Combinatoriek. B. J. Geels. november 2017
|
|
- Johan Adam
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Combinatoriek B. J. Geels november 2017
2 Inhoudsopgave 1 Volgorden Een paar opgaven De klasseplattegrond 2 2 Grote getallen Het uitspreken van grote getallen Naamgeving van grote getallen Permutaties met herhaling Doen en denken 5 3 De driehoek van Pascal 5 4 Combinaties Routes in een rooster Onvolledige permutatie 12 5 De en -regel en de of -regel 14 6 Combinatoriek toegepast Een lampjesketting Binaire getallen Binair tellen Omzetten van binair naar decimaal Omzetten van decimaal naar binair Rekenen met binaire getallen Optellen Vermenigvuldigen 19 7 Booleaanse algebra en of niet exof 20 8 Elektrische schakelingen De serieschakeling De parallelschakeling De hotelschakeling 23 9 Automatisch rekenen De halve opteller (Half Adder) Werkbladen Uitwerkingen Antwoorden 32
3 1 Volgorden In een vensterbank staan drie cactussen op een rij. Ze zijn niet hetzelfde. Als je ze in een andere volgorde wilt zetten, op hoeveel manieren kan dat dan? En hoe bereken je dat aantal? Eerste redenering: Als je plant A op de eerste plek zet, dan zijn er twee volgorden voor B en voor C (ABC en ACB). Dat heb je voor alledrie de planten. dus: 3 2 = 6 mogelijkheden Tweede redenering: Je begint met drie lege plaatsen. Dan kan je de eerste plant (maakt niet welke) op 3 manieren plaatsen. Bij elke van deze drie mogelijkheden zijn er voor de volgende plant nog twee mogelijkheden. De derde plant kan alleen maar op de overgebeleven plaats staan. Dus: = 6 Een gezin met vader, moeder, zoon en dochter eten elke dag van een vierkante tafel. Op een goede dag stellen ze voor om van de vaste plaatsen af te wijken en eens te kijken hoe het bevalt om op andere plaatsen te zitten. Opdracht: Maak op klad de tekening af met steeds een andere tafelschikking. Zorg ervoor dat vader en moeder steeds zo lang mogelijk op dezelfde plaats blijven zitten. Als je uitgezocht hebt hoeveel mogelijkheden er zijn, dan zorg je dat al die mogelijkheden netjes in je periodeschrift komen te staan. Kies een goede grootte van het vierkant dat de tafel voorstelt en bereken dan afstanden tussen die vierkant zo, dat een regelmatig patroon ontstaat. Opdracht; Plaats de letters A, B, C en D in alle mogelijke volgorden. Schrijf niet zomaar allemaal volgorden op, maar zorg voor een goed en overzichtelijk systeem van verwisselingen: A B C D B A C D C A B D D A B C A B D C B A D C C A D B D A C B A C B D B C A D C B A D D B A C A C D B B C D A C B D A D B C A A D B C B D A C C D A B D C A B A D C B B D C A C D B A D C B A Als het goed is heb je gevonden dat er 24 mogelijkheden zijn. Dat kan je berekenen met = 24. Een verwisseling van volgorden van een aantal elementen noemen we een permutatie. Het aantal permutaties van 6 elementen kan je berekenen met , dat wordt afgekort met 6! spreek uit 6 faculteit. Dus 6! = 720 Vaak nemen we de letter n als het aantal elementen. En met P n duiden we dan het aantal permutaties van n elementen aan en zo hebben we de eerste formule van deze periode: P n = n! (1) 1
4 1.1 Een paar opgaven 10! 1 a. 8! = d. = 8! b. 3! 3! = e. 2! + 3! = c. 5! f. Je ziet aan de opgaven de volgende dingen: ˆ De faculteiten zijn al heel gauw heel groot 8! = ˆ Je kunt bij breuken heel handig wegdelen ˆ Het is zeker niet zo dat: a! + b! = (a + b)! ˆ Maar ook niet: a! b! = (a b)! 2015! 2014! 2 Huiswerkopdracht: Maak een tabel met alle waarden van n! van 1! tot en met 13!, zonder gebruik te maken van een rekenmachine. 3 Permuteer de letters van het woord EOPS systematisch, onderstreep de bestaande nederlandse woorden. 1.2 De klasseplattegrond Een negende klas van 25 leerlingen gaat van plaats verwisselen. Ze willen alle mogelijke plattegronden uitproberen. Hoe lang duurt dat, als elke verwisseling bijvoorbeeld 5 seconden duurt? Maak eerst een schatting van de tijdsduur, gewoon op je gevoel, je intuïtie! Een berekende schatting is bijvoorbeeld: Er zijn 25! klasseplattegronden, 25! = Dat getal, met al die cijfers kan je met een gewone rekenmachine niet berekenen. Het lukt wel met de rekenmachine van Windows of met = seconden = uur In een jaar zitten 365 dagen van 24 uur dat zijn 8760 werkuren = jaar Dat is best lang... volgens wikipedia: Leeftijd aarde = 4,6 miljard jaar = jaar Levensduur heelal = 13,8 miljard jaar = jaar Dus het hele verwisselen duurt = Dat is meer dan 178 miljoen keer de leeftijd van het heelal! Laten we het maar niet proberen... 2
5 2 Grote getallen 2.1 Het uitspreken van grote getallen Met de permutaties komen we grote en zeer grote getallen tegen. Daar willen we handig mee om kunnen gaan en we willen ze kunnen uitspreken. Grote getallen worden doorgaans gebruikt in bepaalde wetenschappen. Specifiek voor dit doel is de wetenschappelijke notatie bedacht. Hierin worden getallen uitgedrukt als het product van een relatief klein getal, meestal tussen 1 en 10, en een macht van 10. Bijvoorbeeld 3, Dit is 3, = in woorden: drie-en-een-kwart miljard. Deze wetenschappelijke notatie is veel korter dan de notatie waarbij je al die nullen op moet schrijven. Bovendien om zo n getal met nullen op te schrijven ga je toch die nullen juist tellen, anders is vergissen bijna niet uit te sluiten. Een bijkomend voordeel van de wetenschappelijke notatie is dat bij een vergelijking van twee grote getallen veel eenvoudiger te zien is welke van de twee de grootste is. Indien men bijvoorbeeld de getallen en volledig uitschrijft, is het niet onmiddellijk duidelijk welk getal groter is. Als deze getallen waren genoteerd als 2, en 8, was dat in één oogopslag duidelijk geweest door alleen maar te kijken naar de exponent van het getal 10. Het schrijven van machten van tien is wel eens lastig, vooral op een schrijfmachine of computer. In programmeertalen en rekenmachines gebruikt men daarom de letter E (de exponent die boven het getal 10 gedacht moet worden). In plaats van 2, schrijft men dan 2.15e Naamgeving van grote getallen De naamgeving van grote getallen is direct gerelateerd aan hun orde van grootte. Per factor duizend wordt een andere naam gebruikt. Iedereen kent het woord miljoen (duizend maal duizend). Duizend miljoen is een miljard. Duizend miljard is een biljoen. Duizend biljoen is een biljard. Sommige mensen weten dat daarna een triljoen en een triljard komen, maar dan? Hieronder volgt een lijstje: duizend 1000 sextiljoen miljoen sextiljard miljard = 10 9 septiljoen biljoen septiljard biljard octiljoen triljoen octiljard triljard noniljoen quadriljoen noniljard quadriljard deciljoen quintiljoen deciljard quintiljard enz Een probleem bij het bovenstaande is dat dit de Europese benaming is. In de Verenigde Staten slaat men de -ard uitgangen over, dus daar telt men per factor duizend: million, billion, trillion, 3
