De afstand tussen. Margot van Aken

Transcriptie

1 D stn tussn onwortl ylontis omn Mrot vn Akn

2

3 D stn tussn onwortl ylontis omn oor Mrot vn Akn tr vrkrijin vn r vn Blor o Sin n Tnis Univrsitit Dlt, in t opnr t vrin op wons 24 uustus om 11:00 uur. Stuntnummr: Projtuur: 1 mrt, uustus, 2016 Boorlinsommissi: Dr. Ir. L. vn Irsl, TU Dlt, suprvisor Pro. Dr. Ir. A. W. Hmink, TU Dlt Dr. B. vn n Dris, TU Dlt

4

5 Voorwoor Ht vrsl t voor u lit is t rsultt vn n vir mnn urn Blor Ein Projt (BEP) tr sluitin vn Blor Tnis Wiskun n TU Dlt. Voor mijn BEP wil ik r n onrwrp in sti Optimlisrin. Al snl wr ik koppl n mijn lir Lo vn Irsl. Mijn oprt ws n ILP ormulrin t mkn voor vrlijkin vn ylontis omn. D rst mn vn mijn onrzok ik m zioun mt t in mkn vn tori omtrnt ylontis omn. Hirvoor ik sikt litrtuur tot mijn sikkin krn vn Lo vn Irsl. N sto o t rsn on t puzzln nr n oplossin. Vrn i ontstonn tijns mijn onrzok wrn ntwoor oor Lo vn Irsl. En nkl vr wr ntwoor oor Ctrin M- Crtin, i ik rvoor nk. Bij zn wil ik r n ijzonr woor vn nk ritn n Lo vn Irsl voor ijn liin n tij i ij vrijmkt t om ir wk mt mij t zittn, m t nkn n l mijn vrn t ntwoorn. Ik wns u vl lsplzir. Mrot vn Akn Dlt, juli 2016 iii

6

7 Inousopv Inliin n Prolmstllin 1 1 Astn tussn inir omn Fylontis omn Omvormn vn ylontis omn Armnt Forst Rurn vn omn 7 3 Armnt orst vn wortl omn Onvrnir trippls Rstritis Armnt orsts vn onwortl ylontis omn Onvrnir kwrtttn Fs één β-mppin Fs tw Aloritm voor Fs één n tw ILP ormulrin voor xt rknin vn TBR-stn Onvrnir kwrtttn ILP ormulrin Conlusi 18 Rrntis 21 v

8

9 Inliin n Prolmstllin En onwortl, inir, ylontis oom is n oom wrvn lrn ll zijn n ir nit-ll knoop r 3 t. Fylontis omn worn ruikt om ontstnssinis vn ornismn t rijpn. Tw ylontis omn T 1 n T 2 mt zl ll l-vrzmlin L kunnn nmlijk vrlkn worn. Kn t n ornism ontstn zijn uit t nr ornism? Zo j, o root is vrlijknis? Door mil vn zonom Sutr Trnsr-oprtis kn T 1 omvorm worn tot T 2. D tw lnrijkst Sutr Trnsr-oprtis in it vrsl zijn SPR-oprtis n TBRoprtis. Bij i oprtis wort r rst n tk vrwijr vn oom. Bij n SPR-oprti wort n tk knipt n n n nr tk vstmkt, trwijl ij n TBR-oprti n tk volli vrwijr wort, wrn n niuw tk vrinin zl zijn tussn ontstn lomn. Ho vk n oprti mot worn topst om T 1 om t vormn tot T 2 t stn tussn omn. D prolmstllin vn it vrsl luit: o kn TBR-stn tussn tw ylontis omn pl worn? Ht lijkt t xt stn tussn T 1 n T 2 vronn is mt t ntl omponntn in n Mximum Armnt Forst vn T 1 n T 2 [1]. En MAF kn omsrvn worn ls t miniml ntl omn, zó t ir oom n loom vn T 1 n T 2 is; omn isjunt zijn; n z omn l L opspnnn. Anzin voor prolmstllin n MAF vonn mot worn tussn tw ylontis omn, wort in oostuk 2 n ni uitstpj mkt. Wnnr tw omn topolois vrwnt zijn, kunnn z rur worn, zonr t TBR-stn vrnrt [1]. In oostuk 3 wort ltn zin t ij wortl, inir omn kkn wort nr onvrnir trippls om n rmnt orst t vinn. Tw wortl, inir omn zijn nmlijk quivlnt n n slts n ls ir trippl in tw omn topolois quivlnt is [2]. Bij tw ylontis omn T 1 n T 2 wort r kkn nr onvrnir kwrtttn. In oostuk 4 wort n loritm srvn i TBR-stn rknt [3]. Dz rknin stt uit tw sn. In rst s worn vn pl onvrnir kwrtttn in T 2 n tk vrwijr, zot r n os F ovrlijt. In tw s wort kkn nr pn i isjunt zijn in F, mr ovrlppn in T 2. Wr worn r tkkn vrwijr, zot n tw s n rmnt orst ovrlijt. Tot slot wort in t ltst oostuk tori vn oostuk 3 n 4 ominr. Dz ominti rsultrt in n niuw tori. Dit t n ILP-ormulrin wrin roott vn n MAF tussn tw ylontis omn vonn kn worn. Er is in it vrsl kozn om lln lnrijkst lmm s n stllinn t wijzn. D krn vn it vrsl lit in ltst ri oostukkn, us r zulln mr wijzn t vinn zijn n in rst tw. 1

