Lesbrief Poisson-verdeling

Transcriptie

1 Lesbrief Poisso-verdelig 200 Life is good for oly two thigs, discoverig mathematics ad teachig mathematics. Simeo Poisso Willem va Ravestei Ihoudsopgave Vooreis... 2 Hoofdstu - wisudige afleidig va de Poissoverdelig... 4 Hoofdstu 2 - voorbeelde... 5 Hoofdstu 3 - waargeome e bereede waarde... 6 Hoofdstu 4 - verjaardagsprobleme... 7 Hoofdstu 5 - het deputeprobleem... 8 Uitwerige va de opgave.... 0

2 Vooreis De Poissoverdelig is geoemd aar Siméo Poisso die deze asverdelig otdete e same met zij statistische theorie i 838 publiceerde i zij wer Recherches sur la probabilité des jugemets e matières crimielles et matière civile. De biomiale verdelig We beschouwe oafhaelije experimete met el experimet ee as va p op succes. De stochast X, die het totaal aatal successe voorstelt, heeft ee biomiale verdelig met parameters p e. Er geldt: P X= = p p Voor de biomiale verdelig geldt: E(X)= p e Var(X)= p(-p) Telprobleme Veel asprobleme hebbe te mae met telle. Stel jezelf, voor je begit, de volgede twee vrage:. Is het met of zoder terugleggig? 2. Is de volgorde belagrij? Dit levert vervolges 4 verschillede soorte telprobleme op: Met teruglegge? Nee Ja Volgorde belagrij? Ja Nee Permutaties! =! faculteitsboom Combiaties =!!! ja-ee rooster Ragschiige met herhalig = machtsboom Herhaligscombiaties = + 2

3 Defiities We defiiëre de fuctie l(x) door: l( ) = R > x x dt voor x met x 0 t De defiitie va l(x) heeft dus veel te mae met de oppervlate oder de grafie va vaaf. Hieroder zie je de oppervlate voor x=4. Dit is da ogeveer, f(x) = x De fuctie l(x) is cotiu e strit stijged op < 0, >. De iverse fuctie heet de expoetiële fuctie. Deze fuctie is gedefiieerd op R met als berei < 0, >. Notatie: y = e x Het getal e defiiëre we als het uiee getal waarvoor dt = t e 2, Hadig om te wete: e 2 3 x x x x e = lim + =! 2! 3! e b lim + = e b 3

4 Hoofdstu - wisudige afleidig va de Poissoverdelig De Poisso-verdelig a je opvatte als ee limiet-geval va de biomiale verdelig. Als groot is e p eemt ee vaste waarde aa da a je de as op ee bepaalde gebeurteis bereee met λ λ de formule va de Poisso-verdelig: P(X = ) = e! Deze verdelig wordt allee bepaald door de verwachtigswaarde λ. De stadaardafwijig is gelij aa de wortel uit de verwachtigswaarde (σ = λ). I dit hoofdstu leide we de formule voor de Poissoverdelig af. P X = = p p voor = 0,,..., De biomiale verdelig: ( ) ( ) We ieze λ = pzodat λ λ P( X = ) = λ p =. Ivulle i de formule voor de biomiale verdelig geeft: P( X ) λ λ! P( X = ) =! ( )! λ λ! λ = =, zodat:! ( )! λ We gaa u ije wat er gebeurd als groot wordt. We begie deze eer maar s achteraa: I. De factor II. gaatbijvaste aarals λ Als da gaat bij ee vaste waarde va de factor ( )! oo aar.!! Immers: = =...! III. ( ) ( )( ) ( ) λ b Wat tedoemet de factor? We wete al dat lim + = e gaat aar IV. λ e als. λ λ We ome uiteidelij uit op: P(X = ) = e! b λ dus de factor Dit hoofdstu a bij eerste lezig worde overgeslage. 4

