Het tellen van non-equivalente kleuringen van de n-dimensionale hyperkubus

Transcriptie

1 Het tellen van non-equivalente kleuringen van de n-dimensionale hyperkubus Vincent Schmeits 14 juli 2017 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. J. H. Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam

2 Samenvatting De n-dimensionale kubus heeft 2 n n! symmetrieën die elk, voor iedere 0 k n een permutatie induceren van de k-facetten (k = 0 voor de hoekpunten, k = 1 voor de ribben, etc.. Deze k-facetten kunnen gekleurd worden. Wanneer een verzameling van kleuringen gesloten is onder de werking van de symmetrieën van de kubus, kan het Lemma van Burnside gebruikt worden om het aantal banen (en dus het aantal verschille nonequivalente kleuringen te berekenen door het gemiddelde te nemen over het aantal invariante kleuringen per symmetrie. Het aantal invariante kleuringen van een symmetrie kan bepaald worden aan de hand van het cykeltype van de geïnduceerde permutatie van de k-facetten. Omdat het aantal symmetrieën snel toeneemt als n groter wordt, is het niet realistisch om voor iedere symmetrie het cykeltype te bepalen als we het aantal banen daadwerkelijk willen kunnen berekenen. Twee symmetrieën uit dezelfde conjugatieklasse blijken echter hetzelfde cykeltype te induceren, hetgeen betekent dat we in iedere conjugatieklasse slechts van één symmetrie het cykeltype hoeven te bepalen om ze allemaal te kunnen vinden. Door de conjugatieklassen te identificeren met het zogeheten signed cycle type is het mogelijk om een Matlab-programma te schrijven voor het bepalen van het aantal banen, dat gebruik maakt van dit gegeven over de conjugatieklassen. Titel: Het tellen van non-equivalente kleuringen van de n-dimensionale hyperkubus Auteur: Vincent Schmeits, vinschm@gmail.com, student nr.: Begeleiding: dr. J. H. Brandts Tweede beoordelaar: dr. C. C. Stolk Einddatum: 14 juli 2017 Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Science Park 904, 1098 XH Amsterdam 2

3 Inhoudsopgave 1. Inleiding 4 2. Het tellen van non-equivalente kleuringen Het kleuren van verzamelingen Symmetrieën en Pólya s teltheorie Het kleuren met specifieke aantallen De n-kubus en zijn symmetrieën Symmetrieën in R n De n-kubus De hyperoctahedrale groep k-facetten Conjugatieklassen van de hyperoctahedrale groep Cykeltypes van geconjugeerde elementen De groep W n Conjugatieklassen van W n Het berekenen van non-equivalente kleuringen van I n De facettenmatrix De typetabel Implementatie van de Pólya theorie Opmerkingen Conclusie Terugblik Vooruitblik Populaire samenvatting 39 A. Matlabcode 40 B. Tabellen 45 3

4 1. Inleiding Beschouw de hoekpunten van een 3-dimensionale kubus. Men kan zich het volge afvragen: kunnen we 4 hoekpunten kiezen zodat iedere ribbe aan hoogstens één van de gekozen hoekpunten grenst, en ieder zijvlak aan hoogstens twee? Men kan eenvoudig nagaan dat dat op twee manieren kan, zoals te zien in Figuur 1.1. Figuur 1.1.: De twee mogelijkheden die voldoen aan de voorwaarden. Een kubus heeft symmetrieën: spiegelingen en rotaties die de kubus in zichzelf overvoeren. Een symmetrie van de kubus induceert een permutatie van de hoekpunten. Wanneer we de kubus in Figuur 1.1 een kwartslag draaien, wordt de deelverzameling links overgevoerd in de deelverzameling rechts: we noemen twee deelverzamelingen van de hoekpunten equivalent als er een symmetrie is die de een in de ander overvoert. Er is dus slechts één equivalentieklasse van deelverzamelingen van grootte 4 die voldoen aan onze voorwaarde. In het algemeen hebben we het bij de n-dimensionale kubus over k-facetten: de hoekpunten zijn de 0-facetten, de ribben en zijvlakken respectievelijk de 1- en 2-facetten. Voor n > 3 zijn de 3-facetten dan bijvoorbeeld een soort zij-kubussen (zie Hoofdstuk 3. Ook een n-dimensionale kubus heeft symmetrieën. De discussie over equivalentieklassen van deelverzamelingen voor n = 3, zoals hierboven, kunnen we veralgemeniseren naar het volge probleem. Probleem 1.1. Zij n N. Wat is het aantal verschille non-equivalente deelverzamelingen A van de hoekpunten van de n-kubus, zodat A = n + 1, waarvoor geldt dat ieder k-facet aan hoogstens k elementen uit A grenst (voor alle 0 k n 1? Het tellen van equivalentieklassen van deelverzamelingen doet ons denken aan het tellen van kleuringen van objecten modulo symmetrieën; men heeft vast wel eens het voorbeeld van een ketting met gekleurde kralen gezien. Een ketting kan worden omgedraaid en kralen kunnen naar de andere kant van de ketting worden gebracht. Daarmee 4

5 rekening houd, hoeveel unieke kettingen met n kralen van m verschille kleuren zijn er te maken? Figuur 1.2.: Deze kettingen zijn hetzelfde. De Hongaarse wiskundige George Pólya ( hield zich bezig met dergelijke telproblemen, met name met betrekking tot chemische verbindingen (zie Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen [5]. Het tellen van kleuringen van objecten, modulo een groep van permutaties van deze objecten, wordt vaak Pólya-tellen genoemd en we zullen het dan ook hebben over de theorie van Pólya. De basis voor de theorie van Pólya ligt bij het Lemma van Burnside, wat men zich kan herinneren van een vak over groepentheorie. Dit lemma stelt ons in staat om het aantal banen (equivalentieklassen van kleuringen onder de werking van de permutaties te berekenen, zonder dat we de banen zelf hoeven te identificeren: het aantal banen is gelijk aan het gemiddeld aantal invariante kleuringen per symmetrie. Het nemen van een deelverzameling van de hoekpunten van een kubus kan gezien worden als het kleuren van de hoekpunten met 2 kleuren; punten in de deelverzameling krijgen kleur 1, de rest van de punten krijgt kleur 2. Wellicht kan de theorie van Pólya ons dus helpen bij het zoeken naar een oplossing voor Probleem 1.1. In dit verslag zijn we daarom geïnteresseerd in het berekenen van het aantal nonequivalente kleuringen van de hoekpunten, ribben, en hogerdimensionale facetten van de n-kubus. Dat wil zeggen, we willen een Matlab-programma kunnen schrijven dat daadwerkelijk het aantal equivalentieklassen van een verzameling kleuringen kan bepalen, gebruik mak van de theorie van Pólya. We zullen eerst de theorie van Pólya behandelen, gebaseerd op hoofdstuk 14 van het boek Introductory Combinatorics van R. Brualdi [2]. Daarna volgt een beschrijving van de n-dimensionale kubus, en van de bijbehore symmetrieën in het bijzonder. Het is echter niet realistisch om het Matlab-programma alle symmetrieën af te laten gaan. Het aantal symmetrieën van een n-kubus is namelijk gelijk aan 2 n n!; voor de 10-kubus zijn dat er al bijna 4 miljard. Daarom bekijken we in Hoofdstuk 4 de conjugatieklassen van de symmetriegroep van de n-kubus. Het blijkt dat we van iedere conjugatieklasse slechts één symmetrie hoeven te bekijken om iets te kunnen zeggen over alle symmetrieën in dezelfde conjugatieklasse. Dat zal het Matlab-programma een stuk efficiënter kunnen maken. De methodes die we gebruiken voor de implementatie worden beschreven in Hoofdstuk 5. 5

6 2. Het tellen van non-equivalente kleuringen In dit hoofdstuk beschrijven we de theorie van Pólya, over het tellen van kleuringen van verzamelingen, modulo een groep van permutaties. De stof die wordt besproken is voor een groot deel gebaseerd op en geïnspireerd door hoofdstuk 14 van het boek Introductory Combinatorics van R. Brualdi [2] Het kleuren van verzamelingen Zij X een willekeurige verzameling en laat m N. Dan kunnen we de elementen van X verdelen over disjuncte deelverzamelingen A 1,..., A m zodat m i=1 A i = X. Een dergelijke verdeling correspondeert met het nummeren van de elementen van X van 1 tot en met m om aan te duiden bij welke A i ieder element hoort: Definitie Voor een willekeurige verzameling X noemen we de afbeelding c : X {1,..., m}, die de elementen van X verdeelt over de deelverzamelingen A i = c 1 ({i}, een kleuring of m-kleuring van X. Merk op dat de afbeelding c de verzameling X niet noodzakelijk partitioneert: in tegenstelling tot bij een partitie mogen de A i leeg zijn. Een kleuring hoeft dus niet alle kleuren te gebruiken. In voorbeelden zullen we meer dan eens letterlijk kleuren gebruiken om deelverzamelingen aan te duiden. Voorbeeld Neem voor X de verzameling van hoekpunten van een vierkant. Een kleuring c : X {1, 2} kent aan elk hoekpunt één van twee mogelijke kleuren toe. Dan zijn er dus 2 4 = 16 dergelijke kleuringen van X mogelijk. In Figuur 2.1 is een viertal 2-kleuringen van X weergegeven, waarbij de verzamelingen A 1 en A 2 de kleuren rood en blauw toegewezen krijgen. Wanneer de elementen van een verzameling X gepermuteerd worden, kan er gekeken worden naar wat er gebeurt met de bijbehore kleuring. Definitie Laat H een permutatiegroep van de verzameling X zijn (dat wil zeggen, H is een ondergroep van S(X, de verzameling van alle permutaties van X. Als c een m-kleuring van X is, dan definiëren we voor π H de kleuring π c door (π c : X {1,..., m} : x c(π 1 (x. Merk op dat de bewerking ervoor zorgt dat een kleuring van X meebeweegt onder permutaties: een punt x krijgt de kleur die het punt π 1 (x heeft vóórdat de permutatie wordt uitgevoerd. 6

