Statistiek - Graad 10 [CAPS]

Transcriptie

1 OpenStax-CNX module: m Statistiek - Graad 10 [CAPS] Herman Kamper Free High School Science Texts Project Based on Statistics - Grade 10 by Rory Adams Free High School Science Texts Project Mark Horner Heather Williams This work is produced by OpenStax-CNX and licensed under the Creative Commons Attribution License Inleiding In die wêreld rondom ons word inligting dikwels in die vorm van syfers, graeke en tabelle gegee. Ons sien dit op die televisie, op die radio en in koerante. Ons word blootgestel aan misdaadsyfers, sportuitslae, reënval, die uitgawes van die regering, die tempo van HIV/VIGS infeksie, bevolkingsgroei en ekonomiese groei. Hierdie hoofstuk demonstreer hoe Wiskunde gebruik kan word om data te manipuleer, om data en tendense voor te stel of wan voor te stel en om oplossings te bied wat direk betrekking het op die wêreld rondom ons. Vaardighede wat in vorige grade verwerf is en verband hou met die versameling, organisering, uitbeelding, analise en interpretasie van inligting, word hier verder uitgebrei. 2 Hersiening van Vorige Werk Dataversameling is in vorige grade bekendgestel as 'n manier om antwoorde te kry vir vrae wat te make het met die wêreld rondom ons. 2.1 Data en Datainsameling Data Denition 1: Data Data verwys na inligting wat waargeneem of opgeneem is as deel van 'n eksperiment of 'n meningspeiling. Daar is twee tipes data: primêre en sekondêre data. Die woord "data" is die Version 1.1: Jun 17, :02 am

2 OpenStax-CNX module: m meervoud van die woord "datum". Data kan geklassiseer word as primêr of sekondêr, en primêre en sekondêre data kan verder geklassiseer word as kwalitatief of kwantitatief. Figure 1 som die klassikasie van data op. Figure 1: Klassikasie van data Primêre data: beskryf die oorspronklike data wat versamel is. Hierdie tipe data staan ook bekend as rou data. Dikwels is die primêre datastel baie groot en moet dit opgesom of verwerk word om betekenisvolle inligting uit te lig. Kwalitatiewe data: is inligting wat nie met getalle beskryf kan word nie, byvoorbeeld as jy data insamel oor hoe mense voel of wat hul gunstelingkleur is. Kwantitatiewe data: is inligting wat geskryf kan word as getalle, byvoorbeeld as jy data insamel oor mense se lengte of massa. Sekondêre data: is primêre data wat opgesom of verwerk is. Die stel van kleure wat mense as hul gunstelingkleure aangedui het is 'n voorbeeld van sekondêre data omdat dit 'n opsomming is van mense se antwoorde. Die proses om primêre data om te skakel na sekondêre data deur analise, groepering of organisering is die proses waardeur informasie geskep word Die Doelwit van die Insameling van Primêre Data Data word versamel om antwoorde te kry wat help om 'n sekere situasie beter te verstaan. Hier is 'n paar voorbeelde van dataversameling uit die regte wêreld wat kwalitatiewe en kwantitatiewe data illustreer Kwalitatiewe Data Die plaaslike regering sal wil weet hoeveel inwoners elektrisiteit het en mag dan miskien aan inwoners vra: "Het jou huis 'n veilige, ononderbroke toevoer van elektrisiteit vanaf die nasionale kragvoorsiener (Eskom)?" 'n Maatskappy wat medisyne vervaardig mag vra: "Hoe eektief verlig ons pil hoofpyn?" Daar kan dan aan mense wat die pil gebruik om hoofpyn te verlig gevra word: "Hoe baie help ons pil om jou hoofpyn weg te neem?" Die maatskappy kan dan op grond van mense se antwoorde bepaal hoe eektief hul produk is.

3 OpenStax-CNX module: m 'n Motormaatskappy wil hulle kliëntediens verbeter en kal dan aan kliënte vra: "Hoe kan ons ons kliëntediens verbeter?" 'n Supermarkbestuurder mag vra: "Watter tipes gaskoeldrank moet ek in my supermark in voorraad hê?" Daar mag dan miskien aan klante gevra word: "Wat is jou gunsteling gaskoeldrank?" Die klante se keuse of voorkeur is 'n voorbeeld van kwalitatiewe data Kwantitatiewe Data 'n Maatskappy wat selfone vervaardig mag moontlik data versamel oor hoe dikwels mense nuwe selfone koop en watter faktore hul besluit beïnvloed. Sodoende kan die selfoonmaatskappy bepaal op watter fasiliteite en eienskappe hul moet fokus om hul produk meer aantreklik te maak vir kopers. 'n Lid van die stadsraad wil moontlik weet hoeveel ongelukke by 'n spesieke padkruising gebeur om te besluit waar verkeersligte opgerig moet word. Die raadslid kan dan die plaaslike polisiekantoor besoek en hul rekords nagaan om die nodige data te bekom. 'n Supermarkbestuurder mag vra: "Watter tipes gaskoeldrank moet ek in my supermark in voorraad hê?" Daar mag dan aan klante gevra word: "Wat is jou gunsteling gaskoeldrank?" Op grond van hoeveel mense 'n spesieke gaskoeldrank verkies kan die bestuur dan 'n ingeligte besluit neem van watter gaskoeldrank om aan te hou. Dit is belangrik om daarop te let dat verskillende vrae, verskillende fasette van die 'n situasie na vore bring en dat dit die begrip van die situasie sal beïnvloed. Byvoorbeeld, die eerste vraag op die lys kan geformuleer word om te vra: "Het jou huis elektrisiteit?". Indien die gebruiker "Ja" antwoord hierop terwyl hy krag van sy buurman af herlei, sal dit die verkeerde indruk gee dat die betrokke persoon nie krag nodig het van die amptelike verskaer nie. 2.2 Metodes van Dataversameling Die metode of strategie van dataversameling moet ooreenstem met die vrae wat gevra word. 'n Paar voorbeelde van dataversamelingsmetodes is: 1. Vraelyste, meningspeilings en onderhoude 2. Eksperimente 3. Ander bronne (vriende, familie, koerante, boeke, tydskrifte en die Internet) Die belangrikste aspek van elke metode van dataversameling is om die vrae wat beantwoord moet word duidelik te formuleer. Die tipe dataversamelingsmetode moet gekies word om by jou vrae te pas. Byvoorbeeld vraelyste, meningspeilings en onderhoude sal die beste pas by die vrae in die voorbeelde in "Die Doelwit van die Versameling van Primêre Data" (Section 2.1.2: Die Doelwit van die Insameling van Primêre Data). 2.3 Steekproef en Bevolking (Populasie) Voordat daar begin word met die datainsameling is dit belangrik om te besluit hoeveel data nodig is sodat die resultate 'n verteenwoordigende aanduiding sal gee van die antwoord op 'n sekere vraag. In die ideale geval sal die studie so ontwerp word dat die maksimum hoeveelheid inligting verkry word met die minimum hoeveelheid moeite. Die konsepte bevolking en steekproef is baie belangrik ten einde die energie- en kosteuitset so min as moontlik te hou. Die volgende terme behoort bekend te wees: Bevolking: beskryf die hele groep wat in die studie in ag geneem word. Byvoorbeeld, as jy wil weet hoeveel leerders in jou skool in die winter verkoue gekry het, dan sal jou bevolking al die leerders in jou skool wees.

