8. Betrouwbaarheidsintervallen voor gemiddelden

Transcriptie

1 VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede tatitiek 8. Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde Werktekt voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Ha Bekaert Cecile Goethal Lie Provoot Marc Vacaudeberg

2 Statitiek voor het ecudair oderwij Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde 1. Bouw verder op je kei Waarover gaat de oderzoekvraag? Verzamel je data Bouwtee voor ee betrouwbaarheiditerval Hoe het werkte voor proportie Ee chatter voor de populatieproportie Ee model voor ee iterval: de theorie Ee model voor ee iterval: de praktijk Hoe het werkt voor gemiddelde Ee chatter voor het populatiegemiddelde Ee model voor ee iterval: de theorie Ee model voor ee iterval: de praktijk Waeer mag je het praktijkmodel gebruike? Facultatief deeltje: de Studet t-verdelige Betrouwbaarheid e preciie De betrouwbaarheid veradere De foutemarge Hoe groot moet de teekproef zij? De theorie De praktijk Ee beaderig voor de t waarde Ee beaderig voor...18 Nota voor de leerkracht. I deze tekt wordt op meerdere plaate gebruik gemaakt va teekproeve die de leerlige getrokke hebbe uit de databak va geboorte i Vlaadere. Het i efficiët dat deze teekproeve vooraf worde getrokke e i de GRM zij igebracht. Hoe de leerlig dat moet doe taat uitgelegd i put 3. Voor de eerte teekproef (va grootte =70) worde lijte GEW e SEX gemaakt. Voor de teekproef i opdracht 7 (met =121) kue de leerlige ee lijt make met aam GW121. Al daara ee bepaalde lijt (bijvoorbeeld GW121) aar d moet gekopieerd worde ka dat el zoal hieraat aagegeve. Druk y 9, loop aar GW121 e druk Í. Vervolg met e y d e Í. ELKE leerlig moet zij eige teekproeve trekke. Cetrum voor Statitiek 1

3 Statitiek voor het ecudair oderwij Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde 1. Bouw verder op je kei De belagrijkte begrippe die aa bod kome bij het optelle va betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde zij dezelfde al deze die je otmoet hebt bij het betudere va betrouwbaarheiditervalle voor proportie. Er zij verchillede methode om betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde op te telle. Die hage af va de teekproefgrootte e va wat je over de populatie vooraf al weet. I deze tekt gaa wij die verchillede methode iet behadele. We beperke o hier tot éé ituatie e kieze daarbij voor ee methode die goed werkt bij de overgrote meerderheid va realitiche tudie i de praktijk. De verchillede tappe die odig zij om betrouwbaarheiditervalle voor proportie op te telle heb je vroeger reed doorlope. Die kei ga je u gebruike om, zoder ieuwe theoretiche afleidige, betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde te make. Daarvoor moet je de tekt over betrouwbaarheiditervalle voor proportie beheere. Let daarbij vooral op de oderliggede tructuur va de toe gebruikte procedure (die dezelfde zal blijve bij gemiddelde) e iet zozeer op de cocrete groothede e getalle (die er ader zulle uitzie bij gemiddelde). 2. Waarover gaat de oderzoekvraag? Voor alle kidere die i 2003 i Vlaadere gebore zij heb je je vroeger afgevraagd wat de proportie joge i bij al die geboorte. Dat i ee vraag over ee kemerk va de totale populatie va al die geboorte. Wat de proportie joge i, weet je iet omdat je de volledige populatie iet ket. Maar die populatieproportie betaat wel. Het i ee vat (maar ogeked) getal, geoteerd al. Om over de populatieparameter iet te wete te kome, trek je ee teekproef e je kijkt welke proportie joge je i je teekproef vidt. Die proportie oteer je al ˆp. Dat i je putchattig voor de populatieproportie. Die putchattig geeft je ee eerte idee over de proportie joge i de totale populatie maar je weet ook dat ee volgede teekproef uit diezelfde populatie je ee adere ˆp zal oplevere. Dat i ee probleem wat welke ˆp i u de bete? Om ee idee te hebbe over de auwkeurigheid waarmee je iet over de echte ka zegge, ka je beter met ee iterval da met ee put werke. Dat betudeer je trak verder. Voor alle kidere die i 2003 i Vlaadere gebore zij, zou je je ook ee kue afvrage wat hu gemiddeld geboortegewicht i. Ook hier heb je da ee vraag over ee kemerk va de totale populatie va al die geboorte. Het gemiddelde va al die geboortegewichte ke je iet wat je bechikt iet over de gewichte va al die baby (het zij er meer da ). Maar dat populatiegemiddelde betaat wel. Het i ee vat getal, geoteerd al. Om over iet te wete trek je ee teekproef e bereke je het gemiddelde va alle gewichte die i jouw teekproef zij terechtgekome. Het gemiddelde dat jij gevode hebt, oteer je al x. Dat i jouw putchattig voor. Maar ook hier levert ee adere teekproef ee adere x op e heb je gee ekel idee welke x de bete i. Daarom zal je overtappe op ee iterval. Cetrum voor Statitiek 2

