Fysica voor Beginners. Deel 1

Transcriptie

1 Beknopte handleiding Fysica voor Beginners Deel 1 Uitgave Auteur HC jyn886@telenet.be

2 Voorwoord In de reeks boeken Fysica voor Beginners behandel ik de natuurkunde op een eenvoudige en misschien wel eigenzinnige manier zonder veel theorie 1. Je dient geen hogere wiskunde te kennen om de formules te begrijpen. Fysica is de studie van de wereld om ons heen. Het helpt ons de gebeurtenissen die plaatsvinden te begrijpen. Fysica is ontstaan uit het observeren van de wereld rondom ons en door steeds een antwoord te zoeken op de vraag: waarom...? Eens we de antwoorden op onze vragen kennen kunnen we voorspellingen doen: als..., dan zal... want voorwerpen en energie gedragen zich volgens strikte regels. Dit laatste maak ik dan ook duidelijk in Fysica voor Beginners. Oefeningen aan de hand van enkele eenvoudige alledaagse puzzels. Opgelet dit zijn geen theorie- of studieboeken want dikwijls ontbreekt de detail uitleg. Het zijn eerder een beknopte handleidingen. Soms ontbreekt het wat aan structuur want het gebeurt dat ik reeds begrippen gebruik die ik pas later in het boek uitdiep. Ik houd mij aan de voorschriften inzake de schrijfwijze van een eenheden, symbolen en formules. Wanneer ik een woord of zin schuin schrijf dan zal het meestal om een nieuw begrip gaan. Met een woord of zin in het vetjes wil ik uw aandacht trekken of iets benadrukken. Ik nodig u uit om mij te informeren over taal- en andere fouten. 1 Ik ben dikwijls op zoek gegaan naar alledaagse gebeurtenissen en ik probeer ze te vatten en te verklaren. 1

3 Samenvatting Wat als een "boekje"begon werd snel een (te) dik boek... Daarom heb ik het eerst in twee delen gesplitst. Later is er dan nog een derde deel bijgekomen. In Fysica voor Beginners. Deel 1 bewandel ik de klassieke paden en begin met vectoren. Dan komt het hoofdstuk statica aan de beurt. We gaan hier op zoek naar wat nodig is opdat een lichaam in rust zou blijven. In het hoofdstuk bewegingsleer behandel ik de beweging van lichamen. Dan komen in vloeistof mechanica de vloeistoffen en gassen in een kort hoofdstuk aan de beurt. Ik concentreer mij vooral op de vloeistoffen omdat er bij gassen meer factoren een rol spelen dan bij vloeistoffen, ik wil het niet te moeilijk maken. Warmteleer is volgens mij één van de moeilijkere hoofdstukken. In het hoofdstuk Een andere kijk op grootheden bekijk ik zoals de titel het suggereert een aantal zaken vanuit een andere hoek. In Fysica voor Beginners. Deel 2 behandel ik algemene elektriciteit. Vervolgens worden de harmonische bewegingen uitgediept. Aansluitend volgt een hoofdstuk over de optica. Het hoofdstuk over de speciale relativiteitstheorie is ook reeds af. Misschien voeg ik later nog iets aan toe over algemene relativiteitstheorie en quantum mechanica (maar dit zijn natuurlijk geen alledaagse problemen meer)... Begin 2016 is er een derde deel Fysica voor Beginners. Deel 3 bijgekomen waarin ik het heb over materie en energie, de structuur van het atoom en een kort hoofdstuk aan nucleaire fysica wijd. Er is natuurlijk ook nog het boek Fysica voor Beginners. Oefeningen dat ga ik later nog aanvullen... Voor Tabellen met eenheden en symbolen verwijs ik naar het speciale naslagwerk. Noteer dat de verschijnselen die beschreven worden zich afspelen in ideale omstandigheden en de formules die daarop betrekking hebben zijn alleen maar correct voor die ideale omstandigheden. Soms verlaat ik de ideale wereld en houd ik rekening met andere factoren. In dat geval staat de betreffende paragraaf in een italic font zoals deze paragraaf.

4 Inhoudsopgave 1 Vectoren Inleiding Samenstellen van vectoren die in eenzelfde punt aangrijpen Samenstellen van evenwijdige vectoren Voorwerpen in rust of statica Inleiding Moment en koppel Hefbomen Reactiekrachten bij een balk belast met één puntlast Reactiekrachten bij een balk belast met meerdere puntlasten Krachten en koppels bij een lier Bewegingsleer of kinematica Inleiding Parameters van een beweging De wetten van Newton Eenparige beweging Verband tussen afgelegde weg, snelheid en versnelling Rechtlijnige beweging in een xy-assenstelsel Cirkelvormige beweging Inleiding Omtrek en oppervlakte van een cirkel Radialen en booglengte Analogie tussen rechtlijnige en cirkelvormige beweging Belangrijke formules van de cirkelvormige beweging De tangentiële en radiale componenten Hoeksnelheidsvector en de rechterhand regel voor de hoeksnelheidsvector Hoekversnellingsvector Verticale worp, schuine worp, horizontale worp en vrije val Belangrijk Zwaartekrachtversnelling Verticale worp

5 3.8.4 Schuine worp Horizontale worp van op een hoogte Impactsnelheid bij verticale val Val van grote hoogte - luchtweerstand Weerstandscoëfficiënt van voorwerpen tov luchtstroming Kracht Algemeen Gewicht Aantrekkingskracht van voorwerpen onderling Centrifugale kracht Centripetale kracht De volledige definitie van kracht Toepassingen op krachten Een auto rijdt door een bocht Wanneer gaat een auto uit de bocht Wanneer rolt een auto zijdelings uit de bocht Roller coaster Waarom vliegt een vliegtuig De centripetale kracht die op de maan inwerkt Satellietsnelheid, -baan en -omlooptijd Energie Inleiding Soorten energie Behoud van energie Potentiële energie Kinetische energie Mechanische energie Wrijvingsenergie Toepassing wrijving: schaatsen Toepassing potentiële energie: roodverschuiving door zwaartekracht Arbeid Vermogen Hoeveelheid beweging of impuls Definitie Toepassing hoeveelheid beweging: snelheid van een kogel Krachtstoot Botsingen Inleiding Elastische botsingen Volkomen on-elastische botsing Traagheid en traagheidsmoment Traagheid

