het opzienbarende getallen Herman Ligtenberg
|
|
- Annemie Aerts
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 UITGEREKEND! het opzienbarende van getallen WISKUNDE AAN HET WERK Herman Ligtenberg
2 Inhoud Inleiding 7 Meten is weten?! 9 Rekenkronkels 17 Getallenacrobatiek 27 Van Wouter Worm tot Pythagoras 36 Albert & Albert 44 De magische formule 54 Rijen, rijen, rijen 64 Meetkundige reeksen 73 Tot in het oneindige 81 Vallen en werpen 88 In het verkeer 96 Momentum! 104 (Eigen)aardigheden 113 Van een aap en kokosnoten 122 Natuur en techniek 131 Logisch! 140 Hoezo, gemiddeld? 149 De kunst van het gissen 158 Statistiek of elastiek? 167 Weer wat ge(model)leerd! 175 Van drupkraan tot depressie 181 Eerlijk duurt het kortst 189 Het oog wil ook wat = 4 of: een wonderkind 207 Aantekeningen 216 5
3 Van Wouter Worm tot Pythagoras zoals eigenlijk gezegd ook niemand de stelling van Pythagoras begrijpt THOMAS ROSENBOOM Gaat dat zo lukken? Anders moeten we het weer demonteren. Tja, bromt Sander, niet echt slim van me. Ik zou toch graag het bureau een kwartslag willen draaien. Sander heeft een nieuw huis betrokken. In een nogal krappe slaapkamer heeft hij alvast het 160 cm brede bureau in elkaar gezet. Maar er blijft nu aan de smalle kant slechts 40 cm loopruimte over, zegt Sander. En dan heb ik hem zelfs helemaal tegen de muur gezet. Dus ik denk dat het hem zo niet gaat worden. Wat doe je ook met zo n enorm obstakel in dit kamertje, probeer ik nog. Toch: als we met vereende krachten proberen het bureau te draaien blijkt dit precies binnen de kamer mogelijk te zijn. Het ging rakelings langs de muur, constateert Sander tevreden. Gelukkig is er niets beschadigd. En nu voel je je natuurlijk helemaal een dikke directeur, waag ik er nog aan toe te voegen. Maar weet jij nu hoe lang het bureau is? De meest bekende en bovendien, vanwege zijn eenvoud, fascinerende stelling uit de wiskunde is ongetwijfeld de stelling van Pythagoras. Deze geleer- 36
4 de gaf ver voor het begin van onze jaartelling leiding aan een groep wetenschappers, die naar de naam van de stichter bekend staan als de Pythagoreeërs. Ze hielden er soms bizarre ideeën op na. In hun ogen werden de wetmatigheden van onze waarneembare wereld beheerst door de verhoudingen tussen getallen. Wat de betekenis van genoemde stelling nog verhoogt is het feit dat er zoveel verschillende bewijzen van zijn gevonden. Telkens weer worden er nieuwe, soms zeer verrassende ontdekkingen gedaan. Het is dan ook geen wonder dat nogal wat wiskundigen (ik ken er minstens één) in zekere mate aan deze stelling verslaafd zijn geraakt. Ook de ontdekker zelf moet het vinden van het bewijs van deze stelling een bijzondere voldoening hebben gegeven. Er zijn maar weinig wetmatigheden in de wiskunde die zich wat eenvoud en toepassingsmogelijkheden met deze stelling kunnen meten. Vergeleken met veel andere wiskundige wetten is de eenvoud ervan een verademing. En tegelijk is de stelling van een uitbundige schoonheid. Maar nu even genoeg superlatieven. Alles draait hier om een eigenschap van de zijden in een rechthoekige driehoek. Noemen we de lengtes van de kortste twee zijden (de rechthoekszijden) a en b, en de lengte van de schuine zijde c, dan geldt altijd de betrekking: a 2 + b 2 = c 2 Bijna steeds wordt, zoals de figuur toont, deze stelling geïllustreerd met de combinatie: a = 3, b = 4 en c = 5. Overigens moet de geldigheid van deze stelling anderhalf millennium vóór de tijd van Pythagoras, die in de 6 e eeuw voor Christus leefde, reeds aan de Babyloniërs bekend zijn geweest. Uit de regeerperiode van koning Hammurabi weten we namelijk zelfs van zoals we die tegenwoordig noemen Pythagoreïsche drietallen, en dan niet eens alleen de meest voor de hand liggende, zoals in bovengenoemd voorbeeld. De bewering dat men in de oudheid een rechte hoek zou hebben afgezet door een touw met 12 knopen te gebruiken is nooit echt bewezen, maar onmogelijk is het niet, zoals de tekening laat zien. Persoonlijk vind ik het meest elegante bewijs van de stelling van Pythagoras de methode, eigenlijk een variant erop, die gehanteerd moet zijn door de wiskundige Thabet Ibn Qurra uit de negende eeuw na Chr. Je begint met twee, liefst ongelijke, vierkanten met zijden a respectievelijk b, naast elkaar te leggen, zodat ze samen één zeshoek vormen. Dan verdeel je de basis van de daardoor ontstane figuur weer in twee delen a en b, maar in de omgekeerde volgorde. 37