7 Figuur 2.1.: Een verzameling van 2-kleuringen van X. Opmerking Als voor alle π H en alle c C geldt dat π c C, dan is een groepswerking van H op X (dit gaat men eenvoudig na. We zeggen dan ook wel dat C gesloten is onder H. Voorbeeld Zij X = {A, B, C, D} de verzameling van hoekpunten van een vierkant. Laat H = {id, (AB(CD, (AC(BD, (AD(BC} een verzameling van permutaties van X zijn, waarbij de permutaties zijn weergegeven in de cykelnotatie. De verzameling C = {c 1, c 2, c 3, c 4 } van een viertal 2-kleuringen van X, zoals weergegeven in Figuur 2.2, is gesloten onder H. Figuur 2.2.: Een gesloten verzameling van 2-kleuringen van X onder H. Definitie Zij X een verzameling en H een permutatiegroep van X die werkt op C, een verzameling van m-kleuringen van X. We definieren de relatie op C als volgt: voor c 1, c 2 C geldt c 1 c 2 indien er een π H is zodat π c 1 = c 2. In dat geval noemen we c 1 en c 2 equivalent: men gaat eenvoudig na dat een equivalentierelatie is. De kleuringen c 1 en c 2 zijn non-equivalent wanneer ze niet equivalent zijn. Definitie De equivalentieklassen van C (met betrekking tot zijn de banen van C onder de groepswerking van H. De verzameling vaste punten van een permutatie π H, gedefinieerd door C π = {c C : π c = c}, 7

8 is de verzameling van kleuringen die invariant zijn onder π. Het aantal non-equivalente kleuringen in C onder H duiden we aan met N(H, C, en is dus gelijk aan het aantal banen of equivalentieklassen van C. De voorgaande definities vinden we terug in het Lemma van Burnside. Lemma is een variant van dit lemma, het bewijs is te vinden in het boek van Brualdi (zie [2], Theorem Lemma (Burnside. Zij X een eindige verzameling en laat de permutatiegroep H werken op een verzameling C van kleuringen van X. Dan geldt: N(H, C = 1 C π. H π H Dit lemma zegt dus dat het aantal banen van C onder H gelijk is aan het gemiddeld aantal vaste punten over de elementen van H. Voorbeeld In Voorbeeld vormen {c 1, c 2 } en {c 3, c 4 } de banen van C, want (AC(BD c 1 = c 2 en (AB(CD c 3 = c 4. Verder geldt: Tot slot controleren we N(H, C = 1 4 C id = {c 1, c 2, c 3, c 4 }, C (AB(CD = {c 1, c 2 }, C (AC(BD = {}, C (AD(BC = {c 3, c 4 }. ( C id + C (AB(CD + C (AC(BD + C (AD(BC = 1 ( = 2, zoals we al hebben kunnen zien aan het begin van dit voorbeeld. Zie nogmaals Figuur 2.2. Deze toepassing van Lemma is nog niet erg indrukwekk. Het identificeren van de banen wordt echter niet eenvoudiger naarmate de permutatiegroep en verzamelingen van kleuringen groter worden. Door middel van Lemma kunnen we dan wel het aantal banen (en dus het aantal non-equivalente kleuringen vinden, zonder dat we ze hoeven te identificeren Symmetrieën en Pólya s teltheorie In de rest van dit verslag hebben we het over kleuren van meetkundige objecten (zoals de n-dimensionale kubus waarbij we bepaalde symmetrieën in acht nemen. De precieze 8

9 definitie van een symmetrie laten we nog even in het midden; in Hoofdstuk 3 bespreken we de symmetrieën van de n-kubus. Voor nu is het belangrijk dat een symmetrie, dus bijvoorbeeld een rotatie of spiegeling, van een object bepaalde onderdelen van dat object permuteert. Voorbeeld De dihedrale groep D 4 is een groep van symmetrieën van het vierkant, voortgebracht door de rotatie ρ (over 90 graden, met de klok mee, en de spiegeling σ (door de verticale as door het midden, zoals weergegeven in Figuur 2.3. In de tabel staan de permutaties van de hoekpunten die corresponderen met de symmetrieën. In de laatste kolom is voor iedere permutatie het aantal cykels weergegeven. f D 4 π H #(π id (A(B(C(D 4 ρ (ABDC 1 ρ 2 (AD(BC 2 ρ 3 (ACDB 1 σ (AB(CD 2 ρσ (AD(B(C 3 ρ 2 σ (AC(BD 2 ρ 3 σ (A(D(BC 3 Figuur 2.3.: De 8 symmetrieën in de groep D 4. De volge opmerking ligt aan de basis van Pólya s teltheorie. Opmerking Als c een kleuring is van een eindige verzameling X, dan is c invariant onder de permutatie π van X wanneer iedere cykel in de ontbinding van π alléén elementen van dezelfde kleur bevat. Omgekeerd kan c alleen invariant zijn onder π als voor iedere cykel geldt dat de elementen in deze cykel dezelfde kleur hebben. Voor alle x X geldt dan immers dat π(x dezelfde kleur moet hebben als x. Het kleuren van de elementen wordt zo gereduceerd tot het kleuren van cykels. 9

10 Lemma Het totaal aantal m-kleuringen van een eindige verzameling X dat invariant is onder een permutatie π van de elementen van X, is gelijk aan m #(π, waarbij #(π het aantal cykels van π is. Bewijs. Dit is een gevolg van Opmerking 2.2.2, iedere cykel van π kan één van de m verschille kleuren krijgen, dus er zijn m #(π invariante kleuringen. De volge stelling combineert het voorgaande lemma en Lemma Stelling Zij X een eindige verzameling en H een permutatiegroep werk op de verzameling C van alle m-kleuringen van X. Duid het aantal cykels van een permutatie π H aan met #(π. Dan het aantal non-equivalente m-kleuringen gelijk aan N(H, C = 1 m #(π. H π H Voorbeeld Het aantal non-equivalente m-kleuringen van de hoekpunten van het vierkant in Voorbeeld is gelijk aan 1 8 (m4 + 2m 3 + 3m 2 + 2m Het kleuren met specifieke aantallen In de vorige sectie hebben we gezien hoe men het totaal aantal non-equivalente m- kleuringen van een verzameling kan vinden. Maar wat als we iedere kleur een specifiek aantal keer willen gebruiken? Bijvoorbeeld, stel we hebben een verzameling X van n elementen, waarvan we er p rood willen kleuren en q = n p blauw, hoeveel nonequivalente kleuringen zijn er dan onder deze restrictie? Definitie Laat X een verzameling van n elementen zijn, en C de verzameling van alle m-kleuringen van X. Als a 1,..., a m niet-negatieve gehele getallen zijn zodat n = a a m, dan definieren we de verzameling C a1,...,a m door C a1,...,a m = {c C : c 1 ({1} = a 1,..., c 1 ({m} = a m }. Met andere woorden; C a1,...,a m is de verzameling van m-kleuringen waarvoor geldt: a 1 elementen van X krijgen kleur 1, a 2 elementen krijgen kleur 2, enzovoorts. Bij de hierboven genoemde restrictie van p elementen rood en de rest blauw, zijn we dus op zoek naar het aantal non-equivalente kleuringen in C p,q. Net als in de vorige sectie gaan we Lemma gebruiken. Door Opmerking moeten we dan voor iedere permutatie π uit de permutatiegroep bepalen op hoeveel manieren we de cykels kunnen kleuren. Dat is immers gelijk aan het aantal invariante kleuringen. Maar omdat we niet meer de beschikking hebben over alle mogelijke kleuringen, ligt dat aantal wat minder voor de hand, zoals geïllustreerd in het volge voorbeeld: 10

11 Voorbeeld Zij X = {1, 2, 3, 4, 5} en laat p = 2, q = 3. Dan bevat C p,q geen invariante kleuringen onder de permutatie (1(2345, door Opmerking Van een permutatie hebben we dus meer informatie nodig dan alleen het aantal cykels. Definitie Zij H een permutatiegroep van een eindige verzameling X van n elementen. Het cykeltype van een element π H is het tupel (e 1,..., e n, waarbij e i het aantal cykels van lengte i is in de cykelontbinding van π. Het cykeltype zullen we aangeven met type(π. Voorbeeld Voor τ = (132(46(57 S 7 geldt: type(τ = (0, 2, 1, 0, 0, 0, 0. Het cykeltype van een permutatie π zullen we gebruiken om het aantal invariante kleuringen in C a1,...,a m te bepalen. Om het enigszins overzichtelijk te houden laten we eerst zien wat er gebeurt in het geval dat m = 2. Lemma Laat p + q = n en zij π H met type(π = (e 1,..., e n. Definieer voor M de verzameling van alle t = (t 1,..., t n Z n 0 die voldoen aan de vergelijkingen en t 1 e 1, t 2 e 2,..., t n e n (2.1 p = t 1 + 2t nt n. (2.2 Dan is het aantal kleuringen in C p,q dat invariant is onder π gelijk aan t M ( ( e1 e2 t 1 t 2 Bewijs. Als c C p,q invariant is onder π, dan kleurt c de cykels van π, zoals we konden zien in Opmerking Laat t i het aantal cykels van lengte i met kleur 1 zijn, dan voldoet t = (t 1,..., t n aan (2.1 en (2.2. Andersom geldt: als t een oplossing is van (2.1 en (2.2, dan kan er een invariante kleuring c C p,q geconstrueerd worden door precies t i cykels van lengte i kleur 1 te geven (voor alle i. Het aantal mogelijkheden om deze cykels te kiezen uit de cykels van π is gelijk aan ( e 1 ( e2 ( t1 t2 en tn. Een oplossing t van (2.1 en (2.2 correspondeert dan met ( e 1 t1 ( e2 t2 ( en tn verschille invariante kleuringen. Het totaal aantal invariante kleuringen in C p,q is dan gelijk aan de som van deze termen over alle mogelijke t M. ( en In de volge stelling zien we wat er gebeurt voor algemene m. Stelling Zij π H met type(π = (e 1,..., e n. Laat C a1,...,a m de verzameling van m-kleuringen zijn zoals in Definitie Definieer voor M de verzameling van alle T = (t ij Z m n 0 waarvoor geldt t n. e j = m t ij voor alle 1 j n (2.3 i=1 11

