Statistische aspecten van lozingseisen. Icastat. Statistisch Adviesbureau

Transcriptie

1 Statistische aspecte va lozigseise Icastat Statistisch Adviesbureau mei 003

2 Statistische aspecte va lozigseise Opdrachtgever: RIZA / CIW-4 Auteur: drs. Paul K. Baggelaar mei 003 Icastat Statistisch Adviesbureau Niagara JP AMSTELVEEN Tel.: paulbagg@plaet.l

3 INHOUD SAMENVATTING INLEIDING PROBLEEMSTELLING OVER DIT RAPPORT... 6 VASTSTELLEN LOZINGSKENMERKEN TE VERSTREKKEN MEETWAARDEN WAT ZIJN DE RELEVANTE KENMERKEN VAN HET LOZINGSPROCES? Ideale situatie: ee ormaal verdeeld proces, zoder autocorrelatie of seizoeseffect Precisie va het geschatte gemiddelde De praktijk is echter zelde zo ideaal VASTSTELLEN KANSVERDELING VAN HET PROCES Visueel beoordele kasverdelig Toetse op kasverdelig Trasformatie-mogelijkhede VASTSTELLEN AUTOCORRELATIE VAN HET PROCES Visueel beoordele op autocorrelatie Toetse op autocorrelatie Precisie va het geschatte gemiddelde bij autocorrelatie Verkleie of omzeile va autocorrelatie VASTSTELLEN SEIZOENSMATIG LOZINGSPROCES Visueel beoordele op seizoesmatig lozigsproces Toetse op seizoesmatig lozigsproces PASSEN DE LOZINGSKENMERKEN BIJ DE HAALBARE EFFLUENTCONCENTRATIE? SAMENVATTING VAN HET VASTSTELLEN VAN DE LOZINGSKENMERKEN FORMULEREN LOZINGSEISEN SOORTEN VAN NORMEN Statistische orme Norme voor gebruikelijke, beheerste procesvoerig Voorstel: toleratielimiet als lozigseis MOGELIJKE LOZINGSEISEN VOOR MOMENTAAN GEDRAG Normale kasverdelig, gee autocorrelatie Normale kasverdelig, autocorrelatie Niet-ormale kasverdelig, gee autocorrelatie Niet-ormale kasverdelig, autocorrelatie MOGELIJKE LOZINGSEISEN VOOR GEMIDDELD GEDRAG Normale kasverdelig, gee autocorrelatie Normale kasverdelig, autocorrelatie VERTALEN LOZINGSEIS NAAR ANDER MONSTERTYPE REKENING HOUDEN MET MILIEURELEVANTIE VAN PARAMETERS SAMENVATTING VAN HET FORMULEREN VAN LOZINGSEISEN BENUTTEN VAN RELATIES TUSSEN PARAMETERS VASTSTELLEN RELATIES TUSSEN PARAMETERS De lieare, of Pearso-correlatiecoёfficiёt De Spearma-ragcorrelatiecoёfficiёt VOORSPELLEN VAN NIET-BEMETEN PARAMETER MET BEMETEN PARAMETER CRITERIUM VOOR DE RELATIE TUSSEN TWEE PARAMETERS SAMENVATTING VAN HET BENUTTEN VAN RELATIES TUSSEN PARAMETERS FORMULEREN LOZINGSEISEN VOOR VRACHTEN SCHATTEN VAN JAARVRACHT MOGELIJKHEDEN VOOR WAT BETREFT LOZINGSEISEN VOOR JAARVRACHTEN SAMENVATTING VAN LOZINGSEISEN VOOR VRACHTEN Icastat 1 mei 003

4 6 SIGNALEREN EN BEHANDELEN VAN UITSCHIETERS SIGNALEREN VAN UITSCHIETERS SAMENVATTING VAN HET SIGNALEREN EN BEHANDELEN VAN UITSCHIETERS OMGAAN MET GECENSUREERDE MEETWAARDEN BESTE OPLOSSING: HEF DE CENSUUR DOOR HET LABORATORIUM OP SUBOPTIMALE OPLOSSINGEN VOOR OMGANG MET GECENSUREERDE WAARDEN VERVANGEN VAN AFZONDERLIJKE GECENSUREERDE WAARDEN VERVANGEN VAN EEN GROEP GECENSUREERDE WAARDEN Log-waarschijlijkheids-regressiemethode Methode va de uiforme verdelig Allee voor schatte gemiddelde of mediaa: DG90-methode SAMENVATTING VAN HET OMGAAN MET GECENSUREERDE WAARDEN HOE VERDER? LITERATUURVERWIJZINGEN BIJLAGE VERKLARING VAN EEN AANTAL STATISTISCHE TERMEN Icastat mei 003

5 Samevattig De CIW-4 projectgroep Lozigseise WVO-verguige heeft als doelstellig te kome tot aabevelige voor eeduidige, zo mogelijk uiforme, hadhaafbare e aleefbare lozigseise i WVO-verguigvoorschrifte. Dit rapport geeft ee beeld va de mogelijkhede die de statistiek daarbij ka biede. Het is bedoeld als ee stap aar ee procedure voor het opstelle va het geweste soort lozigseise. Vaststelle va de lozigskemerke Ee lozigseis die rekeig houdt met de kemerke va de lozig oder de gebruikelijke, beheerste procesvoerig, is aleefbaar door het betreffede bedrijf als het die procesvoerig hadhaaft. Ee dergelijke aleefbare lozigseis is het eevoudigst op te stelle als de meetwaarde afkomstig zij uit ee ormale kasverdelig e gee autocorrelatie vertoe. Maar de praktijk leert dat lozige doorgaas éé of meer va de volgede complicerede kemerke vertoe: (1) meetwaarde die afkomstig uit ee iet-ormale kasverdelig, () autocorrelatie (wat tot uitig ka kome i ee wadeled gemiddelde) e (3) seizoeseffecte of periodiciteit. De klassieke statistische methode zij iet zodermeer toepasbaar op meetreekse met dergelijke complicerede kemerke. Het is dus odig om vast te stelle i hoeverre hier sprake va is, zodat daar vervolges bij het opstelle va de lozigseise rekeig mee ka worde gehoude. Dit rapport geeft zowel visuele methode (beoordelig va grafieke), als formele methode (statistische toetse) om de kemerke va ee lozigsproces vast te stelle. Ook worde methode gepreseteerd om complicerede kemerke te vermidere. Zo is het vaak mogelijk om door middel va ee eevoudige rekekudige trasformatie va de meetwaarde te bewerkstellige dat tóch mag worde uitgegaa va de ormale kasverdelig. E als de autocorrelatie va ee lozigsproces iet te groot is e er voldoede meetwaarde beschikbaar zij (mistes 50), is het mogelijk om daarvoor te corrigere, aders ka de autocorrelatie worde verkleid of omzeild, door het weglate va meetwaarde, middele e/of differetiёre. Teslotte ka het differetiёre ook uitkomst biede om seizoeseffecte of periodiciteit op te heffe. Het is overiges raadzaam het lozede bedrijf te verplichte om bij de aavraag voor de verguig aa te geve welke verstrekte meetwaarde represetatief zij voor de gebruikelijke, beheerste procesvoerig. Teves diet het bedrijf daarbij voor elke verstrekte uitschietede meetwaarde aa te toe of te beargumetere dat deze og de gebruikelijke, beheerste situatie vertegewoordigt. Dit zal de beheerder veel werk bespare e leidt tot beter uitgagsmateriaal. Het is ook raadzaam te eise dat het bedrijf ee bepaalde miimale hoeveelheid iformatie verstrekt bij de aavraag voor de verguig. Gezie de grote autocorrelaties die op kue trede,kue we hierbij deke aa meetwaarde over ee periode va twee jaar. Maar als ka worde aagetood of beargumeteerd dat er auwelijks autocorrelatie optreedt, zou kue worde volstaa met iformatie over ee kortere periode. Formulere va lozigseise Ee geschikte aleefbare lozigseis is de toleratielimiet, zijde de gres waarva we met ee bepaalde betrouwbaarheid moge verwachte dat die hooguit door ee bepaald percetage ieuwe meetwaarde (of gemiddelde va meetwaarde) wordt overschrede, mits de procesvoerig ormaal e beheerst blijft. Als het percetage overschrijdig meer bedraagt, moge we met dezelfde betrouwbaarheid aaeme dat er iet meer sprake is va de gebruikelijke, beheerste procesvoerig. Ee toleratielimiet wordt bereked uit historische meetwaarde e de berekeigswijze hagt af va de kasverdelig va het proces e va het al of iet optrede va autocorrelatie. De ozekerhede te gevolge va Icastat 3 mei 003