5 Nu trek je de twee aangegeven schuine lijnen met lengte c, zodat er twee identieke rechthoekige driehoeken (1) en (2) van de zeshoek worden afgesneden. Daarna leg je de genoemde driehoeken aan de bovenkant terug, zodat er een vierkant ontstaat waarvan de oppervlakte gelijk is aan a 2 + b 2. Maar dat is meteen ook c 2. Het aardige van dit bewijs is, dat het volledig meetkundig kan worden uitgelegd en daarom ook voor iedereen doorzichtig is. Het aantal bewijzen voor en visualisaties van Pythagoras is legio. Zelfs kan een nietsvermoedend beestje hieraan nog een leuke bijdrage leveren! Wouter Worm heeft zijn dag. Hij heeft een heerlijk sappige bolronde appel gevonden. Eerst graaft hij langs een rechte lijn over een afstand van 25 mm in de richting van het middelpunt. Vervolgens maakt hij een haakse bocht naar links; na 35 mm staat hij weer buiten. Wat is de diameter van de appel? We brengen in de tekening enkele extra lijntjes aan, zodat er twee driehoeken ontstaan, die samen weer één grote driehoek vormen. Omdat deze grote driehoek is op te vatten als een halve rechthoek, bevindt zich bovenaan een hoek van 90 graden. Daarom moeten de twee kleine driehoeken dezelfde vorm hebben! Dat kan nog duidelijker worden nadat we de grotere driehoek (rechts) een kwartslag linksom hebben gedraaid. Dit is in de derde figuur te zien. In de kleine driehoek is de verhouding tussen de liggende en de rechtopstaande zijde 25 : 35, ofwel 5 : 7. Dat moet dus ook gelden voor de 38
6 grotere driehoek! Bij vergelijking van de afstanden in de beide driehoeken vinden we dan: 25 : 35 = 35 : 49 Beide verhoudingen zijn immers gelijk aan 5 : 7! We noemen het getal 35 middelevenredig tussen 25 en 49, anders uitgedrukt: 35 2 = Deze ontbinding houden we even vast. Als we de driehoeken terugleggen in de oorspronkelijke positie, dan blijkt meteen dat de cirkel een middellijn heeft van = 74. En dat is ook de gevraagde diameter van de appel in millimeters! Maar nu Pythagoras? Heb nog wat geduld, want we worden op onze wenken bediend! We komen eerst terug op het feit dat 35 2 = Omdat de cirkel een straal heeft van 1/2 74 = 37, kunnen we deze gelijkheid herschrijven als: 35 2 = (37 12) ( ) Volgens de truc die we in een eerder hoofdstuk zijn tegengekomen, kun je er ook van maken: 35 2 = wat op hetzelfde neerkomt als: = Laten we nu eens de straal van de cirkel tekenen en vervolgens letten op de rechthoekige driehoek die daardoor ontstaat! 39
7 In de figuur is deze gearceerd weergegeven, terwijl de cirkel is weggelaten. De zijden van deze driehoek hebben exact de waardes 12, 35 en 37, waarmee we ongedacht de stelling van Pythagoras hebben aangetoond! In het voorgaande kwam reeds de uitdrukking Pythagoreïsch drietal ter sprake. En dan hebben we het over combinaties van drie gehele getallen, die als zijden van een rechthoekige driehoek kunnen figureren. Uiteraard is (3, 4, 5) daarvan de eenvoudigste. Maar we vermoeden dat er nog veel meer van die drietallen zijn te vinden. Het is wel zeker, want een andere keuze van de getallen in het probleem van de worm zal ook tot een ander drietal leiden! Het is aardig om dit uit te proberen. Neem als uitgangspunt eens de getallen 25 en 45 (in plaats van 35) en ontdek welke Pythagoreïsche driehoek tevoorschijn komt! (2) Zelfs blijkt een volledig systematische aanpak mogelijk. Allereerst kent men een zoals ik die zou willen noemen generator, die in staat is een onbeperkt aantal van zulke drietallen voort te brengen. Het gaat als volgt: Kies twee gehele getallen p en q, waarbij p groter is dan q. Construeer daarmee a, b en c, zodanig dat: a = 2pq b = p 2 q 2 c = p 2 + q 2 Dan vormen de getallen a, b en c een Pythagoreïsch drietal, zoals je met niet al te veel moeite zou moeten kunnen aantonen. (3) Om met een eenvoudig geval te beginnen: het bekende trio (3, 4, 5) komt uit deze machine rollen als je kiest: p = 2 en q = 1. Begin je echter met p = 12 en q = 5, dan is het resultaat: (119, 120, 169), een getallencombinatie die reeds bij de Babyloniërs bekend was! Uiteraard kun je met elk basaal drietal, zoals (3, 4, 5), in principe oneindig variëren, met bijvoorbeeld de combinaties (6, 8, 10) of (51, 68, 85), door elk element met een zelfde getal (hier: 2 of 17) te vermenigvuldigen! Mogelijk vind je deze methode wat opgedrongen : veel liever hanteer je een werkwijze waarbij je ook een beetje begrijpt wat je aan het doen bent. Daarvoor kunnen we weer bij Wouter Worm te rade gaan. Dat wil zeggen: gebruikmaken van dezelfde methode, die daar ook werd toegepast. 40