4 OpenStax-CNX module: m Steekproef: beskryf 'n groep wat gekies word om die bevolking te verteenwoordig. Byvoorbeeld, vir die opname oor verkoue in die skool kan jy miskien net 'n paar leerders kies - byvoorbeeld een uit elke klas. Ewekansige steekproef: beskryf 'n steekproef wat op so manier uit die bevolking gekies word dat elke lid van die bevolking 'n gelyke kans het om gekies te word. Figure 2: 'n Illustrasie van hoe 'n steekproef uit die bevolking gekies word Om 'n verteenwoordigende steekproef te kry is van kritieke belang om resultate te verkry wat verteenwoordigend is. Byvoorbeeld, as ons wou bepaal hoe groepsdruk die besluit om te begin rook, beïnvloed - dan sou die resultate baie anders gewees het as slegs seuns ondervra is, in vergelyking met 'n studie waar onderhoude met beide seuns en meisies gevoer is. Daarom moet vrae soos: "Hoeveel onderhoude word benodig?" en "Hoe kies ons kandidate vir onderhoude?" tydens die ontwerpfase van die steekproefproses gevra word. Die mees akkurate resultate word verkry indien die hele bevolking gebruik word as steekproef vir 'n opname, maar dit kan baie duur wees en/of baie lank neem. Die tweede beste metode is om 'n steekproef ewekansig te kies. Dit beteken dat elke lid van die bevolking 'n gelyke kans het om geselekteer te word, onafhanklik van hoe die lede gekies word. Daar is verskeie metodes om lede op hierdie manier te kies, byvoorbeeld, name kan uit 'n hoed getrek word. Meeste moderne wetenskaplike sakrekenaars het 'n sleutel wat mens kan druk om ewekansige getalle te genereer wat mens kan gebruik om 'n steekproef te kies. Sigbladpakkette op 'n rekenaar het ook gewoonlik so 'n funksie. So, as jy byvoorbeeld 'n bevolking van leerders in jou skool het, kan jy moontlik 100 leerders ewekansig kies en dit sal dan die steekproef wees wat jy vir die opname gebruik. 3 Voorbeelde van Datastelle Die res van hierdie hoofstuk handel oor die wiskundige besonderhede wat nodig is om data wat versamel is, te analiseer. Hier volg nou 'n paar voorbeelde van datastelle wat gebruik kan word om die metodes wat toegepas word, te verduidelik. 3.1 Datastel 1: Gooi van 'n Muntstuk 'n Ewekansige muntstuk is 100 keer gegooi en die kant waarop die muntstuk land, is opgeneem (kop of stert). Die data is opgeneem in "Datastel 1: Gooi van 'n muntstuk" (Table 1).

5 OpenStax-CNX module: m K S S K K S K K K K K K K K S K K S S S S S K S S K S K S K K K S S K S S K S S S K K K S S K S S K K S S S S K S S K K S S K S S K S S K S K S S K S S S S K S S K S S K K K S K S S S S K K S S S K S Table 1: Resultate wanneer 'n ewekansige muntstuk 100 keer gegooi word. K beteken dat die muntstuk met sy kop na bo geland het terwyl S beteken dat die muntstuk met sy stert na bo geland het. 3.2 Datastel 2: Gooi van 'n Dobbelsteen 'n Ewekansige dobbelsteen is 200 keer gegooi en die waardes waarop die dobbelsteen land is opgeneem. Die data is opgeneem in "Datastel 2: Gooi van 'n Dobbelsteen" (Section 3.2: Datastel 2: Gooi van 'n Dobbelsteen) Table 2: Resultate wanneer 'n ewekansige dobbelsteen 200 keer gegooi word 3.3 Datastel 3: Massa van 'n Brood In Suid-Afrika is daar regulasies oor die vervaardiging van brood om verbruikers te beskerm. Hier is 'n uittreksel uit 'n verslag oor die wetgewing: "Wetgewing vereis dat 'n brood 800g moet weeg indien dit nie gemerk is nie, met 'n grasie van 5 persent bo en 10 persent onder hierdie massa. Die gemiddelde massa van 10 van hierdie brode moet egter presies die aangeduide massa wees." - Sunday Tribune op 10 Oktober 2004, bladsy 10. Ons kan die massa van brode bepaal en dit gebruik om vas te stel of verbruikers waarde vir hul geld kry. 'n Ongemerkte brood moet 800g weeg. Vir een week is 10 verskillende brode by 'n sekere winkel elke dag geweeg. Die data word getoon in Table 3.