6 quadrillion,.... Ofwel: Wat voor ons een miljard is, is voor een Amerikaan een billion, en ons biljoen noemt hij een trillion. Dit zorgt wel eens voor verwarring. Nog even een paar grote getallen: 10 4 : een myriade ( ontelbaar groot voor de Oude Grieken) 9, : ongeveer het aantal meter in een lichtjaar : ongeveer het aantal zandkorrels op onze planeet (drie triljard dus) : ongeveer het aantal sterren in het (observeerbare) heelal (het getal van Sagan) 6, : de Constante van Avogadro : ongeveer het aantal mogelijkheden om een spel van 52 speelkaarten te schudden : ongeveer het aantal atomen in het (observeerbare) heelal : een googol 10 googol = : een googolplex, een 1 met googol nullen Het letterlijk uitschrijven van grote getallen: Gebruik een spatie na het woord duizend: = vierhonderdvijftienduizend zeshonderdachttien Schrijf de woorden miljoen, miljard, enz. los: = zestien miljoen vierhonderdvijftienduizend zeshonderdachttien Gebruik een trema waar dat nodig is om na twee of drie een e als aparte klank te markeren: 322 = driehonderdtweeëntwintig en dan nog 13! = zes miljard tweehonderdzevenentwintig miljoen twintigduizend achthonderd 2.3 Permutaties met herhaling Als je bijvoorbeeld de letters van het woord ZEEEEND in alle volgorden wilt zetten dan krijg je dubbele reeksen omdat de E-en niet te onderscheiden zijn. Je hebt precies evenveel dubbele rijtjes als er mogelijke volgorden van de vier E-en zijn, dus 4!. Dus van alle 7! = 5040 volgorden van de zeven letters zijn er steeds 24 hetzelfde. Dus het echte aantal mogelijkheden is 5040 = 210. Deze berekening is gemakkelijker met uitschrijven en wegdelen: 24 7! 4! = = Bij het vinden van het aantal woorden die je kan maken met de letters van het woord ZEEEEND, spreken we van een permutatie met herhaling. Je moet dan delen door het aantal permutaties van de dubbelen. In het voorbeeld van ZEEEEND spreken we van P 7,4 Nog een voorbeeld: Bereken het aantal woorden dat je kan maken met de letters van het woord LEPEL. Er zijn twee keer twee letters dubbel, dus P 5,2,2 = 5! 2! 2! = = = 30 4
7 4 Bereken hoeveel woorden je kunt maken met de letters van het woord PROGRAMMA 2.4 Doen en denken Als je een wiskundige vergelijking als 2x + 6 = 16 moet oplossen, dan kan je dat bij voorbeeld doen met een balans. Je gebruikt twee onbekende voorwerpen, met gewicht x. Die plaats je op de linkerschaal tezamen met 6 bekende gewichtjes. Op de rechterschaal plaats je 16 van dezelfde bekende gewichtjes. Door links en rechts hetzelfde te doen met de voorwerpjes op de schalen zal je kunnen ontdekken dat een van die onbekende voorwerpen in evenwicht is met 6 bekende gewichtjes. De vergelijking is door het doen opgelost. We hebben in de wiskundelessen geleerd zo n vergelijking ook door denken op te lossen. Soms lukt het om problemen op te lossen door ofwel te handelen ofwel door te denken. Bij de problemen zoals de klasseplattegrond is het uitvoeren, het doen niet meer mogelijk en moeten we op ons denken vertrouwen. In deze periode in klas negen proberen we aan dat vertrouwen te werken. 3 De driehoek van Pascal Neem een ruitjespapier in landschapsformaat voor je. Begin met de volgende getallen in het midden bovenaan te zetten: Bijna alle leerlingen hebben geen enkele uitleg nodig om de driehoek voort te kunnen zetten. Huiswerk kan zijn om de driehoek tot onderaan het blad voort te zetten. Beetje klein schrijven... 5
8 (ref: triangle) Yang Hui s triangle, as depicted by the Chinese using rod numerals, appears in a mathematical work by Zhu Shijie, dated The title reads The Old Method Chart of the Seven Multiplying Squares 6
9 Huiswerkopdracht: Zoek de driehoek van Pascal op op het internet en zoek in de eigenschappen van die getallen-driehoek. Je moet morgen van minstens twee van die eigenschappen kunnen vertellen. 1. Als berekent 11 1, 11 2, 11 3 etc dan krijg je 11, 121 en 1331 enz. de opeenvolgende horizontale rijen. 2. Als je berekent: (a + b) 1 = 1a + 1b (a + b) 2 = 1a 2 + 2ab + 1b 2 (a + b) 3 = 1a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 1b 3. enz de getallen voor de letters (de coëfficiënten) staan in de opeenvolgende rijen. 3. Als je de getallen in een rij optelt dan krijg je een macht van 2: = 32 = Als je een rondje (een zeshoek) om een bepaald getal maakt, terwijl je de zijkant van de driehoek raakt en dan die getallen vermenigvuldigt, dan ontstaat steeds een macht van = 900 = Als het eerste getal na de 1 in een rij een priemgetal is, dan zijn alle getallen uit die rij (behalve de 1-en) deelbaar door dat priemgetal. vb de rij van 7: is een priemgetal en de getallen 21 en 35 zijn deelbaar door 7 6. Er is een hokeystick-patroon te ontdekken. Als je bij een 1 begint en dan een aantal getallen uit de diagonaal optelt, dan krijg je als antwoord het getal dat loodrecht op die diagonaal staat = De getallen van de derde diagonale rij zijn de driehoeksgetallen. 8. Als je twee opeenvolgende getallen van de derde diagonale rij optelt dan krijg je de rij 7
10 van de kwadraten. 4 Combinaties Opdracht: Teken 4 cirkels. Plaats op elk van die cirkels vijf punten regelmatig verdeeld. Mag op het oog. Teken in de eerste cirkel alle lijnstukken die telkens twee van de vijf punten op de cirkelrand verbinden. En tel ze. Teken in de tweede cirkel alle driehoeken die telkens drie van de vijf punten op de cirkelrand verbinden. En tel ze. Idem met vierhoeken Idem met vijfhoeken Er zijn 10 lijnstukken Er zijn 10 driehoeken mogelijk Er zijn 5 vierhoeken te tekenen 8
11 Er is maar één vijfhoek te tekenen Verder kan je naar de oorspronkelijke tekening kijken en zien dat één enkel punt op te vatten is als een één-hoek. Daar zijn er vijf van. Tenslotte kan je echt maar op één manier nul punten op de cirkelrand plaatsen. Het resultaat staat in de tabel: aantal verbonden punten: aantal manieren: Kijk nog eens naar die rij getallen: 1, 5, 10, 10, 5, 1 Het is precies de 5 e rij in de driehoek van Pascal. (bij nul beginnen te tellen.) We spreken bij dit probleem van combinaties. Het gaat om het aantal manieren waarop je uit een groep van vijf punten er (b.v.) drie uit kunt kiezen. Dat noteren we als ( ) 5 3 We weten uit de tekening van de opdracht hierboven dat dat op 10 manieren kan. De berekening daarvan gaat als volgt. Voor het eerste punt heb je vijf mogelijkheden, voor het tweede nog maar vier en voor het derde nog drie. Dat is al = 60 mogelijkheden. Maar voor een driehoek maakt het niet uit welk punt je het eerste gekozen had. we moeten dat aantal dus nog delen door alle mogelijke verwisselingen van drie elementen: 3! = 6 en dus het antwoord is: 60 = 10 driehoeken. 6 Je kunt die combinatie ook schrijven met de faculteit notatie: ( ) 5 3 = ! = ! 2 1 = 5! 3! 2! En algemeen: ( ) n = k n! k! (n k)! Kijk nog even naar de rij getallen: 1, 5, 10, 10, 5, 1 je ziet dat ze symmetrisch is. Dat is goed te begrijpen, want als je een driehoek op die vijf punten wilt tekenen, dan kies je actief drie punten, maar je zou ook twee punten kunnen kiezen en dan blijven er steeds (passief) drie punten over. Dus het aantal lijnstukken is gelijk aan het aantal driehoeken. Net zo is het aantal punten gelijk aan het aantal vierhoeken. De berekening zou er zo uitzien: ( ) 5 driehoeken: 3 En de uitkomsten zijn natuurlijk gelijk. = 5! 3! 2! ; lijnstukken: Een combinatie is dus een keuze waarbij de volgorde geen rol speelt. ( ) 5 = 5! 2 2! 3! 9