4 Statitiek voor het ecudair oderwij Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde Som zorgt de oderzoekvraag ervoor dat de populatie volge ee of ader kemerk opgeplitt wordt i ee dichotomie (= twee iet-overlappede dele) zoal meije/joge, jog/oud, voor/tege, of algemee: ucce/milukkig. I zo geval heb je te make met ee 0-1 populatie die je ka voortelle door ee Beroulli kaverdelig met P(ucce) =. Om de ogekede populatieproportie te betudere, moet je da methode voor proportie gebruike. Al de oderzoekvraag gaat over ee populatie-eigechap die al cotiu ka behadeld worde (gewicht, legte, tijdduur, ) da beteket dit dat je die populatie-eigechap ka voortelle door ee cotiu kamodel (zoal bijvoorbeeld door ee ormale verdelig). Al je bij ee cotiue populatie iet wil wete over het populatiegemiddelde da maak je gebruik va methode voor gemiddelde. 3. Verzamel je data Trek ee teekproef va grootte 70 uit de databak va alle kidere die i het jaar 2003 i Vlaadere gebore zij. Hoe je dat doet, taat hieroder kort bechreve. Ga aar Klik da op Lik aar het lemateriaal e daara op Lik aar de databak. Duid aa dat je ekel kidere wil uit het jaar 2003 e dat je ee teekproef va grootte 70 wil trekke. Trek da de teekproef. Op dat ogeblik verchijt ook ee lik: Steekproefgegeve ibrege i GRM. Hadleidig. Die tekt ka je opee (of dowloade) e je hoeft daar ekel de eerte bladzijde te leze om te lere hoe je el de gegeve va je getrokke teekproef ka overzette aar ee Excel betad e hoe je daaruit kolomme ka kopiëre aar lijte i je GRM. Voor het voorbeeld i deze tekt gige we al volgt te werk: De gevode reultate werde i ee Excel betad overgebracht waarva je hier ee gedeelte ziet. Cetrum voor Statitiek 3

5 Statitiek voor het ecudair oderwij Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde Daara i de C-kolom gekopieerd aar ee lijt i de GRM waarbij aa die lijt de aam GEW i gegeve. Telotte i de D-kolom aar ee lijt i de GRM overgebracht met aam SEX. Al je i je GRM y 9 itikt, da zie je de ame va de aawezige lijte. I dit voorbeeld volge a de klaieke ame (va d tot i ) de ame GEW e SEX. Al de curor aat de aam va ee lijt taat (bijvoorbeeld SEX) e je drukt twee keer Í, da zie je de eerte getalle die i die lijt taa. Met het pijltje ~ ka je da i die lijt verder crolle e volgede getalle zie. Doe u hetzelfde zoal hierbove i bechreve maar werk met de data die jij i jouw teekproef hebt gevode. Dat beteket ook dat je de volledige beprekig die u volgt, moet uitvoere met de teekproef die jij hebt getrokke. I deze tudie zal je groothede odig hebbe die te make hebbe met het gelacht e met het gewicht. Daarbij zal je gegeve uit jouw teekproef moete gebruike. Heel wat klaieke groothede ka je op ee eevoudige maier berekee voor later gebruik. Daarvoor doe je het volgede. Druk, loop aar CALC e druk op 1:1 Var Stat. Vervolledig da het commado op je cherm al volgt: druk y 9, loop aar GEW e druk Í. Op je cherm taat u het commado om tatitiche groothede te berekee voor de getalle i de lijt GEW. Druk u og ee Í e chrijf de getalle op het cherm over (of maak ee chermafdruk) zodat je die later ka gebruike. Doe daara hetzelfde voor de teekproefgegeve i de lijt SEX. Vat da alle reultate ame i ee tabel zoal hieroder. Berekeige va tatitiche groothede Geboortegewicht Gelacht (i gram) joge = 1 ; meije = 0 GEW SEX Tabel 1 Cetrum voor Statitiek 4

6 Statitiek voor het ecudair oderwij Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde Opdracht 1 I tabel 1 taat twee keer de grootheid x. Wat i de betekei va deze grootheid bij GEW e wat i haar betekei bij SEX? Geef ee auwkeurige formulerig i woorde e voeg er wat uitleg aa toe. GEW zij geboortegewichte. Zij worde behadeld al umeriek cotiue groothede zodat x daar het gemiddelde geboortegewicht i va de 70 baby die ik i mij teekproef heb gevode. I dit voorbeeld i x gelijk aa gram. Bij SEX zij de uitkomte 0 of 1 zodat x daar gelijk i aa het totaal aatal ee gedeeld door de teekproefgrootte, wat du de proportie ee (of de proportie joge) i die i de teekproef zij gevode. Het totaal aatal ee lee je af bij x. De otatie die wij voor de gevode teekproefproportie gebruike i ˆp zodat we hier hebbe dat ˆp = 37 / Bouwtee voor ee betrouwbaarheiditerval 4.1. Hoe het werkte voor proportie I dit deeltje herhale we de baitappe die je gezet hebt bij het optelle va ee betrouwbaarheiditerval voor ee populatieproportie. Het i de bedoelig dat je deze baitappe heel goed begrijpt zodat je ze trak ka imitere al het over gemiddelde zal gaa. Ee gedetailleerde uitleg wordt hier iet meer gegeve. Al je extra uitleg odig hebt, da moet je eve gaa kijke i de vroegere tekte over Proportie e over Betrouwbaarheiditervalle voor proportie Ee chatter voor de populatieproportie Al je iet wil wete over de populatieproportie (de proportie joge i de totale populatie), da trek je ee teekproef uit die populatie. Bij ee teekproefgrootte va bijvoorbeeld 70 zou het kue dat jij 37 joge (= 37 uccee of 37 ee) e 33 meije (= 33 milukkige of 33 ulle) vidt. Om ee idee te krijge over de proportie joge i de totale populatie bereke jij de proportie joge die jij i je teekproef hebt gevode. Dat i hier ˆp = 37 / De proportie i jouw chattig voor de waarde va. Al methode heb je ee goede tart geome. Ee vraag over ee populatieproportie (die je iet ket) beatwoord je met de waarde va ee teekproefproportie ˆp. Maar teekproeve zij aa het toeval oderhevig zodat verchillede waarde ˆp met verchillede kae tot jou zulle kome al je meerdere kere ee teekproef zou trekke. Hoe dat juit werkt wordt bechreve door het oderliggede kamodel ˆP. Dat kamodel oem je de teekproefproportie. Het i ee chatter voor. Cetrum voor Statitiek 5