8 Eerst moet je je realiseren dat Pythagoras ook is te schrijven in de vorm: c 2 b 2 = a 2 We kiezen nu bijvoorbeeld: a = 8 en gaan vervolgens herschrijven: (c b) (c + b) = 64 Dit betekent dat we het getal 64 moeten ontbinden in twee verschillende factoren. Dat kan op de volgende manieren: 1 64, 2 32 en Let nu eens op de te vinden getallen (c b) en (c + b). Het gemiddelde van deze factoren is c, waarbij elk getal evenveel (namelijk b) van dat gemiddelde afwijkt. Dat is echter slechts mogelijk wanneer de factoren óf beide even óf beide oneven zijn! Een keuzemogelijkheid als 1 64 zal om die reden moeten vervallen. We proberen daarom de ontbinding: c b = 2 c + b = 32 Omdat het gemiddelde van 2 en 32 gelijk is aan 17, moeten de te vinden getallen zijn: b = 15, c = 17. Daarmee is weer een Pythagoreïsch drietal bekend, namelijk de combinatie (8, 15, 17). Op deze wijze, of door de generator in te schakelen, zijn nog veel meer van zulke drietallen te vinden, waarvan de bekendste zijn: En dat bureau, waarmee Sander zo aan het tobben is geweest? Noem de lengte van het bureau L en de diagonaal D. Bekijk het moment waarop tijdens het draaien de schuin tegenover elkaar liggende hoeken van het bureau juist de muur raken. Dan moet je kunnen inzien dat het verschil tussen D en L gelijk is aan 40 cm. 41
9 Dan eist Pythagoras : D 2 L 2 = (D L) (D + L) = (D + L) = (D + L) = D + L = 640 We wisten al dat D L = 40, zodat snel volgt: D = 340 en L = 300. Het bureau heeft dus een lengte van 3 meter! In allerlei situaties kan de stelling van Pythagoras zomaar zonder enige waarschuwing vooraf opduiken. Neem het volgende geval. Een commandant heeft zijn manschappen in een perfect vierkant opgesteld. De militairen marcheren in een vast tempo van 3 meter per seconde in de richting van A naar B; in de tekening naar rechts. De commandant heeft twee hondjes, Fik en Fox, die waarschijnlijk uit pure verveling vanaf hoekpunt A langs de buitenzijde van het vierkant gaan lopen. Fik loopt van A naar B en maakt dan rechtsomkeert. Fox loopt van A naar C en meteen weer terug. Als de beestjes tegelijk in A zijn gestart en ze een gelijke snelheid hebben van 5 meter per seconde, welke is dan het eerst in A terug? Die mannen hebben er goed de pas in, moet ik zeggen. Als ze stilstaan, dan is er duidelijk geen verschil, zegt Sander. Maar ze marcheren! Dan zal het voor Fik wel zo zijn dat hij elke seconde precies 2 meter op het korps inloopt. Want zoveel sneller gaat het hondje dan de militairen. Hoe groot is het vierkant eigenlijk? Zeg maar 100 bij 100 meter. Dan is Fik dus na 50 seconden bij B. En de terugweg? Als ik aan het verkeer denk, zegt Sander, dan moet ik die snelheden zeker bij elkaar optellen. Hij gaat nu de mannen tegemoet. Elke seconde zal Fik een afstand van = 8 meter van de manschappen passeren. Voor het gedeelte van B naar A zijn dan 12,5 seconden nodig. Dus Fik is terug na 62,5 seconden. 42
10 Dat ziet er allemaal logisch uit! Maar nu Fox Sander aarzelt. Je gaat me er toch niet tussen nemen? Maakt het voor Fox eigenlijk wel uit of de militairen lopen of niet? Dat is niet zo simpel. Of toch wel. Wacht, misschien moet je het even schetsen Op het moment dat Fox begint te rennen vanuit A heeft het vierkant de positie ABCD; die is gearceerd. Zodra Fox de linkerbovenhoek heeft bereikt, is het vierkant een stukje opgeschoven naar rechts, tot PQRS. Maar hoever? Volgens mij moet je de afstanden AP en AR met elkaar vergelijken. Elke seconde legt het korps 3 meter af, maar rent het hondje 5 meter. Stop! Ik weet het al. Fox moet dus schuin met de manschappen meerennen, langs de lijn AR, om niet achter te raken. En ik zie daar een rechthoekige driehoek. Dat is weer werk voor Pythagoras. En: = 5 2. Een oude bekende zelfs! Dan komt Fox elke seconde 4 meter dichter bij C. Hij loopt dus 25 seconden voordat hij omkeert. En terug naar A zal het weer hetzelfde zijn. Dat betekent totaal 50 seconden. Fox is dus de glorieuze winnaar, zegt Sander. Sterker nog: als Fik nog maar net B bereikt heeft, is Fox alweer in A terug. Maar weet je, bij deze puzzel moet ik denken aan een beroemd experiment dat meer dan een eeuw geleden werd uitgevoerd. Niet met hondjes, maar met lichtstralen! Met lichtstralen? Nu maak je me heel erg nieuwsgierig! 43