10

11 1 Astn tussn inir omn Dit oostuk zl n unrin ln voor knnis i noi is voor it vrr vrsl, sr op n rtikl vn Alln n Stl [1]. Erst zulln n ntl initis vn worn omtrnt ylontis omn. In tw prr zl r uitl worn op wlk mnirn omn omvorm kunnn worn. In ovl stppn vn n oom T 1 n oom T 2 mkt kn worn, nomn w stn tussn z omn. Hirvoor ln vrsilln stnmtn i sr zijn op vrsilln rls voor t omvormn. In ltst prr vn it oostuk wort t vrn uitl tussn z stn n n zotn Mximum Armnt Forst. Dit vrn lijkt nutti t zijn wnnr w stnn willn rknn Fylontis omn En onwortl, inir, ylontis oom is n oom wrvn lrn ll zijn n ir nit-ll knoop r 3 t. Zulk omn nomn w ook wl kortw ylontis omn. D vrzmlin ylontis omn mt n lrn wort nui mt U B(n). D vrzmlin ll lrn vn n oom T wort notr ls L (T ). En tk i nit vronn is mt n l, nomn w n intrn tk. En intrn tk is ltij vronn n 4 lomn. En oom mt puntn vn r 2 kn inir mkt worn oor or ontrtion. Dit is n oprti wrij knopn vn r tw vrwijr worn n n z knoop lin tkkn smnvo worn. Gvn n vrzmlin U L (T ) voor n inir oom T, lt n T (U ) miniml loom vn T zijn i ll lrn vn U vrint. W notrn n T U voor inir oom vrkrn uit T (U ) oor or ontrtion. Zi Fiuur 1.1 voor n voorl. T T ({,,}) T ({,}) T {,,} T {,} Fiuur 1.1: Smtis wrv vn or ontrtion Omvormn vn ylontis omn Tw inir omn mt n lijk ntl lrn kunnn zó omvorm worn t omn tzl (isomor) worn. En oom omvormn kn n n vn n Sutr Trnsr-oprti. W mkn onrsi tussn ri soortn Sutr Trnsr-oprtis (Θ-oprtis), nmlijk Nrst Niour Intrn (NNI), Sutr Prun n Rrt (SPR) n Tr Bistion n Ronntion (TBR). Bij n NNI-oprti wort n loom nsluitn n n intrn tk vrwissl mt n loom n nr knt vn intrn tk, zols t zin in Fiuur

12 4 1. Astn tussn inir omn T Fiuur 1.2: Smtis wrv vn n NNI-oprti. Bij n SPR-oprti wort r n tk vrwijr. D ontstn loom wort vrvolns n izl tk n n nr l vn oom vstmkt. Mt or ontrtion wort oom wr inir. Zi Fiuur 1.3 voor n visul uitl. T T Fiuur 1.3: Smtis wrv vn n SPR-oprti. Als ltst wort r ij n TBR-oprti n tk vrwijr n worn tw ontstn lomn smnvo oor n tk to t von zols t zin is in Fiuur 1.4. Wr zort or ontrtion voor iniritit. T T Fiuur 1.4: Smtis wrv vn n TBR-oprti. T Mrk op t lk NNI-oprti ook n SPR-oprti is n lk SPR-oprti ook n TBR-oprti is, mr nrsom it nit ltij lt. D stn tussn tw inir omn T 1 n T 2 tn opzit vn n oprti Θ {NNI, SPR, TBR} is t miniml ntl Θ-oprtis t noi is om T 2 uit T 1 t vrkrijn. W notrn it ls Θ (T 1,T 2 ) Armnt Forst D TBR-stn tussn tw inir omn T 1 n T 2 kn n n vn n mximum rmnt orst (MAF) pl worn. Ht vrn tussn MAF n stn wort n t in vn z prr vruilijkt. En MAF voor omn T 1,T 2 UB(n) kn omsrvn worn ls t miniml ntl omn, zot ir oom n loom vn T 1 n T 2 is; omn isjunt zijn; n z omn l L opspnnn. D initi volt. Lt L := L (T 1 ) = L (T 2 ). En rmnt orst (AF) vn T 1 n T 2 is n vrzmlin F = {t 1,..., t k } inir omn zot ls w L j := L (t j ) voor j {1,...,k} ltn, n: 1. L 1,...,L k L, 2. t j = T 1 L j = T 2 L j voor ll j {1,...,k}, n 3. Voor i {1,2} zijn omn {T 1 (L j ) : j = 1,...,k} knoop-isjunt. En mximum rmnt orst (MAF) is n AF F wrij F miniml is, zi Fiuur 1.4. Mrk op t n MAF nit unik ot t zijn.

