p(tx 1,..., tx n ) = t m p(x 1,..., X n )

Transcriptie

1 184 NAW 5/2 nr. 2 juni 2001 Universiaire Wisunde Compeiie Universiaire Wisunde Compeiie Opgave A Teen in een cirel een regelmaige zeshoe. Beschrijf me de hoepunen van deze zeshoe als middelpunen zes cirels me een sraal gelij aan de sraal van de eerse cirel. Binnen de eerse cirel onsaa een bloemeje. Buien de eerse cirel onsaan zes snijpunen van de geroen cirels. Kies deze zes hoepunen weer als middelpunen van nieuwe cirels, weer me dezelfde sraal en een weer de bereffende veelhoe. Ze di procédé voor en beredeneer de srucuur van de figuur die onsaa. Opgave B Zij Q [X 1,..., X n ] de ring van polynomen me raionale coëfficiënen in de onbeenden X 1,... X n. We noemen p Q [X 1,..., X n ] homogeen van graad m 1 als px 1,..., X n m px 1,..., X n De Universiaire Wisunde Compeiie is een ladderwedsrijd voor sudenen, georganiseerd in samenwering me de Vlaamse Wisunde Olympiade. De opgaven worden evens gepubliceerd op de inernepagina hp://academics.is.udelf.nl/uwc Ieder nummer beva de ladderopgaven A, B, en C waarvoor respecievelij 30, 40 en 50 punen unnen worden behaald. Daarnaas zijn er respecievelij 6, 8 en 10 exra punen e winnen voor eleganie en generalisaie. Per nummer worden wee prijzen van 100 Euro oegeend: één aan de aanvoerder van de ladder die daarna weer onderaan begin, en één aan de inzender van de oplossing die de meese punen behaald heef die dan geen punen voor de ladder rijg. Daarnaas zal wee maal per jaar een ser-opgave worden aangeboden waarvan de redacie geen oplossing beend is. Voor de eers onvangen correce oplossing van deze ser-opgave word eveneens 100 Euro oegeend. Groepsinzendingen zijn oegesaan. Eleronische inzending in LATEX word op prijs geseld. De inzendermijn voor de slui op 1 augusus Voor een ser-opgave geld een inzendermijn van een jaar. Eindredacie: Jan van Neerven Redacieadres: Universiaire Wisunde Compeiie Vagroep Toegepase Wisundige Analyse Technische Universiei Delf Posbus 5031, 2600 GA Delf j.vanneerven@is.udelf.nl De Universiaire Wisunde Compeiie word gesponsord door Opiver Derivaives Trading. voor alle Q. De deelverzameling van alle polynomen die homogeen zijn van graad m noeren we als Q m [X 1,..., X n ]. Ui de ideniei X 1 X X 1 X X X2 2 volg meeen da ieder polynoom p Q 2 [X 1, X 2 ] geschreven an worden als een Q - lineaire combinaie van wadraen van polynomen in Q 1 [X 1, X 2 ]. Toon aan: voor alle m, n 1 an ieder polynoom p Q m [X 1,..., X n ] geschreven an worden als een Q -lineaire combinaie van m-de machen van polynomen in Q 1 [X 1,..., X n ]. Opgave C Toon aan da de volgende funcie fx 1 ln1 e x x ln ln1 e x sri dalend is op 0,. Ediie 2000/4 Op de ronde 2000/4 van de Universiaire Wisunde Compeiie onvingen we 10 inzendingen. Opgave 2000/4-A Gegeven vier punen in he vla, waarvan er geen drie op een reche lijn liggen. Kies drie van de vier punen. Deze vormen een driehoe, waarvan de omgeschreven cirel middelpun M en sraal R heef. Noem he vierde pun P. Toon aan: Oppervlae PM 2 R 2 is onafhanelij van de euze van de drie punen. Oplossing De opgave laa een generalisaie oe naar dimensies d 2. In de navolgende oplossing beschouwen we he geval d 3; deze oplossing geef voldoende aannopingspunen voor he algemene geval. Van he vijfal punen {A, B, C, D, E} liggen er geen vier in één vla. We beschouwen wee vierallen, zeg {A, C, D, E} en {B, C, D, E}. Deze hebben he drieal {C, D, E} gemeenschappelij; he middelpun van hun omgeschreven cirel nemen we als oorsprong van een caresisch coördinaenselsel. De coördinaen van een pun P noeren we als