12 5 Van de letters van het woord PORTUGAL gaan we woorden (ook niet bestaande) van 4 letters maken. a. Op hoeveel manieren kan dit als je de letters maar één keer mag gebruiken? b. Als je elke letter meer dan één keer mag gebruiken? c. De eerste letter een P moet zijn en de laatste een L en je de letters maar één keer mag gebruiken? a.1680; b.4096; c Routes in een rooster De wegen in een stad met een rechthoekig stratenpatroon, zoals in het centrum van New York, kan je opvatten als een rechthoekig rooster. Je kunt je dan afvragen op hoeveel manieren je van het ene punt naar het andere kunt komen. Natuurlijk kijken we alleen naar de kortste routes, rondjes lopen kan je eindeloos. Als je naast de kaart een windroos denkt, zoals in de figuur hiernaast, dan kan je zien dat een route van A naar B altijd een aantal stappen naar het noorden en een aantal stappen naar het oosten is. De rode route kan je bijvoorbeeld weergeven als: NOONONOOO, de groene route is OOONOOONN. Een drietal dingen kan je direct uit de figuur inzien: Om van A naar B te komen: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ blijf je binnen de rechthoek met eindpunten A en B je moet steeds 3 stappen naar het noorden je moet steeds 6 stappen naar het oosten je moet in totaal 9 stappen doen alle routes met 3 N en 6 O zijn even lang, en allemaal kortste routes Om te berekenen hoeveel kortste routes er zijn hebben we twee manieren: eerste manier: elke route heeft een code zoals: NOONONOOO. Dat zijn negen letters waarvan er drie N zijn. (de rest zijn dan Os). Die drie N-en moeten we elk op één van de negen plaatsen zetten. Omdat we de N-en niet kunnen onderscheiden van elkaar, en de volgorde dus geen rol speelt, hebben we hier een combinatie. ( 9 3). Zoals bekend uit de vorige paragraaf berekenen we dit als volgt: 3 4 ( ) 9 = 9! 3 6! 3! = = = 84 Dat kan iets eenvoudiger. Je kunt bedenken dat je 9 mogelijkheden hebt voor de eerste N dan nog 8 voor de tweede en tenslotte nog 7 voor de derde N. Dan zijn er 3! verwisselingen van die N-en mogelijk. De rest zijn O-s. Dus ! = 84 10
13 Natuurlijk kan je ook het aantal mogelijkheden berekenen voor het plaatsen van de O-s, maar dat is vanzelfsprekend hetzelfde aantal. ( ) ( ) 9 9 = Hoeveel kortste routes zijn er van A, via B naar C? A B C tweede manier: Je kunt deze resultaten ook vinden door op te tellen zoals je dat al in de driehoek van Pascal gedaan hebt. Je krijgt bij hoekpunt C een 1 omdat je vanaf A maar op één kortste manier hebt om daar aan te komen. Namelijk vanaf A direct naar rechts. Als je eerst omhoog gaat en dan weer naar beneden zodat je via D naar C gaat, dan maak je een omweg. Die omwegen tellen we niet mee. Bij punt D moet een 2 staan omdat je op twee manieren daar kunt komen. Of je nu eerst omhoog gaat en dan naar rechts of dat je eerst naar rechts gaat en dan pas omhoog, dat maakt voor de afgelegde weglengte geen verschil. Je ziet dat je via twee hoekpunten kunt komen elk met het cijfer 1 erbij. Omdat je nu òf de ene weg neemt òf de andere, moet je deze getallen optellen: = 2 manieren om bij punt D te komen. zo ga je door tot je bij alle hoekpunten een getal hebt geschreven. Bij punt B krijg je dan het getal 84. Dat is hetzelfde als wat je met de berekening uit de vorige paragraaf zou krijgen: ( 9 3) = 84 Als er nu midden in de stad een park is, waar je niet doorheen kan, dan is deze methode van het tellen veruit het gemakkelijkst. In de figuur hiernaast zie je dat bij F en bij G hetzelfde aantal staat (10). Je kunt ook maar op één manier van F naar G. Dat geldt net zo bij de punten E en C. Bij punt D kan je weer aankomen via G of via C. Ga maar na dat die twee wegen, van A naar C en van A naar G, allebei even lang zijn. Het getal bij D moet dan ook zijn: = 15. In totaal zijn er 110 kortste wegen in dit rooster. 4.2 Onvolledige permutatie Stel dat je kaartjes hebt met daarop tien verschillende letters. Nu mag je er drie uit die tien kiezen en dan een (al dan niet bestaand) woord vormen. Je kunt dan zeggen dat er twee handelingen zijn ˆ je kiest drie kaartjes uit 10: ( 10 3 ) =
14 ˆ je legt ze in alle volgorden: 3! = 6 In totaal hebben we dan dus = 720 mogelijkheden. Deze verwisseling van een deel van de elementen wordt ook wel een onvolledige permutatie genoemd. We gebruiken wel de notatie P3 10. Het is eigenlijk een combinatie waarbij de volgorde wèl een rol speelt. In rekenmachines komen we beide berekeningen tegen met de code ncr en npr. ˆ Een keuze van 3 uit 10 waarbij de volgorde geen rol speelt 10nCr3 = 120 ˆ Een keuze van 3 uit 10 waarbij de volgorde wel een rol speelt 10nPr3 = 720 De formele formules zijn: ( ) n = n ncr k = k n! k! (n k)! ; en Pn k = n npr k = n! (n k)! 12
15 5 De en -regel en de of -regel 6 Combinatoriek toegepast 6.1 Een lampjesketting Meneer van den Bergh controleert de kerstverlichting voordat deze opgeborgen wordt voor volgend jaar. 13
16 Hij constateert dat er van de 15 lampjes maar liefst 4 kapot zijn! Bij meneer van den Bergh komt nu zomaar de vraag op Op hoeveel manieren kunnen er 4 lampjes van de 15 stuk zijn? Dat is een keuze zonder volgorde, dus een combinatie: ( ) = = = Ineens krijgt meneer van den Bergh een lumineus idee! Hij bedenkt dat hij het wel of niet branden van een lampje kan weergeven met een 0 of een 1. Uit = 0 Aan = 1 Zo heeft hij nu met zijn lampjessnoer een code: Hij wil nu eens alle mogelijke codes opschrijven die te maken zijn met 4 lampjes.: Je ziet hier enige systematiek. De volgorde van het meest rechtse cijfer is gewoon om en om 0 en 1. De volgorde van het een na laatste cijfer wisselt per 2. Het derde cijfer wisselt per 4 en het meest linkse cijfer wisselt per 8. Het totaal aantal codes kunnen we als volgt berekenen. Methode 1 Bedenk dat ( ( 4 0) betekent geen van de lampjes is aan en dat b.v. 4 3) betekent: 3 van de 4 lampjes zijn aan. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = 16 Die 16 codes zijn hierboven allemaal uitgeschreven. Methode 2 Je kunt ook zeggen: voor het eerste lampje heb je twee mogelijkheden, nl aan 14
