Diagnostische toets. AMB stelling van de omtrekshoek AMB ˆ ANB. AQB ARB ˆ 180 koordenvierhoekstelling =

Transcriptie

1 P Q M N R l M ˆ N M ˆ N 4M ˆ 4N ZZZ dus M ˆ N ˆ QP ˆ P ˆ M stelling van de omtrekshoek M ˆ N Q R ˆ 80 koordenvierhoekstelling R ˆ N stelling van de omtrekshoek Q PQ ˆ 80 gestrekte hoek Hieruit volgt dat driehoek PQ gelijkbenig is. iagnostische toets PQ ˆ N QP ˆ > N QP ˆ PQ > bladzijde 4 Gegeven: Parallellogram met ˆ. is een rechthoek. Teken de diagonalen en met het snijpunt S. S ˆ S parallellogram S ˆ S parallellogram S ˆ S ˆ S ˆ S ˆ gegeven ˆ gelijkbenige driehoek ˆ gelijkbenige driehoek ˆ 80 ˆ ˆ0 hoekensom driehoek ˆ 0 ˆ parallellogram ˆ 0 ˆ parallellogram ˆ 60 hoekensom vierhoek ˆ ˆ0 e hoeken van zijn 0, dus is een rechthoek. S 4 Hoofdstuk

2 Gegeven: riehoek en de naar buiten gerichte vierkanten en G. G ˆ G ˆ 0 ˆ 0 G ˆ ˆ vierkant ˆ G vierkant 4G ˆ 4 ZHZ dus G ˆ : G ˆ a ls van een vierhoek het snijpunt van de diagonalen even ver af ligt van de vier zijden, dan is die vierhoek een ruit. b G H S S ˆ SH S ˆ HS 4S ˆ 4HS ZZR S ˆ S dus ˆ en S ˆ S Op dezelfde manier S ˆ S 4, S 5 ˆ S 6 en S 7 ˆ S 8. S S... S 8 ˆ 60 S S ˆ S S ˆ S 4 S 5 ˆ S 6 S 7 ˆ S S 67 ˆ 80 > 8 > S ˆ S 67 ˆ 0 S ˆ S 67 overstaande hoeken dus? S ˆ S ˆ S ˆ S 8 ˆ 0 4S ˆ 4S HZH dus ˆ Op dezelfde manier ˆ en ˆ, dus is een ruit. 4 Gegeven: e vierhoeken en GH. Hierbij zijn,, G en H middens van zijden van vierhoek. GH is een parallellogram. Teken. ˆ H ˆ ˆ G ˆ ˆ ˆ > 4H 4 zhz > dus H ˆ > H ˆ G > 4G 4 zhz > dus G ˆ > Op dezelfde manier: ˆ GH. Van vierhoek GH zijn twee paren overstaande zijden even lang, dus GH is een parallellogram. H G ewijzen in de vlakke meetkunde 5

3 5 a Gegeven: Parallellogram met zijn omgeschreven cirkel. is een rechthoek. Teken het middelpunt M van de cirkel, M M M en M. M ˆ M M ˆ M ˆ parallellogram 4M ˆ 4M ZZZ 4M en 4M zijn gelijkbenig Op dezelfde manier: ˆ ˆ ˆ. M > ˆ ˆ ˆ > us ˆ ˆ ˆ : ˆ 60 ˆ ˆ ˆ ˆ0 hoekensom vierhoek dus is een rechthoek: b en rechthoek heeft een omgeschreven cirkel. e omkering is waar. Gegeven: Rechthoek. heeft een omgeschreven cirkel. Teken en met snijpunt S. S ˆ parallellogram ˆ 4 ˆ 4 ZHZ ˆ dus ˆ > S ˆ S ˆ parallellogram S ˆ S ˆ S ˆ S > S ˆ S ˆ parallellogram us heeft een omgeschreven cirkel. 6 Gegeven: riehoek, waarbij zwaartelijn de helft is van. ˆ 0 is het midden van ˆ ˆ ˆ is middellijn van een cirkel die door gaat dus ˆ 0 omgekeerde stelling van Thales). 6 Hoofdstuk

4 7 a Gegeven: riehoek met ˆ 0 en hoogtelijn. ˆ en ˆ. ˆ ˆ ˆ hh ˆ dus ˆ ˆ ˆ ˆ hh ˆ dus ˆ b Gegeven: riehoek met ˆ 0 en hoogtelijn. ˆ ˆ en ˆ dus ˆ ˆ ˆ ˆ bladzijde 5 8 Gegeven: riehoek met de zwaartelijnen en zo, dat ˆ. riehoek is gelijkbenig. Z ˆ zwaartelijnstelling Z ˆ zwaartelijnstelling Z ˆ zwaartelijnstelling Z ˆ zwaartelijnstelling ˆ gegeven Z ˆ Z Z ˆ Z Z ˆ Z overstaande hoeken us ˆ ˆ ˆ > Z ˆ Z en Z ˆ Z > 4Z ˆ 4Z ZHZ ˆ dus 4 is gelijkbenig. Z 4 ewijzen in de vlakke meetkunde 7

5 Gegeven: Koordenvierhoek met de lijnen en die elkaar snijden in P en de lijnen en die elkaar snijden in Q. P Q ˆ Teken PQ. 4 Q ˆ 80 koordenvierhoekstelling ˆ overstaande hoeken ˆ 80 P Q ˆ 80 ˆ P Q hoekensom driehoek P 0 a ˆ stelling van de constante hoek 4 is rechthoekig in omgekeerde stelling van Thales ˆ 0 ˆ 80 hoekensom driehoek b Gegeven: riehoek met de hoogtelijn. e cirkel met middellijn snijdt in en in. is een koordenvierhoek. 0 ˆ 80 hoekensom driehoek ˆ 0 ˆ zie a ˆ 80 ˆ 80 gestrekte hoek us is koordenvierhoek omgekeerde koordenvierhoekstelling). 8 Hoofdstuk

6 Gegeven: Twee cirkels met gelijke straal die elkaar snijden in en. e lijn l gaat door en snijdt de cirkels in P en Q. P ˆ Q Noem de middelpunten van de cirkels M en N. M ˆ N gelijke straal M ˆ N gelijke straal ˆ 4M ˆ 4N ZZZ dus M ˆ N P M N Q l P ˆ M stelling van de omtrekshoek Q ˆ N stelling van de omtrekshoek P ˆ Q M ˆ N us 4P is gelijkbenig met P ˆ Q. Gegeven: irkel c met middelpunt M en punt buiten de cirkel. Lijn M snijdt de cirkel in en. Op c liggen en zo, dat boog ˆ boog. ˆ Teken en. G boog ˆ boog is middellijn boog ˆ boog dus ˆ ˆ ˆ 4 ˆ 4 ZHZ ˆ boog en koorde dus ˆ M ewijzen in de vlakke meetkunde