Overzicht Discrete modellen 1/5
|
|
- Bart Peters
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Overzicht Discrete modellen 1/5 Bij het onderwerp Discrete Modellen worden rijen bestudeerd. Een rij is een reeks getallen (termen genoemd) waarvan de volgorde kan worden vastgelegd door ze te nummeren. Het nummeren begint meestal met 0 of met 1. Een voorbeeld van een rij is: nummer: n de n-de term: X(n) De eerste term is 5, de tweede term is 8, de derde term is 11, enz, enz. Een rij kan gegeven zijn in de vorm van een: recursievergelijking: X(n) = f(x(n 1)) met beginterm X(0) (of X(1)) Dit betekent: De volgende term kan worden berekend vanuit de vorige door een functievoorschrift f. De beginterm X(0) of X(1) moet wel gegeven zijn. In het voorbeeld hierboven is de recursievergelijking X(n) = X(n 1) + 3 met X(1) = 5 Op de GR voeren we dit in onder y= als volgt: (eerst MODE SEQ DOT) Een rij kan ook gegeven zijn in de vorm van een: directe formule of rangnummerformule: X(n) = f(n) Dit betekent: Elke term kan simpel worden berekend door in het functievoorschrift f het nummer van de term in te vullen. In ons voorbeeld is de directe formule X(n) = 5 + (n 1).3 ofwel X(n) = 3n+2 Op de GR voeren we dit in onder y= als volgt: Je kunt de rij plotten maar dan moet eerst de window goed ingesteld worden: vul in: nmin=1; nmax=20; PlotStart=1; Plotstep=1 en dan ZOOM FIT. De GR berekent dan zelf de overige window-instellingen voor een passende grafiek. Je kunt ook met TABLE de tabel oproepen.
2 Overzicht Discrete modellen 2/5 Vaak wordt gevraagd om de som van een aantal termen van een rij te berekenen. de som van de eerste n termen van de rij geven we aan met S(n) of Sn In ons voorbeeld kunnen we S(5) berekenen: = 55. Met de GR gaat dit als volgt: sum(seq(directe formule,n,beginnummer, eindnummer, stap)) sum is te vinden onder LIST MATH, seq is tevinden onder LIST OPS als je de stapgrootte weglaat dan wordt voor stap het getal 1 genomen. Je kunt stap dus bijna altijd weglaten want de stap is vaak 1. In ons voorbeeld: sum(seq(3n+2,n,1,5)) = 55 Op dezelfde manier bereken je de som van de 5 e tot en met de 20 e term sum(seq(3n+2,n,5,20)) = 632 In ons voorbeeld is er sprake van een rekenkundige rij. Er zijn zeer veel soorten rijen. Er is zelfs een encyclopedie van rijen op het internet. Als je benieuwd bent, kijk dan eens op: Hierin staan tienduizenden rijen vermeld. Als je in de startpagina klikt op Use database en je voert in het vak de getallen 5,8,11,14,17,20 en je klikt op search dan wordt in de database gezocht of de rij van een bekend type is. In dit eenvoudige geval is dat natuurlijk zo. Deze rij blijkt bekend te zijn onder de codering A en er wordt allerlei informatie over deze rij gegeven, waaronder de directe formule: 3n+2. De bekendste typen rijen zijn: Rekenkundige rij (lineaire groei) De volgende term ontstaat door bij de vorige een constant verschil op te tellen recursievergelijking: X(n) = X(n 1) + v (v heet het constante verschil) directe formule: X(n) = X(1) + (n 1).v als het nummeren begint bij n=1 X(n) = X(0) + n.v als het nummeren begint bij n=0 somformule S(n) = ½n(eerste term + laatste term) S(n) = ½n(X(1) + X(n)) als het nummeren begint bij n=1 S(n) = ½n(X(0) + X(n 1)) als het nummeren begint bij n=0 voorbeeld zie het voorbeeld op de bladzijden 1 en 2. Meetkundige rij (exponentiële groei) De volgende term ontstaat door de vorige met een constante factor te vermenigvuldigen recursievergelijking: X(n) = X(n 1).r (r heet de reden = de constante factor) directe formule: X(n) = X(1).r n 1 als het nummeren begint bij n=1 X(n) = X(0).r n als het nummeren begint bij n=0 somformule S = 1 r n n a. 1 r als a de eerste term is. Als 1<r<1 dan nadert r n in deze formule naar 0 als n naar oneindig nadert dus: Voor de som van een oneindige MR geldt S = a 1 r voorbeeld X(n) = 0,8X(n 1) met X(1) = 10 is een MR met beginterm 10 en reden 0,8 directe formule: X(n) = 10. 0,8 n-1 1 0,8 De som van de eerste 6 termen is S 6 6 = ,89 1 0,8 Omdat de reden (groeifactor) tussen 1 en 1 ligt, nadert de som op naar een limiet als n naar (=oneindig) gaat: S = 10 = ,8
