BIJLAGE A VOORTGANG ONDERZOEK. Lotgevallen W&I 1995 p.46

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "BIJLAGE A VOORTGANG ONDERZOEK. Lotgevallen W&I 1995 p.46"

Transcriptie

1 BIJLAGE A VOORTGANG ONDERZOEK Lotgevallen W&I 1995 p.46

2 BETA en Stieltjes Instituut, verslag 1995 BETA Programmaleiding : prof.dr. J. Wessels, prof.dr. P. van der Laan Onderwerpontsluiting ISN : 1203, 1207, 1208, 1209 Onderwerpontsluiting NWO : P175, P160 Onderwerpontsluiting NABS : 10.0, 5.0, 8.3 Stieltjes Instituut Programmaleiding : prof.dr. J. Wessels Onderwerpontsluiting ISN : 1208, 1209 Onderwerpontsluiting NWO : P160 Onderwerpontsluiting NABS : 10.0 De meeste onderzoekers in de groepen Statistiek, Kansrekening en Stochastische Besliskunde maken deel uit van zowel de wiskundige onderzoekschool Stieltjes als de meer bedrijfskundige onderzoekschool BETA. Het is vanzelfsprekend van groot belang deel uit te maken van de discipline-gerichte wiskundige onderzoekschool Stieltjes. Omdat echter een groot deel van het onderzoek, niet alleen het toegepaste maar ook het meer fundamentele, wordt geinspireerd door vragen uit de praktijk is het zeer nuttig ook deel te nemen in de meer in de toepassing gewortelde onderzoekschool BETA. Aangezien vrijwel al het onderzoek zowel fundamentele als toegepaste kanten heeft is het niet zinvol de individuele onderzoekprojecten bij precies een onderzoekschool onder te brengen. Daarom is gekozen voor deze gecombineerde verslaglegging. 1) Er wordt gewerkt binnen het thema 4. Operations Research and Statistics, in de subthema's 4.2 Quantitative Methods for Operations Management 4.3 Mathematical Tool for Design and Management of Business Processes in de wiskundige disciplines 1) Kansrekening 2) Statistiek 3) Stochastische Besliskunde. 4) Combinatorische optimalisering. 2) a) Kansrekening (subthema 4.3) Het boek met Van Harn over oneindige deelbaarheid is nu voor ongeveer de helft klaar; we verwachten dat de tweede helft minder tijd zal vergen, al was het maar omdat de Eindhovense auteur nu over meer tijd beschikt. Er is dit jaar in het verlengde van het werk van Brands, Steutel, Thiemann en Wilms gekeken naar "The number of values near the maximum"; hierover is tijdens zijn bezoek aan Pakes in Perth door Steutel en zijn gastheer een artikel geschreven. Lotgevallen W&I 1995 p.47

3 Er wordt gewerkt aan de asymptotiek van momenten van maxima bij grote steekproeven. Het bezoek van Steutel aan Ken-iti Sato in Nagoya resulteerde in een gezamenlijk artikel over het voortzetten van oneindig deelbare verdelingen en hun kanonieke maten. Tijdens zijn reis werden vijf voordrachten gehouden. Het artikel met Bondesson en Kristiansen is geaccepteerd en zal binnenkort verschijnen in Stat. & Prob. Letters. Steutel heeft een bijdrage geleverd aan het liber amicorum voor Kruseman Aretz. b) Statistiek i) Selectieprocedures (subthema 4.2) Onderzoek is verricht op het gebied van statistische subset selectieprocedures. De resultaten zijn weergegeven in de COSOR-Memoranda 95-02, 95-14, 95-20, 95-25, alsmede in Technical Report No. 153, University of British Columbia, Vancouver. Het onderzoek naar een gegeneraliseerde selectie procedure heeft geleid tot een publicatie in Proceedings of the 50th Session of the International Statistical Institute, Beijing. Tevens zijn een aantal voordrachten op het gebied van selectieprocedures gehouden. Een drietal publicaties zijn verschenen. Samenwerking met Prof. C. van Eeden, University of British Columbia; dr. F. Coolen, University of Durham en dr. M. van der Laan, University of California is voortgezet. Dit heeft geleid tot gegeneraliseerde aanpakken. ii) Niet-parametrische en semi-parametrische statistiek (subthema 4.3) Het onderzoek naar precedence tests voor complete data en voor gecensureerde data is voortgezet. Een tweetal artikelen is ter publicatie aangeboden. Er is onderzoek verricht op het gebied van de extreme-waardentheorie. Hierbij is samengewerkt met Prof. De Haan en drs. Sinha (EUR). De resultaten zijn vastgelegd in Report 9533/A, Erasmus Universiteit Rotterdam, dat inmiddels geaccepteerd is voor publicatie. Een ander artikel is verschenen in Op het gebied van de stochastische censurering zijn 2 artikelen verschenen in wetenschappelijke tijdschriften, terwijl er nog één zal verschijnen. Samenwerking vond en vindt plaats met Prof. Ruymgaart (Lubbock, Texas), Prof. Deheuvels (Parijs) en Prof. Beirlant (Leuven). Tevens is onderzoek gedaan m.b.t. empirische processen, zie COSOR-Memorandum Een ander artikel zal spoedig verschijnen. Verder is een begin gemaakt, samen met Prof. Ruymgaart, met onderzoek naar afhankelijke stochas ten (tijdreeksen). Voordrachten zijn gehouden in Heidelberg, Groningen, Bern (2x), Lubbock, Tilburg en Oberwolfach. De samenwerking met Loeb op het gebied van toepassingen van de combinatoriek (i.h.b. umbrale calculus) in de statistiek is voortgezet. Een artikel over persistente Sheffer-polynomen en een eletronisch overzichtsartikel over umbrale calculus zijn verschenen. Het onderzoek naar toepassingen van computeralgebra in de statistiek heeft de eerste resultaten opgeleverd. In samenwerking met een afstudeerstudent is Mathematica-programmatuur ontwikkeld voor een grote klasse van niet-parametrische tweesteekproeventoetsen. Het komende jaar zal vooral aandacht geschonken worden aan het meersteekproevenprobleem. Voorts is een niet-parametrische regelkaart onderzocht. Hiervoor zijn enige verdelingsresultaten afgeleid. Deze resultaten zullen het komende jaar in een computerprogramma geïmplementeerd worden. iii) Statistische modellen voor besluitvorming (subthema 4.3) Het onderzoek naar de principes van statische besluitvorming en de wiskundige fundering ervan heeft in 1995 geresulteerd in de publicatie van een artikel over de reductie en classificatie van de data waar de besluitvorming op is gebaseerd. Het onderzoek naar inference rules en de bijbehorende inferential distributions heeft geresulteerd in de acceptatie van een artikel op dit gebied. Dit artikel moet nog verschijnen. In 1995 is vooral onderzoek gedaan naar conditionele besluitvorming en de Lotgevallen W&I 1995 p.48

4 betekenis van betrouwbaarheid van uitspraken in de aanwezigheid van partieel ancillaire statistieken. Dit werk kan gezien worden als een uitbreiding en wiskundige fundering van de ideeën van R.A. Fisher door hem samengevat in de woorden 'Sampling the reference set'. Een artikel op dit punt is bijna gereed. iv) Statistische theorie van het proefopzetten (subthema 4.3) Onderzoek naar goede proefopzetten met weinig waarnemingen voor factoriële schema's heeft geresulteerd in twee COSOR-memoranda. Dit onderzoek gebeurt onder andere in samenwerking met B. Pauwels, een promovendus bij UFSIA, Universiteit van Antwerpen. Samen met hem wordt ook onderzoek gedaan naar proefopzetten voor paarsgewijze vergelijkingen. In 1995 is een promotieonderzoek gestart naar het ontwerp van een interactief computerprogramma voor het genereren van proefopzetten en analyseren van waarnemingen. Dit onderzoek gebeurt in samenwerking met het Unilever Research Laboratorium in Vlaardingen. Er is begonnen met evaluatie en testen van een prototype dat al ontwikkeld was. Verder is gewerkt aan uitbreidingen op het gebied van Taguchi-proefopzetten en het analyseren van waarnemingen. Naar aanleiding hiervan is er een lezing gehouden op de conferentie HUGS '95 in Amsterdam, een conferentie voor SAS-gebruikers in Nederland. c) Stochastische Besliskunde i) Wachtrijen met meer rijen en onderling afhankelijke instroomprocessen (subthema 4.3) Het onderzoek op het gebied van de compensatie-aanpak is in 1995 voortgezet. De methode is gebruikt bij de analyse van modellen voor produktiesystemen waarin zowel op order als op voorraad wordt geproduceerd. De recent ontwikkelde methode voor de bepaling van onder- en bovengrenzen voor de prestaties in systemen die zelf niet analytisch behandeld kunnen worden, is toegepast op een wachtrijmodel (afkomstig van een probleem op het gebied van onderhoud), waarin klanten na een stochastische tijd van prioriteit kunnen veranderen. Tevens is een wachtrijmodel voor een reparatiesysteem met 2 verschillende reparatiekanalen (normaal en spoed) geanalyseerd. ii) Fitten van discrete verdelingen (subthema 4.2) Er is een methode ontwikkeld voor het fitten van discrete verdelingen op de eerste twee momenten van een gegeven verdeling. Deze methode is bijvoorbeeld zeer nuttig bij het benaderend oplossen van wachtrijsystemen met discrete aankomst- en/of bedieningstijdverdelingen. Verder is de methode gebruikt bij de analyse van handmatige orderverzamelsystemen (en geïmplementeerd in een pakket op dit gebied t.b.v. KPN Research). Momenteel wordt de methode uitgebreid naar discrete verdelingen met een eindige drager. iii) Multi-echelon voorraadsysteem (subthema 4.3) Er is onderzoek verricht naar de wijze waarop een multi-echelon voorraadsysteem beheerst dient te worden zodanig dat de totale kosten (voorraadkosten en boetekosten) geminimaliseerd worden. Een algoritme is ontwikkeld om de parameters van de beheersstrategieën in de verschillende voorraadpunten te bepalen. In de meeste analyses betreffende multi-echelon voorraadsystemen wordt aangenomen dat de onbalans in elk voorraadpunt geen grote invloed heeft op de totale kosten en de uiteindelijk gerealiseerde klanten-servicegraden. Onderzoek is verricht om m.b.v. alle parameters van de beheersstrategieën het effect van onbalans op deze servicegraden te voorspellen. iv) Periodieke produktiesystemen (subthema 4.3) Het onderzoek op het gebied van de periodieke produktiesystemen is voortgezet met het analyseren van additionele mogelijkheden tot vooruitwerken en op voorraad produceren. Voorts is een begin gemaakt met het vastleggen van deze en vorige resultaten in een Lotgevallen W&I 1995 p.49

