INHOUD. Voorwoord... VII. Visie op basisonderwijs... IX. I Richtsnoer bij het leerplan wiskunde in de basisschool... 1

Transcriptie

1 INHOUD III INHOUD Voorwoord... VII Visie op basisonderwijs... IX I Richtsnoer bij het leerplan wiskunde in de basisschool... 1 Inleiding... 3 Hoofdstuk I: Visie van OVSG op Wiskunde... 5 Hoofdstuk II: Evaluatie in en van het wiskundeonderwijs Hoofdstuk III: Gebruik van het leerplan II Domeinoverschrijdende doelen en katernen Hoofdstuk I: Domeinoverschrijdende doelen Strategieën en probleemoplossende vaardigheden Wiskundeattitudes Hoofdstuk II: Didactische katernen Werken met contexten Ontluikende gecijferdheid III Domein 1: GALLEN Hoofdstuk 1: Leerlijnen getallen A Getallenkennis Tellen Getallen lezen en noteren Getallen voorstellen en positiestelsel Vergelijken en ordenen Functies van getallen Delers en veelvouden Patronen Afronden (hoeveelheden schatten)... 99

2 IV OVSG-LEERPLAN WISKUNDE B Bewerkingen Begripsvorming - Rekentaal Optellen en aftrekken tot Optellen Aftrekken Maal- en deeltafels tot Vermenigvuldigen Delen Relatie tussen bewerkingen Werken met numerieke verhoudingen Tabellen en grafieken Schatten Cijferend optellen Cijferend aftrekken Cijferend vermenigvuldigen Cijferend delen Cijferen algemeen De zakrekenmachine Hoofdstuk II: Didactische katernen Rekenen tot Hoofdrekenen Automatiseren van de tafels Breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten Tabellen en grafieken Cijferalgoritmen De zakrekenmachine IV Domein 2: MEN Hoofdstuk 1: Leerlijnen meten Classificeren volgens kwalitatieve eigenschappen Meten van lengte, gewicht, inhoud, oppervlakte, omtrek en volume Schaal Meten van tijd Meten van snelheid Meten van temperatuur Meten van hoeken Geld Hoofdstuk II: Didactisch katern meten Inleiding Fasen in de ontwikkelingslijn meten Meten van specifieke grootheden Meetstands

3 INHOUD V V Domein 3: MEKUNDE Hoofdstuk I: Leerlijnen meetkunde A Vormleer Vormen beschrijven, herkennen, construeren, benoemen en classificeren Vormen classificeren op grond van eigenschappen Puzzelen, bouwen, omstructureren, construeren Relaties tussen geometrische figuren (meetkundige transformaties) B Meetkundige wereldoriëntatie Positiebepaling Beweging en richting Viseerlijnen en schaduw Hoofdstuk II: Didactisch katern meetkunde Inleiding Tendensen in de basisschool Fasen in het meetkundig denken en didactische principes Groei van de meetkundige oriëntatie bij kleuters Vormleer Meetkundige wereldoriëntatie Horizontale samenhang Slot VI Verklarende woordenlijst, materialen en bibliografie Verklarende woordenlijst Materialen Bibliografie

4 VISIE OP BASISONDERWIJS VII VOORWOORD Met het decreet van 15 juli 1997 werden de ontwikkelingsdoelen en eindtermen voor het gewoon basisonderwijs door de Vlaamse Regering bekrachtigd. Hiermee bepaalt de overheid een minimumkwaliteitsnorm waaraan de schoolwerking moet voldoen om te worden erkend. Hoe deze minimumdoelen worden bereikt, hoe aan de eindtermen/ontwikkelingsdoelen wordt gewerkt, bepaalt elke inrichtende macht zelf, onder meer via het ontwerpen van of via haar keuze voor een bepaald leerplan. Het niveaudecreet basisonderwijs van 25 februari 1997 bepaalt in artikel 45 dat ieder schoolbestuur over een leerplan moet beschikken dat door de Vlaamse Regering goedgekeurd is. In overleg met inrichtende machten werd ervoor geopteerd om binnen het OVSG een werking op te zetten inzake ontwikkeling van leerplannen voor het gemeentelijk basisonderwijs. Deze leerplannen werden opgevat als een leidraad voor leraren en schoolteams om speelleer- en onderwijsleersituaties te creëren op basis van ontwikkelingsdoelen en eindtermen enerzijds en het lokale pedagogische project anderzijds. De leerplannen zijn samen met het lokale pedagogische project de basis voor de uitwerking van een schoolwerkplan. Ze zijn een bron van informatie, op basis waarvan de leraren en schoolteams worden aangezet tot reflectie op hun eigen klas- en schoolpraktijk. Bij de aanmaak van de leerplannen werd rekening gehouden met een aantal belangrijke criteria: * De leerplannen OVSG bevatten minimaal de ontwikkelingsdoelen en de eindtermen als te bereiken doelen. Het verband tussen het leerplan en de na te streven ontwikkelingsdoelen en eindtermen wordt duidelijk aangegeven. * De leerplannen kunnen naast eindtermen en ontwikkelingsdoelen ook andere basis- en uitbreidingsdoelen bevatten. * De leerplannen bieden ten aanzien van het schoolteam voldoende informatie over: - de visie op basisonderwijs; - de visie op het leergebied. * De leerplannen bieden mogelijkheden om differentiatie en zorgbreedte in de onderwijspraktijk in te bouwen. * De leerplannen moeten bruikbaar zijn bij andere groeperingsvormen dan het klassieke leerstofjaarklassensysteem. Ze zijn een belangrijk instrument voor de realisatie van continuïteit in de schoolloopbaan van de kinderen.

5 VIII OVSG-LEERPLAN WISKUNDE * De leerplannen leggen ook klemtonen op attitudes en waarden. * De leerplannen zetten aan tot integratie van leergebieden en leerdomeinen. * De leerplannen bevatten naast doelstellingen ook didactische suggesties. * De leerplannen komen tegemoet aan het goedkeuringscriterium studielast dat stelt dat een leerplan realiseerbaar moet zijn binnen de daarvoor geraamde en noodzakelijk geachte tijd. Er werd geopteerd voor een leergebiedoverschrijdende bijlage bij de leerplannen. Deze bijlage, in de vorm van de brochure Onderwijstijd: studielast van het leerplan en suggesties voor concreet onderwijstijdgebruik, moet dan ook samen met de leerplannen als één geheel worden gezien. In mei 1993 werd met de leerplanwerking binnen OVSG gestart. Er werd gewerkt binnen 7 commissies - in overeenstemming met de structuur van de leergebieden - en in verschillende deelcommissies of werkgroepen. Een 60-tal medewerkers werd bereid gevonden om naast hun dagelijkse onderwijswerkzaamheden op een intensieve manier mee te werken aan de leerplannen van het gemeentelijk basisonderwijs. Naast directies en leraren, afgevaardigd door verschillende inrichtende machten, participeerden medewerkers uit de pedagogische centra van Gent en Antwerpen, leden van de stedelijke inspectie en medewerkers uit de navorming en begeleiding van OVSG aan de werking. Leden van de dienst Basisonderwijs van OVSG namen de coördinatie en de administratieve ondersteuning op zich. De werkzaamheden van deze commissies werden afgerond in februari Vanwege het arrest van het Arbitragehof van 18 december 1996 tot vernietiging van het decreet van de Vlaamse Gemeenschap van 22 februari 1995 betreffende de ontwikkelingsdoelen en eindtermen voor het gewoon kleuter-/lager onderwijs waren wij ertoe genoodzaakt in de eerste druk geen verwijzingen te maken naar de ontwikkelingsdoelen en eindtermen. In deze tweede druk worden de verwijzingen naar de ontwikkelingsdoelen en eindtermen toegevoegd op basis van het besluit van de Vlaamse regering tot bepaling van de ontwikkelingsdoelen en eindtermen van het gewoon basisonderwijs d.d. 27 mei 1997 dat werd bekrachtigd bij decreet van 15 juli Het leerplan WISKUNDE VOOR DE BASISSCHOOL werd goedgekeurd op 20 april De Raad van Bestuur van OVSG wenst, in naam van alle inrichtende machten die dit leerplan kiezen als leidraad voor de werking van hun schoolteam(s), alle medewerkers aan de ontwikkeling van voorliggend leerplan uitdrukkelijk te bedanken. Brussel, mei 1998

