PO WISKUNDE. Praktische Opdracht Wiskunde Pagina 1. Praktische Opdracht Wiskunde. Leon Weggelaar Leon van der Zee

Transcriptie

1 PO WISKUNDE Praktische Opdracht Wiskunde Leon Weggelaar Leon van der Zee Praktische Opdracht Wiskunde Pagina 1 H5D

2 De grafische rekenmachine 0.0 Algemene inleiding In één van de HAVO examenjaren moet een praktische opdracht voor het vak wiskunde gemaakt worden. Er was een rijkelijk aanbod aan onderwerpen beschikbaar waaronder programmeren op de GR. Dit leek ons een erg leuk onderwerp omdat wij beiden erg geïnteresseerd zijn in het programmeren, dan wel niet op een computer of op een rekenmachine. Deze praktische opdracht is gemaakt door: Leon Weggelaar Leon van der Zee PO Wiskunde HAVO 5 H5D Praktische Opdracht Wiskunde Pagina 2

3 Inhoudsopgave 0.0 Algemene Inleiding Pagina Inhoudsopgave Pagina Inleiding Pagina De rekenmachine Pagina Basisfuncties van de rekenmachine Pagina Programmeren Pagina Programmeren op de GR Pagina Uitvoeringen Pagina Pythagoras Pagina Inleiding Pagina Voorbereiding Pagina Programmeren Pagina ABC-formule Pagina Inleiding Pagina Voorbereiding Pagina Programmeren Pagina Opstuurhoek Pagina Inleiding Pagina Voorbereiding Pagina Programmeren Pagina Conclusie Pagina Bronnen Pagina Logboek Pagina 15 Praktische Opdracht Wiskunde Pagina 3

4 1.0 - Inleiding Een rekenmachine, zakrekenmachine, is een elektronisch apparaat waarop wiskundige berekeningen kunnen worden uitgevoerd. Een rekenmachine werkt doorgaans op batterijen, maar ze kunnen ook uitgerust zijn met fotovoltaïsche cellen. Een rekenmachine is geen algemeen programmeerbare computer, hoewel er in sommige modellen wel eenvoudige functies kunnen worden geprogrammeerd. Een rekenmachine bestaat gewoonlijk uit een toetsenbord, bestaande uit een numeriek gedeelte en bij geavanceerder Hoe gaat programmeren in zijn werk? modellen een alfanumeriek gedeelte en toetsen waaronder menu s en functies zitten verscholen, en een display om de invoer en resultaten te kunnen zien. Rekenmachines worden gebruikt door mensen in financiële beroepen en ingenieurs om berekeningen uit te voeren die te simpel zijn om een echt computerprogramma nodig te maken. Ook worden ze gebruikt door leerlingen op middelbare scholen. Wij gaan uitzoeken hoe het programmeren van simpele programma s op de rekenmachine precies in zijn werk gaat. Fokke en Sukke studeren wiskunde Praktische Opdracht Wiskunde Pagina 4

5 1.1 De rekenmachine De meeste grafische rekenmachines op de wereld worden gemaakt door Texas Instruments. TI is daar een afkorting van. Vaak zul je TI Rekenmachines tegenkomen. De eerste rekenmachine, de TI-81 werd in 1990 uitgebracht. Ze was rond een Zilog Z80-processor met een kloksnelheid van 2MHz gebouwd, met 2,4 kb geheugen om programmaatjes in op te slaan. De TI-81 was een basismodel, de TI-85, uitgebracht in 1992, was een stuk geavanceerder en bestemd voor ingenieurs; ze had een TI-Graph Link poort en 25 kb geheugen. De Zilog Z80-processor draaide op 6MHz. In 1993 kwam de TI-82 uit, een moderner model van de TI-81: er kwam een TI-Graph Link bij; het geheugen werd vergroot ( van 2,4 kb tot 28 kb), en de kloksnelheid van de processor steeg tot 6 MHz. Twee jaar later kwam de TI-80 uit, het absolute instapmodel en een lichte versie van de TI-81; zo is de processor een stuk minder snel (980 khz vs. 6 MHz) en had de rekenmachine minder geheugen (7 kb vs. 28 kb). In 1996 kwam de opvolger van de TI-82, de TI-83 uit. Deze populaire versie werd opgevolgd door: - de TI-83 Plus (1999), met 160 kb flashgeheugen en een extra programmeertaal assembler; - de TI-83 Plus Silver Edition (2001), in doorzichtig plastic, met een processor aan 15 MHz, 96 kb gebruikersgeheugen en 1,5 MB flashgeheugen. Midden 2004 kwam de opvolger van de TI-83, de TI-84 Plus uit. Deze had een processor aan 15 MHz, 24 kb RAM en 480 kb flashgeheugen. Gelijktijdig kwam de opvolger van de TI-83 Plus Silver Edition, de TI-84 Plus Silver Edition uit, met, behalve meer geheugen en een verwisselbaar frontje, dezelfde eigenschappen als de TI-84. Praktische Opdracht Wiskunde Pagina 5