5 proefschrift. Naast het onderzoek naar periodieke produktiesystemen, is een M/G/1 wachtrij met twee typen vakanties geanalyseerd. Bovendien is een algoritme ontwikkeld dat de optimale twee-drempelwaarde strategie bepaalt voor dit wachtrijsysteem. v) Real-time databases (subthema 4.3) Het door STW gefinancierde project op het gebied van de real-time databases loopt inmiddels een jaar. Doel van het project is te bereiken dat reeds in de ontwerpfase de real-time prestaties beoordeeld kunnen worden en daarmee teleurstellingen achteraf te voorkomen. De prestatiemaat voor een real-time database is het percentage van de transacties dat zijn deadline haalt. Een manier om dit percentage te verhogen is transacties zoveel mogelijk parallel uitvoeren. Er is dan wel een transactie-scheduler nodig die de consistentie van de database bewaakt. Twee schedulers, Single Queue Static Locking en Optimistic Concurrency Control, zijn met behulp van stochastische modellen geanalyseerd. Het resultaat voor beide modellen is een goede benadering voor de responstijdverdeling van de transacties, en daarmee voor de kans dat een transactie zijn deadline haalt. d) Combinatorische Optimalisering i) On-line scheduling (subthema 4.2) Een gedeeltelijk door STW gefinancierd onderzoek naar het flow shop probleem met parallelle machines in elke produktiefase stagneerde door vertrek van de onderzoeker. Een tijdelijke voortzetting van het onderzoek concentreerde zich op max-cost flow modellen voor insertiemethoden voor een grote klasse van scheduling problemen. In 1996 zal met het project een nieuwe start worden gemaakt. Het nieuwe project geschiedt in samenwerking direct onder de vlag van BETA en betreft nieuwe methoden en modellen voor scheduling en aggregaatplanning. In een voor 50% door TNO gefinancierd onderzoek werd voortgang geboekt bij de bestudering van modellen en methoden voor on-line scheduling problemen, met name op het gebied van worst-case performance van klassen van on-line algorithmen. Er zijn zowel positieve resultaten afgeleid (gegarandeerde worst-case ratios), als negatieve uitspraken (zoals "geen enkele online algorithme kan een gegarandeerde relatieve bovengrens leveren kleiner dan een zekere constante c"). 3) Samenwerkingen Prof.dr. E.H.L. Aarts - TUE Dr. A. Agnetis - Università degli Studi di Roma "La Sapienza", Rome, Italië Prof.dr. J. Beirlant - Katholieke Universiteit Leuven, Leuven, België Dr. J.L. van den Berg - PTT Research Prof.dr. L. Bondesson - Universiteit Uppsala, Uppsala, Zweden Prof.dr.ir. O.J. Boxma - CWI Ir. J.J.A.M. Brands - TUE Prof.dr. T. Calinski - Landbouwuniversiteit Pozna_, Pozna_, Polen Prof.dr. S. Chakraborti - Universiteit of Alabama, Tuscaloosa, Alabama, USA Dr.ir. F. Coolen - Universiteit of Durham, Durham, Engeland Prof.dr. P. Deheuvels - Universiteit van Parijs VI, Parijs, Frankrijk Prof.dr. C. van Eeden - Universiteit van British Columbia, Vancouver, B.C., Canada Prof.dr. L. de Haan - EUR Dr. K. van Harn - VU Amsterdam Prof.dr. E. Khmaladze - Georgische Akademie van Wetenschappen, Tbilisi, Georgië H.G.M. van der Knaap - Unilever Research Lab., Vlaardingen Dr. G.K. Kristiansen - Universiteit van Kopenhagen, Kopenhagen, Denemarken Dr. M.J. van der Laan - Universiteit van California, Berkeley, California, USA Lotgevallen W&I 1995 p.50

6 Dr. Z. Liu - Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique, Sophia Antipolis, Frankrijk Dr. D.E. Loeb - Universiteit van Bordeaux I, Bordeaux, Frankrijk Prof. Y. Nakamori - Konan Universiteit, Kobe, Japan Drs. J. Oudemans - CQM, Eindhoven B. Pauwels - Universiteit van Antwerpen/UFSAI, Antwerpen, België Dr.ir. J. Praagman - CQM, Eindhoven Prof.dr. G.-C. Rota - Massachusetts Instituut voor Technologie, Cambridge, Massachusetts, USA Prof.dr. F. Ruymgaart - Texas Technische Universwiteit, Lubbock, Texas Prof.dr. Y. Sawaragi - Het Japans Instituut voor Systeem Onderzoek, Kyoto, Japan Prof.dr. P.J. Schweitzer - Universiteit van Rochester, Rochester, New York, USA Drs. A.K. Sinha - EUR Drs. D. van der Sluis - RUG Drs.ing. J. Smit - Smit Consult, Drunen Prof. H. Tamura - Osaka Universiteit, Osaka, Japan Dr.ir. P.M. Upperman - Oosterhesselen Ir. J.I. van Zante-de Fokkert - TUE Prof.dr. W.H.M. Zijm - UT International Institute for Applied Systems Analysis (IIASA) Laxenburg, Austria 4) Voornemens op korte termijn Het onderzoek binnen de genoemde subthema's wordt in 1996 met ongeveer dezelfde intensiteit en aandachtspunten voortgezet. Lotgevallen W&I 1995 p.51

7 DISC, verslag 1995 Programmaleiding : prof.dr.ir. M.L.J. Hautus Onderwerpontsluiting ISN : 3399 Systeem- en Regeltechniek, 1299 Systeemtheorie Onderwerpontsluiting NWO : P175 Onderwerpontsluiting NABS : 10.0 Beschrijving en resultaten In het kader van de onderzoeksschool DISC is in 1995 gewerkt aan de volgende onderzoeksthema's: Modelvorming en systeemrepresentatie - Oneindigdimensionale realisatietheorie voor lineaire tijdcontinue systemen Er wordt een theorie ontwikkeld voor de realisatie (representatie) van systemen met een niet nader bepaalde, vrij te kiezen signaalruimte. Hierdoor hopen we meer inzicht te krijgen in de topologische en algebraïsche aspecten van de realisatietheorie. Wiskundige onderwerpen die een rol spelen zijn: - C 0 -semigroepen op rijvolledige lokaalconvexe vectorruimtes, - convolutie-algebra's van distributies, - Translatie-invariante deelruimtes en spectraaltheorie. - Gedistribueerde vertraagde systemen De theorie van vertraagde systemen kent een aantal benaderingen: - de algebraïsche benaderingen van systemen over ringen, - de functionaalanalytische benadering, waarbij (geïnspireerd door J.C. Willems) een systeem als kern (nulruimte) is van een convolutie-operator wordt gezien. - De klassieke benadering, waarin een vertraagd systeem beschreven wordt door een stelsel differentiaalvergelijkingen. Het doel van ons onderzoek is deze benaderingen onderling te vergelijken aan de hand van een aantal systeemtheoretische concepten zoals waarneembaarheid, bestuurbaarheid en stabiliseerbaarheid. Een grote rol hierbij spelen convolutiedeelalgebra's van distributies die een zogenaamd Bezoutdomein vormen. In het onderzoek worden de in het voriggenoemde onderzoek gevonden resultaten gebruikt. Het onderzoek kan worden gezien als een uitbouwing van het promotiewerk van dr.ir. J. M. Soethoudt en dr.ir. L.C.J.G.M. Habets. - Identificatie en modelvorming We onderzoeken hier de modelvorming met de zogenaamde "behavioural approach'' (ingevoerd door J.C. Willems), waarbij in de modelvorming geen onderscheid wordt gemaakt tussen ingangen en uitgangen. Daarnaast kijken we naar modelapproximatie waarbij we stochastische processen approximeren met als criterium de Kullback-Leibler afstand (ook wel de divergentie genoemd). Systemen met begrenzingen - Verzadiging In dit onderzoeksproject onderzoeken we in hoeverre de resultaten uit de lineaire theorie kunnen orden gegeneraliseerd tot de situatie waar in de onderzochte systemen verzadiging aan de uitgang of aan de ingang optreedt. Enerzijds komen zulke syste- Lotgevallen W&I 1995 p.52

8 men vaak voor, anderzijds kan men hopen dat voor deze speciale vorm van nietlineariteit explicietere resultaten kunnen worden verkregen dan voor algemene lineaire systemen. We hebben gekeken naar stabilisatie en naar het onderdrukken van sinusoïdale verstoringen. Ook is de waarneembaarheid van zulke systemen onderzocht. Er zijn hier nog veel open problemen. - Begrenzingen in het tijdsdomein We bestuderen hoe wij er door middel van een regelaar voor kunnen zorgen dat de toestand of de ingang binnen een bepaalde verzameling blijft. We hebben het hieraan gerelateerde l-optimale regelaar probleem bestudeerd en bijv. aangetoond dat we in het algemeen niet-lineaire regelaars nodig hebben zelfs als het system verder lineair is. Op dit moment bestuderen we het verwante probleem van het schatten van de toestand met een optimaliteitscriterium in het tijdsdomein. Een van de methodes die hierbij wordt gebruikt is gebaseerd op de (klassieke) theorie van optimale besturingen. Robuustheid We zijn we geïnteresseerd in het onderdrukken van modelonzekerheid, terwijl we ook de stochastische onzekerheid veroorzaakt door bijv. meetruis willen onderdrukken. De dualiteit tussen deterministische en stochastische effecten maakt dit een zeer lastig probleem. Niet-lineaire systemen - Meetkundige en algebraïsche eigenschappen van niet-lineaire systemen In dit deelprogramma worden methoden ontwikkeld voor de regeling van nietlineaire systemen. Speciale aandacht wordt besteed aan (differentiaal-)meetkundige en (differentiaal-)algebraïsche methoden. Er zijn resultaten geboekt op het gebied van "fixed modes'' voor nietlineaire systemen, gegeneraliseerde stuurinvariantie voor nietlineaire systemen, waarnemerontwerp voor nietlineaire tijddiscrete systemen, en (gedeeltelijke) ingangs-uitgangslinearisatie van nietlineaire systemen. - Lie-algebraïsche technieken in de Hamiltontheorie, Met de groep 'deeltjesversnellers' van Prof. dr. H.L. Hagedoorn van natuurkunde is het afgelopen jaar het werk bestudeerd van A.J. Dracht. Er bestaat de hoop dat met Lie-algebraïsche technieken de beweging van deeltjes (elektronen) in versnellers adequater dan tot nu toe beschreven kan worden. Dit onderzoek is onderdeel van het project Euterpe met als doel het ontwerp en de bouw van een elektronenopslagring met een daaraan gekoppeld microtron. De hoge mate van niet-lineariteit van de Hamiltonse bewegingsvergelijkingen laat geen analytische oplossingen toe. De resultaten zijn daarom beperkt tot kwalitatieve aspecten, zoals de stabiliteit (focusering) van de deeltjesbanen. het primaire doel van het onderzoek is na te gaan of het Lie-algebraïsch formalisme voldoende krachtig is om zogenaamde randveldeffecten in rekening te brengen. Samenwerking met andere faculteiten: - Elektrotechniek (S. Weiland, P.van de Bosch) - Natuurkunde (L. Hagedoorn, F. Preisig) - Werktuigbouwkunde (J. Kok, R. Kriens) - BMGT, gerontechnologie (J. Graafmans, T. Harrington) met andere universiteiten: - Rutgers University (P. Sannuti, E. Sontag) - New York State University at Stonybrook (Z. Lin) - Washington State University (A. Saberi) - University of Michigan (J. Grizzle) - Beijing University of Aeronautics and Astronomics (X. Xia) Lotgevallen W&I 1995 p.53