6 bemosterigs- e aalysefoute e de steekproeffout zij reeds i de toleratielimiet verdiscoteerd. Dit rapport geeft voor verschillede combiaties va kasverdelig e autocorrelatie aa hoe de toleratielimiet ka worde bereked. Als ka worde uitgegaa va ee ormale kasverdelig, ka zelfs ee toleratielimiet worde bereked met ee verwaarloosbare overschrijdigskas, zoals 1/ Deze ka da worde gehateerd als ee lozigseis die iet overschrede mag worde. Als íet ka worde uitgegaa va ee ormale kasverdelig, zij er mistes oafhakelijke meetwaarde odig om ee dergelijke toleratielimiet te kue berekee. Om ee lozigseis die is afgeleid voor ee bepaald mostertype (zoals dagverzamelmosters, of steekmosters) te kue omzette aar ee die va ee ader mostertype, diet er ee vertaalslag plaats te vide, op basis va beschikbare parallelle meetwaarde, ee speciale proefopzet of beredeerig. Daarbij diet ook rekeig te worde gehoude met ee evetuele autocorrelatie. Als we het risico op het iet-sigalere va ormoverschrijdige voor parameters met ee grotere milieurelevatie meer wille beperke, da diet voor die parameters ee hogere meetfrequetie te worde opgelegd. Eige voorzichtigheid is gebode als we ee hogere meetfrequetie wille oplegge da die va de historische meetwaarde waarmee de kemerke va hu kasverdelig zij vastgesteld. Er is amelijk gee objectieve methode voorhade om de autocorrelatiestructuur die is gecostateerd voor ee bepaalde meetfrequetie te vertale aar die va ee hogere meetfrequetie. Beutte va relaties tusse parameters Als twee parameters ee voldoede sterke relatie vertoe, ka dit worde gebruikt om de meetispaig te vermidere. De relatie diet daartoe te worde uitgedrukt i ee lieair regressiemodel e de daaruit volgede bovegres va het iterval dat met 95% betrouwbaarheid de meetwaarde va de ee parameter (Y) zal bevatte, gegeve de meetwaarde va de adere parameter (X). De berekeig va de bovegres diet rekeig te houde met de kasverdelig e de autocorrelatie va de modelresiduё. Als voor ee ieuwe meetwaarde va X de bovegres oder de lozigseis voor Y blijft, gaa we er va uit dat er gee overschrijdig plaatsvidt, aders diet Y alsog te worde geaalyseerd i het betreffede moster. Ee eerste selectie va gerelateerde parameters ka worde uitgevoerd aa de had va correlatiecoёfficiёte. Vervolges diet te worde vastgesteld of de bovegres iet te vaak bove de lozigseis uitkomt. Lozigseise voor vrachte Voor het formulere va aleefbare lozigseise voor mometae vrachte e voor gemiddelde vrachte over ee korte periode, ka i pricipe dezelfde aapak worde gehateerd als voor cocetraties, amelijk voortbordure op het izicht i de kasverdelig va de meetwaarde oder gebruikelijke, beheerste procesvoerig. Voor jaarvrachte is deze aapak echter iet geschikt, doordat er doorgaas te weiig historische jaarvrachte beschikbaar zij. Om toch tot ee soort lozigseis te kue kome, moet worde oderzocht of er ee haalbare jaarvracht ka worde afgeleid uit de haalbare effluetcocetratie e ee haalbaar debiet. De auwkeurigste methode om jaarvrachte te schatte zij de directe methode e de gewoge cocetratiemethode. Sigalere e behadele va uitschieters Het opschoe va ee meetreeks vergt detailkeis va de lozig e het is derhalve raadzaam dit te late uitvoere door het lozede bedrijf. Evezo is het raadzaam om het bedrijf voor verstrekte uitschieters te late aatoe of beargumetere dat deze represe- Icastat 4 mei 003

7 tatief zij voor de ormale beheerste procesvoerig. Ee meetwaarde ka worde beschouwd als uitschieter, als zij absolute gestudetiseerde afwijkig groter is da 3. Omgaa met waarde gerapporteerd als kleier da aalysegres Als de statistische aalyse va ee meetreeks wordt belemmerd door gecesureerde waarde, is de beste oplossig om het laboratorium te vrage alsog de ogecesureerde meetwaarde te verstrekke. Als dat iet mogelijk is, diet ee beaderigsmethode te worde gehateerd die aasluit op het soort statistische aalyse. I dit rapport worde ekele geschikte methode gepreseteerd. Voor het vaststelle va autocorrelatie i ee meetreeks e het vaststelle va relaties tusse parameters kue de gecesureerde waarde het best worde vervage met de DG90-methode. Voor adere statistische aalyses komt de log-waarschijlijkheids-regressiemethode het meest i aamerkig. Icastat 5 mei 003

8 1 Ileidig 1.1 Probleemstellig De CIW-4 projectgroep Lozigseise WVO-verguige heeft als doelstellig te kome tot aabevelige voor eeduidige, zo mogelijk uiforme, hadhaafbare e aleefbare lozigseise i WVO-verguigvoorschrifte. Daartoe heeft zij odermeer behoefte aa ee beeld va de mogelijkhede die de statistiek daarbij ka biede e heeft daarom aa Icastat verzocht atwoorde te formulere op de volgede vrage: (1) Hoe kue de relevate kemerke va de lozig voldoede auwkeurig worde vastgesteld? () Hoe moete lozigseise worde geformuleerd, opdat deze aleefbaar zij? (3) Hoe ka worde vastgesteld of verschillede parameters voldoede zij gerelateerd om er éé te late vervalle uit het meetprogramma? (4) Hoe moete lozigseise voor vrachte worde geformuleerd? (5) Hoe moet je omgaa met extreme i meetreekse bij het opstelle va lozigseise? 1. Over dit rapport Dit rapport geeft atwoorde op de bovevermelde vrage, met oderbouwig. Het beschrijft og slechts de mogelijkhede die de statistiek ka biede om te kome tot eeduidige, zo mogelijk uiforme, hadhaafbare e aleefbare lozigseise. Dit diet ter odersteuig va de discussie bie de projectgroep, die uiteidelijk zal moete leide tot ee uitgewerkte e - bij voorkeur - gebruiksvriedelijke procedure voor het opstelle va het geweste soort lozigseise. Dit rapport bevat al wel veel fragmete die geschikt zulle zij voor die procedure, maar ze zulle eerst og gecocretiseerd e vervolges op ee logische wijze verbode moete worde, opdat ook de geweste eeduidigheid e uiformiteit worde bewerkstelligd. Verder zulle er og verschillede keuze moete worde gemaakt e zulle er og otbrekede oderdele uitgewerkt moete worde om tot de geweste procedure te kue kome. Leeswijzer Na deze ileidig worde i de hoofdstukke t/m 6 atwoorde geformuleerd op de vijf bovevermelde vrage. I hoofdstuk 7 wordt apart igegaa op het probleem va de gecesureerde waarde e worde daar oplossige voor aagedrage. Hoofdstuk 8 oemt de vervolgstappe die odig zij om tot ee softwarematige procedure voor het opstelle va lozigseise te kome. Dit rapport sluit af met de alfabetisch geragschikte lijst va de literatuur waaraar i de tekst is verweze. De bijlage bevat ee verklarig va ekele statistische terme die i het rapport worde gebruikt. Voor de eeduidigheid bevat het rapport oodzakelijkerwijs veel statistische formules, waardoor het voor ee iet-igewijde op het eerste gezicht otoegakelijk ka lijke. Ik heb echter getracht het geheel zo te verwoorde, dat het voor de begripsvormig iet odig is om de formules te doorgrode. Ik hoop dat ik daari be geslaagd. Kwaliteitsborgig De kwaliteit va dit rapport is geborgd door ir. Joha Th. Groeou, wiskudig statisticus. Hij heeft ruim 0 jaar ervarig met statistisch oderzoek bij Kiwa NV, oderzoeksistituut op het gebied va water. Icastat 6 mei 003