6 OpenStax-CNX module: m Maandag Dinsdag Woensdag Donderdag Vrydag Saterdag Sondag Table 3: Massas (in g) van 10 verskillende brode, vanaf dieselfde vervaardiger, bepaal by dieselfde winkel oor 'n tydperk van een week 3.4 Datastel 4: Temperature Wêreldwyd Die wêreldwye gemiddelde temperature van 1861 tot 1996 word in Table 4 getoon. Die data, verkry by 1, is na temperatuur in grade Celsius omgeskakel. Jaar Temperatuur Jaar Temperatuur Jaar Temperatuur Jaar Temperatuur continued on next page 1

7 OpenStax-CNX module: m continued on next page

8 OpenStax-CNX module: m Table 4: Wêreldwye gemiddelde temperature van 1861 tot Tans is daar 'n groot bespreking oor die verandering in weerpatrone en die moontlike verwantskap met besoedeling en kweekhuisgasse. 3.5 Datastel 5: Prys van Petrol Die prys van petrol in Suid-Afrika vanaf Augustus 1998 tot Julie 2000 word in Table 5 getoon. Datum Prys (R/l) Augustus 1998 R 2.37 September 1998 R 2.38 Oktober 1998 R 2.35 November 1998 R 2.29 Desember 1998 R 2.31 Januarie 1999 R 2.25 Februarie 1999 R 2.22 Maart 1999 R 2.25 April 1999 R 2.31 Mei 1999 R 2.49 Junie 1999 R 2.61 Julie 1999 R 2.61 Augustus 1999 R 2.62 September 1999 R 2.75 Oktober 1999 R 2.81 November 1999 R 2.86 Desember 1999 R 2.85 Januarie 2000 R 2.86 Februarie 2000 R 2.81 Maart 2000 R 2.89 April 2000 R 3.03 Mei 2000 R 3.18 Junie 2000 R 3.22 Julie 2000 R 3.36 Table 5: Petrolpryse in Suid-Afrika vanaf Augustus 1998 tot Julie 2000

9 OpenStax-CNX module: m Groepering van Data Een van die eerste stappe in die verwerking van 'n groot stel rou data is om die datawaardes te rangskik in 'n kleiner aantal groepe en dan te tel hoeveel daar van elke datawaarde in elke groep is. Die groepe is gewoonlik gebaseer op een of ander interval van datawaardes, sodat datawaardes wat binne 'n sekere interval val, saamgegroepeer word. Die gegroepeerde data word dikwels graes of in 'n frekwensietabel uitgebeeld. Frekwensie beteken "hoeveel keer kom iets voor". Exercise 1: Groepering van Data (Solution on p. 23.) Groepeer die elemente van Datastel 1 (Table 1) om te bepaal hoeveel keer die muntstuk op kop land en hoeveel keer die muntstuk op stert land. 4.1 Oefeninge: Groepering van Data 1. Die hoogte van 30 leerders word hier aangetoon. Groepeer die data in die gegewe tabel (onder). (Telmerke is 'n gerieike manier om in 5'e te tel. Ons gebruik 1111 om 5 aan te dui.) Table 6 Groep Telmerke Frekwensie 130 h < h < h < h < h < 180 Table 7 Kliek hier vir die oplossing 'n Eksperiment is uitgevoer in 'n klas en 50 leerders is gevra om te raai hoeveel lekkertjies daar in 'n gegewe es is. Die volgende raaiskote is opgeneem: Table 8 Trek 'n gegroepeerde frekwensietabel op vir die intervalle 11 tot 20, 21 tot 30, 31 tot 40, ens. Kliek hier vir die oplossing

10 OpenStax-CNX module: m Opsomming van Data Indien 'n datastel baie groot is, is dit nuttig om 'n aantal waardes te bereken wat 'n aanduiding gee van hoe die data versprei is en wat die middelwaarde van die datastel is. 5.1 Maatstawe van Sentrale Neiging Gemiddeld Die gemiddeld (ook bekend as die rekenkundige gemiddeld) is eenvoudig net die gemiddeld van 'n groep getalle (of 'n datastel) en word aangetoon deur van die strepie-simbool gebruik te maak. So, die rekenkundige gemiddeld van al die waardes van die veranderlike x is x. Die gemiddelde waarde van 'n stel waardes word bereken deur al die getalle by mekaar te tel en dan die som deur die aantal items in die stel te deel. Die gemiddeld word bereken deur die rou, ongegroepeerde, onverwerkte data te gebruik. Denition 2: Gemiddeld Die gemiddeld van die datastel x, aangetoon as x, is die gemiddeld van die datawaardes en word bereken as: x = somvanallewaardes aantalwaardes = x 1 + x 2 + x x n n (1) Metode: Berekening van die gemiddeld 1. Vind die totaal van die datawaardes in die datastel. 2. Tel hoeveel datawaardes daar in die datastel is. 3. Deel die totaal deur die totale aantal datawaardes. Exercise 2: Gemiddeld (Solution on p. 23.) Wat is die gemiddeld van x = {10, 20, 30, 40, 50}? Mediaan Denition 3: Mediaan Die mediaan van 'n datastel is die datawaarde in die sentrale posisie nadat die datastel gesorteer is van grootste tot kleinste of kleinste tot grootste waarde. Daar is 'n gelyke hoeveelheid datawaardes voor en na die mediaan in die gesorteerde stel. Die mediaan word vanaf die rou, ongegroepeerde data bereken. Metode: Berekening van die mediaan 1. Sorteer die data van kleinste tot grootste of van grootste tot kleinste. 2. Tel hoeveel datawaardes daar in die datastel is. 3. Vind die datawaarde in die sentrale posisie in die gesorteerde stel. Exercise 3: Mediaan (Solution on p. 23.) Wat is die mediaan van {10, 14, 86, 2, 68, 99, 1}? Hierdie voorbeeld het 'n moontlike probleem met die bepaling van die mediaan geïllustreer. Dit is baie maklik om die mediaan van 'n datastel met 'n onewe aantal datawaardes te bepaal, maar wat gebeur as daar 'n ewe aantal datawaardes in die datastel is? Indien daar 'n onewe hoeveelheid datawaardes is, dan is die mediaan die gemiddeld van die middelste twee datawaardes in die gesorteerde datastel. tip: Hoe om die sentrale posisie van die datastel te vind