5 Hoofdstu 2 - voorbeelde Voorbeeld I ee bepaald gebied zij er gemiddeld 4 blisemislage per jaar. Beree de as op 0,, 2, 3, 4, 5, 6 e meer da 6 blisemislage per jaar. Uitwerig 4 4 We stelle vast λ = 4. Met P(X = ) = e! a je da de ase uitreee: P(X = 0) = e 0, 083 0! 4 4 P(X = ) = e 0, 0733! P(X = 2) = e 0,465 2! P(X > 6) 0,07 Voorbeeld 2 Gemiddeld worde op 2000 huize per jaar door brad verield. Beree de as dat i ee gemeete va 6000 huize er 4 of meer huize door brad verield worde. Uitwerig λ = 3 P(X 4) = P(X 3) 0, 3528 GR : poissocdf(3, 3) Opgave I ee textielfabrie worde rolle stof vervaardigd met ee legte va 50 meter per rol. Het aatal weeffoute per rol is Poisso-verdeeld met ee bijbehorede verwachtigswaarde va weeffout per rol. Bij de walitatieve eurig va de rolle stof worde deze gescheide i rolle va A-waliteit (met 0 of weeffout per rol) e rolle va B-waliteit (met twee of meer weeffoute per rol). a. Beree de as dat ee willeeurige rol de aaduidig B-waliteit rijgt. b. De productieomvag per dag is gelij aa 2000 meter stof. Hoe groot is de as dat er op ee willeeurige dag temiste 30 rolle met A-waliteit worde gemaat? Opgave 2 Bij ee callceter ome gemiddeld 0 telefootjes per uur bie. a. Beree de as dat er i ee uur meer da 5 telefootjes bie ome. b. Beree de as dat er i ee uur mider da 5 telefootjes bie ome. Het omt wel s voor dat er gedurede ee wartier gee telefootjes bie ome. c. Beree de as dat er ee wartier lag gee telefootjes bie ome. 5

6 Hoofdstu 3 - waargeome e bereede waarde Gegeve is de volgede tabel: Tabel Aatal dodelije ogelue veroorzaat door ee trap va ee paard va 0 Pruisische legerorpse i ee periode va 20 jaar. ( ) (L.v.Bortiewicz, Das Gesetz der leie Zahle, Leipzig, 898) Aatal jare met x dode per orps x Gemete Bereed >5 0 0 Met de Poisso-verdelig a je da de ase bereee met: 0,6 0, 6 P(X = ) = e! Zie de tabel hieraast. Vermeigvuldige va de rechter olom i tabel 2 met 200 levert de rechter olom op i tabel. Om de waarde va λ vast te stelle wordt eerst met behulp va de tabel hieraast het totaal aatal ogelue met dodelije afloop bereed, dat is 22 (ga a!). Het totaal aatal jare is 200. Dus de as op ee ogeluje met fatale afloop is 0,6. Dus λ = 0,6 dode per jaar. We gaa er va uit dat we hier te mae hebbe met ee Poissoverdelig. Tabel 2 Bereede ase P(X=) 0 0,543 0,33 2 0,0 3 0,02 4 0,003 >5 0,000 Opgave 3 I ee medische hulpcetrum heeft me bijgehoude hoeveel cliëte zich i ee weeed melde voor eerste hulp bij ogelue. Beree de theoretische aatalle i het geval je hier te mae zou hebbe met ee Poissoverdelig. I hoeverre ome beide frequeties overee? aatal frequetie

7 Hoofdstu 4 - verjaardagsprobleme Bij het afleide va de Poissoverdelig zij we uitgegaa va ee speciaal geval va de biomiale verdelig. Bij de biomiale verdelig ga je er va uit dat de verschillede uitvoerige va het asexperimet oafhaelij va elaar zij. Verrassed geoeg blijt de Poissoverdelig oo og heel bruibaar bij asprobleme waarbij de verschillede experimete iet helemaal oafhaelij va elaar zij. Opgave 4 Ee roeg heeft 26 stamgaste. Beree exact de as dat er miimaal twee gaste op dezelfde dag jarig zij. Poisso beaderig va het verjaardagsprobleem Je ut zo as als bij het verjaardagsprobleem (e adere asprobleme) oo beadere met de Poissoverdelig. Je ut het experimet opvatte als ee rees deelexperimete. Je iest steeds ee persoo uit de groep e ijt of er iemad aders is die op dezelfde dag jarig is. De as dat er iemad op dezelfde dag jarig is is gelij aa. Dat doe je vervolges voor alle mogelij tweetalle die je a mae. Het totaal aatal mogelije tweetalle i ee groep va m persoe is gelij aa 2. ( ) m m! m m m m m 2 = 2! ( m 2 )! = m 2 = 2 = 2 ( ) Dus bij ee groep va bijvoorbeeld 26 persoe zij er 325 mogelije tweetalle. El met ee as va. De verwachtigswaarde is ogeveer 0,89. Je ut de asverdelig da beadere met de Poissoverdelig met λ = 0,89. 0,89 0,89 P(X = ) = e! P(X=0) is da de as dat er iet ee tweetal op dezelfde dag jarig is. 0 0,89 0,89 0,89 P(X = 0) = e = e 0,40 0! De as dat er miimaal 2 persoe op dezelfde dag jarig zij is ogeveer gelij aa 0,590. Dat is ee opmerelij goede beaderig als je dat vergelijt met het exacte atwoord va opgave 4. Maar t is ee beaderig. De deelexperimete zij iet oafhaelij va elaar. We hebbe u gedaa alsof dat wel zo is. Het aatal geboortedage is echter groot, zodat we die afhaelijheid licht op ue vatte. De ust is u om het verjaardagsprobleem i allerlei adere situaties te heree e te otdee wat de geboortedage e wat de persoe zij. Het aatal mogelije geboortedage moet wel voldoede groot zij voor ee goede beaderig met de Poissoverdelig. 7