2 Universiaire Wisunde Compeiie NAW 5/2 nr. 2 juni p p 1, p 2, p 3. Er geld dan c d e : r. Kiezen we de x 1 -as loodrech op he vla opgespannen door C, D en E, dan liggen C, D en E blijbaar op de cirel { x 2 1 x 2 2 x2 3 r2, x 1 0. He middelpun M A van omgeschreven bol van de punen A, C, D en E heef coördinaen m A, 0, 0. De sraal R A van deze bol voldoe aan r 2 m 2 A R2 A AM A 2 a 1 m A 2 a 2 2 a3 3, zoda 2a 1 m A a 2 1 a2 2 a2 3 r2. Oo geld BM A 2 b 1 m A 2 b 2 2 b2 3, dus BM A 2 R 2 A b2 1 b2 2 b2 3 r2 2b 1 m A. Combinaie van deze gelijheden geef a 1 BM A 2 R 2 A a 1b 2 1 b2 2 b2 3 r2 b 1 a 2 1 a2 2 a2 3 r2. Analoog vinden we da b 1 AM B 2 R 2 B b 1a 2 1 a2 2 a2 3 r2 a 1 b 2 1 b2 2 b2 3 r2. Di geef a 1 BM A 2 R 2 A b 1 AM B 2 R 2 B. He volume van de viervlaen opgespannen door A, C, D en E respecievelij B, C, D en E word verregen door a 1 respecievelij b 1 e vermenigvuldigen me 3 1 maal de oppervlae van de driehoe CDE. Bijgevolg geld Volume [ACDE] BM A 2 R 2 A Volume [BCDE] AM B 2 R 2 B. Zoals de meese inzenders opmeren onbraen de absolue waarde-srepen in de opgave. Als men oppervlae als georiëneerde oppervlae inerpreeer, was de opgave echer correc he min-een in om dan van de permuaie die ABCDE in BACDE overvoer. Opgave 2000/4-B Zij p, N\ {0, 1}. Bewijs de volgende ongelijheden: p 1 p 2 2p 1 1 2p 1 < 1p p 2 1 2p 1 2p 1. 2p 1 < p2 Oplossing De volgende uiwering is gedeelelij gebaseerd op de oplossing van Tom Claeys. Beschouw de funcie f : [2, R gegeven door 1 p p 2 [ 1 f 1 2p 1 2p 1 ] 2 [ 1 1 x p 1 dx x dx] 2p 2. De eerse ongelijheid is bewezen als we unnen aanonen da f > 0 voor alle [2,. Elemenair reenwer laa zien: f > 0 x 2p 2 dx x p 2 dx x 2p 3 dx x p 1 dx > x 2p 2 y p 2 x 2p 3 y p 1 dx dy > x 2p 3 y p 2 x y dx dy > x 2p 3 y p 2 y 2p 3 x p 2 x y dx dy > 0. y

3 186 NAW 5/2 nr. 2 juni 2001 Universiaire Wisunde Compeiie Op he inegraiegebied van de herhaalde inegraal geld x y 0. Wegens x y 1 en 2p 3 > p 2 0 geld x 2p 3 y xy p 2, zoda oo x 2p 3 y p 2 y 2p 3 x p 2 0. In al deze ongelijheden reed gelijheid alleen op de diagonaal x y op. Hierui volg da de herhaalde inegraal sri posiief is. Di bewijs de eerse ongelijheid. Schrijf nu 1 p p 2 p 2 2p 2 g, 1 2p 1 2p 1 2p 1 2p 2 h, me g en h zeere polynomen van graad 2p 3. Dan geld: 1 p p 2 p lim 1 2p 1 2 g/ 2p 2 p2 lim 2p 1 2p 1 h/2p 2 2p 1. Omda we al ween da funcie f in sri sijgend is in de variabele, geef di de weede ongelijheid. Opgave 2000/4-C Men wil ui n personen me n 2 een winnaar aanwijzen door volmaa eerlije loing, maar heef daaroe slechs de beschiing over één geldsu. De ansen op ruis of mun zijn daarbij nie noodzaelijerwijs 2 1, maar wèl is he zeer da die ansen consan zijn. Een voorschrif voor he spel en zo n voorschrif zal een proocol genoemd worden is bij n 2 bijvoorbeeld he volgende: Men werp ne zolang wee eer acher elaar oda de uiomsen van de laase wee eer verschillend zijn. Is da KM K beeen ruis, M beeen mun dan win speler 1, is he MK dan win speler 2. Er is een ans 0 da he werpen oneindig lang duur: da nemen we voor lief. De lengeverwaching van he proocol is de verwachingswaarde van he aanal worpen. Gemashalve word bij de bereening van die lengeverwaching ervan uigegaan da de ans op ruis 2 1 is erwijl he proocol juis bedoeld is voor de omgang me oneerlije munen. In he bovengenoemde voorbeeld is de lengeverwaching 4. a. Toon aan da er voor n 2 een proocol besaa me lengeverwaching < 7 2. b. Voor n 3 is er een eenvoudig proocol waarvan de lengeverwaching oo weer 4 is. Toon aan da er een proocol besaa me lengeverwaching < 4. c. Bewijs da er een consane C besaa zo da er bij ele n een proocol besaa me lengeverwaching < C log n. d. Bewijs da er bij geen enele n een geal G besaa zodanig er een proocol is da de afloop binnen G worpen garandeer. Oplossing Deze uiwering is gebaseerd op de oplossing van Herber Belman. We maen gebrui van he fei da de ans op ieder rijje besaande ui maal K ruis en m maal M mun gelij is, ongeach de volgorde waarin de K s en M s geworpen zijn. We gaan ui van n spelers. He aanal rijjes me maal K en m maal M is m. Als m an voor zeere a, dan unnen an van deze rijjes eerlij worden verdeeld onder de n spelers. Hoe di gebeur is verder nie van belang. Bijvoorbeeld als n 5 dan an na minimaal 4 beuren een winnaar worden bepaald, namelij zodra er weemaal K en weemaal M is gegooid bijvoorbeeld door de oeenningen KKMM: speler 1, KMKM: speler 2, KMMK: speler 3, MKKM: speler 4, MKMK: speler 5 en MMKK: onbeslis. Voorda we he proocol geven da een zo or mogelije lengeverwaching heef, hebben we een aanal definiies nodig. Een scenario is een opeenvolging van worpen. We onderscheiden beslise en onbeslise scenario s. Me ρ,m noeren we he aanal scenario s besaande ui maal K en m maal M da precies na m worpen een winnaar aanwijs beslis. Me θ,m noeren we he aanal onbeslise scenario s besaande ui maal K en m maal M. Laa m n m mod n. Nu geld da m θ,m. n Di an worden aangeoond me behulp van inducie naar m. Eenvoudig word aangeoond da θ,m θ 1,m θ,m 1 mod n.