13 1.3. Armnt Forst 5 T 1 T 2 F Fiuur 1.4: En MAF F voor T 1,T 2 UB(n). En MAF stt uit zo min molijk lomn. W kunnn MAF vn tw omn ruikn om un stn t pln, oor mil vn Stllin 1. Stllin 1. Voor tw inir omn T 1 n T 2 mt L (T 1 ) = L (T 2 ) lt T BR (T 1,T 2 ) = M AF (T 1,T 2 ) 1 n SPR (T 1,T 2 ) = M AF 1.

14

15 2 Rurn vn omn Nu kn is t stn tussn tw omn pl kn worn n n vn MAF, is t zk MAF t vinn. D rst stp i mkt mot worn is t rurn vn omn tot zo klin molijk omn. Dit kn n worn n n vn t rllijk topssn vn voln rls: 1. Vrvn intik lomn oor n l. 2. Vrvn intik ktns vn lomn oor 3 lrn. A T 1 A T 2 T 1 T 1 Fiuur 2.1: Smtis wrv vn Rl 1. A B N T 1 A B N T 2 T 1 T 2 Fiuur 2.2: Smtis wrv vn Rl 2. En -oom is n inir oom T i lrn, n t i rsptivlijk n knopn v, v n v vstzittn, zó t {v, v } n {v, v } tkkn vn T zijn. D omn in Fiuur 2.2 zijn ir voorln vn. Lmm 1. Als T 1,T 2 UB(n) tw -omn zijn mt L (T 1 ) = L (T 2 ), n stt r n MAF F voor T 1,T 2 wrin,, smnnn zijn in n vn omn vn F. Ht lijkt t omn T 1,T 2 UB(n) in polynomil tij mximl rur kunnn worn mt ulp vn Rls 1 n 2. Dit rurn kn worn ruikt om T BR (T 1,T 2 ) snllr t pln, zols voln stllin zt. Dz kn worn wzn mt ulp vn Lmm 1. 7

16 8 2. Rurn vn omn Stllin 2. Lt T 1,T 2 UB(n) n T 1 n T 2 rur omn vn rsptivlijk T 1 n T 2. Dn T BR (T 1,T 2 ) = T BR (T 1,T 2 ). Dz stllin lt nit voor t NNI-stn prolm, nzin voor rl (2) nit stn-oun is. Voor SPR-stn is zovr no nit kn o stllin vn topssin is.

17 3 Armnt orst vn wortl omn D ripppn SPR-stn n TBR-stn zijn nuw vronn. Er is n strk rlti tussn SPRstn n n MAF vn wortl, inri omn, trwijl voor onwortl, inir omn i strk rlti stt tussn n MAF n TBR-stn. Omt r n prlll t vinn is tussn rknin voor n SPR-stn n rknin voor n TBR-stn, worn ir n ntl lnrijk rippn n stllinn omtrnt SPR-stn tolit Onvrnir trippls D vrzmlin vn inir, wortl omn mt n lrn notrn w ls RB(n). Er zulln n ntl initis worn uitl n n vn onrstn iurn T T Fiuur 3.1: En illustrti vn tw wortl, inir omn T 1 n T 2. En ïnur loom mt n ritl lrn nomn w n tr i ppl. W kijkn trippls orn ij lrn 1,2 n Fiuur 3.2: trippls vn lrn 1,2,3 orn ij rsp. T 1 n T 2. In ovnstn iuur zijn tw trippls t zin i nit lijk zijn. W nomn n rlijk trippl n onvrnir trippl. En wnlin w in n oom T is n nnsklin vn knooppuntn w = [v 1, v 2,..., v j ] in T, zoni t {v i, v i+1 } E(T ) voor ll j = 1,...,i 1. En wnlin zonr rptitis vn knopn is n p. W notrn t p tussn tw lrn 1 n 2 ls P(1,2). Lt nu 1,2 n 3 9