6 VISIE OP BASISONDERWIJS IX VISIE OP BASISONDERWIJS Inleiding In deze tekst wordt op beknopte wijze de visie weergegeven van OVSG op het basisonderwijs. Deze visie sluit nauw aan bij de 'uitgangspunten eindtermen basisonderwijs', zoals geformuleerd door de Dienst voor Onderwijsontwikkeling. 1 OVSG oordeelt dat de eindtermen basisonderwijs een rijk kader bieden voor het creëren van kwalitatief onderwijs in de basisscholen. De eindtermen, als verplicht minimaal te bereiken einddoelen, vormen als dusdanig de criteria voor belangrijke kwaliteitsparameters, zoals bijvoorbeeld doelmatigheidsbeleving van leerkrachten, werkvoorwaarden, professionalisering van leerkrachten en de mate waarin de beoogde doelen bereikt worden. Kwaliteit voor een school betekent meer dan de mate waarin en de wijze waarop doelen worden gerealiseerd. De kwaliteit van een school uit zich op de eerste plaats in het dagelijks pedagogisch klimaat, het samenlevingsmodel dat de school uitbouwt, de leef- en werkcultuur die er heerst. De kwaliteit heeft met andere woorden alles te maken met het pedagogisch project dat de inrichtende macht vooropstelt en dat samen met de schoolgemeenschap concreet vorm krijgt. Vanuit dit pedagogisch project werkt het lerarenteam op zodanige wijze aan de realisatie van de vooropgestelde doelen, dat er recht wordt gedaan aan de kenmerken van goed basisonderwijs. Deze kenmerken zijn:. samenhang. totale persoonlijkheidsontwikkeling. zorgverbreding. actief leren. continue ontwikkelingslijn. Samenhang OVSG gaat ervan uit dat kinderen iets moeten kunnen doen met datgene wat ze op school leren. Vanuit deze optiek is een leergebieden- of vakkengesplitste benadering van de realiteit niet aanbevolen. Kinderen beleven en ervaren de realiteit immers niet in vakjes. Wil de school kinderen competenter maken in het omgaan met bepaalde leefsituaties, dan zal zij ervoor moeten zorgen leersituaties te creëren die voor hen herkenbaar zijn. Het pedagogisch project 1 DIENST VOOR ONDERWIJSONTWIKKELING, document Uitgangspunten eindtermen basisonderwijs (16/11/93)

7 X OVSG-LEERPLAN WISKUNDE is bepalend voor de uitbouw van deze leersituaties en de wijze waarop de kinderen begeleid worden. Zowel in de concrete leersituaties als in de schoolorganisatie zullen de kinderen de centrale plaats innemen. De schoolgemeenschap dient er daartoe op de eerste plaats voor te zorgen dat de kinderen zich veilig en goed voelen op de basisschool. Ten tweede zullen leraren leersituaties creëren die zoveel mogelijk rekening houden met wat kinderen reeds kunnen, reeds ervaren hebben. De aangeboden leerinhouden en leersituaties moeten de kinderen wegwijs maken in het geheel van onze maatschappij vanuit de eigen wijze waarop zij deze maatschappij bekijken, betekenis geven en kunnen hanteren. Zo zal het schoolteam, via de realisatie van horizontale samenhangen binnen het onderwijsaanbod, zo veel mogelijk betekenisvolle leersituaties creëren. Samenhang binnen basisonderwijs betekent echter nog meer. De doelstellingen van het basisonderwijs hebben niet enkel betrekking op kennis opdoen. Ook het verwerven van inzichten, vaardigheden en attitudes met betrekking tot verschillende werkelijkheidsgebieden zijn belangrijke doelstellingen. Daarnaast dienen 'leren leren', 'probleemoplossend denken' en 'sociale vaardigheden' door de basisschool heen in verschillende leergebieden aandacht te krijgen. In die zin wordt 'samenhang' als kenmerk voor 'basisvorming' het geheel van kennis, inzichten, vaardigheden en attitudes die kinderen verwerven binnen voor het kind herkenbare leersituaties op de basisschool. Totale persoonlijkheidsontwikkeling De vorming die de basisschool biedt, moet harmonisch zijn. Alle aspecten van de persoonlijkheid dienen via de aangeboden vorming in hun ontwikkeling te worden gestimuleerd en dit op evenwichtige wijze. Vaardigheden die kinderen via de basisschool verwerven, hebben dus niet enkel te maken met het cognitieve, maar liggen ook duidelijk op het vlak van het sociale, het psychomotorische, het dynamisch-affectieve, het muzisch-creatieve. Bij de keuze van doelen, leerprocessen, leerinhouden, werkvormen, groeperingsvormen, leermiddelen, evaluatiewijzen... houden schoolteamleden er rekening mee dat al deze facetten van de leersituatie hun impact hebben op de persoonlijkheidsvorming die men vanuit de school aanbiedt. Aandacht voor de totale persoonlijkheidsvorming houdt dan ook in dat het schoolteam zich beraadt over een evenwichtig vormingsaanbod en een evenwichtige activiteitenplanning. Elk kind is anders, reageert anders, heeft reeds een bepaalde persoonlijkheid ontwikkeld en brengt andere ervaringen mee uit het eigen culturele en sociale milieu. Dit beïnvloedt het verloop en de resultaten van de vorming die het kind op school wordt aangeboden. Wil de school haar doel bereiken, namelijk het kind basisvaardigheden laten verwerven op verschillende terreinen van zijn persoonlijkheid, dan houdt ze in haar aanbod niet alleen rekening met de verschillende ontwikkelingsterreinen maar ook met de verschillen in persoonlijkheidsontwikkeling. Aandacht voor de totale persoonlijkheidsontwikkeling impliceert daarom een gerichtheid op individualiserend onderwijs.