9 met onderzoeksinstellingen: - CWI (J. van Schuppen) - Laboratoire d'automatique de Nantes (C. Moog) met bedrijven: - IPCOS (Ir. J. Ludlage) Voornemens Het merendeel van de bestaande onderzoeksthema's bevat nog belangrijke open vragen. Het onderzoek in die gebieden zal daarom worden voortgezet. Nieuwe onderzoeksthema's zullen zijn: de bestudering van nietlineaire dynamische systemen en toepassingen van de computeralgebra bij de regeling van nietlineaire dynamische systemen, identificatie en modelvorming, signaalanalyse. Lotgevallen W&I 1995 p.54

10 EIDMA - verslag 1995 Programmaleiding : prof.dr. A.E. Brouwer, prof.dr. A.M. Cohen, prof.dr. J.K. Lenstra, prof.dr.ir. H.C.A. van Tilborg. Onderwerpontsluiting ISN : 1204, 1299 Discrete Wiskunde, 3325 Onderwerpontsluiting NWO : P110, T180 Onderwerpontsluiting NABS : N025, (Eindige) meetkunde, grafentheorie en designtheorie Onderzoek is gedaan in samenwerking met Ball en Mazzocca naar het bestaan van (q+1)-bogen in projectieve vlakken van de orde q. Een beroemd 40 jaar oud probleem werd opgelost door aan te tonen dat zulke bogen niet bestaan in vlakken van oneven orde. In samenwerking met Ball, Storme en Szönyi is de vraag naar het aantal richtingen bepaald door de grafiek van een functie over een eindig lichaam vrijwel volledig beantwoord. Dit beantwoord een 25 jaar oude vraag van Rédei. In samenwerking met Storme en Szönyi werden de ondergrenzen voor de afmeting van meervoudige blocking sets in Desarguese projectieve vlakken aanzienlijk verscherpt, en in veel gevallen werd de exacte structuur van de minimale verzamelingen bepaald. In samenwerking met Szönyi is de nonexistentie van zekere blocking sets van bijna Rédei type aangetoond. Onderzoek is gedaan naar MDS codes, in de formulering in termen van bogen in projectieve ruimten. In samenwerking met Cooperstein is gewerkt aan Lieincidentiesystemen. Beschouw de inbedding in de projectieve ruimte van een meetkunde Γ (of alleen maar een stel punten). Laat de meetkunde zijn met als punten de punten van Γ en als lijnen de projectieve lijnen die volledig in Γ liggen. De algemene vraag hier is: Beschrijf. Deze vraag is beantwoord in het geval Γ een Lieincidentiemeetkunde is. In samenwerking met R. Blok is bepaald welke Lieincidentiesystemen opgespannen worden door een appartement. Punt-lijn meetkunden met grote deelruimten zijn bestudeerd. Hierbij werden connecties met Fischer ruimten, Zara grafen en polaire ruimten nader onderzocht. Euclidische roosters voortgebracht door vectoren met minimale norm 3 zijn onderzocht. Hiermee werd werk van Neumaier voortgezet. Dit heeft geleid tot karakterisaties van een aantal van dergelijke roosters gerelateerd aan de sporadische enkelvoudige groep Co_2. Verder zijn er eveneens connecties met het Leech rooster. Alle afstandsreguliere grafen zonder 3-klauwen werden bepaald. De spectra van verschillende associatieschema's werden bepaald. Een hoofdstuk over sterk reguliere grafen is geschreven voor het Handbook of Combinatorial Designs. In samenwerking met Colbourn en Dinitz is een hoofdstuk over onderling orthogonale Latijnse vierkanten geschreven voor het Handbook of Combinatorial Designs. Lotgevallen W&I 1995 p.55

11 2. Theorie van groepen en Lie algebra's Onderzocht werd in hoeverre een eindige ondergroep H van een algebraische groep G een karakteristiek rooster invariant laat. Allereerst bleek dat er, bij niet al te sterke aannamen voor de ondergroep H (die aan maximaliteit als algebraische ondergroep doen denken), een uniek minimaal splijtlichaam is. Dat wil nog niet zeggen dat het eenvoudig is dit unieke lichaam ook te vinden. In samenwerking met Tiep is in het speciale geval van de Jordanondergroepen dit lichaam bepaald. Dit is een gezonde eerste stap in de gewenste richting. Immers, men neme de ring R van gehelen van dat minimale splijtlichaam en vrage zich af of er een definitie G_R van de groep G over R te vinden is, zo dat H de ondergroep van punten gedefinieerd over R is: H = G_R(R). Deze vraag is volledig beantwoord in het geval G=G_2 en H een van de vier Lieprimitieve ondergroepen die G kent; dit in samenwerking met Nebe en Plesken. Over het algemene geval wordt nog gedacht. In samenwerking met David Wales is gekeken naar het GL(4,k)-moduul van de kubische vormen modulo de derde machten, voor k een algebraisch afgesloten lichaam van karakteristiek 3. In dit geval bleken er eindig veel banen te zijn. Het artikel hierover, dat in J. Algebra zal verschijnen, bevat een beschrijving van een algoritme in de notedop hoe een algemene vorm in een van de expliciet gegeven baanrepresentanten te herschrijven. In geval van 3 dimensies is dit omgewerkt tot een interactief programma dat via de Proceedings van de Organics Workshop in Vancouver over het net te proberen valt. Met Gábor Ivanyos en David Wales is gewerkt aan een algoritme voor het bepalen van het radicaal van een eindig-dimensionale algebra. Het behelst hier zowel een beter begrip van de objecten die Rónyai gebruikte voor een polynomiaal algoritme, als een vereenvoudiging van zijn aanpak (hij moest een lift naar de gehele getallen uitvoeren, wij niet). De resultaten worden gebruikt voor een methode om te zien of twee algebravoorstellingen al dan niet equivalent zijn. In samenwerking met G. Ivanyos, A. Kuronya en L. Ronyai is gekeken naar de Levi decompositie van een Lie algebra in karakteristiek nul. Het is niet bewezen dat het al bestaande algoritme hiervoor polynomiaal is. Door wat wijzigingen aan te brengen kan een polynomiaal algoritme verkregen worden. Verder is een nieuw algoritme voor de berekening van het nilradicaal van een Lie algebra ontwikkeld. Ook is gewerkt aan structuur berekeningen van semsimpele Lie algebras. In samenwerking met S. Elashvili is gekeken naar centralisatoren van klassen van nilpotente elementen in E_8. Het bleek dat deze centralisatoren alle van index 8 zijn. In samenwerking met T. Breuer uit Aachen zijn de corresponderende algoritmen in GAP geimplementeerd. Gewerkt is aan een vermoeden van Deligne betreffende het bestaan van een tensorcategorie waar de representatiecategorieen van de exceptionele groepen en nog enkele andere enkelvoudige algebraische groepen "specialisaties" van zijn. Dit vermoeden is gebaseerd op verrassende patronen die zijn waar te nemen bij de decompositie van de tensormachten van de geadjungeerde voorstellingen van deze groepen. In Comptes rendus zal een artikel verschijnen met de resultaten van de decompositie van de vierde tensormacht. Intussen is ook de vijfde tensormacht uitgewerkt. Het zoeken is (onder andere) naar een combinatorisch model voor de vermoede tensorcategorie. Enkele stappen in die richting zijn inmiddels gezet. In samenwerking met J. van Bon werden diagram-meetkunden van het type Af.G_2 en Af.C_3* bestudeerd. De 7-dimensionale voorstelling van de groepen van type G_2 werden hierdoor op meetkundige wijze gekarakteriseerd, alsmede ook de spinvoorstelling van de groepen van type C_3. De connectie tussen cotriangulaire meetkunden en een klasse van Liealgebra's geïntroduceerd door Kaplanski werd onderzocht. Een karakterisatie van deze Liealgebra's werd verkregen. Als gevolg van deze karakterisatie is de automorfismengroep en de algebra van derivaties van deze Lotgevallen W&I 1995 p.56

