Lineaire vergelijkingen
|
|
- Dina de Smedt
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 1/24 VU Numeriek Programmeren 2.5 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam 1A40 8 april 2013
2 2/24 Overzicht Overzicht Onderwerpen & Planning Practicum Literatuur Taal Terugblik & Huiswerk
3 3/24 Overzicht Onderwerpen & Planning Onderwerpen (onder voorbehoud) HC WC Hfd Topic 0 3/4 Intro Ox 1 8/4 10/4 LV & Gauss eliminatie 2 15/4 17/4 Permutaties, pivotering en normgetallen 3 22/4 24/4 Eigenwaarden 4 29/4 1/5 Optimalisatie in 1 veranderlijke 5 6/5 8/5 Optimalisatie in meerdere veranderlijken 6 13/5 15/5 Simulatietechnieken T 29/5, 3/7 Tentamen Practicum: Implementatie, verdere achtergrond, op woensdag. Taal: Dit deel in Ox ( evt. Matlab (nu facultatief, integratiepracticum 4 verplicht Ox) Boek: Numerical Methods of Statistics, Monahan (2001) Web: BlackBoard (slides beschikbaar 1-2 dagen voor college)
4 4/24 Overzicht Doel Wat is het doel van dit deel? Kennen algoritmen? lineaire stelsels? Optimaliseren? Nee... Kerndoel: Begrijpen wat een algoritme is, het kunnen analyseren van een nieuw algoritme, en het aanleren van een gezonde twijfel bij de resultaten van welk artikel of computerpakket dan ook...
5 5/24 Overzicht Practicum Maandag: Theorie, uitleg Woensdag: Practicum, begrip kweken, uitleg oude opgaven, werken aan nieuwe opgaven Totaal: 5 opgaven beschikbaar, inleveren via BlackBoard, per groep van 2 personen. Commentaar van SA (Daan Visker, d.visker@student.vu.nl), tenminste 3/5 naar tevredenheid om aan tentamen mee te kunnen doen.
6 Stelsels lineaire vergelijkingen 3x 1 + 5x 2 = 4 2x 1 + 2x 2 = 7 A x = b Waar komt dit voor? Econometrie: Normaalvergelijkingen bij de kleinste kwadratenmethode y = X β + ɛ, los op: X y = X X β + 0 Statistiek: A symmetrisch en vierkant, bepaal inverse. Oplossing: A x = e i, i = 1,.., k, geeft i-de kolom van A 1. Besliskunde/Bayesiaanse statistiek: Bepaal stationaire verdeling van een Markovketen met matrix van overgangskansen P: π = P π (I P)π = 0, s.t. π i = 1. Dit kan worden omgezet in een Aπ = b. 6/24
7 7/24 Voorbeeld Markovketen P = I P = A = b = A π = b, π = A 1 b =
8 8/24 van stelsel Driehoeksmatrix? Achterwaarts oplossen Voorwaarts Gaussisch elimineren Pivoting
9 9/24 Driehoek Driehoeksmatrix (M3.3) Los op: A x = b, met a 11 a 12 a 1n x 1 0 a 22 a 2n A =....., x = x a nn x n b 1 b 2 b =. b n Oplossing: xn = b n /a nn x i = b i j>i a ij x j /a ii, i = n 1,.., 1 Rekentijd: R = 1 2 (n + 1)nV + 1 (n 1)nO n2 2
10 10/24 Eliminatie (M3.4) Eliminatie Ergo: Simpel om vergelijking met driehoeksmatrix op te lossen : Creeer driehoeksmatrix! ( ) ( ) x1 = x 2 ( 1 4 ) ( ) ( ) x1 = x 2 ( ) 1 2 Trek meervoud a ik /a kk van vergelijking k af van rijen i = k + 1,..., n, zdd a (k) ik 0. Merk op: De x-en veranderen niet, alleen de elementen van A en b. Uitgebreide matrix: a 11 a 1n b 1. (A, b) = a a n1 a nn b n
11 11/24 Eliminatie (M3.4) Vb eliminatie [A b] =
12 11/24 Eliminatie (M3.4) Vb eliminatie [A b] = iteratie 1 [A b] (1) =
13 11/24 Eliminatie (M3.4) Vb eliminatie [A b] = iteratie 1 [A b] (1) = iteratie 2 [A b] (2) =
14 Eliminatie (M3.4) Vb eliminatie [A b] = iteratie 1 [A b] (1) = iteratie 2 [A b] (2) = iteratie 3 [A b] (3) = /24