6 1.2 - Basisfuncties van de rekenmachine Naast vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken, etc. heeft de grafische rekenmachines veel meer extra functies. Onder andere functies die nodig zijn voor het programmeren. Maar ook functies om het beeld mee aan te passen. Algemeen aan/uit zetten contrast instellen geheugen helemaal leeg maken regel/scherm schoonmaken ON, OFF (=2nd ON) 2nd of 2nd MEM (=2nd +), 5:Reset, 1:All Memory, ENTER CLEAR naar het rekenscherm gaan verwijderen / invoegen van tekens QUIT (=2nd MODE) DEL / INS (=2nd DEL) Rekenen vorige berekening terughalen ENTRY (=2nd ENTER) met het antwoord doorrekenen ANS (=2nd (-)) negatieve getallen (-) Formules machten teller/noemer breuken getal in / uit het geheugen ^ MATH, 1:Frac STO / RCL (=2nd STO), ALPHA, letter formule invoeren Y= formule inactief maken Y=, cursor op = zetten, ENTER X Y 1, Y 2,etc. X,T,,n VARS, Y-VARS, 1:Function Formules formule invoeren Y= Praktische Opdracht Wiskunde Pagina 6

7 Formules en grafieken formule invoeren Y= Formules en tabellen formule invoeren Y= grafiek laten tekenen GRAPH tabel laten maken TABLE (=2nd GRAPH) kijkvenster instellen over de grafiek lopen in/uitzoomen minimum / maximum bepalen snijpunten bepalen WINDOW TRACE ZOOM CALC (=2nd TRACE), 3:minimum / 4:maximum CALC (=2nd TRACE), 5:intersect startwaarde instellen stapgrootte instellen Formules en tabellen formule invoeren Y= Kansrekening TBLSET (=2nd WINDOW), TblStart= TBLSET (=2nd Window), +Tbl= Statistiek frequentietabel invoeren STAT, EDIT, waarnemingsgetallen in L 1, frequenties in L 2 toevalsgetallen maken driehoek van Pascal MATH, PRB, 5:randInt(linkergrens, rechtergrens, aantal toevalsgetallen) getal, MATH, PRB, 3:nCr, getal, ENTER centrum- en spreidingsmaten hierbij STAT, CALC, 1:1-Var Stats L 1 (=2nd 1), L 2 (=2nd 2), ENTER faculteiten berekenen getal, MATH, PRB, 4:!, ENTER normale kans uitrekenen DISTR (=2nd VARS), 2:normalcdf(linkergrens, rechtergrens, m, s) Naast deze standaard functies zijn er ook nog functies specifiek voor het programmeren: Disp "[toont deze tekens, maximaal 16 tekens lang]" grenswaarde uitrekenen DISTR (=2nd VARS), 3:invNorm(kans, m, s) Input "[toont deze tekens, maximaal 16 tekens lang]",[de variabele waarin de ingetoetste waarden in opgeslagen wordt] De input wordt alleen goed opgeslagen als deze uitsluitend uitgetallen bestaan, maar bijvoorbeeld (6/9)^2 werkt ook. [berekening of waarde] [variabele] Slaat de uitkomst van de berekening op in de variabele. Menu("[Menu titel, maximaal 16 tekens of minder]","[titel mogelijkheid 1]",[label voor mogelijkheid 1],"[Titel mogelijkheid 2]",[label voor mogelijkheid 2]) Geeft een menu met bovenaan de menutitel en daaronder de mogelijkheden. Zodra wordt gekozen springt het programma naar het label dat er bij hoort. Lbl [labelnaam, max. 2 (cijfer(s) en/of letter(s)] Het programma springt naar dit punt in het programma door een Menu of Goto functie. goto [label] Gaat naar label x in de programmacode. Pause De rekenmachine stopt met het lezen en uitvoeren van code en wacht totdat er op Enter wordt gedrukt en gaat dan weer verder. If [conditie] then [opdrachten] end De rekenmachine controleert of de conditie TRUE of FALSE is, indien TRUE dan voert hij de code tussen 'then' en 'end' uit, indien FALSE dan wordt het programma na 'end' hervat. Praktische Opdracht Wiskunde Pagina 7