6 Traagheidsmoment bij cirkelvormige beweging Traagheidsmoment een cilinder Traagheidsmoment van een bol Traagheidsmoment na verschuiving van de traagheidssas Traagheidsmoment: analogie lineaire en ronddraaiende beweging Enkele veel voorkomende traagheidsmomenten Ronddraaiende bewegingen Analogie rechtlijnige en cirkelvormige beweging Doorlopen hoek, hoeksnelheid en hoekversnelling Koppel of moment Koppelvector van een draaiend voorwerp en rechterhand regel voor de koppelvector Arbeid van een draaiend voorwerp Kinetische energie van een draaiend voorwerp Hoeveelheid draaibeweging of impulsmoment Toepassingen op ronddraaiende bewegingen Impulsmoment van een neutronensterren Koppel en traagheidsmoment van een DVD-schijfje Hoekversnelling van een wiel Twee rollende cilinders Andere vormen van energie en aanverwante begrippen Warmte-energie Chemische energie Geluidsenergie Elektromagnetische golven Intensiteit Doppler effect Toepassingen op geluid Toepassingen op energie en vermogen De maximum snelheid van een auto De ontsnappingssnelheid van een voorwerp Toepassing warmte-energie: de terugkeer van de Space Shuttle Harmonische bewegingen Inleiding Frequentie en periode De wet van Hooke De sinusoïde Veer Slinger Vloeistof mechanica Vloeistof statica Dichtheid

7 4.1.2 Druk Opwaartse kracht - Archimedes Hydraulische pers Luchtdruk Maagdenburger halve bollen Poissons-factor Vloeistof dynamica Continuïteit van stroming en debiet Bernouilli Toepassingen die steunen op de vergelijking van Bernouilli Het uitstromen van een vloeistof door een opening in een vat De stroming in een open kanaal (de Gauckler-Manning formule) De overlaat Stroming door een buis (de Hagen-Poiseuille formule) Zeilen Warmteleer Thermische energie Fase veranderingen Koken Verdampen Warmteoverdracht Uitzetting Warmtestraling Warmtestraling - wet van Stefan-Boltzmann Toepassing: Stefan-Boltzmann Mol - Avogadro De ideale gaswet Standaard druk en standaard temperatuur De snelheid van een gasmolecule Thermisch evenwicht Polytrope oestandsveranderingen Eerste wet van de warmteleer Arbeid verricht door een gas Isobar Isochoor Isotherm Adiabaat Tweede wet van de warmteleer Thermische motoren De Carnot-cyclus De warmtepomp Koelen en afkoelingstijd

8 5.22 De derde wet van de warmteleer Toepassingen op de warmteleer Waarom het kouder aanvoelt naarmate de windsnelheid toeneemt De temperatuur van een planeet De invloed van het broeikaseffect op temperatuur op aarde De gegevens van sterren Een warmtepomp om het huis te verwarmen Een andere kijk op grootheden Lengte Golflengte Massa Snelheid Definitie Geluidsnelheid Lichtsnelheid Versnelling Kracht Definitie Stuwkracht De kracht van licht Artificiële zwaartekracht Druk Dichtheid Temperatuur Warmtegeleiding Vermogen

9 Lijst van tabellen 3.1 Analogie tussen rechtlijnige en cirkelvormige beweging Weerstandscoëfficiënt van voorwerpen tov luchtstroming Wrijvingscoëfficiënten van autobanden op het wegdek Traagheidsmomenten bij ronddraaiende beweging Geluidsintensiteit - equivalent voor menselijke gehoor Gegevens van ons zonnestelsel Weerstanden van een klassieke zeilboot Warmtegeleidingscoëfficiënt van enkele materialen Lengtes van klein naar groot Massa s van klein naar groot Snelheden van klein naar groot Versnellingen van klein naar groot Drukken van klein naar groot Dichtheden van klein naar groot Temperaturen van klein naar groot Warmtegeleidingscoëfficiënten van klein naar groot Vermogens van klein naar groot

10 Lijst van figuren 1.1 Vectoren Samenstellen van vectoren met zelfde aangrijpingspunt Samenstellen van evenwijdige vectoren Steunpunten Moment en koppel Evenwicht van een hefboom Balk belast met één puntlast Balk belast met meerdere puntlasten Evenwicht van een lier Rechtlijnige beweging in xy-assenstelsel Horizontale worp Auto in een hellende bocht Roller coaster Snelheid van een kogel Botsing onder hoek Vectoriëel product van vectoren Hoekversnelling van een wiel Aantrekkingskracht van hemellichamen Sinusoïde Slinger Principe van de hydraulische pers Overlaat De toestandsveranderingen in het pv-diagram

11 Hoofdstuk 1 Vectoren 1.1 Inleiding Sommige fysische verschijnselen hebben naast hun grootte ook nog een richting en een zin. We kunnen ze grafisch voorstellen. We noemen deze voorstellingen vectoren. Verschijnselen die we niet door een vector kunnen voorstellen noemen we een scalair. Een kracht, een gewicht, een koppel, de snelheid, enz... zijn voorbeelden van vectoriële grootheden. Temperatuur, tijd, massa, energie, enz... zijn voorbeelden van scalaire grootheden. R F 1 F 1 F 2 F 2 y F 1 F 2 R α x Figuur 1.1: Vectoren In de figuur 1.1 is een voorwerp getekend waarop twee vectoren F 1 en F 2 aangrijpen. Vectoren worden als pijlen getekend. Ze worden gekenmerkt door hun grootte, hun richting en hun zin. Om duidelijk te maken dat we met vectoren te doen hebben plaatsen we in de tekst en de vergelijkingen een pijltje boven de vectoriële grootheid. Zo schrijven we de som van de 9

12 vectoren F 1 en F 2 als: R = F 1 + F 2 Waarin R de resultante voorstelt. We kunnen vectoren optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen Samenstellen van vectoren die in eenzelfde punt aangrijpen Met samenstellen bedoel ik optellen en aftrekken. Wanneer twee of meerdere vectoriële grootheden op eenzelfde voorwerp inwerken (zie figuur 1.2) dan mag je ze niet zomaar (scalair) optellen om de resultante te kennen, je moet ze vectoriëel optellen zoals in de figuur te zien is. F 1 y θ R F 2 x β θ F 1 α R F 2 x F 2 a Figuur 1.2: Samenstellen van vectoren met zelfde aangrijpingspunt Meestal zullen we de vectoren splitsen in een x- en y-component en dan met die componenten rekenen. We kunnen bijgevolg ook te maken hebben met negatieve componenten. Figuur 1.2 illustreert dit. De twee vectoren F 1 en F 2 worden gesplitst in hun x- en y-componenten F 1 = F 1x + F 1y en F 2 = F 2x + F 2y. Deze x- en y-componenten worden dan afzonderlijk vectoriëel opgeteld. Zo bekom ik de x- en y-component van de resultante R: R x = F 1x + F 2x R y = F 1y + F 2y R = R x + R y 10