15 12/24 Eliminatie (M3.4) /* ** np_elim */ # include <oxstd.h> Listing 1: np elim.ox main () { decl ma, vb, mc, in, im, df, i, j, k; } ma= < 6, -2, 2, 4; 12, -8, 6, 10; 3, -13, 9, 3; -6, 4, 1, -18 >; vb= <16; 26; -19; -34 >; mc= ma vb; print (" Initial matrix [A b]: ", mc ); in= rows (mc ); im= columns (mc ); for (k= 0; k < in -1; ++k) { for (i= k +1; i < in; ++i) { df= mc[i][k] / mc[k][k]; for (j= k; j < im; ++j) mc[i][j]= mc[i][j] - df * mc[k][j]; } print (" After iteration ", k+1, ": ", mc ); }
16 13/24 Eliminatie (M3.4) Eliminatie: Opmerkingen Rekentijd (n rijen, m = n + b kolommen): V = 1 2 n(n 1)(m 1 3 n ) (1) O = 1 2 n(n 1)(m 1 3 n 1 3 ) (2) Dus V + O O(n 3 ), kan lang duren voor heel grote matrices a (k) kk heet de divisor of pivot, staat op uiteindelijke diagonaal Er wordt gedeeld door pivot: Probleem voor a (k) kk 0... Of exacter: Als divisor klein is ten opzichte van andere rij-elementen, dan is de uitkomst onzeker. Ill-conditioning, zie later
17 14/24 Transformaties Elementaire bewerkingen A x = b M A x = U x = M b In iteratie (k), tel een veelvoud m = a (k 1) jk de resterende rijen j = k + 1,.., n op, oftewel, /a (k 1) kk van rij k bij C = [A, b] C (k) = M (k) C (k 1) M ij : (of ook P(i, j))verwisselt rijen i en j van plaats M i (m): Vermenigvuldigt rij i met m 0 M ij (m): Tel bij rij j de rij i vermenigvuldigd met m op
18 15/24 Transformaties Elementaire bewerkingen II Rekenregels: M 1 ij = M ij Verwissel terug [M ij (m)] 1 = M ij ( m) Tel m rij i bij rij j op [M i (m)] 1 = M i (1/m) Deel rij i door m, als m 0 Determinanten van transformaties: M ij = 1 M i (m) = m M ij (m) = 1
19 16/24 Transformaties Transformatie in matrices Schrijf transformatie in matrices C = [A, b] C (n 1) = M C M (i) = M i,n (m ni ) M i,i+1 (m i+1 i ) M = M (n 1) M (1) lelijk M 1 = [M (1) ] 1 [M (n 1) ] 1 mooi Let op volgorde! 1 1 M (1) = 1 1, M (2) = M = M (2) M (1) = 1 1, M 1 = ,
20 17/24 Transformaties Combineer transformaties 1 [M (i) ] 1 = 1 m i+1 i m n i 1 1 [M] 1 m 21 1 =.... m n1 m n2 1 Waarom werken met inverse?... Gevolg: M C = C (n 1) C = M 1 C (n 1) = L C (n 1) = L U Bewaar L en U tezamen, om transformatie M snel opnieuw toe te kunnen passen
21 Methode van Gauss Methode van Gauss Gauss eliminatie... is een combinatie een hele reeks M ij (m) operaties, allemaal reguliere matrix-vermenigvuldigingen, dus kan weer ongedaan worden gemaakt. Precieser: Iteratie k is n M (k) = M kj ( C (k 1) jk /C (k 1) kk ) j=k+1 mult = 1 2 n(n 1)(n + b) n ), add = 1 2 n(n 1)(n + b) n ) Methode van Gauss Gebruik Gauss-eliminatie om tot een bovendriehoeksvorm te komen Gebruik terugsubstitutie om de oplossing, van de driehoeksvorm en dus ook van de oorspronkelijke vorm te vinden 18/24
22 19/24 Methode van Gauss-Jordan Methode van Gauss-Jordan (M4.2) In iedere iteratie-stap, veeg de elementen van kolom k weg zowel onder als boven de pivot Deel rij k door de pivot In elementaire matrix speak, voor iteratie k: M (k) = M k (1/C (k 1) kk ) j k M kj ( C (k 1) jk /C (k 1) kk ) Resultaat: A wordt getransformeerd tot identiteitsmatrix, uitkomst is direct af te lezen zonder terugsubstitutie. Nadeel: Meer bewerkingen nodig dan normale Gauss methode.