11 OpenStax-CNX module: m 'n Maklike manier om die sentrale posisie of posisies van 'n gesorteerde datastel te vind is om die totale aantal datawaardes te neem, 1 by te tel, en dan met 2 te deel. As die getal wat jy kry 'n heelgetal is, dan is dit die sentrale posisie. As die getal 'n breuk is, neem die twee heelgetalle aan weerskante van die breuk as die posisies van die datawaardes waarvan die gemiddeld bereken moet word om die mediaan te bepaal. Exercise 4: Mediaan (Solution on p. 23.) Wat is die mediaan van{11, 10, 14, 86, 2, 68, 99, 1}? Modus Denition 4: Mode Die modus is die datawaarde wat die meeste voorkom. Dit beteken dit is die mees herhaalde waarde in `n stel data. Metode vir die berekening van die modus: Tel die hoeveelheid kere wat elke getal voorkom. Die modus is die datawaarde wat die meeste verskyn het. Die modus word bereken in `n gegroepeerde stel data, of vanaf enkele data items. Exercise 5: Modus (Solution on p. 23.) Vind die modus van die datastel x = {1, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 10} 'n Datastel kan meer as een modus hê. Byvoorbeeld, beide 2 en 3 is modusse in die stel 1, 2, 2, 3, 3. As alle getale in die datastel `n gelyke aantal kere verskyn, dan is dit korrek om te sê die stel het meer as een modus of geen modus. Khan academy video on statistics This media object is a Flash object. Please view or download it at < Figure Maatstawe van Verspreiding Die gemiddeld, mediaan en modus is maatstawe van sentrale neiging, dit beteken hulle gee informasie van die sentrale datawaardes in `n stel. Waneer `n mens data beskryf, is dit soms nodig om die verspreiding van die datawaardes te bereken. Maatstawe van verspreiding gee informasie van hoe die datawaardes in `n stel versprei is rondom die gemiddelde waarde. Sommige maatstawe van verspreiding is variasiewydte, persentiele en kwartiele Variasiewydte Denition 5: Variasiewydte Die variasiewydte van `n datastel is die verskil tussen die laagste waarde en die hoogste waarde in die stel. Metode: Berekening van die variasiewydte 1. Vind die hoogste waarde in die datastel. 2. Vind die laagste waarde in die datastel. 3. Trek die laagste waarde af van die hoogste waarde. Die verskil is die variasiewydte.

12 OpenStax-CNX module: m Exercise 6: Variasiewydte (Solution on p. 24.) Vind die variasiewydte van die datastel x = {1, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 10} Kwartiele Denition 6: Kwartiele Kwartiele is die drie datawaardes wat `n geordende datastel in vier groepe met gelyke hoeveelhede datawaardes verdeel. Die mediaan is die tweede kwartiel. Die kwartiele van `n stel word gevorm deur die twee grense, weerskante van die mediaan, wat die stel verdeel in vier gelyke dele. Die laagste 25% van die data word gevind onder die eerste kwartiel, dit word ook genoem die onderste kwartiel. Die mediaan, of tweede kwartiel deel die stel in twee gelyke dele. Die laagste 75% van die datastel is onder die derde kwartiel, ook genoem die "boonste kwartiel". Byvoorbeeld: Onderste kwartiel Mediaan Boonste kwartiel (Q 1 ) (Q 2 ) (Q 3 ) Metode: Berekening van kwartiele Table 9 1. Rangskik die data van kleinste na grootste, of van grootste na kleinste. 2. Tel die hoeveelheid datawaardes in die datastel. 3. Deel die hoeveelheid datawaardes deur vier. Die resultaat is dan die hoeveelheid datawaardes per groep. 4. Bepaal die datawaardes wat ooreenstem met die eerste, tweede en derde kwartiele deur die hoeveelheid datawaardes per kwartiel te gebruik. Exercise 7: Kwartiele (Solution on p. 24.) Wat is die kwartiele van {3, 5, 1, 8, 9, 12, 25, 28, 24, 30, 41, 50}? Interkwartielvariasiewydte Denition 7: Interkwartielvariasiewydte Die interkwartielvariasiewydte is `n maatstaf wat inligting verskaf aangaande die verspreiding van `n datastel. Dit word bereken deur die eerste kwartiel van die derde kwartiel af te trek en dit gee die variasiewydte van die middelste helfte van die datastel. Dit sny dan basies die laagste en hoogste kwartiele af, naamlik Q 3 Q 1. Die half-interkwartielvariasiewydte is helfte van die interkwartielvariasiewydte, naamlik Q3 Q1 2 Exercise 8: Mediane, kwartiele en interkwartielvariasiewydte (Solution on p. 24.) 'n Klas van 12 studente skryf `n toets en na die toets lyk die punte soos volg: 20, 39, 40, 43, 43, 46, 53, 58, 63, 70, 75, 91. Vind die variasiewydte, kwartiele en die interkwartielvariasiewydte.