17 en uit. Bij elk van die twee mogelijkheden heb je weer twee methoden voor de toestand van het volgende lampje. Dat zijn al vier codes. Dat gaat steeds met 2 omhoog bij het volgende lampje. Je krijgt dus 2 4 = 16 codes. 6.2 Binaire getallen Ineens denkt de heer van den Bergh aan de lessen wiskunde waarbij er over getalsystemen werd gesproken. Een getal als 7363 is als volgt opgebouwd: = = = = Je ziet dat een cijfer betekenis heeft die afhangt van de plaats in het getal. De ene 3 betekent gewoon 3 en de andere 3 betekent 300, dat hangt af van de positie. Wij hebben een zogenaamd positioneel talstelsel. Verder zie je dat de getallen 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000 heel belangrijk zijn. we werken in een talstelsel dat in feite gebaseerd is op ons aantal vingers, we spreken van een tientallig stelsel, een decimaal talstelsel. In dat stelsel gebruiken we 10 cijfers: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Dat kan eenvoudiger; met alleen de twee cijfers 0 en 1 kan je ook getallen maken. We spreken dan van een tweetallig stelsel, een binair talstelsel. De waarden van de cijfers is dan van rechts naar links: 1, 2, 4, 8, Een getal als 1011 is dan als volgt opgebouwd: = 1 = = = = = = = 8 11 Zo wordt duidelijk dat het binaire getal 1011 gelijk is aan het decimale getal 11. Je ziet ook gelijk een probleem. Het is soms niet duidelijk in welk talstelsel je werkt. Dat zullen we aan moeten geven. Ofwel met een letter b voor binair en d voor decimaal of door middel van een getal, 2 voor tweetalling, en 10 voor decimaal: 1011 b = 11 d of: =
18 6.2.1 Binair tellen Het eerste wat we met deze binaire getallen zullen doen is gewoon tellen. 0 b = 0 d, 1 b = 1 d en 10 b = 2 d. Om de systematiek duidelijker te laten uitkomen schrijven we een binair getal als 11 b vaak met een aantal nullen ervoor: 0011 b. We tellen tot 15: binair decimaal = = = = = = = = = = = = = = = = Omzetten van binair naar decimaal Elk cijfer van een getal heeft zijn eigen waarde. Bij binaire getallen is dat van rechts naar links: 1, 2, 4, 8, 16, 32 etc We schrijven die waarden onder de afzonderlijke cijfers en tellen ze op als het binaire getal op die plaats een 1 heeft staan. Hier volgt een voorbeeld met het getal b = 27 d Dus b = 27 d 7 Zet de volgende binaire getallen om naar een decimaal getal: a. 101 c b d
19 6.2.3 Omzetten van decimaal naar binair Bij het omzetten van een decimaal getal naar een binair getal moet je eerst de rij van de machten van twee goed voor ogen houden: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, etc Dan schrijf je eerst een rij van stippen op waarop de nullen en de enen moeten komen, met de waarde van dat cijfer er klein onder: Vervolgens trekken we van het om te zetten getal de hoogst mogelijk macht van twee af, en als dat kan zetten we op de plaats van dìe macht een 1, de machten die we over moeten slaan leveren een 0. Als voorbeeld zetten we het getal 54 d om naar binair: Machten van De berekening Het binaire getal: Dus we hebben: 54 d = b 8 Zet de volgende decimale getallen om naar een binair getal: a. 15 c. 22 b. 234 d Rekenen met binaire getallen Optellen Voor het optellen hebben we de regels: optellen = = = = 10 Bedenk dat 10 b = 2 d Als extra regel hebben we nodig: = 11. Bedenk dat 11 b = 3 d Verder gaat het optellen onder elkaar net als bij decimale getallen. Als de optelling van twee cijfers een getal van twee cijfers oplevert (zoals bij en bij , dan moeten we het meest linkse cijfer (een 1) onthouden en bij de volgende kolom optellen. 17
20 Even een voorbeeld: We gaan de getallen en 1101 optellen. Eerst netjes onder elkaar zetten, met extra nullen aan de linkerkant van Dat controleren we natuurlijk even: b = 45 d en b = 13 d en opgeteld is dat 9 Bereken en controleer met behulp van decimale getallen: a c b d b = 58 d Vermenigvuldigen Optellen was al niet zo moeilijk, vermenigvuldigen is eigenlijk nog gemakkelijker. Je hoeft niet alle tafels uit je hoofd te leren alleen maar de vermenigvuldigtabel: We berekenen : = 46 d = 6 d = 276 d 0 0 = = = = 1 10 Bereken en controleer met behulp van decimale getallen: a c b d Aftrekken en delen kan natuurlijk ook met de binaire getallen, maar dat voert hier te ver. 7 Booleaanse algebra Nu gaan we een stukje algebra doen dat echt anders is als de ons bekende gewone algebra. In deze algebra hebben we een paar functies. Deze functie worden het gemakkelijkst weergegeven 18
21 met waardetabellen. 7.1 en Eerst de en-functie, deze heeft als waardetabel: A B A en B De uitkomst is alleen 1 als A en B beide 1 zijn. 7.2 of Verder hebben we ook nog de of-functie: A B A of B Hier is de uitkomst 1 als A = 1 of B = 1 of allebei 7.3 niet Verder is er dan nog de eenvoudige functie niet A nieta Deze functie keert de waarde precies om, van 0 naar 1 en andersom. 7.4 exof Er zijn wel meer functies, maar hier bespreken we alleen nog de exof-functie A B A exof B Hier is de uitkomst 1 als A = 1 of B = 1 maar juist 0 als ze allebei 1 zijn. Kijk goed naar het verschil met de of-functie. Met deze regels en een waardetabel kunnen we bepaalde uitdrukkingen in de Boolse algebra controleren. We controleren of de regel: niet (A of B) = (niet A) en (niet B) geldig is. Daartoe gaan we de waarde bepalen van het linkerdeel van de vergelijking: niet (A of B) en vergelijken die met de rechterkant: (niet A) en (niet B) 19
22 links rechts A B A of B niet (A of B) niet A niet B (niet A) en (niet B) Naast de genoemde functies worden ook de volgende afkortingen gebruikt: A en B = A B A of B = A B A exof B = A B niet A = A Zodat de bovenstaande regel 1 ook genoteerd kan worden als: A B = A B Als voorbeeld controleren we een formule met drie variabelen. Dan zijn er natuurlijk 2 3 = 8 mogelijkheden. We controleren: A (B C) = (A B) (A C) A B C B C A (B C) A B A C (A B) (A C) Maak een waarde tabel bij de volgende uitdrukkingen a. A B c. (A B) C b. A B d. A B 12 Ga met behulp van een waardetabel na dat de volgende regel geldig is: A (B C) = (A B) (A C) Soms wordt de of functie niet met aangeduid, maar met een gewone +. En dan schrijft men de en functie ( ) als een keer-teken. Als je dat doet dan wordt de regel uit de vorige opgave: A (B + C) = A B + A C, gewoon haakjes uitwerken zouden we zeggen. Mooi gezegd de distributieve eigenschap van keer over plus. De volgende opgave maakt duidelijk dat Boolse algebra echt anders is dan gewone algebra. Er bestaat ook distributiviteit van plus over keer! 13 Ga met behulp van een waardetabel na dat de volgende regel geldig is: A (B C) = (A B) (A C) 1. Dit is één van de regels van de Morgan. De andere is: A B = A B 20