18 10 3. Armnt orst vn wortl omn lrn vn n trippl zijn. W iniërn Tr iw n(1,2,3) := P(1,2) P(1,3) P(2,3). Tr voorl srijvn w voor lrn 1 n 3 vn T 1 us P(1,3) = {,,,} n voor lrn 1,2 n 3 srijvn w Tr iw n({1,2,3}) = {,,,,}. Lmm 2. Tw wortl, inir omn zijn quivlnt n n slts n ls ir trippl vn lrn in tw omn quivlnt is Rstritis Omt r n strk rlti is tussn SPR-stn n n MAF vn wortl, inri omn, willn w n MAF vinn. Volns ovnstn lmm zl in n MAF us n onvrnir trippl zittn. W iniërn tw typs rstritis voor t vrwijrn vn tkkn: Typ één: Stl trippl i, j,k vn T 1 n T 2 is onvrnir. Dn mot r tnminst één tk vn T 1 {i,j,k} worn vrwijr. Typ tw: Stl voor 4 lrn i, j,k n l lt t P(i, j ) P(k,l) in T 2, mr P(i, j ) P(k,l) = in T 1, n mot r tnminst één vn tkkn vn P(i, j ) P(k,l) in T 1 worn vrwijr. Lmm 3. Lt T 1,T 2 RB(n). Lt F = {t 1,..., t k } n os vrkrn uit T 1 oor T 1 \F, mt F E(T 1 ). Dn zijn voln uitsprkn quivlnt: 1. F is n rmnt orst. 2. i F volot n rstritis typ één n tw i {1,...,n}. Bwijs. Uit initi vn n rmnt orst volt t t j in T 2 zit j {1,...,k} n t omn ovnin onrlin knoop-isjunt zijn in T 2. An typ één wort us voln. Er kn immrs n onvrnir trippl in F zittn, nzin omn vn F zowl in T 1 ls in T 2 zittn. Ir trippl vn ri lrn uit zl omponnt vn F is nmlijk vrnir mt i omn. Voor rstriti typ tw n w n tnsprk lin. Nm n t voor n virtl lrn i, j,k n l lt t P(i, j ) P(k, j ) in T 2, mr pn wl isjunt zijn in T 1 n r n tk is vrwijr vn nom pn. Dn mot r us ln t i, j in één oom zittn n k,l in één oom zittn. Omt P(i, j ) P(k,l) in T 2 lt r n zls t i, j,k n l in zl oom vn F zittn. Dit tknt tr t r n onvrnir trippl in F zit, wrvn w nt n ltn zin t it nit molijk is. W onlurn t t vrwijrn volot n rstritis typ één n typ tw. Anrzijs, nm nu n t pl tkkn vn T 1 vrwijr zijn onr voorwrn vn rstritis typ één n typ tw, zó t r n os F = {t 1,..., t k } is ontstn. W n ltn zin t F n rmnt orst is. Dit on w n n vn initi. 1. Duilijk t L 1,...,L k L. 2. Door rstriti typ één zittn r n onvrnir trippls vn T 1 n T 2 in F. Nu volt uit Lmm 2 t j {1,...,k} oom t j F n ïnur loom is vn T 2. Dus t j = T 1 L j = T 2 L j voor ll j {1,...,k}. 3. W ltn zin t voor i {1,2} omn {T 1 (L j ) : j = 1,...,k} knoop-isjunt zijn, oor tnsprk t lin. Stl t n, t m in T 2 zijn nit p-isjunt voor zkr n,m {1,...,l} mt n m. Mrk op t t n, t m nit uit mr één l kunnn stn, nzin z n wl lijk p-isjunt zoun zijn. Kis nu lrn i, j t n n k,l t m zó t P(i, j ) P(k,l) in T 2. Omt i, j t n n k,l t m, zijn pn wél isjunt in T 1. Door rstriti typ tw mot r tr wl lijk n tk zijn vrwijr vn P(i, j ) P(k,l). Mr n i, j t n ó k,l t m. Dit is n tnsprk, us t n, t m zijn pisjunt in T 2. Omt T 2 inir is, volt t t n, t m knoop-isjunt zijn. W onlurn t F n rmnt orst is. Uit Lmm 3 volt t n MAF vonn kn worn oor zo min molijk tkkn t vrwijrn, zoni t n rstriti typ één n tw voln wort.