8 VISIE OP BASISONDERWIJS XI Zorgverbreding Een veelheid van factoren (cognitieve, emotionele, sociale, economische, culturele, etnische) zorgen ervoor dat het onderwijs voor een grote groep kinderen in meer of mindere mate problematisch verloopt. De verklaring van problemen mag echter niet alleen bij de kinderen worden gezocht. Ook schoolfactoren en factoren uit de thuissituatie kunnen het probleemgedrag mee veroorzaken. Een goede interactie tussen kind en leraar, die ook rekening houdt met de thuissituatie, is noodzakelijk om tot succesvolle oplossingen te komen. Zorgbreedte heeft te maken met de aandacht die de school aan kinderen wil geven, met de wijze waarop ze omgaat met verschillen tussen kinderen. Er worden twee aspecten onderscheiden in het begrip 'zorgbreedte'. Een eerste aspect heeft te maken met de vraag of een school zich richt op een gedeelte van de kinderen dan wel bekommerd is om ieder kind. Daarnaast heeft zorgbreedte betrekking op de mate waarin een school, in aanpak en aanbod, alle ontwikkelingsdomeinen de ruimte geeft die hen toekomt. 2 Het concreet werken aan zorgbreedte noemen we zorgverbreding. Binnen zorgverbreding kunnen we twee belangrijke facetten onderscheiden: 1/ het voorkomen van leer- en gedragsproblemen; 2/ het signaleren, analyseren, diagnosticeren en remediëren van leer- en/of gedragsproblemen bij kinderen en het evalueren en eventueel bijsturen van de begeleiding. Het eerste leerjaar vormt binnen vele scholen het grote struikelblok. Hoewel ontwikkelingsachterstand reeds vroeger kan aanwezig zijn, treedt die bij de overgang van het kleuter- naar het lager onderwijs sterker naar voren. Enerzijds illustreert deze vaststelling de belangrijke educatieve rol van de kleuterschool. Anderzijds leert ze ons dat bij het uitwerken van meer zorgverbreding zeker ook structureel moet gedacht worden. Soepele overgangen van kleuterniveau naar lager onderwijs en tussen leeftijdsgroepen dienen te worden gecreëerd. Doorbreken van het traditionele leerstofjaarklassensysteem in de lagere school is mogelijk. Voor het realiseren van zorgverbreding is de houding van het schoolteam een cruciale factor. De schoolteamleden moeten overtuigd zijn van de belangrijke opdracht van het basisonderwijs: bij zo veel mogelijk kinderen een brede basisvorming realiseren. Vanuit een gemeenschappelijke gerichtheid op de doelen van het basisonderwijs - zoals weergegeven in het door de inrichtende macht erkende leerplan en het eigen pedagogisch project - trachten de schoolteamleden hun onderwijs af te stemmen op de mogelijkheden van de individuele kinderen die ze op school begeleiden. 2 LAEVERS, F., Zorgverbreding in het kleuteronderwijs. Forum Basisonderwijs; Vlor, april 1994; pag. 129

9 XII OVSG-LEERPLAN WISKUNDE Dit impliceert dat de school aan een aantal organisatorische voorwaarden voldoet: overlegmogelijkheid, flexibele klasorganisatie,... Daarnaast moeten de leraren de attitude hebben om met elkaar over hun onderwijspraktijk te overleggen, systematisch te reflecteren op de eigen praktijk, de ouders bij het schoolgebeuren te betrekken en open te staan voor nieuwe inhoudelijke vormen van onderwijsondersteuning en -remediëring. Zorgverbreding betekent ook afstappen van een te eenzijdig cognitief gerichte benadering. Leermoeilijkheden bij kinderen zijn vaak niet op te lossen door orthodidactische en remediërende werkvormen toe te passen rond de drie basisvaardigheden lezen, rekenen en schrijven. Zonder hieraan afbreuk te doen, hebben kinderen met schoolachterstand vaak een ondersteuning nodig die op een ander terrein ligt dan het cognitieve en waarmee ze meer gebaat zijn in relatie met hun sociale omgeving, waartoe ook de school behoort. Zorgen dat kinderen zich goed en geaccepteerd voelen op school, er gaan functioneren en er plezier beleven, behoort tot de essentie van zorgverbreding. Een school die werkt aan zorgverbreding, zal differentiatievormen inbouwen met het oog op het ondersteunen van elk kind in zijn ontwikkelingsmogelijkheden. Differentiëren betekent op organisatorisch vlak: klasoverschrijdend werken, leerlingen tijdelijk hergroeperen, werken met niveaugroepen, individuele begeleiding binnen de taakklas, werken met een extra leraar binnen de klasgroep. Op het vlak van onderwijsinhouden betekent differentiëren: werken aan basis-, uitbreidings- en verdiepingsdoelen en stimuleren van eigen leerprocessen bij kinderen via het invoeren van pluriforme leeractiviteiten. Op het vlak van evaluatie betekent differentiëren: in de school een systeem ontwikkelen om kinderen systematisch op te volgen en wanneer nodig aangepaste remediëring en opvang zo vlug mogelijk aan te bieden. Actief leren Men spreekt van actief leren wanneer het kind zich in die mate betrokken weet bij het onderwijsgebeuren dat het zelf het leerproces op gang brengt, initiatieven neemt en gedragsveranderingen teweegbrengt. Actief leren is dus voor het kind een productief proces. Het is leren dat van het kind zelf uitgaat en door het kind spontaan als betekenisvol wordt ervaren. Het kind heeft belang bij wat het doet en gaat daarom volledig op in het anticiperen en oplossen van problemen. Het onderwijsgebeuren op school is bovendien een interactief proces tussen het kind en zijn stimulerende omgeving. De sociale interactie tussen leraar en leerling en tussen leerlingen onderling is een essentieel onderdeel van dit interactief proces. Om actief leren op school te stimuleren, dienen realistische en betekenisvolle probleemsituaties binnen de leersituatie te worden gecreëerd. De gekozen leerinhouden, de voorgestelde leeropdrachten, de gehanteerde werkvormen, de groeperingsvormen, de voorgestelde leermiddelen en de hulpbronnen maken hier deel van uit. Zij zullen bepalen of het kind al dan niet zijn eigen leren in