9 Vaststelle lozigskemerke Bij de aavraag va ee verguig diet het bedrijf de verguigverleer va alle relevate parameters meetwaarde te verstrekke waarmee de kemerke va de lozig bij de gebruikelijke, beheerste procesvoerig kue worde vastgesteld. De verguigverleer ka daarmee da per parameter vaststelle of de lozigskemerke passe bij de haalbare effluetcocetratie. Als dat iet het geval is, ka ee saerigsoderzoek worde opgelegd. Maar als de lozigskemerke wél passe bij de haalbare effluetcocetratie, ka per parameter ee lozigseis worde opgesteld die rekeig houdt met die lozigskemerke e daardoor aleefbaar is. Als er sprake is va ee seizoesmatig lozigspatroo, diet daarmee uiteraard ook rekeig te worde gehoude, bijvoorbeeld door lozigseise op te stelle voor afzoderlijke deelfase. I het u volgede wordt aagegeve hoe relevate lozigskemerke kue worde vastgesteld uit verstrekte meetwaarde. Vervolges wordt aagegeve hoe ka worde vastgesteld of de lozigskemerke passe bij de haalbare effluetcocetratie. Dit hoofdstuk sluit af met ee korte samevattig. I het volgede hoofdstuk zulle da ekele mogelijkhede worde gepreseteerd om aleefbare lozigseise op te stelle..1 Te verstrekke meetwaarde Ee aleefbare lozigseis diet voldoede rekeig te houde met de kemerke va de meetwaarde bij de gebruikelijke, beheerste procesvoerig. Het bedrijf diet de beheerder daarom voldoede iformatie te verschaffe die represetatief is voor de situatie waar de verguig voor diet te gelde. Meetwaarde die fout zij, of die zij verkrege tijdes ogewoe voorvalle moete dus reeds door het bedrijf zij gemarkeerd, ogeacht of het ee voorval betreft dat is voorzie, zoals oderhoud, of ee voorval dat iet is voorzie, zoals ee calamiteit. Om te voorkome dat de beheerder wordt opgezadeld met de opschoig va de meetwaarde, die zeer arbeidsitesief ka zij e zoder detailkeis va de lozig ook auwelijks te objectivere valt, is het teves raadzaam het bedrijf te verplichte om voor elke uitschietede meetwaarde aa te toe of te beargumetere dat deze og de gebruikelijke, beheerste situatie vertegewoordigt (zie ook hoofdstuk 6). Ekele voorbeelde va de probleme waarmee ee beheerder ka worde opgezadeld als deze slechts ruwe gegeves va ee bedrijf otvagt, kue worde geïllustreerd aa de had va figuur.1. Het betreft twee meetreekse va ee bepaald lozigsproces, amelijk va dagverzamelmosters e va steekmosters va CZV, zoals verzameld over ee periode va meer da drie jaar. Bij beschouwig va figuur.1 is de eerste vraag die zich aadiet of hier wel over de hele periode sprake is va hetzelfde proces. Het gemiddelde vertoot amelijk ee grootschalige golfbewegig, het is bijvoorbeeld laag i de eerste helft va 001 e daara weer duidelijk hoger. Welk deel va de reeks moet hier da worde geaalyseerd om iets over de kasverdelig va de meetwaarde oder beheerste codities te kue zegge e daaruit vervolges ee lozigseis af te leide? Of is het geleidelijk fluctuere va het gemiddelde hier overmijdelijk bij ee beheerste procesvoerig? Verder zal de uitschieter i april 1999 vrijwel zeker ee meetfout of ee obeheerste situatie betreffe, maar wat heeft bijvoorbeeld de series extreme meetwaarde i het voorjaar va 001 veroorzaakt? E hoe komt het dat er tot begi 00 zoveel steekmosters zij geome juist op dage dat het CZV laag was? De steekmosters oderschatte het gemiddelde daardoor sterk. Dit zij veel vrage die ader oderzoek verge e waarover cotact moet worde opgeome met het lozede bedrijf. Icastat 7 mei 003

10 Figuur :1: Voorbeeld va ruwe meetreekse va dagverzamelmosters e steekmosters va CZV. CZV (mg/l) fout? CZV - bedrijf B Dagmoster Steekmoster Eis dagmoster ? 0 1-ja-99 1-mei-99 9-aug-99 7-dec-99 5-apr-00 3-aug-00 1-dec-00 0-apr aug dec apr-0 13-aug-0 11-dec-0 10-apr-03 Ee beheerst proces is og gee garatie voor ee stabiel gemiddelde Uit avraag bleek, dat met uitzoderig va de extreme waarde i april 1999 e de ulwaarde i augustus 001, alle meetwaarde represetatief zij voor de gebruikelijke, beheerste procesvoerig. Blijkbaar vertoot het proces ee bepaalde traagheid, waardoor het gemiddelde ee golfbewegig vertoot. Opeevolgede meetwaarde kome da doorgaas uit hetzelfde segmet va de kasverdelig, wat me aaduidt als autocorrelatie. Er zij i ee dergelijk geval meetwaarde over ee zeer lage periode odig om de kasverdelig va álle mogelijke meetwaarde te kue keschetse. Meetwaarde die bijvoorbeeld slechts over ee periode va zes maade zij verkrege, zulle da ee sterke oderschattig oplevere va de totaal te verwachte spreidig.. Wat zij de relevate kemerke va het lozigsproces? Om tot ee aleefbare lozigseis voor ee bepaalde parameter te kue kome diet de beheerder ee beeld te hebbe va álle mogelijke meetreekse va die parameter die bij de gebruikelijke, beheerste procesvoerig hore (e die dus ook i de toekomst verwacht moge worde). Deze (oeidige) verzamelig va meetreekse oeme we het proces...1 Ideale situatie: ee ormaal verdeeld proces, zoder autocorrelatie of seizoeseffect I het ideale geval dat de meetwaarde va het proces opgevat kue worde als aselecte trekkige uit dezelfde ormale kasverdelig, kue we volstaa om het (rekekudig) gemiddelde e de stadaardafwijkig te schatte, om vervolges kasuitsprake te kue doe over toekomstige meetwaarde va het proces e daaruit lozigseise af te leide (zie hiervoor hoofdstuk 3). Alle imiddels beschikbare theoretische keis va de ormale kasverdelig biedt os daarvoor immers voldoede basis. Het (rekekudig) gemiddelde (µ) e de stadaardafwijkig (σ) va het proces schatte we als respectievelijk: x = t= 1 x t e s = t= 1 ( x t x) 1 Icastat 8 mei 003