19 4 Armnt orsts vn onwortl ylontis omn Dit oostuk srijt n loritm voor t vinn vn n rmnt orst voor tw onwortl ylontis omn T 1 n T 2. Dit loritm rsultrt uit n onrzok vn Hllt n MCrtin (2007) [3] n is ix-prmtr trtl. Dt wil zn t t loritm n rmnt orst kn vinn innn n pl polynomil tij. Ht loritm stt uit tw sn. Om n voorwrn (i ) n (ii) vn initi vn n rmnt orst t volon, zulln r rst pl tkkn vrwijr motn worn vn onvrnir kwrtttn. Hirn zulln in s tw zonom ostrutis vrwijr worn, zot ook n voorwr (iii) wort voln Onvrnir kwrtttn Bij wortl omn kn n rmnt orst vonn worn n n vn trippls. Voor n rmnt orst vn tw onwortl ylontis omn zl r kkn worn nr kwrtttn. Lt T 1 n ylontis oom zijn. Voor ri knopn u 1,u 2,u 3 V (T 1 ), iniërn w P F (u 1,u 2,u 3 ) = {x V (T 1 ) : x 1 i<j 3 P(u i,u j )}. Voor n virtl knopn,,, L (T 1 ) wrvn T 1 [{,,,}] smnnn is, nomn w Q = T 1 K mt K = {,,, } n kwrtt. Zijn n rors (n n us ook), n srijvn w kortw. x Fiuur 4.1: Kwrtt mt x = P F (,,). Lt nu T 2 ook n ylontis oom zijn mt L (T 1 ) = L (T 2 ). W nomn Q vrnir mt T 2 n n slts n ls T 2 K n Q isomor zijn. Anrs nomn w t kwrtt onvrnir. T 1 T 2 11

20 12 4. Armnt orsts vn onwortl ylontis omn Fiuur 4.2: Fylontis omn T 1 n T 2 mt n onvrnir kwrtt. Mrk op t t kwrtt in T 1 vrnir is mt T 2 n n slts n ls P(,) P(,) = in T 2. W nomn tw ylontis ossn F 1 n F 2 vrnir wnnr ir kwrtt in F 1 vrnir is mt F 2, ó onsmnnn is in F 2. Voor n kwrtt Q = in n oom T, nomn w t punt V (T ) wrvoor, n in ri vrsilln lomn vn T \ zittn t vrininspunt vn o in T. W notrn t smnnn omponnt in T \ i vt ls T (,Q), zi iuur 4.3. W nomn l L (T (,Q) ) mt l zustrs vn in (T (,Q) ). T 1 Q = T (,Q) Fiuur 4.3: Fylontis oom T, mt kwrtt Q = n loom T (,Q). W introurn n niuw initi. Lt n kwrtt Q = in T 1 onvrnir zijn mt T 2, n is t n miniml ovrnir kwrtt (MOK) ls ij volot n één vn voln isn: 1. voor ll x {,,,} is t niuw kwrtt Q, vorm oor ror vn x in Q t vrvnn oor n zustr vn x in (T (x,q) ) wél vrnir mt T n x {,,, } t zustrs in Q. In nr woorn t n MOK us t lnst molijk intrn p. Wnnr t p lnr wort, zl t kwrtt vrnir worn, zi iuur 4.4. T 1 Fiuur 4.4: is n MOK, wnt,, n zijn vrnir kwrtttn. Voor Q =, wrij n t vrininspunt vn n m t vrininspunt is vn, iniërn w vork R ïnur oor Q in T 1 ls T 1 [{x V (T 1 ) : x P(n,m) o x is nrnzn n n o m} D tkkn n uitins vn vork nomn w tnn vn vork, zi iuur 4.5. T 2 Fiuur 4.5: Fylontis oom T, vork vn kwrtt Q = mt tnn stippl.