3 Overzicht Discrete modellen 3/5 Rijen met de recursieverg. X(t+1) = a.x(t) + b De volgende term ontstaat door de vorige met een constante factor te vermenigvuldigen en daar vervolgens weer een getal bij op te tellen. We spreken van begrensde groei als a tussen 1 en 1 ligt ( 1<a<1) recursievergelijking: X(t+1) = ax(t) + b (voor b=0 hebben we een meetkundige rij met reden a) directe formule: X(t) = ev.waarde + (beginwaarde ev.waarde). a t b b t X(t) = + (X(0).a 1-a 1- a ) somformule Er is geen somformule te geven, de som is alleen te berekenen met de GR. (sum(seq(.)) voorbeeld X(t+1) = 0,75X(t) + 40 met X(0) = 200 Er is een evenwichtswaarde: X = b/(1-a) = 40/0,25 = 160 Deze is ook te vinden door op te lossen: X = 0,75X ,25X = 40 X = 160 directe formule: X(t) = ( ).0,75 t = ,75 t M Xt t Rijen met de recursieverg. X(t+1) = ax(t) b( X(t) ) 2 In het begin nemen de termen exponentieel toe maar op den duur worden ze geremd door de dempingsterm b(x(t)) 2. Dit heet logistische groei recursievergelijking: Deze is te schrijven in de vorm M X(t) X(t+1) = X(t) + c.x(t). ( M ) directe formule: somformule voorbeeld M heet de grenswaarde, c de groeivoet Er is geen directe formule te geven Er is geen somformule te geven, de som is alleen te berekenen met de GR. (sum(seq(.)) X(t+1) = 1,8X(t) 0,02(X(t)) 2 met X(0) = 2 Dit is te schrijven als X(t+1) X(t) = 0,8X(t) 0,02(X(t)) 2 Breng 0,8X(t) buiten haakjes: X(t+1) X(t) = 0,8X(t)(1 0,025X(t)) ,25 = en 1 = dus: X(t+1) X(t) = 0,8X(t). X(t+1) = X(t) + 0,8X(t). 40 X(t) ( 40 ) 40 X(t) ( 40 ) ofwel De grenswaarde is dus 40, de groeivoet is 0,8 Je kunt in het laatste voorbeeld de grenswaarde ook als volgt uitrekenen: Voor de grenswaarde geldt dat X(t+1) = X(t). Noem je de grenswaarde X dan krijg je: X = 1,8X 0,02X 2 Los deze vergelijking op: 0 = 0,8X 0,02X 2 deel links en rechts door 0,8: 0 = X 1 /40X 2 breng X buiten haakjes: 0 = X(1 1 /40X) een product is alleen 0 als een van beide factoren 0 is dus X = 0 of 1 1 /40X = 0 maar X = 0 kan niet want dan zouden alle termen 0 zijn dus 1 1 /40X = 0 vermenigvuldig links en rechts met X = 0 zodat X = 40 de grenswaarde is 40 M Xt t
4 Overzicht Discrete modellen 4/5 Stelsels van recursievergelijkingen X(t+1) = a.x(t) + by(t) Twee of meer rijen zijn met elkaar verbonden door twee of meer Y(t+1) = c.x(t) + dy(t) recursievergelijkingen recursievergelijkingen: X(t+1) = a.x(t) + by(t) De volgende term van de rij X kun je berekenen als je de vorige twee termen van X en Y kent. Y(t+1) = c.x(t) + dy(t) De volgende term van de rij Y kun je berekenen als je de vorige twee termen van X en Y kent. voorbeeld X(t+1) = 0,80X(t) + 0,15Y(t) Y(t+1) = 0,20.X(t) + 0,85Y(t) Bij dit stelsel van recursievergelijkingen is het volgende verhaal te vertellen: Op een klein eiland wonen in het jaar 2000 (t=0) inwoners. Op het eiland is slechts één stad A waar mensen wonen. Buiten A, we noemen dit het buitengebied B, wonen 4000 inwoners. Voor het eiland geldt dat er geen emigratie of immigratie plaatsvindt. We nemen verder aan dat er door geboorte even veel mensen bijkomen als dat er overlijden. Dit geldt zowel voor A als voor B. Elk jaar verhuist 20% van de inwoners van A naar B en blijft 80% van A binnen A wonen. Elk jaar verhuist 15% van de inwoners van B naar A en blijft 85% van B binnen B wonen. Bereken het verloop van de bevolking van A en B in de loop der jaren vanaf het jaar Voer de rijen als volgt in: en je vindt:
5 Overzicht Discrete modellen 5/5 Vraag en aanbod in de economie Komkommers worden in Nederland het hele jaar door in kassen gekweekt In het voorjaar zijn voor een bepaalde groenteveiling de aanbod- en vraagvergelijking: qa = 100p qv = 125p waarin p de prijs is in euro per kilo en q de hoeveelheid in aantallen kistjes 1. Bereken de evenwichtsprijs bij dit vraag- en aanbodmodel. Op een zeker moment wordt het in de loop van de maand mei onverwacht warm en de vraag stijgt. De vraagvergelijking wordt dan qv = 125p De kwekers kunnen niet onmiddellijk aan de nieuwe vraag voldoen. Daardoor blijft de aanbodvergelijking voorlopig gelijk. De oude prijs, dus de oude evenwichtsprijs bepaalt het aanbod. De vraag bepaalt een nieuwe prijs, het aanbod speelt hierop in, enz. enz. 2. Neem voor p(0) de oude evenwichtsprijs en bereken p(2). Zet de uitkomsten van je berekeningen in een tabel zoals hieronder: t qa qv p Teken de webgrafiek met de aanbodlijn en de nieuwe vraaglijn We kunnen het dynamische model als volgt schrijven: qa(t)= 100p(t 1) qv(t) = 125p(t) Maak een recursievergelijking voor de prijs en bereken de nieuwe evenwichtsprijs.
6.0 Voorkennis [1] Algemeen: u n = u n-1 + u n-2 met u 0 = 1 en u 1 = 1. Bereken de 12 de term van deze rij
6.0 Voorkennis [1] Voorbeeld 1: Gegeven is de getallenrij 1, 1, 2, 3, 5, 8, Dit is de rij van Fibonacci. Elke term is de som van de twee voorafgaande termen. Algemeen: u n = u n-1 + u n-2 met u 0 = 1 en
Nadere informatie2.0 Voorkennis. Rekenregels machten: 5) a 0 = 1. p p q p q a p q q. p q pq p p p. Willem-Jan van der Zanden
2.0 Voorkennis Voorbeeld: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = (a +b)(a2 + 2ab + b2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b +2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Rekenregels machten: p p q pq a pq 1) a a
Nadere informatie8.0 Voorkennis ,93 NIEUW
8.0 Voorkennis Voorbeeld: In 2014 waren er 12.500 speciaalzaken. Sinds 2012 is het aantal speciaalzaken afgenomen met 7%. Bereken hoeveel speciaalzaken er in 2012 waren. Aantal 2014 = 0,93 Aantal 2012
Nadere informatieParagraaf 8.1 : Recursieve en directe formule
Hoofdstuk 8 Rijen en veranderingen (V5 Wis A) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Recursieve en directe formule Les 1 Rijen en recursievergelijking Definities : Wat is een rij Gegeven is de rij u = { 5,10,20,40
Nadere informatieCompex wiskunde A1-2 vwo 2003-I
Epidemie Men spreekt van een epidemie als in korte tijd minstens 2% van de bevolking een besmettelijke ziekte oploopt. Een voorbeeld van zo n ziekte is griep. Rond 930 hebben twee Schotse wiskundigen,
Nadere informatieSamenvatting Economie Rekonomie
Samenvatting Economie Rekonomie Samenvatting door een scholier 1570 woorden 24 oktober 2011 5,3 76 keer beoordeeld Vak Methode Economie LWEO Rekonomie Hoofdstuk 1 De cijfers achter de komma worden ook
Nadere informatieDifferentievergelijkingen. Willem van Briemen
Differentievergelijkingen Willem van Briemen maart 2019 Inhoud Introductie... 3 Terminologie... 4 Berekeningen... 4 Evenwicht... 6 Periodieke punten... 7 Lineaire recursie... 8 Rekenkundige rijen... 8
Nadere informatieStoomcursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO ( ) = = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = ( )
Voorbereidende opgaven VWO Stoomcursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan
Nadere informatieHoofdstuk 2: Grafieken en formules
Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde
Nadere informatieRekenkundige rijen. WISNET-HBO update aug. 2013
Rekenkundige rijen WISNET-HBO update aug. 2013 1 Inleiding Een rij (sequtentie) is een serie getallen achter elkaar opgeschreven met komma's ertussen. Ieder getal in zo'n rij noemen we een term. Het is
Nadere informatieAntwoorden Differentievergelijkingen 1
Opgave 1. a) 0,4 10 + 6 = 10. Dus u 0 = u 1 + u = = 10 b) 0,4 u + 6 = 10 kan alleen als u = 10. Dus voor u 0 = 6 komt 10 niet in de reeks voor. c) u 0 = 11; u 1 = 10,4; u = 10,16; u 3 = 10,064. De reeks
Nadere informatieHoofdstuk 5 - Recursie