12 Liealgebra's berekend. Hiermee werd een vermoeden van Rotman en Weichsel verbeterd en bewezen. 3. Combinatorische optimalisering a. Polyhedrale methoden Het onderzoek naar polyhedrale methoden voor discrete seriegrootteproblemen werd voorgezet en zal in 1996 worden afgerond met een promotie. Er werden interessante resultaten geboekt met de toepassing van kolomgeneratiemethoden voor de oplossing van twee- en driedimensionale snijproblemen en van schedulingproblemen op parallelle machines. In het kader van een extern gefinancierd project werd verdere voortgang geboekt met de polyhedrale aanpak van frequentietoewijzingsproblemen. b. Lokale zoekmethoden Het onderzoek van ir. R.J.M. Vaessens werd afgerond met zijn promotie op het proefschrift "Generalized job shop scheduling: complexity and local search". In het kader van een extern gefinancierd project werd een artikel over lokale zoekmethoden voor frequentietoewijzingsproblemen voltooid. De redactie van een boek over lokale zoekmethoden in de combinatorische optimalisering werd voortgezet; het boek zal in 1996 verschijnen. c. Nieuwe modellen en methoden voor routeringsproblemen Twee artikelen over een afstudeerproject over een handelsreizigersprobleem dat optreedt bij de productie van geintegreerde schakelingen, dat de VVS-prijs 1994 won, werden voltooid. Twee afstudeerprojecten op het gebied van de fysieke distributie werden gestart: een project over depotlocatie en transportplanning bij een Zaans bedrijf, en een project over rechtstreeks-vervoerproblemen bij een Eindhovens adviesbureau. d. Nieuwe modellen en methoden voor schedulingproblemen Het onderzoek van drs. M. Wennink werd afgerond met zijn promotie op het proefschrift "Algorithmic support for automated planning boards". Een voor 50% door TNO gefinancierd promotie-onderzoek naar modellen en methoden voor on-line schedulingproblemen maakte goede voortgang. In het kader van twee mede door EIDMA gefinancierde projecten werden belangrijke resultaten bereikt met betrekking tot flow shops met vertragingen en combinatorische benaderingsalgoritmen. Korte projecten met bezoekende onderzoekers leidden tot interessante studies naar modellen voor batch-scheduling en proportionele flow shop, en een nieuwe methode "non-strict vector summation" voor een grotere klasse van scheduling problemen. 4. Coderingstheorie Vectoren van minimaal gewicht in lineaire codes geven een beschrijving van de toegangsstructuren van de bijbehorende schema's om geheimen te (ver)delen. Voor zekere bekende klassen van codes en voor toevalscodes is een karakterizering van deze vectoren gevonden. Sommige voorbeelden zijn ook meer algemeen over eindige ringen (i.p.v. lichamen) bekeken. Nieuwe constructies van niet-lineaire cyclische codes zijn gebruikt om nieuwe families van binaire rijen met lage correlatie, beter dan de tot dusver bekende, te construeren. Onderzocht is de distributie van geheime sleutels over een openbaar kanaal, teneinde dynamisch de deelverzameling van gepriviligeerde gebruikers te kunnen veranderen. Voor grote netwerken leveren block designs de beste en eenvoudigst te implementeren systemen op. Lotgevallen W&I 1995 p.57

13 Een verband is aangetoond tussen gegeneraliseerde Hamming gewichtspolynomen en invarianten van matroiden. Dit resulteert in een eenvoudige vorm voor de MacWilliams relaties voor gegeneraliseerde gewichten, en suggereert een manier om bovengrenzen voor de kardinaliteiten van codes af te leiden. Voor b = 4 en b = 5 zijn de parameters van alle optimale, binaire cyclische codes bepaald, die een willekeurige burst ter lengte b kunnen corrigeren. Expliciete voorbeelden zijn gegeven in tabellen voor alle gevallen waarin de existentie stellingen niet werken. Er is een efficient parallel decoderingsalgoritme afgeleid voor optimale, binaire b-burst-correcting, cyclische codes. Dit algoritme maakt gebruik van het feit dat het generator-polynoom van zo'n code gesplitst kan worden in een primitief polynoom p(x) van de graad m en een polynoom e(x) van de graad b-1. De r-de gegeneralizeerde gewichten van de q-aire Reed-Muller codes zijn bepaald. De sleutelobservatie hiervoor is geweest dat het minimum aantal elementen in de support van een subcode van de Reed-Muller code van dimensie r gelijk is aan het aantal elementen in de zgn. schaduw van een bepaalde verzameling A. Dot codes worden gebruikt voor produkt registratie d.m.v. een camera. Een simpele, robuste methode is ontwikkeld om de codes te herkennen. Nieuwe constructies van zgn. square-cyclische codes zijn beschreven. De toestandscomplexiteit van een lineaire code geeft de complexiteit van het decoderen met behulp van het Viterbi algoritme aan. Grenzen aan die complexiteit zijn afgeleid en constructies van codes met een bepaalde complexiteit zijn gevonden. Uitgebreid onderzoek is gedaan naar het zgn. uncoordinated multiple-access kanaal. Nieuwe resultaten aangaande de capaciteit en de cutoff-rate zijn afgeleid. Nieuwe "multilevel" constructies van de Golay code en de Leech lattice zijn beschreven. Deze maken het mogelijk om begrensde-afstands decodeermethodes te formuleren met een geringere effectieve foutencoefficient dan voorheen bekend. Gesloten formules voor de foutaanwijzende veelterm van cyclische codes zijn gevonden. Een hoofdstuk over AG codes voor het handboek van de coderingstheorie is geschreven met T. Høholdt en J.H. van Lint. Een symmetrische versie van de Roosgrens werd afgeleid in samenwerking met I.M. Duursma. Gegeneraliseerde Klein codes zijn onderzocht, in samenwerking met G.-L. Feng en T.R.N. Rao. Asymptotisch goede krommen en codes werden geconstrueerd in samenwerking met H. Stichtenoth. Een hyperbolische grens voor codes werd afgeleid in samenwerking met R.H. Blahut en T. Høholdt. Het bestaan van codes met een duale die linear complementair is werd aangetoond. Irreducibiliteit van varieteiten werd onderzocht m.b.v. Gröbner bases en gewichtsfuncties. Onderzoek is gedaan naar codes opgespannen door kwadratische en Hermitese vormen. Hieruit kwam in het bijzonder een nieuwe ternaire [91,9,54] code. Lotgevallen W&I 1995 p.58

14 5. Cryptologie Een nieuwe klasse van algoritmen voor het decoderen van lineaire codes zonder bekende structuur is voorgesteld. Deze algoritmen hebben de kleinst bekende implementatiecomplexiteit voor lange codes. Dit geeft de best bekende aanval op het McEliece cryptosysteem. Er is onderzoek verricht naar secret sharing schema's. Dit zijn schema's waarin onder een groep deelnemers een secret verdeeld wordt in shares zodanig dat bepaalde subgroepen in staat zijn het geheim te reconstrueren door hun shares te combineren. Alle bestaande decompositie constructies zijn veralgemeend. Verder is het dualiteits-resultaat voor complete schema's uitgebreid naar incomplete schema's. Een constructie om unconditional secure group authentication schema's te produceren is gevonden. Deze schema's zijn analoog aan secret sharing schema's met het onderscheid dat niet een geheim maar een geheime authenticatie functie verdeeld wordt. Door shares te combineren kan nu bij een gegeven bericht een handtekening voor een groep deelnemers gevonden worden. De broadcast channel with confidential messages met en zonder public discussion zijn onderzocht. Gander en Maurer's coding gain strategie is geanalyseerd. Verder is gekeken naar enige specifieke situaties en kanalen. Er is sleutel opslag en distributie schema voorgesteld voor een situatie met 1 Centrale Management Faciliteit en meerdere zelfstandige sleuteldistributiecentrales. Een concrete uitwerking van een RSA systeem is gemaakt voor een simpele smartcard (zonder co-processor). Om de rekentijd aanvaardbaar te houden zijn speciale rekenmethodes gebruikt en enige compromissen wat betreft de security van het syteem gesloten. Met behulp van block designs zijn sleutel distributie schemas ontwikkeld voor toepassingen van het type betaal t.v. Hierbij wordt een compromis gesloten tussen het aantal te versturen sleutels en het aantal bij een ontvanger opgeslagen sleutels. 6. Computeralgebra, computers en wiskunde In samenwerking met Heck is een artikel geschreven over het ontwerpen van een contranok voor een garnalenmachine. Een artikel is geschreven over het gebruik van Groebner bases m.b.t. foutenverbeterende codes. Een inleidend artikel over de fundamentele algoritmen voor permutatiegroepen werd geschreven. Deze algoritmen zijn, ten dele, geimplementeerd in Maple en Mathematica. Het padenmodel van Littelmann is bestudeerd en enige algoritmen zijn geïmplementeerd in GAP. Gewerkt is aan het COCO (`coherent configurations') computeralgebrasysteem. Veel tijd is besteed aan projecten die de interactie met een computer behelzen. Nagedacht is over de integratie met bewijsverificatiesystemen, interactieve boeken e.d. De service van de WWW servers is uitgebreid. Samenwerkingen Samenwerking op een van bovenstaande gebieden bestaat onder meer met: S. Ball (London, TUE), Lotgevallen W&I 1995 p.59

15 R.H. Blahut, R. Blok (THD), J. van Bon, T. Breuer, C. Colbourn (Waterloo), B. Cooperstein, J. Dinitz, I.M. Duursma, S. Elashvili, G.-L. Feng, A. Heck (CAN), T. Høholdt, G. Ivanyos, A. Kuronya, J.H. van Lint (TUE), F. Mazzocca (Napels), G. Nebe (Aachen), W. Plesken (Aachen), T.R.N. Rao, L. Ronyai (Budapest), N.J.A. Sloane (Bell Labs), H. Stichtenoth (Essen), L. Storme (Gent), T. Szönyi (Budapest), P.H. Tiep (Essen), D.B. Wales (Pasadena) Lotgevallen W&I 1995 p.60