21 4.2. Fs één 13 Mrk op t n Q = x mt x n zustr vn in L (T (,Q) ) ook n MOK is n t vork vn Q lijk is n vork vn Q. W zijn nkomn ij n lnrijk lmm, wlk ls volt ïntrprtr kn worn. Voor tw omn T 1,T 2 UB(n) kn n rmnt orrst vrkrn worn oor t kijkn nr Miniml Onvrnir Kwrtttn. Stl Q = is n MOK in T 1 vn T 2, n mot tnminst één vn tnn vn Q vrwijr worn om n rmnt orrst t vrkrijn. Ht lmm volt. Lmm 4. Lt T 1,T 2 UB(n) n lt Q = n MOK in T 1. In n rmnt orrst F = {t 1,..., t k } vn T 1 n T 2 lt {l,l,l,l } L (t i ) voor ll l x T (x,q) 1, x {,,,} n 1 i k. Bwijs. Lt F = {t 1,..., t k } n AF vn T 1 n T 2 zijn. Lt Q = n MOK in T 1. Kis nu knopn l x T (x,q) 1 voor ll x {,,,}. Lt C = {l,l,l,l }. Stl nu t r n t i F stt mt C L (t i ). W n tnsprk lin. Nom Q C = t i C. Omt F n rmnt orst is, volt t Q C, T 1 C n T 2 C isomor zijn. Omt Q n MOK is n us onvrnir, volt t Q C n Q nit isomor zijn. Er mot us voor tnminst één x {,,,} ln t l x x. Anzin T 2 n ylontis oom is, mot r ln t owl (i) owl (ii) vrnir is mt T 2. W n nu ruik mkn vn minimli vn Q. Er mot nu nmlijk ln t = l ó l is vrnir mt T 2, = l ó l is vrnir mt T 2, = l ó l is vrnir mt T 2 n = l ó l is vrnir mt T 2. Hiroor mot r in vl (i) ln t l l l l vrnir is mt F 2. Dit is in tnsprk mt vrniri vn Q C, nzin l l l l l l l l = Q C. Op zl mnir lt in vl (ii) n t l l l l vrnir is mt F 2. Dit t wr tnsprk mt vrniri vn Q C, nzin l l l l l l l l = Q C. En rlijk vrzmlin C stt us nit. W onlurn t {l,l,l,l } L (t i ) voor ll l x T (x,q) 1, x {,,,} n 1 i k 4.2. Fs één An n vn Lmm 4 zl Fs één worn uitvor. In Fs één wort vn n MOK in T 2 vn T 1 één tn vrwijr. Dz stp wort rl tot r n os F ontstn is, zó t ll omn in F ïnur lomn vn T 2 zijn n r n MOK in F zit. Er volt n voorl. Wr nmn w T 1,T 2 UB(n) zols rr it oostuk. T 1 T 2 Err zn w l t Q = n MOK is. W vrwijrn tn nr. F No n MOK i w in F vinn is. W kizn nu tn nr om t vrwijrn.

22 14 4. Armnt orsts vn onwortl ylontis omn F W n nu n os F wrin n MOK mr zit. Ht kwrtt is vrnir. Fs één is nu ron β-mppin In Fs tw zulln wr tkkn vrwijr worn. Lt irvoor t os F = {t 1,..., t k } ontstn zijn uit T 1 oor t topssn vn Fs één. Duilijk is t F n n rst n tw oniti volot vn initi rmnt orst. D omn vn F ovn tr no nit isjunt t zijn in T 2. Om ook n r oniti t volon introurn w in z prr β-mppin n ostr utis. W iniërn β-mppin, wrij voor ir nit-ll knoop u vn F n ijorn knoop in T 2 n β l l krijt. Lt u t vrininspunt zijn vn omponntn t i, t j n t k in F 1. Er lt β(u) = P T2 (L(t i ),L(t j ),L(t k )), zi Fiuur 4.6. x y z F 1 β(y) β(z) β(x) T 2 Fiuur 4.6: Bos F 1 n ylontis oom T 2 mt β-mppin. Lt (, y) n (, z) tw isjunt tkkn zijn in F 1. Als r n x V (T 2 ) stt wrvoor lt t x P(,β(y)) P(,β(z)), n nomn w (, y) n (, z) ostrutis. In tw ostrutis mot tnminst één tk vrwijr worn in i ostrutis om n rmnt orst t vrkrijn. Dit lit tot Fs tw Fs tw Nt ls ij Fs één is r ij Fs tw n stp i rl wort tot ij nit mr rl kn worn. Bij Fs tw rit t om ostrutis. Voor tw ostrutis (,) n (,) in F mot tnminst één vn z tkkn vrwijr worn. Dz stp wort rl tot r n ostrutis mr zijn. Ht ontstn os is n rmnt orst. In t rs nom voorl n w ostrutis (, y) n (, z). W kizn tk (, z) om t vrwijrn: W n nu n rmnt orst. Mrk op t ls (, y) kozn ws om t vrwijrn, opniuw β- mppin topst most worn om no n ostruti t vrwijrn. Door onortuinlijk t kizn kunnn