8 Opgave 5 Stel dat je met je vried de weddeschap afsluit dat va de eerstvolgede vijftie auto's die lagsome temiste twee auto's ummerborde met twee gelije eidcijfers hebbe. Wat is de as dat je wit? Beree zowel de exacte waarde va de as als de Poisso beaderigswaarde. 2 Opgave 6 Wat is de as dat bij 0 draaiige va het roulettewiel het balletje twee of meer eer op eezelfde getal valt? Bij Europees roulette valt het balletje op éé va de getalle 0,,, 36. Beree zowel de exacte waarde als de Poisso beaderigswaarde. 3 Het bija-verjaardagsprobleem Het probleem luidt als volgt 4 : Wat is de as dat i ee willeeurig gevormde groep va m persoe twee of meer persoe bie éé dag va elaar jarig zij? Ee exacte oplossig is iet zo eevoudig, maar met de Poisso beaderig is het goed te doe. We hebbe og steeds te mae met deelexperimete. De as op ee deelexperimet met 2 succes is gelij aa. Er geldt: = 2 = Hoofdstu 5 - het deputeprobleem Voorbeeld Op ee discofeest gooit iedere maelije bezoeer bij bieomst zij baseballpet op ee hoop i ee hoe e pat bij vertre zoder te ije ee pet va de hoop. Wat zou u de as zij dat temiste éé bezoeer met zij eige pet weggaat 5? Het deputeprobleem Neem ees aa dat je 0 foto s va presidete va de Vereigde State hebt e 0 aambordjes met de ame. Je hagt de aambordjes willeeurig bij de foto s. Wat zou da de verwachtigswaarde zij va het aatal goede ame bij de goede presidet? Heel grof gezegd zou je ue zegge dat de as dat ee bordje goed hagt gelij is aa. Je voert dit experimet 0 eer uit, dus de verwachtigswaarde is 0=. Dat lopt atuurlij iet wat de verschillede deelexperimete zij iet oafhaelij, maar als m maar voldoede groot is da lopt het aardig. Gezie het bovestaade ligt het voor de had om deputprobleme te beadere met de Poissoverdelig met λ =. 2 Uit Poisso, de Pruise e de lotto - Epsilo uitgave 3 Uit Poisso, de Pruise e de lotto - Epsilo uitgave 4 Uit Poisso, de Pruise e de lotto - Epsilo uitgave 5 Uit Poisso, de Pruise e de lotto - Epsilo uitgave 8