12 en a i = n j t ij voor alle 1 i m. (2.4 j=1 Dan is het aantal kleuringen in C a1,...,a m C a π 1,...,a m = T M j=1 dat invariant is onder π gelijk aan n ( e j t 1,j, t 2,j,..., t m,j. (2.5 Bewijs. Het principe is hetzelfde als in Lemma 2.3.5: als c invariant is onder π, en t ij is het aantal cykels van lengte j met kleur i, dan voldoet T = (t ij aan (2.3 en (2.4. Andersom kunnen we voor een oplossing T = (t ij van (2.3 en (2.4 weer een invariante kleuring construeren door de cykels van π te kleuren. Het aantal manieren om de cykels van e j te verdelen over t 1,j, t 2,j,..., t m,j is gelijk aan de multinomiaalcoëfficiënt ( e j = t 1,j, t 2,j,..., t m,j e j! t 1,j!t 2,j! t m,j!. Voor een oplossing T = (t ij van (2.3 en (2.4 zijn er dan n ( j=1 e j t 1,j, t 2,j,..., t m,j verschille invariante kleuringen. Het aantal invariante kleuringen in C a1,...,a m dan gelijk aan de som van deze termen over alle mogelijke T M. Het aantal non-equivalente kleuringen in C a1,...,a m kan vervolgens weer bepaald worden met Lemma In het volge hoofdstuk zullen we de n-dimensionale kubus beschrijven, zodat we de Pólya-theorie kunnen gaan gebruiken voor het kleuren van de k-facetten. 12

13 3. De n-kubus en zijn symmetrieën Symmetrieën van de 3-dimensionale kubus spreken enigszins tot de verbeelding; men kan een kubus draaien en hem door bepaalde vlakken spiegelen om hem zo op zichzelf af te beelden. Voor hoger-dimensionale kubussen verdwijnt deze intuïtie. In dit hoofdstuk beschrijven we de algemene definitie van een symmetrie (onze definitie zal enigszins afwijken van de gebruikelijke definitie. Vervolgens identificeren we de groep van symmetrieën van de n-dimensionale kubus, en zullen we de k-facetten definiëren Symmetrieën in R n Om te beginnnen hebben symmetrieën te maken met orthogonale transformaties. Herinner je de definitie: Definitie Een orthogonale transformatie van de Euclidische ruimte R n is een lineaire afbeelding T : R n R n die het inproduct bewaart. Dat wil zeggen, voor alle x, y R n geldt: T x, T y = x, y. Merk op dat een orthogonale transformatie van R n een isometrie is: de elementen van R n behouden dezelfde afstand tot elkaar onder T. Lemma De verzameling van orthogonale transformaties van R n is een groep met als bewerking de samenstelling van afbeeldingen. Bewijs. De verzameling van orthogonale transformaties van R n is gesloten onder deze bewerking: de samenstelling van twee orthogonale transformaties is duidelijk weer orthogonaal. Daarnaast is het samenstellen van afbeeldingen associatief en het eenheidselement van de groep is de identieke afbeelding. Verder is een orthogonale transformatie T injectief, want voor x, y R n geldt: T (x = T (y = x y = T (x y = T (x T (y = 0 = x = y. De dimensiestelling geeft ons dan dat dim(im T = dim(r n dim(ker T = dim(r n = n, waaruit volgt dat T tevens surjectief is. Hiermee is aan de vierde eigenschap van een groep voldaan: T is bijectief en heeft dus een welgedefinieerde inverse. 13

14 De volge definitie van een symmetrie wijkt enigszins af van de gebruikelijke definitie. Meestal gaat het om een combinatie van een orthogonale transformatie en een translatie in R n. Wij laten de translatie weg, omdat onze n-dimensionale kubus gecentreerd zal zijn in de oorsprong: Definitie Een symmetrie van een deelverzameling A van R n is een orthogonale transformatie T waarvoor geldt dat T (A = A. Opmerking De verzameling van symmetrieën van een deelverzameling A is een ondergroep van de groep van orthogonale transformaties. Voor symmetrieën T en U geldt immers (T U(A = T (A = A en T 1 (A = A. In het bijzonder vormen de symmetrieën van A zelf een groep. Definitie De groep van symmetrieën van een deelverzameling A R n noemen we de symmetriegroep van A De n-kubus Nu definiëren we de n-kubus en laten we zien dat de symmetriegroep niet meer dan 2 n n! elementen heeft. Definitie Voor n N is de n-dimensionale (eenheids-hyperkubus een deelverzameling van R n gedefinieerd door I n = {(x 1, x 2,..., x n R n x 1,..., x n [ 1, 1]}. We zullen dit meestal de n-kubus noemen. Definitie De verzameling B n = { 1, 1} n is de verzameling van hoekpunten van de n-kubus. Als twee hoekpunten in precies één coördinaat verschillen, dan zeggen we dat het buren zijn. Op die manier heeft elk hoekpunt precies n buren. Van een hoekpunt x B n is x het tegenoverstaande hoekpunt. Voorbeeld De hoekpunten (1, 1, 1 en (1, 1, 1 van de 3-kubus zijn buren van elkaar. De hoekpunten ( 1, 1, 1 en (1, 1, 1 vormen een paar tegenoverstaande hoekpunten van de 3-kubus. Lemma Als T een symmetrie is van I n, dan is T een symmetrie van B n. Bewijs. Voor een punt x I n geldt x 2 n, waardoor x B n x 2 = n; de norm van een punt in I n is maximaal als en alleen als dat punt een hoekpunt is van I n. Wanneer T een symmetrie is van I n, dan geldt voor een hoekpunt x B n T (x 2 = x 2 = n, omdat T een isometrie is. Dit impliceert dat T (x B n, aangezien T (x I n, dus er geldt T (B n B n. Omdat T injectief is en B n eindig, hebben we dan T (B n = B n. 14

15 Lemma zegt dus dat een symmetrie de hoekpunten van I n op de hoekpunten van I n afbeeldt. Dit gegeven is nodig voor de volge stelling. Stelling Het aantal elementen van de symmetriegroep van I n is niet groter dan 2 n n!. Bewijs. Zij b 0 = (1, 1,..., 1 B n en definieer voor 1 i n: b i = (1,..., 1, 1, 1,..., 1, zodat {b 1,..., b n } de verzameling van buren van b 0 is. Men gaat eenvoudig na dat {b 1,..., b n } een basis is voor R n. Door Lemma weten we dat voor een willekeurige symmetrie T geldt dat T (b 0 weer een hoekpunt is van B n. Dat betekent dat plek i {T (b 0 : T is een symmetrie van I n } 2 n. Laat M de verzameling zijn van alle symmetrieën T waarvoor geldt T (b 0 = x voor een zekere x B n. De buren van b 0 worden door T op de buren van T (b 0 afgebeeld. Dan is Als voor symmetrieën T en U geldt {(T (b 1,..., T (b n : T M} n!. T (b i = U(b i voor alle 1 i n, dan is T = U, omdat {b 1,..., b n } een basis is. Een symmetrie wordt dus uniek bepaald door T (b 1,..., T (b n. Er zijn niet meer dan 2 n opties voor T (b 0, en als T (b 0 bek is zijn er hoogstens n! opties voor de overgebleven T (b 1,..., T (b n, waarna de symmetrie vastligt. Er kunnen dus niet meer dan 2 n n! verschille symmetrieën van I n zijn. In de volge sectie laten we zien dat het aantal elementen van de symmetriegroep van I n precies gelijk is aan 2 n n! De hyperoctahedrale groep Nu zullen we de structuur van de symmetriegroep van I n bekijken, aan de hand van twee soorten basissymmetrieën. Definitie Definieer voor a = (a 1,..., a n Z n 2 de afbeelding c a : R n R n door (c a (x k = ( 1 a k x k. We zeggen ook wel dat c a de k-de coördinaat van x inverteert wanneer a k = 1. Definieer daarnaast voor de permutatie σ S n de afbeelding s σ : R n R n door (s σ (x k = x σ 1 (k. We zeggen ook wel dat s σ de coördinaten van x permuteert aan de hand van σ. 15

16 Voorbeeld Laat a = (1, 0, 1 Z n 2 en σ = ( S n. Voor x = (x 1, x 2, x 3 R 3 geldt dan c a (x = ( x 1, x 2, x 3 en s σ (x = (x 3, x 1, x 2. Opmerking Er geldt c a = c b a = b en s σ = s τ σ = τ Lemma De afbeeldingen c a en s σ zijn symmetrieën van I n. Bewijs. De afbeeldingen c a en s σ zijn duidelijk lineair. Daarnaast geldt voor x, y R n : en c a (x, c a (y = n ( 1 a k x k ( 1 a k y k = s σ (x, s σ (y = n x σ 1 (ky σ 1 (k = n x k y k = x, y, n x k y k = x, y, dus c a en s σ zijn tevens orthogonaal. Tot slot geldt voor willekeurige x I n dat c a (x, s σ (x I n. Hieruit volgt dat de afbeeldingen ook surjectief zijn: c a (c a (x = x en s σ (s σ 1(x = x voor alle x I n (want ook s σ 1(x I n. Daarom geldt c a (I n = s σ (I n = I n. Samenstellingen van verschille c a en s σ leveren nieuwe symmetrieën van I n op. We laten zien dat de hele symmetriegroep door unieke combinaties van s σ en c a wordt voortgebracht. Lemma Laat σ S n en a Z n 2. Dan vormt s σc a = s σ c a een unieke symmetrie van I n, dat wil zeggen, voor τ S n en b Z n 2 geldt: Bewijs. Neem x B n waarvoor geldt s τ c b = s σ c a = τ = σ en b = a. x k = ( 1 a k voor alle 1 k n. Dan geldt precies c a (x = (1, 1,..., 1, zodat per aanname: Dan is (s τ c b (x = (s σ c a (x = s σ ((1, 1,..., 1 = (1, 1,..., 1. c b (x = s 1 τ ((1, 1,..., 1 = (1, 1,..., 1 = c a (x, hetgeen betekent dat b = a. Hieruit volgt tevens Dus s σ c a is een unieke symmetrie van I n. s τ = s τ c 2 b = s τ c b c a = s σ c 2 a = s σ. 16