10 VISIE OP BASISONDERWIJS XIII handen neemt en op welke wijze. Met het oog op actief leren is het wenselijk frontaal lesgeven te beperken. Bij voorkeur wordt gekozen voor lessituaties, waarbij een grotere interactie tussen leerlingen onderling mogelijk wordt en de interactie tussen leraar en leerling andere kenmerken krijgt. Ook vormen van zelfstandig werken aan leertaken en een leerstofkeuze die gebaseerd is op waarneming in de onmiddellijke omgeving, zullen de motivatie tot spontaan en actief leren ten goede komen. Bij actief leren ligt de klemtoon eerder op het verwerken van, dan op de hoeveelheid aan leerinhouden. Kennis en inzicht zijn in die mate belangrijk dat zij gekoppeld kunnen worden aan denkhandelingen en strategische vaardigheden. Hierdoor worden ze voor het kind hanteerbaar binnen probleemsituaties en worden ze hefbomen voor actief leren en ontwikkeling. Onder denkhandelingen verstaan we onder meer: actief waarnemen, memoriseren, analyseren, beoordelen, redeneren... Tot de strategische vaardigheden rekent men algemene probleemoplossende vaardigheden zoals plannen, schematisch voorstellen, hoofd- en bijzaken onderscheiden, heuristiek hanteren, vergelijken... en meer specifieke vaardigheden die samenhangen met bepaalde aspecten van leergebieden, zoals een rapport opstellen, een vraagstuk oplossen, expressief hardop lezen, een tekst samenvatten... Het basisonderwijs schenkt met het oog op actief leren veel aandacht aan het verwerven van strategische vaardigheden en denkhandelingen door kinderen. Continue ontwikkelingslijn Het aangeboden onderwijs wordt zowel naar moeilijkheidsgraad als naar inhoud afgestemd op de ontwikkelingsmogelijkheden en -behoeften van de leerlingen. Dit vanuit de bekommernis het kind continu ontwikkelingskansen te bieden. Aandacht voor 'continuïteit' binnen onderwijs betekent ook dat men de drempels tussen de verschillende fasen van de schoolloopbaan, tussen leergebieden (zie samenhang), tussen thuis- en schoolervaringen van de leerlingen, zo laag mogelijk maakt. De begeleiders van het kind door de basisschool moeten deze continuïteit nastreven. Voor de schoolteamleden betekent dit gelijkgerichtheid, stimuleren van een doorlopende leer- en ontwikkelingslijn, afspraken maken en nakomen: wie brengt welke leersituaties aan? Schoolwerkplanning komt hier aan de orde. Bovendien zal veel aandacht gaan naar het bepalen van de beginsituatie van de leerlingen. Informatie over hoe leerlingen leren en welke leerervaringen ze reeds achter de rug hebben, moet de leraren helpen het kind adequaat verder te begeleiden in zijn ontwikkeling. Deze informatie heeft niet alleen betrekking op leerinhouden, maar ook op werk- en groeperingsvormen en op de emotionele draagkracht van het kind in verschillende leersituaties, thuis en op school. Afsluitend willen we opmerken dat de continuïteit binnen de basisschool moet doorgetrokken worden naar het secundair onderwijs.

11 XIV OVSG-LEERPLAN WISKUNDE Geraadpleegde bronnen DVO, Ontwerp visietekst eindtermen basisonderwijs, december 1992 DVO, Uitgangspunten eindtermen basisonderwijs, 16 november 1993 Het VLO in ontwikkeling, Informatieblad jrg. XXII, speciaal nummer, september 1987 OVSG, Pedagogisch project, brochure, 1992 OVSG, Maatregelen rond zorgverbreding, nota, 8 januari 1993 OVSG, Visie op zorgbreedte, Project zorgbreedte, brochure 1, september 1994 VLOR, Zorgverbreding: onze zorg, Forum Basisonderwijs, 30 april 1994 VLOR, Zittenblijven in het basis- en secundair onderwijs, advies, 1994 VLOR-Commissie Migranten, Doorstroming, document, 1992 VLOR-Raad Basisonderwijs, Aanbeveling: Eindtermen kleuter- en lager onderwijs, RBO/PDL-JVW/AVW/001, Vlor, 8 februari 1994

12 INLEIDING 3 INLEIDING Met dit leerplan wil OVSG krachtlijnen uittekenen voor de optimalisering van het wiskundeonderwijs in de basisscholen, autonome kleuterscholen en lagere scholen. Dit leerplan wil in de eerste plaats een leidraad zijn voor de leraren, waarmee ze in de praktijk aan de slag kunnen. Door één leerplan te ontwerpen dat geldt voor zowel kleuter- als lager onderwijs, wordt aandacht besteed aan de noodzakelijke 'doorlopende lijnen', waardoor - naar we hopen - de drempels tussen de niveaus worden afgebouwd. Dit leerplan biedt de mogelijkheid tot uitwerking ervan in een schoolwerkplan, een eigen beleidsinstrument van en voor de school, dat over de verscheidene jaren wordt ontwikkeld en waarbij rekening wordt gehouden met de lokale omstandigheden, de eigen prioriteiten en waarden. Het laat aan iedere inrichtende macht de mogelijkheid om eigen accenten te leggen, naargelang het pedagogisch project dat wordt nagestreefd. De vertaling van dit leerplan naar een eigen schoolwerkplan, eventueel klaswerkplan, levert een belangrijke bijdrage bij het zoeken naar mogelijkheden om alle kinderen van de school op weg te zetten naar een actieve benadering van de wiskundige aspecten in de eigen leefwereld, ongeacht leeftijd, begaafdheid, herkomst of sociale omstandigheden. Het OVSG-leerplan wiskunde bestaat uit zes delen. In het eerste deel, het Richtsnoer bij het leerplan wiskunde in de basisschool, wordt de OVSGvisie op wiskunde - de basis voor dit leerplan - uiteengezet. Er wordt ingegaan op de evaluatieproblematiek en op het gebruik van het leerplan. Het tweede deel bevat de domeinoverschrijdende doelen en katernen. De doelen - de strategieën en probleemoplossende vaardigheden enerzijds en attitudes anderzijds - worden doorheen alle wiskundige activiteiten nagestreefd. Deze doelen zijn bovendien niet leeftijdsgebonden; bepaalde aspecten van deze doelen kunnen bij verschillende leeftijdsgroepen worden nagestreefd. Bij de katernen treffen we 'Werken met contexten' en 'Ontluikende gecijferdheid' aan. Het katern 'Werken met contexten' vormt de grondslag voor de vernieuwde aanpak van het wiskundeonderwijs. In het katern 'Ontluikende gecijferdheid' wordt dieper ingegaan op aspecten, die vooral in het kleuteronderwijs - doorheen de drie domeinen van wiskunde - aan bod komen. In het derde, vierde en vijfde deel worden de drie domeinen van wiskunde - getallen, meten en meetkunde - verder uitgewerkt. Deze indeling in drie domeinen werd gekozen omdat ze overeenkomt met de domeinen zoals ze in de eindtermen zijn vastgelegd. Elk van deze delen is onderverdeeld in twee hoofdstukken. Hoofdstuk I bestaat uit de leerlijnen of concrete doelen voor dit domein. Het tweede hoofdstuk bevat de didactische katernen bij het overeenkomstige domein. Deel zes tenslotte bestaat uit de verklarende woordenlijst, de materiaallijst en de bibliografie.

