Hoofdstuk 10 - Lineair programmeren Meer dan twee variabelen

Transcriptie

1 Hoofdstuk 0 - Lineair programmeren Meer dan twee variaelen ladzijde 90 a 8 anken, 8 stoelen en 7 tafels nemen evenveel plaats in als = = 78 stoelen. Dat is meer dan de maximale opslagcapaciteit van 70 stoelen, dus het is niet mogelijk. De aantallen geproduceerde anken, stoelen en tafels zijn natuurlijk niet negatief, dus 0, s 0 en t 0. De maximale aantallen per dag zijn respectievelijk 0, 0 en 0, dus 0, s 0 en t 0. Druk de enodigde opslagruimte uit in aantal stoelen: één tafel of één ank nemen evenveel ruimte in als twee stoelen, dus anken en t tafels nemen evenveel ruimte in als + t stoelen. Er is plaats voor 70 stoelen dus + s+ t 70. a C(0, 0, 0); E(0, 0, 0); B(0, 0, 0) en F(0, 0, 0). De coördinaten van H zijn (0, 0, 0) dus dit punt hoort ij een productie van 0 anken, 0 stoelen en 0 tafels. c Van G is ekend: = 0 en t = 0. Van D is ekend: = 0 en s = 0. d Vlak ABDGF is evenwijdig met de s-as en de t-as. Het punt (0, 0, 0) ligt in dit vlak. Bij alle punten in dit vlak hoort dus een productie van 0 anken. e Bij BCHD hoort de vergelijking s = 0. Bij EFGH hoort de vergelijking t = 0. f Vul de coördinaten van G, D en H in ij de vergelijking + s+ t = 70 : = = = = = = 70 Alle drie punten voldoen dus aan de vergelijking + s+ t = 70. De vergelijking van het vlak GDH is dus + s+ t = 70. a De winst per ank is 0 euro, dus op anken 0 euro. Op s stoelen is de winst 0s euro en op t tafels 5t euro, dus W = 0+ 0s+ 5 t. Vul de coördinaten van alle hoekpunten in voor de functie W: punt coördinaten waarde van W O (0, 0, 0) = 0 A (0, 0, 0) = 00 B (0, 0, 0) = 600 C (0, 0, 0) = 00 D (0, 0, 0) = 850 E (0, 0, 0) = 500 F (0, 0, 0) = 800 G (0, 0, 0) = 900 H (0, 0, 0) = 800 De hoogste winst is 900 euro. Deze winst wordt ereikt ij een productie van 0 anken, 0 stoelen en 0 tafels. 0

2 c De winstfunctie wordt nu: W = 0+ 0s+ 5 t. Bereken de waarde van W opnieuw voor alle hoekpunten: punt coördinaten waarde van W O (0, 0, 0) = 0 A (0, 0, 0) = 00 B (0, 0, 0) = 900 C (0, 0, 0) = 600 D (0, 0, 0) = 50 E (0, 0, 0) = 500 F (0, 0, 0) = 800 G (0, 0, 0) = 000 H (0, 0, 0) = 00 De grootste winst is nu 50 euro. Deze winst wordt ereikt ij een productie van 0 anken, 0 stoelen en 0 tafels. ladzijde 9 a x en z heen een positieve coëfficiënt en heeft een negatieve coëfficiënt in W = x + z. Voor een maximale waarde van W moeten x en z zo groot mogelijk en zo klein mogelijk worden gekozen. In de doelfunctie T = x+ z moeten x en zo groot mogelijk en z zo klein mogelijk worden gekozen. De punten B en C komen daarom in aanmerking. In B geldt:t = = 00. In C geldt:t = = 0. Het maximum voor T is dus 00. c Voor het minimum moet je x en zo klein mogelijk en z zo groot mogelijk kiezen. Dat is het geval in punt K. Het minimum ist = = 0. 5a De winstfunctie is W = = s= t. Bereken de waarde van W opnieuw voor alle hoekpunten: punt coördinaten waarde van W O (0, 0, 0) = 0 A (0, 0, 0) = 0 B (0, 0, 0) = 600 C (0, 0, 0) = 60 D (0, 0, 0) = 80 E (0, 0, 0) = 80 F (0, 0, 0) = 70 G (0, 0, 0) = 80 H (0, 0, 0) = 80 De maximale waarde wordt dus ereikt in de punten D, G en H en in alle andere punten die innen deze driehoek of op de zijden van deze driehoek liggen. Bijvooreeld het punt (7, 0, 8). Dit punt voldoet aan de vergelijking + s+ t = 70 want = = 70 c De ijehorende waarde van de doelfunctie is W = = = 80, de maximale waarde.

3 ladzijde 9 6a Deze voorwaarde hoort ij de eschikare hoeveelheid merau. De andere vier voorwaarden zijn: a 00, 50 en c 00 (de maximale aantallen per tpe) 6a+ + 6c 500 (vanwege de eschikare hoeveelheid mahonie). c Punt R: = = 00 Punt S: , 5 = = 00 Punt T: = = 00 dus de punten R, S en T voldoen alle drie aan de vergelijking. d Bij PQRTU hoort de vergelijking 6a+ + 6c = 500. Bij QRS hoort de vergelijking = 50. e De doelfunctie is W = 0a c. f In punt B geldt: W = = = 750 In punt Q geldt: W = = = 75 In punt P geldt: W W = = = 050 In punt R geldt: W = = = 050 De maximale winst is 75 euro. Dit wordt ereikt ij de productie van 00 kastjes van tpe A, 50 van tpe B en75 van tpe C. 7a Het aantal kastjes van tpe C moet gelijk zijn aan het totaal van de tpes A en B, dus c= a+. a 0, 0, c 0, a 00, 50 lijven ongewijzigd, c 00 wordt a a+ + 6c 500 wordt 6a+ + 6( a+ ) 500 en daaruit volgt 6a+ + 6a , dus a p r 8 c De doelfunctie wordt W = 0a+ 5+ 7( a+ ) = 0a+ 5+ 7a+ 7= 7a+. d x e Het toegestane geied heeft vijf hoekpunten. Van drie hoekpunten zijn de coördinaten eenvoudig af te lezen: O(0, 0), A(00, 0) en E(0, 50). Punt B voldoet aan de vergelijkingen a = 00 en a+ 9= 500. Door invullen van a = 00 ij a+ 9= 500 krijg je = 500, dus 9 = 00, waaruit volgt =. Punt D voldoet aan = 50 en 6a+ 7= 00, dus 6a = 00, waaruit volgt 6a = 50 endus a = 8. Punt C voldoet aan a+ 9= 500 en 6a+ 7= 00. Door de tweede vergelijking met twee te vermenigvuldigen en van de andere vergelijking af te trekken, vind je a+ = 00, a+ 9= 500 en 5 = 700 en dus = 0. Vul dit in ij één van de twee vergelijkingen: 6a = 00, 6a = = 0 en dus a = 0. Bereken de waarde van de doelfunctie W in de vijf hoekpunten: In punt O geldt: W = = 0 In punt A geldt: W = 7 00 = 700

4 In punt B geldt: W = = 096 In punt C geldt: W = = 00 In punt D geldt: W = = 96 De winst is dus maximaal ij een productie van 00 kastjes tpe A, van tpe B en van tpe C. ladzijde 9 8 De voorwaarden p 0 en q 0 lijven ongewijzigd. r 0 wordt q p 0 of q p. p q r 0 wordt p q ( q p) = p q q+ 6p= 7p 5q 0. wordt p ( q p) = p q+ 8p= p q 8. De doelfunctie wordt W = p+ q ( q p) = p+ q q+ 6p= 9p+ q. 9 De voorwaarden x 0 en 0 lijven ongewijzigd. z 0 wordt 0 x 0 of x+ 0. x + z wordt x + 0 x = 0 x dus x 0 of x. x+ x 6wordt x+ ( 0 x ) = x+ 0 + x+ = x+ 0 6 waaruit volgt x+ 6. TK = 00x+ 50 0( 0 x ) = 00x x + 0. De doelfunctie wordt dustk = 0x a Er moeten drie edragen worden gekozen: x euro s voor opties, euro s voor aandelen en z euro s voor oligaties. De voorwaarden zijn: x 000, 000, z 000. Verder moet gelden x z en x+ + z = Uit x+ + z = volgt z= x. De voorwaarde z 0 wordt x 0 of x De voorwaarde x z wordt x 0 ( 000 x ) = x dus x c De doelfunctie wordt: R= 0, x+ 0, 08+ 0, 06z= 0, x+ 0, 08+ 0, 06( 0000 x ) d = 0, x+ 008, , x 0, 06= 00, x + 0, x Noem de hoekpunten van het toegestane geied A, B, C en D. De coördinaten van punt A zijn (000, 000). Voor punt B geldt: = 000 en x+ = Hieruit volgt x = , dus x =5 000 en x = dus B(8000, 000). Voor punt C geldt: x+ = en x+ =7000. Door de tweede vergelijking te verduelen en van de eerste vergelijking af te trekken vind je x = waaruit volgt = 000. Dus C(6000, 000). Voor punt D geldt: x = 000 en x+ =7000, dus = 000 en dus D(000, 000).

5 e Bereken nu de waarde van R in de vier hoekpunten: In A geldt: R = 00, , = 980 In B geldt: R = 0, , = 580 In C geldt: R = 0, , = 60 In D geldt: R = 00, , = 00 Het hoogste rendement onder deze voorwaarden is 580 euro. Het advies is: koop voor e 8000 aan opties,voor e 000 aandelen en voor e 9000 oligaties. ladzijde 9 a Uit de maximaal eschikare ruimte volgen de voorwaarden k 50 en s 00. Uit de eschikare oppervlakte aan weiland (in are) volgt: 0k+ s 00. Uit de eschikare hoeveelheid areid volgt: 50k+ 0s x c De hoekpunten van het toegestane geied zijn O(0, 0), A(50, 0) en E(0, 00). Punt B wordt gevonden uit 50k+ 0s= en k = 50 dus s= s = waaruit volgt 0s = 500, dus s = 75. De coördinaten van B zijn dus (50, 75). Voor D geldt: s = 00 en 0k+ s= 00, dus 0k = 00 waaruit volgt 0k = 600 dus k = 0 zodat D(0, 00). Voor punt C geldt: 50k+ 0s= en 0k+ s= 00. Vermenigvuldig de tweede vergelijking met vijf en trek het resultaat van de eerste vergelijking af: 50k+ 0s= k+ 0s= 7000 dus 50k = 000 en k = 0. Door invullen vind je s = 00 dus s = = 600 en daaruit volgt s = 50. De coördinaten van C zijn (0, 50). Voor maximale winst moeten k en s zo groot mogelijk worden gekozen. In punt C geldt: W = = In punt B geldt: W = = In punt D geldt: W = = Dus maximale winst als er 0 koeien en 50 schapen zijn. a Vlak ABGH hoort ij de vergelijking x = 0. Punt E ligt in de vlakken OAGED, DEF en EGHJF. De vergelijkingen van deze drie vlakken zijn = 0, z = 85 en 8x+ 5+ z = 00. Door en z in te vullen volgt 8x = 00, dus 8x = 00 0 = 60 en x = 7. De coördinaten van E zijn ( 7, 0, 85). c Van enkele punten zijn de coördinaten direct af te lezen: O(0, 0, 0), A(0, 0, 0), C(0, 0, 0) en D(0, 0, 85).

6 Voor punt B geldt: x = 0, = 0 en z = 0 dus B(0, 0, 0). Voor punt F geldt: x = 0, z = 85 en 8x+ 5+ z = 00, daaruit volgt = 00 dus K = 0 = 0 en = zodat F(0,, 85). Voor punt G geldt: = 0, x = 0 en 8x+ 5+ z = 00, daaruit volgt z = 00 dus z = 60 en z = 0 zodat G(0, 0, 0). Voor punt H geldt: x = 0, = 0 en 8x+ 5+ z = 00, daaruit volgt z = 00 dus z = 60 en z = 5 zodat H(0, 0, 5). Voor punt I geldt: x = 0, = 0 en 8x+ 5+ z = 00, daaruit volgt z = 00 dus z = 00 en z = 75 zodat I(0, 0, 75) d Voor een maximum van de functie K = x+ z moet zo groot mogelijk en moeten x en z zo klein mogelijk worden gekozen. Het maximum wordt daarom ereikt in punt C. Het maximum is K = 0 = 0. a Uit x z = 0 volgt z= x. De voorwaarden x 0, 0, x 0 en 0 lijven onveranderd. z 0 wordt x 0. z 85 wordt x 85. 8x+ 5+ z 00 wordt 8x+ 5+ ( x ) 00, hieruit volgt 8x+ 5+ 8x 00, dus 6x+ 00. De doelfunctie wordt W = x+ x x 6x 7x 5. ( ) = + + = x c Eén van de hoekpunten is O(0, 0). Voor het punt A geldt: = 0 en 6x+ = 00, dus 6x = 00 en x = 5 dus A(5, 0). Voor B geldt: = 0en 6x+ = 00, dus 6x = 00 0 = 80 en x =, 75 zodat B(,75; 0). Voor C geldt: x= en = 0 dus x = 0 zodat C(0, 0). De waarde van de doelfunctie in de vier hoekpunten is: In O: W = 0 In A: W = 75 In B: W =, 75 In C: W = 0 De maximale waarde 0 van W wordt ereikt in punt C(0, 0). ladzijde 95 a De winst in dat geval is gelijk aan = dus e ,- gewas enodigde areid eschikare areid aardappelen 5 = = 80 erwten 55 = = 80 graan 0 = 0 8 5= 0 5

7 Bij deze verdeling kan er dus op tijd worden geoogst. c De voorwaarden zijn: a 0, e 0, g 0 en a+ e+ g. De doelfunctie is W = a e g, dus W = 00a+ 000e+ 500 g. d De eperkende voorwaarden zijn: a 80, 5e 80 en 0g 0. e Op de helft van de eschikare grond wordt graan verouwd, dus g =. De voorwaarden worden nu: a 0, e 0, a+ e, a 80 en 5e 80. 0g 0 wordt nu 0 0 ; aan deze voorwaarde is voldaan. f De voorwaarden leveren het onderstaande toegestane geied op: 6 e a De doelfunctie wordt W = 00a+ 000e+ 500 = 00a+ 000e In hoekpunt O(0, 0) geldt: W = In hoekpunt A( 6, 0) geldt W = = Hoekpunt B voldoet aan a = 6 en a+ e=, dus e =. In dit punt geldt: W = = Hoekpunt C voldoet aan e = 5 en a+ e=, dus a = 5. In dit punt geldt: W = = De winst is dus het grootst als er 6 ha aardappelen, ha erwten en ha graan wordt verouwd. g Tijdens de aardappeloogst is 6 = 80 uur areid nodig. Tijdens de erwtenoogst is 5 = 65 uur areid nodig. Tijdens de graanoogst is 0 = 0 uur areid nodig. Tijdens de erwtenoogst is nog 5 uur en tijdens de graanoogst is nog 0 uur eschikaar voor ander werk. 5a c Er moeten zes getallen worden gekozen: de aantallen auto s van Amsterdam naar Assen, naar Utrecht en naar Eindhoven en de aantallen auto s van Rotterdam naar Assen, naar Utrecht en naar Eindhoven. Er zijn dus zes eslissingsvariaelen. Noem deze variaelen respectievelijk a, a, a, r, r en r. De voorwaarden zijn: a + a + a + r + r + r = 800 a + r = ( a + r ) a + r = ( a + r + a + r ) = ( a + r + a + r ) = ( a + r ) De doelfunctie is TK = 70a + 0a + 65a + 85r + 50r + 65r + 5 a + a + a + 0 r + r + r ( ) ( ) =95 a +65 a +90 a +0 5r +70r +85r d De minimale transportkosten zijn = 000 euro. 6

8 ladzijde 96 6a In totaal moeten er 60 toestellen naar Zwolle. Als er x toestellen uit Emmen komen, moeten er nog 60 x toestellen uit Amersfoort ij. Op dezelfde manier komen er 50 toestellen uit Amersfoort naar Deventer en 70 z toestellen uit Amersfoort naar Lelstad. In Emmen, Deventer en Lelstad zijn in totaal 80 toestellen nodig. Er zijn in Emmen en Amersfoort in totaal 80 toestellen aanwezig, dus er lijven geen toestellen over. Daarom geldt x+ + z = 80 dus z= 90 x. c Dat aantal is 70 z= 70 ( 90 x ) = x+ = x+ 0. d Voor de transportkosten geldt: TK = 5x x 660 x, x 0 e f ( ) + ( ) + ( ) + ( + ) = 5x x x+ 5, 5+ 5x = 05 x 0, 5 De ongelijkheden zijn: x 0 en x 0 dus x x 0 dus x dus 50 x+ 0 0 dus x g 0 x De hoekpunten en de ijehorende waarde van TK worden als volgt gevonden: = 0 en x+ =0 A(0, 0) TK = 05 0 = 985 = 0 en x = 60 B(60, 0) TK = 05 60= 905 x = 60 en x+ =90 C(60, 0) TK = , 0 = 890 = 50 en x+ =90 D(0, 50) TK = , 50 = 90 = 50 en x = 0 E(0, 50) TK = 05 05, 50 = 000 x = 0 en x+ =0 F(0, 0) TK = 05 05, 0= 05 Het minimum is gelijk aan 890 euro. De este verdeling is dus: vanuit Emmen 60 toestellen naar Zwolle en 0 naar Deventer, uit Amersfoort 0 toestellen naar Deventer en 70 toestellen naar Lelstad. 7a Omaha x z Denver Miami New York 0 - x z Chicago 7

9 De handelaar heeft = 90 wagonladingen verkocht en hij heeft = 90 wagonladingen eschikaar. Alle voorraad in Omaha is dus nodig. Daarom geldt x+ + z = 50 dus z= 50 x. Alles kan worden uitgedrukt in twee variaelen: x en. De hoeveelheid die vervoerd wordt van Chicago naar New York kan worden geschreven als: z= ( 50 x ) = 50 + x+ = x+ 6. c De doelfunctie is: TK = x ( 50 x ) + 6( 0 x) + 7( 6 ) + 5 ( x+ 6) = x x x x = 596 x d De ongelijkheden zijn: x 0 en 0 50 x 0 dus x x 0 dus x dus 6 x+ 6 0 dus x De hoekpunten en de ijehorende waarden van TK worden als volgt gevonden: = 0 en x+ =6 A(6, 0) TK = = 58 = 0 en x = 0 B(0, 0) TK = = 56 x = 0 en x+ =50 C(0, 0) TK = = 506 = 6 en x+ =50 D(, 6) TK = 596 6= 58 = 6 en x = 0 E(0, 6) TK = = 560 x = 0 en x+ =6 F(0, 6) TK = = 580 Het minimum is dus gelijk aan 506 dollar. De este verdeling is: vanuit Omaha 0 wagonladingen naar Denver en 0 naar Miami en vanuit Chicago 6 wagonladingen naar Miami en naar New York. ladzijde 97 8a naar Zwolle Deventer Lelstad vanuit Emmen x x ( 50 ) = 0 x + Amersfoort 60 x 90 ( 60 x) = 0 + x 8 De voorwaarden: x 0 en 0 60 x 0 dus x dus 50 0 x+ 0 dus x x 0 dus x 0 Voor de transportkosten geldt: TK = 5x+ 5( 50 ) + 60 x x 5, 50 x ( ) + ( ) + + ( + ) = 5x x x+, x 5 = 000 x+ 0, 5

10 Het toegestane geied: De hoekpunten en de ijehorende waarde van TK zijn: x = 0 en = 0 O(0, 0) TK = 000 = 0 en x =0 A(0, 0) TK = = 960 x =0 en x = 60 B(60, 0) TK = , 50 = 890 x = 60 en = 50 C(60, 50) TK = , 550 = 905 = 50 en x = 0 D(0, 50) TK = , 550 = 985 = 0 en x = 0 E(0, 0) TK = , 0 = 05 Het minimum is gelijk aan 890 euro. De este verdeling is: vanuit Emmen 60 toestellen naar Zwolle en 0 naar Deventer en vanuit Amersfoort 0 toestellen naar Deventer en 70 toestellen naar Lelstad. In de doelfunctie van opdracht 6 verandert het getal 5 vóór de eerste x: TK = 6x x 6 60 x 550, 5 x 0 ( ) + ( ) + ( ) + ( + ) = 6x x x+ 5, 5+ 5x = 05 x 05, Bereken opnieuw de waarde van TK in de zes hoekpunten: A(0, 0) TK = 05 0 = 005 B(60, 0) TK = = 965 C(60, 0) TK = , 5 0 = 950 D(0, 50) TK = , 5 50 = 960 E(0, 50) TK = 05 05, 50 = 000 F(0, 0) TK = 05 05, 0= 05 Het transport zal op dezelfde manier worden geregeld, maar de kosten zijn nu 950 euro. 9a Ha Nm Bu Be 8 6 Ne 8 c De totale voorraad in Nederland en België is groter dan de hoeveelheden die in Hasselt, Nieuw-Millingen en Burgum nodig zijn. Daarom kunnen de hoeveelheden vanuit België naar de drie vestigingen worden aangeduid met x, en z. In dit geval kan z niet worden uitgedrukt in x en. De hoeveelheden vanuit België en Nederland naar de drie vestigingen zijn: Ha Nm Bu Be x z Ne 50 x z Doelfunctie: TK = 8x+ 6+ z+ 50 x z ( ) + ( ) + ( ) = 8x+ 6+ z x z = 6x

11 d De voorwaarden zijn: x 0, 0 en z 0 50 x 0 dus x dus z 0 dus z 750 x+ + z x z 800 dus x+ + z 700 e De transportkosten zijn: TK = = dus euro. f Nu is voor de drie vestigingen = 975 ton nodig. Dat is gelijk aan de voorraad in België en Nederland samen, dus moet gelden x+ + z = 75 en is z= 75 x zodat er nu nog maar twee eslissingsvariaelen zijn. 0a c Druk alle hoeveelheden uit in aantallen tankwagens: de voorraden in Rotterdam, Antwerpen en Hamurg zijn respectievelijk : 5000 = 8, : = 5 en : = tankwagens. In totaal is een hoeveelheid van 5 wagens eschikaar en er zijn voor Lon en München in totaal + = 5 wagens nodig. Er zijn dus slechts twee eslissingsvariaelen. Noem de aantallen wagens van Rotterdam, Antwerpen en Hamurg naar Lon respectievelijk x, en z. Rotterdam Antwerpen Hamurg Lon x z = x München 8 x 5 z = ( x ) = x + x 0 en 0 8 x 0 dus x 8 en 5 0 dus 5 x 0 dus x+ x+ 0 dus x+ De doelfunctie wordt: TK = 860x ( x )+ 80( 8 x)+ 875( 5 )+ 00( x+ ) = 860x x x x = x De hoekpunten en de ijehorende w aarde van TK zijn: = 0 en x+ = A(, 0) TK = = 5 = 0 en x = 8 B(8, 0) TK = = 65 x = 8 en x+ = C(8, 6) TK = = 0 5 = 5 en x+ = D(9, 5) TK = = 9 80 = 5 en x = 0 E(0, 5) TK = = 70 x = 0 en x+ = F(0, ) TK = = 85 De minimale vervoerskosten zijn 980 euro. 0

12 d Het vervoerschema ij deze minimale kosten is: Rotterdam Antwerpen Hamurg Lon München 9 0 ladzijde 98 a Neem aan dat per persoon r koppen rijst en s koppen soja wordt verstrekt. De voorwaarden zijn: r 0 en s 0 60r+ 0s 6 70 of r+ s 6 5r+ 0s 90 of r+ s 8 0, r+ 0, s 09, of r+ s 9 De doelfunctie is K = 07, r+ 05, s. Punt A wordt erekend uit r+ s= 6 en r+ s= 8. Vergelijkingen herschrijven: s= 6 r en s= 5, 075, r. Gelijkstellen: 6 r = 5, 075, rgeeft, 5r =, 5 en dus r =. Invullen ij s= 6 r levert s =. Voor dit punt geldt K = 07, + 05,, 67. Punt B wordt erekend uit r+ s= 9 en r+ s= 8 Herschrijven: r = 9 s en r = 6 s Gelijkstellen: 9 s= 6 s geeft s = en dus s = 8,. Invullen in r = 9 s levert r = 6,. Voor dit punt geldt: K = 07, 6, + 058,, = 06,. In het punt C(0, 6) zijn de kosten K = 05, 6= en in het punt D(9, 0) geldt: K = 079, = 6,. De kosten zijn dus minimaal in het punt A(, ). c De hoeveelheid vitamine B is gelijk aan 0, + 0,, 67 mg, dus dat is, 67 09, = 0, 67 mg meer dan nodig is. a De samenstelling is 0,66667 kop rijst en koppen soja. Een mogelijk oplossing is (een kwestie van proeren): een kop rijst kost 0 cent en een kop soja kost 00 cent. Het minimum wordt nu ereikt in het punt (,6;,8). c 60, 6+ 0, 8= 5, 6+ 0, 8= 90 0, 6, + 08,, = 09, Bij energie lijkt nu een overschot te zijn, namelijk 6 70 = 79 kilojoules. a

13 De este verdeling volgens de computer is: vanuit Amsterdam 00 auto s naar Assen en 800 auto s naar Utrecht en vanuit Rotterdam 600 auto s naar Eindhoven. Een mogelijke keuze is: maak de vervoerskosten van Rotterdam naar Assen meer dan 0 euro goedkoper. Dit geeft het volgende resultaat. Er gaan nu 00 auto s van Rotterdam naar Assen. ladzijde 99 a Kies als variaelen sa en ka (aantal ha suikerieten en katoen ij A) en s en k (aantal ha suikerieten en katoen ij B). De voorwaarden zijn: sa + ka 50 s + k 5 sa + s 00 ka + k 90 sa + ka 50 s + k 00 De doelfunctie is: B= 950sa+ 950s+ 700ka+ 700k De oplossing is dus: kiutz A verouwt 5 ha katoen en kiutz B verouwt 65 ha katoen en 56,7 ha suikerieten. Kiutz B zal niet tevreden zijn,want ij hen lijft , 7 = 0, ha ongeruikt, terwijl ij kiutz A slechts 5 ha onenut lijft.

14 5a Het grondgeied van B is,5 maal zo groot als dat van A, dus moet het geruikte deel ij B, dat is dus s + k, ook,5 maal zo groot zijn als sa + ka, dat is het geruikte deel ij A. c De oplossing is nu: kiutz A verouwt 6 ha katoen en 5,7 ha suikerieten en kiutz B verouwt ha katoen en ha suikerieten. Als er 50 miljoen liter water wordt ingekocht verandert ij voorwaarde 6 het getal 00 in 50. In de doelfunctie moeten de kosten van het water worden afgetrokken: = 500 dollar. De totale oprengst is groter geworden. De gevolgen zijn: Zonder de koop van het water waren de inkomsten: Kiutz A: 5, dollar. Kiutz B: = dollar. Met de aankoop van het water worden deze edragen: Kiutz A: 9, dollar. Kiutz B: = 600 dollar. Het is dus voor B een goed esluit om het water te kopen. ladzijde 00 6a 0 % van kwaliteit en 0% van kwaliteit, dus ook 50% van kwaliteit. De prijs wordt dan 00, 57+ 0, , 6= 97, euro per ton. Het kopergehalte is 00, + 0, , 90= 65, gram per ton, dus het voldoet niet aan de milieueis. Stel er is a % van kwaliteit en % van kwaliteit, dus 00 a % van kwaliteit. De voorwaarden zijn: a 0 en 0

15 De eisen van de percentages worden: 00 a 0 dus a+ 00 a a dus 0, 57a+ 0, , 6a 0, 6 50, 00 waaruit volgt 0, a+ 0, 05 of a a a dus 0, a+ 0, , a 09, 60, waaruit volgt 057, a 0, 5 0 of 9a Het doel is om zo weinig mogelijk van de kwaliteiten en te geruiken, dus de doelfunctie is D= a+. Het toegestane geied: 90 p a D= a+ heeft een minimum als het ijehorende punt zo dicht mogelijk ij de oorsprong ligt. Dat is het geval in het snijpunt van de lijnen met vergelijking a+ 5= 00 en 9a+ 5= 000. Herleiden en gelijkstellen geeft a =,. Door invullen krijg je 5 = 00, 86..., 9 dus 8, 6. Kwaliteit moet dus estaan uit, % van kwaliteit, 8,6 % van kwaliteit en 7, % van kwaliteit. 7a Geruik de eslissingsvariaelen (aantal liters innenlak volgens ereidingswijze ), j (aantal liters jachtlak volgens ereidingswijze ), en j. De voorwaarden zijn: 0, j 0, 0 en j 0 + j 00 en + j ( + j) + + j 00 8 ( ) (grondstof A) 6 ( + j) + + j 0 8 ( ) (grondstof B) 6 ( + j) + + j 00 8 ( ) (grondstof C) + 50 j+ j 5 De doelfunctie is D= 0( + j) + 8( + j ). Verder is uit de gegevens te lezen dat = j en = j. Daardoor is het proleem terug te rengen tot een proleem met twee eslissingsvariaelen: j en j. De voorwaarden zijn: j 0en j 0 j 00 dus j 600 j 500 dus j j + j 00 dus j+ j 00 of 8 j + 5j j + j 0 dus j+ j 0 of 6 j+ 9j j + j 00 dus j+ j 00 of j + 9 j j+ j 50 j+ j 5 en de doelfunctie wordt D= 0( j+ j) + 8 ( j+ j) = 0 j+ j Het toegestane geied:

16 600 j twee j één Voor een minimale waarde van D komen punten dichtij de oorsprong in aanmerking. Bereken het snijpunt van de lijnen j+ j = 50 en j+ j= 5. Herleiden en gelijkstellen levert j = 05 en j = 0. De waarde van D in dit punt is = 750. De waarde in de naastliggende punten is: In (0, 5): D= 5 = 8 00 In (50,0): D = 0 50 = De minimale kosten zijn 750 euro. Er wordt dan 0 liter jachtlak gemaakt volgens ereidingswijze, 05 liter jachtlak volgens ereidingswijze, 0 liter innenlak volgens ereidingswijze en 0 liter innenlak volgens ereidingswijze. Alternatieve aanpak Stel er wordt a liter geproduceerd volgens ereidingswijze en liter volgens ereidingswijze. Dan zijn de eperkende voorwaarden: a 0 en 0 a 00 en a+ 00 of a a+ 0 of 8a a+ 00 of a a+ 50 of a+ 0 a+ 5 of a+ 00 De doelfunctie is D= 0a+ 8 ; gevraagd wordt een minimum voor D. De optimale oplossing wordt gevonden voor a = 60 en = 65, waaruit kan worden gevonden: Bereidingswijze : 0 liter innenlak en 0 liter jachtlak. Bereidingswijze : 0 liter innenlak en 05 liter jachtlak. ladzijde 0 8a Er is in Aeh wekelijks 0 ton nodig, dus er moet 5 0 = 50 ton worden verstuurd. Naar Biopa moet 5 00 = 5 ton worden verstuurd. Er is echter geen = 75 ton eschikaar,maar slechts 60 ton. Als er 0 ton per vrachtauto in Aeh moet aankomen, moet 50 ton worden verstuurd. Dit kost 50 ( ) = 5000 dollar. Per afgeleverde ton is dat 5000 : 0 = 5 dollar. Als er 0 ton per vliegtuig in Aeh moet aankomen, moet 0 ton worden verstuurd. Dit kost 0 ( ) = dollar. Per afgeleverde ton is dat : 0 = 50 dollar. Versturen per vliegtuig is dus per afgeleverde ton 5 dollar duurder. 5

17 ( ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) c De doelfunctie is K = x u v maar ook geldt x+ u= 0 dus u= 0 x en + v= 00 dus v= 00 en K = 0x ( 0 x)+ 500( ) = 0x x = x 0 d Als x = 50 zal er 0 ton, dus de enodigde hoeveelheid, in Aeh aankomen. Als = 5 zal er 00 ton in Biopa aankomen. e De voorwaarden zijn: x 50 5 Maximale capaciteit vliegtuig: u+ v 80 dus 0 x , waaruit volgt ( x ) dus x+ 75. Maximaal eschikaar per week is 60 ton, dus x+ + u+ v 60 geeft x+ + 0 x , waaruit volgt ( x= ) 0 dus x Het toegestane geied: x De waarde van de doelfunctie in de vier hoekpunten is: In A(50, 5) K = = 6 00 In B(50, 50 K = = 5 00 In C(75, 5) K = = 900 In D(50, 5) K = = 00 De kosten zijn dus minimaal als x = 75 en = 5, waaruit volgt u = 0 75 = 60 5 en v = 00 5 = 0. Dat etekent dat er vanuit Hilim wordt verstuurd: 5 75 ton per vrachtauto en 60 ton per vliegtuig naar Aeh. en 5 ton per vrachtauto naar Biopa. ladzijde 0 T-a De voorwaarden zijn s 0, k 0, 0, s 5, k ; s+ k 6 en s+ k+. Voor al deze punten is de eerste coördinaat 5, dus de punten horen ij het maximale aantal stoelen. c De punten C, D, G en H heen alle als tweede coördinaat, dus deze punten horen ij het maximale aantal kasten. De punten E, F, G, H en I horen ij de voorwaarde s+ k+ = d De oprengst is te schrijven als B= s+ 5k+ 5, In het punt G geldt: B = , 6= In het punt C geldt: B = , 0= 8 In het punt F geldt: B = , 6= 0 In het punt H geldt: B = , 5 8 = 0 De maximale oprengst wordt dus verkregen ij eladen van de auto met stoelen, kasten en 6 ijzettafeltjes. 6

18 T-a c d Neem als eslissingsvariaelen: a = aantal ton van A naar H en a = aantal ton van A naar H = aantal ton van B naar H en = aantal ton van B naar H c = aantal ton van C naar H en c = aantal ton van C naar H De doelfunctie is dantk = 9a , 5c + 05, a + +, 5c. De voorwaarden: a + a + c + c 0 a + + c = 0 a + + c = 0 In dit geval geldt: TK = , , + +, 5 0dus TK = = 509 euro. In dit geval levert A ton en B ton, dus die twee distriutiecentra raken door hun voorraad heen. C levert 6 ton en heeft dus nog vlees over. ladzijde 05 T-a Stel er wordt x miljoen euro elegd in aandelen, miljoen in oligaties en z miljoen in onroerend goed. Daarij geldt: x+ + z = 0 dus z= 0 x. Verder gelden de voorwaarden: x en z dus 0 x of x+ 7 x+ 0 dus x+ 5 x Het toegestane geied: x De doelfunctie is D= 008, x+ 0, , z= 0, 08x+ 007, + 0, 09( 0 x ) = 008, x+ 0, 07+ 7, 009, x 0, 09= 7, 00, x 0, 0 De hoekpunten van het toelaatare geied zijn: Uit x = en x+ =5 volgt A(, ). Uit x = en x+ =7 volgt D(, ). Uit x= en x+ =7 volgt C(8, 9). Uit x= en x+ =5 volgt B(0, 5). 7

19 De waarde van W in de hoekpunten is: In A(, 9): D = 7, 00, 00, 9= 9, In B(0, 5): D = 7, 000, 0, 0 5=, 5 In C(8, 9): D = 7, 00, 8 0, 0 9=, In D(, ): D = 7, 00, 00, =, 9 Het maximum wordt ereikt voor x = 0, = 5 en z = 5. Dus 0 miljoen euro eleggen in aandelen, 5 miljoen euro in oligaties en 5 miljoen euro in onroerend goed. De maximale oprengst is,5 miljoen euro. T-a x is het edrag in aandelen, het edrag in oligaties en z is het edrag in onroerend goed. Zie de oplossing van opdracht T-. In de doelfunctie wordt 0,08 veranderd in 0,0, het resultaat met VU-Grafiek wordt: c d De verdeling van het te investeren edrag verandert in miljoen in aandelen, miljoen in oligaties en 5 miljoen in onroerend goed. De maximale oprengst is ook nu,5 miljoen euro. Voeg nu de voorwaarde z = 6 toe. Het resultaat met VU-Grafiek wordt: De oprengst is nu, miljoen euro, dat is 0,7 miljoen euro minder. 8

20 e Verander het totale edrag in miljoen euro. Het resultaat met VU-Grafiek wordt: Ten opzichte van de vorige vraag is de oprengst 0,07 miljoen euro hoger. T-5 Neem aan dat er x zakken worden vervoerd van Mtukwao naar Dar es Salaam, zakken naar Kilwa Masoko en z zakken naar Lindi. Daarij geldt x+ + z = 00 dus z= 00 x. Oprengst 0x+ 0 0, , 8z= 0x z Transport x+ + 0z De doelfunctie W is W = 07x z= 07x x ( ) = 07x x 86= x 5 De voorwaarden zijn: x 0 en 0 z 0 dus 00 x dus x+ 00 x+ + 0( 00 x ) = x x 0= x dus x 9 00 of x 00 Het toegestane geied: x 00 De hoekpunten: x = 0 en x+ =00 geeft punt (0, 00) x= 00 en x = 0 geeft punt (0, ) x= 00 en x+ =00 geeft door herschrijven en gelijkstellen = 75 en dus punt (5, 75) De w aarde van de doelfunctie is: In (0, 00) W = = 00 In (0, ) W = = In (5, 75) W = = De winst is maximaal ij 5 zakken naar Dar es Salaam en 75 zakken naar Kilwa Masoko. De winst is in dat geval shilling. 9