13 OpenStax-CNX module: m Persentiele Denition 8: Persentiele Persentiele is die 99 datawaardes wat `n datastel in 100 groepe deel. Die berekening van persentiele is identies met die berekening van kwartiele, behalwe dat die doel is om die datastel in 100 groepe te deel in plaas van 4 groepe soos by kwartiele. Metode: Berekening van die persentiele 1. Rangskik die data vanaf kleinste na grootste of vanaf grootste na kleinste. 2. Tel die hoeveelheid datawaardes wat voorkom in die datastel. 3. Deel die hoeveelheid datawaardes deur 100. Die resultaat is die hoeveelheid datawaardes per groep. 4. Bereken die datawaardes wat ooreenstem met die eerste, tweede en derde kwartiele deur die gebruik van die aantal datawaardes per kwartiel. 5.3 Vyfgetalopsomming Ons kan 'n datastel opsom deur die vyfgetalopsomming te gebruik. Hierdie opsomming gee die laagste datawaarde, die hoogste datawaarde, die mediaan, die eerste (laagste) kwartiel en die derde (hoogste) kwartiel. Beskou die volgende stel data: 5, 3, 4, 6, 2, 8, 5, 4, 6, 7, 3, 6, 9, 4, 5. Ons orden die data as volg: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 9. Die laagste datawaarde is 2, die hoogste datawaarde is 9, die mediaan is 5, die eerste kwartiel is 4 en die derde kwartiel is 6. So, die vyfgetalopsomming is: 2, 4, 5, 6, Houerstipping Die vyfgetalopsomming kan graes voorgestel word met 'n houer-en-punt-stipping (box and whisker plot). Die hoofeienskappe van 'n houerstipping word gegee in Figure 4. Die 'houer' kan horisontaal of vertikaal geplaas word. Vir 'n horisontale diagram is die linkerkant van die houer ('box') by die eerste kwartiel en die regterkant van die houer by die derde kwartiel. Die hoogte van die houer is arbitrêr want daar is geen y-as nie. Binne-in die houer word 'n maatstaf van sentrale neiging aangedui deurdat die mediaan gemerk word met 'n vertikale lyn wat die houer in twee dele opdeel. Die gemiddelde word aangedui met 'n ster of asterisk wat in die houer geplaas is, gesentreer in die vertikale rigting. Lyne vanaf die kante van die houer strek na links tot by die mimimumwaarde en na regs tot by die maksimumwaarde. Dit word getoon vir die datastel 5, 3, 4, 6, 2, 8, 5, 4, 6, 7, 3, 6, 9, 4, 5. Figure 4: Hoofeienskappe van 'n houerstipping

14 OpenStax-CNX module: m Exercise 9 (Solution on p. 24.) Trek 'n houerstipping vir die datastel: x = {1, 25; 1, 5; 2, 5; 2, 5; 3, 1; 3, 2; 4, 1; 4, 25; 4, 75; 4, 8; 4, 95; 5, 1}. 5.5 Oefeninge Opsomming van Data 1. Drie stelle data is gegee: a. Datastel 1: b. Datastel 2: c. Datastel 3: Vir elkeen vind: a. die reeks b. die laagste kwartiel c. die interkwartielvariasiewydte d. die half-interkwartielvariasiewydte e. die mediaan f. die boonste kwartiel Kliek hier vir die oplossing 4 2. Daar is 1 lekker in een houer en daar is 3 in die tweede houer. Die gemiddelde aantal lekkers in die eerste twee houers is 2. a. As die gemiddelde aantal in die eerste drie houers 3 is, hoeveel lekkers is daar in die derde houer? b. As die gemiddelde aantal in die eerste vier houers 4 is, hoeveel lekkers is daar in die vierde houer? Kliek hier vir die oplossing 5 3. Vind `n stel van vyf ouderdomme, waar die gemiddelde ouderdom 5 is, die modale ouderdom 2 is en die mediaan ouderdom 3 is. Kliek hier vir die oplossing 6 4. Vier vriende het elk `n paar albasters. Hulle bereken dat die gemiddelde aantal albasters wat hulle het 10 is. Een van die vriende gaan weg. Sy het 4 albasters. Hoeveel albasters het die vriende wat oorbly altesaam? Kliek hier vir die oplossing 7 5. Jason werk in 'n rekenaarwinkel. Sy maandelikse rekenaarverkope oor 'n aantal maande word gegee in die onderstaande datastel: 27; 39; 3; 15; 43; 27; 19; 54; 65; 23; 45; 16 Stel sy verkope voor met 'n vyfpuntopsomming en 'n houerstipping. Kliek hier vir die oplossing 8 6. Lisa werk as 'n telefoonverkope operateur. Sy teken die aantal verkope wat sy in 'n maand maak aan. Die data toon hoeveel sy elke maand verkoop: 49; 12; 22; 35; 2; 45; 60; 48; 19; 1; 43; 12 Gee 'n vyfgetalopsomming en 'n houerstipping van haar verkope. Kliek hier vir die oplossing 9 7. Rose het in 'n bloemistewinkel gewerk vir nege maande. Sy het volgende aantal trouruikers verkoop: 16; 14; 8; 12; 6; 5; 3; 5; 7 a. Wat is die vyfgetalopsomming van die data? b. Aangesien daar 'n onewe aantal datapunte is, wat merk jy op wanneer jy die vyf punte bereken? Kliek hier vir die oplossing