4 Universiaire Wisunde Compeiie NAW 5/2 nr. 2 juni Mer op da ρ,m θ 1,m θ,m 1 θ,m, immers door de laase worp nie ui e voeren is he scenario zeer onbeslis. Er geld nu voor de lengeverwaching E n : E n ρ, n n n n n 1 0 n 0 θ 1, θ, 1 θ, n n n Le hierbij goed op de bereien van de variabelen en. Hiermee is de formule afgeleid voor de lengeverwaching van de beslise scenario s. We unnen hiermee de deelvragen 1, 2 en 3 beanwoorden. 1. We iezen in bovensaande formule n 2 en vinden: E Hierbij worden de eerse 7 ermen simpelweg bereend en voor de res word een afschaing gemaa, waarbij we gebruimaen van a b He bewijs gaa analoog aan 1. We bereenen de eerse 10 ermen: E We dienen e bewijzen da er een C besaa waarvoor er voor ele n een proocol besaa me lengeverwaching < C log n. Volgens he bovengenoemde proocol geld E n n We splisen deze som in wee delen, namelij n en y 2 0. n We zullen verderop y iezen. In de eerse som maen we de afschaing n en in de weede som n 1 < n. Als we di oepassen dan vinden we: n

5 188 NAW 5/2 nr. 2 juni 2001 Universiaire Wisunde Compeiie E n 0 0 < 0 n y 0 y 2 n 0 2 n 0 1 n y n y 1 2 y 0 2 y ny 1 2 y 0 2 n 2 y y y Kies nu y zo da n 2 y < 2n. We vinden nu voor E n de ruime afschaing: 2ny 4n 2 y. E n < y 2ny 4n 2 y 3y 4 4 log 2 n, voor voldoend groe waarden van n. 4. De volgende oplossing maa gebrui van he fei da we vooraf nie ween hoe vals de mun is. Sel da er een n 2 en G e vinden zijn waarbij el proocol binnen G worpen een winnaar onder n spelers aanwijs. Laa p > 2 1. We verondersellen nu da de mun waarmee word geworpen nogal vals is, zo vals namelij da de ans op he werpen van M gelij is aan p 1 G. De ans da me deze mun G maal M word geworpen is nu p > 1 2. Als de worp G maal M word oegeend aan speler 1, dan heef speler 1 meer dan ans 2 1 om e winnen en is er geen sprae van een eerlije loing. Als deze worp daarenegen aan geen van de spelers word oegeend hebben we na G worpen geen gegarandeerde winnaar. Een sloopmering: de rij E n n is nie monooon sijgend. Een oename van n impliceer dus nie auomaisch een een oename van de lengeverwaching. Zo is bijvoorbeeld E , E en E Uislag 3e ediie De weging van de opgaven is 3 : 4 : 5. Naam A B C Toaal 1. Herber Belman Twene Hendri Hubrechs e.a. Leuven Filip De Sme Gen Bar Rodrigues e.a. Leuven Tom Claeys Leuven Laddersand Universiaire Wisunde Compeiie na vier ronden We vermelden alleen de op 5. Voor de complee laddersand zie de homepage. Naam Punen 1. Seven Lippens Filip De Sme Hendri Hubrechs e.a Joeri Van der Veen e.a Herber Belman 177