17 Stelling De symmetriegroep van I n is precies de verzameling H n := {s σ c a : σ S n, a Z n 2 }. Bewijs. Uit Opmerking volgt dat {s σ : σ S n } = S n = n! en {ca : a Z n 2 } = Z n 2 = 2 n. Door Lemma geldt dan dat Hn = {sσ : σ S n } {ca : a Z n 2 } = 2 n n!. De elementen van H n zijn symmetrieën van I n. Door Stelling wisten we al dat er hoogstens 2 n n! verschille symmetrieën kunnen zijn. Dan moet gelden dat H n de hele symmetriegroep van de n-kubus is. Definitie De verzameling H n noemen we de hyperoctahedrale groep k-facetten In Sectie 3.2 hebben we het gehad over de hoekpunten van de n-kubus. Maar we zouden ook kunnen kijken naar bijvoorbeeld de ribben of zijvlakken, zoals we die kennen van de 3-kubus. Dergelijke onderdelen noemen we facetten. De definitie van een (k-facet van de n-kubus volgt. Definitie Zij n N en laat 0 k n. Laat verder b 1,..., b n k { 1, 1} en 1 i 1 <... < i n k n. Dan is de verzameling een k-facet van I n. Voorbeeld De verzamelingen {(x 1,..., x n I n x i1 = b 1,..., x in k = b n k } {(x, 1, 1 x [ 1, 1]} en {(1, y, z y, z [ 1, 1]} zijn respectievelijk een 1- en een 2-facet van de 3-kubus. De 1-facetten van de n-kubus noemen we ook wel ribben en 2-facetten noemen we zijvlakken. Merk op dat de 0-facetten corresponderen met de hoekpunten van de n-kubus. Lemma Het aantal verschille k-facetten van de n-kubus is gelijk aan ( n f n (k := 2 n k. k 17

18 Bewijs. De k-facetten van de n-kubus zijn deelverzamelingen waarbij over k coördinaten gevarieerd wordt en waarbij n k coördinaten vastliggen. Er zijn ( n k mogelijke manieren om de k coördinaten te kiezen waarover gevarieerd wordt. Voor ieder van deze keuzes zijn er n k coördinaten over die de waarden 1 en 1 kunnen aannemen. Dan zijn er dus ( n k 2 n k verschille k-facetten. Lemma Zij T H n en laat A en B twee k-facetten van I n zijn. Dan geldt: (i T (A is een k-facet van I n ; (ii T (A = T (B = A = B. Bewijs. (i Er geldt A = {(x 1,..., x n I n x i1 = b 1,..., x in k = b n k } voor zekere b 1,..., b n k { 1, 1} en 1 i 1 <... < i n k n. Verder geldt door Stelling dat T = s σ c a voor zekere (unieke σ S n en a Z n 2. Definieer d j = ( 1 a i j b j voor 1 j n k. Dan geldt en vervolgens c a (A = {(x 1,..., x n I n x i1 = d 1..., x in k = d n k } T (A = s σ (c a (A = {(x 1,..., x n I n x σ(i1 = d 1,..., x σ(in k = d n k }, dus T (A is weer een k-facet van I n. (ii Omdat T inverteerbaar is, geldt A = T 1 T (A = T 1 T (B = B. Gevolg Laat 0 k n. Zij K de verzameling van k-facetten van I n. Dan is H n isomorf aan een ondergroep van S(K. Bewijs. Door Lemma is T H n een bijectie van K naar zichzelf, dus de afbeelding ρ T : A T (A is een element van S(K. Definieer dan de afbeelding ψ : H n S(K : T ρ T. Dit is een homomorfisme: voor T, U H n geldt ψ(t U = ρ T U = ρ T ρ U = ψ(t ψ(u. Daarnaast is ψ injectief, omdat Ker(ψ = {id}. Dat betekent dat ψ : H n ψ(h n een isomorfisme is. 18

19 Definitie Zij T H n en K de verzameling van k-facetten van I n voor een zekere 0 k n. Het k-type van T is gedefinieerd door met ψ zoals in Gevolg type k (T := type(ψ(t, Voorbeeld Nummer de zijvlakken van de 3-kubus zoals in Figuur 3.1. In Tabel B.1 zijn voor alle symmetrieën in H 3 de geïnduceerde permutaties van de zijvlakken en de bijbehore 2-types weergegeven. Omdat we voor iedere symmetrie het aantal cykels weten, kunnen we Stelling gebruiken om het totaal aantal non-equivalente m-kleuringen te vinden; dat is gelijk aan 1 48 (m6 + 3m 5 + 9m m m 2 + 8m. Figuur 3.1.: Nummering van de zijvlakken. We zouden nu al een Matlab-programma kunnen schrijven dat, zoals in Voorbeeld 3.4.7, alle mogelijke combinaties van de s σ en c a af gaat om zo voor iedere symmetrie het k-type te kunnen bepalen. Vervolgens kunnen we met Lemma en de rest van de theorie uit Hoofdstuk 2 berekenen hoeveel equivalentieklassen een bepaalde verzameling kleuringen heeft. Dat levert al heel wat op: we hoeven in ieder geval niet per kleuring alle symmetrieën af te gaan om het aantal non-equivalente kleuringen te bepalen. Het aantal symmetrieën van de n-kubus (2 n n! stijgt echter snel naarmate n groter wordt; de 10-kubus heeft er bijna 4 miljard. In het volge hoofdstuk zien we dat alle elementen in een conjugatieklasse van H n hetzelfde k-type hebben. Dat op zich is redelijk evident; belangrijker is dat we gaan zien hoe we deze conjugatieklassen kunnen identificeren. In plaats van alle symmetrieën af te gaan, hoeven we dan slechts één symmetrie per conjugatieklasse te bekijken. 19

20 4. Conjugatieklassen van de hyperoctahedrale groep In dit hoofdstuk laten we zien dat alle elementen in een conjugatieklasse van H n hetzelfde k-type hebben (0 k n. Vervolgens identificeren we de conjugatieklassen door de symmetrieën van I n te zien als elementen van het cartesisch product Z n 2 S n; we laten de meetkundige betekenis los om de groepsstructuur gemakkelijker te kunnen bestuderen Cykeltypes van geconjugeerde elementen Dat geconjugeerde elementen in H n hetzelfde k-type hebben volgt uit de definitie van het k-type en uit de volge twee elementaire resultaten met betrekking tot de permutatiegroep S n. Lemma Laat σ, ρ S n permutaties zijn. Als de cykelontbinding van σ wordt gegeven door σ = (a 1 a 2... a k (b 1 b 2... b l (p 1 p 2... p z, dan wordt de ontbinding van ρσρ 1 gegeven door ρσρ 1 = (ρ(a 1 ρ(a 2... ρ(a k (ρ(b 1 ρ(b 2... ρ(b l (ρ(p 1 ρ(p 2... ρ(p z. Bewijs. Zie Lemma 3.4 in het boek van Rotman [6]. Lemma Zij σ, τ S n. Dan geldt: σ en τ zijn geconjugeerd type(σ = type(τ. Bewijs. Als τ = ρσρ 1 voor een zekere ρ S n, dan is type(σ = type(τ door Lemma Omgekeerd, veronderstel dat type(σ = type(τ. Als dan is τ van de vorm σ = (a 1 a 2... a k (b 1 b 2... b l (p 1 p 2... p z, τ = (a 1a 2... a k (b 1b 2... b l (p 1p 2... p z. Neem vervolgens ρ S n zodanig dat ρ(i = i voor alle 1 i n. Door Lemma geldt dan dat τ = ρσρ 1. (Rotman [6], Theorem 3.5 Met de implicatie naar rechts van Lemma bewijzen we de volge stelling. De omgekeerde implicatie (en Lemma hebben we later nog nodig. 20

21 Stelling Voor T, U H n en alle 0 k n geldt: T en U zijn geconjugeerd = type k (T = type k (S. Bewijs. Laat ψ : H n S(K het isomorfisme zijn zoals in het bewijs van Gevolg Als T en U geconjugeerd zijn, dan zijn ψ(t en ψ(u geconjugeerd in S(K. Omdat S(K na nummering van de k-facetten reduceert tot S fn(k (met dezelfde cykeltypes, onafhankelijk van de nummering, geldt dat ψ(t en ψ(u hetzelfde cykeltype hebben door Lemma 4.1.2, dus type k (T = type k (S De groep W n Nu definieren we een groep W n die isomorf zal zijn aan H n. De definitie en het idee om te werken met deze alternatieve groep komen uit het artikel Structures and representations of the hyperoctahedral group van M. Baake [1]. Lemma/Definitie Het cartesisch product W n = Z n 2 S n met als bewerking (a, σ (b, τ = (a τ + b, στ, waarbij a τ gedefinieerd is door (a τ k = a τ(k (de k-de coördinaat van a τ, is een groep die isomorf is aan H n. Bewijs. Men gaat vrij eenvoudig na dat W n inderdaad een groep is; associativiteit volgt onder andere uit het feit dat voor a, b Z n 2 en σ, τ S n geldt: a στ + b τ = (a σ + b τ. Daarnaast is (0, id het eenheidselement, en is (a σ 1, σ 1 de inverse van (a, σ. Door Opmerking en Stelling is de afbeelding φ : W n H n : (a, σ s σ c a een bijectie. Laat dan σ, τ S n en a, b Z n 2. Nu is ten eerste ((s τ c aτ (x k = (c aτ (x τ 1 (k = ( 1 (aτ τ 1 (kx τ 1 (k = ( 1 a k x τ 1 (k = ( 1 a k (s τ (x k = ((c a s τ (x k voor alle 1 k n, dus s τ c aτ = c a s τ. Hieruit volgt dat dus φ is een isomorfisme. φ((a, σ (b, τ = φ((a τ + b, στ = s στ c aτ +b = s σ s τ c aτ c b = s σ c a s τ c b = φ((a, σ φ((b, τ, 21