7 Statitiek voor het ecudair oderwij Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde Ee model voor ee iterval: de theorie De teekproefproportie ˆP heb je vroeger betudeerd. Herier je de volgede 3 eigechappe. 1. Het gemiddelde va de teekproefproportie i gelijk aa de populatieproportie EPˆ. 2. De tadaardfout va de teekproefproportie i gelijk aa de tadaardafwijkig va de populatie gedeeld door de wortel uit de teekproefgrootte ˆ (1 ) e P. 3. Al de teekproef groot geoeg i da gedraagt ˆP zich zoal ee ormaal verdeeld (1 ) kamodel, zodat ˆ P~ N,. Je weet dat alle ormale kamodelle met 95 % ka iet verder da 1.96 tadaardafwijkige va hu gemiddelde valle. Voor ˆP ka je deze eigechap chrijve al: P 1.96 ep ( ˆ) Pˆ 1.96 ep ( ˆ) 0.95 wat ook gelijk i aa: P Pˆ 1.96 e( Pˆ) Pˆ 1.96 e( Pˆ) Bemerk dat de bovetaade formule ee uitpraak doet over ee model dat itervalle geereert die met 95 % ka de ogekede maar vate populatieproportie omluite. Het kamodel dat zegt op welke maier itervalle tot jou kome e met welke ka ze omluite, ziet er du al volgt uit: Pˆ 1.96 e( P ˆ) grootheid die aa het toeval oderhevig i de waarde va ˆP hagt af va de waarde die jij i je toevallige teekproef zal vide vat getal gebaeerd op de ormale verdelig vat getal e( P ˆ) hagt allee af va (vat e iet geked) e va (vat e geked) Al je u ee teekproef va grootte 70 trekt e je vidt ˆp = 37 / , da moet je jouw gevode waarde allee maar ivulle i het kamodel Pˆ 1.96 e( ˆP ) om tot ee 95 % betrouwbaarheiditerval voor te kome. Dat levert: ???? Iderdaad, e( Pˆ ) i ee vat getal maar je ket het iet wat de obekede komt eri voor. Hoe je deze moeilijkheid ka omzeile, lee je hieroder. Cetrum voor Statitiek 6

8 Statitiek voor het ecudair oderwij Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde Ee model voor ee iterval: de praktijk (1 ) de ogekede vervagt door de chattig ˆp = 37 / die jij i je teekproef hebt gevode, da be je va het probleem verlot dat e P ˆ iet te berekee i. pˆ(1 pˆ) 0.529( ) Je werkt da gewoo met Al je u ee volgede keer ee teekproef trekt e je vidt 28 uccee op 70 uitkomte da i ˆp = 28 / Om da de moeilijkheid va de ogekede ˆ (1 ) e P te omzeile zal je pˆ(1 pˆ) 0.4(10.4) werke met Welk getal je i de plaat va e P ˆ moet ivulle, hagt blijkbaar af va de reultate i je toevallige teekproef. Dat i te vulle getal i du zelf ee uitkomt va ee oderligged model, Pˆ(1 Pˆ) amelijk. I woorde zegt dit model: al je ee teekproef zal trekke, da moet je daara het product berekee va je gevode teekproefproportie met éé mi die teekproefproportie. Uit dat reultaat trek je de vierkatwortel e telotte deel je og ee door de wortel uit de teekproefgrootte. Al je i epˆ Op deze maier heb je u ee ieuw kamodel gebouwd voor het optelle va betrouwbaarheiditervalle. Het ziet er al volgt uit: Pˆ???? Pˆ(1 Pˆ) grootheid die aa het toeval oderhevig i de waarde va ˆP hagt af va de waarde die jij i je toevallige teekproef zal vide vat getal gebaeerd op de verdelig die bij dit ieuwe model hoort grootheid die aa het toeval oderhevig i de waarde va Pˆ(1 Pˆ) hagt af va de waarde die jij i je toevallige teekproef zal vide Je hebt vroeger geleerd dat je bij het bovetaade kamodel altijd ka werke met kritiche pute va de ormale verdelig. Al het criterium voor voldoede grote teekproef iet voldaa i da ka je de +2/+4 regel gebruike. Zo ka je altijd met het getal 1.96 werke om ee 95 % betrouwbaarheiditerval op te telle. Al kamodel krijg je da: Pˆ 1.96 Pˆ(1 Pˆ) Cetrum voor Statitiek 7

