WP4: Data-integratie services in GIS

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "WP4: Data-integratie services in GIS"

Transcriptie

1 Faculteit Toegepaste Wetenschappen Vakgroep Telecommunicatie en Informatieverwerking idas: Intelligente Data-integratie Services voor Actualisatie van Spatiale data WP4: Data-integratie services in GIS Voortgangsrapport September 2007 Niels Charlier Sidharta Gautama Rik Bellens

2 Hoofdstuk 1 Inleiding 1.1 Probleem- en doelstelling De belangrijkste stap in het voortdurende proces van actualisatie van Geografische Informatie Systemen, zoals de GRB-data, is het detecteren van veranderingen en fouten; in een ruimere bewoording het meten van de kwaliteit van de data. Het automatiseren van deze detectie of kwaliteitsmeting is geen gemakkelijke opdracht. De centrale vraag in dit project is: op welke manier kan beeldinformatie gebruikt worden om op een betrouwbare manier uitspraken te maken over spatiale kwaliteit van een GIS dataset? De informatie in beelddata biedt potentieel voor automatische veranderingsdetectie. Automatische beeldanalysetechnieken leveren echter geen zuivere beschrijving van de beeldinformatie. Hierbij duiken verschillende problemen op die deze technieken niet volledig betrouwbaar maken. Deze problemen staan nader beschreven in sectie 1.3. Samengevat beoogt het idas-project de praktische implementatie van automatische kwaliteitsmeting en veranderingsdetectie van GRB-objecten op basis van beelddata en derivate producten. Het project bevat twee aspecten waaronder 5 werkpakketten: 1. Definitie en implementatie van een kwaliteitsrapport voor spatiale data Hoe kunnen verschillende aspecten van spatiale kwaliteit in GIS-data gedefinieerd en gemeten worden? WP 1: Definitie van absolute en relatieve spatiale kwaliteit WP 2: GIS-implementatie voor het meten van spatiale kwaliteit 2. Definitie en implementatie van een GIS-signaalfunctie op basis van beelddata Hoe kan beeldinformatie gebruikt worden om op een betrouwbare manier een rapportering te maken over spatiale kwaliteit van GIS-data WP 3: Informatiekarakterisatie van beeldclassificatie WP 4: Data-integratie services in GIS WP 5: Analyse van databronnen voor actualisatie van GRB-objecten 1

3 Dit werkpakket: Data-integratie services in GIS maakt dus deel uit van het tweede aspect. De doelstellingen hiervan zijn om een aantal operatoren te definiëren die voldoen aan de volgende voorwaarden: - De operatoren zijn in staat een raster/vector vergelijking te doen, zodanig dat beeldinformatie kan geïntegreerd worden bij het genereren van een kwaliteitsrapport; - Er wordt vertrokken van GIS-operatoren voor kwaliteitsmeting uit WP1 en WP2; - Zeer belangrijk hierbij is dat de gebruiker feedback krijgt over de betrouwbaarheid van het antwoord op de GIS-query. We kunnen dus stellen dat het de bedoeling is, gegeven de informatie uit de beeldclassificatie zoals die geoptimaliseerd is in WP3 als input data en gekoppeld is aan informatie over de betrouwbaarheid hiervan, een gefundeerde stelling te doen over de kwaliteit van de vectoriële data; waarbij de betrouwbaarheid van de input data wordt gepropageerd en mee geïntegreerd wordt in het eindresultaat. 1.2 Opbouw van het rapport Het rapport begint met een algemene inleiding waarin het probleem en de doelen van het project en de plaats van dit werkpakket in dit project geschetst wordt. In de volgende sectie gaan we dieper in op de probleemstelling van dit werkpakket. In hoofdstuk 2 zullen we een theoretisch kader scheppen dat nodig is voor de rest van dit rapport. Hierin worden de fundamenten van vaagverzamelingen uitgelegd en de toepassing die ze kan hebben op geografische informatiesystemen (vaaggebieden); deze theorie wordt vervolgens gebruikt om een aantal GIS-operatoren uit te breiden. In hoofdstuk drie wordt de modellering van de de geclassificeerde beelddata en hun imperfectie besproken en een concrete toepassing uitgewerkt om betrouwbare kwaliteitsmeting en veranderingsdetectie uit te voeren. In hoofdstuk vier wordt dit concreet toegepast op data uit het testgebied. Tot slot wordt de stand van zaken bekeken en de zaken die nog moeten gedaan worden opgesomd. 1.3 Imperfecties in de beeldclassificatie In Werkpakket 1 worden een aantal kwaliteitsmaten formeel gedefinieerd en besproken. Deze zijn grotendeels bedoeld om vector/vector vergelijkingen uit te voeren. Zoals reeds eerder vermeld is het in de eerste plaats de bedoeling een aantal operatoren voor kwaliteitsmeting te definiren die het toelaten om een vector/raster vergelijking uit te voeren. Het gaat echter verder dan dit. In werkpakket 3 werd er gewerkt aan een optimale classificatie van de beelddata, die zo betrouwbaar mogelijk informatie biedt over de werkelijkheid. Deze classificaties worden als input gebruikt om de vergelijking met de vectoriële data te maken. Er blijven echter significante problemen van onbetrouwbaarheid in de beeldclassificaties bestaan. 2

4 Er zijn twee oorzaken voor imperfecties in de beeldclassificatie: misclassificatie (waarbij een cel in het raster een verkeerde klasse toegewezen krijgt) en ontbrekende informatie (waarbij de klasse van een cel onbekend is). Drie belangrijke fenomenen duiken hierdoor op: * Verplaatsing: De positie maar ook de vorm en grootte van objecten worden vervormd. Een mogelijke oorzaak is bijvoorbeeld een schaduw die als deel van het object wordt gezien. * Fragmentatie: Een object wordt gefragmenteerd in verschillende delen, doordat delen van het object ontbreken. Dit kan bijvoorbeeld veroorzaakt worden door een overweg die niet als deel van de weg wordt beschouwd. * Ruis: Verschillende pixels in de omgeving van het object worden valselijk beschouwd als een deel van het object. Verplaatsing en ruis ontstaan door misclassificatie, fragmentatie kan zowel door misclassificatie als ontbrekende informatie veroorzaakt worden. Er moet op gewezen worden dat dit probleem niet evident is. In het verleden is er men bij theorien omtrent meting van kwaliteit er immers steeds vanuit gegaan dat men dit doet aan de hand van een referentie waarvan de kwaliteit hoog genoeg is om als een perfecte representatie van de werkelijkheid door te gaan, of toch ten minste een significant hogere kwaliteit dan de data die men wil testen. In dit geval willen we echter de kwaliteit van data testen aan de hand van een referentie die zelf per definitie imperfect is. De kwaliteit van de rasterdata kan mogelijks zelfs slechter zijn dan de kwaliteit van de vectorile data. Toch kunnen zij eventueel potentiëel bieden om fouten en veranderingen te detecteren. In de eerste plaats zullen wij ons dus moeten richten op de voorstelling van de rasterdata en zijn inherente onbetrouwbaarheid. We willen onze kennis zo natuurgetrouw modelleren, dat wil zeggen: representeren wat we weten alsook wat we niet weten en in welke mate we er zeker van zijn. Zo zal die kennis over betrouwbaarheid gepropageerd wordt naar de conclusies die uit deze data voortkomen. In een sterk vereenvoudigde beschouwing kunnen we stellen dat er drie mogelijke scherpe antwoorden zijn op een kwaliteitsmeting: 1. De kwaliteit van het testgebied is voldoende 2. De kwaliteit van het testgebied is onvoldoende 3. De kwaliteit van het testgebied is onbekend omwille van de onbetrouwbaarheid van de classificatie Tot slot nog n opmerking. Omdat vectorile data gemakkelijk kan omgezet worden naar een rastervorm, kunnen operatoren die raster/raster vergelijkingen doen zonder problemen gebruikt worden om vector/raster vergelijkingen te doen. En aangezien raster/raster vergelijking theoretisch gemakkelijker uit te werken zijn omdat zij vertrekken van dezelfde soort data, zal ik voor de rest van dit rapport uitgaan van een raster/raster vergelijking. 3