23 20/24 Pivots Spilelementen en de determinant Elementaire bewerking M ij (m) heeft determinant 1 (zie terug) De methode van Gauss bestaat alleen uit operaties van dit type Iha: A B = A B Dus: M A = k M (k) A = k M (k) A = 1 A Theorem De determinant van A is de determinant van A = M A = k a(k 1) kk, het product van de pivots (merk op dat M A een bovendriehoeksmatrix is)
24 21/24 Pivots Pivot 0? Permutatie Wat te doen als een pivot 0 is? Dan werkt eliminatie niet... Voorbeeld: 0x 1 + 2x 2 = 2 3x 1 + 0x 2 = 3 Oplossing: Draai rijen 1 & 2 om van plaats, met elementaire operatie M 12! Meerdere permutaties: P = M 47 M 35 M 13
25 22/24 Pivots Methode van Gauss met pivotering Gebruik Gauss methode zolang het gaat Als een pivot nul wordt, verwissel rijen, en ga door Als er geen beschikbare rij meer is om mee te verwisselen, houdt het op, en A = 0 (details volgende week) Determinant Bereken de determinant door Gauss eliminatie toe te passen alleen op A. Tel aantal permutaties j P, dan geldt dat A = 1 j P a (k 1) kk, het product van de pivots voorzien van het juiste teken. k
26 Terugblik Terugblik Wat hebben we gedaan? Gauss eliminatie en terugsubstitutie Transformatie-matrices Belang van pivots Determinant uit eliminatie-resultaat Op practicum: Begin huiswerkopgave HW (zie separaat document, deadline 17/ u): Neem Monahan (2001, ) door (voor volgende les) Bewerk (evt deels tijdens practicum) algoritme voor Gauss eliminatie zodat 1. het aantal operaties geteld wordt, en vergelijk met theoretisch aantal 2. je ook een grote random matrix kunt elimineren 3. terugsubstitutie uitgevoerd wordt 23/24
27 24/24 Bibliografie Monahan, J. F. (2001). Numerical Methods of Statistics. Cambridge series on statistical and probabilistic mathematics. Cambridge: Cambridge University Press.
Overzicht. Lineaire vergelijkingen. Onderwerpen & Planning. Doel. VU Numeriek Programmeren 2.5
VU Numeriek Programmeren 25 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam Tinbergen Institute csbos@vunl, A40 Onderwerpen & Planning Practicum Literatuur Taal Terugblik & Huiswerk 2 april 202 /26 2/26 Onderwerpen
Nadere informatieLineaire vergelijkingen II: Pivotering
1/25 Lineaire vergelijkingen II: Pivotering VU Numeriek Programmeren 2.5 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam c.s.bos@vu.nl, 1A40 15 april 2013 2/25 Overzicht Pivotering: Methodes Norm en conditionering
Nadere informatieNP2.5w3 Eigenwaarden. Eigenwaarden. VU Numeriek Programmeren 2.5. Charles Bos. Vrije Universiteit Amsterdam 1A april /26
1/26 Eigenwaarden VU Numeriek Programmeren 2.5 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam c.s.bos@vu.nl, 1A40 22 april 2013 2/26 Overzicht Waarom? Voorbeelden Eigenwaarden/eigenvectoren Hoe vind ik ze? Polynoom
Nadere informatiePracticum Ox intro. Practicum Ox intro. VU Numeriek Programmeren 2.5. Charles Bos. Vrije Universiteit Amsterdam. 3 april /18
1/18 VU Numeriek Programmeren 2.5 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam 3 april 2013 2/18 Overzicht Vlotte intro in Ox Hands on 3/18 Minimale elementen Minimale elementen Ox-programma: voeg de standaard
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =
Nadere informatieOverzicht. Eigenwaarden. Beurzen en afhankelijkheid. Eigenwaarden: Intro
Overzicht Eigenwaarden VU Numeriek Programmeren. Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam c.s.bos@vu.nl, A april Waarom? Voorbeelden Eigenwaarden/eigenvectoren Hoe vind ik ze? Polynoom Powermethode Andere
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatieBlokmatrices. , I 21 = ( 0 0 ) en I 22 = 1.