23 4.5. Aloritm voor Fs één n tw 15 stppn vn zowl Fs één ls vn tw vkr n noi mkt motn worn. Door Fs één n tw wort n ook n rmnt orst vrkrn, t nit n MAF ot t zijn Aloritm voor Fs één n tw Ht prolm t w op willn lossn is t vinn vn n MAF. Door Fs één n tw uit t vorn ontstt n rmnt orrst. Bij ir tkvrwijrin juist tk kizn zl tr tot n MAF lin. Zols in Hoostuk 2 uitl is, kunnn omn in polynomil tij rur worn, zó t TBRstn tussn omn lijk lijt. D omn worn vrklin, wroor r minr molijkn zijn voor tkvrwijrinn. In z prr stt n optimlisti lroritm, t t ntl tkvrwijrinn vrminrt. D input stt uit tw rur ylontis omn n n tl k wrvoor tst wort o r n rmnt orst stt mt k omponntn. Bstt z nit, n zl k mt 1 vrroot worn n t loritm opniuw worn uitvor. Ht loritm zit r ls volt uit: Fs 1: Input: T 2, F. 1. Als r n MOK Q in F is n () s tw lvrt n rmnt orst F op mt F k, n F ui t =null, stop. () s tw lvrt n rmnt orst F op mt F k, n F ui t = F, stop. 2. Nm MOK Q mt tnn i, i = 1,...,4. Construr ossn F i = F \ i voor i = 1,...,4. 3. Als één F i n rmnt orst is, n F ui t = F i. Anrs rur F i n vin F ui ti voor lk F i n T 2 rursi. Als één F ui ti n rmnt orst is, n F ui t = F ui ti. Output: F ui t. Fs 2: Input: F, T Als r n ostrutis n n m zijn in F, n F ui t = F, stop. 2. Nm ostrutis n, m. Construr ossn F i = F \ i voor i = n,m. 3. Als F i k vin F ui ti voor lk F i n T 2 rursi, nrs stop. Output: F ui t.

24

25 5 ILP ormulrin voor xt rknin vn TBR-stn In oostuk 4 zn w n mnir om n MAF t vinn vn tw ylontis omn. D tori is tr vrij lsti n t loritm r lnzm. In it oostuk wort mto vn oostuk 3 npst voor onwortl ylontis omn, zot n simpl ILP ormulrin ruikt kn worn om t TBR-stn prolm op t lossn Onvrnir kwrtttn Voor t kwrtt Q = in T 1, wrij n t vrininspunt vn n m t vrininspunt is vn, iniërn w rmn vn Q ls A Q := { E(T 1 ) : P(,) P(,)} n runrt vn Q ls G Q := { E(T 1 ) : P(n,m)}. Zi Fiuur 5.1. n m T Fiuur 5.1: Fylontis oom T, kwrtt Q =, mt A Q stippl n G Q ikrukt. Lmm 5. Lt T 1,T 2 UB(n). Lt F = {t 1,..., t k } n os vrkrn oor T 1 \E (T 1 ), mt E (T 1 ) E(T 1 ). Dn zijn voln uitsprkn quivlnt: 1. F is n rmnt orst. 2. Voor ir kwrtt Q in T 1 t onvrnir is mt T 2 r tnminst één tk vn A Q vrwijr is in T 1. Bwijs. Lt F = {t 1,..., t k } n rmnt orst vn T 1 n T 2 zijn, vrkrn oor n stl tkkn in T 1 t vrwijrn. Lt Q = n onvrnir kwrtt in T 1 zijn mt T 2. W onrsin tw vlln: 1. W vrwijrn n tk vn Q. Dn is Q F. W n n tnsprk, nzin pr initi n onvrnir kwrtt in n rmnt orst kn zittn. 2. W vrwijrn n tk vn runrt vn Q. Q is onvrnir mt T 2, us zit ó, ó in T 2. Door n tk vn runrt vn Q t vrwijrn, n tw lomn us ovrlppn omponntn in T 2. Uit initi vn n rmnt orst volt tr t omn vn F onrlin knoop-isjunt zijn in T 2. W n n tnsprk. 17