13 Een vector is volledig gekend als: 1. We zijn aangrijpingspunt kennen en in een assenstelsel zijn x- en y-component kennen of We de grootte van de vector en de hoek θ die zijn richtingsas met de x-as maakt kennen (zie figuur 1.2 inzet rechts boven). De grootte van R is R = Rx 2 + Ry 2 en de hoek van de richtingsas x is θ = tan 1 ( Ry R x Praktisch gebruiken we de volgende twee methoden om met vectoren te rekenen: ). We werken in xy-assenstelsel en gebruiken de x- en y-componenten zoals hierboven beschreven. We werken polair. We maken gebruik van de hoek die de vector met een referentieas maakt (dit bepaalt zijn richting) en zijn grootte. In beide gevallen hebben we de driehoeksmeetkunde nodig om tot een oplossing te komen... tenzij we grafisch werken (zoals bijvoorbeeld in de grafostatica). 1.3 Samenstellen van evenwijdige vectoren Wanneer twee of meerdere vectoriële grootheden evenwijdig zijn (zie voorbeeld in figuur 1.3) dan zal de resultante ook evenwijdig zijn met de vectoren. In ons voorbeeld zijn er drie krachten die inwerken op een balk. Ik heb ze vectoriëel voorgesteld. Let op hun kenmerken: richting loodrecht op de balk, zin, grootte en aangrijpingspunt. l 2 F 2 F 3 F 1 l 3 l R A F 2 F 3 F 1 Figuur 1.3: Samenstellen van evenwijdige vectoren 11

14 Om de resultante R te bepalen ga ik als volgt te werk: 1. Ik laat alle vectoren aangrijpen op een verbindingslijn die loodrecht op de vectoren staat; 2. De grootte en de richting van de resultante R bepaal ik door de vectoren vectoriëel op te tellen. In ons voorbeeld (figuur 1.3) neem ik de richting naar beneden als positief. De resultante wordt dan R = F 1 + F 2 + F 3. Als het resultaat positief is dan is R naar beneden gericht. Als het resultaat negatief is dan is R naar boven gericht. In ons geval is R naar beneden gericht. 3. De ligging van R bepaal ik met behulp van de momentenstelling. Ik kies een punt waarrond ik de verbindingslijn denkbeeldig laat draaien. Om de berekening eenvoudig te houden kies ik steeds een snijpunt van de verbindingslijn en de werklijn van één vector. In ons voorbeeld heb ik A gekozen als draaipunt (waar F 1 de verbindingslijn snijdt). De resultante moet hetzelfde koppel leveren rond dit punt als alle vectoren samen: l R = 0 F 1 + l 2 F 2 + l 3 F 3 l = l 2F 2 + l 3 F 3 R Let op het teken van het koppel. In het voorbeeld heb ik de wijzerzin als positief genomen. 12

15 Hoofdstuk 2 Voorwerpen in rust of statica 2.1 Inleiding In de statica bestuderen we voorwerpen waarop krachten inwerken en die in rust zijn. Meestal is het de opdracht de krachten en de koppels te berekenen die een voorwerp uitoefent op een andere voorwerp. In de bevestigingspunten tussen lichamen worden krachten en in bepaalde gevallen ook koppels overgebracht. Volgens het principe van actie en reactie ondervindt een lichaam een gelijke maar tegengestelde kracht van de lichamen waarop het een kracht uitoefent. Deze kennis stelt ons in staat een lichaam vrij te maken mits we natuurlijk gebruikmaken van de reactiekrachten. Uiteindelijk moeten in de statica alle krachten en koppels en reactiekrachten en reactiekoppels zorgen voor evenwicht. a b c Figuur 2.1: Steunpunten De figuur 2.1 toont de symbolen van de meest voorkomende steun- en/of bevestigingspunten: a: een scharnieroplegging kan krachten in alle richtingen opvangen. In dit steunpunt kunnen er geen koppels overgebracht worden; b: een roloplegging kan alleen verticale krachten opvangen. In dit steunpunt kunnen er geen koppels overgebracht worden; c: een klemming. In een klemming zal er meestal een koppel optreden. 13

16 2.2 Moment en koppel Een momenten en koppels zijn krachten die een voorwerp zou willen laten roteren. Hiervoor is er een hefboom nodig die verbonden is met het voorwerp en een kracht die op de hefboom inwerkt. De hefboom dien je niet noodzakelijk letterlijk te nemen. In figuur 2.2 heb ik een voorwerp tweemaal getekend. Het voorwerp kan roteren rond het punt O. l 1 O F 1 F 2 O l 2 F 2 Figuur 2.2: Moment en koppel De kracht F 1 vormt met de hefboomsarm l 1 een moment: M = F 1 l 1 [Nm] (2.1) De evenwijdige krachten F 2 vormen samen met de hefboomsarm l 2 (het punt O ligt in het midden van de hefboomsarm) een koppel: τ = F 2 l 2 [Nm] (2.2) De voorwaarde is dat F loodrecht op de hefboom staat. Soms hebben we te maken met krachten die schuin op de hefboom staan. Wanneer een kracht schuin op de hefboom staat dan ontbinden we ze in twee componenten waarvan er één is die loodrecht op de hefboom staat. Alleen de loodrechte component dient in rekening gebracht te worden voor het berekenen van het moment. Als er op een hefboom meerdere krachten inwerken dan tellen we de momenten algebraïsch op. We kiezen een draaizin die we positief noemen. Dikwijls is dit de wijzerzin van een uurwerk. We kunnen dan schrijven: M = F i l i [Nm] (2.3) i 14