Blokmatrices Soms kan het handig zijn een matrix in zogenaamde blokken op te delen, vooral als sommige van deze blokken uit louter nullen bestaan Berekeningen kunnen hierdoor soms aanzienlijk worden vereenvoudigd
Nadere informatieSupplement Wiskunde 2017/2018. Inhoudsopgave
Inhoudsopgave Hoofdstuk 1: Missende stof in de verslagen... 2 Hoofdstuk 2: Overbodige stof in de verslagen... 7 Hoofdstuk 3: Fouten in de verslagen... 8 Tentamen halen? www.rekenmaarverslagen.nl 1 Hoofdstuk
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september 2016 1 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieStelsels lineaire vergelijkingen
Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte
Nadere informatie4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij.
3x4 y26 4x y3 4.0 Voorkennis [1] Voorbeeld 1 (Elimineren door substitutie): Los op: Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij. 4x y = 3 y = 4x 3 Stap 2: Vul de vrijgemaakte variabele
Nadere informatieCTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 1 11 februari 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieLineaire Algebra WI1048WbMt. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 4 september 2016
Lineaire Algebra WI1048WbMt, 4 september 2016 Informatie over de docent Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard
Nadere informatieLineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012
Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieDefinities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire
Nadere informatieOptimalisatie in meerdere veranderlijken
1/38 Optimalisatie in meerdere veranderlijken VU Numeriek Programmeren 2.5 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam c.s.bos@vu.nl, 1A40 29 april 2013 2/38 Overzicht Waarom? Lastige functie Idee van algoritmen
Nadere informatiePraktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent:
Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: D.P. Huijsmans LIACS Universiteit Leiden College Lineaire
Nadere informatieDeterminanten. Definities en eigenschappen
Determinanten Definities en eigenschappen Definities (korte herhaling) Determinant van een 2x2-matrix: a b ad bc c d S. Mettepenningen Determinanten 2 Definities (korte herhaling) Determinant van een 3x3-matrix:
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatiex = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1
WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Nadere informatie2 De Jordannormaalvorm voor lineaire transformaties
2 De Jordannormaalvorm voor lineaire transformaties We zagen dat iedere lineaire transformatie L : V V van een vectorruimte (V, K) over een algebraïsch afgesloten lichaam K op bovendriehoeksvorm kan worden
Nadere informatie11.0 Voorkennis V
11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatie2 De Jordannormaalvorm van een lineaire transformatie
2 De Jordannormaalvorm van een lineaire transformatie We zagen dat iedere lineaire transformatie L : V V van een vectorruimte (V, K) over een algebraïsch afgesloten lichaam K op bovendriehoeksvorm kan
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieMatrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.
Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12)
Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieLineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen
Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:
Nadere informatieDe inverse van een matrix
De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties
Nadere informatieRuimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen.