13 HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE 5 Hoofdstuk 1: VISIE VAN OVSG OP WISKUNDE In de eindtermen voor het basisonderwijs worden voor wiskunde de minimumdoelstellingen vermeld die op het einde van de basisschool door de meerderheid van de kinderen moeten worden bereikt. OVSG werkt een leerplan wiskunde uit dat aangeeft hoe de gestelde eindtermen gerealiseerd kunnen worden. Dat leerplan bevat een aantal leerlijnen waarin verschillende tussendoelen omschreven worden. De doelen voor de kleuters komen in die leerlijnen dus voor als tussendoel. Iedere reeks tussendoelen leidt uiteindelijk tot de verwezenlijking van een einddoel. Zo ontstaat een beeld van het leerproces voor wiskunde dat een kind doorloopt doorheen de basisschool. Dit beeld, gevormd door de leerlijnen, wordt gekleurd door de visie van de samenstellers die actief zijn op het leergebied in de basisschool. Die visie zal antwoord moeten geven op de vragen wat, hoe en wanneer. In dat visiestuk worden in een eerste paragraaf enkele inhoudelijke keuzes aangegeven: aan welke criteria moeten onderwijsdoelen binnen het leergebied van de wiskunde voldoen om in het leerplan van de basisschool opgenomen te worden? Ook de volgorde waarin de geselecteerde doelen aangeboden worden - op welke leeftijd verwachten we dat kinderen die doelen bereiken? - is zo'n inhoudelijke keuze. Die hangt ook samen met didactische overwegingen: hoe leren kinderen wiskunde en hoe kan je daar als leraar best bij aansluiten? Hierop wordt in een tweede paragraaf ingegaan. De basisschool is per definitie zeer heterogeen. Er is immers geen preselectie, alle leerlingen doorlopen de basisschool. Zowel inhoudelijk als didactisch zullen we hiermee rekening moeten houden door verschillende vormen van differentiatie in het leerplan in te bouwen. De bekommernis om de zorgbreedte binnen het wiskundeonderwijs zal doorheen de hele visietekst tot uiting komen. Uiteindelijk leiden al deze overwegingen tot enkele uitgangspunten voor het wiskundeonderwijs in de basisschool (paragraaf 3). 1 Doelen en inhouden Een groot deel van de inhoudelijke keuze werd reeds bepaald bij de formulering van de ontwikkelingsdoelen en eindtermen. Daarbij werden criteria gehanteerd van haalbaarheid en noodzaak. - Wat kunnen de meeste kinderen aan op wiskundig gebied op het einde van de kleuterschool of van de lagere school? - Wat is qua wiskunde voor henzelf en/of voor de maatschappij, waar de school hen op voorbereidt, vereist om te leren? Overwegingen van haalbaarheid zullen niet alleen de keuze van doelstellingen bepalen, maar ook de volgorde. We moeten echter niet te strikt afbakenen wat kinderen van een bepaalde leeftijd aankunnen. Dat is immers van zo veel factoren afhankelijk dat we daar moeilijk algemeen geldende (voor alle leerlingen, voor alle scholen) uitspraken kunnen over doen. Bij de meeste doelstellingen zullen we dan ook in een zekere leeftijdsspreiding voorzien. Een leerdoel hoeft dus niet per se in een welbepaald leerjaar bereikt te worden. Op grond van de haalbaarheid zal de school hier ook zelf beslissingen moeten nemen. Overigens kunnen we in het kader van een leerplan ook uitbreidingsdoelstellingen opnemen waarvan we overtuigd zijn dat niet

14 6 OVSG - LEERPLAN WISKUNDE RICHTSNOER de

15 HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE 7 meerderheid doch zelfs slechts een kleine minderheid van de leerlingen ze kan halen. Welke doelstellingen daarvan in de klas(sen) nagestreefd zullen worden, en met welke leerlingen, wordt dan ook weer een keuze van de leraren op schoolniveau. Bij de keuze van wiskundige ontwikkelingsdoelen en eindtermen werd de noodzaak dat het leerdoel moet bijdragen tot het maatschappelijk functioneren, als norm genomen. Daarnaast zullen we ook nog doelstellingen opnemen die om een andere reden voor de leerling interessant of de moeite waard zijn, ook al zijn ze niet strikt noodzakelijk. Of deze doeleinden door de meerderheid van de leerlingen moeten gehaald worden (basisdoel) of niet (uitbreidingsdoel) zal dan afhangen van twee criteria: - Is het doel haalbaar? - Is het inhoudelijk interessant en/of nuttig voor alle leerlingen? Om tot haalbare en interessante doelen te komen, zal men rekening moeten houden met: - de leerlingen uit de basisschool, hun mogelijkheden, hun ontwikkeling en de noden die daarbij aansluiten; - de wereld waarin zij leven, in de eerste plaats 'hier en nu', maar ook elke voorstelbare wereld 'daar en dan'. De school bereidt ook voor op een toekomstige maatschappij; - de wiskunde als 'vak' of discipline (theoretisch) en haar toepassingsgebieden (praktisch). Elk van deze drie punten werken we even uit, om de consequenties voor het leerplan te kunnen aangeven. 1.1 Mogelijkheden en noden van de kinderen van de basisschool Bij elke wiskundige activiteit op school zullen we rekening moeten houden met de beginsituatie van de leerlingen. Daarbij houden we ook voor ogen dat die beginsituatie binnen de groep kinderen met wie we werken, sterk verschillend kan zijn. Ze kan niet zonder meer afgeleid worden uit de wiskundige activiteiten die voordien met de leerlingen gebeurd zijn (volgens het leerplan, het schoolwerkplan of het handboek). Niet alle leerlingen zullen immers die voorafgaande activiteiten op dezelfde manier verwerkt hebben. Bovendien zijn we er ons sterk van bewust dat ook heel wat wiskunde geleerd wordt buiten de wiskundeactiviteiten of lessen. Vooreerst wordt er veel intuïtieve of ervaringskennis opgedaan buiten de school en in het thuismilieu. Het is belangrijk voor de school om op die spontaan verworven kennis voort te bouwen, ze niet te negeren. Hetzelfde geldt voor leraren lager onderwijs t.a.v. de kleuterschool. De basis van het wiskundig denken wordt (thuis en op school) op kleuterleeftijd gelegd. Denken we maar aan het getalbegrip, het tellen, de ruimtelijke oriëntatie,.... Continuïteit in het leren van kinderen zal dan berusten op een weloverwogen volgorde in de doelen die binnen een leerlijn van het leerplan voorgesteld worden, maar ook op een voortdurende bijsturing t.a.v. de beginsituatie van de leerlingen waarmee je als leraar werkt. Wiskunde is een leergebied dat we bij uitstek als cognitief kunnen omschrijven. Cognitie verwijst in de eerste plaats naar denkprocessen en de resultaten daarvan. We zijn er ons wel van bewust dat we dat denken onmogelijk kunnen stimuleren door (zeer resultaatgericht) kinderen een reeks voor hen zeer ondoorzichtige procedures aan te leren. Wiskunde mag niet gereduceerd worden tot kennis van de passende trucjes om tot een gewenste uitkomst te komen. Daarom stellen we als basisprincipe voorop in dit leerplan enkel doelen op te nemen die vallen binnen