23 14 Ga met behulp van een waardetabel na dat de volgende regel geldig is: A B = A B eerste regel van de Morgan 15 A B wordt ook wel gedefinieerd als (A B) (A B). Ga met behulp van een waardetabel na dat dit klopt. 16 Ga na dat de tweede regel van de Morgan: A b = A B klopt. 8 Elektrische schakelingen 8.1 De serieschakeling In het schema hiernaast is een batterij getekend en wat aansluitdraden. L is een lampje. A en B zijn gewone schakelaars de getekend zijn in de stand open, geen elektrische verbinding dus. Dat wordt ook weergegeven door de 0 die bij de getekend stand staat. Als de schakelaar dicht is dan staat het schuine lijntje naar de 1 en is er wèl een elektrische verbinding. In de situatie die getekend is, dat wil zeggen met beide schakelaars op 0, is de stroomkring niet gesloten en brandt het lampje niet. Als nu één van beide schakelaars naar de stand 1 gaat dan is de stroomkring nog niet gesloten en brandt het lampje nog steeds niet. Als nu beide schakelaars naar stand 1 gaan, dan pas is de kring gesloten en brandt het lampje. We kunnen die vier mogelijkheden weergeven met de volgende schakeltabel, waarin we een 0 bij het lampje L schrijven als het niet brandt en een 1 als het wel brandt: serie A B L De parallelschakeling Een totaal andere schakeling krijg je als je de twee schakelaars niet achter elkaar, maar naast elkaar plaatst. Het is dan duidelijk dat het lampje in de getekend situatie, met A en B beide in de 0-stand, niet kan branden want de stroomkring is niet gesloten. Het lampje brandt juist wel als een van beide schakelaars gesloten wordt, maar het brandt ook als beide schakelaars gesloten zijn. Ook dat kunnen we weergeven in een schakeltabel: 21
24 parallel A B L De hotelschakeling Een heel bijzondere schakeling krijg je als je de schakelaars als het ware tegen elkaar in schakelt. In huis kom je zo n schakeling tegen als je het hallicht beneden aan kan doen en bovenaan de trap weer uit. Vroeger werd hij het eerst toegepast in de lange gangen van een hotel. In de getekende situatie kan het lampje niet branden, want de kring is niet gesloten. Zet je nu ofwel schakelaar A om ofwel schakelaar B, dan wordt de kring gesloten. Zet je beide schakelaars in stand 1 dan is juist de kring weer niet gesloten. Dat wordt weergegeven door de schakeltabel: hotel A B L Automatisch rekenen Nu moeten we eens kijken wat we tot nu toe hebben. Ten eerste hebben we binaire getallen die je, bijvoorbeeld, net zo kan optellen als gewone decimale getallen. Verder hebben we de logische functies bijvoorbeeld en en exof en verder hebben we de schakeltabellen van de serieschakeling en de hotelschakeling. Dat alles hebben we weergegeven in tabellen met nullen en enen: Rekenen: tabel voor optellen = = = = 10 A B A en B Boolse algebra Waardetabellen A B A exof B Elektrische schakelingen Schakeltabellen serie hotel A B L A B L We zien ten eerste dat de logische functies en en exof precies dezelfde getallen in hun waardetabel hebben als de elektrische schakelingen serie en hotel in hun schakeltabellen. 22
25 Daarnaast zien we dat de cijfers van de binaire getallen in de opteltabel precies overeenkomen met de cijfers in de schakeltabellen. Dat geeft ons de mogelijkheid om de optelling na te doen met elektrische stromen. Een eenvoudige stap doen we in de volgende paragraaf. Let op de elektrische schakeling telt niet op! Er lopen al dan geen stroompjes, in een patroon dat wij herkennen als een optelling. De elektrische schakeling kent aan de stroomjes (spanningen) geen betekenis toe, dat doen wij, dat doet de mens. 9.1 De halve opteller (Half Adder) Tenslotte nog de schakeling die tot twee cijfers in het binaire talstelsel optelt. Je ziet hiernaast een serieschakeling van twee schakelaars en een hotelschakeling met twee schakelaars. De schakelaars A zijn aan elkaar verbonden, worden steeds tegelijk omgezet. Dat geldt ook voor de schakelaars B. De schakeltabel van deze schakeling is: A B L 1 L en deze is precies gelijk aan de opteltabel voor binaire getallen: = = = = 10 Deze schakeling wordt een half adder genoemd. Als je je nog even herinnert dat voor het optellen van twee binaire getallen ook het sommetje = 11 b nodig was dan snap je wel dat de schakeling uitgebreid moet worden om met die drie cijfers te kunnen werken. Je krijgt dan een full adder Zo kan je steeds verder gaan, schakelingen voor vermenigvuldigingen maken en alles combineren, compleet met decimaal-binair omzetters en binair-decimaal omzetters. Op deze manier is het gelukt om echt werkende digitale rekenmachines te maken. Uiteindelijk zijn al onze apparaten, computer, smartphone, smart televisie en nog veel meer op deze principes gebaseerd. 23
26 Serieschakeling: Hotelschakeling Parallelschakeling Half adder
27 10 Werkbladen 7 Vul in: a =... b =... c =... d =... 9 a. b d d c.... d d d d.... d d d... d d d... d 10 a. 11 a. d. b d d d d d d A B B A B A B A B A B c. c. d d d d d d d A B C A B (A B) C b. A B B A B
28 A B C B C A (B C) A B A C (A B) (A C) A B C B C A (B C) A B A C (A B) (A C) A B A B A B A B A B A B B A B A A B (A B) (A B) A B A B A B A B A B A B
29 11 Uitwerkingen P 9,2,2,2 = a = 5 d b a. b = 54 d dus: dus: 15 d = b = c. c = 28 d d d = b = 27 d dus: d. 22 d = b dus: 68 d = b a. b d d d c d d d d d d d d d d 27
30 10 a. 11 a. d. b d d d d d d A B B A B A B A B A B c. c. d. A B B A B d d d d d d A B C B C A (B C) A B A C (A B) (A C) Kolom 5 is identiek met kolom 8, dus A (B C) = (A B) (A C) is waar. b. A B C A B (A
31 A B C B C A (B C) A B A C (A B) (A C) Kolom 5 is identiek met kolom 8, dus A (B C) = (A B) (A C) is waar. A B A B A B A B A B Kolom 4 is identiek met kolom 7, dus A B = A B is waar. A B B A B A A B (A B) (A B) A B Kolom 7 is identiek met kolom 8, dus A B = (A B) (A B) is waar. A B A B A B A B A B Kolom 4 is identiek met kolom 7, dus A B = A B is waar. 29
32 12 Antwoorden 1 a d b. 36 e. 8 c. 120 f ! = 1 6! = ! = ! = 2 7! = ! = ! = 6 8! = ! = ! = 24 9! = ! = ! = P 9,2,2,2 = a. 5 c. 28 b. 54 d a c b d a c b d a c b d (Bestandsnaam: ptxt_pcv.tex 18 december 2017) 30
1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen
Samenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen Samenvatting door een scholier 2378 woorden 4 juni 2005 5,1 222 keer beoordeeld Vak Wiskunde Gelijkvormigheid Bij vergroten of verkleinen van een figuur worden
Nadere informatie2 Elementaire bewerkingen
Hoofdstuk 2 Elementaire bewerkingen 19 2 Elementaire bewerkingen 1 BINAIRE GETALLEN In het vorige hoofdstuk heb je gezien dat rijen bits worden gebruikt om lettertekens, getallen, kleuren, geluid en video
Nadere informatieRekenen aan wortels Werkblad =
Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden
Nadere informatie1 Rekenen met gehele getallen
1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9
Nadere informatie2.0 Voorkennis (64 36) Haakjes (Stap 1) Volgorde bij berekeningen:
Volgorde bij berekeningen: Voorbeeld : 2.0 Voorkennis 1) Haakjes wegwerken 2) Wortels en kwadraten wegwerken 3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 4) Optellen en aftrekken van links naar rechts
Nadere informatieHieronder zie je hoe dat gaat. Opgave 3. Tel het aantal routes in de volgende onvolledige roosters van linksboven naar rechtsonder.