college 4 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 16-17 4 29 maart 217 38 1 2 3.16-17[4] 1 vandaag Vectoren De notatie (x 1, x 2,..., x n ) wordt gebruikt voor het punt P met coördinaten (x 1,
Nadere informatiePraktische informatie. m.b.t. College. Lineaire Algebra en Beeldverwerking. Bachelor Informatica. 1e jaar. Voorjaar semester 2012
Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica 1e jaar Voorjaar semester 2012 Docenten: Jesse Goodman en Charlene Kalle Universiteit Leiden Praktische informatie
Nadere informatieSamenvatting Lineaire Algebra, periode 4
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax
Nadere informatieOpgaven Matlab - Week 2, sessie 2: De Singulierewaardendecompositie
Opgaven Matla - Week 2, sessie 2: De Singulierewaardendecompositie Laat A R n k. Dan etaan er unitaire matrices V R k k en U R n n zodanig, dat AV = UΣ, (1) waarij Σ R n k een niet-negatieve diagonaalmatrix
Nadere informatieCTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8 Verschillende notaties
Nadere informatieLineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft
Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten Joost de Groot Les 5 1 Technische Universiteit Delft Doel van deze les Determinanten ben je al tegengekomen bij de behandeling van het in en het uitwendig
Nadere informatieMatrixalgebra (het rekenen met matrices)
Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg
Nadere informatieHoofdstuk 3 : Determinanten
(A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Nadere informatieInformatica: C# WPO 10
Informatica: C# WPO 10 1. Inhoud 2D arrays, lijsten van arrays, NULL-values 2. Oefeningen Demo 1: Fill and print 2D array Demo 2: Fill and print list of array A: Matrix optelling A: Matrix * constante
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatiePOD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding
POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 2/59 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding Stijn Lievens (Stijn.Lievens@hogent.be) Noemie Slaats (Noemie.Slaats@hogent.be) Lieven Smits (Lieven.Smits@hogent.be) Martine Van Der Weeen
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 2
Lineaire algebra (NP010B) januari 013 Tentamen Lineaire Algebra Vermeld op ieder blad je naam en studentnummer. Lees eerst de opgaven voordat je aan de slag gaat. Schrijf leesbaar en geef uitleg over je
Nadere informatieOverzicht. Random nummer generatie. Waarom? Waarom? VU Numeriek Programmeren 2.5
Overzicht Random nummer generatie VU Numeriek Programmeren 2. Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam c.s.bos@vu.nl, A4 Waarom? U[, ]: LCG Test verdeling Transformeer naar andere verdelingen 23 april
Nadere informatieHoofdstuk 3. Matrices en stelsels. 3.1 Matrices. [[1,7]],[[12,8] ] of [ 1, 7; 12,8 ] bepaalt de matrix
Hoofdstuk 3 Matrices en stelsels 3.1 Matrices Een matrix is in DERIVE gedefinieerd als een vector van vectoren. De rijen van de matrix zijn de elementen van de vector. Op de volgende manier kan je een
Nadere informatieEindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)
Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatievandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen
Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieStudiewijzer Lineaire Algebra voor ST (2DS06), blok D, januari 2009
Studiewijzer Lineaire Algebra voor ST (2DS06), blok D, januari 2009 1 Algemeen 1.1 Docenten De cursus wordt gegeven door Judith Keijsper (Dr. J.C.M. Keijsper, HG 9.31, tel 5583, email J.C.M.Keijsper(AT)tue(DOT)nl).
Nadere informatieWISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS LOTHAR PAPULA. deel 2. 2e druk ACADEMIC 5 E R V I C
WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS deel 2 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC 5 E R V I C Inhoud 1 Lineaire algebra 1 1.1 Vectoren I 1.2 Matrices 4 1.2.1 Een inleidend voorbeeld 4 1.2.2 Definitie
Nadere informatiete vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector
Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product
Nadere informatieDeterminanten. , dan is det A =
Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is
Nadere informatieProefToelatingstoets Wiskunde B
Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan
Nadere informatieAntwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatieKwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.
Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieVU University Amsterdam 2018, Maart 27
Department of Mathematics Exam: Voortgezette biostatistiek VU University Amsterdam 2018, Maart 27 c Dept. of Mathematics, VU University Amsterdam NB. Geef een duidelijke toelichting bij de antwoorden.
Nadere informatieOverzicht. Voorspellen: Concepten. Organisatie. Concepten
Overzicht VU Inleiding Bedrijfseconometrie 2.2 Charles S. Bos VU University Amsterdam c.s.bos@vu.nl 29 oktober 22 Organisatie Typeringen van voorspelling Kwalitatieve voorspelling Onvoorspelbare voorspelling
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieRuimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud
college 6 en lineaire collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 6 9 juni 27 3 2 3 van een matrix Toepassing: oppervlakte en inhoud.6-7[6] vandaag van de 2 2-matrix a b c d is gelijk aan ad bc.
Nadere informatieVierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1
Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en
Nadere informatiecompact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n).