16 STEVIN Centrum, verslag 1995 Programmaleiding : prof.dr. R.M.M. Mattheij, prof.dr.ir. J. de Graaf, dr.ir. C.W.A.M. van Overveld. Onderwerpontsluiting ISN : 1202, 1203, 1206, 2202, 2205, 2212 Onderwerpontsluiting NWO : P175, P130, P140, P170 Onderwerpontsluiting NABS : 10.0, 7.0, 7.7 Binnen de faculteit Wiskunde en Informatica wordt in het kader van het Stevin Centrum gewerkt aan een drietal hoofdthema's: 1. Toegepaste Analyse (Wsk) 2. Numerieke Analyse (Wsk) 3. Computer Graphics (Inf) 1. Binnen het hoofdthema Toegepaste Analyse zijn de volgende projecten te onderscheiden: a. Electromagnetisme, golfvoortplanting en diffractietheorie (o.a. in halfgeleiders). b. Interactie tussen thermo-elastische en electromagnetische velden in continue media. c. Problemen die in een industriële context een rol spelen, met name op het gebied van mechanica (elasticiteit, plasticiteit). d. Evolutievergelijkingen. In het bijzonder klassiek-analytisch èn functionaal-analytisch onderzoek aan niet-lineaire (vrije)-randproblemen. e. Elliptische operatoren. In het bijzonder 'niet-gladde' randwaardeproblemen voor 2e orde operatoren in divergentievorm en eigenschappen van kernen voor 'warmte-vergelijkingen' op Lie-groepen met een gewogen subelliptische operator als generator. a. Het onderzoek van de geometrie van de schouder van een verpakkingsmachine, verricht in samenwerking met het IWDE naar aanleiding van vragen vanuit de industrie, is voorlopig afgesloten met een publikatie in SIAM Review, verschenen in de rubriek Case Studies from Industry. Reeds langer werd vermoed dat de symbolische programmeertaal MATHEMATICA een bruikbaar hulpmiddel zou kunnen zijn voor de uitvoering van omvangrijke analytische berekeningen die zich voordoen bij de laag-frequente diffractie aan een obstakel. In het afgelopen jaar is MATHEMATICA gebruikt voor de berekening van de laag-frequente ontwikkeling van de "scattering coefficient" by akoestische of elektromagnetische diffractie aan een cirkelvormige schijf. De resultaten zijn gepubliceerd in een EUT Report; daarnaast zal nog een samenvatting van het rapport verschijnen als artikel in het ACES Journal. Een tweetal artikelen, betreffende accoustische oppervlaktegolven in gelaagde, elastische halfgeleiders, in samenwerking met Prof. B. Maruszewski, Poznan, is verschenen in de in 1995 gepubliceerde Proceedings van een IUTAM-Symposium over golven in vaste media. Een derde artikel is afgerond en zal ter publikatie worden aangeboden aan een internationaal tijdschrift. Voornemens op korte termijn Het verdere onderzoek, waarin MATHEMATICA een essentiële rol blijft spelen, is gericht op de berekening van de convergentiestraal van de laag-frequente ontwikkeling en op het verband tussen convergentiestraal en zgn. SEM-polen van de cirkelvormige schijf. Voorts zal het eerdere onderzoek van de laag-frequente diffractie aan een elliptische schijf weer worden opgevat. Het onderzoek naar halfgeleiders in samenwerking met Maruszewski zal in 1996 worden afgerond. b. Het promotie-onderzoek naar niet-lineaire visco-elastische stromingen, specifiek gericht op instabibiliteiten bij extrusie van polymeersmelts, zal naar verwachting in 1996 worden afgerond. Een artikel betreffende "Stability points of the Poiseuille flow of a KBKZ-fluid" is in 1995 gepubliceerd. Voordrachten over dit onderwerp werden gehouden op een tweetal HCM-meetings (ECMI) in Oxford en Milaan, op een ECMI-conferentie in Boekarest en op het Stevin-symposium in Rolduc, Kerkrade. Aangaande dit onderzoek bestaan, mede via IWDE, intensieve contacten met DOW-Benelux, Terneuzen, die dit onderzoek subsidieert. Verder zijn er op dit gebied nog contacten met DSM en KSLA en, binnen het Stevin-centre, met de polymeergroep van WFW-TUE. Lotgevallen W&I 1995 p.61

17 Voornemens op korte termijn Het onderzoek naar the stromingsgedrag van polymeren zal, ook na de geplande promotie, worden voortgezet (via 2e fase-afstudeerders WvdI). c. Met Philips Nat.Lab. is er contact op het gebied van "Damage en scheurvoortplanting in brosse materialen". Een tweetal promotie-onderzoeken wordt begeleid, waarvan er een in februari 1996 zal worden afgerond. Als co-coördinator wordt opgetreden voor een INTAS-project met Armenië (INTAS ) met als coördinator Prof. G. Maugin, Université Pierre et Marie Curie, Paris. Deelnemers zijn Prof. S. Ambartsumyan, Yerevan State University, en Prof. M. Belubekian, Armenian Academy of Science, beide uit Armenië. Voor IWDE werd, buiten DOW-Benelux, nog gewerkt aan projecten voor BMD (spaakspanningsmeter; spakenmachine) en DAZON (vogelschrikkanon). Van het laatste project is een IWDE-rapport verschenen. Ook het promotie-onderzoek annex SOBU-project 92F: "Golden Ten", in samenwerking met KUB, nadert de afrondingsfase (eind begin 1997). Een artikel betreffende de bewegingsvergelijkingen van Golden Ten, en hun asymptotische oplossingen, is ter publikatie ingediend bij een internationaal tijdschrift. Tevens werd een voordracht gehouden op een congres in Stockholm. Voornemens op korte termijn Het Golden Ten-project zal in 1996 worden afgerond. Naar verwachting zal in 1996 het INTAS-project getiteld: "Structural mechanics of electroconductive bodies" effectief worden opgestart. Kleine onderzoeksprojecten zullen incidenteel binnen komen via IWDE (o.a. BMD). d. De door ons bedachte quasi-lineaire versie van de Löwner Kufareev vergelijking blijkt een belangrijk hulpmiddel te zijn bij de studie van de Hopper vergelijking. Dit is een evolutievergelijking voor de tijdsafhankelijke conforme afbeelding van de eenheidsschijf naar een 2-dimensionaal domein dat ingenomen wordt door een vloeistof. Een belangrijk bijzonder geval is een visceuze vloeistof die beweegt onder de invloed van oppervlakte spanning op de rand. Hopper's hypothese over het bestaan van rationale oplossingen is veralgemeend en bewezen. Met door ons gevonden behoudswetten kunnen we voor een klasse van problemen het bestaan van globale rationale oplossingen bewijzen. Etc. etc. Deze resultaten zijn bevat in het proefschrift "Moving boundary problems in relation with equations of Löwner-Kufareev type" waarop Bart Klein Obbink op gepromoveerd is. Het functionaal analytisch onderzoek aan problemen voor vrije randen is toegespitst op het verkrijgen van stellingen over existentie, uniciteit en regulariteit van oplossingen van niet-lineaire evolutievergelijkingen voortkomende uit vrije randproblemen in de quasistationaire vloeistofdynamica, zoals Stokes flow en Hele-Shaw flow met oppervlaktespanning als drijvende kracht. De gebruikte methoden zijn heel divers en behelzen elliptische en parabolische PDV, niet-lineaire functionaalanalyse, differentiaalmeetkunde en symmetrie beschouwingen. In 1995 zijn, in samenwerking met prof. Günther van de universiteit Leipzig, enkele resultaten voor Stokes flow in willekeurige ruimtelijke dimensie verkregen. Het betreft hier de evolutie van stervormige gebieden. Voornemens op korte termijn. Verdere uitbreiding, zowel met betrekking tot toepassingen op Hele-Shaw flow als ook voor nietstervormige gebieden lijkt op redelijk korte termijn mogelijk. Begin 1996 zal over dit onderzoek een RANA rapport verschijnen. Eind 1996 zullen de contouren van een proefschrift over dit onderzoek zich duidelijk aftekenen. e. Tweede orde sterk elliptische operatoren met niet gladde begrensde coëfficiënten op een domein met randcondities zijn bestudeerd onder zwakke voorwaarden. Er is bewezen dat een gewogen subelliptische operator geassocieerd met een continue representatie van een Lie groep in een Banachruimte een continue halfgroep genereert. Voor de kern van deze halfgroep zijn Gaussische afschattingen bewezen. Voor de Gårding ongelijkheid zijn vele karakterizeringen gegeven. Deze projecten zijn afgesloten met RANA rapporten. Lotgevallen W&I 1995 p.62

18 Voornemens op korte termijn. Optimale regulariteitseigenschappen afleiden voor tweede orde elliptische operatoren met complexe variabele coëfficiënten in termen van de regulariteit van de coëfficiënten. Samenwerking: prof.dr. B.L.J. Braaksma (RU Groningen) prof.dr. A.G. Tijhuis (TUE) prof. E. Heijman (Tel-Aviv University, Tel-Aviv, Israel) dr. M.E.J. Jenken (TUE) dr. H.P. Urbach (Philips Nat.Lab., Eindhoven) dr. N.M. Temme (CWI, Amsterdam) prof. D.S. Jones (University of Dundee, Dundee, Scotland) prof. R.E. Kleinman (University of Delaware, Newark, U.S.A.) prof. M.L. Glasser (Clarkson University, Potsdam, U.S.A.) prof.dr.ir. A.T. de Hoop (TU Delft) prof.dr.ir. H. Blok (TU Delft) prof.dr.ir. P.M. van den Berg (TU Delft) prof. S. Blume (Ruhr-Universität, Bochum, Duitsland) prof. E. Danicki (IPPT PAN, Warschau, Polen) prof. A. Ciarkowski (IPPT PAN, Warschau, Polen) prof. G. Kristensson (Lund Univeristy, Lund, Zweden) dr. N. Ortner (Universität Innsbruck, Oostenrijk) prof. D.W. Robinson (The Australian National University, Canberra, Australië) prof.dr. W. Arendt (Ulm, Duitsland) prof. P. Auscher (Amiens, Frankrijk) prof. E.B. Davies (Londen, U.K.) dr. X.T. Duong (Macquarie, Sydney, Australië) prof. P.E.T. Jørgensen ( Iowa, U.S.A.) prof. A. McIntosh (Macquarie, Sydney, Australië) prof. J. Nourrigat (Reims, Frankrijk) dr. E.-M. Ouhabaz (Noisy-le-Grand, Frankrijk) dr. R. Koopmans (DOW-Benelux) dhr. B. Best (Best Machine Development, Zuid-Oost Beemster) dhr. J. Frissen (DAZON B.V., Maastricht) prof.dr. B.B. van der Genugten (KUB) drs. J.C. de Vos (KUB) prof.dr. G.A. Maugin (Université Pierre et Marie Curie, Parijs, Frankrijk) prof.dr. S.A. Ambartsumyan (Yerevan State University, Yerevan, Armenië) prof.dr. M. Belubekian (Armian Academy of Science,Yerevan, Armenië) prof. B. Marszewski (Technical University Poznan, Poznan, Polen) ir. J.C.W. van Vroonhoven (Philips Nat.Lab., Eindhoven) dr.ir. P.P. Tas (DSM-Geleen) prof.dr. M. Günther (Universität Leipzig, Leipzig, Duitsland) prof.dr. R. Delange (Universiteit van Gent, Gent, België) dr. J. Cnops (Universiteit van Gent, Gent, België) dr. I. Raptis (University of Newcastle upon Tyne, U.K.) dr. Jaime Carvalho e Silva (Universidade de Coimbra, Coimbra, Portugal) prof.dr. G. Jank (RWTH-Aachen, Duitsland) prof.dr. F. Constantinescu (Universität Frankfurt am Main, Duitsland) Lotgevallen W&I 1995 p.63