5 Hoofdstuk 2 Vage gebieden en operatoren 2.1 Inleiding op de vaagverzamelingleer De vaagverzamelingenleer werd het eerst geintroduceerd door Zadeh [13]. Een traditionele verzameling (of scherpe verzameling) is gekoppeld aan een booleaanse lidmaatschapsfunctie. Dat wil zeggen dat ieder mogelijk element ofwel tot de verzameling behoort, ofwel niet. De vaagverzameling generaliseert deze definitie, door aan ieder element een lidmaatschapsgraad te koppelen, een getal uit het interval [0, 1] die bepaalt in welke mate het element tot de verzameling behoort. De lidmaatschapsgraad van de verzameling Ṽ kan dan als volgt formeel voorgesteld worden: µ ev : U [0, 1] U wordt het universum genoemd, dat is de verzameling van alle mogelijke elementen. Wanneer de lidmaatschapsgraad 0 is, behoort het element niet tot de verzameling. Wanneer de lidmaatschapsgraad 1 is, behoort het element volledig tot de verzameling. Wanneer de lidmaatschapsgraad ergens daartussen is, behoort het element gedeeltelijk tot verzameling, waarin de grootte van het getal de mate aanduidt waarin het element tot de verzameling behoort. De vaagverzameling wordt dan formeel vaak als een verzameling van koppels voorgesteld: Ṽ {(x, µ(x)) µ ev (x) > 0} De verzameling van alle vaagverzamelingen over het universum U word genoteerd als (U) (de vage machtsverzameling over U). Een genormaliseerde vaagverzameling is een vaagverzameling waarbij minstens n element lidmaatschapsgraad 1 heeft. Een alpha-cut van een vaagverzameling is als volgt gedefiniëerd: Ṽ α = {x µ ev (x) α} De drager (support) supp(ṽ ) en kern (core) core(ṽ ) van een vaagverzameling worden als volgt gedefinieerd: supp(ṽ ) {x x U µ e V > 0} 4

6 core(ṽ ) {x x U µ e V = 1} Het complement van eeen vaagverzameling is als volgt gedefinieerd: comp(ṽ ) {(x, 1 µ(x)) µ V (x) < 1} De doorsnede en unie van twee vaagverzamelingen Ṽ1 en Ṽ1 worden als volgt gedefinieerd: Ṽ 1 Ṽ2 {(x, i(µ fv1 (x), µ fv2 (x)) i(µ fv1 (x), µ fv2 (x)) > 0} Ṽ 1 Ṽ2 {(x, u(µ fv1 (x), µ fv2 (x)) u(µ fv1 (x), µ fv2 (x)) > 0} Waarbij de functies i : [0, 1] [0, 1] [0, 1] en u : [0, 1] [0, 1] [0, 1] respectievelijk de t-norm en de t-conorm genoemd worden. Een t-norm correspondeert met de en -operator uit de booleaanse logica, en moet voldoen aan de volgende axioma s: a [0, 1] : i(a, 1) = a (randvoorwaarde) a, b, d [0, 1] : b d i(a, b) i(a, d) (monotoniteit) a, b [0, 1] : i(a, b) = i(b, a) (commutativiteit) a, b, d [0, 1] : i(a, i(b, d)) = i(i(a, b), d) (associativiteit) Een t-conorm correspondeert met de of -operator uit de booleaanse logica, en moet voldoen aan de volgende axioma s: a [0, 1] : u(a, 0) = a (randvoorwaarde) a, b, d [0, 1] : b d u(a, b) u(a, d) (monotoniteit) a, b [0, 1] : u(a, b) = u(b, a) (commutativiteit) a, b, d [0, 1] : u(a, u(b, d)) = u(u(a, b), d) (associativiteit) Verder geldt er dat i(a, b) = 1 u(1 a, 1 b) (2.1) wat correspondeert met de wetten van de Morgan uit de booleaanse logica. Hierdoor bestaat er voor elke t-norm een corresponderende t-conorm. De t-norm en t-conorm van Zadeh zijn als volgt gedefinieerd: i Z (a, b) = min(a, b) u Z (a, b) = max(a, b) Zij worden ook de standaard t-norm en t-conorm genoemd. Er kan bewezen worden dat zij respectievelijk een bovengrens en ondergrens voor alle andere t-normen en t-conormen zijn. 5

7 Voor een vaagverzameling kan ook een scalaire cardinaliteit gedefinieerd worden. Die is, wanneer Ṽ een discrete lidmaatschapsfunctie heeft: card(v ) x U µ ev (x) (2.2) Wanneer Ṽ echter een continue lidmaatschapsfunctie heeft wordt die: card(v ) µ ev (x) (2.3) 2.2 Vage gebieden en vage rasters Geometrische figuren in een bepaalde ruimte worden traditioneel gerepresenteerd door de verzameling van punten die tot deze figuur behoren. Dit is een deelverzameling van de verzameling van alle punten die tot de beschouwde ruimte behoren. Deze verzameling zal gedefinieerd zijn aan de hand wijze waarop locaties uitgedrukt worden. Doorgaans wordt dit gedaan met een Cartesiaans cordinatensysteem dat gedefinieerd is door n assen voor een n-dimensionale ruimte. Dus, de figuur is dan gedefinieerd door een verzameling G R n. De locatie en vorm van gebieden op een tweedimensionale kaart kunnen op deze manier voorgesteld worden. Een vaaggebied is een eenvoudige uitbreiding van dit concept naar een vaagverzameling G over het universum R 2. Een vaaggebied heeft geen scherpe afgelijnde grenzen, maar eerder vage grenzen. Vaaggebieden vindt men in de literatuur meermaals terug [6], het meest uitgebreid worden zij besproken in [12]. Zie ook een illustratie uit dit werk in figuur 2.1. U Figuur 2.1: Een visuele voorstelling van een vaag gebied Ã, waarbij tinten van grijs de lidmaatschapsgraden aanduiden (1 als volledig zwart, 0 als volledig wit). Voor de duidelijkheid is er een grijze lijn rond het vaag gebied getrokken. Bovendien wordt als illustratie de lidmaatschapsgraden van de punten op een rechte door het gebied voorgesteld op een grafiek. 6

8 Voor een computervoorstelling van het object moet de verzameling van mogelijke locaties wel gediscretizeerd worden naar een raster van m n cellen. Een gebied G kan dan voorgesteld worden als G N n N m waar N a staat voor de verzameling van natuurlijke getallen in het interval [0, a]. Een rasterkaart specifieert voor iedere cel in een raster een aantal attributen. Formeel kan elk attribuut voorgesteld worden door een functie We beperken ons hier tot de vorm en locatie van objecten, waardoor we uiteraard slechts n booleaans attribuut nodig hebben, de lidmaatschap van de cel tot het object. Om een vaaggebied in een raster voor te stellen hoeven de attribuutverzameling van dit enige attribuut alleen maar uitbreiden naar het interval [0, 1], als representatie van de lidmaatschapsfunctie. We zullen in de rest van het hoofdstuk de ruimte van locaties voorstellen als de verzameling U. In het geval van een m n raster is U = N n N m maar de definities zijn in principe algemeen toepasbaar. 2.3 Vage Buffering Een buffer is een GIS-operator die een gebied uitbreid in een zekere mate. Een gangbare definitie voor een buffer is: het gebufferd gebied is de verzameling van alle punten die zich binnen een zekere afstand d van het oorspronkelijk gebied bevinden. Uiteraard is dit een scherpe definitie die toegepast wordt op scherpe gebieden. Een vage bufferoperatie zal echter moeten: 1. Kunnen inwerken op vage gebieden (en dus ook op scherpe gebieden); 2. Een gebied met vage grenzen resulteren. De bufferoperatie wordt formeel voorgesteld als BUF F ER : (U) (U) In [7] stelt Guesgen een vage bufferoperatie voor een vaag raster voor. Deze bufferoperatie kan samengevat worden aan de hand van de volgende definitie: Voor elk vaag gebied: G (U): µ BUF F ER( e F ) (l) max l 0 U {ψ(µ e F (l 0 ), δ(l, l 0 ))} De definitie gebruikt een afstandsfunctie δ(l, l 0 ) : U U R tussen twee locaties in U. In een raster gebruiken we δ((x, y), (x 0, y 0 )) max( x x 0, y y 0 ), dit is het aantal cellen om van cel l naar l 0 te gaan, waarbij men cellen met tenminste n hoek gemeenschappelijk als buren beschouwd. De bufferfunctie ψ : [0, 1] N [0, 1] beeldt de lidmaatschapsgraad van een bronlocatie l 0 en de afstand tussen de twee cellen af op de nieuwe lidmaatschapsgraad van de bestemmingslocatie l. Ze is monotonisch stijgend in z n eerste argument en monotonisch dalend in z n tweede argument, wat betekent dat cellen met een hogere lidmaatschapgraad een grotere invloed hebben en dat cellen die veraf zijn een lagere invloed hebben, wat strookt met de intuïtie. Ook moet het voldoen aan de conditie ψ(m, d) m and d 2 = d 1 + d 0 ψ(m, d 2 ) ψ(ψ(m, d 1 ), d 0 ). Deze condities creert het fading out effect dat we beogen met de buffer. Als voorbeeld van een bufferfunctie stelt Guesgen ψ(m, d) m 1+d voor. 7