Hoofdstuk 5 - Recursie Een banktegoed waarover je jaarlijks rente krijgt uitgekeerd is een voorbeeld van recursie. Je kunt steeds het nieuwe banktegoed berekenen op basis van het banktegoed van vorig jaar.
Nadere informatieExamencursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO kan niet korter
Voorbereidende opgaven VWO Examencursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan
Nadere informatie1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3
HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatie(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a
Samenvatting wiskunde h4 hoofdstuk 3 en 6, h5 hoofdstuk 4 en 6 Hoofdstuk 3 Voorkennis Bij het rekenen met machten gelden de volgende rekenregels: - Bij een vermenigvuldiging van twee machten met hetzelfde
Nadere informatieHoofdstuk 9 - exponentiele verbanden. [KC] exponentiële verbanden
Hoofdstuk 9 - exponentiele verbanden [KC] exponentiële verbanden 0. voorkennis Procenten en vermenigvuldigingsfactoren Procentuele toename met p%: g = 1 + p 100 p = ( g 1) 100 Procentuele afname met p%:
Nadere informatie12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: l:y = ax + b gaat door de punten A(5, 3) en B(8, 12). Stel de functie van l op.
12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: l:y = ax + b gaat door de punten A(5, 3) en B(8, 12). Stel de functie van l op. Stap 1: Bepaal de richtingscoëfficiënt van l:y = ax + b : y yb ya 123 9 a 3 x x x 8 5 3 Hieruit
Nadere informatieDynamische modellen 1
Dynamische modellen 1 Inhoud 1 Voorbeelden van dynamische systemen 3 2 Rijen 8 3 Iteratie 18 4 Limieten berekenen 22 5 Gemengde opgaven 37 Antwoorden 48 Verbeterde experimentele uitgave 2009 voor wiskunde
Nadere informatieParagraaf 14.0 : Eenheidscirkel
Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 1 van 12 Paragraaf 14.0 : Eenheidscirkel De eenheidscirkel met graden Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ) = x coordinaat
Nadere informatieCombinatoriek groep 2
Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een
Nadere informatieCombinatoriek groep 1
Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsweek, juni 009 Stappenplan homogene lineaire recurrente betrekkingen Even herhalen: het stappenplan om een recurrente betrekking van orde op te lossen: Stap 1. Bepaal
Nadere informatieDe Logistische afbeelding
1/ 26 De Logistische afbeelding Tammo Jan Dijkema Universiteit Utrecht 14 januari 2006 Doel 2/ 26 We modelleren een populatie konijntjes op een verder leeg eiland. D.w.z. we proberen een wiskundig model
Nadere informatieCombinatoriek groep 1
Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in
Nadere informatieParagraaf 9.1 : Twee soorten groei
Hoofdstuk 9 Exponentiële Verbanden (H5 Wis A) Pagina 1 van 9 Paragraaf 9.1 : Twee soorten groei Les 1 Lineaire en exponentiele groei Definitie Lijn = LINEAIRE GROEI Algemene formule van een lijn : y =
Nadere informatieMeetkundige rijen. WISNET-HBO update aug. 2013
Meetkundige rijen WISNET-HBO update aug. 2013 1 Inleiding Een rij (sequentie) is een serie getallen achter elkaar opgeschreven met komma's ertussen. Ieder getal in zo'n rij noemen we een term. Het is gebruikelijk
Nadere informatieCombinatoriek groep 1 & 2: Recursie
Combinatoriek groep 1 & : Recursie Trainingsweek juni 008 Inleiding Bij een recursieve definitie van een rij wordt elke volgende term berekend uit de vorige. Een voorbeeld van zo n recursieve definitie
Nadere informatieEindexamen wiskunde A1-2 vwo 2006-II
Eindexamen wiskunde A- vwo 006-II 4 Beoordelingsmodel Zeep aangeven hoe de kans P(X < 90 = 93, =,4) met de GR kan worden berekend Deze kans is (ongeveer) 0,06 3 De gevraagde kans is 006, het antwoord (ongeveer)
Nadere informatieAntwoorden door K woorden 14 augustus keer beoordeeld. Wiskunde A. Supersize me. Opgave 1: leerstof: Formules met meer variabelen.