19 2. Binnen het hoofdthema Numerieke Analyse zijn de volgende projecten te onderscheiden: a. Sterk visceuze stromen b. Eindige differentie/volume methoden, in het bijzonder ten behoeve van combustion c. Poreuze media d. Meerrooster methoden, grote stelsels en parallel rekenen e. Differentiaal-algebraïsche vergelijkingen f. Eindige elementen methoden, in het bijzonder bij Navier-Stokes g. Numerieke simulatie van geofysische stromen h. Constructieve approximatie a. In het verslagjaar rondde G.A.L. van de Vorst als post-doc zijn onderzoek aan visceus sinteren van glasdeeltjes af. Er werden een aantal overzichtsartikelen en boekenbijdragen geschreven. Dit succesvolle onderzoek, waarbij veel ervaring is opgedaan met de boundary-element methode wordt helaas niet verder voortgezet. Het thema glas daarentegen heeft verdere uitbreiding gekregen. Zo houdt een AIO zich bezig met morfologie van glas bij persen van bijv. TV schermen en zijn een TWAIO en een afstudeerder tezamen met J.K.M. Jansen en R.M.M. Mattheij aan het onderzoeken hoe de parison, die bij het persen van glazen potten en flessen gevormd wordt, numeriek te simuleren. Naast de Stokes vergelijking, die met een FEM methode wordt opgelost, speelt ook de energie vergelijking een rol. Overwogen wordt een BEM/FEM aanpak. Voornemens op korte termijn Op korte termijn kan een meer realistisch temperatuurafhankelijk stromingsmodel geïmplementeerd worden. Verder verwachten we een uitbreiding van het onderzoek met warmte-overdracht door straling. b. Op het gebied van CFD zijn enkele interessante resultaten behaald. In september promoveerde A.C. Berkenbosch op een numeriek schema voor het oplossen van detonatie problemen (Euler met sterke bronterm). Dit onderzoek was gedeeltelijk ingebed in een groter samenwerkingsverband, "aardgasbranders", met L.P.H. de Goey (WOC) waarbij naast J.H.M. ten Thije Boonkkamp en R.M.M. Mattheij ook nog P.J.J. Ferket en een door Gastec gefinancierde OIO, B. van 't Hof, vanuit Wsk betrokken zijn. Deze laatste heeft een mooi exponentieel conservatief schema ontworpen en beschreven dat nu in vlamsimulaties wordt ingebouwd. Voornemens op korte termijn In de komende tijd zal numerieke analyse van streching, en 1-D tijdsafhankelijke vlammen nader onderzocht gaan worden. c. Het meerfase onderzoek in 1995 betrof het drooggedrag van kleivormen. Hieraan is door een afstudeerder met succes gewerkt. Mede door gezamenlijke actie met andere leden van het Stevin Centrum heeft dit geleid tot een succesvolle TDO-aanvraag, die in 1996 door een OIO in samenwerking met K. Kopinga (N) zal uitgevoerd worden; het betreft vochttransport in metselwerk. Daarnaast is een succesvolle aanvraag gedaan bij het interuniversitair verband RL-TUE (BMGT) voor onderzoek naar zwellingen in biologische materialen. Ook hier zal een OIO in 1996 aan gaan werken. De dagelijkse begeleiding is in handen van E.F. Kaasschieter. Voornemens op korte termijn Het komende jaar zullen de nieuwe OIO-projecten opgestart gaan worden. Naast het ontwikkelen van geschikte modellen zullen in eerste instantie eenvoudige (1-D) simulaties uitgevoerd gaan worden. d. Het onderzoek naar meerroostermethoden heeft een aantal resultaten te zien gegeven. Zo is er veel onderzoek gedaan aan meerroostermethoden die een, voor de praktijk belangrijke, robuustheid eigenschap hebben. Op het multigrid vakgebied staat dit onderwerp momenteel sterk in de belangstelling. Verder zijn niet-lineaire multigrid methoden onderzocht. In het kader van zijn promotie onderzoek heeft P.J.J. Ferket, samen met A.A. Reusken methoden onderzocht om op Lotgevallen W&I 1995 p.64

20 samengestelde roosters randwaarde problemen op te lossen. Bij de zgn. LDC methode blijkt dit een snelle iteratie op te leveren. Ten gevolge hiervan kunnen discretisaties op samengestelde, maar locaal uniforme, roosters goed gebruikt gaan worden. Als post-doc heeft R. Stevenson domeindecompositiemethoden voor Poisson problemen onderzocht alsmede parallelle implementaties ervan. Voornemens op korte termijn Robuuste meerroostermethoden zullen verder theoretisch en implementatief onderzocht worden. Verder zal het onderwerp parallel rekenen een (hopelijk krachtige) impuls krijgen. Met enkele afstudeerders zal gewerkt worden aan de verdere implementatie van domeindecompositie methoden. e. Het onderzoek naar DAE komt, wat de promovendus P.M.E.J. Wijckmans betreft, in een afsluitend stadium. Er zijn interessante resultaten bereikt t.a.v. conditie en stabiliteit van index 1 en index 2 problemen. Onder andere is onderzocht wanneer dergelijke problemen in feite een hogere index bezitten (met daarmee numeriek onprettige eigenschappen). Een afstudeerder doet DAE onderzoek op het KSLA, waarbij hyperbolische problemen een rol spelen. Voornemens op korte termijn We verwachten dat de komende tijd een groot deel van de bereikte resultaten in artikelen uitgewerkt zullen gaan worden. f. Eindige elementen, en met name het pakket SEPRAN, spelen bij tal van projecten (waaronder enige van de bovengenoemde) een rol. Meer specifiek is gekeken naar alternatieven voor de penalty methode voor (Navier) Stokes. In het project "Koelingsgaten in turbine bladen", waar M.J. Noot (OIO) samen met J.K.M. Jansen in opdracht van ELDIM aan werkt is naar FEM ook een eindige volume simulatie uitgevoerd met FLUENT. Het lijkt erop dat de turbulenties met meer dan eenvoudige k-εmodellen onderzocht zullen moeten worden; er zijn geen quasi-stationaire oplossingen gevonden. Voornemens op korte termijn De komende tijd zal naast het verder vervolmaken van de code (een enkele simulatie kost vaak nog een week rekentijd) ook verdere analyse van de vergelijking een duidelijke aandacht krijgen. g. Het onderzoek naar contourdynamica van 2-D wervels vordert gestaag. In samenwerking met N wordt hier onderzoek aan gedaan door P.W.C. Vosbeek. Er is een leuk resultaat behaald waarbij tijdsdiscretisatie met een simplectische methode efficiënt uitgevoerd kon worden onder andere door gebruik te maken van Aitken extrapolatie. Voornemens op korte termijn De behaalde resultaten zullen ook voor het β-vlak en wellicht het γ-vlak toegepast gaan worden. h. Constructieve Approximatie Constructieve approximatie is het deel van de approximatietheorie dat zich bezig houdt met het ontwerpen en analyseren van constructieve methoden bij het berekenen en benaderen van functies en transformaties. Spline-approximatie en wavelet-transformaties kunnen als onderdeel van dit vakgebied worden beschouwd. - Het afgelopen jaar is het schrijven van een boek over Splines en Wavelets gestart (auteurs: C. Traas (UT), R. van Damme (UT), H.G. ter Morsche (TUE) dat in de bekende epsilon serie zal verschijnen en is het artikel "On the Chebyshev Norm of Polynomial B-splines in het tijdschrift Journal of Approximation Theory verschenen. - Een AIO van de tweede-fase opleiding Wiskunde voor de Industrie (H. Oltmans) heeft als opdracht van het bedrijf Joh. Enschedé in Haarlem een efficiënt algoritme ontwikkeld voor lijnendetectie i.v.m het coderen van beelden. - In de landelijke werkgroep Spline functies zijn voordrachten gehouden. Lotgevallen W&I 1995 p.65

BIJLAGE A VOORTGANG ONDERZOEK. Lotgevallen W&I 1996 p. 44

BIJLAGE A VOORTGANG ONDERZOEK. Lotgevallen W&I 1996 p. 44 BIJLAGE A VOORTGANG ONDERZOEK Lotgevallen W&I 1996 p. 44 1.1 BETA EN STIELTJES BETA (Wiskunde) Programmaleiding : prof.dr. J. Wessels, prof.dr. P. van der Laan Onderwerpontsluiting ISN : 1203,1207,1208,

Nadere informatie

Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche)

Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche) Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche) De onderwerpen sluiten aan bij het onderzoek in de afdeling Analyse (onderzoeksgroep klassieke analyse) en zijn zo gekozen

Nadere informatie

Lineaire algebra en vectorcalculus

Lineaire algebra en vectorcalculus Lineaire algebra en vectorcalculus dr. G.R. Pellikaan Studiewijzer voor het studiejaar 2013/2014 College 2DN60 Contents 1 Algemeen 2 2 Inhoud van het vak 2 3 Leerdoelen 3 4 Berekening tijdsplanning 3 5

Nadere informatie

WISKUNDE D VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0

WISKUNDE D VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 WISKUNDE D VWO VAKINFORMATIE STAATSEAMEN 2016 V15.7.0 De vakinformatie in dit document is vastgesteld door het College voor Toetsen en Examens (CvTE). Het CvTE is verantwoordelijk voor de afname van de

Nadere informatie

Domein A: Vaardigheden

Domein A: Vaardigheden Examenprogramma Wiskunde A havo Het eindexamen bestaat uit het centraal examen en het schoolexamen. Het examenprogramma bestaat uit de volgende domeinen: Domein A Vaardigheden Domein B Algebra en tellen

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 13.1 Kansberekeningen 13.2 Kansmodellen 13.3 De normale verdeling 13.4 De n -wet 13.5 Discrete en continue verdelingen 13.6 Diagnostische toets 14 Algebraïsche

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen. Overzicht bestaande content. Deliverable 3.6. Hans Cuypers. ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen. Overzicht bestaande content. Deliverable 3.6. Hans Cuypers. ONBETWIST Deliverable 3. Overzicht bestaande content Deliverable 3.6 Hans Cuypers Inleiding Binnen het ONBETWIST project worden toetsen en items voor verschillende deelgebieden van de wiskunde gemaakt. In voorgaande projecten,

Nadere informatie

Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche)

Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche) Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche) De onderwerpen sluiten aan bij het onderzoek in de afdeling Analyse (onderzoeksgroep klassieke analyse) en zijn zo gekozen

Nadere informatie

Beschrijving onderwijseenheden

Beschrijving onderwijseenheden Bachelorgids Wiskunde 2006 23-06-2006 15:28 Pagina 166 Bijlage C Beschrijving onderwijseenheden Deze bijlage behoort bij artikel 1.2, eerste lid, van de onderwijs- en examenregeling van de bacheloropleiding

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

De wiskunde achter de Bitcoin

De wiskunde achter de Bitcoin De wiskunde achter de Bitcoin Bas Edixhoven Universiteit Leiden NWD, Noordwijkerhout, 2015/01/31 Deze aantekeningen zal ik op mijn homepage plaatsen. Bas Edixhoven (Universiteit Leiden) De wiskunde achter

Nadere informatie

Model: Er is één bediende en de capaciteit van de wachtrij is onbegrensd. 1/19. 1 ) = σ 2 + τ 2 = s 2.