11 met x de schattig va µ, s de schattig va σ, x t de t-de va alle chroologisch geragschikte meetwaarde e het aatal meetwaarde. Met deze kegetalle ka vervolges bijvoorbeeld het 99,9-percetiel va het proces (x 0,999 ) 1 worde geschat, volges: xˆ 0,999 = x + z(0,999) s = x + 3, 09 s met z (0,999) het 99,9-percetiel va de stadaardormale verdelig... Precisie va het geschatte gemiddelde Als de meetwaarde va het proces opgevat kue worde als aselecte trekkige uit dezelfde ormale kasverdelig, kue we ook de precisie va het als bove geschatte procesgemiddelde aageve, uitgedrukt i zij 95%-betrouwbaarheidsiterval. Daartoe berekee we eerst de stadaardfout va het geschatte gemiddelde ( s x ) : s s x = E het 95%-betrouwbaarheidsiterval va het geschatte gemiddelde volgt da uit: [ x t( 0,975, 1) sx ; x + t(0,975, 1) sx ] met t (0,975, -1) het 97,5-percetiel va de Studet-t-verdelig bij -1 vrijheidsgrade e het aatal meetwaarde. Het is het iterval waarbie het werkelijke procesgemiddelde (µ) zich vast wel zal bevide, of formeler uitgedrukt, met ee betrouwbaarheid va 95%. Uit deze formulerige kue we ook berekee hoe groot oze steekproef moet zij om het procesgemiddelde met ee bepaalde vóóraf geweste precisie te kue schatte. Daarbij make we oderscheid tusse: (1) ee absolute precisie e () ee relatieve precisie. Ad (1) Stel dat we wese dat het verschil tusse oze schattig va het procesgemiddelde e het procesgemiddelde met grote zekerheid bie ee bepaalde absolute marge (d) ligt, oftewel: Kas[ x µ d] 95% Het aatal meetwaarde () dat daarvoor miimaal is beodigd is da: t(0,975, 1) σ = d met σ de stadaardafwijkig va het proces. Deze kue we beadere met zij schattig (s), maar als die op weiig meetwaarde is gebaseerd (< 40), moete we er rekeig mee houde dat de beaderig slecht ka zij. Let op dat de formule iteratief moet worde opgelost, doordat t (0,975, -1), ee deel va het rechterlid, afhagt va, de uitkomst va de formule. Ad () Stel dat we wese dat het verschil tusse oze schattig va het procesgemiddelde e het procesgemiddelde met grote zekerheid bie ee bepaalde relatieve marge (f) va het procesgemiddelde ligt, oftewel: Kas[ x µ f µ ] 95% Het aatal meetwaarde () dat daarvoor miimaal is beodigd is da: ( 0,975, 1) σ / µ f t = De verhoudig σ/µ kue we beadere met zij schattig x / s, maar ook hier geldt dat de beaderig slecht ka zij als die op weiig meetwaarde is gebaseerd (< 40). Ook deze formule moet iteratief worde opgelost. 1 Dit is de waarde die gemiddeld slechts 1 op de maal wordt overschrede. Icastat 9 mei 003

12 ..3 De praktijk is echter zelde zo ideaal We moete er echter ook rekeig mee houde dat lozigsprocesse i de praktijk iet voldoe aa deze ideale situatie, doordat: (1) de meetwaarde iet afkomstig zij uit ee ormale kasverdelig e/of () de meetreeks autocorrelatie vertoot e/of (3) de meetreeks seizoeseffecte of periodiciteit vertoot. Het ka i dergelijke gevalle aazielijk mider eevoudig zij om kasuitsprake te doe over toekomstige meetwaarde va het proces e daaruit lozigseise af te leide, zodat we goed oderscheid moete kue make tusse de verschillede situaties. Als de meetwaarde va het proces íet afkomstig zij uit ee ormale kasverdelig diet het 100 P-percetiel bijvoorbeeld iet meer geschat te worde zoals aagegeve i..1, maar als: x ˆ P = x[ P ( + 1)] met het aatal meetwaarde e x [P (+1)] de meetwaarde op positie P (+1) a ragschikkig va alle meetwaarde va klei aar groot, of, als P (+1) gee geheel getal is, de waarde die ostaat door lieaire iterpolatie tusse de twee aastliggede meetwaarde. Als P (+1) groter is da wordt het 100 P-percetiel geschat als x, oftewel als de maximale meetwaarde. Met weiig meetwaarde kue de hoge percetiele dus iet goed worde geschat. Ee eigszis betrouwbare schattig va het 99,9-percetiel zal bijvoorbeeld mistes meetwaarde verge. Als we daaretege wél kue uitgaa va ee ormale kasverdelig ka daarvoor worde volstaa met veel mider meetwaarde. I de volgede drie paragrafe wordt aagegeve hoe we kue vaststelle of sprake is va iet-ormaliteit, autocorrelatie of seizoeseffecte..3 Vaststelle kasverdelig va het proces Als we wete uit wat voor soort kasverdelig de meetwaarde va het proces afkomstig zij, da ka het beeld va alle mogelijke meetreekse die bij dat proces hore direct veel scherper worde gesteld. Er staat os da amelijk alle theoretische keis ter beschikkig over de eigeschappe va die kasverdelig. Er is vooral veel beked over de ormale kasverdelig e veel statistische methode zij daar da ook op gebaseerd (voorbeelde zij de t-toets, lieaire regressieaalyse e verschillede uitschietertoetse)..3.1 Visueel beoordele kasverdelig Ee geschikte mogelijkheid om het soort kasverdelig visueel te beoordele wordt gebode door het histogram. Dit toot het aatal meetwaarde dat i ee bepaalde grootteklasse valt, als fuctie va de grootte-klasse. Als voorbeeld is i figuur. (liks) het histogram weergegeve va de i figuur.1 getoode meetreeks va dagverzamelmosters, a opschoig. Het duidt op ee positief scheve kasverdelig, oftewel ee kasverdelig die scheef is aar rechts (de scheefheid bedraagt 0,75). Icastat 10 mei 003