9 Onze nieuwe benadering herdefinieert de buffer operatie als volgt: µ BUF F ER( F e ) (l) U {µ ef (l 0 )µ eb (δ(l, l 0 ))} l0 U waar U de gegeneraliseerde t-conorm is: U{a 1, a 2...a n } u(a 1, u(a 2, u(..., u(a n )))) (2.4) en waar B een strikt dalende, genormaliseerde vaagverzameling over het universum R is die staat voor een vage representatie van de buffergrootte. Enerzijds werd de max operator uit Guesgen s defenitie dus gegeneraliseerd naar meer algemene een t-conorm. Het idee hierachter is dat de globale buffer wordt aanzien als de unie van de buffer van iedere cel. Wanneer men de t-conorm van Zadeh (het maximum) gebruikt, zal een sterkere buffer steeds een zwakkere buffer volledig overwinnen. Wanneer een andere t-conorm gebruikt wordt, zullen de twee buffers met elkaar gedeeltelijk samengevoegd worden. Dit effect is gedemonstreerd in figuur 2.2. Anderzijds werd de bufferfunctie van Guesgen gespecifiëerd als ψ(m, d) mµ eb (d). (a) (b) (c) Figuur 2.2: Twee cellen (a) niet gebufferd (b) vaag gebufferd (met Zadeh s t-conorm) and (c) vaag gebufferd met de t-conorm of Dubois u α D (a, b) = 1 met α [0, 1] (α = 0.90). (1 a)(1 b) max(1 a,1 b,α) Als t-conorm stellen we de t-conorm van Dubois voor. Die is als volgt gedefinieerd: u α (1 a)(1 b) D(a, b) = 1 met α [0, 1] max(1 a, 1 b, α) Deze t-conorm is gelijk aan de t-conorm van Zadeh wanneer α = 0 en is gelijk aan de probabilistische t-conorm u P (a, b) = a+b ab wanneer α = 1. Op deze manier geeft de parameter α de mate aan waarin buffer samengevoegd moeten worden. Wat hiervan het practische nut kan zijn zal in het volgende hoofdstuk duidelijk worden. Als lidmaatschapsgraad voor de vage buffergrootte stellen we de volgende functie voor: µ eb (x) = 1 λ x met λ > 1 Om de totale buffergrootte B te berekenen nemen we de cardinaliteit van de vaagverzameling B: B = card( B) = + 0 µ eb (x)dx 8

10 = = λ x dx 1 ln(λ) Hieruit kunnen wij afleiden dat λ = exp( 1 B ) Op deze manier kunnen we een scherpe buffergrootte fuzzifiëren (een scherpe waarde omzetten naar een vaagverzameling). We vatten de buffer operator nu samen als: { } µ BUF F ER α B ( F e ) (l) 1 Uα D µ ef (l 0 ) l 0 U exp( 1 (δ(l, l 0)) B )x 2.4 Kwaliteitsmaten Volledigheid Het kwaliteitsaspect volledigheid kan opgesplitst worden in twee soorten fouten: omissiefouten (ontbrekend gedeelte) en comissiefouten (het gedeelte dat teveel is). Stel dat T het gebied is waarvan we de kwaliteit willen testen en R de referentie die we hiervoor gebruiken. Dan definiëren we omissie voor vage rasterdata als volgt: OM : (U) (U) R OM : (U) (U) [0, 1] OM( T, R) card(compl( T ) R) OM( T, R) OM( T, R) card( R) OM is de absolute omissie en is uitgedrukt in aantal cellen. Merk dus op dat de grootte hiervan relatief is ten opzichte van de resolutie. OM is de genormaliseerde omissie en geeft steeds een waarde uit het interval [0, 1] terug, waarbij 0 geen omissie betekent en 1 volledige omissie (alles uit het referentiegebied ontbreekt in het testgebied). Comissie voor vage rasterdata definiëren we als volgt: COM : (U) (U) R COM : (U) (U) [0, 1] COM( T, R) card( T compl( R)) COM( T, R) COM( T, R) card( T ) Er wordt weer een onderscheid gemaakt tussen absolute comissie (COM) en genormaliseerd omissie. COM is de genormaliseerde comissie en geeft steeds 9

11 een waarde uit het interval [0, 1] terug, waarbij 0 geen omissie betekent en 1 volledige omissie (alles uit het onderzochte testgebied is niet aanwezig in het referentiegebied) Positionele nauwkeurigheid In WP1 worden als mogelijke kwaliteitsmaten voor (absolute) positionele nauwkeurigheid onder meer epsilon [10] [1] en proportionele epsilon [5] besproken. We zullen deze uitbreiden voor rasterdata en vaaggebieden. We gaan ervan uit dat de afstand tussen twee locaties δ(a, b) in het universum U gedefinieerd is. De afstand van om het even welke locatie l tot een scherp object X U wordt nu gedefinieerd als: δ : U (U) R δ(l, X) min δ(l, x) met X x X δ(l, ) 0 Stel dat T het gebied is waarvan we de kwaliteit willen testen en R de referentie die we hiervoor gebruiken. Dan definiëren we de epsilon-nauwkeurigheid als volgt: ε : (U) (U) R ε(t, R) max δ(x, R) x T Deze definitie is echter zeer afhankelijk van uitschieters. Wanneer we zoeken naar systematische fouten, willen we deze uitsluiten. De functie P beeldt een afstand d af op het deel van T dat binnen deze afstand ligt van R. P T,R : R [0, 1] P T,R (d) S{x T δ(x, R) d} S(T ) waarbij de functie S : (D) R een object op een grootte afbeeldt (wanneer de objecten eendimensionaal zijn zal dit lengte zijn, wanneer zij tweedimensionaal zijn, zal dit oppervlakte zijn; dit om compabiliteit met de vectoriële definitie van epsilon-nauwkeurigheid te behouden en deze uit te breiden). The proportionele epsilon ε p met p [0, 1] is gedefinieerd als ε p : (U) (U) R ε p (T, R) min P T,R (d) p d Men moet p dicht bij 1 kiezen, bijvoorbeeld 0.99, waardoor 1 procent van de punten van T die het verst van R liggen als uitschieters beschouwd worden. 10

12 Nu moeten de definities nog uitgebreid worden naar vaaggebieden. We beperken ons hier tot een vaag referentiegebied R. Hiervoor moeten we alleen maar de definitie van afstand uitbreiden: δ : U (Ũ) R δ(l, X) 1 0 δ(l, X α ) dα sup x µ ex (x) De definities voor epsilon is nu zo goed als analoog: ε(t, R) max δ(x, R) x X Ook de proportionele epsilon kan analoog gedefinieerd worden aan de hand van de functie P: P T, R : R [0, 1] P T, R(d) S{x T δ(x, R) d} S(T ) ε p : (U) (U) R ε p (T, R) min P T, R(d) p d 11

13 Hoofdstuk 3 Modellering van de classificatiedata 3.1 Inleiding tot de possibiliteitstheorie Possibiliteitstheorie is een theorie om onzekerheden te behandelen [3] [14], als alternatief voor de probabiliteitstheorie. De possibiliteitstheorie wilt de probabiliteitstheorie echter niet vervangen maar zal in andere situaties gebruikt worden. Probabiliteiten waren historisch gezien gebasseerd op frequenties en dus objectief, terwijl possibiliteiten altijd subjectief zijn en men er nooit een frequentie-gebasseerde interpretatie aan kan geven. Maar ook met subjectieve probabiliteiten is er een semantisch verschil. Daar waar probabiliteiten de zekerheid aangeven van bepaalde uitkomsten, geven possibiliteiten de mate van mogelijkheid aan van de uitkomsten. Dat wil zeggen dat verschillende uitkomsten die disjunctief voorkomen tegelijkertijd volledig mogelijk kunnen zijn. Onder een possibiliteitsdistributie van een veranderlijke X verstaan we elke U [0, 1] afbeelding π X, met U het universum waarin X waarden aanneemt, die voldoet aan x U : π X (x) = 1 Terwijl de normalisatievoorwaarde van probabileiten zegt dat de som van alle probabiliteiten van de mogelijke uitkomsten 1 is; moet bij possibiliteiten minstens één uitkomst volledig mogelijk zijn en dus een possibiliteit hebben van 1. Voor iedere gebeurtenis A U kunnen we nu zowel een possibiliteitsmaat als een neccesiteitsmaat definiëren: P os X (A) = sup π X (x) x A Nec X (A) = 1 P os X (A) Waarbij A het complement is van A ten opzichte van het universum U. De noodzakelijkheid van A is dus gelijk aan de mate waarin het niet mogelijk is dat de gebeurtenis A niet plaatsvindt. Wanneer de noodzakelijkheid gelijk is aan 1 is de gebeurtenis volledig zeker. 12