8 1.3 - Programmeren Programmeren is het schrijven van een computerprogramma is een concrete verzameling instructies die een computer uitvoert. Programmeren wordt in het algemeen niet direct in machinetaal gedaan, maar in een programmeertaal. Dit is de taak van een softwareontwikkelaar of programmeur (dat zijn mensen die programma s schrijven voor bedrijven of particulieren). De programmacode die wordt geschreven heet broncode en wordt door een compiler ( compiler is een computer programma dat een invoer omzet in een bepaalde uitvoer, een actie die gedaan moet worden ) omgezet in machinetaal. Het gebruik van een programmeertaal zorgt er alleen voor dat de code beter leesbaar is, en dat een eventuele fout die in het programma zit makkelijk te vinden is en snel aan te passen. Aan de ander kant kan de broncode door verschillende compilers worden omgezet naar machinetaal voor verschillende processoren, daarvoor is er maar een programma nodig waar anders meerdere programma s nodig zijn. Programmeren is een groot begrip en pas bij verschillende dingen, er is zelf een vorm van programmeren in de muziek. Er zijn verschillende programmeertalen zoals C++, PHP, HTML, etc Programmeren op de GR De grafische rekenmachine kan ook geprogrammeerd worden. Programmeren betekent eigenlijk alleen maar, iets uitvoeren wat eerder is opgegeven. Als je een grafiek plot, dan programmeer je die dus ook eigenlijk. Echter, programmeren wordt meestal geassocieerd met het maken van een programma, zodat de rekenmachine zelfstandig iets kan uitvoeren. Wat dat betreft lijkt de programmeertaal van de grafische rekenmachine lijkt dit het meeste op PHP. er kunnen parameters gebruikt worden zoals IF en REQUIRE. Om dingen te weergeven en laten werken. Praktische Opdracht Wiskunde Pagina 8

9 Uitvoering Praktische Opdracht Wiskunde Pagina 9

10 2.0 - uitvoeringen Om het programmeren geheel te begrijpen is het t beste om het zelf te proberen. Waarden invullen, kijken wat er gebeurt en aanpassingen maken. Zo leer je het beste om te programmeren. Natuurlijk is het handig om de lijst met functies er naast te houden, maar als je de lijst goed bestudeerd hebt is dat niet nodig, de functies zijn allemaal vrij voor de hand liggend. Er zijn uitvoeringen gedaan met onder andere de Stelling van Pythagoras., de ABC-formule, en een formule uit de luchtvaart om de opstuurhoek van een vliegtuig te benaderen Pythagoras Inleiding De stelling van Pythagoras is waarschijnlijk de bekendste stelling in de wiskunde. De stelling dankt zijn naam aan de Griekse wiskundige Pythagoras. 'Zijn' stelling was overigens alleen maar nieuw voor de Grieken. In Soemerië was het resultaat al veel langer bekend, net als in Babylonië. Belangrijker nog dan de kennis van de stelling was het leveren van een bewijs daarvoor; daarbij waren de Grieken (Pythagoras of een van zijn leerlingen) wel de eersten. Volgens de legende was Pythagoras zo in z'n nopjes met zijn ontdekking van de stelling dat hij een offer aan de goden bracht in de vorm van een paar ossen. In de rechthoekige driehoek ABC zijn de zijden a en b de zijden gelegen naast de rechte hoek, de rechthoekszijden. De zijde c grenst niet aan de hoek van 90 en heet schuine zijde of hypotenusa. De stelling van Pythagoras geeft voor rechthoekige driehoeken een verband tussen de lengtes van de rechthoekszijden (a en b) enerzijds en de lengte van de hypothenusa (c) anderzijds: "In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lengte van de hypotenusa gelijk aan de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekszijden". In de bekende wiskundige vorm: Praktische Opdracht Wiskunde Pagina 10