Antwoorden door K. 1901 woorden 14 augustus 2015 1 1 keer beoordeeld Vak Wiskunde A Supersize me Opgave 1: leerstof: Formules met meer variabelen. Formule energiebehoefte = =33,6 G 5000(kcal) = dagelijkse
Nadere informatieHet oplossen van vergelijkingen Voor het benaderen van oplossingen van vergelijkingen van de vorm F(x)=0 bespreken we een aantal methoden:
Hoofdstuk 4 Programmeren met de GR Toevoegen: een inleiding op het programmeren met de GR Hoofdstuk 5 - Numerieke methoden Numerieke wiskunde is een deelgebied van de wiskunde waarin algoritmes voor problemen
Nadere informatie1.1 Rekenen met letters [1]
1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieEindexamen wiskunde A1 vwo 2001-I
Eindexamen wiskunde A vwo 00-I 4 Antwoordmodel Opgave Contradansen Er zijn mogelijkheden voor elke maat Er zijn dus 8 mogelijke volgordes de conclusie: ja, de bewering is waar Er moet driemaal 5 worden
Nadere informatieExponentiële formules
Exponentiële formules Groeifactor Bij exponentiële formules is het heel belangrijk dat je een groeifactor kan uitrekenen. De groeifactor is een getal dat aangeeft hoeveel keer zo groot iets wordt. Je berekent
Nadere informatieDiscrete Dynamische Modellen
Discrete Dynamische Modellen Nieuwe wiskunde tweede fase Profiel C&M en E&M Freudenthal instituut Discrete Dynamische Modellen Project: Wiskunde voor de tweede fase Profiel: C&M en E&M Domein: Discrete
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatie9.1 Recursieve en directe formules [1]
9.1 Recursieve en directe formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is een getallenrij. De getallen in de rij zijn de termen. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is
Nadere informatiede Wageningse Methode Beknopte gebruiksaanwijzing TI84 1
Algemene vaardigheden Veel knopjes hebben drie functies. De functie die op een knop... staat krijg je door er op de drukken. De blauwe functie die er boven een knop... staat krijg je met 2nd.... Zo zet
Nadere informatie7,7. Samenvatting door Manon 1834 woorden 3 mei keer beoordeeld. Wiskunde C theorie CE.
Samenvatting door Manon 1834 woorden 3 mei 2016 7,7 13 keer beoordeeld Vak Wiskunde Wiskunde C theorie CE. Permutaties: -Het aantal permutaties van drie dingen die je kiest uit acht dingen is: 8*7*6= 336.
Nadere informatieParagraaf 12.1 : Exponentiële groei
Hoofdstuk 12 Exponenten en logaritmen (V5 Wis A) Pagina 1 van 12 Paragraaf 12.1 : Exponentiële groei Les 1 Exponentiële functies Definitie Exponentiële functies Algemene formule : N = b g t waarbij b =
Nadere informatieExamen VWO - Compex. wiskunde A1,2
wiskunde A1,2 Examen VWO - Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 25 mei totale examentijd 3 uur 20 05 Vragen 14 tot en met 23 In dit deel staan de vragen waarbij de computer
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen ( 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatie4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]
4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats
Nadere informatie3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je
Nadere informatie14.0 Voorkennis. De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie.