Model: Er is één bediende en de capaciteit van de wachtrij is onbegrensd. 1/19. 1 ) = σ 2 + τ 2 = s 2. Het M/G/1 model In veel toepassingen is de aanname van exponentiële bedieningstijden niet realistisch (denk bijv. aan produktietijden). Daarom zullen we nu naar het model kijken met willekeurig verdeelde

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in

Nadere informatie

Economie en maatschappij(a/b)

Economie en maatschappij(a/b) Natuur en gezondheid(a/b) Economie en maatschappij(a/b) Cultuur en maatschappij(a/c) http://profielkeuze.qompas.nl/ Economische studies Talen Recht Gedrag en maatschappij http://www.connectcollege.nl/download/decanaat/vwo%20doorstroomeisen%20universiteit.pdf

Nadere informatie

Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814.

Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814. STAATSCOURANT Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814. Nr. 7228 14 maart 2014 Regeling van de Staatssecretaris van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap van 22 februari 2014, nr. VO/599178,

Nadere informatie

Elliptische krommen en hun topologische aspecten

Elliptische krommen en hun topologische aspecten Elliptische krommen en hun topologische aspecten René Pannekoek 25 januari 2011 Dit is een korte introductie tot elliptische krommen voor het bachelorseminarium van de Universiteit Leiden. De bespreking

Nadere informatie

Europese toppositie voor Management onderzoek van Erasmus Universiteit Rotterdam

Europese toppositie voor Management onderzoek van Erasmus Universiteit Rotterdam Persbericht Europese toppositie voor Management onderzoek van Erasmus Universiteit Rotterdam Belang van managementonderzoek In een onlangs verschenen rapport*) van de Rijksuniversiteit Leiden is de kwaliteit

Nadere informatie

math inside Model orde reductie

math inside Model orde reductie math inside Model orde reductie Model orde reductie Met het voortschrijden van de rekenkracht van computers en numerieke algoritmen is het mogelijk om steeds complexere problemen op te lossen. Was het

Nadere informatie

WISKUNDE D HAVO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0

WISKUNDE D HAVO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 WISKUNDE D HAVO VAKINFORMATIE STAATSEAMEN 2016 V15.7.0 De vakinformatie in dit document is vastgesteld door het College voor Toetsen en Examens (CvTE). Het CvTE is verantwoordelijk voor de afname van de

Nadere informatie

GETAL& RUIMTE. Verbeteringen havo A 10e editie (2011) t.o.v. editie 2007

GETAL& RUIMTE. Verbeteringen havo A 10e editie (2011) t.o.v. editie 2007 Verbeteringen havo A 10e editie (2011) t.o.v. editie 2007 Havo A deel 1 begint met het niet-examenonderwerp Statistiek (was hoofdstuk 4). Al snel wordt de grafische rekenmachine ingezet en ook bij de andere

Nadere informatie

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen Referentieniveaus uitgelegd De beschrijvingen zijn gebaseerd op het Referentiekader taal en rekenen'. In 'Referentieniveaus uitgelegd' zijn de niveaus voor de verschillende sectoren goed zichtbaar. Door

Nadere informatie

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent:

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: D.P. Huijsmans LIACS Universiteit Leiden College Lineaire

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00 Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten

Nadere informatie

Figuur 1. Schematisch overzicht van de structuur van het twee-stadia recourse model.

Figuur 1. Schematisch overzicht van de structuur van het twee-stadia recourse model. Samenvatting In dit proefschrift worden planningsproblemen op het gebied van routering en roostering bestudeerd met behulp van wiskundige modellen en (numerieke) optimalisatie. Kenmerkend voor de bestudeerde

Nadere informatie

Afdeling Wiskunde. Onderwijs. Onderzoek

Afdeling Wiskunde. Onderwijs. Onderzoek Wiskunde nu Afdeling Wiskunde Onderwijs Onderzoek Afdeling Wiskunde In recente jaren aanzienlijk uitgebreid en verjongd Nu ± 25 vaste medewerkers en postdocs, ook aanzienlijk aantal deeltijd hoogleraren

Nadere informatie

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS deel 1 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC SERVICE inhoud 1 Algemene grondbegrippen 1 1.1 Enkele basisbegrippen in de verzamelingenleer 1 1.1.1 Definitieenbeschrijvingvaneenverzameling

Nadere informatie

Samenvatting (Summary in Dutch)

Samenvatting (Summary in Dutch) Het voornaamste doel van dit proefschrift is nieuwe methoden te ontwikkelen en te valideren om de effectiviteit van customization te kunnen bepalen en hoe dataverzameling kan worden verbeterd. Om deze

Nadere informatie

HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse

HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse 1. Netwerkanalyse situering analyseren van het netwerk = achterhalen van werking, gegeven de opbouw 2 methoden manuele methode = reductie tot Thévenin- of Norton-circuit zeer

Nadere informatie

Een korte beschrijving van de inhoud

Een korte beschrijving van de inhoud Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige toepassingen op

Nadere informatie

Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814.

Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814. STAATSCOURANT Officiële uitgave van het Koninkrijk der Nederlanden sinds 1814. Nr. 30735 6 november 2013 Regeling van de Staatssecretaris van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap van 28 oktober 2013, nr. VO/541608,

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger

Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken Benne de Weger 28 aug. / 4 sept. RSA 1/38 asymmetrisch cryptosysteem versleutelen met de publieke sleutel ontsleutelen met de bijbehorende privé-sleutel gebaseerd

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor E (VKO)

Lineaire Algebra voor E (VKO) Lineaire Algebra voor E (VKO) dr. G.R. Pellikaan Studiewijzer voor het studiejaar 2006/2007 College 2DE01 Faculteit Wiskunde en Informatica, Capaciteitsgroep Wiskunde, Leerstoelgebied Coderingstheorie

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde N460 op donderdag 4 juni 010, 14.00-17.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

2. Een eerste kennismaking met Maxima

2. Een eerste kennismaking met Maxima . Een eerste kennismaking met Maxima Als u nog niet eerder kennis heeft gemaakt met CAS (Computer Algebra System) software, dan lijkt Maxima misschien erg gecompliceerd en moeilijk, zelfs voor het oplossen

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

Beta s rol in toekomstige PhD programma s

Beta s rol in toekomstige PhD programma s Sessie Lunteren, over Verleden, heden en toekomst van het PhD onderwijs Beta s rol in toekomstige PhD programma s Geert-Jan van Houtum Wetenschappelijk directeur van Onderzoeksschool Beta voor Operations

Nadere informatie

Planning en Evaluatie gespreksverslagen

Planning en Evaluatie gespreksverslagen Promotietraject RU / FNWI Inleiding Planning en Evaluatie gespreksverslagen Plannings en evaluatiegesprekken (minimaal 1 x per jaar) helpen begeleider en promovendus bij het doelgericht werken en plannen.

Nadere informatie

artikel SUSTAINGRAPH TECHNISCH ARTIKEL

artikel SUSTAINGRAPH TECHNISCH ARTIKEL SUSTAINGRAPH TECHNISCH ARTIKEL SUSTAINGRAPH is een Europees project, gericht (op het verbeteren van) de milieuprestaties van Europese Grafimediabedrijven binnen de productlevenscyclus van hun grafimedia

Nadere informatie

Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur.

Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur. Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur. Deze opdracht bestaat uit vier onderdelen; in elk onderdeel wordt gevraagd een Matlabprogramma te schrijven. De vier bijbehore bestanden stuur

Nadere informatie

Digitale systemen. Hoofdstuk 6. 6.1 De digitale regelaar

Digitale systemen. Hoofdstuk 6. 6.1 De digitale regelaar Hoofdstuk 6 Digitale systemen Doelstellingen 1. Weten dat digitale systemen andere stabiliteitsvoorwaarden hebben In deze tijd van digitalisatie is het gebruik van computers in regelkringen alom.denk maar

Nadere informatie

Tentamen Data Mining

Tentamen Data Mining Tentamen Data Mining Algemene Opmerkingen Dit is geen open boek tentamen, noch mogen er aantekeningen gebruikt worden. Laat bij het uitvoeren van berekeningen zien hoe je aan een antwoord gekomen bent.

Nadere informatie

Projectieve Vlakken en Codes

Projectieve Vlakken en Codes Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop

Nadere informatie

Tussendoelen in MathPlus

Tussendoelen in MathPlus MALMBERG UITGEVERIJ B.V. Tussendoelen in MathPlus Versie 1 Inhoud Tussendoelen onderbouw in MathPlus... 2 Tabel tussendoelen... 2 1HVG... 7 Domein Rekenen... 7 Domein Meten en tekenen... 9 Domein Grafieken

Nadere informatie

11 e editie. Inhoudsopgaven VWO 5

11 e editie. Inhoudsopgaven VWO 5 11 e editie Inhoudsopgaven VWO 5 Inhoudsopgave 5 vwo A 1 Formules herleiden 1-1 Lineaire formules 1-2 Gebroken formules 1-3 Wortelformules 1-4 Machtsformules 1-5 Gemengde opdrachten 2 Statistiek (op computer)

Nadere informatie

Revisie Keuzegids Universiteiten 2015

Revisie Keuzegids Universiteiten 2015 Revisie Keuzegids Universiteiten 2015 Voor u ligt een nieuwe analyse Keuzegids 2015 d.d. 5-11-2014. Deze vernieuwde analyse is tot stand gekomen wegens een grote rectificatie op de Keuzegids 2015 d.d.

Nadere informatie

5 Eenvoudige complexe functies

5 Eenvoudige complexe functies 5 Eenvoudige complexe functies Bij complexe functies is zowel het domein als het beeld een deelverzameling van. Toch kan men in eenvoudige gevallen het domein en het beeld in één vlak weergeven. 5.1 Functies

Nadere informatie

Inleiding Digitale Techniek

Inleiding Digitale Techniek Inleiding Digitale Techniek Week 4 Binaire optellers, tellen, vermenigvuldigen, delen Jesse op den Brouw INLDIG/25-26 Optellen Optellen is één van meest gebruikte rekenkundige operatie in digitale systemen.