22 Het voorgaande lemma geeft ons de mogelijkheid om de groepsstructuur van H n te bestuderen door te kijken naar de structuur van W n. We zijn in het bijzonder geïnteresseerd in de conjugatieklassen van W n die, via het eenvoudige isomorfisme, direct vertaald kunnen worden naar de conjugatieklassen van H n. Eerst volgt nog een tweetal definities met betrekking tot W n. Definitie Laat w = (a, σ W n. De signed cycle ontbinding van w is gelijk aan de cykelontbinding van σ, waarbij alle k waarvoor geldt a k = 1 worden aangeduid met een streep. Voorbeeld Laat w = (a, σ W n, waarbij a = (1, 0, 0, 1 en σ = (12(34. Dan geldt w = ( 12(3 4, wanneer zij als signed cycle ontbinding wordt geschreven. Definitie Zij w = (a, σ W n. Een cykel (x 1 x 2... x i in σ noemen we een cykel van even graad wanneer geldt i a xk = 0 (in Z 2, en we noemen het een cykel van oneven graad wanneer juist geldt i a xk = 1 (in Z 2. Merk op dat het hier, zoals aangegeven, om een optelling in Z 2 gaat. Dat zal ook in de kome lemma s en stellingen het geval zijn. Laat u = (u 1, u 2,..., u n met u i het aantal cykels (x 1 x 2... x i in σ van lengte i van even graad. Laat op dezelfde manier v = (v 1, v 2,..., v n met v i het aantal cykels (y 1 y 2... y i in σ van lengte i van oneven graad. Het paar (u, v noemen we het signed cycle type van w. Dit zullen we aangeven met type s (w. Voorbeeld Laat w = (a, σ W 7, waarbij a = (0, 1, 1, 0, 1, 0, 1 en σ = (12(376(4(5. De cykels (376 en (4 zijn van even graad en de cykels (12 en (5 zijn van oneven graad. Dan is type s (w = (u, v, waarbij u = (1, 0, 1, 0, 0, 0, 0 en v = (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0. Merk op dat u i (v i correspondeert met het aantal cykels van lengte i met een even (oneven aantal streepjes in de signed cycle ontbinding van w: w = (1 2( 3 76(4( 5. Opmerking Voor w = (a, σ W n geldt (u, v = type s (w = u + v = type(σ. Dus het signed cycle type deelt het cykeltype van σ op in u en v, en deze opdeling hangt af van a. 22

23 4.3. Conjugatieklassen van W n Nu kunnen we het gaan hebben over de conjugatieklassen van W n. Eerder zagen we dat elementen in S n geconjugeerd zijn dan en slechts dan als ze hetzelfde cykeltype hebben. Een vergelijkbaar resultaat, maar wat minder eenvoudig te bewijzen, is er voor geconjugeerde elementen uit W n ; de volge stelling identificeert de conjugatieklassen van W n aan de hand van het signed cycle type. Deze stelling staat ook in [3], zie Theorem Een bewijs wordt daar helaas niet gegeven. Ons eigen bewijs volgt in deze paragraaf. Stelling Voor w = (a, σ W n en z = (b, τ W n geldt: w en z zijn geconjugeerd type s (w = type s (z. Het bewijs van deze stelling wordt verderop gegeven. benodigde lemma s. Eerst volgt nog een aantal Lemma Zij w = (a, σ W n en laat ρ S n. Definieer z = (0, ρ(a, σ(0, ρ 1. Dan geldt type s (w = type s (z. Bewijs. Omdat (0, ρ 1 = (0, ρ 1, zien we per definitie van vermenigvuldiging in W n dat z = (a ρ 1, ρσρ 1. Laat nu b = a ρ 1 en τ = ρσρ 1, zodat z = (b, τ. In Lemma zagen we dat er een bijectie is tussen de cykels van σ en de cykels van τ: iedere cykel (x 1 x 2... x i in σ correspondeert met een cykel (y 1 y 2... y i in τ, zodanig dat y k = ρ(x k voor 1 k i. Dan geldt dat i b yk = i (a ρ 1 ρ(xk = i a (ρ 1 ρ(x k = i a xk. Door de bijectie tussen de cykels betekent dat dat type s (w = type s (z. Lemma Zij w = (a, σ W n en laat d Z n 2. Definieer z = (d, id(a, σ(d, id 1. Dan geldt type s (w = type s (z. Bewijs. Omdat (d, id 1 = (d, id, zien we per definitie van vermenigvuldiging in W n dat z = (d σ + a + d, σ. 23

24 Laat nu b = d σ + a + d, zodat z = (b, σ. We zien dat voor een cykel (x 1 x 2... x i in σ geldt dat i i 1 (d σ + d xk = d σ(xi + d xi + d σ(xk + d xk = d x1 + d xi + = 2 ( i 1 i d xk = 0, d xk+1 + ( i 1 d xk Waarbij we nogmaals opmerken dat het hier altijd over de optelling in Z 2 gaat. Dan is i b xk = i (d σ + a + d xk = i (d σ + d xk + i a xk = i a xk. Omdat dit voor iedere cykel van σ geldt, zien we dat type s (w = type s (z. De twee voorgaande lemma s zijn nodig voor de implicatie naar rechts van Stelling Het volge lemma wordt gebruikt voor de implicatie naar links. Direct na het lemma volgt een voorbeeld. Lemma Zij w = (a, σ W n en z = (b, τ W n, zodanig dat type s (w = type s (z. Dan is er een ρ S n waarvoor τ = ρσρ 1 en zodanig dat voor alle cykels (x 1 x 2... x i in τ geldt i i a ρ 1 (x k = b xk. Bewijs. Laat de cykelontbinding van σ van de vorm σ = (c 1... c p (d 1... d q (e 1... e r (f 1... f s zijn, waarbij de cykels zonder streep van even graad zijn, en de cykels met streep van oneven graad (ten opzichte van a. Omdat type s (w = type s (z, geldt dan dat de ontbinding van τ in dezelfde vorm geschreven kan worden; τ = (g 1... g p (h 1... h q (m 1... m r (l 1... l s (met even/oneven ten opzichte van b. Gevolg 4.1.2, zodanig dat Neem dan ρ S n, net als in het bewijs van τ = (ρ(c 1... ρ(c p (ρ(d 1... ρ(d q (ρ(e 1... ρ(e r (ρ(f 1... ρ(f s. Voor een cykel (x 1 x 2... x i in τ geldt dan duidelijk dat i i a ρ 1 (x k = b xk, 24

25 omdat ρ even cykels naar even cykels stuurt en oneven cykels naar oneven cykels (waarbij even en oneven slaan op de graad van de cykels. Voorbeeld Laat w = (a, σ W 5 en z = (b, τ W 5, met a = (1, 0, 1, 1, 0, b = (0, 1, 0, 0, 0 en σ = (12(34(5, τ = (15(24(3. Dan is type s (w = type s (z, wat eenvoudig te zien is in de signed cycle ontbindingen: w = ( 3 4(5( 12, z = (15(3( 24. Neem dan de permutatie ρ = ( , dan is a ρ 1 (1 + a ρ 1 (5 = a 3 + a 4 = 0 = b 1 + b 5 ; a ρ 1 (2 + a ρ 1 (4 = a 1 + a 2 = 1 = b 2 + b 4 ; a ρ 1 (3 = a 5 = 0 = b 5. Bewijs van Stelling : Stel dat er een y W n is zodanig dat z = ywy 1. Omdat we y kunnen schrijven als voor zekere d Z n 2 en ρ S n, geldt dan y = (d, ρ = (0, ρ(d, id type s (z = type s ((0, ρ(d, id (a, σ (d, id 1 (0, ρ 1 = type s ((d, id (a, σ (d, id 1 = type s (w door Lemma s en : Stel dat w = (a, σ en z = (b, τ hetzelfde signed cycle type hebben. Kies ρ S n zoals in Lemma Dan geldt (0, ρ(a, σ(0, ρ 1 = (a ρ 1, τ. Dan zijn we alleen nog op zoek naar een element d Z n 2, waarvoor geldt dat (d, id(a ρ 1, τ(d, id = (b, τ. (4.1 Voor y = (d ρ, ρ = (d, id(0, ρ geldt dan immers ywy 1 = z, zodat w en z geconjugeerd zijn. Om te voldoen aan vergelijkig (4.1, moet voor d gelden: d τ + a ρ 1 + d = b. (4.2 We construeren een d die aan deze vergelijking voldoet. Laat (x 1 x 2... x i een cykel in τ zijn. Definieer dan voor 1 k i: d xk = k 1 m=1 a ρ 1 (x m + b xm, (4.3 25