Groepsopdracht 1: Volledige en onvolledige roosters Voor een volledig rooster kun je de driehoek van Pascal gebruiken om te weten te komen hoeveel routes er van A naar B zijn. Bij onvolledige roosters
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatiewiskundeleraar.nl
2015-2016 wiskundeleraar.nl 1. voorkennis Volgorde bij bewerkingen 1. haakjes 2. machtsverheffen. vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 4. optellen en aftrekken van links naar rechts Voorbeeld
Nadere informatieWillem van Ravenstein
Willem van Ravenstein 1. Variabelen Rekenen is het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken je de bewerkingen machtsverheffen en worteltrekken.
Nadere informatieRekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A
Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk
Nadere informatieRekentermen en tekens
Rekentermen en tekens Erbij de som is hetzelfde, is evenveel, is gelijk aan Eraf het verschil, korting is niet hetzelfde, is niet evenveel Keer het product kleiner dan, minder dan; wijst naar het kleinste
Nadere informatieHet leek ons wel een interessante opdracht, een uitdaging en een leuke aanvulling bij het hoofdstuk.
Praktische-opdracht door een scholier 2910 woorden 3 mei 2000 5,2 46 keer beoordeeld Vak Wiskunde Wiskunde A1 - Praktische Opdracht Hoofdstuk 2 1. Inleiding We hebben de opdracht gekregen een praktische
Nadere informatieElementaire rekenvaardigheden
Hoofdstuk 1 Elementaire rekenvaardigheden De dingen die je niet durft te vragen, maar toch echt moet weten Je moet kunnen optellen en aftrekken om de gegevens van de patiënt nauwkeurig bij te kunnen houden.
Nadere informatieUitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatierekentrainer jaargroep 7 Fietsen op Terschelling. Teken en vul in. Zwijsen naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs
Zwijsen jaargroep 7 naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs Waar staat deze paddenstoel ongeveer? Teken op de kaart. Welke afstand of welke route fietsen de kinderen? naam route afstand Janna
Nadere informatierekentrainer jaargroep 7 Fietsen op Terschelling. Teken en vul in. Zwijsen naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs
Zwijsen jaargroep 7 naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs Waar staat deze paddenstoel ongeveer? Teken op de kaart. Welke afstand of welke route fietsen de kinderen? naam route afstand Janna
Nadere informatieInformatica 2. Met uitwerkingen n.a.v. document van Elvire Theelen in Luc bijgewerkt door Peter van Diepen
Informatica 2 Met uitwerkingen n.a.v. document van Elvire Theelen in Luc bijgewerkt door Peter van Diepen 1 Op dit lesmateriaal is een Creative Commons licentie van toepassing. 2014 Remie Woudt remie.woudt@gmail.com
Nadere informatiewizprof 2016 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan
www.zwijsen.nl www.e-nemo.nl www.education.ti.com Veel succes en vooral veel plezier.!! Stichting Wiskunde Kangoeroe Stichting Wiskunde Kangoeroe rekenmachine is niet toegestaan je hebt 75 minuten de tijd
Nadere informatieHoofdstuk 1 : REKENEN
1 / 6 H1 Rekenen Hoofdstuk 1 : REKENEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p.3-34) 1.1 Het decimaal stelsel In verband met het decimaal stelsel: a) het grondtal van ons decimaal stelsel geven. b) benamingen
Nadere informatieinhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2
handleiding algebra inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 1 Routes in een rooster 4 2 Oppervlakte in een rooster 4 3 Producten 4 4 Onderzoek 5 Tijdpad 9 Materialen voor
Nadere informatie4,7. Praktische-opdracht door een scholier 1959 woorden 1 juni keer beoordeeld
Praktische-opdracht door een scholier 1959 woorden 1 juni 2001 4,7 331 keer beoordeeld Vak Wiskunde Tientallig stelsel In een tientallig stelsel heb je de getallen 0 t/m 9 tot je beschikking. Zoals je
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieHet schaakbord van koning Shirham
Het schaakbord van koning Shirham Dion Gijswijt De Indiase koning Shirham wilde volgens een oud verhaal de uitvinder van het schaakbord, Sissa ben Dahir, rijkelijk belonen voor zijn uitzonderlijke prestatie.
Nadere informatie1.1 Rekenen met letters [1]
1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren
Nadere informatieHet Land van Oct. Marte Koning Frans Ballering. Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs
Het Land van Oct Marte Koning Frans Ballering Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs Hoofdstuk 1 Inleiding Hoi, ik ben de Vertellende Teller, en die naam heb ik gekregen na mijn meest bekende reis, de reis
Nadere informatieOnthoudboekje rekenen
Onthoudboekje rekenen Inhoud 1. Hoofdrekenen: natuurlijke getallen tot 100 000 Optellen (p. 4) Aftrekken (p. 4) Vermenigvuldigen (p. 5) Delen (p. 5) Deling met rest (p. 6) 2. Hoofdrekenen: kommagetallen
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatieExamencursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO kan niet korter
Voorbereidende opgaven VWO Examencursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan
Nadere informatieLogische schakelingen
Logische schakelingen Logische schakelingen Stel: we maken een schakeling met twee schakelaars en één lamp. Dan kunnen we dat op de volgende manieren doen: We maken een serieschakeling van de twee schakelaars:
Nadere informatieBasisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag
Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken
Nadere informatie5.1 Lineaire formules [1]
5.1 Lineaire formules [1] Voorbeeld : Teken de grafiek van y = 1½x - 3 Stap 1: Maak een tabel met twee coördinaten van deze lijn: x 0 2 y -3 0 Stap 2: Teken de twee punten en de grafiek: 1 5.1 Lineaire
Nadere informatieRekenen met cijfers en letters
Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatiekun je op verschillende manieren opschrijven of uitspreken: XX Daarnaast kun je een breuk ook opschrijven als een decimaal getal.
. Breuken Je kunt breuken gebruiken om een verhouding weer te geven. Een breuk schrijf je als een streepje met een getal erboven (de teller) en een getal eronder (de noemer), bijvoorbeeld. De streep zelf
Nadere informatieExtra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen
Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen 2.1 Natuurlijke getallen 1 Rangschik de volgende natuurlijke getallen van klein naar groot. 45 54 56 78 23 25 77 89 2 050 2 505 2 055 2 500 2 005 879
Nadere informatieDRIEHOEKSGETALLEN GETALLENRIJEN AFLEVERING 3. som
GETALLENRIJEN AFLEVERING In deze jaargang van Pythagoras staan getallenrijen centraal. Deze aflevering gaat over de rij,, 6, 0,, 2,... Dit zijn de zogeheten driehoeksgetallen. Ze vormen een interessante
Nadere informatieMemoriseren: Een getal is deelbaar door 10 als het laatste cijfer een 0 is. Of: Een getal is deelbaar door 10 als het eindigt op 0.
REKENEN VIJFDE KLAS en/of ZESDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Luc Cielen: Regels van deelbaarheid, grootste gemene deler en kleinste gemeen veelvoud 1 Deelbaarheid door 10, 100, 1000. Door
Nadere informatieStoomcursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO ( ) = = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = ( )
Voorbereidende opgaven VWO Stoomcursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan
Nadere informatieUitwerkingen oefeningen hoofdstuk 1
Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 1 1.4.1 Basis Oefeningen Romeinse cijfers 1 Op deze zonnewijzer staan achtereenvolgens de getallen: I (= 1) II (= 2) III (= 3) IV (= 4) V (= 5) VI (= 6) VII (= 7) VIII
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500
WISKUNDE-ESTFETTE 2014 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 00 1 (20 punten) Gegeven zijn drie aan elkaar rakende cirkels met straal 1. Hoe groot is de (donkergrijze) oppervlakte
Nadere informatieANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999
ANTWOORDEN blz. 3 a. Zeer onwaarschijnlijk Zeer onwaarschijnlijk a. Dan heb je ergens een schuld uitstaan 86 Dan hadden beide een kopie van de kerfstok; om fraude te voorkomen a. MMXII, MCCCXXVII, DLXXXVI,
Nadere informatieBij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken.
