Enkele basismodellen uit operationeel onderzoek

Transcriptie

1 Enkele baimodellen uit operationeel onderzoek Roel Leu Studiedag Wikunde e graad ASO 6 mei

2 Inleiding Operationeel onderzoek (O.O.) = het gebruik van wikundige technieken voor optimaliatie en voor analye van operatie (< W.O. II) Operatie = het gebruik van hulpmiddelen (kapitaal, materialen, technologie, menelijke vaardigheden/kenni,...) bij de productie en ditributie van goederen en dienten Vbn.: routebepaling (GPS, handelreizigerprobleem ); productieplanning onder einde capaciteit; wachtlijntheorie; optimale trategieën bij kanpelen; Vandaag: Capita electa uit curuen e bach TEW en e / e bach HIR Determinitiche problemen

3 Agenda. Lineaire programmering. Geheeltallige programmering. Oefening

4 Productmix Productmix bij computerproducent: draagbare computer (notebook) en dektop computer. Onder de huidige marktomtandigheden, materiaalkot, en het betaande productieyteem, genereert elke draagbare computer 75 EUR wint en elke dektop EUR wint. Hoeveel van elk product te produceren volgend kwartaal zodanig dat de wint wordt gemaximalieerd? mit beperkingen:. Elke computer (notebook & dektop) heeft een proceorchip nodig. Vanwege beperkte capaciteit van onze leverancier bechikken we lecht over. van zulke chip.. Elke computer heeft intern geheugen nodig. Dit wordt geleverd in 5MB chip. Een draagbare computer heeft 5MB nodig (= chip), een dektop vereit GB (= chip). We bechikken over 5. geheugenchip voor het volgende kwartaal.. Elke computer wordt geaembleerd. Draagbare computer: gemiddeld 4 minuten aemblagetijd, dektop minuten. In het volgende kwartaal zijn er 5. minuten aemblagetijd bechikbaar. 4

5 Formuleren van een LP-model ( lineair programma ). Beliingvariabelen: x = aantal notebook (in 'en) x = aantal dektop (in 'en). Doelfunctie: maximalieer 75x + x. Beperkingen: x + x x + x 5 4x + x 5 x x Concluie: formuleren van een lineair programma = definiëren van de beliingvariabelen, de lineaire doelfunctie en lineaire beperkingen Oploen? Grafich: indien lecht variabelen Algoritmich: o.a. implex handmatig / via oftware 5

6 Grafiche oploingmethode x x + x x + x 5 z = 75x + x 4x + x 5 Optimale oploing: x = en x = 7; of du. notebook produceren en 7. dektop, wat een wint van EUR oplevert Belang hoekpunt (definitie extreem punt van een convexe verzameling) Stelling: al een LP-probleem een optimale oploing heeft, dan i er ook een hoekpunt dat optimaal i x 6

7 Software o.a. Excel Solver add-in 7

8 LP in tandaardvorm Alle var. Op de tekenbeperkingen na enkel gelijkheden Alle rechterleden odb en 75 max x x z x x x x 8

9 Stelel van lineaire gelijkheden of of Stel niet-bv := bai-oploing (bo) indien oploing uniek i; toelaatbare bai-oploing (tbo) indien alle var x x x x x x BV = {,, } BV = { x,, } 9

10 Algebraïche karakteriatie van extreme punten x = tbo = ontoelaatb. bo x i = op de (andere) a i = oorpronkelijke -beperking bindend x alle x i en i in gebied Stelling: voor een LP-probleem komt de verzameling extreme punten overeen met de verz. tbo

11 Op zoek naar een optimale oploing We kunnen du in principe elk LP-probleem met begrende oploing oploen door alle extreme punten op te ommen Probleem: aantal tbo i maximaal n m (met n = aantal var., m = aantal bep.) In plaat van zo n brute-force oploingmethode kunnen we beter: het implex-algoritme empirich: rekentijd gemiddeld genomen zowat lineair in n en m

12 Simplex-algoritme x x Hoe ga ik van tbo naar een andere? (pivot) Kunnen we zorgen dat hierbij telken de doelfunctie verbetert? Wat met detail zoal initializatie, convergentie, onbegrende oploingen,?