17 2.3 Hefbomen Een hefboom met lengte l steunt in O op één steunpunt (zie figuur 2.3). In het punt A werkt de kracht F 1 en in het punt B werkt de kracht F 2. l 1 l 2 A F F 1 2 O B l Figuur 2.3: Evenwicht van een hefboom De kracht F 1 wil de hefboom in tegenwijzerzin doen draaien en de kracht F 2 wil de hefboom in wijzerzin doen draaien. De hefboom is in evenwicht als beide momenten gelijk zijn: F 1 l 1 = F 2 l Reactiekrachten bij een balk belast met één puntlast De figuur 2.4 toon een balk die rust op twee steunpunten en waarop één puntlast F loodrecht ingrijpt. Gevraagd wordt de reactiekrachten in de steunpunten te bepalen. Als eerste stap maken we balk vrij door in de steunpunten reactiekrachten in te voeren. Omdat de last F loodrecht op de balk staat er zullen de reactiekrachten in de steunpunten A en B ook loodrecht op de balk staan. Bovendien in B kan de reactiekracht alleen maar verticaal zijn. Ik teken R A en R B willekeurig groot en naar boven gericht (maar ik hoef mij geen zorgen te maken over de richting, als ik een negatief resultaat krijg weet ik dat ik een verkeerde richting heb gekozen). Om de grootte en zin van de reactiekrachten te bepalen zullen we in twee stappen werken: 1. We kiezen A als rotatiepunt. De koppels die de krachten F en R B maken moeten de 15

18 balk in rust houden (wijzerzin is positief): l 1 F lr B = 0 R B = l 1 l F l 1 l 2 F A O B l F A R A O B R B Figuur 2.4: Balk belast met één puntlast 2. We kiezen B als rotatiepunt. De koppels die de krachten F en R A maken moeten de balk in rust houden (opgepast: F wil de balk in tegenwijzerzin doen draaien rond B, daarom het minteken in de volgende vergelijking): 3. Bovendien moet R A + R B = F l 2 ( F ) + lr A = 0 R A = l 2 l F 2.5 Reactiekrachten bij een balk belast met meerdere puntlasten De figuur 2.5 toon een balk die rust op twee steunpunten en waarop meerdere puntlasten (in ons geval F 1 en F 2 ) loodrecht ingrijpen. We volgen dezelfde werkwijze als in het geval van één puntlast. Overigens we zouden bijvoorbeeld ook eerst de resultante van alle puntlasten kunnen bepalen (in de paragraaf 1.3 leg ik uit hoe je dit doet). Dan hebben we de meerdere puntlasten herleid tot één puntlast. Maar ik ga een andere weg volgen. Als eerste stap maken we balk vrij door in de steunpun- 16

19 ten reactiekrachten in te voeren. Omdat alle lasten loodrecht op de balk staan zullen de reactiekrachten in de steunpunten A en B ook loodrecht op de balk staan. l 2 l 3 A l 1 l F 4 1 F 2 O P l B F 1 F 2 A R A O P B R B Figuur 2.5: Balk belast met meerdere puntlasten Om de reactiekrachten te bepalen zullen we terug in twee stappen werken: 1. We kiezen A als rotatiepunt. De koppels die de krachten F 1, F 2 en R B maken moeten de balk in rust houden: l 1 F 1 + l 2 F 2 lr B = 0 R B = l 1F 1 + l 2 F 2 l 2. We kiezen B als rotatiepunt. De koppels die de krachten F 1, F 2 en R A maken moeten de balk in rust houden: l R A l 3 F 1 l 4 F 2 = 0 R A = l 3F 1 + l 4 F 2 l 3. Bovendien moet R A + R B = F 1 + F Krachten en koppels bij een lier Een massa m hangt aan een touw dat over een lier geslagen is (zie figuur 2.6 waarin ik twee gevallen heb getekend). Er is evenwicht. We onderzoeken welke krachten en koppels de steun van het lier uitoefent op het plafond. De massa m is onderhevig aan de zwaartekracht en heeft daardoor het gewicht F m. Omdat de 17

20 massa in rust is moet het touw een gelijke maar tegengestelde kracht uitoefenen op de massa: F a = F m. Aan het andere einde van het touw oefent een persoon een kracht F b uit. Omdat we aannemen dat ons lier geen wrijvingsweerstand biedt is F b = F a = F m. F l F l F a s F b F b F b F l F a F l F a F a m F m F b m F m Figuur 2.6: Evenwicht van een lier We kennen nu F m (is gegeven) en F b. We bestuderen nu de twee gevallen (zie figuur 2.6). 1. Het touw waaraan getrokken wordt gaat verticaal. In dit geval ondervindt de as van het lier een kracht F l = F m + F b. Deze kracht wordt door de steun overgebracht op het plafond. De steun oefent dus een kracht F l uit op het plafond. (Het plafond houdt met een gelijke maar tegengesteld kracht de steun van het lier vast). 2. Het touw waaraan getrokken wordt gaat horizontaal. In dit geval oefent het wiel een kracht F l = F m + F b uit op de as van het lier. Fl maakt een hoek van 45 met de horizon omdat F a = F b. De horizontale en verticale componenten van F l worden door de steun overgebracht op het plafond. Verticaal oefent de steun een kracht F a = F m uit op het plafond. Horizontaal werken de componenten F b als een koppel τ = s F b op het plafond. (Verticaal houdt het plafond het lier vast met een verticale component F a. Bovendien moet het plafond voor een tegenwerkend koppel τ zorgen). 18

21 Hoofdstuk 3 Bewegingsleer of kinematica 3.1 Inleiding In de kinematica bestuderen we de beweging van voorwerpen. 3.2 Parameters van een beweging Observeren we de beweging van een voorwerp dan zijn de volgende kenmerken belangrijk: de vorm van de baan die het lichaam volgt. We zullen de volgende vormen van banen bestuderen: 1. De rechtlijnige baan; 2. De cirkelvormige baan; 3. De harmonische bewegingen. Je kan de vraag stellen: wat met een baan met een willekeurige vorm?. Het antwoord is: een baan met een willekeurige vorm is een aaneenschakeling van rechtlijnige en cirkelvormige banen. de afgelegde weg; de snelheid van het lichaam; en de verandering van de snelheid: de versnelling of vertraging 1. Immers geen enkel object kan ogenblikkelijk zijn snelheid wijzigen (het gebeurt steeds geleidelijk). Kenmerken als baan en richting, snelheid en versnelling stellen we dikwijls voor door middel van vectoren. We noemen deze parameters dan ook vectoriële grootheden. 1 Ik zal in dit boek alleen de term versnelling gebruiken omdat een vertraging een negatieve versnelling is. We zullen ook zien dat er zelfs een versnelling kan optreden zonder verandering van de grootte van de snelheid. 19