Rood-wit-blauw werkblad 1 Bij het hele werkblad: Alle rode getallen zijn deelbaar door hetzelfde getal. Elk wit getal is gelijk aan een rood getal + 1, elk blauw getal aan een rood getal + 2 Russisch vermenigvuldigen
Nadere informatieWiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden
Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en
Nadere informatieZESDE KLAS MEETKUNDE
ZESDE KLAS MEETKUNDE maandag 1. Het vierkant. Eigenschappen. 2. Vierkanten tekenen met passer en lat vanuit zeshoek 3. Vierkanten tekenen met passer en lat binnen cirkel 4. Vierkanten tekenen met passer
Nadere informatiehandleiding formules
handleiding formules inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de grote lijn 3 bespreking per paragraaf 4 applets 4 1 rekenen en formules 4 2 formules maken 4 3 de distributiewet 5 4 onderzoek 5 tijdpad 6 materialen
Nadere informatieDeel A. Breuken vergelijken
Deel A Breuken vergelijken - - 0 Breuken en brokken (). Kleur van elke figuur deel. Doe het zo nauwkeurig mogelijk.. Kleur van elke figuur deel. Doe het telkens anders.. Kleur steeds het deel dat is aangegeven.
Nadere informatie1. REGELS VAN DEELBAARHEID.
REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500
WISKUNDE-ESTAFETTE 2012 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Optellen De som van twee getallen van twee cijfers is een getal van drie cijfers (geen van deze
Nadere informatieSYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester
SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN Prof. dr. Ronald Meester Inleiding In dit college onderzoeken we symmetrie-eigenschappen van ruimtelijke figuren zoals driehoeken, vierkanten, kubussen en andere veelvlakken
Nadere informatieFLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Nadere informatieWerkblad 1 Serieschakeling gelijke lampjes
Werkblad 1 Serieschakeling gelijke lampjes In een serieschakeling gaat de stroom door alle onderdelen. In figuur 1 gaat de stroom eerst door lampje 1, dan door lampje 2, om terug te komen bij de spanningsbron.
Nadere informatieBreuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013
Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers
Nadere informatie1. A De derde donderdag is veertien dagen na de eerste., dus de derde donderdag is op zijn vroegst op 15 maart.
Uitwerkingen wizprof 2014 1. A De derde donderdag is veertien dagen na de eerste., dus de derde donderdag is op zijn vroegst op 15 maart. 2. A 75 km = 75000 m;. 3. C 2013, 2012, 2011 en 2010 hebben de
Nadere informatieWortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)
1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht
Nadere informatieREKENVAARDIGHEID BRUGKLAS
REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS Schooljaar 008/009 Inhoud Uitleg bij het boekje Weektaak voor e week: optellen en aftrekken Weektaak voor e week: vermenigvuldigen Weektaak voor e week: delen en de staartdeling
Nadere informatie2 Elementaire bewerkingen
Hoofdstuk 2 Elementaire bewerkingen 17 2 Elementaire bewerkingen In dit hoofdstuk leer je hoe werken met binaire getallen en hexadecimale getallen omgezet wordt naar een decimaal getal en omgekeerd. Vervolgens
Nadere informatieBij de volgende opgaven vragen we je een kleine opteltabel in te vullen. De eerste hebben we zelf ingevuld om je te laten zien hoe zoiets gaat. 1.
I Natuurlijke getallen Dit deel gaat over getallen waarmee je aantallen kunt weergeven: vijf vingers aan je hand, twaalf appels op een schaal, zestig minuten in een uur, zestien miljoen Nederlanders, nul
Nadere informatieGetallen 1F Doelen Voorbeelden 2F Doelen Voorbeelden
A Notatie en betekenis - Uitspraak, schrijfwijze en betekenis van, symbolen en relaties - Wiskundetaal gebruiken - de relaties groter/kleiner dan - breuknotatie met horizontale streep - teller, noemer,
Nadere informatieBovenstaand schema kan je helpen bij het bepalen van het soort telprobleem en de berekening van het aantal mogelijkheden 2.
Telproblemen voor 4 HAVO wiskunde A In het schoolexamen 2 van 4 HAVO wiskunde A zijn de opgaven over de telproblemen (hoofdstuk 4) erg slecht gemaakt. Dat moet beter kunnen, zou ik denken Ik bespreek hier
Nadere informatieHet grondtal van het decimaal stelsel is 10. Voorbeeld: het getal 8365. Poorten De tellereenheid Mevr. Loncke 1
1. Inleiding In vorig hoofdstuk hebben we het gehad over invoerelementen, verwerking en uitvoerelementen. Je hebt geleerd dat al deze elementen maar 2 toestanden kennen en kunnen verwerken, namelijk de
Nadere informatieAlgebra, Les 18 Nadruk verboden 35
Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 18,1 Ingeklede vergelijkingen In de vorige lessen hebben we de vergelijkingen met één onbekende behandeld Deze vergelijkingen waren echter reeds opgesteld en behoefden
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieToelichting op de werkwijzer
Toelichting op de werkwijzer NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Birgit van Dalen, Quintijn Puite De opgaven voor de training komen uit het boekje De Nederlandse Wiskunde Olympiade 100 opgaven met hints,
Nadere informatiePanamaconferentie Verbanden herkennen en begrijpen. verhoudinge n. vermenigvuldigen. optellen. gestructureer d tellen.
domeinkennis rekenen/wiskunde Verbanden herkennen en begrijpen Kern ontwikkeling rekenvaardigheid vergelijken ordenen optellen vermenigvuldigen verhoudinge n manipuleren/veranderen voorstellen tellen gestructureer
Nadere informatieSTART WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600.
START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600. Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 580 punten) Vier bij vier. In een schema van vier maal
Nadere informatieLes A-03 Binaire en hexadecimale getallen
Les A-03 Binaire en hexadecimale getallen In deze les wordt behandeld hoe getallen kunnen worden voorgesteld door informatie die bestaat uit reeksen 0-en en 1-en. We noemen deze informatie digitale informatie.
Nadere informatieDomein A: Inzicht en handelen
Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het
Nadere informatieExcel. Inleiding. Het meest gebruikte spreadsheet programma is Excel.
Excel Inleiding Het woord computer betekent zoiets als rekenmachine. Daarmee is is eigenlijk aangegeven wat een computer doet. Het is een ingewikkelde rekenmachine. Zelf voor tekstverwerken moet hij rekenen.
Nadere informatieCombinatoriek en rekenregels
Combinatoriek en rekenregels Les 3: Het vaasmodel (deze les sluit aan bij de paragrafen 5, 6 en 7 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)
Nadere informatieDownload gratis de PowerPoint rekenen domein getallen:
Getallen Bron: Examenbladmbo.nl, SYLLABUS REKENEN 2F en 3F vo en mbo, Versie mei 2015 Download gratis de PowerPoint rekenen domein getallen: http://nielspicard.nl/download/powerpoint-rekenen-domein-getallen/
Nadere informatie2. E Het getal is 38: 24 = 3 x 8. Tel je de cijfers op, dan krijg je 3 + 8 = 11.