13 Figuur.: Histogram (liks) e PP-plot (rechts) va de i figuur.1 getoode meetreeks va dagverzamelmosters, a opschoig. 00 CZV (mg/l) PP-plot CZV - bedrijf B ,0 540,0 500,0 460,0 40,0 380,0 340,0 300,0 60,0 0,0 180,0 140, Normaalscore Ee scherpere uitspraak over het voldoe aa ee ormale kasverdelig wordt gebode door ee visuele beoordelig va de PP-plot (percetiel-percetiel-plot). Daari is elke meetwaarde uitgezet tege de waarde va de stadaardormale verdelig waarva de oderschrijdigskas gelijk is aa de plotpositie va die meetwaarde (dit oemt me de ormaalscore). Als de meetwaarde afkomstig zij uit ee ormale kasverdelig, zulle de pute mi of meer ee rechte lij vorme. Er bestaa verschillede maiere om de plot-positie va ee meetwaarde te berekee. Ee voorbeeld is de Cuae-formule, die wordt aabevole door [Helsel ad Hirsch, 199]: i 0.4 p i = + 0. met p i de plotpositie va de i-de va de oploped geragschikte meetwaarde. Figuur. (rechts) toot de PP-plot va de beschouwde meetreeks. Deze bevat teves de lij die ee ormale kasverdelig aageeft, met gemiddelde e stadaardafwijkig zoals geschat uit de meetreeks. De lij gaat door het put [0 ; gemiddelde meetreeks] e zij hellig is gelijk aa de stadaardafwijkig va de meetreeks..3. Toetse op kasverdelig Ee objectief uitsluitsel over het al of iet voldoe aa ee ormale kasverdelig wordt verkrege door hierop statistisch te toetse, zoals met de Shapiro-Wilk-toets, of de Kolmogorow-Smirov-toets (met de correctie va Lilliefors). Maar het oderscheided vermoge is gerig als er weiig oafhakelijke meetwaarde zij, zoals mider da circa 50. Afwijkige va de getoetste kasverdelig kue da dus iet sel worde gedetecteerd. Om het oderscheided vermoge op te krikke wordt daarom wel aabevole te toetse met ee sigificatieiveau va 10% (de betrouwbaarheid bedraagt da 90%)..3.3 Trasformatie-mogelijkhede Om ee asymmetrische kasverdelig symmetrischer te krijge moete de meetwaarde i ee adere schaal worde uitgedrukt, wat eerkomt op het ikrimpe of het uitrekke va de X-as. De daarvoor beodigde trasformaties va de meetwaarde zij doorgaas va de vorm y=x θ, met y de getrasformeerde meetwaarde, x de oorsprokelijke meetwaarde e θ de trasformator. Welke trasformatie het meest geschikt is om symmetrie te De bijbehorede ormaalscore (z i ) ka bijvoorbeeld al eevoudig met MS-Excel worde bereked als z i = NORMSINVS(p i ). Icastat 11 mei 003

14 bewerkstellige, hagt af va de soort e de mate va scheefheid va de oorsprokelijke kasverdelig e vergt soms eig probere (zie tabel.1). Tabel.1: Aabevole trasformaties om symmetrie te bewerkstellige voor verschillede soorte kasverdelige (aagepast aar [Helsel ad Hirsch, 199]). scheefheid egatief 0 positief θ / 1/3 0-1/ trasformatie x 4 x 3 x x x x 1/3 log(x) -1/ x -1/x -1/x Toelichtig: de mi-tekes bij de iverse trasformaties diee om de oorsprokelijke ragschikkig va de meetwaarde te behoude. Als voorbeeld is de i figuur.1 getoode meetreeks va dagverzamelmosters, die a opschoig og duidde op ee positief scheve kasverdelig (zie figuur.), getrasformeerd, volges y = -x -1/5. Zoals blijkt uit figuur.3 duidt a deze trasformatie zowel het histogram als de PP-plot op ee kasverdelig die veel symmetrischer is (de scheefheid is teruggelope va 0,75 aar 0,01). Figuur.3: Histogram (liks) e PP-plot (rechts) va de i figuur.1 getoode meetreeks va dagverzamelmosters, a opschoig e trasformatie volges x -1/ CZV (mg/l) -0.0 PP-plot CZV (a trasformatie) - bedrijf B ,80 -,85 -,90 -,95 -,300 -,305 -,310 -,315 -,30 -,35 -,330 -,335 -,340 -,345 -,350 -,355 -,360 -,365 -,370 -, Normaalscore.4 Vaststelle autocorrelatie va het proces Als ee meetreeks kleie meetitervalle heeft e/of ee grootschalige structuur vertoot, zoals ee golfbewegig, of ee tred, kue de meetwaarde positieve autocorrelatie vertoe. Opeevolgede meetwaarde wijke da doorgaas mider va elkaar af da meetwaarde met ee groter tijdsverschil. Dit leidt tot ee oderschattig va de stadaardafwijkig va het proces, als we die op de gebruikelijke wijze berekee. De meetwaarde i de meetreeks zij da amelijk mider gespreid da verwacht zou moge worde va ee aselecte steekproef. Het is dus belagrijk om dit verschijsel te kue oderkee, zodat er vervolges op éé of adere wijze rekeig mee ka worde gehoude..4.1 Visueel beoordele op autocorrelatie Ee eerste visuele beoordelig of er sprake is va autocorrelatie is mogelijk met ee grafiek va de meetreeks. Zo zage we i figuur.1 al dat het gemiddelde ee golfbewegig Icastat 1 mei 003

15 vertoot, wat kemerked is voor ee sterke autocorrelatie. Dit beeld wordt og scherper als we de reeks opschoe e teves het voortschrijded 30-daags gemiddelde i de figuur aageve (zie figuur.4, liks). Als de meetreeks ee costat meetiterval heeft, kue we teves vaststelle of er sprake is va autocorrelatie met het autocorrelogram (zie figuur.4, rechts). Het toot de geschatte autocorrelatiecoёfficiёt ( ρˆ l ) als fuctie va het tijdsiterval tusse meetwaarde (l). Deze coёfficiёt is ee maat voor de samehag tusse meetwaarde die zij verkrege met ee tijdsiterval l e wordt geschat als [Box ad Jekis, 1976]: ˆρ l t t= 1 l = ( x x)( x t= 1 l t + l ( x x) met ρˆ l de schattig va de autocorrelatiecoёfficiёt voor tijdsiterval l, x de schattig va het procesgemiddelde, x t de t-de va de chroologisch geragschikte meetwaarde e het aatal meetwaarde. Over het algemee zij er mistes 50 meetwaarde odig om betrouwbare schattige va autocorrelatiecoёfficiёte te krijge voor de tijdsitervalle l = 1,,...,k, waarbij k iet groter moet zij da /4 ( is hier het aatal meetwaarde) [Gilbert, 1987]. x) Figuur.4: Liks: de eerder - i figuur.1 - getoode meetreeks va dagverzamelmosters va CZV, ditmaal echter a opschoig. Teves is het voorschrijded 30-daags gemiddelde weergegeve. Rechts: autocorrelogram va deze reeks, a trasformatie tot symmetrie (volges x -1/5 ). Het toot teves de bovegres va het 95% betrouwbaarheidsiterval va elke autocorrelatiecoёfficiёt, dat geldt oder de ulhypothese dat er gee autocorrelatie is (e uitgaade va ee ormale kasverdelig). CZV (mg/l) 750 CZV bedrijf B Correlatiecoefficiet 1.00 Autocorrelogram CZV (a trasformatie) - bedrijf B ja-99 1-mei-99 9-aug-99 7-dec-99 5-apr-00 3-aug-00 1-dec-00 0-apr aug dec apr-0 13-aug-0 11-dec-0 10-apr Tijdsiterval (dag) We zie i figuur.4 dat de autocorrelatie slechts lagzaam afeemt met het meetiterval e dat zelfs meetwaarde gescheide door ee groot tijdsiterval og steeds ee duidelijke autocorrelatie vertoe. Dit wijst op éé of adere grootschalige structuur va de meetreeks, zoals hier ee grote golfbewegig. Maar ook ee meetreeks die ee tred vertoot zal ee soortgelijk autocorrelogram oplevere. Overiges ka ee seizoesmatig lozigsproces ook te oderkee zij aa het autocorrelogram, bijvoorbeeld door hoge autocorrelaties rod ee meetiterval va ee jaar. Ee voorwaarde is da echter wel dat de meetreeks mistes ekele jare beslaat. Behalve met ee jaarcyclus, moete we bij lozigsprocesse ook rekeig houde met ee weekcyclus, wat bij dagelijkse metige tot uitig zal kome i hoge autocorrelaties voor tijdsitervalle va 7, 14, 1, etc. dage. Ee mogelijkheid om ee dergelijke autocorrelatie op te heffe is de meetwaarde per week te middele, zodat ee reeks va weekgemiddelde otstaat. Ee adere mogelijkheid is uit te gaa va de differeties va de meetwaarde die ee week uit elkaar ligge (zie hiervoor.4.4). Icastat 13 mei 003