22 3.3 De wetten van Newton Newton 2 is de grondlegger van de klassieke mechanica. In zijn boek Philosphiae Naturalis Principia Mathematica uit 1687 beschreef Newton drie wetten: 1. Eerste wet van Newton (Wet van de traagheid). Wanneer er op een voorwerp geen krachten inwerken dan blijft het voorwerp in zijn toestand van rust of eenparige rechtlijnige beweging. We kunnen dit beginsel ook omdraaien en zeggen: willen we de rust of de beweging van een lichaam veranderen dan moeten we er een resulterende uitwendige kracht op uitoefenen. 2. Tweede wet van Newton (Hoofdwet van de mechanica). De versnelling die een voorwerp ondervindt is evenredig met de kracht die er op inwerkt en zijn massa. 3. Derde wet van Newton (Actie en reactie). Als een voorwerp A een kracht uitoefent op B, dan oefent B een gelijke maar tegengestelde kracht uit op A. Noteer dat de wetten van Newton perfect werken in onze dagelijkse leefwereld. Maar als we gebeurtenissen bestuderen die zich afspelen met de snelheid van het licht dan moeten we gebruik maken van de relativiteitstheorie. 3.4 Eenparige beweging Eenparig wil zeggen gelijkmatig: ofwel verandert de snelheid gedurende het ganse traject niet (de snelheid is een constante, we spreken van eenparige snelheid). ofwel neemt de snelheid toe met eenzelfde hoeveelheid per tijdsinterval (de snelheid neemt dus constant toe). We noemen dit een eenparige versnelling. Indien de snelheid afneemt met eenzelfde hoeveelheid per tijdsinterval dan hebben we te maken met een eenparige vertraging. 3.5 Verband tussen afgelegde weg, snelheid en versnelling Hierna het verband tussen afgelegde weg s, snelheid v, versnelling a en tijd t. s = s 0 + vt [m] (3.1) s = s 0 + v 0 t at2 [m] (3.2) v = v 0 + at [m/s] (3.3) s 0 is de reeds afgelegde weg en v 0 is de eenparige beginsnelheid. 2 Isaac Newton: Engels fysicus, wiskundige, astronoom, filosoof, alchemist en theoloog. Geboren op en overleden op

23 Wanneer de tijd niet gekend is kunnen we de volgende vergelijking gebruiken om de afgelegde weg te berekenen (v 0 is de eenparige beginsnelheid): s = v2 v 2 0 2a [m] (3.4) Uit de formule 3.4 leiden we de volgende vergelijking af: v = v sa [m/s] (3.5) Hiermee kunnen we de snelheid berekenen wanneer de tijd niet gekend is. Is de versnelling negatief (minteken gebruiken!), dan we spreken we van een vertraging. 3.6 Rechtlijnige beweging in een xy-assenstelsel Een voorwerp beweegt van A naar B. We bestuderen deze beweging in een xy-assenstelsel (zie figuur 3.1). y B A θ s s x s y x Figuur 3.1: Rechtlijnige beweging in xy-assenstelsel 1. Afgelegde weg van A naar B: er zijn oneindig veel mogelijkheden om van A naar B te gaan. Maar de meest voor de hand liggende mogelijkheden zijn: Eerst in de x-richting de vector s x volgen en vervolgens in de y-richting de vector s y volgen. De vector s tussen A en B volgen. 2. de vector s maakt een hoek θ met de x-as. Ik bereken de hoek θ: tan θ = s y s x θ = tan 1 ( sy s x ) = arctan ( sy s x ) (3.6) In de vergelijking 3.6 heb ik de twee schrijfwijzen voor arctan gebruikt. 21

24 3. De grootte van s is: s = s 2 x + s 2 y. Voorbeeld: een voorwerp versnelt van A naar B (zie figuur 3.1): De afgelegde weg is s en de hoek met de x-as is θ. De snelheid is v = s. De snelheidsvector v valt samen met s omdat t een scalair is. De t gemiddelde grootte is v = s t. De versnelling is a = v. De versnellingsvector a valt samen met v omdat t een scalair t is. De gemiddelde grootte is a = v t. 3.7 Cirkelvormige beweging Inleiding De formules van de vorige paragraaf zijn hier ook geldig, maar omdat een cirkel bepaald wordt door zijn middelpunt en diameter (of straal) en we de afstand langs de cirkelomtrek ook kunnen meten aan de hand van de doorlopen hoek kunnen we de formules van de vorige paragraaf herschrijven in functie van de straal r en de doorlopen hoek θ Omtrek en oppervlakte van een cirkel De omtrek s en de oppervlakte A van een cirkel zijn resp.: s = 2πr = πd A = πr 2 = πd2 4 [m] [m 2 ] Hierin is r de straal en d = 2r de diameter van de cirkel Radialen en booglengte Beschouw een cirkel waarvan de straal r = 1 eenheid 3. Als we deze cirkel volledig omschrijven dan hebben we een lengte (omtrek) s = 2π en een hoek van 360 doorlopen. We zeggen dat een cirkel een hoek van 2π radialen 4 omvat. Waaruit 2π rad = 360. Dus 1 rad = (180/π). De radiaal wordt dikwijls gebruikt als hoekeenheid. Voor een hoek θ (uitgedrukt in rad) is de booglengte: s = θr [m] (3.7) 3 Ook eenheidscirkel genoemd. 4 De eenheid radiaal kort ik meestal af als rad, maar op zich is het geen eenheid en moet je ze dus ook niet schrijven. 22