1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde
1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1. Het quotiënt 28 is gelijk aan 82 (A) 2 0 () 2 1 (C) 2 2 (D) 2 3 (E) 2 4 2. Het resultaat van de vermenigvuldiging 1 3 5 7 9 2011 eindigt op het cijfer
Nadere informatieAnalytische Meetkunde
Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs
Nadere informatieZESDE KLAS MEETKUNDE
ZESDE KLAS MEETKUNDE maandag 1. Het vierkant. Eigenschappen. 2. Vierkanten tekenen met passer en lat vanuit zeshoek 3. Vierkanten tekenen met passer en lat binnen cirkel 4. Vierkanten tekenen met passer
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde
1 Junior Wiskunde Olympiade 005-006: tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het oplossen van sommige vragen 1,1 1,71 5,61 π,116 1 ls a a 17 a m = a 006, met a R + \{0, 1}, dan is m gelijk
Nadere informatieRakende cirkels. Oriëntatie. Keuzeopdracht voor wiskunde
Rakende cirkels Keuzeopdracht voor wiskunde Verrijkende opdracht over construeren en redeneren in figuren Voorkennis: meetkunde: cirkels, raaklijn, loodrecht stand; sinus: waarden voor bekende hoeken als
Nadere informatieJunior Wiskunde Olympiade : tweede ronde
Junior Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde 1 Op de figuur stellen de getallen de grootte van de hoeken voor De waarde van x in graden is gelijk aan 2x 90 x 24 (A) 22 (B) 1 (C) (D) 8 (E) 57 2 Welke
Nadere informatie12 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1999-000: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Nadere informatiePythagoreïsche drietallen Guy Van Leemput, Sint-Jozefcollege te Turnhout, België
Pythagoreïsche drietallen Guy Van Leemput, Sint-Jozefcollege te Turnhout, België Toelichtingen: Wat op de volgende bladzijden volgt is een werktekst met antwoorden rond het zoeken van rechthoekige driehoeken
Nadere informatieUitwerkingen wizprof D = = B 6 ronden duren 6 minuten en 66 seconden, dus 7 minuten en 6 seconden.
Uitwerkingen wizprof 2019 1. D 20 19 + 20 + 19 = 380 + 20 + 19 = 419 2. B 6 ronden duren 6 minuten en 66 seconden, dus 7 minuten en 6 seconden. 3. E Kijk maar in de spiegel. 4. C Je gooit minimaal 1 +
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2001 Uitwerkingen. d = d 10 1,
WISKUNDE-ESTAFETTE KUN 001 Uitwerkingen 1 Stel de afstand is d km. Dan is dus d = 0. d 0 + 1 = d 1, ( Om 8 uur staat de grote wijzer 0 o achter de kleine. Per minuut legt de grote wijzer 360 ) o 60 (=6
Nadere informatieCabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's
Cabri-werkblad Driehoeken, rechthoeken en vierkanten 1. Eerst twee macro's Bij de opdrachten van dit werkblad zullen we vaak een vierkant nodig hebben waarvan alleen de beide eindpunten van een zijde gegeven
Nadere informatieSpelen met passer en liniaal - werkboek
Spelen met passer en liniaal - werkboek Basisconstructie 1: het midden van een lijnstuk (de middelloodlijn) Gegeven: lijnstuk AB. Gevraagd: het midden van lijnstuk AB. Instructie Teken (A, r) en (B, r)
Nadere informatiewizprof Veel succes en vooral veel plezier.!! rekenmachine is niet toegestaan je hebt 75 minuten de tijd
www.zwijsen.nl www.e-nemo.nl www.education.ti.com wizprof 09 www.smart.be www.sanderspuzzelboeken.nl www.schoolsupport.nl www.mathplus.nl WWW.W4KANGOEROE.NL Veel succes en vooral veel plezier.!! www.idpremiums.nl
Nadere informatiepythagoras handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek pythagoras
inhoudsopgave 1 de grote lijn applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek 1 de grote lijn hoofdlijn de zijlijn De oppervlakte van rechthoekige driehoeken. Van een
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 99 99 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE 2012 Uitwerkingen. a b. e f g
WISKUNDE-ESTAFETTE 202 Uitwerkingen Noem de zeven cijfers even a t/m g. a b c d + e f g Omdat de twee getallen die we optellen beide kleiner zijn dan 00 moet het resultaat kleiner dan 200 zijn. Dus e =.