16 .4. Toetse op autocorrelatie Als er ee objectief uitsluitsel is gewest over het al of iet optrede va autocorrelatie diet daarop statistisch te worde getoetst. I het oderstaade worde twee toetse besproke, de eerste gaat er va uit dat het proces ee ormale kasverdelig volgt e de tweede is verdeligsvrij. I beide gevalle diet de meetreeks ee costat meetiterval te hebbe. Toets i geval va ormale kasverdelig Als er gee autocorrelatie optreedt is elke (werkelijke) autocorrelatiecoёfficiёt va het proces ul (ρ l = 0) e erva uitgaade dat het proces ee ormale kasverdelig volgt zal de kasverdelig va ee geschatte autocorrelatiecoёfficiёt da bij beaderig ormaal zij, met gemiddelde 0 e stadaardafwijkig 1/. Het 95%-betrouwbaarheidsiterval va ee geschatte autocorrelatiecoёfficiёt is daarmee ±1,96 [Brockwell ad Davis, 1986]. I het autocorrelogram va figuur.4 is de bovegres va dat iterval aagegeve (het iterval is daar zo smal doordat elke autocorrelatiecoёfficiёt is bereked met 1131 meetwaarde). Toets i geval va iet-ormale kasverdelig Als we er iet va uit kue gaa dat het proces ee ormale kasverdelig volgt, ka worde getoetst op autocorrelatie met de rus-toets. Ee ru is daarbij ee aaeegeslote groep meetwaarde die alle aa dezelfde kat va de mediaa va de meetreeks ligge. De toetsigsgrootheid is het aatal rus (r). Als er gee autocorrelatie optreedt volgt de verwachtigswaarde va r uit: 1 E[ r] = e de variatie va r volgt da uit: 1 ( 1 1 ) Var[ r] = (1 + ) (1 + 1) met 1 het aatal meetwaarde bóve e het aatal meetwaarde óder de mediaa. Als éé va deze groter da 0 is, zal r oder de ulhypothese (géé autocorrelatie) ee ormale kasverdelig volge. E de gestadaardiseerde waarde va r (U r ) zal da ee stadaardormale verdelig volge: = Ur E[ r] r Var[ r] We moge aaeme dat de reeks positieve autocorrelatie vertoot als er mider rus zij da verwacht oder de ulhypothese. Dit is met 95% betrouwbaarheid het geval als voor U r geldt: U r > z( 0, 95) met z (0,95) het 95-percetiel va de stadaardormale verdelig. Als óch 1, óch groter is da 0, moete tabelle met kritische waarde voor U r worde gebruikt..4.3 Precisie va het geschatte gemiddelde bij autocorrelatie Zoals eerder opgemerkt, wordt bij positieve autocorrelatie de stadaardafwijkig va het proces oderschat als we de stadaardafwijkig op de gebruikelijke wijze berekee. Die berekeig gaat er amelijk va uit dat elk va de meetwaarde ieuwe, oafhakelijke iformatie verschaft over het proces, maar door de autocorrelatie zulle veel meetwaarde overlappede iformatie hebbe e beschikke we dus over mider iformatie da bij ee volledig aselecte steekproef. Dit beteket ook dat de stadaardfout va het geschatte procesgemiddelde wordt oderschat, oftewel dat de precisie va die schattig wordt overschat. Maar als we er va uit moge gaa dat de meetwaarde ormaal verdeeld zij e dat het lozigsproces zwak statioair is, dat wil zegge zoder grootschalige structuur Icastat 14 mei 003

17 (zoals ee golfbewegig, of ee lage-termij tred) e met spreidig e autocorrelaties die iet veradere i de tijd, da ka de berekede stadaardafwijkig als volgt worde gecorrigeerd [Gilbert, 1987]: s * s = l= 1 (( l) ρ ) met s* de gecorrigeerde stadaardafwijkig, s de stadaardafwijkig zoals bereked met de stadaardmethode, ρ l de autocorrelatiecoёfficiёt voor tijdsiterval l e het aatal meetwaarde. E de stadaardfout va het gemiddelde va ee zwak statioair proces wordt bij autocorrelatie als volgt geschat [Bayley ad Hammersley, 1946]: = + 1 s sx 1 (( l) ρ l ) l= 1 Op basis va deze laatste formule kue we ook berekee hoe groot oze steekproef moet zij om het procesgemiddelde met ee bepaalde vóóraf geweste precisie te kue schatte, als het proces autocorrelatie vertoot. Stel dat we wese dat het verschil tusse oze schattig va het procesgemiddelde e het procesgemiddelde met grote zekerheid bie ee bepaalde absolute marge (d) ligt, oftewel: Kas[ x µ d] 95% Het miimaal daarvoor beodigde aatal meetwaarde () is da [Gilbert, 1987]: = ( z (0,975) σ ) 8 d 1 ρ l 1 ρl l ρ l d l= 1 l= 1 ( z(0,975) σ ) l= 1 met z (0,975), het 97,5-percetiel va de stadaardormale verdelig e σ de stadaardafwijkig va het proces. Deze laatste kue we het beste beadere met zij voor autocorrelatie gecorrigeerde schattig (s*, zie bove). Maar als deze op weiig meetwaarde is gebaseerd (< 50), moete we er rekeig mee houde dat de beaderig slecht ka zij..4.4 Verkleie of omzeile va autocorrelatie Als autocorrelatie optreedt ka hiervoor worde gecorrigeerd, zoals bove beschreve (.4.3), maar om dat eigszis veratwoord te kue doe, zij iet allee veel meetwaarde odig (mistes 50), maar bovedie diet het betreffede proces zwak statioair te zij, wat bijvoorbeeld voor het i figuur.1 getoode proces iet opgaat. Adere mogelijkhede zij het verkleie of omzeile va de autocorrelatie, zoals door: (1) het omzette va ee reeks meetwaarde tot ee reeks met ee lagere meetfrequetie (weglate va tusseliggede meetwaarde); () het omzette va ee reeks meetwaarde tot ee reeks gemiddelde, zoals weekgemiddelde, of maadgemiddelde; (3) het omzette va ee reeks meetwaarde tot ee reeks differeties. Ee reeks differeties otstaat door de verschille te berekee tusse de meetwaarde die met ee bepaalde vaste meetfrequetie zij geome. Als we bijvoorbeeld beschikke over ee reeks va dagelijkse meetwaarde (x 1, x,..., x ), da otstaat ee reeks dagdiffereties als: dt = xt xt 1 voor t =,3,..., met d t de differetie voor tijdstip t, x t de meetwaarde voor tijdstip t e het aatal meetwaarde. Als de meetreeks ee wadeled gemiddelde heeft e ee sterke autocorrelatie, zal het differetiere iet allee leide tot ee reeks met ee stabieler gemiddelde - ee iet-statioaire reeks ka daardoor zwak statioair worde (zie figuur.5, liks) - maar ook tot ee sterke vermiderig va de autocorrelatie (zie figuur.5, rechts). l Icastat 15 mei 003