25 3.7.4 Analogie tussen rechtlijnige en cirkelvormige beweging Van een rechtlijnige beweging naar een cirkelvormige is maar een kleine stap wanneer je de analogie begrijpt. afgelegde weg s [m] wordt de doorlopen hoek θ [rad] ; de lineaire snelheid v [m/s] wordt de hoeksnelheid ω [rad/s] ; de lineaire versnelling a [m/s 2 ] wordt de hoekversnelling α [rad/s 2 ]. In de volgende tabel staan b voor begin, e voor einde en voor verandering. Alle parameters, op de tijd na, zijn vectoriële grootheden. Tabel 3.1: Analogie tussen rechtlijnige en cirkelvormige beweging Beweging Rechtlijnig Cirkelvormig of hoek Snelheid Versnelling Afgelegde weg of afgelegd hoek v = s t a = v t s = v b t + a t2 2 ω = θ t α = ω t θ = ω b t + α t2 2 Snelheid / hoeksnelheid v 2 e v 2 b = 2as ω2 e ω 2 b = 2αθ De vectoren ( θ, ω en α) van een draaiende beweging vallen samen met de rotatieas. Verloopt de ronddraaiende beweging in één vlak dan staan de vectoren loodrecht op dit vlak. Zie paragraaf voor meer details hierover. De grootte neem ik steeds positief voor bewegingen in wijzerzin en negatief voor tegenwijzerzin. Hiermee is de analogie van de vergelijkingen voor de cirkelvormige beweging met de vergelijkingen van de rechtlijnige beweging beschreven in paragraaf 3.5 aangetoond Belangrijke formules van de cirkelvormige beweging 1. De basisformules voor afgelegde weg, snelheid en versnelling langsheen de cirkelomtrek in functie van de hoek, de hoeksnelheid en de hoekversnelling zijn: s = rθ [m] (3.8) v = rω [m/s] (3.9) a = rα [m/s 2 ] (3.10) 23

26 Met θ de doorlopen hoek in radialen 5, ω de hoeksnelheid in rad/s = 1/s en hoekversnelling α in rad/s 2 = 1/s De formules die de verbanden weergeven tussen afgelegde hoek θ, hoeksnelheid ω, hoekversnelling α en tijd t: θ = θ 0 + ωt [rad] (3.11) θ = θ 0 + ω 0 t α t2 [rad] (3.12) ω = ω 0 + αt [rad/s] (3.13) θ 0 is de reeds doorlopen hoek en ω 0 is de beginsnelheid. 3. Wanneer de tijd niet gekend is kunnen we de volgende vergelijking gebruiken om de doorlopen hoek te berekenen: θ = ω2 ω 2 0 2α [rad] (3.14) Uit de formule 3.14 leiden we de volgende vergelijking af: ω = ω θα [rad/s] (3.15) ω 0 is de beginsnelheid De tangentiële en radiale componenten Cirkelvormige bewegingen worden gekenmerkt door hun tangentiële (rakend aan de cirkelomtrek) en radiale (valt samen met de straal) componenten. Voor de tangentiële parameters gelden de vergelijkingen (zie paragraaf 3.7.5): Tangentiële verplaatsing s t = rθ [m] Tangentiële snelheid v t = rω [m/s] Tangentiële versnelling a t = rα [m/s 2 ] Opdat een voorwerp een cirkelvormige baan beschrijft moet er een kracht worden toegepast op het voorwerp (anders zou het volgens de eerste wet van Newton het voorwerp rechtlijnig bewegen). Deze kracht noemen we de centripetale kracht (zie ook de paragrafen en 3.9.4). Deze kracht is naar het middelpunt van de cirkel gericht, daarom wordt ze ook middelpunt zoekende kracht genoemd. Er is bijgevolg ook een centripetale versnelling a 6 z (volgens de tweede wet van Newton gaan kracht en versnelling samen): a z = v2 r = rω2 [m/s 2 ] (3.16) 5 Radialen worden afgekort als rad, maar heeft in feite geen dimensie. 6 Ik gebruik z voor middelpunt zoekend en v voor middelpunt vliedend. 24

27 3.7.7 Hoeksnelheidsvector en de rechterhand regel voor de hoeksnelheidsvector De hoeksnelheidsvector ω geeft informatie over: de grootte van de hoeksnelheid; de draaizin (wijzerzin of tegenwijzerzin). De hoeksnelheidsvector heeft geen tangentiële component want dan zou die voortdurend van richting veranderen. De hoeksnelheidsvector ligt daarom op de rotatieas, want die ligt vast. De zin van de hoeksnelheidsvector vinden we met de rechterhand regel voor hoeksnelheidsvector: Houd de vingers van de rechterhand in de draaizin van het wiel; Omklem het wiel met uw rechterhand; Houd de duim recht volgens de aslijn. De duim wijst in de zin van de hoeksnelheidsvector ω Hoekversnellingsvector De hoekversnelling informeert ons over de wijziging van de hoeksnelheid. Wanneer de hoeksnelheid wijzigt dan ontstaat er een hoekversnelling α. Er zijn twee uiterste gevallen: 1. de grootte van de hoeksnelheidsvector wijzigt omdat het voorwerp trager of sneller gaat draaien. In dit geval ligt de hoekversnellingsvector op de rotatieas. Wanneer de hoeksnelheid toeneemt dan groeit de hoeksnelheidsvector en dit wordt weergegeven door een hoekversnellingsvector die in de richting van de groei wijst. Wanneer de hoeksnelheid afneemt, krimpt de hoeksnelheidsvector. De hoekversnellingsvector wijst in de tegenovergestelde zin van de hoeksnelheidsvector (in de zin van de krimp). 2. de richting van de hoeksnelheidsvector wijzigt omdat de as van het draaiend voorwerp kantelt. In dit geval is ω ω = ω b ω e en α = t. Hierin zijn b begin, e einde en verandering. 3.8 Verticale worp, schuine worp, horizontale worp en vrije val Belangrijk Wanneer een voorwerp door de lucht beweegt dan moeten we de bewegingen steeds splitsen in een horizontaal en een verticaal deel (bij een verticale worp is er natuurlijk geen horizontale component). 25