9 Statitiek voor het ecudair oderwij Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde of, i algemee otatie, ˆ(1 ˆ ˆ P P) P ( z waarde) waarbij (z waarde) verwijt aar het gepate kritiche put uit de tadaard ormale verdelig. Voor ee 95 % betrouwbaarheiditerval i dit iderdaad het put 1.96 zoal je op de odertaade figuur ka afleze. pˆ(1 pˆ) 0.529( ) I oze getrokke teekproef i ˆp = 37 / zodat O 95 % betrouwbaarheiditerval i du of [ ; ], wat ook rechttreek met de GRM al volgt wordt gevode. Druk, loop aar TESTS e da aar A:1-PropZIt.. e Í. Vul da het cherm i zoal aagegeve. Ga daara op Calculate taa e druk Í. Opdracht 2 Maak u met je eige gegeve ee 95 % betrouwbaarheiditerval. Zeg i woorde waarvoor dit ee betrouwbaarheiditerval i e geef ook aa welke otatie je hier gebruikt. Heb jij hetzelfde betrouwbaarheiditerval al je medeleerlige? Hoe komt dat? Geef hiervoor ee goede uitleg waarbij je aar ee model verwijt. Het door mij gevode betrouwbaarheiditerval i (bijvoorbeeld) [ ; ]. Dit i ee betrouwbaarheiditerval voor de populatieproportie, amelijk de proportie joge bij alle geboorte i Vlaadere i het jaar Medeleerlige hebbe adere betrouwbaarheiditervalle gevode. Zij hebbe allemaal hetzelfde ˆ(1 ˆ) model ˆ P P P 1.96 gebruikt, maar door het toeval i de getrokke teekproeve hebbe zij verchillede waarde ˆp gevode. Dat levert verchillede itervalle, zoal te verwachte. Het model i immer zo opgeteld dat er lukraak itervalle worde gegeereerd waarva er 95 % de echte populatieproportie bevatte. Cetrum voor Statitiek 8

10 Statitiek voor het ecudair oderwij Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde Opdracht 3 Wat ka je zegge over het door jou gevode betrouwbaarheiditerval i verbad met de iformatie die je wil te wete kome over? Ka je hier ee kauitpraak doe over of over het door jou gevode iterval? Idie ja, welke uitpraak i dat da? Idie ee, wat ka je da wel zegge over het verbad tue e jouw betrouwbaarheiditerval? Het door mij gevode iterval [ ; ] i ee vat iterval e de populatieproportie i ee vate proportie (die ik iet ke maar die iet aa het toeval oderhevig i). Over ee vate proportie of over ee vat iterval ka je gee kauitprake doe. Ofwel ligt i [ ; ] ofwel iet. Op bai va het model waarmee ik gewerkt heb, hoop ik dat ik bij mij teekproef geluk gehad heb, maar of dit echt zo i weet ik iet (e zal ik ook ooit wete). Het eige wat ik u ka doe i zegge dat de waarde i [ ; ] wat mij betreft aaemelijke waarde voor zij waarmee ik voor het vervolg va mij tudie zal verder werke Hoe het werkt voor gemiddelde Om bij ee cotiue populatie ee 95 % betrouwbaarheiditerval voor het populatiegemiddelde op te telle, ka je probere om de bovetaade tappe a te boote. Dat gaat al volgt Ee chatter voor het populatiegemiddelde Al je iet wil wete over het populatiegemiddelde (het gemiddeld geboortegewicht va al die baby i de totale populatie), da trek je ee teekproef uit die populatie. Bij ee teekproefgrootte va bijvoorbeeld 70 ka je met die 70 getrokke gewichte verchillede dige doe. Maar al je iet wil wete over het gemiddelde gewicht va de baby i de populatie, da i het ogal logich dat jij met de reultate va je teekproef ee gemiddelde uitreket, amelijk het gemiddelde va alle gewichte die jij i je teekproef hebt gevode. Dat zou bijvoorbeeld gelijk kue zij 70 1 aa (i gram) x xi Het gemiddelde x i jouw chattig voor de waarde 70 i 1 va. Al methode be je hier logich tewerk gegaa. Ee vraag over ee populatiegemiddelde (dat je iet ket) beatwoord je met de waarde va ee teekproefgemiddelde x. Maar teekproeve zij aa het toeval oderhevig zodat verchillede waarde x met verchillede kae tot jou zulle kome al je meerdere kere ee teekproef zou trekke. Hoe al die x -waarde juit tot jou kome wordt bechreve door het oderliggede kamodel X. Dat kamodel oem je het teekproefgemiddelde. Het i ee chatter voor het populatiegemiddelde. Cetrum voor Statitiek 9

11 Statitiek voor het ecudair oderwij Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde Ee model voor ee iterval: de theorie Het teekproefgemiddelde X heb je vroeger betudeerd. Herier je de volgede 3 eigechappe. 1. Het gemiddelde va het teekproefgemiddelde i gelijk aa het populatiegemiddelde EX. 2. De tadaardfout va het teekproefgemiddelde i gelijk aa de tadaardafwijkig va de populatie gedeeld door de wortel uit de teekproefgrootte ex. 3. Al de teekproef groot geoeg i da gedraagt X zich zoal ee ormaal verdeeld kamodel, zodat X ~ N,. Je weet dat alle ormale kamodelle met 95 % ka iet verder da 1.96 tadaardafwijkige va hu gemiddelde valle. Voor X ka je deze eigechap chrijve al: wat ook gelijk i aa: P1.96 ex ( ) X1.96 ex ( ) 0.95 P X 1.96 e( X ) X 1.96 e( X ) Bemerk dat de bovetaade formule ee uitpraak doet over ee model dat itervalle geereert die met 95 % ka het ogekede maar vate populatiegemiddelde omluite. Het kamodel dat zegt op welke maier itervalle tot jou kome e met welke ka ze omluite, ziet er du al volgt uit: X 1.96 e( X ) grootheid die aa het toeval oderhevig i de waarde va X hagt af va de waarde die jij i je toevallige teekproef zal vide vat getal gebaeerd op de ormale verdelig vat getal e( X ) hagt allee af va (vat e iet geked) e va (vat e geked) Al je u ee teekproef va grootte 70 trekt e je vidt x , da moet je jouw gevode waarde allee maar ivulle i het kamodel X 1.96 e( X ) om tot ee 95 % betrouwbaarheiditerval voor te kome. Dat levert: ???? Iderdaad, e( X ) i ee vat getal maar je ket het iet wat de obekede komt eri voor. Hoe je deze moeilijkheid ka omzeile, lee je hieroder. Cetrum voor Statitiek 10