18 Figuur.5: Liks: de eerder i figuur.1- getoode meetreeks va dagverzamelmosters va CZV, ditmaal a opschoig e differetiatie. Teves is het voorschrijded 30-daags gemiddelde weergegeve. Rechts: autocorrelogram va de oorsprokelijke reeks, a opschoig, trasformatie tot symmetrie (volges x -1/5 ) e differetiatie. CZV (mg/l) 00 CZV bedrijf B - a differetiatie Correlatiecoefficiet 0.50 Autocorrelogram CZV (a trasformatie e differetiatie) - bedrijf B ja-99 1-mei-99 9-aug-99 7-dec-99 5-apr-00 3-aug-00 1-dec-00 0-apr aug dec apr-0 13-aug-0 11-dec-0 10-apr Tijdsiterval (dag) De oorsprokelijk zeer sterk positieve e ook auwelijks uitdempede autocorrelatie (figuur.4, rechts) is a het differetiёre gereduceerd tot allee ee egatieve correlatie met de differetie va ee stap terug (figuur.5, rechts). Twee opeevolgede differeties (d t-1 e d t ) hebbe amelijk altijd ee meetwaarde gemeeschappelijk (x t-1 ), zij het met tegegesteld teke, wat leidt tot ee egatieve correlatie: d t 1 = xt 1 xt e dt = xt xt 1 Het is a het differetiёre u zelfs ook mogelijk geworde de autocorrelatie geheel te omzeile, door uit de reeks differeties om e om ee waarde weg te late. Ee meetreeks die zeer sterke positieve autocorrelatie vertoot, met ee wadeled gemiddelde e met meetwaarde afkomtig uit ee scheve kasverdelig, is zo dus door differetiatie e trasformatie teruggebracht tot ee reeks zoder autocorrelatie, met ee stabiel gemiddelde e met waarde afkomstig uit ee symmetrische kasverdelig..5 Vaststelle seizoesmatig lozigsproces Als er sprake is va ee seizoesmatig (of periodiek) lozigsproces voor ee bepaalde parameter, diet daarmee uiteraard rekeig te worde gehoude, bijvoorbeeld door lozigseise op te stelle voor afzoderlijke deelfase. Ook ka worde getracht de reeks te otdoe va deze verschijsele door te differetiёre met ee geschikt tijdsiterval (zoals ee week of ee jaar). Het is aa te bevele om zoveel mogelijk vauit theoretisch izicht te beredeere of er al da iet sprake is va ee seizoesmatig lozigsproces. I geval va twijfel ka dit echter ook worde agegaa met de beschikbare meetwaarde va het proces..5.1 Visueel beoordele op seizoesmatig lozigsproces Ee eerste, globale visuele beoordelig of er sprake is va ee seizoesmatig lozigsproces is mogelijk met ee grafiek va de meetreeks, of met ee autocorrelogram. Ee scherper oordeel is echter mogelijk met ee vergelijkig va box-whisker-plots voor afzoderlijke seizoee. Als voorbeeld toot figuur.6 voor elk va de vier kwartale de box-whiskerplot va de maadgemiddelde chloridegehaltes va de Rij te Lobith. De kasverdelig va het maadgemiddelde chloridegehalte i het vierde kwartaal wijkt af va die i de adere kwartale. Icastat 16 mei 003

19 Toelichtig op de box-whisker-plots i figuur.6 Elke box-whisker-plot toot de posities va de belagrijkste percetiele va de kasverdelig va het maadgemiddelde chloridegehalte i dat seizoe. Het middedeel, de box (doos), loopt va het 5-percetiel aar het 75-percetiel, terwijl het 50-percetiel, oftewel de mediaa, is aagegeve als ee dikke streep i de box. De whiskers (sorhare) lope va de box aar uiteide va de kasverdelig, amelijk het 5-percetiel e het 95-percetiel. Extreme waaremige i de steekproef zij weergegeve als ee cirkel (de waaremig ligt 1,5 tot 3 maal de boxlegte vaaf de box), of als ee asterisk (de waaremig ligt verder da 3 maal de boxlegte vaaf de box). Figuur.6: Box-whisker-plots va de maadgemiddelde chloridegehaltes va de Rij te Lobith, i de periode jauari 1976 t/m december 000, weergegeve per kwartaal chloride (mg/l) N = Q1 Q Q3 Q4 Kwartaal.5. Toetse op seizoesmatig lozigsproces Als we objectief wille vaststelle of er sprake is va ee seizoesmatig lozigspatroo, staa de volgede statistische toetse ter beschikkig: (1) variatie-aalyse met éé factor, als ka worde uitgegaa va de ormale kasverdelig; () de Kruskall-Wallis-toets, als íet ka worde uitgegaa va de ormale kasverdelig. Beide toetse gaa uit va oafhakelijke waarde e kue dus iet zodermeer toegepast worde als de meetreeks autocorrelatie vertoot. I ee dergelijk geval zal bijvoorbeeld moete worde uitgegaa va gemiddelde over bepaalde tijdsvakke, zoals maade, of kwartale. De Kruskall-Walis-toets is op te vatte als het verdeligsvrije equivalet va variatieaalyse met éé factor. Deze toets is veratwoord toepasbaar, ogeacht het soort kasverdelig, mits de waarde oafhakelijk zij. Het verlies aa efficiёtie te opzichte va variatie-aalyse is slechts gerig, als de Kruskall-Wallis-toets wordt toegepast terwijl er tóch sprake is va ormaliteit [Bradley, 1968]. Vadaar dat wij hier voorstelle de Kruskall-Wallis-toets toe te passe als er moet worde getoetst op ee seizoesmatig lozigsproces. Bij het toepasse va de Kruskall-Wallis-toets gaa we uit va het volgede model: xij = µ + γ j + eij met x ij de waarde va het proces i jaar i (i=1...r) e seizoe j (j=1...s), µ het procesgemiddelde, γ j het effect va seizoe j e e ij het betreffede modelresidu. De te toetse ulhypothese (er zij gee seizoeseffecte) ka worde vertaald als: H 0 : γ 1 = γ =... = γ s Icastat 17 mei 003