14.0 Voorkennis De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie. Evenwichtsstand = (min + max)/2 = (-100 + 300)/2 = 100 Amplitude = max evenw.
Nadere informatieBeoordelingsmodel. Antwoorden VWO wa I. Deelscores. Meer neerslag
Beoordelingsmodel Antwoorden VWO wa 005-I Meer neerslag Maximumscore de opmerking dat de gemiddelde jaarlijkse neerslag in beide plaatsen gelijk is De standaardafwijking in Winterswijk is groter (en dus
Nadere informatie1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]
1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2
Nadere informatieWAARDOOR NEEMT DE VRAAG TOE OF AF?
VRAAG & AANBOD WAARDOOR NEEMT DE VRAAG TOE OF AF? De vraag naar een product kan bepaald worden door: Ø Een toe of afname van de bevolking Ø Een toe of afname van het inkomen Ø Een toe of afname behoeften
Nadere informatieHet opstellen van een lineaire formule.
Het opstellen van een lineaire formule. Gegeven is onderstaande lineaire grafiek (lijn b). Van deze grafiek willen wij de lineaire formule weten. Met deze formule kunnen we gaan rekenen. Je kan geen lineaire
Nadere informatieDe partitieformule van Euler
De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg
Nadere informatie2.1 Lineaire formules [1]
2.1 Lineaire formules [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte
Nadere informatieEindexamen wiskunde A1-2 vwo 2005-I
Eindexamen wiskunde A- vwo 005-I 4 Beoordelingsmodel Meer neerslag de opmerking dat de gemiddelde jaarlijkse neerslag in beide plaatsen gelijk is De standaardafwijking in Winterswijk is groter (en dus
Nadere informatieCompex wiskunde A1-2 vwo 2005-I
Zalm Wanneer van een vissoort te veel gevangen wordt, kan de populatie zich niet herstellen en valt er op den duur niets meer te vangen. Visserijbiologen streven dan ook naar een evenwichtssituatie waarbij
Nadere informatieMonitoraatssessie Wiskunde
Monitoraatssessie Wiskunde 1 Overzicht van de cursus Er zijn drie grote blokken, telkens voorafgegaan door de rekentechnieken die voor dat deel nodig zullen zijn. Exponentiële en logaritmische functies;
Nadere informatieEen overzicht van de factoren die de omvang van de gevraagde hoeveelheid van een artikel bepalen.
Praktische-opdracht door een scholier 3871 woorden 8 januari 2003 5,3 45 keer beoordeeld Vak Methode Economie Percent Opdracht 1: Een overzicht van de factoren die de omvang van de gevraagde hoeveelheid
Nadere informatieAntwoorden Wiskunde Hoofdstuk 4
Antwoorden Wiskunde Hoofdstuk 4 Antwoorden door een scholier 1784 woorden 25 juni 2004 3,4 117 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde Moderne wiskunde Opgave I-1 Zorg er eerst voor dat je goed begrijpt dat
Nadere informatieSamenvatting Moderne wiskunde - editie 8
Samenvatting door een scholier 2288 woorden 16 mei 2010 5.7 213 keer beoordeeld Vak Wiskunde Samenvatting Moderne wiskunde - editie 8 4 vmbo gemengd theoretisch H1 Grafieken en vergelijkingen Verbanden
Nadere informatie5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde.
5.0 Voorkennis Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen is eponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige
Nadere informatieCompex wiskunde A1-2 vwo 2004-I
KoersSprint In deze opgave gebruiken we enkele Excelbestanden. Het kan zijn dat de uitkomsten van de berekeningen in de bestanden iets verschillen van de exacte waarden door afrondingen. Verder kunnen
Nadere informatieVoor de beoordeling zijn de volgende passages van de artikelen 41, 41a en 42 van het Eindexamenbesluit van belang:
wiskunde A, Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel
Nadere informatieReflecties bij de invoering van TI-Nspire CAS op de Europese Scholen L.A.A. Blomme
Reflecties bij de invoering van TI-Nspire CAS op de Europese Scholen L.A.A. Blomme In 2010 is op de Europese Scholen het nieuwe wiskunde programma gestart. Een van de grote innovaties betreft het invoeren
Nadere informatieWiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden
Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en
Nadere informatie7 De getallenlijn = -1 = Nee = 0 = = = 7 -7 C. -2 a 1 b 4 = a b -77 = -10
B M De getallenlijn 0 + = = + = = Nee 0 0 = 9 = 0 6 = = 9 = 6 = 6 = = C a b a b 0 = 0 0 = 0 a b < 0 ; a b < 0 ; a > b ; b > a = = = = C Nee, hij loopt steeds maar verder. < x H x < x < x < x + + = x +
Nadere informatiePraktische opdracht Wiskunde A Formules
Praktische opdracht Wiskunde A Formules Praktische-opdracht door een scholier 2482 woorden 15 juni 2006 5,5 40 keer beoordeeld Vak Wiskunde A Inleiding Formules komen veel voor in de economie, wiskunde,
Nadere informatie3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatie10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:
10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld
Nadere informatieFactor = het getal waarmee je de oude hoeveelheid moet vermenigvuldigen om een nieuwe hoeveelheid te krijgen.