12 Statitiek voor het ecudair oderwij Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde Ee model voor ee iterval: de praktijk I ex taat de ogekede tadaardafwijkig va de populatie. Die zou je kue vervage door de tadaardafwijkig va de getalle die je i jouw teekproef hebt gevode. Dat zou bijvoorbeeld x i x xi x kue zij. Maar bij ee 1 i1 69 i1 volgede teekproef zou je wel ee 546 kue vide e da zal je de ogekede vervage door 546. Welk getal je i de plaat va ex moet ivulle, hagt blijkbaar af va de reultate i je toevallige teekproef. Dat i te vulle getal i du zelf ee uitkomt va ee oderligged model, amelijk S waarbij 1 S X 2 i X de teekproeftadaardafwijkig i. 1 i1 Je hebt u ee ieuw kamodel gebouwd voor het optelle va betrouwbaarheiditervalle. Het ziet er al volgt uit: X???? S grootheid die aa het toeval oderhevig i de waarde va X hagt af va de waarde die jij i je toevallige teekproef zal vide vat getal gebaeerd op de verdelig die bij dit ieuwe model hoort grootheid die aa het toeval oderhevig i de waarde va S hagt af va de waarde die jij i je toevallige teekproef zal vide De verdelig die bij dit ieuwe model hoort i de t-verdelig. Al algemee formule krijg je da X ( t waarde) S De t-verdelig heb je og iet betudeerd maar zij lijkt goed op de tadaard ormale verdelig. Er zij atuurlijk wel ekele verchille. Iet meer iformatie hierover ka je leze i volged putje maar dat heb je allemaal iet odig om je betrouwbaarheiditerval op te telle. Met je GRM gaat dit erg eevoudig. Al je ee teekproef va grootte 70 getrokke hebt e je hebt va die getalle reed het gemiddelde x e de tadaardafwijkig bereked, da ga je al volgt te werk. Cetrum voor Statitiek 11

13 Statitiek voor het ecudair oderwij Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde Druk, loop aar TESTS, kie 8:TIterval e druk Í. Al je gegeve i ee lijt taa (zoal d ) da kie je bij Ipt: voor Data. Maar al je reed de kegetalle x e bereked hebt, loop da aar Stat, druk Í e vul de waarde i voor x, voor (op je GRM geoteerd al Sx ) e voor. Voor C-Level (Cofidece level of betrouwbaarheidiveau) eem je.95 (al je ee 95 % betrouwbaarheiditerval wil optelle) e da loop je aar Calculate e druk je Í. Na eve wachte krijg je het gezochte iterval. Hier i dat [ ; ], wat je ook ka chrijve al Opdracht 4 Hierbove i getood hoe je met de GRM ee 95 % betrouwbaarheiditerval optelt. Volg de bechreve procedure maar werk met de reultate die jij i jouw teekproef hebt gevode. Zeg ook voor welke grootheid je u ee 95 % betrouwbaarheiditerval hebt opgeteld e hoe deze grootheid geoteerd wordt. Voor de gewichte i mij teekproef wa x 3312 e 546. Met de GRM krijg ik [ ; ] al 95 % betrouwbaarheiditerval voor het gemiddeld geboortegewicht va alle kidere die i 2003 i Vlaadere gebore zij. Dit populatiegemiddelde wordt voorgeteld al Waeer mag je het praktijkmodel gebruike? Waeer je ee populatie X hebt die groothede bechrijft die je cotiu ka behadele (zoal S legte, gewicht, tijdduur, ) da gebruik je het model X ( t waarde) om voor het populatiegemiddelde betrouwbaarheiditervalle op te telle. Om met ee t waarde te moge werke, moet (i theorie) de oderliggede populatie X va legte, gewichte, te bechrijve zij door ee ormaal kamodel. Dat i iet altijd het geval, wat je weet bijvoorbeeld dat geboortegewichte cheef aar lik zij. Gelukkig i het model S X ( t waarde) robuut, wat wil zegge dat je het og altijd (al goede beaderig) mag gebruike, zelf al de oderliggede populatie X iet ormaal verdeeld i. Cetrum voor Statitiek 12