Uitwerkingen wizbrain 2013 1. E 2. E Het getal is 38: 24 = 3 x 8. Tel je de cijfers op, dan krijg je 3 + 8 = 11. 3. C De vetgedrukte kaarsen in de volgende tabel branden na 55 minuten: begin 0 10 20 30
Nadere informatieLeest hij eerst de eerste kolom van boven naar beneden, dan de tweede enzovoorts, dan hoor je
Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 580 punten) Vier bij vier. In een schema van vier maal vier vierkantjes schrijft iemand letters. In iedere rij en in iedere kolom komt zo één A, één B en één C, zodat
Nadere informatieCombinatoriek en rekenregels
Combinatoriek en rekenregels Les 2: Roosters en ongeordende grepen (deze les sluit aan bij de paragrafen 3 en 4 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)
Nadere informatieDeel C. Breuken. vermenigvuldigen en delen
Deel C Breuken vermenigvuldigen en delen - 0 Sprongen op de getallenlijn. De sprongen op de getallenlijn zijn even groot. Schrijf passende breuken of helen bij de deelstreepjes. 0 Welk eindpunt wordt bereikt
Nadere informatieBijlage 1 Rekenen met wortels
Bijlage Rekenen met wortels Deze bijlage hoort bij het hoofdstuk Meetkunde en Algebra juli 0 Opgaven gemarkeerd met kunnen worden overgeslagen. Uitgave juli 0 Colofon 0 ctwo Auteurs Aad Goddijn, Leon van
Nadere informatieDe vijfhoek in klas 9
De vijfhoek in klas 9 B. Geels januari 09 Vijf punten op de cirkelrand Als je vijf punten, niet per se regelmatig, op een cirkelrand tekent dan kan je in eerste instantie lijnstukken tekenen. Bij het tekenen
Nadere informatieCombinatoriek en rekenregels
Combinatoriek en rekenregels Les 3: Het vaasmodel (deze les sluit aan bij de paragrafen 5, 6 en 7 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)
Nadere informatieHoofdstuk 2: Grafieken en formules
Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde
Nadere informatieProjectieve Vlakken en Codes
Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop
Nadere informatieNovum, wiskunde LTP leerjaar 1. Wiskunde, LTP leerjaar 1. Vak: Wiskunde Leerjaar: 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 Kerndoel(en):
Wiskunde, LTP leerjaar 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 26 De leerling leert te werken met platte en ruimtelijke vormen en structuren, leert daarvan afbeeldingen te maken en deze te interpreteren, en leert
Nadere informatie5. C De routes langs A en C zijn even lang, dus is de route langs C ook 215 meter langer.
ANTWOORDEN KANGOEROE 2001 BRUGKLAS en KLAS 2 1. E 2. E 18 doosjes voor de rode, 13 voor de blauwe: totaal 31 doosjes 3. C De ringen A, B en D zitten allemaal alleen door ring C. 4. B De twee getallen moeten
Nadere informatieNetwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.
Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van
Nadere informatie3.4.3 Plaatsing van de meters in een stroomkring
1 De stroom- of ampèremeter De ampèremeter is een meetinstrument om elektrische stroom te meten. De sterkte van een elektrische stroom wordt uitgedrukt in ampère, vandaar de naam ampèremeter. Voorstelling
Nadere informatieDomeinbeschrijving rekenen
Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van
Nadere informatieCombinatoriek en rekenregels
Combinatoriek en rekenregels Les 2: Roosters en ongeordende grepen (deze les sluit aan bij de paragrafen 3 en 4 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Getallenverzameling = Verzameling van getallen met een bepaalde eigenschap
1.0 Voorkennis Getallenverzameling = Verzameling van getallen met een bepaalde eigenschap Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} De getallen 0,
Nadere informatieVergelijkingen met één onbekende
- 89 - Hoofdstuk 3: ergelijkingen met één onbekende Opgave boek pag 67 nr. 5: Los op in R a. 3 ( + ) 4 7.................. {... }... proef : 1 e lid :... e lid :... b. ( 3 ) + 7 5 ( )........................
Nadere informatie7,6. Samenvatting door A woorden 12 april keer beoordeeld. Natuurkunde. Natuurkunde Systemen. Systemen
Samenvatting door A. 1243 woorden 12 april 2013 7,6 12 keer beoordeeld Vak Natuurkunde Natuurkunde Systemen Systemen We onderscheiden 3 soorten gegevensverwerkende systemen: meetsysteem: meet een grootheid
Nadere informatie1. C De derde zijde moet meer dan 5-2=3 zijn en minder dan 5+2=7 (anders heb je geen driehoek).
Uitwerkingen wizprof 08. C De derde zijde moet meer dan 5-=3 zijn en minder dan 5+=7 (anders heb je geen driehoek).. C De rode ringen zitten in elkaar, de groene liggen onder de rode ringen en zijn er
Nadere informatieRuitjes vertellen de waarheid
Ruitjes vertellen de waarheid Opdracht 1 Van fouten kun je leren Van fouten kun je leren, jazeker. Vooral als je héél goed weet wat er fout ging. Vandaag leer je handige formules begrijpen door kijken
Nadere informatieInhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100
1 BK deel 1 Voorkennis 1 Aan de slag met wiskunde 6 1 Ruimtefiguren 8 1.1 Wiskundige ruimte guren 10 1.2 Vlakken, ribben en hoekpunten 14 1.3 Kubus en vierkant 17 1.4 Balk en rechthoek 24 1.5 Cilinder
Nadere informatieActiviteit 1. Tel de punten Binaire Getallen. Samenvatting. Kerndoelen. Vaardigheden. Leeftijd. Materiaal
Activiteit 1 Tel de punten Binaire Getallen Samenvatting Data in de computer worden opgeslagen als een serie van nullen en enen. Hoe kunnen we woorden en getallen weergeven met alleen deze twee symbolen?
Nadere informatieA. 54e B. 55e C. 56e D. 57e
Opgave 1 De Internationale Wiskunde Olympiade (IWO) is een jaarlijkse wiskundewedstrijd voor middelbare scholieren. Het is de oudste internationale wetenschapsolympiade. De eerste IWO werd gehouden in
Nadere informatieKerstvakantiecursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO kan niet korter
Voorbereidende opgaven VWO Kerstvakantiecursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk
Nadere informatie2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13
REKENEN MET BREUKEN. De breuk. Opgaven. Optellen van breuken 6. Opgaven 8. Aftrekken van breuken 9.6 Opgaven 9.7 Vermenigvuldigen van breuken.8 Opgaven.9 Delen van breuken.0 Opgaven. Een deel van een deel.
Nadere informatie7 Hoeken. Kern 3 Hoeken. 1 Tekenen in roosters. Kern 2 Hoeken meten Kern 3 Hoeken tekenen Kern 4 Kijkhoeken. Kern 1 Tegelvloeren. Kern 3 Oppervlakte
1 Tekenen in roosters Kern 1 Tegelvloeren Kern 2 Oppervlakte Kern 3 Het assenstelsel Kern 4 Rechthoeken 2 Rekenen Kern 1 De rekenmachine Kern 2 Voorrangsregels Kern 3 Afronden Kern 4 Afronden 3 Grafieken
Nadere informatie+ = Talstelsels. Maar wat is dan: -
Talstelsels Wie leert rekenen doet dat in het begin vaak met z n vingers erbij: 1 + 4 = Elke vinger krijgt een naam : één, twee,.tien. Eigenlijk is er helemaal geen sprake van rekenen, maar van tellen:
Nadere informatieGoed aan wiskunde doen
Goed aan wiskunde doen Enkele tips Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Dit document somt de belangrijkste aandachtspunten op als je een wiskundeopgave
Nadere informatieHavo 4, Handig tellen en Kansrekenen.
Havo, Handig tellen en Kansrekenen. Getal en ruimte boek, hoofdstuk. Handig tellen. Paragraaf, de vermenigvuldig regel: Als je EN hoort, doe je en de plusregel: Als je OF hoort, doe je + a. Er zijn mogelijkheden,
Nadere informatieRekentijger - Groep 6 Tips bij werkboekje A
Rekentijger - Groep 6 Tips bij werkboekje A Puzzelvierkanten Werkblad 1 Vierkant linksboven Zoek eerst uit hoeveel één hartje waard is. Daarna kun je ook berekenen hoeveel een rondje waard is. Vierkant
Nadere informatie