Nadere informatie

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3 Modelleren C Appels Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both 2 april 2010 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Probleembeschrijving 2 3 Data 3 4 Aanpak 3 5 Data-analyse 4 5.1 Data-analyse: per product.............................

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

Oplossingen van vergelijkingen in rationale getallen

Oplossingen van vergelijkingen in rationale getallen Hoofdstuk VIII Oplossingen van vergelijkingen in rationale getallen Don Zagier Het gebied van de diophantische vergelijkingen, genoemd naar de grote Griekse wiskundige Diophantus, is een van de oudste

Nadere informatie

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 1 INLEIDING 1 Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 Volg stap voor stap de tekst en los de vragen op. Bedoeling is dat je op het einde van de rit een verzorgd verslag afgeeft

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 6 oktober 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke echanica

Nadere informatie

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Leerkracht: Koen De Naeghel Schooljaar: 2012-2013 Klas: 5aLWi8, 5aWWi8 Aantal taken: 19 Aantal repetities: 14 Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Taken Eerste trimester: 11 taken indienen op taak

Nadere informatie

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt

Nadere informatie

: van Reactief naar Proactief

: van Reactief naar Proactief Mensenlevens Redden met Wiskunde: van reactieve naar proactieve planning van ambulanceritten Prof.dr. Rob van der Mei Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) Vrije Universiteit Amsterdam Amsterdam Centre

Nadere informatie

Software Processen. Ian Sommerville 2004 Software Engineering, 7th edition. Chapter 4 Slide 1. Het software proces

Software Processen. Ian Sommerville 2004 Software Engineering, 7th edition. Chapter 4 Slide 1. Het software proces Software Processen Ian Sommerville 2004 Software Engineering, 7th edition. Chapter 4 Slide 1 Het software proces Een gestructureerd set van activiteiten nodig om een software systeem te ontwikkelen Specificatie;

Nadere informatie

Implementations of Tests on the Exogeneity of Selected Variables and Their Performance in Practice M. Pleus

Implementations of Tests on the Exogeneity of Selected Variables and Their Performance in Practice M. Pleus Implementations of Tests on the Exogeneity of Selected Variables and Their Performance in Practice M. Pleus Dat economie in essentie geen experimentele wetenschap is maakt de econometrie tot een onmisbaar

Nadere informatie

CPU scheduling : introductie

CPU scheduling : introductie CPU scheduling : introductie CPU scheduling nodig bij multiprogrammering doel: een zo hoog mogelijke CPU-bezetting, bij tevreden gebruikers proces bestaat uit afwisselend CPU-bursts en I/O-bursts lengte

Nadere informatie

b + b c + c d + d a + a

b + b c + c d + d a + a Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische

Nadere informatie

Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde

Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde E. Jespers Departement of Mathematics Vrije Universiteit Brussel 2 Voorbeelden van algebra s van kleine dimensie Een theorie steunt steeds op het goed

Nadere informatie

Welkom! GertJan Coolen

Welkom! GertJan Coolen Welkom! GertJan Coolen Agenda Introductie Communicare Trends in de markt & MS Lync Contact Center for Lync Uitgangspunten Architectuur Functionaliteiten Partnership Wrap up & interactie Communicare Internationaal

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie begin van document Eindtermen vwo wiskunde (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie Domein Subdomein in CE moet in SE Vaardigheden 1: Informatievaardigheden X X : Onderzoeksvaardigheden

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

8. Complexiteit van algoritmen:

8. Complexiteit van algoritmen: 8. Complexiteit van algoritmen: Voorbeeld: Een gevaarlijk spel 1 Spelboom voor het wespenspel 2 8.1 Complexiteit 4 8.2 NP-problemen 6 8.3 De oplossing 7 8.4 Een vuistregel 8 In dit hoofdstuk wordt het

Nadere informatie

8. Differentiaal- en integraalrekening

8. Differentiaal- en integraalrekening Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,

Nadere informatie

Beheersing van risico s en controls in ICT-ketens

Beheersing van risico s en controls in ICT-ketens Beheersing van risico s en controls in ICT-ketens Samenvatting Modellen voor beheersbaarheid en assurance zijn tot dusver intraorganisatorisch van aard. Doordat ICT zich niet beperkt tot de grenzen van

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/32149 holds various files of this Leiden University dissertation.

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/32149 holds various files of this Leiden University dissertation. Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/32149 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Renema, Jelmer Jan Title: The physics of nanowire superconducting single-photon

Nadere informatie

slides2.pdf 2 nov 2001 1

slides2.pdf 2 nov 2001 1 Opbouw Inleiding Algemeen 2 Wetenschap Informatica Studeren Wetenschap en Techniek Informatica als wetenschap Informatica studie Wetenschappelijke aanpak Organisatie Universiteit Instituut Piet van Oostrum

Nadere informatie

High Performance Computing

High Performance Computing High Performance Computing Kristian Rietveld (krietvel@liacs.nl, kamer 138) Groep Computer Systems High-Performance Computing Optimizing compilers (generieke codes, maar ook specifieke rekenkernels). Parallel

Nadere informatie

Samenvatting. Het ontwerpen van controlemechanismen in netwerkorganisaties vanuit een waardeperspectief

Samenvatting. Het ontwerpen van controlemechanismen in netwerkorganisaties vanuit een waardeperspectief Samenvatting Het ontwerpen van controlemechanismen in netwerkorganisaties vanuit een waardeperspectief Tegenwoordig worden diensten steeds vaker door een netwerk van partijen aangeboden. Als een consument

Nadere informatie

Chapter 4: Continuous-time Markov Chains (Part I)

Chapter 4: Continuous-time Markov Chains (Part I) Stochastic Operations Research I (2014/2015) Selection of exercises from book and previous exams. Chapter 4: Continuous-time Markov Chains (Part I) 1.1 Book pp 179 185 These are useful exercises to learn

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 en 13 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

SPSS Introductiecursus. Sanne Hoeks Mattie Lenzen

SPSS Introductiecursus. Sanne Hoeks Mattie Lenzen SPSS Introductiecursus Sanne Hoeks Mattie Lenzen Statistiek, waarom? Doel van het onderzoek om nieuwe feiten van de werkelijkheid vast te stellen door middel van systematisch onderzoek en empirische verzamelen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra en Lineaire Analyse (Y550/Y530), op donderdag 5 november 00, 9:00 :00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/29754 holds various files of this Leiden University dissertation

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/29754 holds various files of this Leiden University dissertation Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/29754 holds various files of this Leiden University dissertation Author: Cao, Lu Title: Biological model representation and analysis Issue Date: 2014-11-20

Nadere informatie

Monte Carlo-analyses waarschijnlijkheids- en nauwkeurigheidsberekeningen van

Monte Carlo-analyses waarschijnlijkheids- en nauwkeurigheidsberekeningen van Waarom gebruiken we Monte Carlo analyses? Bert Brandts Monte Carlo-analyses waarschijnlijkheids- en nauwkeurigheidsberekeningen van gebeurtenissen kunnen een bruikbaar instrument zijn om de post Onvoorzien

Nadere informatie

The Color of X-rays. Spectral Computed Tomography Using Energy Sensitive Pixel Detectors E.J. Schioppa

The Color of X-rays. Spectral Computed Tomography Using Energy Sensitive Pixel Detectors E.J. Schioppa The Color of X-rays. Spectral Computed Tomography Using Energy Sensitive Pixel Detectors E.J. Schioppa Samenvatting Het netvlies van het oog is niet gevoelig voor deze straling: het oog dat vlak voor het

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N46) op maandag 23 Deel 1: Van 14 uur tot uiterlijk 153 uur Het gebruik van het

Nadere informatie

In havo 4&5 kun je kiezen uit wiskunde A, B of D. Wiskunde C wordt alleen op het VWO aangeboden.

In havo 4&5 kun je kiezen uit wiskunde A, B of D. Wiskunde C wordt alleen op het VWO aangeboden. In havo 4&5 kun je kiezen uit wiskunde A, B of D. Wiskunde C wordt alleen op het VWO aangeboden. Wiskunde is een verplicht vak bij de profielen EM, NG en NT. Als je CM kiest hoef je wiskunde niet verplicht

Nadere informatie

Systeemtheorie: een vakgebied vol dynamiek en interactie!

Systeemtheorie: een vakgebied vol dynamiek en interactie! Christiaan Huygens Verdiepingssymposium Systeemtheorie: een vakgebied vol dynamiek en interactie! Jacob van der Woude 21 maart 2011 1 Delft University of Technology Systeem met terugkoppeling 21 maart

Nadere informatie

WISKUNDE A HAVO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0

WISKUNDE A HAVO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 WISKUNDE A HAVO VAKINFORMATIE STAATSEAMEN 2016 V15.7.0 De vakinformatie in dit document is vastgesteld door het College voor Toetsen en Examens (CvTE). Het CvTE is verantwoordelijk voor de afname van de

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Ik ben onder andere inzetbaar als:

Ik ben onder andere inzetbaar als: Curriculum vitae Maint Berkenbosch Algemeen Ik ben gepromoveerd wiskundige en ervaren software ontwikkelaar. Daarnaast ben ik communicatief vaardig, spreek ik goed Engels, Duits Frans en een beetje Russisch.

Nadere informatie

patent Landscaping: waardevolle analyses voor strategische informatie Auteur: Sanne Pfeifer

patent Landscaping: waardevolle analyses voor strategische informatie Auteur: Sanne Pfeifer patent Landscaping: waardevolle analyses voor strategische informatie Auteur: Sanne Pfeifer Octrooidatabases worden met het jaar completer. Het analyseren van de hierin aanwezige informatie, ook wel landscaping

Nadere informatie

vanuit de technische en organisatorische omgeving, werk-verdeling, budget, planning, en hergebruik van componenten. Het documenteren van SA dient

vanuit de technische en organisatorische omgeving, werk-verdeling, budget, planning, en hergebruik van componenten. Het documenteren van SA dient 9 Samenvatting Software heeft vooruitgang in veel vakgebieden mogelijk gemaakt en heeft een toenemend invloed op ons leven en de samenleving in zijn geheel. Software wordt gebruikt in computers, communicatienetwerken,

Nadere informatie

2.3 De Minor-programma s van de afdeling Kwantitatieve Economie

2.3 De Minor-programma s van de afdeling Kwantitatieve Economie 2.3 De -programma s van de afdeling Kwantitatieve Economie Vanwege de ingangseisen met betrekking tot de kennis van de wiskunde en statistiek kunnen de -programma s van de afdeling Kwantitatieve Economie

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen

Nadere informatie