14 Statitiek voor het ecudair oderwij Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde Waeer je grote teekproeve hebt (dikwijl i 30 al voldoede), da hoeft de populatie X helemaal iet ormaal te zij. Bij kleie teekproeve hoeft de populatie X ook iet perfect ormaal te zij, maar daar moet je er toch op lette dat ze iet te extreem cheef i of gee te extreme uitchieter bevat. E i ieder geval i het odig dat de getalle waarmee je werkt afkomtig zij va ee goede teekproef (EAS). S Voorwaarde om het model X ( t waarde) te moge gebruike bij het optelle va betrouwbaarheiditervalle voor ee populatiegemiddelde. De getalle waarmee je werkt om jouw betrouwbaarheiditerval op te telle, zij afkomtig va ee goede teekproef (EAS) uit de populatie X. Al de teekproef klei i ( 30 ) da moet je redelijkerwij kue odertelle dat de populatie X iet te extreem afwijkt va ee ormaal kamodel. Opdracht 5 I opdracht 4 heb je met de GRM ee betrouwbaarheiditerval voor opgeteld. De GRM S heeft daarbij het model X ( t waarde) gebruikt. Ware de voorwaarde voldaa om met dat model te moge werke? Verklaar. De voorwaarde om met dit model te werke zij voldaa wat oze getalle zij afkomtig va ee EAS uit de populatie X va geboortegewichte waarbij de getrokke teekproef groot i (=70) Facultatief deeltje: de Studet t-verdelige William Goet ( ) i de tatiticu die de t-verdelig otdekte. Hij werkte i die tijd voor de Guie brouwerij die aa haar medewerker verbood om ieuwe vodte te publicere (wat dat wa fabriekgeheim). Om elk verbad met Guie te verberge publiceerde Goet zij reultate oder het peudoiem Studet. Op die maier i de aam Studet t-verdelig ottaa. Eigelijk i er iet éé t-verdelig, maar zij er oeidig veel. I de wikudige formule voor de dichtheidfuctie va de t-verdelig taat ee parameter k. Bij elke adere waarde va k hoort ee adere fuctie e du ook ee adere t-verdelig. Welke waarde je voor de parameter k moet eme, hagt af va de teekproefgrootte. Bij ee teekproef va grootte 10 hoort ee t-verdelig met parameterwaarde k 9 e bij ee teekproef va grootte 36 hoort ee t-verdelig met parameterwaarde k 35. Algemee hoort bij ee teekproef va grootte ee t-verdelig waarbij de parameterwaarde gelijk i aa 1. Die parameterwaarde krijgt ook de aam vrijheidgrade zodat je bij ee teekproef va grootte ee t-verdelig hebt met 1 vrijheidgrade. Cetrum voor Statitiek 13

15 Statitiek voor het ecudair oderwij Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde Elke t-verdelig ziet eruit zoal ee tadaard ormale: klokvormig e ymmetrich rod ul, maar met taarte die dikker zij. Naarmate het aatal vrijheidgrade toeeemt (wat du hoort bij grotere teekproeve) adere de t-verdelige aar de tadaard ormale verdelig. Hieroder zie je voorbeelde va t-verdelige met repectievelijk 9, 69 e 249 vrijheidgrade. Zij hore bij teekproeve va grootte 10, 70 e 250. Je ziet telke ook de kritiche pute (t waarde ) die odig zij bij het optelle va ee 95 % betrouwbaarheiditerval. De laatte figuur toot de tadaard ormale verdelig. Bij de t-verdelig met 69 vrijheidgrade i de t waarde voor het optelle va ee 95 % betrouwbaarheiditerval gelijk aa Bij ee teekproef va grootte 70 waarbij je x e vidt, krijg je vauit het model S X ( t waarde) ee 95 % betrouwbaarheiditerval dat, voor deze teekproef, gelijk i aa x ( t waarde) wat overeekomt met het reultaat dat met de GRM i gevode. Bemerk dat je hier de t waarde gebruikt hebt gebaeerd op ee t-verdelig met 1 69 vrijheidgrade. Nota voor de leerkracht. Voor k = 1, 2, 3, ziet de dichtheidfuctie va de t-verdelig met k vrijheidgrade er al volgt uit: waarbij k 1 k x f ( x) 1 voor x k k k 2 1 () t x t x e dx voor t 0 0 de Gammafuctie i. Cetrum voor Statitiek 14

16 Statitiek voor het ecudair oderwij Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde 5. Betrouwbaarheid e preciie Waeer je belit om met ee vooraf gekoze teekproefgrootte te werke (bijvoorbeeld met 70 ), da ligt og iet alle vat. Tot u toe heb je allee 95 % betrouwbaarheiditervalle betudeerd, maar je ka ook met ee adere betrouwbaarheid werke De betrouwbaarheid veradere Werke met ee adere betrouwbaarheid (bijvoorbeeld 90 %) komt erop eer dat je bij de gepate t-verdelig ervoor zorgt dat je rod ul terechtkomt met ka 0.90 (i plaat va 0.95). Bij ee t-verdelig met 69 vrijheidgrade moet je da werke met ee t waarde va i plaat va Dat zie je op de odertaade figure. Nota voor de leerkracht. Hieroder illutrere we hoe je bij ee adere betrouwbaarheid gepate adere t-waarde ka vide. Dit heb je iet odig om met de GRM rechttreek de gewete betrouwbaarheiditervalle op te telle. De TI-83 Plu heeft het commado ivt( iet. Bij de TI-84 Plu i het commado wel bechikbaar, maar bij oudere toetelle moet je ervoor zorge dat het meet recete operatig yteem i igelade. Zie hiervoor De t waarde die je op de figure ka afleze, ka je eevoudig uit je GRM hale. Juit zoal vroeger met ivnorm( werk je u met ivt( waarbij je aageeft hoeveel ka er i de likertaart moet zitte (bijvoorbeeld 0.05). Daara gebruik je de ymmetrie om ee eve grote rechtertaart af te bakee (waar je du ook met ka 0.05 terechtkomt). I het midde kom je da terecht met ka Druk y =, loop aar 4:ivT( e zeg dat je i de likertaart ee ka va 0.05 wil bij ee t- verdelig met 69 vrijheidgrade. Tik du ivt(0.05,69) e druk Í. Na eve wachte verchijt het kritiche put op het cherm. Dat beteket dat je bij ee t-verdelig met 69 vrijheidgrade met ka 0.05 terechtkomt i de likertaart ] ; 1.667]. Uit de ymmetrie volgt da dat je ook met ka 0.05 terechtkomt i de rechtertaart [1.667 ; [. I het midde, du i het iterval [ ;1.667], kom je terecht met ka Cetrum voor Statitiek 15