16 8 OVSG - LEERPLAN WISKUNDE RICHTSNOER de cognitieve mogelijkheden van een basisschoolkind. Iedereen zal om die reden beseffen dat bv. het formeel uitvoeren van algebraïsche bewerkingen met negatieve getallen ('min maal min is plus') buiten de basisschool gehouden wordt. Voor allerlei andere begrippen en procedures is dat minder evident, omdat ze in vele gangbare leerplannen en wiskundemethodes wel opgenomen waren. Als we, vanuit het principe dat we enkel opnemen wat voor kinderen begrijpelijk is, beslissen om een aantal zaken niet als basisdoel op te nemen, gaan we daarmee zeer bewust in tegen een zekere traditie binnen het wiskundeonderwijs. We denken hier bv. aan - het gros van de begrippen en bewerkingen uit de verzamelingen- en relatieleer ('moderne' wiskunde); - een aantal formules voor oppervlakte- en inhoudsberekening; - een aantal meetkundige constructies met de passer, e.d.. Deze beperking lijkt ons onvermijdelijk omdat we expliciet op elk moment rekening willen houden met de cognitieve mogelijkheden van de meerderheid van de leerlingen. Datzelfde principe geldt niet alleen bij de selectie van leerdoelen, maar ook bij het vaststellen van de volgorde ervan binnen een leerlijn. Wanneer zijn bv. kinderen cognitief voldoende ver gevorderd om de procedure te begrijpen van de negenproef, die we wel als basisdoel behouden? Selectie en volgordebepaling van leerdoelen, aansluitend bij de mogelijkheden van leerlingen, gebeurt in een leerplan in een abstracte vorm, voor de niet bestaande gemiddelde school en leerling. Dit betekent dat je het moet aanpassen aan de concrete situatie van jouw school en leerlingengroep. Ook t.a.v. de keuze van uitbreidingsdoelen verwachten we dat je als leraar slechts aan die uitbreidingsdoelen werkt, die minstens bevattelijk zijn voor dat deel van je groep aan wie je ze aanbiedt. Hoewel wiskunde dus in de eerste plaats een cognitief leergebied is, zou het toch een veronachtzaming zijn van de noden van de kinderen als enkel doelstellingen van cognitieve aard worden geformuleerd. Die kinderen zitten immers met hun totale persoonlijkheid en niet enkel met hun hoofd in onze klas. Heel wat wiskundeactiviteiten bevatten trouwens ook affectieve, sociale, muzische en fysisch-motorische aspecten. Sommige daarvan zullen in andere leergebieden als expliciete doelstelling worden geformuleerd. Waar mogelijk zullen we naar deze vakoverschrijdende doelen verwijzen. Andere nemen we toch expliciet op als doel binnen het wiskundeonderwijs, al is de beslissing hierover wel wat arbitrair te noemen. In het leerplan van OVSG wordt ook aandacht besteed aan de ontwikkeling van zelfvertrouwen en een positieve houding t.a.v. wiskunde. Zelfs het plezier vinden in wiskundeactiviteiten wordt beschouwd als een belangrijk affectief doel. Leren samenwerken, overleggen en argumenteren over wiskundeproblemen beantwoordt niet alleen aan een nood van de kinderen maar ook aan een maatschappelijke behoefte. Bij het muzische denken we niet alleen aan bv. het herkennen of realiseren van wiskundige patronen in plastische en muzikale werken, maar evengoed aan het speels-creatieve oplossen van wiskundeproblemen ('puzzels'), spel met wiskundige inslag (strategiespelen, zoals bv. dammen en schaken), of het maken van schetsen en tekeningen binnen bv. het meetkundedomein. Bij dit laatste voorbeeld stellen we ook de motorische vaardigheid om instrumenten als een passer of een tekendriehoek te hanteren, als een wiskundig doel voorop.

17 HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE 9 Evenmin beperken we ons bij de formulering van wiskundedoelen tot kennis, inzichten en vaardigheden die sterk inhoudelijk of leerstofgebonden zijn. Zo behoren eveneens tot het doel van het wiskundeonderwijs: - de ontwikkeling van breder toepasbare vaardigheden zoals bv. een heuristiek t.a.v. probleemoplossing in het algemeen en wiskundeproblemen in het bijzonder; - de uitbouw van bepaalde attitudes, zoals zin voor systematiek, nauwkeurigheid, planmatigheid, reflectie, controle, e.d.. Dit was trouwens ook binnen de ontwikkelingsdoelen en eindtermen reeds aangegeven. 1.2 Wiskundige wereldoriëntatie De wereld waarin we leven komt op ons af als een globale realiteit. Om daarin goed te kunnen functioneren is het van belang die realiteit te begrijpen, o.m. door te analyseren. Dit kan slechts door op het moment van reflectie - afstand te nemen van de globaliteit; - abstractie te maken van heel wat deelaspecten van de werkelijkheid; - te proberen één deelaspect, bv. het wiskundige, wat dieper te doorgronden. Binnen de wiskunde kan je ook nog zeer ver opsplitsen, maar dat lijkt ons voor het wiskundeonderwijs niet opportuun. Het onderlinge verband tussen de deelaspecten en de band met de realiteit waaruit ze gekomen zijn, dreigt daarbij verloren te gaan. Daarom houden we ons in dit leerplan aan de drie grote domeinen die ook bij de eindtermen onderscheiden werden: getallen, meten en meetkunde. Het onderlinge verband is ook belangrijk: bv. bij oppervlakteberekening (een meting) worden bewerkingen op getallen uitgevoerd in functie van de vorm van een meetkundige figuur. In de leerlijnen die we weergeven in het leerplan zijn we vaak enkel met de wiskundige objecten uit de drie domeinen bezig. Maar het blijft de primaire bedoeling van deze uitwerking dat het bereiken van wiskundige doelen de kinderen helpt om de wiskundige aspecten van de hen omringende wereld te begrijpen en er zo vat op te krijgen. Naar analogie met geletterdheid als doel van taalonderwijs, zouden we dat gecijferdheid kunnen noemen. Dat is een bekwaamheid die maatschappelijk functioneel is. Leerlingen moeten eerst de wiskundige aspecten uit hun eigen leefwereld leren beheersen. We dienen ze echter ook voor te bereiden op de maatschappelijke context waarin ze als volwassenen moeten functioneren. Ook wiskundige aspecten uit de wereld van de volwassenen (voor zover ze voor de basisschoolkinderen te begrijpen zijn) komen dus in het leerplan voor. Vandaar bv. de leerlijn i.v.m. de zakrekenmachine. We kunnen slechts van gecijferdheid spreken als wat wiskundig uitgewerkt is ook kan toegepast worden in reële situaties. Het heeft bv. geen enkele zin kinderen procedures te leren om snel en correct bewerkingen met getallen uit te voeren, als ze in een reële situatie niet weten welke bewerking op welke getallen past. Het kunnen 'verwiskundigen' van realiteiten, inzicht verwerven in de wiskundige aspecten van een context of situatie, is dus een algemeen doel van het wiskundeonderwijs dat we ten zeerste op de voorgrond willen plaatsen. Toch zit er in dit leerplan geen onderdeel 'vraagstukken'. Het is immers niet de bedoeling situaties te selecteren waarbinnen de wiskundige inzichten, vaardigheden en attitudes afzonderlijk moeten functioneren. We stellen dus niet dat leerlingen op een bepaalde leeftijd problemen moeten kunnen oplossen van een bepaald type (bv. inkoop-verkoop-winst-verlies of bruto-tarra-netto e.d.). Wel eisen we dat al de opgebouwde wiskundige kennis, die in het leerplan opgenomen werd, kan toegepast worden in realistische contexten.