Samenvatting door een scholier 1569 woorden 23 juni 2017 5,8 6 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde Moderne wiskunde Wiskunde H1 t/m H5 Hoofdstuk 1 Factor = het getal waarmee je de oude hoeveelheid moet
Nadere informatieH9 Exponentiële verbanden
H9 Exponentiële verbanden Havo 5 wiskunde A Getal & Ruimte deel 3 PTA 1 Oefenmateriaal examens 2 Voorkennis Rekenen met procenten Formule van procentuele verandering Vermenigvuldigingsfactor Procent op
Nadere informatieEindexamen wiskunde A1 vwo 2001-II
Eindexamen wiskunde A vwo 00-II 4 Antwoordmodel Opgave Vakkenkeuze Maximumscore 47,9% van 49 = 6 meisjes doen economie 60,% van 44 = 07 jongens doen economie Het totaal van de percentages in de kolom meisjes
Nadere informatieWiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden
Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en
Nadere informatie11.0 Voorkennis V
11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix
Nadere informatie7.1 Recursieve formules [1]
7.1 Recursieve formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is ee getallerij. De getalle i de rij zij de terme. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is de vijfde term (u
Nadere informatieexponentiële standaardfunctie
9.0 Voorkennis In de grafiek is de eponentiële standaardfunctie f() = getekend; D f = R, B f = (0, ) met de -as als asymptoot (Dit volgt uit: lim 0 ); Elke functie g met g > heeft deze vorm; Voor g > is
Nadere informatieNu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen
Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Ter inleiding: tellen Turven, maar: onhandig bij grote aantallen. Romeinse cijfers: speciale symbolen voor
Nadere informatie2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2
.0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)
Nadere informatieSamenvatting Economie Module 3 Hoofdstuk 1
Samenvatting Economie Module 3 Hoofdstuk 1 Samenvatting door een scholier 2339 woorden 8 maart 2004 4,9 19 keer beoordeeld Vak Methode Economie ViaDELTA Economie - Module 3 - Hoofdstuk 1: Markten Vraag
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde Samenvatting en stappenplan van hfst. 7 en 8
Samenvatting Wiskunde Samenvatting en stappenplan van hfst. 7 en 8 Samenvatting door N. 1410 woorden 6 januari 2013 5,4 13 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde Getal en Ruimte 7.1 toenamediagrammen Interval
Nadere informatie1 Rekenen met gehele getallen
1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9
Nadere informatieParagraaf 5.1 : Wortelvormen en Breuken
Hoofdstuk 5 Machten en Eponenten (V Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 5.1 : Wortelvormen en Breuken Les 1 : Wortelformules, Domein en Bereik Definities Domein = { alle -en die je mag invullen in de formule
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieKerstvakantiecursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO kan niet korter
Voorbereidende opgaven VWO Kerstvakantiecursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde Hoofdstuk 1 & 2 wisb
Samenvatting Wiskunde Hoofdstuk 1 & 2 wisb Samenvatting door J. 803 woorden 7 maart 2015 4,6 6 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde Getal en Ruimte Wiskunde Hoofdstuk 1 1 Lineaire verbanden Lineaire formule.