28 De verticale component ondervindt steeds de invloed van de zwaartekracht Zwaartekrachtversnelling Wanneer een massa vrij door de lucht beweegt ten gevolge van een worp dan ondervindt ze de invloed van de zwaartekracht. De overeenkomstige versnelling is de zwaartekrachtversnelling g Verticale worp Wanneer een voorwerp verticaal omhoog geworpen wordt en de beginsnelheid is v dan zal het voorwerp onder invloed van de zwaartekracht vertragen, tot stilstand komen en terugvallen. Bij het terugvallen beschrijft het voorwerp dezelfde baan als bij de worp. We vragen ons af wat is de maximum hoogte h max die het voorwerp bereikt? Om de maximum hoogte te bepalen maak ik gebruik van de vergelijking 3.4, maar met dien verstande dat de eindsnelheid nul is, dat we v in plaats van v 0 gebruiken en dat we a door g vervangen: h max = v2 2g [m] (3.17) Schuine worp Wanneer een voorwerp schuin onder een hoek θ 7 geworpen wordt en de vertreksnelheid is v dan zal het voorwerp onder invloed van de zwaartekracht een kromme baan beschrijven. We vragen ons af hoe ver (s) komt het voorwerp neer en wat is de maximum hoogte (h) die het bereikt? 8 De horizontaal afgelegde weg: De maximum hoogte: s = v2 sin (2θ) g h = (v sin θ)2 2g [m] (3.18) [m] (3.19) Opmerking: bij een verticale worp is θ = 90. Vullen we dit in in de bovenstaande vergelijkingen dan krijgen we resp.: s = 0 h = v2 2g [m] [m] Wat overeenkomt met de vergelijkingen van paragraaf θ is de hoek die de baan van het voorwerp bij het vertrek met de horizon maakt. 8 Denk er aan: horizontaal en verticaal afzonderlijk behandelen. 26

29 3.8.5 Horizontale worp van op een hoogte y v 0 v x h s y v y θ θ v v y s x s h x Figuur 3.2: Horizontale worp Deze worp is een speciaal geval van de schuine worp: de vertrekhoek θ = 0 en we beginnen op een hoogte h boven het grondniveau waar het voorwerp uiteindelijk zal landen. De beginsnelheid van het voorwerp is v 0. Ik ga een antwoord zoeken op de volgende vragen: Wat is de horizontale afgelegde weg s h ; Wat is de snelheid bij inslag (de impactsnelheid) v i ; Onder welke hoek θ i slaat het voorwerp in. 1. De horizontale afgelegde weg s h. Zie figuur 3.2. (a) In horizontale richting (de x as) blijft de snelheid constant v 0. De afgelegde weg is bijgevolg: s x = v 0 t [m/s] (3.20) (b) In verticale richting (de y as) hebben we een valbeweging. De afgelegde weg is: s y = h gt2 2 [m/s] (3.21) Ik gebruik een minteken omdat het voorwerp in negatieve zin tov de y as beweegt (de weg verkleint immers). (c) Uit de vergelijking 3.20 leid ik t af. Ik substitueer t in de vergelijking Ik bekom: s y = h gs2 x 2v 2 0 Dit is de vergelijking van een parabool in een xy-assenstelsel. [m] (3.22) 27

30 (d) Het voorwerp raakt de grond als s y = 0 en s x = s h. Ik substitueer dit in vergelijking Ik bekom dan voor s h : s h = v 0 2h g [m] (3.23) 2. De impactsnelheid v i. In de figuur 3.2 heb ik een snelheidsdriehoek getekend voor een willekeurig ogenbik. We kunnen deze driehoek tekenen voor elk punt van de kromme. Algemeen is de snelheid v: v = vx 2 + vy 2 [m/s] (3.24) Op het ogenblik van impact zijn v x = v 0 en v y = gt. Ik leid nu het ogenblik van de impact (s y = 0) af uit de vergelijking 3.21 : t = 2h g en substitueren dit in de vergelijking v y = gt = 2gh. De vergelijking voor de grootte van de impactsnelheid wordt: v i = v gh [m/s] (3.25) 3. De inslaghoek θ i. De inslaghoek θ i is ook te bepalen uit de snelheidsdriehoek, immers tan θ = v y v x θ i = arctan 2gh v 0 (3.26) Impactsnelheid bij verticale val Wanneer een lichaam van een hoogte h valt (dus v 0 = 0) zal het de grond raken met een snelheid: v i = 2gh [m/s] (3.27) Bovenstaande vergelijking geldt alleen in ideale omstandigheden (dus een val in het vacüum) Val van grote hoogte - luchtweerstand Wanneer een voorwerp valt dan speelt de luchtweerstand wel een rol, bijgevolg klopt de bovenstaande vergelijking 3.27 niet. Tijdens zijn val zal de luchtweerstand de snelheid afremmen. Na een tijd zal het voorwerp zijn terminale of limiet snelheid (terminal velocity) bereiken en die snelheid behouden, er is nu een evenwicht bereikt. Om de limiet snelheid te berekenen hebben we volgende gegevens nodig: de massa van het 28

31 voorwerp m, de dichtheid van de lucht ρ, de geprojecteerde oppervlakte A van het voorwerp 9 en de weerstandscoëfficiënt c d ( d van drag ). Hier de vergelijking: v = 2mg c d ρa Valt het je ook op dat de hoogte geen rol speelt in deze formule? [m/s] (3.28) Wanneer je de impactsnelheid van een vallend voorwerp moet berekenen dan gebruik je best de beide formules 3.27 en De kleinste waarde is het correcte antwoord Weerstandscoëfficiënt van voorwerpen tov luchtstroming De weerstandscoëfficiënt c d is afhankelijk van de vorm van het lichaam en wordt bepaald in windtunnels. Hierna een tabel met de waarden van c d voor enkele voorwerpen. Tabel 3.2: Weerstandscoëfficiënt van voorwerpen tov luchtstroming Vorm van het voorwerp Richting luchtstroom c d Halve holle bol (parachute) Loodrecht op holle zijde 1,4 Vlakke ronde schijf Loodrecht op vlakke zijde 1,1 Bol 0,45 Kegel met bolvormig grondvlak Recht op de kegelpunt 0,34 Vliegtuigvleugel De normale stroomrichting 0,1 tot 0,2 Kegel met bolvormig grondvlak (regendruppel) Recht op het bolvlak 0, Kracht Algemeen De tweede wet van Newton (zie ook de paragraaf 3.3) beschrijft het verband tussen kracht F, massa m en versnelling a. We drukken het verband uit met de volgende vergelijking: F = ma [N] (3.29) Aangezien versnelling een vectoriële grootheid is, is kracht het ook (massa is scalair). De correcte schrijfwijze van formule 3.29 is: F = m a. Als we krachten willen splitsen of samenstellen moeten we dit doen volgens de vectoren theorie (zie hoofdstuk 1). 9 Ligt in het vlak loodrecht op de baan die het voorwerp volgt. 29