15 OpenStax-CNX module: m Ons kan die konsepte van gemiddelde, mediaan en modus toepas op gegroepeerde data. Gegroepeerde data het nie individuele datapunte nie, maar die data is georganiseer in groepe of klasse. Om die gemiddelde te bereken moet ons al die frekwensies optel en verdeel deur die totaal. Ons weet nie wat die werklike datawaardes is nie, maar ons kry die benaderde waarde deur die middelpunte van elke groep te gebruik. Ons vermenigvuldig dan die middelpuntwaardes met die frekwensie. Ons tel hierdie getalle bymekaar om die benaderde totaal van die datawaardes te kry. Die modale groep/klas is die groep/klas met die hoogste frekwensie. Die mediaangroep is die groep wat die middelwaardes bevat. Maatstawe van verspreiding kan ook gevind word vir gegroepeerde data. Die variasiewydte word verkry deur die kleinste getal in die laagste klas af te trek van die grootste getal in die hoogste klas. Die kwartiele word op dieselfde wyse bereken as die mediaan. Exercise 10: Gemiddeld, Mediaan en Modus vir Groepeerde Data (Solution on p. 27.) Beskou die volgende groepeerde data en bereken die gemiddeld, die modale klas en die mediaanklas. Massa (kg) Frekwensie Totaal = 50 Table Meer oor gemiddeld, modus en mediaan van gegroepeerde data In elke datastel, vind die gemiddeld, die modalde klas en die mediaanklas. 1. Tye neergeskryf terwyl leerders `n speletjie gespeel het. Tyd in sekondes Frekwensie Table 11 Kliek hier vir die oplossing

16 OpenStax-CNX module: m Die volgende data het ons gekry by `n groep leerders. Massa in kilogram Frekwensie Table 12 Kliek hier vir die oplossing 12 6 Vooroordele en Foute Foute kan insluip by enige data-opnames. Onwillekeurige foute kom voor in alle datastelle en staan soms bekend as nie-sistematiese foute. Onwillekeurige foute kan ontstaan as gevolg van die skatting van datawaardes, onakkuraatheid van instrumente, ens. As jy byvoorbeeld lengtes aees van 'n liniaal, kan onwillekeurige foute insluip in elke meting as gevolg van die skatting tussen watter twee lyntjies die lengte lê. Wanvoorstellings (vals voorstellings) staan ook soms bekend as sistematiese foute. Wanvoorstellings in 'n datastel kom voor wanneer die datawaardes deurlopend oor- of onderskat word. Wanvoorstellings kan ook ontstaan wanneer korreksiefaktore nie in aanmerking geneem word nie of wanneer instrumente nie behoorlik gekalibreer is nie (kalibrering is die proses waarin instrumente gemerk word volgens vooraf gedenieërde mate). Wanvoorstellings lei tot die berekening van 'n foutiewe steekproefgemiddelde wat groter of kleiner kan wees as die ware gemiddelde. 7 Data Interpretasie Baie mense aanvaar statistieke goedsmoeds en pas dit blindweg toe of haal dit aan. Dit is egter nie wys nie want die data wat aanleiding gee tot die statistieke moet noukeurig oorweeg word. 'n Welbekende voorbeeld van verskeie datastelle wat lei na dieselfde statistiese analise (die proses waarin data ondersoek word en maatstawe van sentrale neiging bereken word, ens.) terwyl hulle in der waarheid baie van mekaar verskil, is Anscombe se kwartet. Dit word getoon in. In Graad 11 sal jy metodes bestudeer wat gebruik word om data graes voor te stel. Op die oomblik egter, hoef jy slegs te verstaan dat ons datawaardes op die Cartesiese vlak kan voorstel op soortgelyke wyse as waarmee ons graeke geteken het. As elk van die datastelle in Anscombe se kwartet statisties geanaliseer word, vind ons dat die gemiddelde, variansie, korrelasie en lyne van beste passing (hierdie terme sal in latere grade verduidelik word) identies is. Wanneer ons egter die data, in plaas van om dit statisties te analiseer, eenvoudig stip, kan ons sien dat die datastelle baie van mekaar verskil. Hierdie voorbeeld wys vir ons dat dit baie belangrik is om sowel die onderliggende datastel as die statistiese aeidings in aanmerking te neem. Ons kan nie aanneem dat omdat ons oor die statistieke van 'n datastel beskik, ons noodwendig weet wat die datastel ons vertel nie. Ter wille van interessantheid,

17 OpenStax-CNX module: m word sommige van die wyses waarop statistieke en data verkeerd geïnterpreteer en wanvoorgestel word, in die volgende uitbreiding van die afdeling gegee. Figure 5: Anscombe's quartet 8 Misbruik van Statistiek - slegs vir verryking In baie omstandigheide kan groepe voordeel trek daaruit om mense te mislei met die misbruik of wanvoorstelling van statistieke. Algemene tegnieke wat gebruik word sluit in: Driedimensionele graeke As wat nie by nul begin nie As sonder skaal Graese beelde wat `n negatiewe of positiewe neiging suggereer Veronderstelling dat `n korrelasie noodwendig `n verband uitwys Die gebruik van statistiek wat nie werklik `n aanduiding is van die algehele bevolking nie Die gebruik van wanbegripe van wiskundige konsepte Byvoorbeeld, die volgende paar graeke toon identiese inligting, maar dit lyk baie verskillend. Verduidelik hoekom. Figure Oefeninge Misbruik van Statistiek 1. 'n Maatskappy probeer om `n visuele voorstelling te gee van die toename van hul verdienste van een jaar na die ander. Oortuig die graek hieronder jou? Analiseer die graek. Figure 7 Kliek hier vir die oplossing