1 HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 2 - Oplossingen Opgave 1: Er geldt n 3 en we hebben de compacte uitdrukking y i a r i x r, waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie. a Schrijf
Nadere informatieHertentamen Inleiding Kansrekening 5 juli 2017, 14:00 17:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander
Hertentamen Inleiding Kansrekening 5 juli 07, 4:00 7:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van boek en aantekeningen niet toegestaan, wel het gebruik van rekenmachine. Er
Nadere informatieEerste deeltentamen Lineaire Algebra A. De opgaven
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 3 november 9, 3-6 uur Bij dit tentamen mogen dictaat en/of rekenmachine niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, collegekaartnummer en naam van de practicumleider
Nadere informatieCoëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen
Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts
Nadere informatie1 De permanent van een matrix
De permanent van een matrix Schrijf S n voor de symmetrische groep, met als elementen alle permutaties σ van de getallen {,..., n}. De permanent van een n n matrix A = (a ij ) is een getal dat formeel
Nadere informatieVoorspellen: Concepten
IB2.2s1 1/20 VU Inleiding Bedrijfseconometrie 2.2 Charles S. Bos VU University Amsterdam c.s.bos@vu.nl 29 oktober 2012 IB2.2s1 2/20 Overzicht Organisatie Waarom Typeringen van voorspelling Kwantitatieve
Nadere informatieOverzicht. Optimalisatie in meerdere veranderlijken. Waarom? Neem de wisselkoers EUR/USD d.d. 22/9/2000:
Overzicht Optimalisatie in meerdere veranderlijken VU Numeriek Programmeren.5 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam c.s.bos@vu.nl, A4 4 mei Waarom? Lastige functie Idee van algoritmen Afdalingsmethoden
Nadere informatie3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?
In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.
Nadere informatie1 Rekenen met gehele getallen
1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2
Nadere informatieInleiding in de lineaire algebra
Inleiding in de lineaire algebra (SV.9) W.Oele P.J. den Brok 6 maart 4 Inleiding De cursus lineaire algebra bestaat uit een aantal colleges in de matrix- en de vectorrekening. De colleges over en de oefenopdrachten
Nadere informatieLineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul
Lineair voor CT College 2a Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Speciale vormen van een matrix Een stelsel oplossen komt overeen met door elementaire rijopera-es bepalen van de gereduceerde echelon vorm
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (2DM20) op vrijdag 11 mei 2007, 9:00 12:00 uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op vrijdag mei 7, 9: : uur. U mag bij het tentamen geen computer (notebook, laptop), boeken
Nadere informatieFuncties van vectoren
Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.
Nadere informatieDepartment of Mathematics Exam: Voortgezette biostatistiek / Biomedische wiskunde VU University Amsterdam 2017, Juni 7
Department of Mathematics Exam: Voortgezette biostatistiek / Biomedische wiskunde VU University Amsterdam 07, Juni 7 c Dept. of Mathematics, VU University Amsterdam NB. Geef een duidelijke toelichting
Nadere informatieDivide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg. Algoritmiek
Divide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg Algoritmiek Algoritmische technieken Vorige keer: Divide and conquer techniek Aantal toepassingen van de techniek Analyse met Master theorem en substitutie Vandaag:
Nadere informatie4. Determinanten en eigenwaarden
4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:
Nadere informatieVragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA
Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting
Nadere informatieM1 Wiskundig taalgebruik en notaties
M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =
Nadere informatieUITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
Nadere informatieCover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/39637 holds various files of this Leiden University dissertation Author: Smit, Laurens Title: Steady-state analysis of large scale systems : the successive
Nadere informatieextra sommen bij Numerieke lineaire algebra
extra sommen bij Numerieke lineaire algebra 31 oktober 2012 1. Stel, we willen met een rekenapparaat (dat arithmetische bewerkingen uitvoert met een relatieve nauwkeurigheid ξ, ξ ξ) voor twee getallen
Nadere informatieUitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009
Departement Wiskunde, Faculteit Bètawetenschappen, UU. In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. Het college WISB werd in 9- gegeven door Prof. Dr. F. Beukers. Uitwerking
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.
Nadere informatieMatrices en Grafen (wi1110ee)
Matrices en Grafen (wi1110ee) Electrical Engineering TUDelft September 1, 2010 September 1, 2010 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http:
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire programmering
Lineaire programmering Hans Maassen kort naar Inleiding Besliskunde van J. Potters [Pot]. en Methods of Mathematical Economics van J. Franklin [Fra]. Lineaire programmering is het bepalen van het maximum
Nadere informatie