Nadere informatieOefeningen in verband met tweedegraadsvergelijkingen
Oefeningen in verband met tweedegraadsvergelijkingen l. e omtrek van een rechthoek is 8 m en de diagonaal 10 m. Welke afmetingen heeft deze rechthoek?. Bereken x zodat de opp van de rechthoek even groot
Nadere informatiein een driehoek zijn de twee korte zijden samen langer dan de derde zijde
Stellingenboekje in een driehoek zijn de twee korte zijden samen langer dan de derde zijde Laat het kind met de latjes voor de geometrie een paars, lichtbruin en een geel latje pakken en hiermee een driehoek
Nadere informatieToelichting op de werkwijzer
Toelichting op de werkwijzer NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Birgit van Dalen, Quintijn Puite De opgaven voor de training komen uit het boekje De Nederlandse Wiskunde Olympiade 100 opgaven met hints,
Nadere informatieGeldwisselprobleem van Frobenius
Geldwisselprobleem van Frobenius Karin van de Meeberg en Dieuwertje Ewalts 12 december 2001 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Afspraken 3 3 Is er wel zo n g? 3 4 Eén waarde 4 5 Twee waarden 4 6 Lampenalgoritme
Nadere informatieEstafette. 36 < b < 121. Omdat b een kwadraat is, is b een van de getallen 49, 64, 81 en 100. Aangezien a ook een kwadraat is, en
26 e Wiskundetoernooi Estafette 2017 Uitwerking opgave 1 Noem het getal dat gevormd wordt door de laatste twee cijfers van het geboortejaar van rnoud a en de leeftijd van rnoud b. Dan is a + b = 2017 1900
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500
WISKUNDE-ESTAFETTE 2012 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Optellen De som van twee getallen van twee cijfers is een getal van drie cijfers (geen van deze
Nadere informatieMeetkunde. MBO Wiskunde Niveau 4 - Leerjaar 1, periode 3
Meetkunde MBO Wiskunde Niveau 4 - Leerjaar 1, periode 3 LOCATIE: Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal DOMEINEN: Bouwkunde, Werktuigbouw, Research Instrumentmaker LEERWEG: BOL - MBO Niveau 4 DATUM:
Nadere informatieOpgave 1 - Uitwerking
Opgave 1 - Uitwerking Om dit probleem op te lossen moeten we een zogenaamd stelsel van vergelijkingen oplossen. We zetten eerst even de tips van de begeleider onder elkaar: 1. De zak snoep weegt precies
Nadere informatieDriehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1)
Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Trainingsdag 3, april 009 Driehoeksongelijkheid Driehoeksongelijkheid Voor drie punten in het vlak A, B en C geldt altijd dat AC + CB AB. Gelijkheid geldt precies
Nadere informatiewiskunde B vwo 2017-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatie2 Lijnen en hoeken. De lijn
1 Inleiding In het woord meetkunde zitten twee woorden verborgen: meten en kunnen. Deze periode gaat dan ook over het kunnen meten. Meetkunde is een oeroude kennis die al duizenden jaren geleden voorkwam
Nadere informatieOefeningen in verband met tweedegraadsvergelijkingen
Oefeningen in verband met tweedegraadsvergelijkingen l. e omtrek van een rechthoek is 8 m en de diagonaal 10 m. Welke afmetingen heeft deze rechthoek?. Bereken x zodat de opp van de rechthoek even groot
Nadere informatie1 Coördinaten in het vlak
Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde
1 Junior Wiskunde Olympiade 200-2005: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Nadere informatie6.1 Rechthoekige driehoeken [1]
6.1 Rechthoekige driehoeken [1] In het plaatje hiernaast is een rechthoekige driehoek getekend. Aan elke zijde van deze driehoek ligt een vierkant. Het gele vierkant heeft een oppervlakte van 9 hokjes;
Nadere informatieIMO-selectietoets I donderdag 1 juni 2017
IMO-selectietoets I donderdag 1 juni 2017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij n een positief geheel getal. Gegeven zijn cirkelvormige schijven met stralen 1, 2,..., n. Van
Nadere informatieStelling van Pythagoras
1 of 6 Stelling van Pythagoras Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie De stelling van Pythagoras is een wiskundige stelling die zijn naam dankt aan de Griekse wiskundige Pythagoras. 'Zijn' stelling was overigens
Nadere informatieVlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde
Vlaamse Wiskunde lmpiade 2007-2008: tweede ronde 1 Jef mit cola met whisk in de verhouding 1 : In whisk zit 40% alcohol Wat is het alcoholpercentage van de mi? () 1, (B) 20 (C) 25 () 0 (E) 5 2 ver jaar
Nadere informatieDeze stelling zegt dat je iedere rechthoekige driehoek kunt maken door drie vierkanten met de hoeken tegen elkaar aan te leggen.