20 E de alteratieve hypothese luidt dat het effect va mistes éé va de seizoee ogelijk is aa dat va de adere seizoee. De procedure voor de toets ket da de volgede stappe: (1) ragschik de waarde x ij va klei aar groot; () ke de waarde ragummers R ij toe (1..., waarbij =r s); (3) bereke de variatie va de ragummers, volges: r s ( + 1) [ 1 = s R R ij - ] -1 4 i=1 j=1 (4) bereke de toetsigsgrootheid T volges: s 1 R + j ( + 1) T = [ - ] s R j=1 r 4 met R +j de som va alle ragummers i seizoe j; (5) omdat T oder de ulhypothese ee χ²-verdelig zal volge met (s-1) vrijheidsgrade, ka worde aageome dat de meetreeks seizoeseffecte vertoot als geldt: T > χ( 1 α,s-1) met χ (1-α, s-1) het 100 (1-α)-percetiel va de χ -verdelig bij s-1 vrijheidsgrade (deze waarde is te vide i statistische tabelle)..6 Passe de lozigskemerke bij de haalbare effluetcocetratie? Het bedrijf diet bij de aavraag meetwaarde te verstrekke waarmee de kemerke va de lozig bij de gebruikelijke, beheerste procesvoerig kue worde vastgesteld. De verguigverleer zal vervolges agaa of de verstrekte meetwaarde aasluite op wat voor ee dergelijk bedrijf verwacht zou moge worde, gegeve de stad der techiek. Deze verwachtig is uitgedrukt i de haalbare effluetcocetratie, zijde de gemiddelde effluetcocetratie die volges de stad der techiek mogelijk is. Als de verstrekte meetwaarde iet aasluite op de haalbare effluetcocetratie, da zal het bedrijf moete aatoe waarom dat iet mogelijk is, of aders zal er ee saerigsoderzoek worde voorgeschreve. Doordat de haalbare effluetcocetratie gee keiharde gres is, maar slechts ee beredeeerde ramig, ka het afdoede worde geacht om visueel te beoordele of de lozigskemerke daarop aasluite. Daartoe ka worde uitgegaa va ee grafiek va de chroologisch geragschikte meetreeks, waari teves het voortschrijded gemiddelde is weergegeve (zie bijvoorbeeld het likerdeel va figuur.4). Als we i deze grafiek ook de haalbare effluetcocetratie aageve, wordt direct duidelijk hoe het voortschrijded gemiddelde zich over de gehele beschouwde periode heeft verhoude tot die haalbare effluetcocetratie. De grootte va het tijdsvester waarover het voortschrijded gemiddelde wordt bereked moet wel aasluite op de achtergrode va de haalbare effluetcocetratie. Als die laatste bijvoorbeeld betrekkig heeft op ee jaargemiddelde, diet het tijdsvester ee jaar te bedrage..7 Samevattig va het vaststelle va de lozigskemerke Ee lozigseis die rekeig houdt met de kemerke va de lozig oder de gebruikelijke, beheerste procesvoerig, is aleefbaar door het betreffede bedrijf als het die procesvoerig hadhaaft. Ee dergelijke aleefbare lozigseis is het eevoudigst op te stelle als de meetwaarde afkomstig zij uit ee ormale kasverdelig e gee autocorrelatie vertoe. Maar de praktijk leert dat lozige doorgaas éé of meer va de volgede complicerede kemerke vertoe: (1) meetwaarde die afkomstig uit ee iet-ormale kasverdelig, () autocorrelatie (wat tot uitig ka kome i ee wadeled gemiddelde) e (3) seizoeseffecte of periodiciteit. De klassieke statistische methode zij iet zoder- Icastat 18 mei 003

21 meer toepasbaar op meetreekse met dergelijke complicerede kemerke. Het is dus odig om vast te stelle i hoeverre hier sprake va is, zodat daar vervolges bij het opstelle va de lozigseise rekeig mee ka worde gehoude. Dit hoofdstuk geeft zowel visuele methode (beoordelig va grafieke), als formele methode (statistische toetse) om de kemerke va ee lozigsproces vast te stelle. Ook worde methode gepreseteerd om complicerede kemerke te vermidere. Zo is het vaak mogelijk om door middel va ee eevoudige rekekudige trasformatie va de meetwaarde te bewerkstellige dat tóch mag worde uitgegaa va de ormale kasverdelig. E als de autocorrelatie va ee lozigsproces iet te groot is e er voldoede meetwaarde beschikbaar zij (mistes 50), is het mogelijk om daarvoor te corrigere, aders ka de autocorrelatie worde verkleid of omzeild, door het weglate va meetwaarde, middele e/of differetiёre. Teslotte ka het differetiёre ook uitkomst biede om seizoeseffecte of periodiciteit op te heffe. Het is overiges raadzaam het lozede bedrijf te verplichte om bij de aavraag voor de verguig aa te geve welke verstrekte meetwaarde represetatief zij voor de gebruikelijke, beheerste procesvoerig. Teves diet het bedrijf daarbij voor elke verstrekte uitschietede meetwaarde aa te toe of te beargumetere dat deze og de gebruikelijke, beheerste situatie vertegewoordigt. Dit zal de beheerder veel werk bespare e leidt tot beter uitgagsmateriaal. Het is ook raadzaam te eise dat het bedrijf ee bepaalde miimale hoeveelheid iformatie verstrekt bij de aavraag voor de verguig. Gezie de grote autocorrelaties die op kue trede,kue we hierbij deke aa meetwaarde over ee periode va twee jaar. Maar als ka worde aagetood of beargumeteerd dat er auwelijks autocorrelatie optreedt, zou kue worde volstaa met iformatie over ee kortere periode. Icastat 19 mei 003

22 3 Formulere lozigseise We moge er va uitgaa dat lozigseise aleefbaar zij als ze voldoede rekeig houde met de kemerke va de lozig bij de gebruikelijke, beheerste procesvoerig. Dit hoofdstuk preseteert ekele mogelijkhede voor het formulere va dergelijke eise. We begie daartoe met ee theoretische beschouwig va verschillede soorte orme ( 3.1). Da worde mogelijkhede voor aleefbare lozigseise gepreseteerd, respectievelijk voor mometaa gedrag ( 3.) e voor gemiddeld gedrag ( 3.3). Vervolges wordt aagegeve hoe ee lozigseis die geldt voor ee bepaald mostertype, zoals ee steekmoster of ee dagverzamelmoster, ka worde vertaald aar ee lozigseis voor ee ader mostertype ( 3.4). I 3.5 wordt aagegeve hoe rekeig ka worde gehoude met de milieurelevatie va parameters. Dit hoofdstuk sluit af met ee korte samevattig ( 3.6). 3.1 Soorte va orme I het ideale geval zal ee lozigseis voor ee parameter gebaseerd zij op weteschappelijk gefudeerd izicht i het milieubezwaar va die parameter (dosis-effect-relatie). Dit worde da ook wel ideale orme geoemd [Barett ad O Haga 1997]. De emissiegreswaarde voor de zwarte stoffe zij daar voorbeelde va. Maar dergelijke klassieke ome houde og gee rekeig met het feit dat meetwaarde door bemosterigs- e aalysefoute af kue wijke va de werkelijke waarde. Dit leidt ertoe dat er zelfs bij cotiu mete twee risico s optrede bij het toetse va ee meetwaarde aa ee emissiegreswaarde: (1) ee iet-overtredig wordt oterecht als ee overtredig gedetecteerd. Dit wordt aageduid als het produceterisico; () ee overtredig wordt oterecht iet als ee overtredig gedetecteerd. Dit wordt aageduid als het cosumeterisico (i dit geval ee risico voor het milieu). Stel dat we uit oogput va milieubeschermig het cosumeterisico zo beperkt mogelijk wille houde, bijvoorbeeld maximaal 5%. Dit wordt bewerkstelligd door rekeig te houde met de ozekerheid door de bemosterigs- e aalysefoute, als we ee meetwaarde afzette tege de emissiegreswaarde. Er is da met 95% betrouwbaarheid sprake va ee overtredig als geldt: xk + 1,645 σ ba > L met x k de meetwaarde va parameter X, σ ba de (werkelijke) stadaardafwijkig va de bemosterigs- e aalysefoute e L de emissiegreswaarde voor deze parameter Statistische orme Ee klassieke orm, zoals ee emissiegreswaarde, is zeer star e duldt gee ekele overschrijdig. Het is i feite ee orm voor het maximum va ee kasverdelig. Maar om te kue cotrolere of het maximum va ee kasverdelig voldoet aa ee orm, is ee cotiue meetispaig vereist. Verder geeft ee dergelijke orm og ovoldoede beschermig tege ee grote milieubelastig, zoals waeer de bulk va de kasverdelig va meetwaarde zich direct oder de orm bevidt. Vadaar dat al da iet op basis va izicht i dosis-effect-relaties steeds vaker orme worde geformuleerd voor adere kegetalle da het maximum, zoals het 90-, of 95-percetiel. Dit oemt me ook wel statistische orme. Als we ee orm stelle voor het 90-percetiel va ee parameter eise we i feite dat de cocetratie va die parameter iet meer da 10% va het jaar bove die orm ligt. Het grote voordeel is dat we dit ook kue cotrolere zóder cotiue meetispaig, wat op basis va ee aselecte steekproef kue we immers al het 90-percetiel schatte. Icastat 0 mei 003