14 Een possibiliteitsdistributie kan worden voorgesteld als een genormaliseerde vaagverzameling Ṽ (U). Dan is dus π X(x) = µ ev (x). Een speciale toepassing van possibiliteitsdistributies is het gebruik van possibilistische waarheidswaarden of possibilistic truth values (PTV) [11] [2] ter uitbreiding van de tweewaardige logica. Deze stellen de mate van mogelijkheid dat een propositie waar is of vals is voor door een possibiliteitsdistributie over het booleaanse universum I = {T, F }. De possibilistische waarheidswaarde t(p) van een propositie p P is formeel gedefinieerd door middel van de functie t : P (I). De vaagverzameling stelt hier dus een possibiliteitsdistributie voor. {(T, 1)} betekent volledig waar, {(F, 1)} betekent volledig vals en {(T, 1), (F, 1)} betekent dan weer volledig onbekend. 3.2 Naar een possibilistisch model Vele beeldclassificatoren resulteren in eerste instantie voor iedere cel een probabiliteitsdistributie over de mogelijke klassen. Dit noemt men de softclassificatie. Hieruit wordt meestal voor iedere cel de klasse met de grootste probabiliteit gekozen, dit resulteert in de harde classificatie. Met onze nieuwe benadering opteren wij er echter voor om de soft-classificatie als beginpunt te nemen. Op deze manier behouden we immers informatie over de mate van zekerheid en precisie van de classificatie. En aangezien het immers in de bedoeling is, zo natuurgetrouw mogelijk onze kennis te modelleren, willen we deze informatie niet weggooien. Bij wijze van voorbeeld zullen we een classificatie in vier mogelijke klassen beschouwen: Wegbaan, Gebouw, Vegetatie en Grond. Stel dat we de kwaliteit van een straat willen meten, dan zijn we enkel genteresseerd in de klasse Wegbaan. Voor een bepaalde cel kan de beeldclassificator bijvoorbeeld de volgende probabiliteitsdistributie geven: P (W egbaan) = 0.40 P (Gebouw) = 0.20 P (V egetatie) = 0.20 P (Grond) = 0.20 We willen nu een maat van zekerheid vaststellen dat deze cel tot een straat behoort. Men zou kunnen voorstellen de probabiliteit P(Wegbaan) te gebruiken. De verdeling van de overige drie klassen interesseert ons in feite niet, en de kans dat de cel niet tot een straat behoort is de som ven deze probabiliteiten. Dit leid tot een tweevoudige probabiliteitsdistributie P (W egbaan) = 0.40 and P ( W egbaan) = P (Gebouw) + P (V egetatie) + P (Grond) = Dit leidt tot de conclusie dat het eerder aanneembaar is dat de cel niet tot een straat behoort, dan dat ze dit wel zou doen. Dit strookt echter niet met onze intuïtie, die ons zegt dat het eerder aanneembaar is dat de cel wel tot een straat behoort omdat zijn probabiliteit het grootst is. Het probabilistische model geeft dus een slechte representatie van onze kennis. Door de overige klassen bij elkaar op te tellen, verliezen we immers een belangrijk onderscheid. Stel dat we bijvoorbeeld een probabiliteit van 0.25 voor alle vier de klassen hebben. Dan wilt dit zeggen dat we eigenlijk niets weten over die cel. Hebben we echter 0.25 voor straat en 0.75 voor huis, dan weten we dat ze zeer waarschijnlijk tot een huis behoort en dus wellicht niet tot de straat. Dus ondanks het feit dat we enkel informatie over de klasse Wegbaan 13

15 willen behouden, willen we de verhouding tegenover de andere probabiliteiten niet verliezen. Om dit te bereiken, zouden we de probabiliteitsdistributie kunnen omzetten naar een possibiliteitsdistributie. Dit is semantisch verdedigbaar, omdat het hier om subjectieve probabiliteiten gaat die niet frequentie-gebasseerd zijn. Dit kan gebeuren volgens de volgende transformatie: P (X = x) π X (x) = max{p (X = y)} y Hierdoor krijgen we de volgende possibileitsdistributie: π(w egbaan) = 1 π(gebouw) = 0.5 π(v egetatie) = 0.5 π(grond) = 0.5 Dit wil zeggen dat het volledig mogelijk is dat de cel tot een straat behoort, maar slechts half zo mogelijk is dat de cel tot de klasse Gebouw, Vegetatie of Grond behoort. In possibiliteitstheory wordt disjunctie niet bereikt door optelling, maar door het maximum te nemen. Willen wij slechts informatie over de klasse Wegbaan, dan krijgen we: π(w egbaan) = P os({w egbaan}) = 1 π( W egbaan) = P os({huis, V egetatie, Grond}) = max{0.5, 0.5, 0.5} = 0.5 We kunnen dit ook schrijven in de vorm van een possibilistische waarheidswaarde: t(w egbaan) = {(T, 1), (F, 0.5)} Nu hebben we een perfecte representatie van onze kennis: het is het meest mogelijk dat de cel tot een straat behoord, maar toch ook half zo mogelijk dat de cel niet tot een straat behoord. Als alle klassen gelijk gedistribueerd waren, zouden we de onbekende PTV {(T, 1), (F, 1)} krijgen, heeft straat echter een probabiliteit van 1 of 0; dan krijgen we {(T, 1)} of {(F, 1)}, die een absolute zekerheid representeren. Wanneer wij aan iedere cel een PTV associeren, definiëert dit onze kennis over de klasse. Elementen kunnen dan zeker een straatcel zijn, zeker niet, volledig onbekend of wellicht iets tussen deze drie extremen. 3.3 Het vage egg/yolk model Het is echter niet evident om deze voorstellingswijze te interpreteren. Daarom willen we nog één stap verder gaan. Het egg-yolk model [8] is een model om imprecisie in the grenzen van een geografisch gebied toe te laten. Hierbij is een gebied voorgesteld als een paar van verzamelingen (L, U) waarbij L de ondergrens (de punten die noodzakelijk tot het gebied behoren) en U de bovengrens van het gebied (de punten die mogelijks tot het gebied behoren) is. Zij moeten dus per definitie voldoen aan de voorwaarde L U. Gevisualiseerd lijkt dit op een spiegelei, met L de dooier en de rest van U het eiwit. 14

16 Vaaggebieden worden echter aanzien als een veel beter alternatief voor het egg/yolk model omdat ze vage grenzen toelaat ( scrambled eggs ) [6]. Wij combineren echter beide theorien en stellen echter een zogenaamd vaag egg/yolk model voor. Deze hebben een vaaggebied als bovengrens en een vaaggebied als ondergrens. Hiervoor putten we uit de theorie van de tweevoudige vaagverzamelingen [4]. Dit is een paar van vaagverzamelingen ( L, Ũ) die voldoen aan de volgende conditie: supp( L) core(ũ) (3.1) De semantische interpretatie van een tweevoudige vaagverzameling kan als volgt voorgesteld worden, de tweevoudige vaagverzameling ( L C, ŨC) is een kennisrepresentatie van de klasse C met de volgende gelijkheden: µ euc (x) = P os(x C) µ elc (x) = Nec(x C) Met andere woorden geeft ŨC aan in welke mate cellen mogelijks tot C behoren en geeft L C aan in welke mate cellen noodzakelijk tot C behoren. Dit leidt ons tot een zeer eenvoudige afleiding uit de cel-ptv mapping: µ eu (x) = t(x C)(T ) µ el (x) = 1 t(x C)(F ) Merk op dat dat conditie (3.1) equivalent is met de normalisatieconditie van de PTV s. Andere vaaggebieden die we uit het model kunnen afleiden zijn COMP ( L(C)) die aangeeft in welke mate cellen mogelijks niet tot het gebied behoren, en COMP (Ũ(C)) die aangeeft in welke mate cellen onmogelijk tot het gebied behoren. Merk ook op dat supp( L) gelijk is aan de harde classificatie. In figuur 3.1 zie je een stuk van een straat in Sint-Denijs: een grondwaarheid en de vage ondergrens en de bovengrens geëxtraheerd van geclassificeerde beelddata zoals beschreven in deze sectie. De afbeelding was geclassificeerd met een neuraal netwerk. (a) (b) (c) (b) On- Figuur 3.1: Straat in Sint-Denijs. (a) Grondwaarheid van de straat dergrens van de straat (c) Bovengrens van de straat 3.4 Onbetrouwbaarheid van de classificatie We hebben een model van imperfectie opgebouwd voor de klassen. We hebben getoond hoe de onnauwkeurige grenzen van de klassen die teruggegeven 15