26 waarbij d x1 = 0 de lege som is. Voor 1 k i 1 hebben we dan (d τ + a ρ 1 + d xk = a ρ 1 (x k + d τ(xk + d xk Verder geldt voor k = i: = a ρ 1 (x k + d xk+1 + d xk ( k = a ρ 1 (x k + a ρ 1 (x m + b xm + m=1 = a ρ 1 (x k + ( a ρ 1 (x k + b xk = b xk. ( k 1 m=1 a ρ 1 (x m + b xm (d τ + a ρ 1 + d xk = a ρ 1 (x i + d τ(xi + d xi ( i 1 = a ρ 1 (x i + d x1 + a ρ 1 (x m + b xm m=1 = a ρ 1 (x i ( a ρ 1 (x i + b xi = b xi, waarbij de derde stap volgt uit het feit dat in Z 2 geldt i m=1 a ρ 1 (x m = i m=1 b x m door Lemma 4.3.4, per constructie van ρ. Omdat we de d xk kunnen construeren voor iedere cykel in τ, krijgen we uiteindelijk een d = (d 1,..., d n die voldoet aan vergelijking (4.2. Het volge voorbeeld illustreert hoe het gewenste conjugatie-element geconstrueerd kan worden zoals in het bewijs van de omgekeerde implicatie van Stelling Voorbeeld Laat w = (a, σ, z = (b, τ W 9 met en σ = (13254(67(89, a = (1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0 τ = (12846(39(57, b = (0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1. Dan is type s (w = type s (s. Schrijf dan w = (89( ( 67 en z = ( 3 9(128 46( 57, (cykels van even graad staan links, cykels van oneven graad rechts, zodat we een ρ kunnen kiezen zoals in Lemma 4.3.4: laat ρ = ( Dan geldt τ = ρσρ 1, met als gevolg dat (0, ρ w (0, ρ 1 = (39( ( 57. Tot slot hebben we een d Z n 2 nodig die voldoet aan vergelijking (4.2. Hiervoor gebruiken we voor iedere cykel in τ uitdrukking (4.3: dus d 1 = 0 en d 2 = a 1 +b 1 = 1, d 8 = d 2 +a 3 +b 2 = 1, d 4 = d 8 +a 2 +b 8 = 0, d 6 = d 4 +a 5 +b 4 = 0, 26

27 daarnaast is d 3 = 0 en en tot slot d 5 = 0 en Hierdoor geldt d 9 = a 8 + b 3 = 1, d 7 = a 6 + b 5 = 0. Nu is (d ρ, ρ het conjugatie-element: d = (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, d τ = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, a ρ 1 = (1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, zodat d τ + a ρ 1 + d = (0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 = b. (d ρ, ρ(a, σ(d ρ 1, ρ 1 = (d ρσρ 1 + a ρ 1 + d, ρσρ 1 = (d τ + a ρ 1 + d, τ = (b, τ. Tot slot zijn we benieuwd naar het aantal elementen per conjugatieklasse. Stelling Zij w = (a, σ W n met type s (w = (u, v. Laat t = u + v, zodat p = n i=1 t i het totaal aantal cykels is in de signed cycle ontbinding van w. Dan is het aantal elementen in de conjugatieklasse van w gelijk aan n! 2 n p n i=1 (it i ui!v i!. Bewijs. De conjugatieklasse van w bevat precies alle elementen met het cykeltype (u, v, door Stelling Dat wil zeggen dat het aantal elementen in deze conjugatieklasse gelijk is aan het aantal mogelijkheden om de getallen 1,..., n te verdelen over de cykels van even en oneven graad van σ. Het aantal elementen dat in een cykel van even graad zit is gelijk aan m := n i=1 i u i. Het aantal elementen in een cykel van oneven graad is dan n m. Dan zijn er ( n m manieren om elementen uit {1,...,n} te kiezen voor de cykels van even graad. Voor ieder van deze keuzes zijn er ( m = 1,..., 1, 2,..., 2,..., n,..., n u 1 keer u 2 keer u n keer m! n i=1 (i!u i (4.4 manieren om de m elementen te verdelen over de cykels van even graad. Daarbij moet nog gecompenseerd worden voor de verschille configuraties van cykels per lengte; de permutatie (12(34(56 is immers gelijk aan de permutatie (56(12(34. Dus moeten we de uitdrukking (4.4 nog delen door u 1! u n!. Dat geeft de uitdrukking m! n i=1 (i!u i ui! (4.5 27

28 Wanneer alle elementen verdeeld zijn over de cykels, zijn er per cykel van lengte i nog (i 1! cykels mogelijk wat betreft de volgorde van de elementen in de cykel (en niet i!, omdat bijvoorbeeld (123 = (312. Dit geldt voor iedere cykel, dus over alle cykels zijn dat n i=1 ((i 1!u i mogelijkheden. Dat kunnen we vermenigvuldigen met uitdrukking (4.5, wat resulteert in m! n i=1 (i!u i ui! n ((i 1! u i = i=1 m! n i=1 iu i ui!. Als alle cykels van even graad bek zijn, moet nog bepaald worden welke elementen een streep krijgen in de signed cycle ontbinding. Dat is altijd een even aantal, wat precies de helft zal zijn van het totaal aantal mogelijkheden om strepen te geven aan de elementen in een cykel. Dus voor iedere cykel van lengte i zijn er 2 i 1 mogelijkheden om een even aantal strepen te zetten. Alles bij elkaar geeft dat de uitdrukking m! n i=1 iu i ui! n i=1 2 ui(i 1 = m! 2 u i (i 1 n. i=1 iu i ui! Een vergelijkbare uitdrukking is er voor de cykels van oneven graad. De twee resultere uitdrukkingen, gecombineerd met het aantal mogelijkheden ( n m om de elementen op te delen voor de even en oneven cykels, geven dat het aantal elementen in de conjugatieklasse gelijk is aan ( n m! 2 u i (i 1 m n (n m! 2 v i (i 1 i=1 iu i ui! n i=1 iv i vi! = n! 2( i ti ( t i n i=1 iu i+v iui!v i! = n! 2 n p n i=1 (it i ui!v i!. Voorbeeld Laat (u, v een signed cycle type van W 5 zijn, met u = (1, 1, 0, 0, 0 en v = (0, 1, 0, 0, 0. We construeren een element w met dit type en laten zien hoeveel mogelijkheden er in totaal zijn. We kiezen eerst 3 elementen voor de cykels van even graad, zeg de elementen 1,3 en 5, één van de ( 5 3 = 10 mogelijkheden. Verdeel ze over de cykels van lengte 1 en 2, bijvoorbeeld (13(5, één van de ( 3 1,2 = 3 mogelijkheden. Per lengte is er slechts één cykel, dus we hoeven niet te compenseren voor het aantal cykels per lengte. In iedere cykel kunnen we vervolgens een even aantal strepen zetten, dus bijvoorbeeld ( 1 3 (twee mogelijkheden en (5 (één mogelijkheid. Er is één overgebleven cykel van oneven graad, (24, waarbij ( 24 één van de twee mogelijkheden is om een oneven aantal strepen te zetten. In totaal zijn er dus = 120 verschille elementen met dit type. Dat is dan het aantal elementen in de conjugatieklasse van w = ( 1 3(5(

29 5. Het berekenen van non-equivalente kleuringen van I n In dit hoofdstuk bespreken we de methoden die gebruikt worden voor het Matlabprogramma dat aantallen van non-equivalente kleuringen van de k-facetten van de n- kubus bepaalt. De functie polyatotal( is een implementatie van Stelling en bepaalt het totaal aantal non-equivalente m-kleuringen. De functie polya( is juist gebaseerd op Stelling 2.3.6, om te kunnen kleuren met specifieke aantallen. De belangrijkste deelfunctie van deze twee functies is typetable(, die gegeven n en k, een tabel maakt waarin alle mogelijke k-types van de elementen van H n staan, en een vector die aangeeft hoe vaak elk k-type voorkomt. Deze functie maakt gebruik van de kennis uit Hoofdstuk 4. Allereerst leggen we uit hoe we de symmetrieën van H n beschouwen als operaties op de zogeheten facettenmatrix De facettenmatrix Definitie Zij n N en 0 k n. Het middelpunt van het k-facet A = {(x 1,..., x n I n x i1 = b 1,..., x in k = b n k } voor zekere b 1,..., b n k { 1, 1} en 1 i 1 <... < i n k n, is het punt (x 1,..., x n A waarvoor geldt: Voorbeeld Laat x j = 0 wanneer j i l voor alle 1 l n k. A = {(x, 1, 1 x [ 1, 1]} en B = {(1, y, z y, z [ 1, 1]}. Het middelpunt van A is (0, 1, 1 en het middelpunt van B is (1, 0, 0. Opmerking Wanneer A en B twee k-facetten van I n zijn, en voor T H n geldt T (A = B, dan beeldt T het middelpunt van A af op het middelpunt van B. Dat betekent dat we de k-facetten kunnen identificeren aan de hand van hun middelpunten; in plaats van te kijken naar de permutatie van de k-facetten kan men evengoed kijken naar de permutatie van de correspondere middelpunten. Om die reden zullen we vanaf nu een k-facet aanduiden met het bijbehore middelpunt. Definitie We definieren voor D n de verzameling van alle facetten (dus voor alle k {0,..., n} van I n. Met andere woorden: D n = { 1, 0, 1} n, 29

30 ten gevolge van onze nieuwe definitie van een k-facet zoals besproken in Opmerking Figuur 5.1.: De 0- (rood, 1- (blauw, 2- (groen en 3- (geel facetten van I 3. Merk op dat I n in totaal 3 n facetten heeft (inclusief I n zelf. We nummeren de facetten van 3n 1 2 tot en met 3n 1 2 als volgt: Definitie Het nummer van een facet x D n is gelijk aan n x i 3 i 1. i=1 Definitie De matrix M n,k met als kolommen precies alle k-facetten van I n, gesorteerd op nummer (van klein naar groot, noemen we de k-facettenmatrix (voor I n. Symmetrieën van I n zullen, zoals verderop wordt beschreven, de kolommen van M n,k permuteren. Het nummeren van de facetten is nodig om in Matlab een permutatie van de kolommen van M n,k te achterhalen door middel van de sort( functie. Voorbeeld De 2-facettenmatrix van de 3-kubus is gelijk aan M 3,2 = De nummers die corresponderen met de kolommen van M 3,2 zijn 9, 3, 1, 1, 3 en 9. De functie trimatrix(n,k geeft de k-facettenmatrix voor I n (zie A.5. Voor een gegeven symmetrie T H n geldt T = s c voor zekere (unieke s S en c C, zoals beschreven in Hoofdstuk 3. Het k-type van T wordt nu bepaald door T te zien als combinatie van elementaire rij-operaties op de matrix M n,k : de symmetrie c bepaalt welke rijen van M n,k vermenigvuldigd worden met 1. Daarna wordt door s bepaald 30