Meetkunde Inleiding We beginnen met het doorlezen van alle theorie uit hoofdstuk 3 van het boek. Daar staan een aantal algemene regels goed uitgelegd. Waar je nog wat extra uitleg over nodig hebt, is de
Nadere informatieWisknutselen in de klas: creatief met wiskunde
Wisknutselen in de klas: creatief met wiskunde Florine Meijer, Wisknutsels Inleiding Creativiteit en wiskunde, gaat dat samen? Kan je wiskunde doen en tegelijk knippen en plakken, of haken, breien en borduren?
Nadere informatie5,7. Profielwerkstuk door een scholier 2227 woorden 8 april keer beoordeeld. Wie was Pythagoras?
Profielwerkstuk door een scholier 2227 woorden 8 april 2005 5,7 186 keer beoordeeld Vak Wiskunde Wie was Pythagoras? Pythagoras was een Griekse wijsgeer die rond 575 voor Christus leefde. Zijn vader was
Nadere informatie1 DE STELLING VAN PYTHAGORAS
1 DE STELLING VAN PYTHAGORAS 1.1 Verkennende opdrachten 1.1.1 Pythagoras puzzel (mozaïek van Henry Perigal 1801-1898) Open de link naar het bestand 1 Pythagoras_puzzel.htm Gegeven is een rechthoekige driehoek
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-II
ier tappen ij het tappen van bier treden verschillen op in de hoeveelheid bier per glas. Uit onderzoek blijkt dat de hoeveelheid bier die per glas getapt wordt bij benadering normaal verdeeld is met een
Nadere informatieWiskunde 1b Oppervlakte
PROFESSIONELE BACHELOR IN HET ONDERWIJS SECUNDAIR ONDERWIJS Auteur: Greet Verhelst, Eddy Greunlinx Lector: Academiejaar 2016-2017 Inhoudsopgave 1 Veelhoekig gebied... 4 2 van een veelhoekig gebied...
Nadere informatieSamenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde
Samenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde Getal & Ruimte editie 11 Goniometrie in rechthoekige driehoeken Stap 1: Zoek de rechthoekige driehoeken Figuur 1: Ga na dat in dit voorbeeld alleen ADC en DBC
Nadere informatie44 De stelling van Pythagoras
44 De stelling van Pythagoras Verkennen Pythagoras Uitleg Je kunt nu lezen wat de stelling van Pythagoras is. In de applet kun je de twee rode punten verschuiven. Opgave 1 a) Verschuif in de applet punt
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500
WISKUNDE-ESTFETTE 2014 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 00 1 (20 punten) Gegeven zijn drie aan elkaar rakende cirkels met straal 1. Hoe groot is de (donkergrijze) oppervlakte
Nadere informatieOpgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000
Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 VBO en MAVO Klas 3 en 4 Vragen 1 t/m 10: voor elk goed antwoord +3 punten, voor elk fout antwoord -¾ punt. 1. Hiernaast zie je drie aanzichten (voor, boven, links)
Nadere informatieHoofdstuk 1 Spiegelen in lijn en in cirkel. Eigenschappen.
Hoofdstuk 1 Spiegelen in lijn en in cirkel. Eigenschappen. Jakob Steiner (Utzenstorf (kanton Bern), 18 maart 1796 - Bern, 1 april 1863) was een Zwitsers wiskundige. Hij wordt beschouwd als een van de belangrijkste
Nadere informatieCorrectievoorschrift VMBO-GL en TL 2008 tijdvak 1
Correctievoorschrift VMBO-GL en TL 2008 tijdvak 1 Golfbaan 1 maximumscore 4 Een kijklijn tekenen van het putje langs de punt van de bosrand (1) 90 m in werkelijkheid komt overeen met 6 cm in de tekening
Nadere informatieWiskunde Opdrachten Vlakke figuren
Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren Opdracht 1. Teken in de figuren hieronder alle symmetrieassen. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. Opdracht 2. A. Welke
Nadere informatieDe constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.
Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn
Nadere informatieCreatief aan de slag met GeoGebra. Een tangram is een beroemde Chinese puzzel bestaande uit 7 puzzelstukjes: 1 vierkant, 1 parallellogram.
18 Tangram puzzel Een tangram is een beroemde Chinese puzzel bestaande uit 7 puzzelstukjes: 5 gelijkbenige rechthoekige driehoeken van 3 verschillende grootten, 1 vierkant, 1 parallellogram. Aan het begin
Nadere informatieVlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde
Vlaamse Wiskunde Olympiade 00-0: eerste ronde. e uitdrukking a b 4 is gelijk aan () ab () ab () ab 6 () ab 8 (E) ab 6. e uitdrukking (a b) is gelijk aan () a b () (b a) () a + b ab () a + b + ab (E) (a
Nadere informatie1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
Nadere informatieVlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde
Vlaamse Wiskunde Olympiade 00-008: eerste ronde 1 Een rechthoek met lengte b en breedte c en een vierkant met zijde a hebben gelijke oppervlakte Dan geldt: (A) a c = c b (B) b c = a a c = b c (D) bc =
Nadere informatie1. C De derde zijde moet meer dan 5-2=3 zijn en minder dan 5+2=7 (anders heb je geen driehoek).