18 OpenStax-CNX module: m In `n studie wat gedoen is op `n besige grootpad, het ons data versamel van bestuurders wat die snelheidsperk oortree het en ons het die kleur van hul motors ook bygevoeg. Die data is versamel oor `n 20 minuut periode gedurende die middag, en word vertoon op `n tabel hieronder. Gevolgtrekkings, gemaak deur 'n onervare persoon en gebaseer op die data, is soos volg opgesom: As iemand `n wit motor bestuur, is dit meer waarskynlik dat hy/sy die snelheidsperk sal oortree. As iemand `n blou of rooi motor bestuur is dit meer waarskynlik dat hy/sy by die snelheidsperk sal hou. Stem jy saam met hierdie gevolgtrekkings? Verduidelik. Kliek hier vir die oplossing 'n Maatskappy produseer `n graek wat hulle voordeel in verkope teenoor hul kompetisie wys. Identi- seer ten minste drie strategieë wat hulle gebruik het om die leser se persepsie te verander. Figure 8 Kliek hier vir die oplossing In `n poging om hul kompetisie in 'n swak lig te stel, het `n maatskappy die volgende graek getoon. Hulle beweer dat hulle kompetisie besigheid verloor. Kan jy aan `n beter verduideliking dink? Figure 9 Kliek hier vir die oplossing Om `n teorie te toets, is agt verskillende kantore gemonitor vir hulle geraasvlakke en werkers se produktiwiteit. Die graek hieronder toon die resultate. Figure 10 Die volgende aeiding is toe gemaak: As `n kantoor baie geraas het, lei dit na swak produktiwiteit. Verduidelik die fout in hierdie denke. Kliek hier vir die oplossing

19 OpenStax-CNX module: m Opsomming ˆ Datatipes kan verdeel word in primêre en sekondêre data. Primêre data kan verder verdeel word in kwalitatiewe en kwantitatiewe data. ˆ Ons gebruik die volgende as maatstawe van sentrale neiging: Die gemiddelde van 'n datastel, x, aangedui deur x, is die rekenkundige gemiddelde van al die datawaardes en word as volg bereken: x = som van waardes aantal waardes (2) Die mediaan is die sentrale datawaarde in 'n datastel wat georden is van die laagste na die hoogste waarde. Die modus is die datawaarde wat die meeste voorkom in die datastel. ˆ Die volgende is maatstawe van verspreiding: Die variasiewydte van 'n datastel is die verskil tussen die laagste en die hoogste waarde in die stel. Kwartiele is die drie datawaardes wat 'n geordende datastel in vier groepe opdeel wat elk 'n gelyke aantal datapunte bevat. Die mediaan is die tweede kwartiel. Persentiele is die 99 datawaardes wat die datastel in 100 gelyke groepe verdeel. Die interkwartielvariasiewydte is 'n maatstaf wat inligting verskaf oor die verspreiding van data in 'n datastel en word bereken deur die eerste kwartiel af te trek van die derde kwartiel. Dit gee die variasiewydte van die middelste helfte van die datastel, terwyl dit die laagste en hoogste kwartiele uitsluit, nl. Q 3 Q 1. Helfte van hierdie waarde is die semi-interkwartielvariasiewydte. ˆ Die vyfgetalopsomming is 'n manier om data op te som. 'n Houerstipping is 'n graese voorstelling van die vyfgetalopsomming. ˆ Onwillekeurige foute kom voor in alle datastelle en ontstaan vanweë die skatting van datawaardes. Vals veronderstellings of sistematiese foute kom voor wanneer jy konsekwent datawaardes onder- of oorskat. ˆ Neem altyd die data sowel as die statistieke wat die data opsom in aanmerking voor jy tot gevolgtrekkings kom. 10 Oefeninge 1. Bereken die gemiddeld, mediaan en modus van die datastel 3. Kliek hier vir die oplossing Die hoogste 7 bome in 'n park het hoogtes (in meters) van 41, 60, 47, 42, 44, 42, and 47. Vind die mediaan van hulle hoogtes. Kliek hier vir die oplossing Die student in Bjorn se klas het die volgende ouderdome: 5, 9, 1, 3, 4, 6, 6, 6, 7, 3. Vind die modus van hul ouderdome. Kliek hier vir die oplossing 'n Ingenieursrma het twee verskillende tipes enjins vir motoretse ontwerp. Die twee verskillende motoretse word getoets vir die tyd wat dit hulle vat om te versnel van 0 km/h tot 60 km/h

20 OpenStax-CNX module: m Bike 1 Bike 2 Toets 1 Toets 2 Toets 3 Toets 4 Toets 5 Toets 6 Toets 7 Toets 8 Toets 9 Toets Gemiddelde Table 13 a. Watter maatstaf van sentrale neiging is die beste om te gebruik om hierdie data op te som? b. Bereken die maatstaf, waarop jy besluit het in die vorige vraag, vir elke motorets. c. Watter motorets sal jy kies, gebaseer op hierdie inligting? Neem kennis van die akkuraatheid van die datawaardes in elk van die datastelle. Click here for the solution Die hoogte (lengte) van 40 leerders is gegee hieronder Table 14 a. Stel 'n frekwensietabel op vir 6 intervalle. b. Bereken die benaderde gemiddelde. c. Bereken die modus. d. Hoeveel leerders is groter as jou benaderde gemiddelde in (b)? Kliek hier vir die oplossing In `n verkeersondersoek was 50 ewekansig gekose motorbestuurders gevra watter afstand hulle werk toe ry elke dag. Hierdie inligting word gewys in die tabel hieronder. Afstand in km Frequency Table 15 a. Vind die benaderde gemiddelde. b. Watter persentasie van mense het i. minder as 16 km gery? ii. meer as 30 km? iii. tuseen 16 km en 30 km daagliks? Kliek hier vir die oplossing

21 OpenStax-CNX module: m 'n Maatskappy wil die opleidingsprogram in sy fabriek evalueer. Hulle het dieselfde opdrag vir beide opgeleide en onopgeleide werkers gegee en dan hulle tyd gemeet in sekondes. Opgeleide Onopgeleide Table 16 a. Vind die mediaan en kwartiele vir albei datastelsels. b. Vind die interkwartielvariasiewydte vir albei datastelsels. c. Lewer kommentaar op die resultate. Kliek hier vir die oplossing 'n Klein maatskappy huur 9 mense. Die jaarlikse salarisse van die werkers is: R R R R R R R R R Table 17 a. Vind die gemiddeld van die salarisse. b. Vind die modus. c. Vind die mediaan. d. Van die drie berekeninge, watter een sal jy gebruik om te onderhandel vir 'n salaris verhoging? Hoekom? Kliek hier vir die oplossing Die punte vir `n spesieke klas is hier gelys: Table 18 Voltooi die frekwensietabel deur gebruik te maak van die gegewe klasintervalle