13 Aumptie LP. Proportionaliteit. Additiviteit Niet-lineaire programmering. Deelbaarheid Geheeltallige programmering (waarom dan toch LP gebruiken?) 4. Zekerheid

14 Agenda. Lineaire programmering. Geheeltallige programmering. Oefening 4

15 Opnieuw productieplanning productie tafel & toelen arbeid (u) hout (m ) wint ($) tafel 9 8 toelen 5 5 bechikbaar 6 45 max 8 x + 5 x odb x + x 6 9 x + 5 x 45 x, x x, x {,,, } Hoe dit op te loen? 5

16 LP-relaxatie Laat (voorlopig) de geheeltalligheid-ei vallen x 6 5 arbeid hout doelfunctie 4 LP-optimum x =.75 x = x 6

17 Oploingruimte I(L)P (integer (linear) program) x 6 5 arbeid hout doelfunctie Oploing LP-relaxatie: (.75,.5) Wat al deze oploing geheeltallig wa geweet? 4 LP-optimum x =.75 x =.5 IP-optimum Zal de geheeltallige doelfunctie-waarde >/</= 4.5? Kunnen we LP gebruiken om IP op te loen? Afronden lukt allezin niet (altijd) x Branching, bvb. op x x x 4 7

18 Branching Vertakken: partitioneren van de zoekruimte x 6 arbeid hout 5 doelfunctie x Twee nieuwe LP-intantie. Herhaal 8

19 branch-and-bound zoekboom x = 5/4 x = 9/4 GUB 65/4 = 4 x 4 x LUB 4 x = 4 x =.8 LUB 9 FATHOMED 4 5 x x x = 4.44 x = LUB 4.55 = 4 INFEASIBLE 6 x 5 7 x 4 GLB 4 x = 5 x = x = 4 x = GLB 7 INTEGER INTEGER 9

20 Geheeltallige variabelen Tolerantie Kunnen we LP gebruiken om IP op te loen? Afronden lukt niet altijd Branch-and-bound Cutting plane Branch-and-cut Voordelen van geheeltalligheid-ei Realiticher Flexibeler Nadeel: kan veel moeilijker zijn om op te loen (rekentijd!) Excel-olver (en andere oftware)

21 Cutting-plane algoritme x 6 5 nede arbeid hout 4 LP-optimum X=.75 X=.5 IP-optimum x

22 Agenda. Lineaire programmering. Geheeltallige programmering. Oefening

23 Oefening (< EX e bach TEW jan. 7) Drie peronen moeten amen zeven taken uitvoeren. Elke peroon neemt een aantal taken voor zijn rekening. Een taak kan niet geplitt worden over meerdere peronen. Elke taak heeft een vate duurtijd: taak : 4 minuten taak : 8 minuten Peroon : 7 taak : minuten taak 4: 5 minuten Peroon : 4 taak 5: 9 minuten taak 6: 7 minuten taak 7: 5 minuten Peroon : 5 6 Lengte werkplan tijd De taken moeten worden verdeeld over de drie peronen. Geef een lineaire formulering (eventueel geheeltallig) die toelaat een toewijzing van taken te vinden zodat de lengte van het volledige werkplan wordt geminimalizeerd.

24 Oploing (formulering) Beliingvariabelen? X X pt = indien peroon taak uitvoert = in het andere geval = indien peroon p taak t uitvoert = ander (p=,,, t=,,7) Beperkingen? X + X + X = X t + X t + X t = voor t =,,7 4

25 Doelfunctie? minimalizeer MAX{einde,einde,einde} met einde = 4X + 8X + X + einde = 4X + 8X + X + min z z 4X + 8X + X + z 4X + 8X + X + z 4X + 8X + 5

26 Excel Solver 6

27 Extra: combinatoriche retrictie de peroon die taak doet, mag taak 5 niet uitvoeren de peroon die taak doet, moet ook taak 5 uitvoeren al peroon taak en taak uitvoert, dan moet hij / zij ook taak uitvoeren 7

28 Extra (): ymmetrie (reearch topic) ymmetrie: X = X = X 7 = X = X 4 = X 5 = X 6 = i equivalent met X = X = X 7 = X = X 4 = X 5 = X 6 = Peroon : 7 Peroon : 4 Peroon : 5 6 Lengte werkplan tijd 8

29 Vragen? 9