18 10 OVSG - LEERPLAN WISKUNDE RICHTSNOER Het criterium voor deze contexten is dat ze relevant zijn voor de leerlingen, nu (eigen leefwereld) of in de toekomst (maatschappelijk relevante contexten). Het woord realistisch moet daarbij niet te strikt begrepen worden. Een fictieve wereld van bv. heksen en kabouters kan in de leefwereld van basisschoolleerlingen even relevant zijn. 1.3 Oriëntatie in de wiskunde In de vorige delen gaven we aan op grond van welke criteria we de wiskundedoelen in het leerplan willen beperken: - ze moeten binnen de mogelijkheden van de leerlingen vallen; - die doelen moeten voor hen of voor de maatschappij relevant zijn; - ze dienen een band te vertonen met de werkelijkheid. Binnen deze beperking is het aannemelijk dat we naast de eindtermen en ontwikkelingsdoelen weinig basisdoelstellingen toevoegen aan het leerplan. Wel zullen we via de leerlijnen basisdoelen aangeven die de weg naar de eindtermen (gespreid over negen jaar basisonderwijs) kunnen verduidelijken. Maar we willen het leerplan geenszins overladen. Vandaar dat we ook niet in de eerste plaats ons leerplan afgestemd hebben op wat nu in het secundair onderwijs gangbaar is als vertrekpunt voor de wiskundeleergangen. Toch zal het duidelijk zijn dat leerlingen, die de basisdoelen uit dit leerplan bereiken, alle kansen hebben om in om het even welke richting van het secundair onderwijs hun schoolloopbaan met succes voort te zetten. De continuïteit is hier trouwens ook mede de verantwoordelijkheid van het vervolgonderwijs. De logica van het wiskundig systeem heeft ook haar rechten bij leerplanontwikkeling, maar de andere criteria geven daarvan de grenzen aan. Vanuit een puur wiskundig standpunt is het zeer aannemelijk om te vertrekken vanuit de abstracte wiskundige structuur (bv. de verzameling) en alle wiskundige kennis op te bouwen door ze in die verzamelingentheorie in te passen, ze er logisch deductief uit af te leiden. Het sombegrip bv. wordt dan gedefinieerd als het kardinaalgetal van de vereniging van twee gescheiden verzamelingen. Deze wiskundige lijn strikt volgen is in het verleden niet haalbaar gebleken voor basisschoolleerlingen, wat aanleiding gaf tot allerlei compromissen waarbij van de wiskundige structuur wel nog allerlei begrippen aan bod kwamen, maar de logische samenhang verdween. Verzamelingen- en relatieleer werden zo een apart vakonderdeel met te verregaande abstracties, hoewel men het in zijn schematische vorm (bv. venndiagram) wel kan hanteren als een handig ordeningsmiddel, bv. in de vormleer. Aangezien kinderen in hun cognitieve ontwikkeling eerder inductief en (zeker beneden de 12 jaar) niet logisch-deductief kennis opbouwen, kunnen we dat laatste toch niet als enige basis voor de aanmaak van leerlijnen blijven hanteren. De leerlijnen zullen wel moeten aansluiten bij de wijze waarop kinderen wiskunde leren. 2 Wiskunde leren In deze paragraaf zullen we ons algemeen uitgangspunt toelichten, nl. dat kennisverwerving en vaardigheidsontwikkeling - ook op het wiskundig terrein - maar plaatsvinden wanneer het actief in de geest van de lerende opgebouwd wordt. Deze idee van constructief leren zal in de klas moeten ondersteund worden door de leerlingen te confronteren met reële problemen, die ze oplossen alleen of in groep, waarbij die oplossingen overdacht en besproken worden met leraar en medeleerlingen. In het oplossen van wiskundige problemen zit er een evolutie van concreet handelen naar abstract

19 HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE 11 denken, waarbij we kinderen bij die ontwikkeling kunnen helpen. Die hulp brengt ons bij de rol van de leraar als begeleider van deze wiskundeactiviteiten. 2.1 Leren als constructief proces Het meest gehanteerde onderwijsmodel op school is dat van de kennisoverdracht. De leraar geeft informatie aan de leerlingen, toont de stappen van een procedure, verklaart en legt uit. Dat deze overdracht van kennis niet altijd tot het gewenste resultaat leidt, weet elke leraar: er zal altijd een verschil zijn tussen de leerstof die de leraar in de klas 'gezien' heeft en wat de leerlingen er nadien nog van weten of kunnen. Leerlingen zijn geen lege vaten die je kan volgieten met leerstof. Als er in hun hoofd niets gebeurt, geen mentale verwerking is van wat de leraar overdraagt, blijven de vaten leeg. Het leren van nieuwe kennis en vaardigheden is dus een actief proces, dat mentale inspanning en concentratie vergt. De leerlingen moeten daartoe gemotiveerd zijn. Dit leerproces is ook cumulatief; de mentale verwerking van nieuwe informatie gebeurt juist door het inpassen ervan in hetgeen de leerling vooraf reeds weet en kan. Goed wiskundeonderwijs zal er dus moeten voor zorgen dat leerlingen meer doen dan kijken en luisteren. Hun voorkennis zal eerst moeten geactiveerd worden - niet alleen de schoolse voorkennis, maar ook hun zogenaamd 'gezond verstand'. Als ze daarmee gewapend zijn, kunnen ze iets nieuws verwerken en die nieuwe kennis tot hun persoonlijke eigendom maken. Het klassieke model van de kennisoverdracht biedt weinig garantie voor die mentale activiteit van de leerlingen. Die activiteit is er wel wanneer leerlingen zelf oplossingen zoeken voor wiskundige problemen, oplossingen die niet voorgekauwd werden maar die ze zelf moeten construeren en uitproberen. Constructief leren vergt dus probleemgericht onderwijs. 2.2 Wiskunde leren vertrekt vanuit reële problemen Een probleem ontstaat in een situatie waarin iemand iets wil bereiken en niet onmiddellijk weet wat hij moet doen om dat te verkrijgen. Niet elk probleem dat in wiskundelessen aan bod komt, is in die zin een echt probleem voor de leerlingen. Vaak worden die problemen opgelost omdat de leraar dat wil of omdat ze 'toevallig' als opdracht in het handboek staan. In dat geval zijn de wiskundeproblemen geen probleem voor de leerling, het zijn de problemen van iemand anders. Dan hebben we net als in kennisoverdrachtsituaties geen enkele garantie dat leerlingen gemotiveerd en actief aan de oplossing van dat probleem zullen werken, geen garantie op leren dus. Daarom zouden de problemen waarmee we leerlingen in de wiskundelessen confronteren, door henzelf als een probleem moeten ervaren worden, d.w.z. aan minstens enkele (en liefst zo veel mogelijk) van de onderstaande criteria beantwoorden: - het probleem wordt door leerlingen zelf gesteld; - leerlingen willen het probleem oplossen omwille van de intrinsieke waarde ervan. Ze ervaren het als de moeite waard, doen het niet alleen voor de 'schone ogen' van de leraar; - het probleem is betekenisvol en begrijpelijk voor de leerlingen, niet alleen voor de leraar; - het probleem heeft relevantie voor het dagelijks leven van de leerlingen binnen of buiten de school. In dit verband spreken we van 'realistische' problemen, die met de wereld buiten de wiskunde te maken hebben;