17 worden door de classificator hierin kunnen geïnterpreteerd worden. Niets is echter gezegd over de betrouwbaarheid van deze (onnauwkeurige) informatie. Betrouwbaarheid en nauwkeurigheid zijn immers twee orthogonale vormen van imperfectie in deze context [9]. Bijvoorbeeld, beschouw de uitspraak Jan is ongeveer 20 tot 25 jaar oud. Deze uitspraak is duidelijk onnauwkeurig, maar ze is misschien wel volledig betrouwbaarheid indien we zeker zijn dat ze juist is. Omgekeerd: Jan is precies 24 jaar oud is nauwkeurig maar kan eventueel onbetrouwbaar zijn. Toch kan tussen beide vormen van imperfectie geïnterageerd worden: als Jan is 22 jaar oud niet volledig betrouwbaar is, zal de statement Jan is ongeveer 20 tot 25 jaar oud meer betrouwbaar zijn [9]. In het geval van de classificatiedata hebben we te kampen met zowel onnauwkeurigheid als onbetrouwbaarheid. Deze onbetrouwbaarheid wordt gegeven door drie belangrijke factoren: verplaatsing, fragmentatie en ruis. Om deze problemen te overkomen zullen onze informatie nog dichter bij onze werkelijke kennis brengen. Dit zal resulteren in een grotere onnauwkeurigheid, maar beoogt een aanvaardbare betrouwbaarheid. Om meer tolerantie met betrekking tot deze problemen toe te laten, zullen de grenzen wijder uit elkaar getrokken worden. Dit zullen we doen met de BUFFER-operatie. Twee vaaggebieden zullen gebufferd worden: Ũ(C), de verzameling van wat mogelijks tot de klasse C behoort en COMP ( L(C)), de verzameling van wat mogelijks niet tot de klasse C behoort. Formeel: Ũ (C) = BUF F ER α B(Ũ(C)) COMP ( L (C)) = BUF F ER α (COMP ( L(C))) B De buffers moeten groot genoeg zijn om een betrouwbaarheid te hebben die aanvaardbaar is. Maar de buffers mogen niet tè groot zijn, want dit maakt de data onnauwkeuriger. De buffergrootte moet afhankelijk zijn van de performantie van de classificator, want die bepaalt de betrouwbaarheid. De spatiale betrouwbaarheid van de classificator kan gemeten worden aan de hand van de vage epsilon-maat. Formeel: B = E(ε p (Ũ(C), C)) B = E(ε p (COMP ( L(C)), C)) Het samenvoegen van buffers (α > 0) heeft een effect zowel op verplaatsing als fragmentatie en ruis. Hoe meer cellen met een hoge lidmaatschapsgraad geconcentreerd zijn in groep, hoe meer hun lidmaatschapsgraad zal stijgen. Dit betekent dat cellen die werkelijk tot een object behoren zullen stijgen in lidmaatschapsgraad. Cellen die zich eerder in het centrum van een object bevinden zullen een hogere lidmaatschapsgraad krijgen dan cellen op de rand van een object. Dit heeft zin, omdat verplaatsing moeilijk kan plaatsvinden in het centrum van een groot object. Ruis zijn cellen met een relatieve hoge lidmaatschapsgraad die verspreid zijn rond een object. Hun lidmaatschapsgraad zal significant minder stijgen dan de cellen van het object. Ruis dat ver verwijderd is van het object, zal zelf helemaal niet stijgen in lidmaatschapsgraad. Delen van het object die missen zullen echter een veel grotere lidmaatschapsgraad hebben. Dit zorgt ervoor dat gefragmenteerde objecten gedeeltelijk terug verbonden worden. 16

18 Deze effecten worden getoond voor een lineair object in figuur 3.2. Initieel hebben de cellen een lidmaatschapsgraad van 0.7, de ruis een lidmaatschapsgraad van 0.4. De lijn is gefragmenteerd in twee delen door een ontbrekend stuk. Een bufferoperatie is toegepast met α = Buiten het ruis dat het dichtst bij de lijn staat, is het ruis niet in lidmaatschapsgraad gestegen. De twee fragmenten zijn nu gedeeltelijk verbonden. Interessant om op te merken is dat het centrum van het ontbrekende stuk het ruis heeft voorbijgestoken met een lidmaatschapsgraad van Bij het bufferen van COMP ( L(C)) zal het omgekeerde effect ook precies zijn wat we willen: er zal eerder ruis verwijderd worden dan goede cellen. Het effect op de straat in Sint-Denijs wordt gedemonstreerd in figuur 3.3. We kunnen dus besluiten dat deze techniek de betrouwbaarheid verhoogt. Figuur 3.2: Een gefragmenteerde lijn gebufferd met α = 0.90 (a) (b) Figuur 3.3: Straat in Sint-Denijs gebufferd met α = (a) Ondergrens van de straat, het complement is gebufferd (c) Bovengrens van de straat, gebufferd. 3.5 Meten van kwaliteit We kunnen nu onze kwaliteitsmaten gaan toepassen op tweevoudige vaagverzamelingen. Voor elke van de drie kwaliteitsmaten zullen we een interval terugkrijgen, begrensd door een minimum en een maximum. Voor positionele nauwkeurigheid: min(ɛ p (T, C)) = ɛ p (T, Ũ(C)) max(ɛ p (T, C)) = ɛ p (T, L(C)) 17

19 Voor omissie: min(om(t, C)) = OM(T, Ũ(C)) max(om(t, C)) = OM(T, L(C)) De definities zijn analoog voor niet genormaliseerde omissie. Voor comissie: min(com(t, C)) = COM(T, L(C)) max(com(t, C)) = COM(T, Ũ(C)) De definities zijn analoog voor niet genormaliseerde comissie. Hoe betrouwbaarder en precies de classificatiedata is, hoe kleiner deze intervallen zullen zijn in het eindresultaat. Op een eenvoudige manier echter kunnen deze intervallen dikwijls leiden tot een betrouwbare conclusie over het feit of de kwaliteit al dan niet aanvaardbaar is. Dit kan door drempels op te stellen. Om de kwaliteit van een gebied met betrekking tot een bepaalde fout te verwerpen moet de het minimum van die fout een zekere drempel overschrijden. Omgekeerd, om de kwaliteit van een gebied met betrekking tot een bepaalde fout te aanvaarden moet het maximum van die fout onder een zekere drempel liggen. Wanneer de beide einden van het interval buiten deze drempels liggen, is het resultaat onzeker. Stel bijvoorbeeld dat, om aanvaardbaar te zijn, de omissie in geen geval groter mag zijn dan Dan zal een omissie interval van [0.25, 0.99] leiden tot de conclusie dat de kwaliteit niet aanvaardbaar is. Voor omissie en comissie zal normaal gezien de genormaliseerde maten gebruikt worden omdat die onafhankelijk van de resolutie zijn; de niet genormaliseerde zullen echter soms moeten dienen als test om foute conclusies bij randgevallen te vermijden. Stel dat het testgebied leeg is, en de grondwaarheid uit één pixel bestaat (eventueel door een kleine fout). Dan zal de genormaliseerd omissie 1 zijn (volledige omissie). Omdat de niet-genormaliseerde omissie duidelijk beneden een aanvaardbare drempel is (slechts één pixel) kunnen we besluiten dat de kwaliteit toch niet onaanvaardbaar hoeft te zijn. 18