Nadere informatieBegeleid Zelfstandig Leren (BZL)
Begeleid Zelfstandig Leren (BZL) De Beaalde Integraal - Riemannsommen 1 Rijvariabelen u en v van het grafisch rekentoestel.... 1.1 Rijen.... 1. Odracht 1... 1.3 Rekentoestel... 3 1.4 Odracht... 4 1.5 Odracht
Nadere informatieDEC SDR DSP project 2017 (2)
DEC SDR DSP project 2017 (2) Inhoud: DSP software en rekenen Effect van type getallen (integer, float) Fundamenten onder DSP Lezen van eenvoudige DSP formules x[n] Lineariteit ( x functie y dus k maal
Nadere informatie1.1 Lineaire vergelijkingen [1]
1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg
Nadere informatieVoor de beoordeling zijn de volgende passages van de artikelen 41, 41a en 42 van het Eindexamenbesluit van belang:
wiskunde A, Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel
Nadere informatiefx-9860gii Toenames, veranderingen, hellingen e.d.
Toenames, veranderingen, hellingen e.d. toenamediagram van reeks (meet) gegevens Het is zaak eerst de gegevens in te voeren in de GR. Dat kan met het STAT-menu (MENU 2) Het is daarbij handig om met een
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus. Rekenregels voor vereenvoudigen ( ) = = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = ( )
Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in één van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan uit tot
Nadere informatieWiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden
Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en
Nadere informatie4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij.
3x4 y26 4x y3 4.0 Voorkennis [1] Voorbeeld 1 (Elimineren door substitutie): Los op: Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij. 4x y = 3 y = 4x 3 Stap 2: Vul de vrijgemaakte variabele
Nadere informatieOm het startgetal te vinden vul je een punt van de lijn in, bijvoorbeeld (2, 8). Dan: 8= dus startgetal 12.
Blok Vaardigheden bladzijde 8 a l gaat door (0, 8) dus startgetal 8 l gaat door (0, 8) en (8, ), dus 8 naar rechts en omlaag ofwel naar rechts en 0, omlaag. Het hellingsgetal is dan 0, b y- 0, x 8 c Evenwijdig
Nadere informatieHoe maak je nu van breuken procenten? Voorbeeld: Opgave: hoeveel procent van de onderstaande tekening is zwart gekleurd?
Procenten Zoals op de basisschool is aangeleerd kunnen we een taart verdelen in een aantal stukken. Hierbij krijgen we een breuk. We kunnen ditzelfde stuk taart ook aangegeven als een percentage. Procenten:
Nadere informatieHoofdstuk 3 - Transformaties
Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 V-a f () = g () = sin h () = k () = log m () = n () = p () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D
Nadere informatieHoofdstuk 11 - formules en vergelijkingen. HAVO wiskunde A hoofdstuk 11
Hoofdstuk - formules en vergelijkingen HAVO wiskunde A hoofdstuk 0 voorkennis Soorten van stijgen en dalen Je ziet hier de verschillende soorten van stijgen en dalen Voorbeeld Gegegeven is de de formule:
Nadere informatie7,5. Samenvatting door een scholier 1439 woorden 13 mei keer beoordeeld. Inhoudsopgave
Samenvatting door een scholier 1439 woorden 13 mei 2004 7,5 91 keer beoordeeld Vak Wiskunde Inhoudsopgave Lineair Interpoleren Pagina 02 Breuken en Decimalen Pagina 02 Werken met percentages Pagina 03
Nadere informatieParagraaf 1.1 : Lineaire verbanden
Hoofdstuk 1 Formules, grafieken en vergelijkingen (H4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Les 1 Lineaire verbanden Definitie lijn Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = richtingscoëfficiënt
Nadere informatieMETACOGNITIEVE VRAGEN-kaart V4WA MW 10 H3: Telproblemen
METACOGNITIEVE VRAGEN-kaart V4WA MW 10 H3: Telproblemen Beschrijf in eigen woorden: Waar gaat de opdracht over? Welke signaalwoorden staan in de tekst? Wijst een signaalwoord naar een strategie? Welke
Nadere informatie2.0 Voorkennis (64 36) Haakjes (Stap 1) Volgorde bij berekeningen:
Volgorde bij berekeningen: Voorbeeld : 2.0 Voorkennis 1) Haakjes wegwerken 2) Wortels en kwadraten wegwerken 3) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 4) Optellen en aftrekken van links naar rechts
Nadere informatiehandleiding formules
handleiding formules inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de grote lijn 3 bespreking per paragraaf 4 applets 4 1 rekenen en formules 4 2 formules maken 4 3 de distributiewet 5 4 onderzoek 5 tijdpad 6 materialen
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-a Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 f () = g () = sin h() = k () = log p () = m () = n () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k
Nadere informatie