Uitwerkingen wizprof 08. C De derde zijde moet meer dan 5-=3 zijn en minder dan 5+=7 (anders heb je geen driehoek).. C De rode ringen zitten in elkaar, de groene liggen onder de rode ringen en zijn er
Nadere informatieAardse Stellingen met hemelse bewijzen en Stellingen om van te smullen met (on)verteerbare bewijzen. Zaterdag 16 februari 2019
Aardse Stellingen met hemelse bewijzen en Stellingen om van te smullen met (on)verteerbare bewijzen Zaterdag 16 februari 2019 Deze presentatie is gegroeid uit mijn jaarlijkse les over, Abstraheren en Structureren
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatie2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax
00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten
Nadere informatieANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999
ANTWOORDEN blz. 3 a. Zeer onwaarschijnlijk Zeer onwaarschijnlijk a. Dan heb je ergens een schuld uitstaan 86 Dan hadden beide een kopie van de kerfstok; om fraude te voorkomen a. MMXII, MCCCXXVII, DLXXXVI,
Nadere informatieA. B. C. D. Opgave 3. In een groot vierkant is een kleiner vierkant getekend. Wat is de oppervlakte van het kleine vierkant? A. B. C. D.
FAJALOBI 2015 Opgave 1 Het getal heet een palindroom. Dat is een getal dat als je het van achter naar voren leest het hetzelfde is als van voor naar achter. Een palindroom begint niet met een nul. Wat
Nadere informatieBij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken.
Rood-wit-blauw werkblad 1 Bij het hele werkblad: Alle rode getallen zijn deelbaar door hetzelfde getal. Elk wit getal is gelijk aan een rood getal + 1, elk blauw getal aan een rood getal + 2 Russisch vermenigvuldigen
Nadere informatieOpgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000
Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 HAVO en VWO Klas 3, 4 en 5 Vragen 1 t/m 10: voor elk goed antwoord +3 punten, voor elk fout antwoord -¾ punt. 1. Hiernaast zie je drie aanzichten (voor, boven, links)
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde
Junior Wiskunde Olympiade 003-004: eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer punten, een blanco antwoord bezorgt
Nadere informatieWat is de som van de getallen binnen een cirkel? Geef alle mogelijke sommen!
Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 480 punten) Zeven gebieden Drie cirkels omheinen zeven gebieden. We verdelen de getallen 1 tot en met 7 over de zeven gebieden, in elk gebied één getal. De getallen
Nadere informatierekentrainer jaargroep 7 Fietsen op Terschelling. Teken en vul in. Zwijsen naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs
Zwijsen jaargroep 7 naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs Waar staat deze paddenstoel ongeveer? Teken op de kaart. Welke afstand of welke route fietsen de kinderen? naam route afstand Janna
Nadere informatierekentrainer jaargroep 7 Fietsen op Terschelling. Teken en vul in. Zwijsen naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs
Zwijsen jaargroep 7 naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs Waar staat deze paddenstoel ongeveer? Teken op de kaart. Welke afstand of welke route fietsen de kinderen? naam route afstand Janna
Nadere informatieIMO-selectietoets I donderdag 2 juni 2016
IMO-selectietoets I donderdag juni 016 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij ABC een scherphoekige driehoek. Zij H het voetpunt van de hoogtelijn vanuit C op AB. Veronderstel
Nadere informatie3 + 3 + 6 = 3 + 3 + 3 + 3.
1. Als je vervangt door 3 in de uitdrukking + + 6 = + + +, dan verkrijg je: 3 + 3 + 6 = 3 + 3 + 3 + 3. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 1. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w.
Nadere informatie1 Cartesische coördinaten
Cartesische coördinaten Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Analytische Meetkunde Cartesische coördinaten Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 008-009: eerste ronde 1 Welke van volgende sommen is gelijk aan 10? () 4,444 + 5,555 (B), + 6,666 (C), + 7,777 (D) 5,555 +, (E) 9,999 + 1,111 Voor hoeveel natuurlijke getallen
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatie5. C De routes langs A en C zijn even lang, dus is de route langs C ook 215 meter langer.
ANTWOORDEN KANGOEROE 2001 BRUGKLAS en KLAS 2 1. E 2. E 18 doosjes voor de rode, 13 voor de blauwe: totaal 31 doosjes 3. C De ringen A, B en D zitten allemaal alleen door ring C. 4. B De twee getallen moeten
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 007 tijdvak woensdag 0 juni 13.30-16.30 uur wiskunde 1, ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 81 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1997-1998: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2018: algemene feedback
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica september 8 - reeks - p. IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 8: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen
Nadere informatieDe bouw van kathedralen
De bouw van kathedralen Van ongeveer 1050 tot 1400 was er een explosie in de bouw van kathedralen. De kathedraal van Amiëns is gebouwd van 1220 tot 1280. Men heeft er dus 60 jaar over gedaan. Niet verwonderlijk
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 988-989 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt: een deelnemer start met 0 punten,
Nadere informatieMeetkundige constructies Leerlingmateriaal
Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Nynke Koopmans Roeland Hiele Historical Aspects of Classroom Mathematics Universiteit Utrecht, juni 2013 Inleiding Inleiding Een meetkundige constructie is een
Nadere informatieThema: Omtrek en oppervlakte vmbo-kgt12
Auteur VO-content Laatst gewijzigd 20 May 2016 Licentie CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie Webadres http://maken.wikiwijs.nl/57126 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijsleermiddelenplein.