20 Hoofdstuk 4 Toepassing op testgebied 4.1 Voorbeelden De methode werd toegepast op een aantal subsets uit het testgebied, aan de hand van de eerste classificatie uit WP3. Voor elk testgebied werd een grondwaarheid uitgetekend aan de hand van de beelddata. Deze beelddata werd dan ook geclassificeerd door de vakgroep Geografie van de VUB in vier klassen: wegbaan, grond, vegetatie en gebouwen. Er werd eerst een vegetatiemasker opgesteld. Vervolgens werd de rest geclassificeerd aan de hand van een neuraal netwerk. De drie kwaliteitsmaten werden enerzijds toegepast op de grondwaarheid, resulterend in n waarde; en anderzijds op de geclassificeerde data via het besproken model, resulterend in een interval. In figuur 4.1 ziet u het eerste testgebied met grondwaarheid. In figuur 4.2 ziet u dan de ondergrens en bovengrens zoals geextraheerd uit de classificatie. De ondergrens diende niet gebufferd te worden aangezien in dit geval B = 0 was. In tabel 4.1 ziet u dan de resultaten. Zoals u kan zien valt de echte waarde binnen het interval. Bovendien dient opgemerkt te worden dat uit de vergelijking met de classificatie alleen duidelijk kan afgeleid worden dat er een comissieprobleem is: die is immers minstens 0.57, wat nooit aanvaardbaar kan zijn. min max grondwaarheid OM COM ε Tabel 4.1: Kwaliteitsmaten Testgebied 1 In figuur 4.3 ziet u het eerste testgebied met grondwaarheid. Het rode gedeelte behoort niet tot de beschouwde ruimte. In figuur 4.4 ziet u dan de ondergrens en bovengrens zoals geextraheerd uit de classificatie. In tabel 4.2 ziet u dan de resultaten. In dit geval zien we dat er een verschuiving is, die hier echter minder duidelijk gedetecteerd wordt (De echte epsilon is 12 maar we hebben maar een 19

Uitgebreid eindwerkvoorstel Lokaliseren van personen en objecten met behulp van camera s

Uitgebreid eindwerkvoorstel Lokaliseren van personen en objecten met behulp van camera s Uitgebreid eindwerkvoorstel Lokaliseren van personen en objecten met behulp van camera s Sofie De Cooman 21 December 2006 Stagebedrijf: Interne begeleider: Externe begeleider: BarcoView Koen Van De Wiele

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Statistiek. Beschrijvend statistiek

Statistiek. Beschrijvend statistiek Statistiek Beschrijvend statistiek Verzameling van gegevens en beschrijvingen Populatie, steekproef Populatie = o de gehele groep ondervragen o parameter is een kerngetal Steekproef = o een onderdeel van

Nadere informatie

Computer Vision: Hoe Leer ik een Computer Zien?

Computer Vision: Hoe Leer ik een Computer Zien? Computer Vision: Hoe Leer ik een Computer Zien? Michael H.F. Wilkinson Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen Les voor technasium, 5 februari 2008 Informatica aan de RUG Informatica

Nadere informatie

In deze les. Het experiment. Hoe bereid je het voor? Een beetje wetenschapsfilosofie. Literatuuronderzoek (1) Het onderwerp.

In deze les. Het experiment. Hoe bereid je het voor? Een beetje wetenschapsfilosofie. Literatuuronderzoek (1) Het onderwerp. In deze les Het experiment Bart de Boer Hoe doe je een experiment? Hoe bereid je het voor? De probleemstelling Literatuuronderzoek Bedenken/kiezen experimentele opstelling Bedenken/kiezen analysevorm Hoe

Nadere informatie

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen

Nadere informatie

SPSS Introductiecursus. Sanne Hoeks Mattie Lenzen

SPSS Introductiecursus. Sanne Hoeks Mattie Lenzen SPSS Introductiecursus Sanne Hoeks Mattie Lenzen Statistiek, waarom? Doel van het onderzoek om nieuwe feiten van de werkelijkheid vast te stellen door middel van systematisch onderzoek en empirische verzamelen

Nadere informatie

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)

Nadere informatie

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/29754 holds various files of this Leiden University dissertation

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/29754 holds various files of this Leiden University dissertation Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/29754 holds various files of this Leiden University dissertation Author: Cao, Lu Title: Biological model representation and analysis Issue Date: 2014-11-20

Nadere informatie

HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE. 1. Inleiding

HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE. 1. Inleiding HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE IGNACE VAN DE WOESTYNE. Inleiding In zowel de theorie van het consumentengedrag als in de arbeidstheorie, beiden gesitueerd in

Nadere informatie

Oplossingen Datamining 2II15 Juni 2008

Oplossingen Datamining 2II15 Juni 2008 Oplossingen Datamining II1 Juni 008 1. (Associatieregels) (a) Zijn de volgende beweringen juist of fout? Geef een korte verklaring voor alle juiste beweringen en een tegenvoorbeeld voor alle foute be-weringen:

Nadere informatie

start -> id (k (f c s) (g s c)) -> k (f c s) (g s c) -> f c s -> s c

start -> id (k (f c s) (g s c)) -> k (f c s) (g s c) -> f c s -> s c Een Minimaal Formalisme om te Programmeren We hebben gezien dat Turing machines beschouwd kunnen worden als universele computers. D.w.z. dat iedere berekening met natuurlijke getallen die met een computer

Nadere informatie

Convexe Analyse en Optimalisering

Convexe Analyse en Optimalisering Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam and Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott.htm Overzicht Boek: Optimization: Insights and Applications,

Nadere informatie

Die inputs worden op een gecontroleerde manier aangeboden door (test) stubs. De test driver zorgt voor de uiteindelijke uitvoering ervan.

Die inputs worden op een gecontroleerde manier aangeboden door (test) stubs. De test driver zorgt voor de uiteindelijke uitvoering ervan. Nota: Schrijf je antwoorden kort en bondig in de daartoe voorziene velden. De puntenverdeling is 2 punten per theorie-vraag en 8 punten per oefening. Het totaal is 40. Vraag 1. Er bestaan verschillende

Nadere informatie

Normering en schaallengte

Normering en schaallengte Bron: www.citogroep.nl Welk cijfer krijg ik met mijn score? Als je weet welke score je ongeveer hebt gehaald, weet je nog niet welk cijfer je hebt. Voor het merendeel van de scores wordt het cijfer bepaald

Nadere informatie

n-queens minimale dominantie verzamelingen Chessboard Domination on Programmable Graphics Hardware door Nathan Cournik

n-queens minimale dominantie verzamelingen Chessboard Domination on Programmable Graphics Hardware door Nathan Cournik n-queens minimale dominantie verzamelingen Chessboard Domination on Programmable Graphics Hardware door Nathan Cournik Rick van der Zwet 4 augustus 2010 Samenvatting Dit schrijven zal

Nadere informatie

Tentamen Data Mining

Tentamen Data Mining Tentamen Data Mining Algemene Opmerkingen Dit is geen open boek tentamen, noch mogen er aantekeningen gebruikt worden. Laat bij het uitvoeren van berekeningen zien hoe je aan een antwoord gekomen bent.

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen Referentieniveaus uitgelegd De beschrijvingen zijn gebaseerd op het Referentiekader taal en rekenen'. In 'Referentieniveaus uitgelegd' zijn de niveaus voor de verschillende sectoren goed zichtbaar. Door

Nadere informatie

De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1)

De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1) De Afgeleide DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN GEGEVEN FUNCTIE y = f(x) = u is een andere functie genoteerd met y' die uit f'(x) wordt verkregen door toepassing van enkele basisformules. Zo is (u n ) =n.u n-1.u,

Nadere informatie

Domein A: Vaardigheden

Domein A: Vaardigheden Examenprogramma Wiskunde A havo Het eindexamen bestaat uit het centraal examen en het schoolexamen. Het examenprogramma bestaat uit de volgende domeinen: Domein A Vaardigheden Domein B Algebra en tellen

Nadere informatie

Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429)

Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) - een lijst met operationele en concrete doelen van de lessenserie, indien mogelijk gerelateerd

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Inleveren: Uiterlijk 15 februari voor 16.00 in mijn postvakje Afspraken Overleg is toegestaan, maar iedereen levert zijn eigen werk in. Overschrijven

Nadere informatie

Operationaliseren van variabelen (abstracte begrippen)

Operationaliseren van variabelen (abstracte begrippen) Operationaliseren van variabelen (abstracte begrippen) Tabel 1, schematisch overzicht van abstracte begrippen, variabelen, dimensies, indicatoren en items. (Voorbeeld is ontleend aan de masterscriptie

Nadere informatie

3 De stelling van Kleene

3 De stelling van Kleene 18 3 De stelling van Kleene Definitie 3.1 Een formele taal heet regulier als hij wordt herkend door een deterministische eindige automaat. Talen van de vorm L(r) met r een reguliere expressie noemen we

Nadere informatie

Toelichting bij de Korte Verhandeling van Spinoza Nummer 1

Toelichting bij de Korte Verhandeling van Spinoza Nummer 1 Toelichting bij de Korte Verhandeling van Spinoza Nummer 1 Deel 1, Hoofdstuk 1 - Dat er iets buiten ons bestaat. Rikus Koops 8 juni 2012 Versie 1.1 In de inleidende toelichting nummer 0 heb ik gesproken

Nadere informatie

Significante cijfers en meetonzekerheid

Significante cijfers en meetonzekerheid Inhoud Significante cijfers en meetonzekerheid... 2 Significante cijfers... 2 Wetenschappelijke notatie... 3 Meetonzekerheid... 3 Significante cijfers en meetonzekerheid... 4 Opgaven... 5 Opgave 1... 5

Nadere informatie

Proefopstelling Tekening van je opstelling en beschrijving van de uitvoering van de proef.