20 12 OVSG - LEERPLAN WISKUNDE RICHTSNOER - de oplossingen en oplossingsmethoden zijn niet voor de hand liggend en er zijn er zelfs verschillende mogelijk. Aan het eerste criterium kan uiteraard slechts occasioneel tegemoetgekomen worden. Problemen die door de leerlingen aangedragen worden, zullen niet beantwoorden aan de systematisch geplande volgorde waarin we wiskundeleerlijnen willen laten verwerken. Anderzijds zou het zeer jammer zijn dergelijke kansen op actief en betrokken leren te laten liggen, door de leerlingproblemen af te doen als tijdverlies of als niet haalbaar omdat niet alle kinderen het gestelde probleem al zouden aankunnen ( Ze kunnen dat niet, want we hebben dat nog niet gezien. ). Het is juist bij de zelfaangebrachte problemen dat de kinderen actief hun voorkennis - ook de informele, buitenschoolse - zullen inzetten om oplossingen te bedenken. Het werken rond reële problemen is in deze visie zeker niet beperkt tot toepassen van wat voordien in de lessen aan bod is gekomen. Het zelf oplossen van problemen leidt de kinderen juist tot nieuwe kennis en inzichten die nadien in verdere wiskundige activiteiten kunnen uitgediept en ingeoefend worden. Misschien lijkt het wel alsof we er voorstander van zijn dat elk kind voor zichzelf de wiskunde opnieuw uitvindt. Dit is slechts ten dele waar, omdat we het leren binnen een probleemgerichte onderwijscontext niet als een individueel proces, maar ook als een sociaal proces zien. Het is niet omdat elke leerling zijn eigen kennis construeert dat hij niet kan leren van anderen. 2.3 Wiskundeonderwijs is interactief Het is duidelijk dat wiskunde maar kan geleerd worden in interactie met anderen die meer bekwaam zijn op dat vlak dan de lerende zelf. Anders kan je op de beperkte schooltijd onmogelijk komen tot een geheel aan kennis en vaardigheden die de mensheid vele eeuwen gevergd heeft. Het zal in de eerste plaats de taak van de leraar zijn om op het gepaste moment de leerlingen wiskundige begrippen, symbolen en procedures aan te reiken, die hen van nut kunnen zijn bij de oplossing van problemen. In dit kader kan er geen sprake zijn van eenrichtingsverkeer van de leraar naar de leerling. De leerlingen geven zelf hun oplossingswijzen, moeten hun denkprocessen verwoorden om de leraar de kans te geven daarop in te spelen. Het kan ook de start zijn van een groepsdiscussie waarbij leerlingen elkaars pogingen tot probleemoplossing vergelijken, over de verschillende oplossingswijzen reflecteren en daaruit conclusies trekken. Zo leren ze ook in kleine groepjes of in een klassengesprek van elkaar. In een dergelijk interactief wiskundeonderwijs is er ook nog wel plaats voor individueel schriftelijk werk, vooral in een inoefenfase waarbij bepaalde procedures die reeds verworven zijn, naar een automatisme kunnen groeien of in een toetssituatie, waarin de leraar wil nagaan hoe ver elke leerling gevorderd is in de verwerking van de wiskundeleerstof. Een te grote nadruk op dit individueel schriftelijk werk, dat toch doorgaans veel tijd van de wiskundelessen inneemt, houdt echter een aantal gevaren in, die slechts in interactie met leraar en medeleerlingen kunnen vermeden worden. De kans is immers reëel dat bij een te lang individueel werken onhandige of zelfs foute rekenprocedures ingeslepen worden. Bovendien krijgt de leraar bij het nakijken van schriftelijk werk van de leerlingen enkel zicht op de resultaten (product van het denken), maar niet op de wijze waarop die resultaten ontstaan zijn (het denkproces zelf). Zijn eventuele hulp aan leerlingen die fouten maken moet nochtans op het proces gericht zijn.

21 HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE Didactische hulpmiddelen Het wiskundig denken stoelt op concrete handelingen in de realiteit. Kinderen zullen geen sommen kunnen maken als ze niet eerst dingen geteld en bij elkaar gevoegd hebben. Ze zullen niet kunnen werken met breuken en verhoudingen als ze niet eerst concrete verdeelsituaties hebben meegemaakt. Ze zullen eerst figuren bekeken, gevouwen, geknipt en getekend hebben voor ze deze kunnen beschrijven en klasseren op grond van meetkundige eigenschappen, enzovoort. Hoewel al deze concrete handelingen ook buiten de klas voorkomen, zullen we die in het wiskundeonderwijs zelf moeten voorzien, om zeker te zijn dat we er voor alle leerlingen kunnen op voortbouwen. Het is pas als deze ervaringskennis in voldoende mate aanwezig is, dat de stap naar de mentale voorstelling en het zgn. 'verinnerlijkt' handelen met die mentale voorstellingen of met de wiskundige symbolen die daarvoor staan, kan gezet worden. Voor veel leerlingen is die stap niet gemakkelijk. Goed wiskundeonderwijs zal hen daarbij helpen door tussen het concrete (de realiteit) en het abstracte (de wiskunde) een brug te slaan aan de hand van schema's, voorgestructureerd didactisch materiaal en modellen. Voorbeelden van dergelijke tussenstappen op weg naar de uitvoering van wiskundige operaties of denkprocessen zijn o.m. het busmodel, getalbeelden, het honderdveld, de abacus, de verhoudingstabel, stroken en roosters... Bij het aanbieden van deze schema's, modellen en materialen staat de leraar voor didactische keuzes: welk materiaal zal hij aanbieden, aan wie, wanneer, enz. In het kader van dit leerplan zullen we daar vooral op ingaan in de katernen met didactische suggesties. 2.5 De rol van de leraar Ook in een vernieuwd wiskundeonderwijs waar de activiteit en de eigen productie van de kinderen aan belang winnen, blijft de leraar de spilfiguur, die de verantwoordelijkheid draagt voor de wiskundige vorming van de kinderen. Hoewel hij niet meer in de eerste plaats zijn eigen wiskundige kennis overdraagt aan de kinderen door uit te leggen en te demonstreren, is die kennis wel een eerste vereiste. De leraar moet de verbanden zien binnen de wiskunde, hij stelt vragen die vanuit de realiteit de wiskundige problemen oproepen,.... Het is uiteraard ook de leraar die, geholpen door een leerplan en eventuele handboeken, de systematiek en de volgorde van de wiskundeactiviteiten in de klas zal bepalen. Op de didactische rol van de leraar zijn we in de vorige paragraaf al even ingegaan in verband met de keuze van didactische hulpmiddelen. Hoewel we er geen voorstanders van zijn om snel formele regels en vaste procedures aan alle kinderen aan te leren, blijft het de beslissing van de leraar welke kinderen hij welke hulp zal bieden bij het oplossen van wiskundige problemen. De tussenstappen en procedures die daarbij aangereikt worden, mogen uiteraard de algemene doelstelling van het wiskundeonderwijs (kinderen kunnen zelfstandig wiskundeproblemen oplossen die zich in de werkelijkheid voordoen) niet tegengaan. Dat wil zeggen dat de hulp van de leraar erop moet gericht zijn dat de kinderen met die hulp verder actief kunnen zoeken, niet dat het denken in hun plaats gebeurt.leerlingen met rekenmoeilijkheden zullen vaak terugvallen op een veilige strategie: ze werd hen door de leraar aangereikt, is vaak minder flexibel maar geeft hun toch de zekerheid om ook tot een oplossing van het probleem te komen. Centraal bij deze benadering die erop gericht is rekenproblemen te voorkomen, blijft dat ook zwakkere rekenaars recht hebben op (in)zicht op wat ze aan het doen zijn. We mogen ons bij deze kinderen niet beperken tot inslijpen van algoritmes en trucs die dan blind worden toegepast. Ze moeten zich bij de oefeningen die ze maken altijd iets kunnen voorstellen. Wiskundeonderwijs is, zoals reeds duidelijk werd gesteld, in sterke mate interactief. Dat betekent dus