17 Statitiek voor het ecudair oderwij Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde S Het model voor betrouwbaarheiditervalle werkt met X ( t waarde). Al je i dit model de gevode waarde ivult, da krijg je u x ( t waarde) zodat [ ; ] ee 90 % betrouwbaarheiditerval i voor het populatiegemiddelde. Alle bovetaade tuetappe hoef je iet zelf te zette. Je GRM geeft je rechttreek het 90 % betrouwbaarheiditerval al volgt. Druk, loop aar TESTS, kie 8:TIterval e druk Í. Loop aar Stat, druk Í e vul de waarde x, e i. Voor C-Level eem je.90 e da loop je aar Calculate e druk je Í. Na eve wachte krijg je het gezochte iterval. Hier i dat [ ; ]. Opdracht 6 Hierbove i getood hoe je met de GRM ee 90 % betrouwbaarheiditerval optelt. Volg de bechreve procedure maar werk met de reultate die jij i jouw teekproef hebt gevode. Voor welke grootheid heb je u ee 90 % betrouwbaarheiditerval opgeteld? Voor de gewichte i mij teekproef wa x 3312 e 546. Met de GRM krijg ik [ ; ] al 90 % betrouwbaarheiditerval voor het gemiddeld geboortegewicht va alle kidere die i 2003 i Vlaadere gebore zij De foutemarge De halve legte va ee betrouwbaarheiditerval, dat i du het getal dat a foutemarge. Dat heb je vroeger geleerd. Hierbove heb je gevode dat: taat, oem je de bij ee betrouwbaarheid va 95 % het iterval gelijk i aa x ( t waarde) bij ee betrouwbaarheid va 90 % het iterval gelijk i aa x ( t waarde) Al je ee grotere betrouwbaarheid eit (95 %), da i de foutemarge groter (145.9) e krijg je ee breder e du mider precie iterval. Bij ee kleiere betrouwbaarheid (90 %) vid je ee kleiere foutemarge (122) e du ee korter e auwkeuriger iterval. Deze eigechap heb je vroeger ook Cetrum voor Statitiek 16

18 Statitiek voor het ecudair oderwij Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde al otmoet. Je moet er hier wel bij opmerke dat je itervalle gemaakt hebt op bai va dezelfde teekproefreultate. Het eige wat er da veradert i de t waarde. Die wordt groter aarmate je met ee grotere betrouwbaarheid werkt. Wat je zopa gezie hebt, i algemee waar. Ee grotere betrouwbaarheid gaat ame met ee grotere foutemarge. Je hebt da mider precieze iformatie (ee lager iterval). Omgekeerd, al je bereid bet om ee model te gebruike dat met mider ka ee goed iterval geereert (bijvoorbeeld met ka 90 % i plaat va met ka 95 %), da krijg je i ruil meer precieze iformatie (ee korter iterval). Je moet du zelf de voor- e adele afwege waeer je belit met welk model je wil werke. 6. Hoe groot moet de teekproef zij? Vooraf bepale hoe groot de te trekke teekproef moet zij, i iet eevoudig. We beperke o hier tot ekele eevoudige regel die je al eerte ruwe beaderig ka gebruike De theorie S Het model X ( t waarde) i het kamodel dat je gebruikt om betrouwbaarheiditervalle voor ee populatiegemiddelde te geerere. Al jij u ee teekproef trekt, da ka je met de gevode x e jouw 95 % betrouwbaarheiditerval optelle. Dat levert x ( t waarde), wat ee foutemarge oplevert die gelijk i aa: ( t waarde). Je hebt du: zodat of foutemarge ( t waarde) ( t waarde) foutemarge ( t waarde) 2 2 foutemarge 2 Deze theoretiche formule om bij ee vooropgetelde foutemarge e ee vooropgetelde betrouwbaarheid de teekproefgrootte te bepale, helpt je iet veel wat je bet aa het bepale hoe groot de teekproef moet zij e du ke je og iet, zodat je ook het aatal vrijheidgrade 1 iet ket. Je weet iet bij welke t-verdelig je moet kijke om de gepate t waarde voor ee 95 % betrouwbaarheiditerval te vide. i de formule komt ook voor e dat i de tadaardafwijkig va de getalle i je teekproef. Maar je hebt je teekproef og iet! Cetrum voor Statitiek 17

19 Statitiek voor het ecudair oderwij Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde 6.2. De praktijk We bepreke hier ee (ruwe) beaderig voor het optelle va 95 % betrouwbaarheiditervalle Ee beaderig voor de t waarde Bij verchillede teekproefgrootte hore verchillede vrijheidgrade 1 e du ook verchillede t-verdelige met verchillede t waarde voor ee 95 % betrouwbaarheiditerval. I de odertaade tabel zie je wat voorbeelde. teekproefgrootte vrijheidgrade t waarde Va zodra de teekproefgrootte iet te extreem klei i chommelt de t waarde rod 2 e adert aar 1.96 al de teekproef groter e groter wordt. Al je du al beaderig voor de t waarde het getal 2 eemt, da zit je meetal goed. Al eerte beaderig werk je du met foutemarge foutemarge Nu moet je og iet wete over wat je al tadaardafwijkig zou vide al je ee teekproef zou gaa trekke Ee beaderig voor Som heb je iformatie uit adere aaloge tudie. Zo ka je ee idee krijge over wat jij al tadaardafwijkig ka verwachte i de te trekke teekproef. Dergelijke iformatie ka je da gebruike i je formule. Al je uit vroegere tudie over geboortegewichte weet dat me toe tadaardafwijkige vod die i de buurt va 550 gram lage, da ka je die iformatie gebruike. Om da voor het gemiddelde geboortegewicht ee 95 % betrouwbaarheiditerval op te telle met ee foutemarge va 100 gram, moet je (bij beaderig) ee teekproef trekke va grootte: Cetrum voor Statitiek 18