31 hoe de rijen gepermuteerd dienen te worden. De resultere matrix bevat dezelfde kolommen als M n,k, maar in een andere volgorde (zie Voorbeeld De vector van nummers die correspondeert met de kolommen van deze matrix is een permutatie van de vector die bij M n,k hoort. Notatie Voor T H n noteren we de matrix die verkregen wordt door T toe te passen op M n,k als T (M n,k. Voorbeeld Laat T = c s een symmetrie van I n zijn, met c : (x 1, x 2, x 3 ( x 1, x 2, x 3 en s : (x 1, x 2, x 3 (x 2, x 3, x 1. Om het 2-type van T te kunnen bepalen moeten we de bijbehore permutatie van de 2-facetten kennen M 3,2 = c s = T M 3, De correspondere nummers zijn uiteraard ook gepermuteerd: v = ( 3, 1, 9, 9, 1, 3. Het cykeltype van deze permutatie is (0, 0, 2, 0, 0, 0. De functie ctype(v bepaalt, gegeven de gepermuteerde vector v, het cykeltype dat hoort bij de permutatie. Zie A De typetabel Om de theorie van Pólya toe te kunnen passen hebben we alle k-types nodig van de symmetrieën in H n. Met de theorie van Hoofdstuk 4 weten we dat we uit iedere conjugatieklasse één representant kunnen kiezen, het bijbehore k-type moeten bepalen, en Stelling moeten gebruiken om te bepalen hoe vaak het k-type voorkomt. Een belangrijke vraag is dan natuurlijk: hoe bepalen we precies van iedere conjugatieklasse één representant? Door Stelling weten dat iedere conjugatieklasse met precies één signed cycle type correspondeert. We willen dus alle mogelijke signed cycle types af gaan. Daarvoor hebben we de definitie van een partitie nodig. Definitie Een rijtje natuurlijke getallen a 1 a 2... a k ( 1 waarvoor geldt dat n = k i=1 a i, heet een partitie van n. Een andere notatie voor dezelfde partitie is de vector b = (b 1, b 2,..., b n, waarbij b j het aantal i is waarvoor geldt: a i = j. Voorbeeld De getallen 2, 2 en 1 vormen een partitie van 5. De partitie kan ook genoteerd worden als (1, 2, 0, 0, 0. 31

32 Merk op dat een cykeltype van een element in S n ook een partitie voorstelt van het getal n (in de tweede notatie. Alle mogelijke cykeltypes van S n zijn dan precies alle partities van n. De functie partitions(n geeft een matrix met alle partities van n (en dus alle mogelijke cykeltypes. Deze functie is gebaseerd op de beschrijving van Donald Knuth onder het kopje Generating all partitions of an integer [4]. Zie A.6. Voorbeeld Het commando partitions(5 retourneert de matrix waarvan de kolommen de mogelijke cykeltypes van S 5 zijn. Definitie Een dubbelpartitie van een getal n is een paar van partities (p, q, met p een partitie van m en q een partitie van n m voor zekere 0 m n. Het signed cycle type van een element w = (a, σ W n is nu in principe een dubbelpartitie van n (met nog een aantal nullen om iedere partitie van lengte n te laten zijn: het signed cycle type splitst de cykels van n op in cykels van even graad (met een totale lengte van m en van oneven graad (met een totale lengte van n m. Alle mogelijke signed cycle types van W n zijn dan precies de dubbelpartities. Het aantal conjugatieklassen van H n is dus gelijk aan het aantal dubbelpartities van n. Voorbeeld Laat n = 7 en zij p = (1, 1, 0 een partitie van m = 3 zijn en q = (0, 2, 0, 0 een partitie van n m = 4. Dan is (p, q een dubbelpartitie van n. Het signed cycle type dat correspondeert met deze dubbelpartitie is (u, v, waarbij u = (p 0, 0, 0, 0 en v = (q 0, 0, 0. Gegeven een dubbelpartitie (dus een signed cycle type (p, q van n willen we een element vinden dat hoort bij de unieke correspondere conjugatieklasse. We splitsen de getallen 1 tot en met n in een cykel van lengte m en een cykel van lengte n m, dus ( m(m+1 m+2... n. Vervolgens delen we de linker- en rechtercykel op in kleinere cykels aan de hand van respectievelijk de partities p en q. De gepartitioneerde cykels van de linkercykel krijgen nergens een streep. De gepartitioneerde cykels van de rechtercykel krijgen ieder een streep op het eerste element. Zodoe heeft het resultere w W n het signed cycle type (u, v, waarbij Zie het volge voorbeeld. u = (p 0,..., 0 en v = (q 0,..., 0. n m keer m keer 32

33 Voorbeeld Laat p = (1, 2, 0, 0, 0 en q = (1, 1, 0. Dan is (p, q een dubbelpartitie van 8. We verdelen de getallen 1 tot en met 8 over twee cykels: (12345(678. Deze cykels partitioneren we aan de hand van p en q, en de cykels afkomstig van de bovenstaande rechtercykel krijgen een streep op het eerste element. Laat dus w = (1(23(45( 6( 78. Dit correspondeert met de symmetrie T = s σ c a H 8, waarbij σ = ( en a = (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, en het signed cycle type van w is inderdaad gelijk aan (u, v met u = (1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0 en v = (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0. Met de formule van Stelling bepalen we vervolgens het aantal elementen in de 8! 2 conjugatieklasse van het element T. Dat is gelijk aan 3 = (12 1!1! (23 2!1! De functie conclass(j,k bepaalt, gegeven partities j en k van respectievelijk m en n m, de σ en a van het representere element T = s σ c a, en ook het aantal elementen van de bijbehore conjugatieklasse, zoals in het vorige voorbeeld. Het element T kan dan toegepast worden op de k-facettenmatrix, om het k-type te bepalen dat hoort bij de conjugatieklasse. Merk op dat verschille conjugatieklassen wel hetzelfde k-type kunnen hebben. De functie typetable(n,k,compact maakt een tabel van alle cykeltypes door alle dubbelpartities af te gaan en de functie conclass( te gebruiken om de bijbehore elementen uit H n te bepalen. Vervolgens wordt de symmetrie uitgevoerd op de k- facettenmatrix en wordt het k-type gevonden met ctype(. Alle cykeltypes die gevonden worden komen in de tabel te staan. Verder retourneert typetable( een vector (die langs te tabel kan worden gezet met het aantal keer dat ieder cykeltype voorkomt. Bij compact=1 wordt de tabel ingekort door gelijke cykeltypes samen te voegen, compact=0 geeft de volledige tabel voor alle conjugatieklassen. Voorbeeld Het commando [E,u] = typetable(2,0,1 geeft E = en u = 3 2, voor de 0-types van de 2-kubus. Vergelijk dit met de tabel in Figuur Implementatie van de Pólya theorie Wanneer alle k-types en frequenties bek zijn kan de theorie van Pólya worden toegepast. De functie polyatotal(n,k,m bepaalt het totaal aantal non-equivalente kleuringen van de k-facetten van de n-kubus met m verschille kleuren. De functie gebruikt 33

34 typetable( om voor iedere conjugatieklasse het aantal cykels te kunnen bepalen, en maakt vervolgens gebruik van Stelling Zie A.2. Lastiger wordt het wanneer we de k-facetten willen kleuren met specifieke aantallen voor iedere kleur, zoals in Sectie 2.3. Stel dat we kleuren met m kleuren, zodat precies a i facetten kleur i krijgen, voor alle 1 i m, zodat a 1 + a a m = f n (k. Laat π = (e 1,..., e fn(k een k-type zijn. Om Stelling toe te passen, moeten we alle matrices T = (t ij af gaan die voldoen aan de vergelijkingen (2.3 en (2.4. Dat doen we als volgt: kies voor iedere 1 i m 1 een partitie van a i. Plaats de gekozen partities dan als rijen in een (m 1 f n (k-matrix T = (t i,j, door de rijen met nullen aan te vullen indien nodig. Controleer dan of voor alle 1 j f n (k geldt: m 1 i=1 t ij e j. (5.1 Zo nee, probeer een nieuwe combinatie van partities van de a i. Zo ja, dan is er een unieke vector t m = (t m,1,..., t m,fn(k waarvoor de matrix T = [ ] T t m voldoet aan (2.3 en (2.4: dat is immers de vector met m 1 t m,j = e j t ij voor alle j. i=1 Dan hebben we dus een unieke matrix T gevonden uit de verzameling M in Stelling Door alle combinaties van de partities van a 1,..., a m 1 af te gaan kunnen we zo alle matrices in M vinden. De reden dat we op deze manier te werk gaan is dat het bepalen van alle partities van een getal behoorlijk intensief is; zo zijn er bijna 200 miljoen partities van het getal 100. Het is zeker niet aan te raden om al deze partities in één matrix in Matlab te zetten. Met deze methode kunnen we echter wel nog voor beperkte(! a 1,..., a m 1 invariante kleuringen bepalen voor grote waarden van f n (k; van de overgebleven a m hoeven we niet de partities te bepalen. Bovien, men kan nagaan dat voor het product in uitdrukking (2.5 geldt: f n(k j=1 ( e j = t 1,j, t 2,j,..., t m,j f n(k j=1 ( ej t 1,j ( ( ej t 1,j ej m 2 i=1 t ( i,j tm,j. (5.2 t 2,j t m 1,j t m,j Dat betekent dat de onderste rij van T überhaupt niet nodig is om dit product uit te rekenen. Voorbeeld Zij n = 5 en k = 4, dan kleuren we dus f 5 (4 = 10 verschille 4-facetten van de 5-kubus. Laat a 1 = 3, a 2 = 2, a 3 = 1 en a 4 = 4. De zes mogelijke T (combinaties van partities van a 1, a 2, a 3 zijn: T 1 = T 4 = ( ( , T 2 =, T 5 = ( ( , T 3 =, T 6 = =1 ( , (