Proefopstelling Tekening van je opstelling en beschrijving van de uitvoering van de proef. Practicum 1: Meetonzekerheid in slingertijd Practicum uitgevoerd door: R.H.M. Willems Hoe nauwkeurig is een meting? Onderzoeksvragen Hoe groot is de slingertijd van een 70 cm lange slinger? Waardoor wordt

Nadere informatie

Het SET-spel, een toepassing op eindige meetkunde

Het SET-spel, een toepassing op eindige meetkunde Het SET-spel, een toepassing op eindige meetkunde Luc Van den Broeck 1 1 EDUGO campus De Toren, Oostakker ABSTRACT Het kaartspel SET, dat gespeeld wordt met 81 kaarten waarop verschillende geometrische

Nadere informatie

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8 Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (WS05), vrijdag 9 oktober 010, van 14.00 17.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3 Modelleren C Appels Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both 2 april 2010 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Probleembeschrijving 2 3 Data 3 4 Aanpak 3 5 Data-analyse 4 5.1 Data-analyse: per product.............................

Nadere informatie

Monte Carlo-analyses waarschijnlijkheids- en nauwkeurigheidsberekeningen van

Monte Carlo-analyses waarschijnlijkheids- en nauwkeurigheidsberekeningen van Waarom gebruiken we Monte Carlo analyses? Bert Brandts Monte Carlo-analyses waarschijnlijkheids- en nauwkeurigheidsberekeningen van gebeurtenissen kunnen een bruikbaar instrument zijn om de post Onvoorzien

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening juli 05 dr. Brenda Castelen Met dank aan: Atheneum van Veurne (http:www.natuurdigitaal.begeneeskundefsicawiskundewiskunde.htm),

Nadere informatie

Onderwijsbehoeften: - Korte instructie - Afhankelijk van de resultaten Test jezelf toevoegen Toepassing en Verdieping

Onderwijsbehoeften: - Korte instructie - Afhankelijk van de resultaten Test jezelf toevoegen Toepassing en Verdieping Verdiepend Basisarrange ment Naam leerlingen Groep BBL 1 Wiskunde Leertijd; 5 keer per week 45 minuten werken aan de basisdoelen. - 5 keer per week 45 minuten basisdoelen toepassen in verdiepende contexten.

Nadere informatie

[Hanssen, 2001] R F Hanssen. Radar Interferometry: Data Interpretation and Error Analysis. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 2001.

[Hanssen, 2001] R F Hanssen. Radar Interferometry: Data Interpretation and Error Analysis. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 2001. Hoe werkt het? Beeldvormende radar maakt het mogelijk om dag en nacht, ook in bewolkte omstandigheden, het aardoppervlak waar te nemen vanuit satellieten. De radar zendt duizenden pulsen per seconde uit,

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N460) op donderdag 23 juni 2011, 1400-1700 uur Deel 1: Van 1400 uur tot uiterlijk

Nadere informatie

Implementations of Tests on the Exogeneity of Selected Variables and Their Performance in Practice M. Pleus

Implementations of Tests on the Exogeneity of Selected Variables and Their Performance in Practice M. Pleus Implementations of Tests on the Exogeneity of Selected Variables and Their Performance in Practice M. Pleus Dat economie in essentie geen experimentele wetenschap is maakt de econometrie tot een onmisbaar

Nadere informatie

Digitale systemen. Hoofdstuk 6. 6.1 De digitale regelaar

Digitale systemen. Hoofdstuk 6. 6.1 De digitale regelaar Hoofdstuk 6 Digitale systemen Doelstellingen 1. Weten dat digitale systemen andere stabiliteitsvoorwaarden hebben In deze tijd van digitalisatie is het gebruik van computers in regelkringen alom.denk maar

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Hoofdstuk 21: Gegevens samenvatten

Hoofdstuk 21: Gegevens samenvatten Hoofdstuk 21: Gegevens samenvatten 21.0 Inleiding In Excel kunnen grote (en zelfs ook niet zo grote) tabellen met getallen en tekst er nogal intimiderend uitzien. Echter, Excel komt helemaal tot haar recht

Nadere informatie

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Het correcte antwoord wordt aangeduid door een sterretje. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Een derde van de mannen is

Nadere informatie

Foutenleer 1. dr. P.S. Peijzel

Foutenleer 1. dr. P.S. Peijzel Foutenleer 1 dr. P.S. Peijzel In dit hoofdstuk zal een inleiding in de foutenleer gegeven worden. Foutenleer is een onderdeel van statistiek dat gebruikt wordt om een uitspraak te kunnen doen over fouten

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Celverwijzingen

Hoofdstuk 11: Celverwijzingen Hoofdstuk 11: Celverwijzingen 11.0 Inleiding Cellen koppelen is waar het om draait in Excel. De inhoud van cellen kan worden gekoppeld met verwijzingen, genaamd een link, je kunt tekst of getallen manipuleren

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Alle opgaven tellen even zwaar, 10 punten per opgave.

Alle opgaven tellen even zwaar, 10 punten per opgave. WAT IS WISKUNDE (English version on the other side) Maandag 5 november 2012, 13.30 1.30 uur Gebruik voor iedere opgave een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer op elk vel. Alle opgaven tellen even

Nadere informatie

--- Top50orohydro- 381dpi --- PRODUCTSPECIFICATIE V3.0 (2011)

--- Top50orohydro- 381dpi --- PRODUCTSPECIFICATIE V3.0 (2011) --- Top50orohydro- 381dpi --- V3.0 (2011) PRODUCTSPECIFICATIE Pagina 1 van 10 Productspecificatie Top50orohydro- 381dpi V3.0 (2011) 1. OVERZICHT 1.1. Informatie over de opstelling van de productspecificatie

Nadere informatie

Heron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule

Heron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule Heron driehoek 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule = s(s a)(s b)(s c) met s = a + b + c 2 die gebruikt wordt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen in

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken

Nadere informatie

Kengetallen. E-5 MPR-Kwaliteit. Inleiding. MPR 24 uur. 4 Betekenis van MPR 24 uur

Kengetallen. E-5 MPR-Kwaliteit. Inleiding. MPR 24 uur. 4 Betekenis van MPR 24 uur Kengetallen E-5 MPR-Kwaliteit Inleiding Via Melkproductieregistratie (MPR) worden gegevens over de melk-, vet en eiwitproductie van de veestapel verzameld. Deze gegevens zijn de basis van managementinformatie

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september 203 - reeks - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 203: algemene feedback In totaal namen 245 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Keteininformatiemodellering op basis van UML

Keteininformatiemodellering op basis van UML Keteininformatiemodellering op basis van UML Richtlijnen en voorbeelden versie 0.1 Bert Dingemans Keteininformatiemodellering op basis van UML... 1 Richtlijnen en voorbeelden... 1 Inleiding... 2 Documenten...

Nadere informatie

Invloed van IT uitbesteding op bedrijfsvoering & IT aansluiting

Invloed van IT uitbesteding op bedrijfsvoering & IT aansluiting xvii Invloed van IT uitbesteding op bedrijfsvoering & IT aansluiting Samenvatting IT uitbesteding doet er niet toe vanuit het perspectief aansluiting tussen bedrijfsvoering en IT Dit proefschrift is het

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 1 INLEIDING 1 Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 Volg stap voor stap de tekst en los de vragen op. Bedoeling is dat je op het einde van de rit een verzorgd verslag afgeeft

Nadere informatie

Selecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1

Selecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1 Selecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1 (Woorden tussen haakjes en voetnoten zijn door de vertaler J.P.H. toegevoegd, en ook enkele Griekse worden die in het hedendaagse Engels voortleven.)

Nadere informatie

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt

Nadere informatie

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis)

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Verslag ten behoeve

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

HOVO statistiek November 2011 1

HOVO statistiek November 2011 1 Principale Componentenanalyse en hockeystick-short centring Principale Componentenanalyse bedacht door Karl Pearson in 1901 Peter Grünwald HOVO 31-10 2011 Stel we hebben een grote hoeveelheid data. Elk

Nadere informatie

Project Objectgericht Programmeren : Deel 3

Project Objectgericht Programmeren : Deel 3 Project Objectgericht Programmeren : Deel 3 Prof. Eric Steegmans Raoul Strackx Academiejaar 2010-2011 Deze tekst beschrijft het derde deel van de opgave voor het project van de cursus Objectgericht Programmeren.