20 Statitiek voor het ecudair oderwij Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde Al cotrole ka je ee ee teekproef va grootte 121 trekke uit de geboortegewichte va 2003 e cotrolere of jouw reultate ogeveer overeekome met je verwachtige. Wij hebbe dat ook ee gedaa. Wij hebbe eert ee teekproef va grootte 121 getrokke (eigelijk ee teekproef va grootte 125 waarbij we de laatte 4 gewichte hebbe weggelate) e da de getalle overgebracht i de lijt d va de GRM. Da hebbe we ee 95 % betrouwbaarheiditerval al volgt opgeteld. De data i oze toevallige teekproef hebbe ee tadaardafwijkig va , wat meer i da de vermoede 550. Het 95 % betrouwbaarheiditerval i [ ; ] zodat we hier ee foutemarge hebbe va 109.5, wat iet meer i da de vooropgetelde 100. Opdracht 7 Imiteer de bovetaade werkwijze (met je GRM) e trek zelf ee ee teekproef va grootte 121 uit die populatie. Vul daara de odertaade tabel i met reultate va 5 medeleerlige (die allemaal ee teekproef va grootte 121 getrokke hebbe). Welk verbad zie je i de tabel tue de tadaardafwijkige e de foutemarge? Ka je dit verbad i ee formule uitdrukke? Je medeleerlige hebbe allemaal met dezelfde betrouwbaarheid (95 %) gewerkt e zij hebbe allemaal ee teekproef getrokke die eve groot wa (=121) e toch krijge zij verchillede foutemarge. Hoe verklaar je dat? Leerlig 1 Leerlig 2 Leerlig 3 Leerlig 4 Leerlig 5 gevode tadaardafwijkig berekede foutemarge Grotere tadaardafwijkige levere grotere foutemarge. Dat volgt uit de formule voor de foutemarge die i deze tudie gelijk i aa foutemarge ( t waarde) Hierbij i 121 gewerkt met ee t waarde va de t verdelig met 1=120 vrijheidgrade. Dat die t waarde gelijk i aa 1.98 haal je uit de GRM met het commado ivt(0.025,120). De foutemarge hagt af va de teekproefgrootte e va de betrouwbaarheid, maar ook va de gevode tadaardafwijkig i de toevallige teekproef. Die i ader bij adere teekproeve. Cetrum voor Statitiek 19

21 Statitiek voor het ecudair oderwij Betrouwbaarheiditervalle voor gemiddelde Ee adere maier om te beadere i al volgt. Al de populatie ormaal verdeeld zou zij da valle zo goed al alle gegeve i het gebied 3 wat voor elke ormaal verdeelde X geldt dat X P( 3 X 3 ) P ( 3 3) [ ormalcdf( 3,3,0,1) ]. Doe u ee vertadige gok voor het gebied waarbie je de overgrote meerderheid va je reultate verwacht e odertel dat de i je teekproef iet te veel zal verchille va de i de populatie. Stel da de legte va het verwachte gebied gelijk aa 6 e lo hieruit op. Bij de geboortegewichte verwacht je er iet veel oder 1 kilogram e ook iet veel bove 5 kilogram. Dat beteket dat waarchijlijk de overgrote meerderheid va de gewichte tue 1000 e 5000 ligt. Stel da = 4000 gelijk aa 6 zodat 667. Volge deze beaderig heb je da ee teekproef odig va grootte Al cotrole hebbe we ook hier ee ee teekproef va grootte 178 getrokke e de reultate i d geplaatt. Het 95 % betrouwbaarheiditerval voor i [3164.1; ] We hebbe hier ee foutemarge va 94.4 wat ee beetje kleier i da de vooropgetelde 100. Opdracht 8 Hierbove i gevode al betrouwbaarheiditerval. Gebruik dit reultaat om aa leerlige va ee adere kla, die iet veel wete over tatitiek, kort e duidelijk uit te legge wat je gevode hebt. Let daarbij goed op de betekei va ee betrouwbaarheiditerval. Deze tudie gaat over geboortegewichte va baby i het jaar 2003 i Vlaadere. We trachte daarbij, op bai va ee teekproef, te wete te kome wat het gemiddelde geboortegewicht va al die baby va 2003 i. Al we het gemiddelde gewicht va de baby uit de teekproef eme da hebbe we ee eerte chattig voor het gemiddelde gewicht va alle baby uit Maar bij ee adere teekproef zal die chattig op ee ader getal uitkome e je ka omogelijk wete welke chattig de bete i. Daarom gebruike tatitici liever ee betrouwbaarheiditerval. Dat wil zegge dat ze werke met ee wikudig model dat itervalle geereert die met ka 95 % goed zij (het gemiddeld geboortegewicht bevatte) e met ka 5 % lecht. Hier i u éé teekproef getrokke. Dit i u ofwel ee goed ofwel ee lecht e er i éé iterval opgeteld, amelijk iterval, dat zal ik ooit wete. Ik ka allee maar hope dat het ee goed i, wat iet ader heb ik iet. E du zeg ik dat de waarde i het 95 % betrouwbaarheiditerval aaemelijke waarde zij voor het gemiddelde geboortegewicht va alle baby uit Cetrum voor Statitiek 20