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 2 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur
Nadere informatieLesbrief GeoGebra. 1. Even kennismaken met GeoGebra (GG)
Lesbrief GeoGebra Inhoud: 1. Even kennismaken met GeoGebra 2. Meetkunde: 2.1 Punten, lijnen, figuren maken 2.2 Loodlijn, deellijn, middelloodlijn maken 2.3 Probleem M1: De rechte van Euler 2.4 Probleem
Nadere informatieEen bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek
Een bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek Dick Klingens Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel oktober 005 We bewijzen allereerst de volgende hulpstelling: Hulpstelling 1 De meetkundige
Nadere informatieHierbij geven we de antwoorden en bewijzen we meteen ook hoe de constanten kunnen bepaald worden.
WISKUNDE IS (EEN BEETJE) OORLOG Onder dit motto nodigde de VVWL alle wiskundeleraren uit Vlaanderen en Nederland uit om deel te nemen aan een wiskundewedstrijd. De tien vragen van de eerste editie, waarbij
Nadere informatieDiophantische vergelijkingen
Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten
Nadere informatieHet leek ons wel een interessante opdracht, een uitdaging en een leuke aanvulling bij het hoofdstuk.
Praktische-opdracht door een scholier 2910 woorden 3 mei 2000 5,2 46 keer beoordeeld Vak Wiskunde Wiskunde A1 - Praktische Opdracht Hoofdstuk 2 1. Inleiding We hebben de opdracht gekregen een praktische
Nadere informatieAanvullende tekst bij hoofdstuk 1
Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Wortels uit willekeurige getallen In paragraaf 1.3.5 hebben we het worteltrekalgoritme besproken. Dat deden we aan de hand van de relatie tussen de (van tevoren gegeven)
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatiejaar Wiskundetoernooi Estafette n = 2016
992 993 2000 994 999 995 997 998 996 200 2002 2003 204 205 206 202 203 2004 20 200 2005 2009 2007 2006 2008 jaar Wiskundetoernooi Estafette 206 Opgave 206 is een driehoeksgetal: er bestaat een geheel getal
Nadere informatieInstructie voor Docenten. Hoofdstuk 13 OMTREK EN OPPERVLAKTE
Instructie voor Docenten Hoofdstuk 13 OMTREK EN OPPERVLAKTE Instructie voor docenten H13: OMTREK EN OPPERVLAKTE DOELEN VAN DIT HOOFDSTUK: Leerlingen weten wat de begrippen omtrek en oppervlakte betekenen.
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Junior Wiskunde Olympiade 2008-2009: eerste ronde 1 Hoeveel is 2 5 7? (A) 10 21 (B) 25 7 (C) 7 10 (D) 1 15 (E) 29 21 2 Welke van volgende sommen is gelijk aan 10? (A), + 5,555 (B) 2,222 + 6,666 (C),
Nadere informatieSoorten lijnen. Soorten rechten
Soorten lijnen ik zeg ik teken ik noteer ik weet een punt A A een rechte a a Een rechte heeft geen begin- en eindpunt. een halfrechte [A een halfrechte heeft B] een beginpunt of een eindpunt een lijnstuk
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Junior Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 Vier van de volgende figuren zijn het beeld van minstens één andere figuur door een draaiing in het vlak Voor één figuur is dit niet het geval Welke?
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen
Samenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen Samenvatting door een scholier 2378 woorden 4 juni 2005 5,1 222 keer beoordeeld Vak Wiskunde Gelijkvormigheid Bij vergroten of verkleinen van een figuur worden
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde
Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer punten, een blanco antwoord bezorgt
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde
Junior Wiskunde Olympiade 008-009: tweede ronde ( 7) = (A) 7 (B) 7 (C) 7 of + 7 (D) 7 (E) onbepaald Beschouw de rij opeenvolgende natuurlijke getallen beginnend met en eindigend met Wat is het middelste
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE RU 2005 Uitwerkingen
WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2005 Uitwerkingen 1 We proberen alle mogelijkheden van klein naar groot: p = 1 is uitgesloten: dan zou elke dag hetzelfde resultaat geven. p = 2 is uitgesloten: dan zouden dag 1 en
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden
WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden 1 V 1 8 en 12 V 2 7 en 11 V 3 6 en 10 V 4 5 en 9 2 5040 opstellingen 3 De zijde is 37 4 α = 100 5 10, 2 liter 6 De volgorde is 2, 5, 3, 4, 1 7 30 euro 8 De straal
Nadere informatie