9 I hoofdstu 5 va Poisso, de Pruise e de Lotto a je aleze hoe dat zo wert. Keelij maat het iet uit of je u 0 of foto s hebt. I het boeje las i dat vaaf =0 de exacte waarde va de ase e de beaderigswaarde met de Poissoverdelig i 8 of meer decimale overee blije te stemme. Opgave 7 Ee docet heeft ee diagostische toets gemaat waarbij ee leerlig bij 0 gegeve vergelijige e oplossige de juiste oplossig bij de juiste vergelijig moet zette. a. Als de leerlig de oplossige willeeurig bij de vergelijige zet beree da de as i 3 decimale dat er gee eele oplossig bij de goede vergelijig staat. b. Beree de as i 3 decimale op miimaal 3 goed als ee leerlig de oplossige willeeurig bij de vergelijige zet. c. Ee leerlig die de oefeig maat heeft 6 opgave goed gemaat. De docet det dat deze leerlig gegot heeft. Vid je dat terecht? Opgave 8 Voor wisudestudete wordt ees per jaar ee werwer (Wiswee) georgaiseerd. De orgaisatie vraagt aa alle tachtig studete om éé cd-tje mee te eme met hu lieveligsmuzie. Overdag e 's avods wordt er muzie gedraaid. Maar het is iet verstadig om 's achts de cd's te late ligge i de ope atie, dus voor het aar bed gaa pat iederee willeeurig ee cd om die de volgede dag weer af te geve. a. Beree de as dat gee eele studet zij eige cd heeft gepat. b. Beree de as dat twee of meer studete hu eige cd hebbe gepat. De Wiswee duurt drie dage e achte. c. Beree de as dat er tijdes de Wiswee ee avod was dat temiste éé studet zij eige cd heeft gepat. EINDE Literatuur: Poisso, de Pruise e de lotto De Poisso verdelig e haar toepassige He Tijms, Fra Heierma e Rei Nobel Epsilo Uitgave i samewerig met de Nederladse Vereigig va Wisudelerare Utrecht, 2000 Zebrarees 9

10 Uitwerige va de opgave. Opgave a. X: aatal weeffoute per rol X~ Poissoverdeeld met λ = P(X 2) = P(X ) 0,736 = 0,264 b. P(A waliteit) = 0,736 X: aatal rolle met A-waliteit X~ biomiaal verdeeld met =40 e p=0,736 P(X 30) = P(X 29) 0,499 = 0,50 Opgave 2 a. X:aatal telefootjes per uur X~Poissoverdeeld met λ = 0 P(X > 5) = P(X 5) 0,95 = 0,049 b. X:aatal telefootjes per uur X~Poissoverdeeld met λ = 0 P(X < 5) = P(X 4) 0,029. c. Neem 0 λ = = 2 e beree P(X = 0) = 0, Opgave 3 a. aatal frequetie aatal freq bereed theoretisch , , , , , , , λ= 3,88 b. De frequeties ome aardig overee, met uitzoderig va =3. Voor de rest lijt het aardig te loppe. 0

11 Opgave 4 Beree de as dat iederee op ee adere datum jarig is e eem de complemetaire as P(iemad) = ( 365) 26 P(iemad) = 0, P(miimaal2opdag) 0,408 = 0,5982 Opgave 5 Exact: ( 00) 5 P(allemaal verschilled)= 0, P(mistes twee dezelfde) 0,33 = 0,669 Beaderd met de Poissoverdelig: λ = m ( m ) em = 5 λ =,05 2 0,05,05,05 P(X = 0) = e = e 0,350 0! Gevraagde as is 0,650 Opgave 6 P(mistes 2 dezelfde) = P(allemaal verschilled) ( 37) P(allemaal verschilled) = 0 0, P(mistes 2 dezelfde) 0,737 m( m ) 0 9 λ = 2 = 2 =,26 37 P(mistes 2 dezelfde) = e.26 0,704 Opgave 8 Dit is ee deputeprobleem, dus λ =. We gaa beadere met de Poissoverdelig. a. X:aatalgoed X ~ Poissoverdeeld met λ = P(X = 0) = 0,368 6 Exact? Hier

12 b. X:aatalgoed X ~ Poissoverdeeld met λ = P(X 3) = P(X 2) 0,920 = 0,080 c. H : µ = 0 H : µ > OderH geldt:p(x 6) = P(X 5) 0,999 = 0,00 0 Dit is veel leier da 0,05. We verwerpe H 0 e eme Haa. De leerlig heeft (waarschijlij) iet gegot. De docet heeft ogelij. Opgave 9 a. Biomiale verdelig met p = /80 e = 80, dus µ = p = We gaa de Poissoverdelig gebruie met λ = P(X = 0) = e - = 0, ,3679 b. P(X 2) = - P(X = 0) - P(X = ) = 0, ,2642 c. Dit is ee ieuwe biomiale verdelig met = 3 e als alteratief: A = iemad heeft zij eige cd gepat met as p = e - 0,3679 (zie vraag a) B= éé of meer studete hebbe hu eige cd met as q = - p Stochast Y telt het aatal avode dat iemad zij eige cd pat P(ee avod, temiste..) = P(Y < 3)= - P(Y =3)= - (e - ) 3 = - 0,04978= 0, ,9502 2