26 18 5. ILP ormulrin voor xt rknin vn TBR-stn W kunnn onlurn t voor ir kwrtt Q in T 1 t onvrnir is mt T 2 is r tnminst één tk vn A Q vrwijr in T 1. Anrsom, nm nu n t pl tkkn vn T 1 vrwijr zijn onr voorwrn t voor ir kwrtt Q in T 1 t onvrnir is mt T 2 is r tnminst één tk vn A Q vrwijr in T 1. Lt F = {t 1,..., t k } t os zijn t is ontstn. W n ltn zin t F n rmnt orst is. Dit on w n n vn initi vn n rmnt orst. 1. Ht is uilijk t L 1,...,L k L. 2. W ltn zin t t j = T 1 L j = T 2 L j voor ll j {1,...,k}. Door rstriti zittn r n onvrnir kwrtttn vn T 1 n T 2 in F. Ir kwrtt in F is us vrnir mt T 2, ó onsmnnn. Dus F n T 2 zijn pr initi vrnir. 3. W ltn zin t voor i {1,2} omn {T 1 (L j ) : j = 1,...,k} knoop-isjunt zijn. W lin tnsprk. Stl t n, t m in T 2 zijn nit tk-isjunt voor zkr n,m {1,...,l} mt n m. Mrk op t t n, t m nit uit mr één l kunnn stn, nzin z n wl lijk tk-isjunt zoun zijn. Kis nu lrn i, j t n n k,l t m zó t P(i, j ) P(k,l) in T 2. Omt i, j t n n k,l t m, zijn tkkn wél isjunt in T 1. Dit tknt t i j kl n onvrnir kwrtt is. W n tr vn ir onvrnir kwrtt tnminst één rm-tk vrwijr. Dit tknt t i, j t n, ó k,l t m. W n n tnsprk, us t n, t m zijn tk-isjunt in T 2. Omt T 2 inir is, volt t t n, t m knoop-isjunt zijn. W onlurn t F n rmnt orst is ILP ormulrin Lmm 5 implirt t n MAF vonn kn worn oor E t minimlisrn onr voorwr t voor ir kwrtt Q in T 1 t onvrnir is mt T 2 r tnminst één tk vn A Q vrwijr is in T 1. W introurn voor lk E(T 1 ) n inir vril x mt x = 1 ls tk vrwijr wort n nrs x = 0. D ILP ormulrin wort n: min n i=1 x i o..v.: i A Q j x i 1 voor ll onvrnir kwrtttn Q j ; x i {0,1}. An n vn z ILP ormulrin kn n MAF vonn worn vn tw ylontis omn. Zols rr z lt T BR (T 1,T 2 ) = M AF (T 1,T 2 ). Ht TBR-stn prolm is us oplost.

27 Conlusi D TBR-stn tussn tw onwortl ylontis omn T 1 n T 2 mt zl l-vrzmlin is t pln n n vn n MAF. En MAF is n rmnt orst F stn uit zo min molijk lomn. Om TBR-stn t wtn ot r slts kkn t worn nr t ntl omponntn in n MAF. En MAF is t vinn oor t kijkn nr onvrnir kwrtttn. In n rmnt orst F zittn nmlijk slts kwrtttn i vrnir zijn mt T 1 n T 2. Er zijn tw mton sprokn om n n vn onvrnir kwrtttn n MAF t vinn. D rst mto ruikt Miniml Onvrnir Kwrtttn. Dit zijn onvrnir kwrtttn mt n lnst molijk intrn p. Voor z mto is n tw s noi om n MAF t vinn. D sn zittn inwikkl in lkr n zijn lsti uit t vorn. Bovnin is t loritm orn ij oostuk 4 n zonm FPT loritm, t snl is wnnr TBR stn klin is, mr lnzm wnnr z stn rotr is. Ht lijkt t r n simpl mto is, wlk in oostuk 5 srvn wort. Anzin onvrnir kwrtttn nit in n rmnt orst zittn, mot r tnminst één tk vrwijr worn in n onvrnir kwrtt. Minimlisrn w nu t ntl t vrwijrn tkkn, n w n MAF vonn. In z mto wort ltlli prormmrn ruikt. Voor n rot TBR stn is ltst mto simplr n snllr n mto in oostuk 4. 19

28

29 Rrntis 1. Bnjmin L. Alln n Mik Stl. Sutr trnsr oprtions n tir inu mtris on volutionry trs. Annls o omintoris, 5(1): 1-15 (2001). 2. Yun Wu. A prtil mto or xt omputtion o sutr prun n rrt istn. Bioinormtis, 25(2): (2009). 3. Mil Hlltt n Ctrin MCrtin. A str FPT loritm or t mximum rmnt orst prolm. Tory o Computin Systms 41(3): (2007). 21