32 3.9.2 Gewicht Het gewicht G van een voorwerp is de kracht die het ondervindt ten gevolge van van de zwaartekracht. De versnelling is de zwaartekrachtversnelling g. Dus: F = mg [N] (3.30) Nota over massa en gewicht Als we in onze dagelijkse gesprekken over gewicht spreken dan gebruiken we allemaal de verkeerde eenheid. Gewicht is een kracht en de eenheid van kracht is de Newton (afkorting N ) maar we gebruiken allemaal de kilogram (afkorting kg ), terwijl de kilogram de eenheid van massa is. We gebruiken het begrip massa en gewicht door elkaar. Dit is natuurlijk fout. Een weegschaal meet een kracht maar we rusten ze uit met een massaschaal (de schaalfactor is 9,81). Als ik mezelf weeg dan geeft de weegschaal mijn massa weer. De kracht die de weegschaal meet is G = mg, hierin is m de massa van het voorwerp op de weegschaal en g = 9, 81 m/s 2 de zwaartekrachtversnelling op aarde. Als een persoon met massa 100 kg op de weegschaal staat dan duidt de weegschaal 100 aan, maar zijn gewicht is in werkelijkheid G = 100 9, 81 = 981 N. Wanneer diezelfde persoon zich met deze weegschaal op de maan zou wegen dan zal de aanduiding van de weegschaal: 100 1,622 9,81 = 16, 5 kg zijn. Zijn gewicht op de maan is G = 100 1, 62 = 162 N. Immers de zwaartekrachtversnelling op de maan is g = 1, 622 m/s Aantrekkingskracht van voorwerpen onderling Lichamen trekken elkaar aan. De kracht die twee lichamen op elkaar uitoefenen is: F = G m 1m 2 r 2 [N] (3.31) Dit is één van meest fundamentele wetten van de klassieke fysica. Deze wet wordt ook de gravitatiewet van Newton genoemd. Opgelet deze wet geldt niet op atomair niveau. Twee appels, twee personen, enz oefenen een aantrekkingskracht op elkaar uit. G is een zeer klein getal, vandaar dat we deze kracht niet aan de lijve ondervinden. Maar de beweging van de planeten en de getijen van de zee kunnen we hiermee verklaren. De aarde heeft een massa van m A = 5, kg en een gemiddelde straal van r A = 6, m. Een massa van m = 1 kg dan ondervindt een kracht van de aarde van: F = mg = G m Am r 2 A [N] 1 g = 6, , (6, , 81 [N] ) 2 Waaruit g 9, 81 m/s 2 volgt. 30

33 3.9.4 Centrifugale kracht Wanneer je met een auto door een bocht rijdt dan ervaart je een (zijdelingse) kracht. Anders gezegd wanneer een voorwerp afwijkt van de rechtlijnige baan treedt er een kracht op die het voorwerp terug op de rechte baan wilt brengen. Deze kracht noemen we centrifugale of middelpuntvliedende 10 kracht: F v = mv2 r [N] (3.32) Hierin is r de straal van de bocht. Een speciale vorm van een bocht is de cirkel. Aangezien v = ωr 11 is, wordt de vergelijking 3.32: F v = mω 2 r [N] (3.33) Centripetale kracht In paragraaf hebben we gezien dat bij de cirkelvormige beweging er steeds een radiale versnelling is... kracht veroorzaakt. en ondertussen weten we dat een versnelling die inwerkt op een massa een Bij een eenparige cirkelvormige beweging is er geen tangentiële versnelling a t (versnelling in de zin van de beweging). Maar omdat de richting van de snelheid voortdurend wijzigt is er een versnelling naar het middelpunt van de cirkel: de centripetale versnelling a z (zie ook paragraaf 3.7.6). a z = v2 r [m/s 2 ] De centripetale of middelpuntzoekende kracht is de reactie op de centrifugale kracht. We kunnen het ook anders stellen: de centripetale versnelling zorgt ervoor dat een voorwerp een cirkelvormige baan volgt dit in tegenstelling tot de centrifugale kracht die probeert het voorwerp van zijn cirkelbaan te doen afwijken en rechtlijnig verder te bewegen. De middelpuntzoekende kracht is bijgevolg gelijk maar tegengesteld aan de middelpuntvliedende kracht. De centripetale versnelling levert de centripetale kracht F z. We kunnen de stelling ook omkeren en zeggen dat opdat een voorwerp een cirkelvormige baan zou beschrijven er een centripetale kracht nodig is. Dus wanneer een constante kracht loodrecht inwerkt op de snelheid van een voorwerp dan beschrijft het voorwerp een cirkelvormige baan 12. F z = ma z = mv2 r [N] (3.34) 10 Vlieden = vluchten 11 ω(1/s) is de hoeksnelheid. 12 We zullen een gelijkaardig fenomeen zie in het hoofdstuk over elektriciteit waar een lading die zich doorheen een magnetisch veld beweegt cirkelvorming wordt afgebogen. Het werkingsprincipe van de massaspectroscoop. 31

34 Is het je ook opgevallen dat de vergelijking 3.32 voor de centrifugale kracht F v gelijk is aan die 3.34 voor de centripetale kracht F z? De volledige definitie van kracht Ik heb kracht gedefineerd als het product van een massa en zijn versnelling: F = ma [N] Maar de meest algemene en volledige definitie is: kracht is de verandering van hoeveelheid beweging (p = mv [kgm/s]) zie paragraaf 3.14) per tijdseenheid. F = p t = mv t [N] Indien tijdens het proces de massa en/of de snelheid wijzigt wordt de bovenstaande vergelijking: F = (m m 0)v t + m(v v 0) t [N] (3.35) Met m 0 en v 0 resp. de begin massa en begin snelheid. Ik onderzoek nu de twee uiterste gevallen: 1. Bestuderen we eerst het geval waarin de massa niet wijzigt tijdens het proces, dus m 0 = m. De vergelijking 3.35 wordt: F = m v v 0 t = ma [N] Als we uitgaan van een vereenvoudigde situatie met een constante massa dan krijgen we de eenvoudige vergelijking. 2. Beschouwen we het geval waarin tijdens het proces de snelheid niet wijzigt, dus v 0 = v. De vergelijking 3.35 wordt: F = v m m 0 t = vṁ [N] Hierin is ṁ het massadebiet, deze vergelijking gebruiken we om de stuwkracht van een raketmotor te bepalen Toepassingen op krachten Een auto rijdt door een bocht Als je door een bocht rijdt dan is er een centripetale kracht nodig. Deze kracht wordt geleverd door de wrijving tussen de banden en het wegdek. Om de wrijvingskrachten en dus de 32