11 Voorbereiding Alvorens vol enthousiasme te beginnen met programmeren, is het handig het een en het ander voor te bereiden. Dit kan in een simpel schema, dat is vaak ook de meest effectieve manier. Voor de stelling van Pythagoras kunnen we een schema als deze maken: Titel: Pythagoras Start Prompt: A, B A 2 + B 2 = C 2 Display( C=) Display ( C 2 ) End Programmeren Het programmeren ging in een keer goed, hieronder een foto van de ingevulde parameters. Het is belangrijk om het programma ook nog te testen. En de juiste waarde kwam er uit. Praktische Opdracht Wiskunde Pagina 11

12 2.2.1 ABC-Formule Met behulp van de wortelformule of abc-formule kunnen de oplossingen van een kwadratische, of vierkantsvergelijking worden gevonden. De oplossingen worden ook de wortels of nulpunten van de betrokken veelterm genoemd. Met deze formule berekenen we de discriminant: Voorbereiding Alvorens vol enthousiasme te beginnen met programmeren, is het handig het een en het ander voor te bereiden. Dit kan in een simpel schema, dat is vaak ook de meest effectieve manier. Titel: ABC-form Start Prompt: A, B, C ((-b +- b2 4 a c)/(2a))-> X Display Discriminant: Display (X) End Uitvoering Het programmeren ging in een keer goed, hieronder een foto van de ingevulde parameters. Het is belangrijk om het programma ook nog te testen. En de juiste waarde kwam er uit. Praktische Opdracht Wiskunde Pagina 12

13 2.3.1 Opstuurhoek Als een vliegtuig zijwind heeft wordt het van zijn eigenlijke baan afgeblazen. Het hoekverschil tussen de neus en de vliegrichting wordt de opstuurhoek genoemd. Om deze te benaderen heb je 3 parameters nodig. De windrichting, windsnelheid en de snelheid van het vliegtuig zelf. de windrichting en snelheid zijn nodig voor de crosswind component. De snelheid voor de voorwaartse component. Omdat je met hoeken te maken hebt zit hier ook een sinus functie in Voorbereiding Alvorens vol enthousiasme te beginnen met programmeren, is het handig het een en het ander voor te bereiden. Dit kan in een simpel schema, dat is vaak ook de meest effectieve manier. De formule om de opstuurhoek te benaderen luidt zo: Offset (degrees) = X-wind / ( IAS / 60 ) IAS is de Indicated Air Speed, de snelheid die gevlogen wordt. Voor X-wind: Sin(hoek tussen vliegtuig en wind) x Windsnelheid. In een schema: Titel: Xwind Start Disp A=wind Disp B=Vwind Disp C=IAS Prompt: A, B, C Display (sin(a) B) / (C/60) End Praktische Opdracht Wiskunde Pagina 13

14 2.3.3 Uitvoering Het programmeren ging, zoals bij de andere programma s, een keer goed, hieronder een foto van de ingevulde parameters. Het is belangrijk om het programma ook nog te testen. En de juiste waarde kwam er uit. Praktische Opdracht Wiskunde Pagina 14

15 3.0 Conclusie Na veel programma s geprogrammeerd te hebben blijkt dat het erg handig is om dit te kunnen. Veel handelingen die vaak terug komen kun je zo intoetsen en daar is het antwoord. Echter kost het wel wat meer moeite om het programma te programmeren. De hele formule moet goed doordacht zijn en je moet de basis van het programmeren van de rekenmachine beheersen. Het moeilijkste is het uitzoeken hoe je een normale formule omzet in eentje die de rekenmachine begrijpt. Dit vergt enige oefening maar na meerdere keren gaat dit aardig snel. Voor ons persoonlijk was het ook een erg leuke opdracht, we zijn allebei erg geinteresseerd in programmeren en daarom duurde het niet lang om er achter te komen dat we dit onderwerp zouden nemen. 3.1 Bronnen Webadressen: Literatuur: Getal en Ruimte TI Logboek 24 januari: informatie zoeken over programmeren. 27 januari: uitzoeken hoe het programmeren werkt 29 januari: onderzoek doen welke programma s te schrijven 30 januari: programma s geschreven 2 februari: verder met schrijven van programma s en begonnen met verslag maken. 3 februari: uitwerken 4 februari: uitwerken 8 februari: uitwerken 9 februari: uitwerken 10 februari: Uitwerken, afronden Totale tijd: 29,5 uren Praktische Opdracht Wiskunde Pagina 15

16 Page intentionally left blank Praktische Opdracht Wiskunde Pagina 16