35 Stel dat π = (3, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 een k-type is, dan voldoen alleen T 1, T 2 en T 4 aan (5.1. Voor ieder van deze matrices bepalen we het aantal invariante kleuringen. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 0 3 T 1 : = 6, T 2 : ( ( ( ( 2 1 ( ( ( 0 0 ( ( j=4 10 j=4 10 ( 0 3 = 12, 0 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( T 4 : = j=4 Het aantal invariante kleuringen voor π is dus = 21. Merk op dat de term ( 0 0 erg vaak voorkomt; in het Matlab-programma houden we hier rekening mee door van de matrices T eventueel een nulmatrix af te knippen. De functie polya(n,k,a geeft het aantal non-equivalente kleuringen van de k-facetten van de n-kubus, waarbij a de vector is met de waarden a 1,..., a m 1 zoals hierboven. De functie: 1. bepaalt alle k-types met typetable(; 2. bepaalt voor ieder k-type het aantal invariante kleuringen door alle combinaties van partities van de elementen van a af te gaan zoals in Voorbeeld 5.3.1; 3. vermenigvuldigt per k-type dit aantal met het aantal keer dat het k-type voorkomt; 4. sommeert over alle k-types en deelt door het aantal symmetrieën van H n (Lemma 2.1.8, om zo het aantal non-equivalente kleuringen te bepalen. Zie A Opmerkingen De bottleneck voor het bepalen van de typetabel is het bepalen van het cykeltype voor iedere conjugatieklasse. Dat komt omdat ctype( voor iedere permutatie van de k- facetten alle f n (k elementen afloopt, en alle cykels moet doorlopen om het cykeltype te kunnen achterhalen. De cykeltypes zijn echter niet afkomstig van willekeurige permutaties; slechts een zeer klein deel van alle mogelijke cykeltypes komt in de tabel terecht. Wellicht is er iets te zeggen over de structuur van de cykeltypes voor n en k, zodat cykeltypes sneller gevonden kunnen worden. Daarnaast kost het veel tijd om voor het kleuren met specifieke aantallen (met polya( alle combinaties van partities van a 1,..., a m 1 af te gaan. Er zijn 42 partities van het getal 10. Als a 1 = a 2 = a 3 = 10 en a 4 = 34, dan gaat het al om 42 3 = combinaties. Wees dus voorzichtig met de aantallen in het laatste argument van polya(. Het bepalen van de typetabel is (dus groteels afhankelijk van het aantal k-facetten. De facettenmatrix is een n f n (k-matrix van het type double, dat betekent dat iedere entry 8 bytes aan ruimte inneemt. Het commando trimatrix(20,7 probeert dan een matrix van zo n 5 gigabyte proberen te construeren. Wees dus ook daar voorzichtig mee. 35

36 6. Conclusie Het is ons gelukt om een programma te schrijven dat voor beperkte n het aantal equivalentieklassen van kleuringen van de k-facetten kan bepalen. Wie weet valt er nu iets te zeggen over de vraag die in de inleiding is geponeerd Terugblik In de inleiding hebben we het gehad over het volge probleem: Probleem Zij n N. Wat is het aantal non-equivalente deelverzamelingen A B n van grootte n + 1, waarvoor geldt dat ieder k-facet aan hoogstens k elementen uit A grenst (voor alle 0 k n 1? Een wat minder grote restrictie op de voorwaarden voor de deelverzameling geeft een eenvoudigere variant: Probleem Zij n N. Wat is het aantal non-equivalente deelverzamelingen A B n van grootte n + 1, waarvoor geldt dat iedere ribbe aan hoogstens 1 element uit A grenst? Dergelijke vraagstukken lijken niet eenvoudig te zijn; de oplossing ligt in ieder geval niet voor de hand. Toch kan het tellen van non-equivalente kleuringen ons misschien helpen om een idee te krijgen van de orde van grootte van de antwoorden. Herinner dat we het nemen van een deelverzameling kunnen zien als een 2-kleuring: hoekpunten in A krijgen kleur 1, de overige hoekpunten kleur 2. Wanneer twee hoekpunten aan de uiteinden van één ribbe kleur 1 hebben, kunnen we dat zien als het kleuren van de ribbe zelf met kleur 1. Als op deze manier in een deelverzameling een ribbe gekleurd kan worden, dan voldoet de verzameling niet aan de voorwaarde van hoogstens één hoekpunt per ribbe. De functie polyamulti(n,k,p geeft ons de mogelijkheid om meerdere facetten tegelijk een 2-kleuring te geven (k is nu een vector van dimensies voor de facetten, p een bijbehore vector met voor iedere dimensie het aantal facetten dat kleur 1 krijgt. Voor iedere symmetrie is het aantal invariante kleuringen dan simpelweg het product van het aantal invariante kleuringen per facet. Een eenvoudig inclusie-exclusie-argument geeft ons dan het volge bescheiden resultaat, waarbij we niet kijken naar deelverzamelingen van grootte n + 1, maar van grootte 3. Stelling Zij n 3. We beschouwen de n-kubus. Laat (i C 1 de verzameling non-equivalente 2-kleuringen waarbij drie hoekpunten kleur 1 hebben; 36

37 (ii C 2 de verzameling non-equivalente 2-kleuringen waarbij één hoekpunt kleur 1 heeft, en één ribbe kleur 1. Dan is het aantal non-equivalente deelverzamelingen A B n van grootte 3, waarbij iedere ribbe aan hoogstens 1 element uit A grenst, gelijk aan C 1 C Bewijs. Van de verzameling C 1 willen we geen kleuringen waarbij twee hoekpunten aan één ribbe zitten. Een dergelijke kleuring correspondeert met een kleuring uit B. Maar B bevat nog één kleuring die niet correspondeert met een kleuring uit A; de kleuring waarbij het hoekpunt met kleur 1 aan het uiteinde van de ribbe met kleur 1 ligt. Dit kan, rekening houd met symmetrieën, op 1 manier, dus het aantal gewenste kleuringen is gelijk aan C 1 C Figuur 6.1.: Visualisatie van Stelling Deze uitdrukking komt overeen met het commando polya(n,0,3 - polyamulti(n,[0,1],[1,1] + 1. Voor deelverzamelingen groter dan 3 wordt het lastiger, maar met een dergelijke redenering is het ook mogelijk om boven- en ondergrenzen te vinden. Zo is polya(n,0,n+1 - polyamulti(n,[0,1],[n-1,1] een eenvoudige ondergrens voor Probleem (vrij zwak, want pas vanaf n = 9 is dit positief Vooruitblik Het is nog maar de vraag of non-equivalente kleuringen daadwerkelijk kunnen helpen bij het oplossen van Probleem We zijn niet bepaald dicht in de buurt gekomen, maar de programmatuur komt mogelijk wel van pas bij toekomstig onderzoek. Het ligt misschien meer voor de hand om op de één of andere manier de verzameling van 2- kleuringen te identificeren die voldoen aan de voorwaarde hoogstens k elementen uit A per k-facet, al lijkt ons dit al een ingewikkeld probleem op zich. 37

38 Bibliografie [1] Michael Baake (1984, Structure and representations of the hyperoctahedral group, Journal of Mathematical Physics 25: [2] Richard A. Brualdi (2009, Introductory Combinatorics, Pearson Education, (vierde editie [3] Abdullah Cihangir (2016, Nonobtuse Simplices & Special Matrix Classes (proefschrift, Universiteit van Amsterdam [4] Donald E. Knuth (2005, The Art of Computer Programming, Volume 4, Fascicle 3: Generating All Combinations and Partitions, Addison-Wesley Professional, (eerste editie Pre-fascicle geraadpleegd via wagner/knuth/ op, zie Prefascicle 3B, pagina 7, voor het betreffe beschrijving van het algoritme, geraadpleegd op 12 juli 2017 [5] George Pólya (1937, Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen Acta Mathematica 68: [6] Joseph J. Rotman (1995, An Introduction to the Theory of Groups Springer-Verlag New York, (vierde editie 38

39 7. Populaire samenvatting Wanneer men de hoekpunten van een gewone, 3-dimensionale kubus wil kleuren met de kleuren blauw en rood, dan kan dat op 2 8 manieren, want ieder hoekpunt kan één van de twee verschille kleuren aannemen. Beschouw in de volge figuur (links twee van deze kleuringen. Figuur 7.1.: Twee equivalente kleuringen, en een screenshot van het programma-interface Door de kubus een kwartslag te draaien kunnen we de bovenste kleuring over laten gaan in de onderste kleuring. Nu zeggen we: twee kleuringen van de hoekpunten van de kubus zijn equivalent als er een symmetrie, dat is een draaiing of spiegeling, van de kubus is die de ene kleuring naar de andere kleuring brengt. Als dat niet kan, dan zijn de twee kleuringen non-equivalent. We zijn geïnteresseerd in het aantal verschille nonequivalente kleuringen van de hoekpunten. Nu is er een stelling die zegt dat dit aantal gelijk is aan het gemiddeld aantal kleuringen per symmetrie dat niet verandert. De kleuring waarbij alle hoekpunten rood gekleurd zijn, blijft bijvoorbeeld gelijk onder elke symmetrie; de kleuring is invariant. Met deze kennis blijkt het aantal non-equivalente kleuringen in het voorbeeld hierboven (het rood en blauw kleuren van de hoekpunten gelijk te zijn aan 22. Het wordt pas echt leuk als we bijvoorbeeld de zijvlakken van een 7- dimensionale kubus gaan kleuren. Omdat een 7-kubus verschille symmetrieën heeft, is het niet realistisch om het aantal non-equivalente kleuringen met de hand te bepalen. Het is daarentegen wel mogelijk om een computerprogramma te schrijven dat dat doet, zoals te zien is in het screenshot in de bovenstaande figuur. 39