Nadere informatie

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/32149 holds various files of this Leiden University dissertation.

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/32149 holds various files of this Leiden University dissertation. Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/32149 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Renema, Jelmer Jan Title: The physics of nanowire superconducting single-photon

Nadere informatie

Meerdimensionale schaaltechnieken

Meerdimensionale schaaltechnieken STATISTIEK IN WOORDEN Meerdimensionale schaaltechnieken Stel, je krijgt een afstandentabel waarin de onderlinge afstanden van 30 steden in een voor jou onbekend land staan aangegeven. Op grond van deze

Nadere informatie

Basiskennistoets wiskunde

Basiskennistoets wiskunde Lkr.: R. De Wever Geen rekendoos toegelaten Basiskennistoets wiskunde Klas: 6 WEWI 1 september 015 0 Vraag 1: Een lokaal extremum (minimum of maximum) wordt bereikt door een functie wanneer de eerste afgeleide

Nadere informatie

Uit De Ophaalbrug, werkmateriaal bij de overstap basisonderwijs voortgezet onderwijs, sept. 2003

Uit De Ophaalbrug, werkmateriaal bij de overstap basisonderwijs voortgezet onderwijs, sept. 2003 Uit De Ophaalbrug, werkmateriaal bij de overstap basisonderwijs voortgezet onderwijs, sept. 2003 REKENEN-WISKUNDE VERSLAG Samenstelling De BOVO-kwaliteitsgroep rekenen-wiskunde bestond uit: Sira Kamermans,

Nadere informatie

Kansrekenen: Beliefs & Bayes

Kansrekenen: Beliefs & Bayes Kansrekenen: Beliefs & Bayes L. Schomaker, juni 2001 Bereik van kansen 0 P (A) 1 (1) Kansen op valide en onvervulbare proposities P (W aar) = 1, P (Onwaar) = 0 (2) Somregel P (A B) = P (A) + P (B) P (A

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2013: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2013: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 1 juli 013 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 013: algemene feedback In totaal namen 61 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur die

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap 1 Rekenen met procenten, basispunten en procentpunten... 1 2 Werken met indexcijfers... 3 3 Grafieken maken en lezen... 5 4a Tweedegraads functie: de parabool...

Nadere informatie

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/20358 holds various files of this Leiden University dissertation.

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/20358 holds various files of this Leiden University dissertation. Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/20358 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Witsenburg, Tijn Title: Hybrid similarities : a method to insert relational information

Nadere informatie

Samenvatting De belangrijkste onderzoeksvraag waarop het werk in dit proefschrift een antwoord probeert te vinden, is welke typen taalkundige informatie het nuttigst zijn voor de lexicale desambiguatie

Nadere informatie

1 Inleiding in Functioneel Programmeren

1 Inleiding in Functioneel Programmeren 1 Inleiding in Functioneel Programmeren door Elroy Jumpertz 1.1 Inleiding Aangezien Informatica een populaire minor is voor wiskundestudenten, leek het mij nuttig om een stukje te schrijven over een onderwerp

Nadere informatie

De fotogrammetrie bij het NGI

De fotogrammetrie bij het NGI De fotogrammetrie bij het NGI 1. Inleiding De fotogrammetrie is de techniek die toelaat metingen te verrichten vanaf foto s (of volgens de ontwikkelingen gedurende de laatste jaren metingen te verrichten

Nadere informatie

De wortel uit min één. Jaap Top

De wortel uit min één. Jaap Top De wortel uit min één Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 20 maart 2007 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen

Nadere informatie

Elliptische krommen en hun topologische aspecten

Elliptische krommen en hun topologische aspecten Elliptische krommen en hun topologische aspecten René Pannekoek 25 januari 2011 Dit is een korte introductie tot elliptische krommen voor het bachelorseminarium van de Universiteit Leiden. De bespreking

Nadere informatie

OPDRACHTKAART. Thema: Multimedia/IT. Audio 4. Digitaliseren MM-02-10-01

OPDRACHTKAART. Thema: Multimedia/IT. Audio 4. Digitaliseren MM-02-10-01 OPDRACHTKAART MM-02-10-01 Digitaliseren Voorkennis: Je hebt Multimedia-opdrachten 1 tot en met 3 en audio-opdracht 1 t/m 3 (MM-02-03 t/m MM-02-09) afgerond. Intro: Geluid dat wij horen is een analoog signaal.

Nadere informatie

Qualitative Comparative Analysis (Systematische Kwalitatieve Vergelijkende Analyse)

Qualitative Comparative Analysis (Systematische Kwalitatieve Vergelijkende Analyse) Qualitative Comparative Analysis (Systematische Kwalitatieve Vergelijkende Analyse) Introductie tot techniek Stefan Verweij Lasse Gerrits Korte recapitulatie vorige week Logica van QCA: 1. Voorlopige theorie

Nadere informatie

1. Vectoren in R n. y-as

1. Vectoren in R n. y-as 1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale

Nadere informatie

Constructie der p-adische getallen

Constructie der p-adische getallen Constructie der p-adische getallen Pim van der Hoorn Marcel de Reus 4 februari 2008 Voorwoord Deze tekst is geschreven als opdracht bij de cursus Kaleidoscoop 2007 2008 aan de Universiteit Utrecht. De

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R - 229 - Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R Definitie: Een eerstegraadsfunctie in R is een functie met een voorschrift van de gedaante y = ax + b (met a R 0 en b R ) Voorbeeld 1: y = 2x Functiewaardetabel

Nadere informatie

INLEIDING TOT DE HOGERE WISKUNDE

INLEIDING TOT DE HOGERE WISKUNDE INLEIING TOT E HOGERE WISKUNE EEL 2: Analyse van reële functies van meerdere reële veranderlijken Arno KUIJLAARS Stefaan POETS epartement Wiskunde, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 2 B,

Nadere informatie

Functieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2

Functieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2 Functieonderzoek f(x) = x2 4 x 4 + 2 Igor Voulis 9 december 2009 Inhoudsopgave 1 De functie en haar definitiegebied 2 2 Het tekenverloop van de functie 2 3 De asymptoten 3 4 De eerste afgeleide 3 5 De

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002 - 0 - WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2 maar en hoe nu verder? 29 november 2002 De Wiskunde B-dag wordt gesponsord door Texas Instruments - 1 - Inleiding Snel machtverheffen Stel je voor dat je 7 25 moet uitrekenen.

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Fout van CPB bij berekening remgeldeffect eigen risico

Fout van CPB bij berekening remgeldeffect eigen risico Fout van CPB bij berekening remgeldeffect eigen risico Wynand van de Ven en Erik Schut Wederreactie op Douven en Mannaerts In ons artikel in TPEdigitaal (Van de Ven en Schut 2010) hebben wij uiteengezet

Nadere informatie

Gebruikershandleiding POM demonstrator

Gebruikershandleiding POM demonstrator Demonstrator Gebruikershandleiding POM demonstrator De POM demonstrator is verkrijgbaar door een mailtje naar info@geo3.nl te versturen. Geo3-software uitpakken en installeren De POM demonstrator software

Nadere informatie

Data Mining: Classificatie

Data Mining: Classificatie Data Mining: Classificatie docent: dr. Toon Calders Gebaseerd op slides van Tan, Steinbach, and Kumar. Introduction to Data Mining Overzicht Wat is classificatie? Leren van een beslissingsboom. Problemen

Nadere informatie

Interpretatie van Remote Sensing beelden met behulp van contextuele classificatie

Interpretatie van Remote Sensing beelden met behulp van contextuele classificatie Interpretatie van Remote Sensing beelden met behulp van contextuele classificatie Presentatie cursus ICG R. Sluiter 1) Introductie Wat is Remote Sensing 2) Per pixel classificatie 3) Contextuele classificatie

Nadere informatie

5 Eenvoudige complexe functies

5 Eenvoudige complexe functies 5 Eenvoudige complexe functies Bij complexe functies is zowel het domein als het beeld een deelverzameling van. Toch kan men in eenvoudige gevallen het domein en het beeld in één vlak weergeven. 5.1 Functies

Nadere informatie

Toekomstbestending maken van selectie tool Rekening houdend met strikte privacy wetgeving

Toekomstbestending maken van selectie tool Rekening houdend met strikte privacy wetgeving Toekomstbestending maken van selectie tool Rekening houdend met strikte privacy wetgeving Kurt.Merchiers@colruytgroup.com Functioneel Analist Roel.Van.Assche@sas.com Consultant Agenda Vervanging van de

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie