Bayes Factor voor samengestelde hypothesen

Transcriptie

1 Bayes Factor voor samengestelde hypothesen Rob Steur 20 juli 2012 Bachelorscriptie Begeleiding: prof. dr. Marjan Sjerps Tweedebeoordelaar: dr. A.J. (Bert) van Es Thomas Bayes ( ) KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam

2 Samenvatting In een rechtszaak worden door een rechter en deskundigen gezamenlijk de posterior odds P (H p E)/P (H d E) bepaald, waarbij H p en H d de hypotheses voorstellen van respectievelijk de aanklager en de verdediging en waar E bewijsmateriaal voorstelt. We kunnen met behulp van de regel van Bayes deze posterior odds opsplitsen in twee factoren, de prior odds en de Bayes Factor. De Bayes Factor stelt de bewijskracht van het bewijsmateriaal voor en wordt idealiter onafhankelijk en objectief bepaald door deskundigen. Wanneer H p en H d een samengestelde vorm hebben, is het soms echter erg moeilijk voor deskundigen om de Bayes Factor op die manier te bepalen. Deze scriptie behandelt methoden om dit probleem op te lossen. Gegevens Titel: Bayes Factor voor samengestelde hypothesen Auteur: Rob Steur, Rob.Steur@student.uva.nl, Begeleider: prof. dr. Marjan Sjerps Tweede beoordelaar: dr. A.J. (Bert) van Es Einddatum: 20 juli 2012 Korteweg de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Science Park 904, 1098 XH Amsterdam

3 Inhoudsopgave Inleiding 3 1 Theorie en randvoorwaarden Regel van Bayes Bayes Factor voor continue metingen Randvoorwaarden Probleem samengestelde hypotheses in Bayes Factor Probleemstelling Aanpak voor het hoofdprobleem Emperische Bayes met verdeling voor Θ met maximum likelihood methode Afleiding van de Likelihood Ratio Toepasbaarheid van de Likelihood Ratio Bayes Factor met eigen prior verdeling π voor Θ Afleiding van de subjectieve Bayes Factor Toepasbaarheid van de subjectieve Bayes Factor Posterior odds bepalen zonder gebruik van een Bayes Factor Afleiden van de posterior odds voor continue verdelingen Toepassing en implicaties van de posterior odds voor continue verdelingen Bayes Factor met logische aannames voor hypothese vergelijking Implicaties en toepasbaarheid van de theorie Bayes Factor met likelihood intervallen en betrouwbaarheidsintervallen Likelihood intervallen

4 7.2 Betrouwbaarheidsintervallen Toepasbaarheid intervalmethoden Klassieke hypothese toetsing Uniform meest onderscheidende toets afleiden Toepasbaarheid van klassieke hypothese toetsing Overzicht methoden Voorbeeldsituatie Advies Wiskundig verantwoord advies Praktisch advies Populaire samenvatting 43 Bibliografie 45 2

5 Inleiding In de meeste rechtszaken is statistiek tegenwoordig niet meer weg te denken. De rechter moet zijn oordeel bepalen over een verdachte. Er kan daarbij gebruik gemaakt worden van statistiek en kansrekenening. De rechter geeft eerst met een getalswaarde zijn mening over de zaak en kan daarna doormiddel van de regel van Bayes de bewijskracht van bewijsmateriaal combineren met zijn mening. Zijn als het ware nieuwgevormde mening noemt men dan de posterior odds. Formeel gesproken hebben we de posterior odds opgedeelt in de mening van de rechter welke we de prior odds noemen en de bewijskracht van bewijsmateriaal welke we de Bayes Factor noemen. Het is de taak van deskundigen om de Bayes Factor te bepalen. In veel gevallen is dit geen enkel probleem. In sommige gevallen is het voor de deskundigen moeilijk of misschien zelf onmogelijk om de precieze waarde van de Bayes Factor onafhankelijk en objectief vast te stellen. Dit is het geval wanneer de standpunten van de verdediging en de aanklager hypotheses zijn van samengestelde vorm. Bij bepaalde kansberekeningen loop je dan tegen praktische problemen aan. In deze scriptie zullen we een aantal methoden behandelen die dit probleem misschien kunnen oplossen. Een aantal mensen hebben dit probleem al bestudeerd. We zullen een paar methoden van hen behandelen en daarbij zelf ook iets proberen toe te voegen. In elk hoofdstuk behandelen we een aparte theorie ofwel methode. We proberen daarbij steeds een bepaald voorbeeld uit te werken vanuit het framework van de methode in dat hoofdstuk. Sommige hoofdstukken zullen op elkaar lijken of eenzelfde resultaat aantonen, maar toch zullen we vanuit ieder oogpunt naar het probleem kijken. Daarna kijken we dan hoe, en of de methoden van elkaar verschillen en geven we uiteindelijk een advies over hoe het probleem aangepakt moet worden. 3