22 OpenStax-CNX module: m Kliek hier vir die oplossing 26 Klas Optelling Frekwensie Middelpunt Frekw Midpt , , Som = Som = Table

23 OpenStax-CNX module: m Solutions to Exercises in this Module Solution to Exercise (p. 9) Step 1. Daar is twee unieke datawaardes: K en S. Daarom is daar twee groepe: een vir die K-datawaardes en nog een vir die S-datawaardes. Step 2. Datawaardes Frekwensie K 44 S 56 Table 20: Frekwensie van datawaardes in Datastel 1 Step 3. Daar is 100 datawaardes en die total van die frekwensiekolum is = 100. Solution to Exercise (p. 10) Step 1. Step 2. Daar is 5 waardes in die datastel. Step 3. Step 4. Die gemiddeld van die datastel x = {10, 20, 30, 40, 50} is 30. Solution to Exercise (p. 10) Step 1. 1,2,10,14,68,86,99 Step 2. Daar is 7 waardes in die datastel. Step 3. Die sentrale posisie van die datastel is 4. Step is in die sentrale posisie van die datastel. Step is die mediaan van die datastel {1, 2, 10, 14, 68, 86, 99}. Solution to Exercise (p. 11) Step 1. 1,2,10,11,14,68,85,99 Step 2. Daar is 8 punte in die datastel. Step 3. Die sentrale posisies van die datastel is tussen 4 en 5. Step is in posisie 4 en14 is in posisie 5. Step 5. die mediaan van die datastel {1, 2, 10, 11, 14, 68, 85, 99} is Solution to Exercise (p. 11) Step = 150 (3) = 30 (4) ( ) 2 = 12, 5 (5) datawaarde frekwensie datawaarde frekwensie

24 OpenStax-CNX module: m Table 21 Step 2. Die getal 4 kom die meeste voor. Step 3. Die modus van die datastel x = {1, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 10} is 4 want die getal 4 kom die meeste voor. Solution to Exercise (p. 12) Step is die hoogste waarde en 1 is die laagste waarde. Step = 9 (6) Step 3. Vir die datastel x = {1, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 10}, die variasiewydte is 9. Solution to Exercise (p. 12) Step 1. {1, 3, 5, 8, 9, 12, 24, 25, 28, 30, 41, 50} Step 2. Daar is 12 waardes in die datastel. Step 3. Step = 3 (7) Q 1 Q 2 Q 3 Table 22 Die eerste kwartiel verskyn tussen dataposisies 3 en 4 en dit is die gemiddeld van datawaardes 5 en 8. Die tweede kwartiel verskyn tussen posisies 6 en 7 en dit is die gemiddeld van datawaardes 12 en 24. Die derde kwartiel verskyn tussen posisies 9 en 10 en dit is die gemiddeld van die datawaardes 28 en 30. Step 5. Die eerste kwartiel = 6,5. (Q 1 ) Die tweede kwartiel = 18. (Q 2 ) Die derde kwartiel = 29. (Q 3 ) Solution to Exercise (p. 12) Step Q 1 M Q 3 Table 23 Step 2. Die variasiewydte = = 71. Dit sê vir ons dat die punte redelik wyd versprei is. Step 3. naamlik M = = 99 2 = 49, 5 Step 4. naamlik Q 1 = = 83 2 = 41, 5 Step 5. naamlike Q 3 = = = 66, 5 Step 6. Die kwartiele is 41,5, 49,5 en 66,5. Hierdie kwartiele sê vir ons dat 25% van die punte is minder as 41,5; 50% van die punte is minder as 49,5 en 75% van die punte is minder as 66,5. Hulle sê ook vir ons dat 50% van die punte lê tussen 41,5 en 66,5. Step 7. Die interkwartielvariasiewydte = 66,5-41,5 = 25. Dit sê vir ons dat die wydte van die middelste 50 % van die datawaardes is 25. Step 8. Die half-interkwartielvariasiewydte = 25 2 = 12,5 Solution to Exercise (p. 14)

25 OpenStax-CNX module: m Step 1. Minimum = 1, 25 Maximum = 5, 10 Die posisie van die eerste kwartiel is tussen 3 en 4. Die posisie van die tweede kwartiel is tussen 6 en 7. Die posisie van die derde kwartiel is tussen 9 en Die datawaarde tussen 3 en 4 is: 2 (2, 5 + 2, 5) = 2, 5 1 Die datawaarde tussen 6 en 7 is: 2 (3, 2 + 4, 1) = 3, 65 1 Die datawaarde tussen 9 en 10 is: 2 (4, , 8) = 4, 775

26 OpenStax-CNX module: m Step 2. Figure 11

27 OpenStax-CNX module: m Solution to Exercise (p. 15) Step 1. Om die gemiddelde waarde te bereken, moet ons al die massas optel en deur 50 deel. Ons weet nie wat die werklike massas is nie, dus neem ons die benaderde getal deur die middelpunt van elke klas te kies. Ons vermenigvuldig daardie middelpuntwaarde met die frekwensie. Gevolglik tel ons daardie waardes op om die benaderde totaal van die massas te kry. Dit word getoon in die tabel hieronder. Massa (kg) Middelpunt Frekwensie Midpt Frek (41+45)/2 = = Table 24 Totaal = 50 Totaal = 2650 Step 2. Die gemiddeld = = 53. Die modale klas is die klas want dit het die hoogste frekwensie. Die mediaangroep is die groep 51-53, want die 25ste en 26ste terme val in hierdie groep.