL en TL tijdvak 1 donderdag 22 mei 13.30-15.30 uur Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 23 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten
Nadere informatieWiskunde D-dag Vrijeschool Zutphen VO donderdag 18 februari, 12:30u 16:30u. Aan de gang
Wiskunde D-dag 2016 Vrijeschool Zutphen VO donderdag 18 februari, 12:30u 16:30u Aan de gang Verkenning 1 piano Je moet een zware piano verschuiven door een 1 meter brede gang met een rechte hoek er in.
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 24 juni uur
Examen VWO 2009 tijdvak 2 woensdag 24 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een
Nadere informatieEindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II
Pompen of... Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm 3 ). figuur 1 4p 1 Bereken de diameter van het vat. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.
Nadere informatieSinds de jaren 70 zijn wetenschappers bezorgd om de vervuiling van onze oceanen door allerhande plastiek afval. De laatste 10 jaar loopt het echt uit
Sinds de jaren 70 zijn wetenschappers bezorgd om de vervuiling van onze oceanen door allerhande plastiek afval. De laatste 10 jaar loopt het echt uit de hand en wetenschappers schatten dat er jaarlijks
Nadere informatieUitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek
Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen HAVO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Vliegende parkieten Opgave 1. Het energieverbruik van de parkiet als deze vliegt met
Nadere informatieAntwoordmodel - Vlakke figuren
Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.
Nadere informatieDomein A: Inzicht en handelen
Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Hoofdstuk - Wortels Hoofdstuk - Wortels Voorkennis V- zijde vierkant in m oppervlakte vierkant in m 9 V- = = = = = 7 = 9 = 7 = 89 = 9 8 = = 9 8 = = 9 = 8 = 9 9 = = 0 = 00 = 0 = 00 V-a = 9 = b 7 = 9 = 9
Nadere informatiewiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College
Nadere informatieMachten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olmpiade 2006-2007: eerste ronde 1 Hoeveel punten kunnen een rechthoek en een cirkel maimaal gemeen hebben? (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10 2 Van de volgende drie uitspraken R : 2 = R
Nadere informatiePracticum hoogtemeting 3 e klas havo/vwo
Deel (benaderbaar object) Om de hoogte van een bepaald object te berekenen hebben we geleerd dat je dat kunt doen als je in staat bent om een rechthoekige driehoek te bedenken waarvan je één zijde kunt
Nadere informatieUITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE KUN Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500
WISKUNDE-ESTFETTE KUN 2000 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Maak sommige vakjes zwart, zó dat voor elk vakje het getal dat erin staat precies aangeeft
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 14 mei uur
Examen HAVO 014 tijdvak 1 woensdag 14 mei 1.0-1.0 uur wiskunde B Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een
Nadere informatieSelectietoets vrijdag 10 maart 2017
Selectietoets vrijdag 10 maart 2017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij n een even positief geheel getal. Een rijtje van n reële getallen noemen we volledig als voor elke gehele
Nadere informatieInstructie voor Docenten. Hoofdstuk 13 OMTREK EN OPPERVLAKTE
Instructie voor Docenten Hoofdstuk 13 OMTREK EN OPPERVLAKTE Instructie voor docenten H13: OMTREK EN OPPERVLAKTE DOELEN VAN DIT HOOFDSTUK: Leerlingen weten wat de begrippen omtrek en oppervlakte betekenen.
Nadere informatieWorkshop DisWis, De Start 13/06/2007 Bladzijde 1 van 7. Sudoku. Sudoku
DisWis DisWis is een lessenserie discrete wiskunde die De Praktijk vorig jaar in samenwerking met prof.dr. Alexander Schrijver heeft opgezet. Gedurende vier weken komt een wiskundestudent twee blokuren
Nadere informatieKENMERKENDE CIJFERS EN BENADERINGSREGELS
Correctiesleutel 2.06-2.07 KENMERKENDE CIJFERS EN BENADERINGSREGELS 1 Geef telkens telkens het kenmerkend deel, het aantal kenmerkende cijfers en de meetnauwkeurigheid. [De volgorde van opgaven en oplossingen
Nadere informatie